Casos de FactorizacinCaso 1. Factorizacin por factor comn(caso monomio):Se escribe el factor comn (F.C.) como un coeficiente de un parntesis y dentro delmismosecolocanloscoeficientesquesonelresultado dedividircadatrminodelpolinomio por el F.C.Ejemplo:Descomponer (ofactorizar)enfactoresa2+2.El factor comn (FC) en los dostrminos esAPor lo tanto se ubica por delante del parntesisa().Dentrodelparntesis se ubica el resultadode:22222+=+=+aaaaaFCaFCa,porlotanto:a (a+2). As:a2+ 2a=a(a+ 2)Caso 2. Factorizacin por factor comn(caso polinomio)Primerohay quedeterminarelfactorcomndelos coeficientesjuntocon eldelasvariables (la quetenga menor exponente). Setoma encuenta aqu que elfactor comnno solo cuenta con un trmino, sino con dos.Ejemplo:Descomponerx(a+b) +m(a+b)Estos dos trminos tienen como factor comn el binomio (a+b), por lo que se pone (a+b) como coeficiente de un parntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividirlos dos trminos de la expresin dada entre el factor comn (a+b), o sea:a+b) +ma+b) = (a+b)(x+m)Caso 3. Factorizacin por factor comn(caso agrupacin de trminos)Para trabajar un polinomio por agrupacin de trminos, se debe tener en cuenta que sondos caractersticas las que se repiten. Se identifica porque es un nmeropar de trminos.Para resolverlo, se agrupan cada una de las caractersticas, y se le aplica el primer caso,es decir:ab+ac+bd+dc =(ab+ac)+(bd+dc)\,= a(b+c)+d(b+c)\,= (a+d) (b+c)\,Ejemplo:Descomponerax+bx+ay+byLos dos primeros trminos tienen el factor comnxy los dos ltimos el factor comny.Agrupamos los dos primeros en un parntesis y los dos ltimos en otro precedido delsigno + porque el tercer trmino tiene el signo (+):ax+bx+ay+by= (ax+bx) + (ay+by) Unafraccin algebraicaes una expresin fraccionaria en la quenumeradorydenominadorson polinomios.Son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numricas.El valor de una fraccinno se alterasi se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.Por ejemplo:Sise multiplica porx + 2en su numerador y denominador resulta:

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentracin ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de parntesis.Operaciones con fracciones algebraicasSimplificar fracciones algebraicasLasimplificacin de fracciones algebraicases objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave est en el factor comn. Para simplificar al mximo habr que factorizar los polinomios numerador y denominador.Por ejemplo, simplificar:

Otro ejemplo, simplificar la fraccin

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar

Como vemos, simplificar (o reducir) una fraccin algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar slo hasta un cierto nivel).Suma y resta de fracciones algebraicasPara sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de nmeros enteros, reduciendo primero acomn denominador.Igual como ocurre con las fracciones de nmeros enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominadorVeamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

Como el denominador es comn(x + 1), este se ha unificado en una sola fraccin, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Ntese que dichas cantidades se anotan entre parntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.Ahora sacamos los parntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del parntesis hay un signo menos (), y nos queda

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominadorVeamos el siguiente ejemplo:Tal como lo hacamos al sumar o restar fracciones de nmeros enteros, utilizando elmnimo comn mltiplo (m.c.m.)las fracciones con distintos denominadores se transforman enfracciones equivalentescon denominador comn.Entonces, que debemos hacer: encontrar elm.c.m.de los denominadores, que llamaremosmnimo comn denominador (m.c.d.).Para calcular el m.c.m. factorizamosMultiplicamos los factores y quedaa a b b 5 3 = a2 b2 15que es lo mismo que15a2b2y es el mnimo comn denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador comn:Previamente, dividimos el denominador comn(15a2b2)por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos as:Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero tambin hay otra, como la siguiente:Encontrado el m.c.d.(15a2b2)se multiplica cada fraccin (tanto numerador como denominador) por los trminos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

Ntese que los trminos que faltan se obtienen haciendo la misma divisin del caso anterior.Un ejemplo ms:SumarEl m.c.m. de los denominadores, o mnimo comn denominador (m.c.d.) esx(x 3)HacemosQu hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:Producto (multiplicacin) de fracciones algebraicasPara multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.Veamos qu significa esto:Sea una fraccin algebraica cualquiera que est multiplicada por otra, entonces:Veamos ahora ejemplos de multiplicacin (producto) de fracciones algebraicasMultiplicarAnotamos la multiplicacin de los numeradores y de los denominadores:Simplificamos antes de efectuar el producto:Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

Ejemplos desarrolladosa)b)c)