Cartilla didáctica para la enseñanza del máximo común ...

Cartilla didáctica para la enseñanza del máximo común divisor (M.C.D) y el mínimo común múltiplo (M.C.M),

aplicada a la resolución de problemas

Lina Marcela Muñoz Jaramillo

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Medellín, Colombia

2020

Cartilla didáctica para la enseñanza del máximo común divisor (M.C.D) y el mínimo común múltiplo (M.C.M),

aplicada a la resolución de problemas

Lina Marcela Muñoz Jaramillo

Tesis o trabajo de investigación presentada(o) como requisito parcial para optar al título

de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Directora:

Magíster en Educación y Desarrollo Humano María Encarnación Ramírez Escobar

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Medellín, Colombia

2020

Dedicatoria

A Dios como el motor de mi vida y a mi familia

por su apoyo, acompañamiento y comprensión

a lo largo de este proceso formativo, lo cual me

motivó a salir adelante en todo momento, pese

a las adversidades.

Agradecimientos

A mi directora la Magister María Encarnación Ramírez Escobar, quien con su

orientación, acompañamiento y aportes significativos, contribuyó a la realización de

mi trabajo.

A mis compañeros maestrantes, Ángela María Vélez Arroyave, Diana Mosquera

Correa y Erwin Fabián Romero Camacho, quienes desde sus valiosos aportes y

apoyo incondicional hicieron parte de este proceso.

Resumen y Abstract IX

Resumen

Este trabajo presenta la propuesta de una cartilla didáctica para la enseñanza del máximo

común divisor (M.C.D) y el mínimo común múltiplo (M.C.M), aplicada a la resolución de

problemas. En este sentido, la propuesta está dividida en tres fases, las cuales son: el

diagnóstico, el cual hace alusión al rastreo bibliográfico y cibergráfico sobre la enseñanza

actual del M.C.D y el M.C.M en el grado sexto, la intervención, la cual está directamente

relacionada con el diseño de la cartilla, las pautas de apoyo para el docente y el material

de apoyo para el estudiante, y la evaluación, donde todo el material relacionado en la fase

de intervención, será avalado desde el juicio de expertos en cuanto a su pertinencia. El

producto final será una herramienta de gran ayuda, tanto para docentes como para

estudiantes, ya que su manipulación y exploración no necesariamente se tiene que llevar

a cabo en el aula de clase y en compañía del docente, sino desde casa con el

acompañamiento de algún familiar o desde la autonomía del estudiante.

Palabras clave: Cartilla didáctica, enseñanza, resolución de problemas, máximo común

divisor y mínimo común múltiplo.

X Cartilla didáctica para la enseñanza del máximo común divisor (M.C.D) y el

mínimo común múltiplo (M.C.M), aplicada a la resolución de problemas

Abstract

This work presents the proposal of a didactic book for teaching the greatest common divisor

(G.C.D) and the least common multiple (L.C.M) applied to problem solving. In this sense,

the proposal is divided into three phases, which are: the diagnosis, which refers to the

bibliographic and cybernetic research on the current teaching of G.C.D and the L.C.M in

sixth grade, the intervention, which is directly related to the book design, teacher support

guidelines and student support material, and evaluation, where all the material related to

the intervention phase will be endorsed by the judgment of experts on its relevance. The

final product will be a very helpful tool, both for teachers and students, since its

manipulation and exploration doesn’t necessarily have to be done in the classroom and in

the company of the teacher or a partner, but from home, with the accompaniment of a

family member or from the autonomy of the student.

Keywords: didactic book, teaching, problem solving, the greatest common divisor and the

least common multiple.

Primer book for teaching the greatest common divisor (G.C.D) and the least common

multiple (L.C.M), applied to problem solving.

Contenido XI

Contenido

Dedicatoria ...................................................................................................................... V

Agradecimientos .......................................................................................................... VII

Resumen ........................................................................................................................ IX

Lista de figuras ............................................................................................................ XIII

Lista de tablas ............................................................................................................. XIV

Introducción..................................................................................................................... 1

1. Aspectos preliminares ............................................................................................. 3 1.1 Selección y delimitación del tema ........................................................................3 1.2 Planteamiento del problema ................................................................................3

1.2.1 Antecedentes ................................................................................................... 3 1.2.2 Descripción del problema ................................................................................ 7 1.2.3 Formulación de la pregunta ............................................................................. 9

1.3 Justificación.......................................................................................................10 1.4 Objetivos ...........................................................................................................11

1.4.1 Objetivo general............................................................................................. 11 1.4.2 Objetivos específicos ..................................................................................... 11

2. Marco referencial.................................................................................................... 12 2.1 Referente teórico ...............................................................................................12 2.2 Referente Disciplinar y/o Conceptual.................................................................14 2.3 Referente Legal o Normativo .............................................................................17 2.4 Referente Espacial ............................................................................................19

3. Diseño metodológico ............................................................................................. 20 3.1 Enfoque .............................................................................................................20 3.2 Método ..............................................................................................................21 3.3 Instrumentos de recolección de información ......................................................22 3.4 Población y muestra ..........................................................................................23 3.5 Delimitación y alcance .......................................................................................23 3.6 Programación de actividades ............................................................................24 3.7 Cronograma de actividades ...............................................................................25

4. Diseño de una cartilla: Una aventura con los múltiplos y los divisores ............ 26 4.1 Resultados y análisis de la intervención ............................................................26

4.1.1 Rastreo bibliográfico sobre las metodologías de la enseñanza actual del M.C.D y el M.C.M en el grado sexto. ........................................................................ 26

XII Cartilla didáctica para la enseñanza del máximo común divisor (M.C.D) y el


4.1.2 Rastreo cibergráfico sobre las metodologías de la enseñanza actual del M.C.D y el M.C.M, en el grado sexto. ....................................................................... 27

4.2 Diseño de la cartilla didáctica ............................................................................ 28 4.3 Pautas de apoyo para el docente ...................................................................... 72

4.3.1 Actividad # 1: ¿Qué tanto sabes de multiplicación y división? ....................... 72 4.3.2 Actividad # 2: Un concepto relacionado con la multiplicación. ....................... 73 4.3.3 Actividad # 3: Un concepto relacionado con la división .................................. 74 4.3.4 Actividad # 4: Cantidad de divisores. ............................................................. 75 4.3.5 Actividad # 5: Otra forma de expresar un número ......................................... 76 4.3.6 Actividad # 6: De los factores comunes y no comunes. ................................. 77 4.3.7 Actividad # 7: Resolviendo problemas ........................................................... 77 4.3.8 Actividad # 8: Pon a prueba qué tanto aprendiste. ........................................ 78

4.4 Material de apoyo para el estudiante ................................................................ 79 4.4.1 Ficha con canicas (Actividad # 1) .................................................................. 80 4.4.2 Ficha con rosas (Actividad # 1). .................................................................... 81 4.4.3 Tablero de juego (Actividades # 2 y # 3)........................................................ 82 4.4.4 Fichas recortables (Actividades # 2 y # 3) ..................................................... 83 4.4.5 Criba de Eratóstenes (Actividad # 4) ............................................................. 84 4.4.6 Botones de colores recortables (Actividad # 5) .............................................. 85 4.4.7 Descomposición con botones (Actividad # 5) ................................................ 86 4.4.8 Ficha con ponqués (Actividad # 8)................................................................. 87

4.5 Evaluación de la cartilla a partir de juicio de expertos ....................................... 88

5. Conclusiones y recomendaciones ....................................................................... 95 5.1 Conclusiones .................................................................................................... 95 5.2 Recomendaciones ............................................................................................ 97

Referencias ................................................................................................................... 98

A. Anexo: Libro los caminos del saber 6 ................................................................ 102

B. Anexo: Libro vamos a aprender Matemáticas 6 ................................................ 107

Lista de figuras XIII

Lista de figuras

Pág.

Figura 1. Ficha con canicas (Actividad # 1) .....................................................................80

Figura 2. Ficha con rosas (Actividad # 1).........................................................................81

Figura 3. Tablero de juego (Actividades # 2 y # 3) ...........................................................82

Figura 4. Fichas recortables (Actividades # 2 y # 3) ........................................................83

Figura 5. Criba de Eratóstenes (Actividad # 4) ................................................................84

Figura 6. Botones de colores recortables (Actividad # 5). ................................................85

Figura 7. Descomposición con botones (Actividad # 5) ...................................................86

Figura 8. Ficha con ponqués (Actividad # 8) ....................................................................87

XIV Cartilla didáctica para la enseñanza del máximo común divisor (M.C.D) y el


Lista de tablas

Pág.

Tabla 1 Normograma. Fuente: elaboración propia. ........................................................ 17

Tabla 2. Lista de chequeo. Fuente: elaboración propia ................................................... 22

Tabla 3. Programación de actividades. Fuente: elaboración propia. ............................... 24

Tabla 4. Cronograma de actividades. Fuente: elaboración propia. .................................. 25

Tabla 5. Lista de chequeo (Evaluador # 1). ..................................................................... 88

Tabla 6. Lista de chequeo (Evaluador #2) ....................................................................... 90

Introducción 1

Introducción

El desarrollo de este trabajo se plantea desde el diseño de una cartilla didáctica

para contribuir a la enseñanza de dos conceptos fundamentales como lo son el máximo

común divisor (M.C.D) y el mínimo común múltiplo (M.C.M), para aplicarlos a la resolución

de problemas, ya que año tras año ha sido una dificultad identificada en los estudiantes de

grado sexto.

Con esta propuesta se pretende subsanar la dificultad mencionada, y surge de la

realidad que se vive en la actualidad en medio de la contingencia por el COVID-19, donde

tanto estudiantes como docentes estamos alejados de las aulas de clase, motivo por el

cual los docentes nos vemos en la necesidad de utilizar diversas herramientas y

estrategias que permitan dar continuidad a los procesos educativos, desde diferentes

recursos que puedan ser manipulados y explorados por los estudiantes desde lugares

ajenos a la Institución Educativa, y no necesariamente bajo la orientación del docente.

El diseño de la cartilla consta de tres partes como lo son: el diseño del contenido

mediado desde elementos propios del constructivismo socio-cultural y la teoría de la

resolución de problemas de George Polya, a partir de los cuales el estudiante desde la

experimentación, análisis e interpretación de situaciones prácticas, suscita y consolida su

aprendizaje. En concordancia con el contenido de la cartilla, en una segunda parte, se

plantean unas pautas de apoyo para el docente, que le permiten direccionar y acompañar

la manipulación de la cartilla por parte de los estudiantes desde el aula de clase. En la

última parte, se propone un material de apoyo para el estudiante, a partir del cual podrá

interactuar con material concreto que le permitirá construir el proceso de solución de la

mayoría de las actividades propuestas.

2 Cartilla didáctica para la enseñanza del máximo común divisor

(M.C.D) y el mínimo común múltiplo (M.C.M), aplicada a la resolución

de problemas

Este documento se ha estructurado de la siguiente manera: primero, se plantean

unos aspectos preliminares, donde se describe el problema y se da una mirada a algunas

de las investigaciones que se han hecho en relación a éste, se formula la pregunta, la

justificación y los objetivos con miras a darle solución; en segundo lugar, se abordan los

referentes teóricos desde los cuales se construirá el trabajo, de la mano de los referentes

propios de la disciplina en cuestión necesarios para tal fin; en tercer lugar, se propone el

diseño metodológico acorde a la propuesta que se ha planteado, sobre los cuales se

realizó el diseño de la cartilla desde sus tres apartados, la cual está dirigida a estudiantes

de grado sexto de la Institución Educativa Enrique Olaya Herrera y de otras instituciones

que lo requieran; por último, se plantean las conclusiones y recomendaciones que se

desprenden de todo el proceso de construcción de la propuesta

1. Aspectos preliminares 3

1. Aspectos preliminares

1.1 Selección y delimitación del tema

Los estudiantes de grado sexto de la Institución Educativa Enrique Olaya Herrera,

presentan dificultades para diferenciar y operar con los conceptos de máximo común divisor

(M.C.D) y mínimo común múltiplo (M.C.M), lo que obstaculiza la solución de problemas en

relación a dichos conceptos.

1.2 Planteamiento del problema

1.2.1 Antecedentes

Para la realización de este de este trabajo, se llevará a cabo un rastreo bibliográfico a

nivel nacional e internacional, sobre los aspectos más importantes de La Teoría Elemental de

Números, en relación a la enseñanza de los conceptos del M.C.D y el M.C.M y la resolución

de problemas, asociada a dichos conceptos. Esto con el fin de identificar y rastrear qué tanto

se ha trabajado en relación a este tema y desde qué metodologías. Lo que permitirá obtener

insumos para el diseño de la cartilla didáctica, como herramienta para subsanar la dificultad

encontrada.

A partir de dicho rastreo, se encontró lo siguiente:

Antecedentes Nacionales

Gómez (2012, pág. 9), con su trabajo de grado: “Funciones multiplicativas y su

proyección didáctica al aula de clase”, planteó el estudio de algunas funciones, partiendo de

conceptos propios de La teoría Elemental de Números, tales como: números primos, números

compuestos, máximo común divisor y mínimo común múltiplo, entre otros, para lo cual diseñó

4 Cartilla didáctica para la enseñanza del máximo común divisor (M.C.D) y el


y estructuró unidades didácticas para el estudio de algunas funciones, a través del programa

DERIVE. Esto con el fin de que los estudiantes vayan más allá de lo que manualmente pueden

hacer al momento de abordar las funciones.

En otro sentido Cárdenas & González (2016, pág. 4), en su trabajo de grado titulado:

“Estrategia para la resolución de problemas matemáticos, desde los postulados de Polya

mediada por las TIC, en estudiantes de grado octavo del instituto Francisco José de Caldas”,

identificaron cuáles son las estrategias que utilizan los estudiantes para solucionar problemas

matemáticos, fortaleciendo este proceso a partir de las cuatro etapas de resolución de

problemas que plantea George Polya, utilizando como herramienta las TIC como elemento de

interacción y flexibilidad para los estudiantes.

Por otro lado, en el trabajo de grado titulado: “Proyecto de aula, para la enseñanza de

la divisibilidad en el grado sexto, en la Institución Educativa Tulio Ospina de la ciudad de

Medellín”, el autor abordó aspectos relacionados con divisibilidad, con miras a aumentar los

niveles de aprendizaje en los estudiantes, sobre la temática en cuestión, por medio de un

estudio de casos, donde a partir de los resultados de la prueba diagnóstica, se diseñaron

unidades didácticas a partir de situaciones problema, con el fin de despertar curiosidad en los

estudiantes, para que se apropien de su proceso y de los resultados de su aprendizaje

(Pulgarín, 2016, pág. 9).

Así mismo Bran (2017, pág. 9), con su trabajo de grado: “Desarrollo de competencias

matemáticas que contribuyen al pensamiento numérico a través del razonamiento y la

resolución de problemas”, tuvo como objetivo diseñar una estrategia para la enseñanza de la

Teoría de Números, que favorezca el pensamiento numérico, y la resolución de problemas en

los estudiantes, partiendo del modelo de la institución educativa, donde se tiene en cuenta los

intereses y habilidades de los estudiantes.

La propuesta consiste en la aplicación de diversas actividades que permitieron la

mejoría de resultados académicos en los estudiantes, al igual que el fortalecimiento de la

autonomía por parte de ellos.


Por su parte, en este trabajo de grado titulado: “Propuesta de enseñanza para el

mínimo común múltiplo y máximo común divisor, fundamentada en la teoría de la indagación”,

sus autoras abordaron la enseñanza del mínimo común múltiplo y el máximo común divisor, a

partir del diseño de una unidad didáctica basada en la metodología de la indagación. En esta

investigación se partió de los diarios de campo de los docentes para identificar prácticas

cotidianas del docente, frente a la enseñanza de este tema, donde se analizaron los datos con

base a tres categorías: secuencia didáctica, competencia científica e interactividad (Zapata &

Soto, 2017, pág. 8).

Por otro lado, la autora del trabajo titulado: “Estrategia pedagógica para el

aprovechamiento de aplicaciones educativas para fortalecer las habilidades de resolución y

planteamiento de problemas en el aprendizaje de las matemáticas”, planteó e implementó su

propuesta, tomando un grupo de control y un grupo experimental de grado sexto, para los

cuales aplicó un pre-test y un post-test, en relación a la resolución del planeamiento y

resolución de problemas, tomando como base los ambientes virtuales de aprendizajes y las

TIC (Rincón, 2019, pág. 16).

Antecedentes internacionales

En la tesis doctoral: “Análisis de la comprensión de divisibilidad en el conjunto de los

números naturales”, el autor parte de las formas en que los estudiantes entre 12 y 17 años de

edad, conocen y construyen el conocimiento en relación a los conceptos propios de la

divisibilidad en los números naturales. Con base en esto, el autor realizó un análisis histórico

sobre los contenidos que se abordan en relación con la divisibilidad, a partir del desarrollo del

currículo en España (Bodí, 2006, pág. 13).

Por otra parte, los autores del artículo titulado: “Desarrollo instruccional sobre

estrategias de enseñanza de la resolución de problemas matemáticos dirigido a docentes de

primer grado de Educación Básica. Caso colegio San Ignacio”, partieron de los conocimientos

que tienen los docentes en cuanto a la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos,

donde se determinó la falencia que tiene los docentes en cuanto a la implementación de

estrategias adecuadas para tal fin. Con base en esto, se presentó un diseño instruccional para

docentes, que consta de tres elementos claves a manera de guía que pueden utilizar con sus

estudiantes (Pérez & Ramírez, 2008, pág. 123).



En el mismo sentido Ortega, Pecharroman, & Sosa (2011, pág. 99), en el artículo

titulado: “La importancia de los enunciados de problemas matemáticos”, hablan de la

importancia de la heurística en las matemáticas, y plantean problemas creativos para los

estudiantes, donde se integra la matemática como tal, con situaciones de la vida real y de

otras áreas del conocimiento; esto con el fin de que los problemas planteados para los

estudiantes, llamen su atención y sean resueltos para fortalecer procesos de pensamiento en

ellos.

Por otro lado, en su trabajo de grado: “propuesta didáctica para la enseñanza del

mínimo común múltiplo y el máximo común divisor”, el autor presenta una propuesta didáctica

partiendo de la necesidad de vincular conceptos matemáticos con problemas de la

cotidianidad, el entorno y en relación con otras asignaturas, con el fin de ahondar en la

resolución de problemas. La propuesta se basa en implementación de los fundamentos de la

enseñanza cognitiva, aplicada tanto a los docentes como a los estudiantes (Guevara, 2012,

pág. 7).

De igual manera, los autores de este artículo titulado: “La influencia del enunciado en

la resolución de problemas de M.C.D y M.C.M de estudiantes para maestros”, presentan los

resultados de una investigación, donde partieron de que los estudiantes presentan dificultades

para resolver problemas matemáticos en esta temática, debido a que no comprenden o

identifican las palabras claves en el enunciado, que les permiten diferenciar entre múltiplo y

divisor, y si es una situación en relación al M.C.D o al M.C.M (Martínez, 2015, pág. 343).

Del mismo modo González (2015, pág. 73), en el artículo titulado: “Resultados

preliminares de una investigación para el estudio de las dificultades en problemas del M.C.D

y el M.C.M”, sus autores presentan los resultados previos de una investigación, en relación a

los conceptos del máximo común divisor (M.C.D.) y mínimo común múltiplo (M.C.M),

específicamente en el campo de la resolución de problemas, donde pretenden evaluar si la

dificultad de los estudiantes en este aspecto, radica en que no involucran los referentes que

tienen sobre múltiplo y divisor o no entienden las palabras claves del problema para elegir

entre M.C.D o M.C.M.


Del rastreo anteriormente descrito y otras búsquedas que he realizado sobre qué

metodologías se han implementado en relación a la enseñanza de la temática en cuestión, se

encontraron trabajos que fueron implementados en el aula a través de una secuencia de

actividades, las cuales fueron sistematizadas, analizadas y tabuladas, con el fin de verificar si

permitieron dar solución a una problemática. Hasta el momento, no se han encontrado cartillas

ni físicas ni virtuales, que permitan solucionar esta problemática en los estudiantes de grado

sexto, lo que le da validez a este trabajo, aportando como elemento diferenciador, el diseño

de la cartilla como un material que en cualquier momento se podría implementar en el aula,

pero que también los estudiantes pueden trabajar de forma autónoma fuera de ella, lo que

permite que también sea un instrumento útil y valioso para el docente.

1.2.2 Descripción del problema

Esta asignatura no ha sido del agrado de los estudiantes, aunque sea ampliamente

demostrada su importancia y aplicación en la vida cotidiana. Aunque se encuentran avances

significativos en la didáctica de las matemáticas, en la escuela se sigue considerando una de

las áreas de conocimiento más difíciles y en general, a la que más se muestra rechazo por

parte de los estudiantes.

En particular, en el desempeño de mi labor docente, en la Institución Educativa Enrique

Olaya Herrera, he observado que los estudiantes en general no sienten afinidad y gusto por

las matemáticas, porque encuentran que son aburridas, poco interesantes y poco aplicables

a la vida cotidiana; por la “complejidad” de los procedimientos algorítmicos que requiere, por

su enfoque práctico, precisión, lógica y rigurosidad, manteniendo así una distancia con esta

disciplina.

Es común, que los docentes de matemáticas nos encontremos en las aulas de clase

con estudiantes que presentan dificultades al resolver problemas, debido a que no hacen una

lectura minuciosa y detallada del problema, por lo que no comprenden el enunciado de éste,

no hacen uso adecuado de los datos dados, por lo que no llevan a cabo un razonamiento

lógico adecuado para la ejecución de procedimientos algorítmicos concretos que les permita

llegar a la solución, además, no justifican, argumentan o explican el procedimiento realizado,

ya que carecen de herramientas para poder hacerlo.



Es por esto, que debemos reflexionar sobre nuestra práctica docente, a través de la

deconstrucción de nuestras prácticas pedagógicas, en pro de una transformación educativa;

ya que esta apatía y desinterés, en parte, tiene que ver con las formas de enseñar de los

docentes, los cuales muchas veces caemos en el error de enseñar de una forma mecánica y

rutinaria, asumiendo que los estudiantes están apropiados de ciertas temáticas, sin incitarlos

a cuestionarse del porqué de las cosas, y de la interpretación y significado de los resultados

obtenidos.

En cierta forma, esto afecta los procesos y desempeño académico de los estudiantes

en el área en cuestión, problema que evidencia la falta de herramientas pedagógicas

pertinentes que ayuden a fortalecer la motivación en los estudiantes para lograr un aprendizaje

significativo con un alto nivel de compresión de los conceptos abordados, integrando el saber

disciplinar y el saber pedagógico de las matemáticas dentro del aula, siendo este el primer

lugar donde se fortalece la construcción del conocimiento.

Si bien es cierto que la problemática es transversal a la enseñanza de las matemáticas

en general, en el grado sexto se magnifica cuando se abordan los temas propios de la Teoría

Elemental de Números, tema que aporta a la actividad matemática grandes fundamentos, en

especial al pensamiento numérico y los sistemas numéricos; el M.C.D y el M.C.M son

conceptos en los que el estudiante presenta marcadas dificultades, que se evidencian en la

solución de situaciones problema. Entre estas dificultades, se observa: no diferenciar entre

múltiplo y divisor, no diferenciar entre número primo y compuesto, dificultades al multiplicar y

al dividir, la no apropiación o desconocimiento de los criterios de divisibilidad, las propiedades

de la potenciación y realizar procedimientos de forma mecánica; lo que lleva a no dar al tema

la importancia que merece, no encontrarle aplicabilidad y confundir ambos conceptos.

Si los estudiantes continúan con las confusiones descritas anteriormente, esto podría

implicar errores en la aplicación de conceptos que implican el empleo de estos procedimientos,

por ejemplo, del M.C.M, para la adición y/o sustracción de números racionales en forma

fraccionaria, por no mencionar conceptos más avanzados y abstractos como M.C.D., y M.C.M.

de expresiones algebraicas, y su aplicación para operar fracciones algebraicas” (Bran, 2017,

pág. 23).


Por otra parte, desde los informes de la I. E. Enrique Olaya Herrera del cuatrienio:

Análisis histórico y comparativo de los resultados institucionales en las Pruebas Saber 3°, 5°

y 9° entre los años 2014 y 2018, se observa que el 77% de los estudiantes de grado tercero,

no resuelven ni formulan problemas multiplicativos rutinarios y que el 75% de los estudiantes

de grado noveno, no resuelven problemas en situaciones aditivas y multiplicativas en el

conjunto de los Números Reales (MEN, 2018).

Este análisis y otros que hacemos constantemente en nuestro quehacer dentro del

aula y a nivel institucional, permiten determinar que las falencias o dificultades no solo radican

en los estudiantes, sino también en los docentes, lo cual nos aleja significativamente del

propósito de formar al estudiante, no sólo para que responda ante unos resultados

académicos, sino también en su capacidad de enfrentarse a situaciones de la vida cotidiana,

poniendo en práctica y contextualizando los conocimientos adquiridos.

De la mano de la dificultades anteriormente mencionadas, y dada la realidad y

necesidad que hoy vivimos en el ámbito educativo, en medio de la contingencia por COVID-

19, surge esta idea de diseñar una cartilla didáctica como herramienta para la enseñanza y

por ende el aprendizaje de la Teoría Elemental de Números, enfocada propiamente en la

aplicación del M.C.D y el M.C.M a la resolución de problemas, la cual servirá como insumo

tanto para el docente como para el estudiante, atendiendo a la realidad de que hoy no estamos

en las aulas y tardaremos en volver a ellas. Esta cruda e inesperada realidad, dio luces para

el diseño de esta cartilla, como una forma de enseñar a través de un material didáctico que

pueda ser manipulado y entendido fácilmente por el estudiante, no sólo en tiempos de

contingencia, sino en cualquier momento de la normalidad escolar.

1.2.3 Formulación de la pregunta

En aras de fortalecer el pensamiento numérico, a través de una herramienta didáctica,

para la enseñanza del M.C.D y el M.C.M, aplicada a la resolución de problemas en el grado

sexto de la Institución Educativa Enrique Olaya Herrera, partiré de la siguiente pregunta de

investigación:



¿Cómo estructurar una cartilla didáctica para la enseñanza del M.C.D y el M.C.M en el

grado sexto, aplicada a la resolución problemas, en la Institución Educativa Enrique Olaya

Herrera?

1.3 Justificación

Desde los estándares básicos de calidad y los lineamientos curriculares del Ministerio

de Educación Nacional MEN (1998), se observa que, desde la básica primaria, se abordan los

cimientos de la Teoría Elemental de Números en relación al pensamiento numérico, pero ésta

se trabaja a mayor profundidad en el grado sexto, donde se trabajan sus componentes desde

lo conceptual y algorítmico en relación a la estructura multiplicativa y los conceptos de M.C.D

y M.C.M, proyectando su aplicación a la resolución de problemas.

Además, hay una necesidad sentida por mejorar las prácticas de aula, generando e

implementando estrategias que permitan fortalecer el desarrollo de competencias en los

estudiantes en el aprendizaje de los conceptos de M.C.D y M.C.M, sus aplicaciones para la

vida cotidiana y su relación con otras disciplinas y áreas del conocimiento.

Es de resaltar que la diferenciación, apropiación, construcción de conceptos, y la

realización de procedimientos algorítmicos son de vital importancia en el campo matemático,

pero éstas no son el único fin de la enseñanza de la matemática en el aula, ya que debemos

buscar que los estudiantes vayan mucho más allá, poniendo en contexto lo aprendido,

aplicándolo en la resolución de problemas, en situaciones de la vida diaria y analizando e

interpretando los resultados obtenidos, con el fin de realizar una visión retrospectiva de lo

aprendido, con miras a que los estudiantes se cuestionen constantemente, sean críticos y

reflexivos frente a las relaciones entre los conceptos y los procedimientos algorítmicos en

relación a éstos. Es por esto, que como docentes debemos partir de los conocimientos previos

que tengan los estudiantes, para que de esta manera puedan articularlos y reestructurarlos

con los nuevos conocimientos adquiridos, contextualizándolos dentro y fuera del aula.

La importancia y pertinencia de este trabajo radica en potenciar y fortalecer el desarrollo

del pensamiento numérico y de las competencias propias del área de matemáticas, a través

de la enseñanza y diferenciación de los conceptos del M.C.D y el M.C.M y su aplicación en la

resolución de problemas, por medio del diseño de una cartilla didáctica, sustentada

principalmente en el constructivismo de Vygotsky y en George Polya, como autor principal y


reconocido, que dio aportes significativos a la resolución de problemas, aspectos relevantes e

importantes para el diseño de esta cartilla. Estos elementos se relacionan como ejes

articuladores del proceso de enseñanza y aprendizaje, ya que permiten mejorar las prácticas

tanto de los estudiantes, con el fin de que reestructuren continuamente sus conocimientos

poniéndolos en práctica fuera del aula, para que realmente generen un aprendizaje

significativo y con sentido para ellos.

1.4 Objetivos

1.4.1 Objetivo general

Diseñar una cartilla didáctica que contribuya a la enseñanza del M.C.D y el M.C.M,

aplicada a la resolución de problemas, para los estudiantes de grado sexto de la I.E Enrique

Olaya Herrera.

1.4.2 Objetivos específicos

Realizar rastreo bibliográfico físico y virtual, sobre las metodologías de la enseñanza actual

del M.C.D y M.C.M. en el grado sexto.

Diseñar el contenido de la cartilla didáctica que contribuya a la enseñanza del M.C.D y el

M.C.M, aplicada a la resolución de problemas.

Validar la pertinencia de la cartilla a través del juicio de expertos.



2. Marco referencial

2.1 Referente teórico

Para esta propuesta de diseñar una cartilla didáctica, como herramienta de enseñanza

para subsanar una dificultad que se ha identificado al interior del aula, en relación a una

temática específica, es necesario partir de aquellos elementos principales de una o varias

teorías, como insumos de apoyo para el proceso de reflexión pedagógica y constructo

epistemológico. Para este caso particular, se tomarán referentes propios del constructivismo

y la resolución de problemas.

Gran parte de este diseño se desarrollará a partir del constructivismo socio-cultural,

donde es factor fundamental la interacción de los estudiantes con situaciones prácticas que

permitan su aplicación con la realidad, desde el contexto de la cotidianidad, con el fin de que

se apropien de los conceptos matemáticos propios de la temática a tratar. Es por esto que el

constructivismo brinda herramientas que orientan el quehacer pedagógico, partiendo de los

preconceptos que manejan aquellos actores hacia quienes va dirigido el proceso de

enseñanza.

La necesidad sentida de innovar, cambiar y actuar acordes a la realidad que hoy se

vive, en medio de la contingencia del COVID-19, permite hacer posible el diseño de esta

propuesta, como una herramienta de gran importancia tanto para el docente, como para el

estudiante, permitiendo que éste interactúe con contenidos y actividades variadas que

promuevan su aprendizaje, desde un escenario que no necesariamente sea el aula de clase

y la clase de matemáticas.

2. Marco referencial 13

Por otro lado, la teoría constructivista de Piaget, plantea cómo las estructuras del

pensamiento evolucionan, permitiendo al sujeto un proceso de adaptación a la realidad, en

este sentido, el estudiante es un sujeto activo, que puede reorganizar información en pro de

su propio progreso. El papel del docente, en este sentido, es de gran importancia, porque debe

brindar al estudiante ambientes de aprendizaje acordes al nivel de desarrollo de éste,

permitiendo que el conocimiento sea construido de forma activa, para que sea comprendido

significativamente (Saldrarriaga, Bravo, & Loor-Rivadeneira, 2016).

Así como el constructivismo socio-cultural es un aspecto fundamental para el diseño

de esta cartilla, también se tomarán elementos importantes de la resolución de problemas, ya

que ambos aspectos se articularán, con el fin de que los estudiantes interactúen de una forma

autónoma, con los diversos contenidos y actividades que les brindará la cartilla.

En este sentido, Díaz M. d. (2005), manifiesta que la resolución de ejercicios y

problemas es un método de enseñanza que sirve como herramienta fundamental, en pro de

lo que se pretende que los estudiantes alcancen en función de competencias. Su utilización,

parte de la necesidad de que los estudiantes ejerciten y pongan en práctica los conocimientos

previos que tienen, relacionándolos con la nueva situación a la cual se enfrentan, con el fin de

adquirir un aprendizaje significativo.

Respecto a la resolución de problemas, son muchos los autores que se han referido a

ésta, como un elemento fundamental en la enseñanza de la matemática; en este caso

particular se abordarán referentes teóricos principalmente sobre George Polya como su

precursor y autor principal, y como el referente base para el diseño de algunos de los

contenidos de la cartilla.

Polya (1979) citado por Díaz, Pinto, & Juan (2015, pág. 10), planteó una estrategia,

que, en resumen, consistió en elaborar un paso a paso o etapas detalladas, secuenciales y

de forma ordenada. Dichos pasos o etapas en su orden, establecen: Comprender el problema,

concebir un plan, ejecutar el plan y examinar la solución obtenida. En este orden de ideas,

para cada etapa, planteó una serie de preguntas, que permiten ahondar y profundizar en cada

una de éstas, para acompañar el desarrollo del proceso. El ideal, es que una vez que se han

llevado a cabo las cuatro etapas, se dé por solucionado el problema planteado.



En síntesis, tanto el constructivismo socio-cultural, como la teoría en relación a la

resolución de problemas, se articularán en el contenido de la cartilla, como dos insumos

fundamentales que permitirán su diseño, dando respuesta a una necesidad sentida, acorde a

la realidad actual que estamos viviendo en medio de la contingencia que ha generado el

coronavirus a nivel mundial, la cual nos ha obligado a hacer uso de otros recursos, para

acercarnos a nuestros estudiantes, con el fin de dar “continuidad” a los procesos educativos.

Si bien es cierto que el papel del docente es fundamental en el proceso educativo, hoy

más que nunca y en medio de la contingencia que nos obliga a alejarnos de las aulas,

debemos promover el auto aprendizaje o aprendizaje autónomo en los estudiantes, para que

tomen conciencia, controlen, regulen y gestionen su propio aprendizaje de una forma libre e

independiente, pero sin perder de vista el objetivo al cual apuntan, esto con el fin de desarrollar

en ellos la capacidad de solucionar problemas dando una mirada global a aspectos tales como

la reflexión, el análisis y la toma de decisiones en diversos contextos y escenarios de vida.

2.2 Referente Disciplinar y/o Conceptual

Desde los estándares básicos de competencias (EBC) y los Derechos básicos de

aprendizaje (DBA), como algunos de los referentes legales en Colombia, los ejes temáticos

propios de La Teoría Elemental de Números, se establecen como un requerimiento propio del

grado sexto, dada la importancia de su enseñanza en las matemáticas, con el fin de brindar

herramientas a los estudiantes, que les permitan desarrollar competencias propias del área,

para ponerlas en práctica en diferentes contextos, con miras a adquirir una educación de

calidad.

Desde los documentos anteriormente mencionados, se redirecciona constantemente el

papel que deben jugar tanto los docentes como los estudiantes, en cuanto a lo que debe ser

enseñado y aprendido, frente a la construcción del conocimiento, no solo con el fin favorecer

y fortalecer la comprensión de las matemáticas, sino también, para generar herramientas que

les permita a los estudiantes explorar y comprender su realidad, poniéndola en contexto frente

a la sociedad (Murcia & Juan, 2015, pág. 25).


La Teoría Elemental de Números, abarca temáticas que son de gran importancia y

aplicación en posteriores temáticas que requieren de su claridad y apropiación; haciendo

referencia específicamente del M.C.D y el M.C.M, es importante que los estudiantes

diferencien ambos conceptos para calcularlos correctamente y aplicarlos posteriormente en

temáticas tales como la factorización de expresiones algebraicas, y la suma y resta de

fracciones heterogéneas, temáticas de gran importancia y aplicación, que los estudiantes

verán en grados superiores. Pero más que diferenciar dichos conceptos y operar con ellos de

forma aislada, es necesario que los estudiantes se enfrenten a la resolución de problemas que

los involucran, con el fin de desarrollar y fortalecer el pensamiento matemático que enmarca

tal fin.

El desarrollo del pensamiento numérico hace referencia a la comprensión del significado

de los números, y cómo usarlos en diversos contextos, por esto, es importante que los

docentes acerquemos a los estudiantes de cualquier grado de escolaridad a las matemáticas,

relacionando situaciones de la cotidianidad, de otras ciencias y del contexto en el cual se

desenvuelven los estudiantes; esto con el fin de que pongan en práctica lo aprendido,

desarrollando procesos de pensamiento para fortalecer las competencias propias de las

matemáticas, para entender el sentido y utilidad de éstas en la actualidad.

Otro indicador valioso del pensamiento numérico es la utilización de las

operaciones y de los números en la formulación y resolución de problemas y

la comprensión de la relación entre el contexto del problema y el cálculo

necesario, lo que da pistas para determinar si la solución debe ser exacta o

aproximada y también si los resultados a la luz de los datos del problema son

o no razonables (MEN, 1998, pág. 26).

En concordancia con lo anterior, se puede decir que un elemento fundamental de la

actividad matemática, es el planteamiento y la resolución de problemas, donde se debe partir

de la comprensión de la situación planteada, buscando relaciones con problemas similares,

realizando elaboraciones mentales, planteando preguntas, respuestas y todos los demás

elementos que el problema pueda brindar. Para esto, se requiere de la flexibilización de los

conceptos y procedimientos que permitan reestructurar el problema y darle una posible

solución. En este sentido, el razonamiento juega un papel fundamental, porque permite

argumentar le porqué de la solución obtenida, el camino que siguió para llegar a ella y la

veracidad y objetividad de la solución encontrada (MEN, 2006, pág. 51).



La temática a abordar en este trabajo, enmarca la relación de varios conceptos y

procedimientos, en cadena y secuenciales, que permiten la apropiación y diferenciación de

los unos con los otros, de acuerdo con sus características y propiedades, los cuales

posteriormente se utilizan para otros temas que requieren de su aplicación, y no solo en

matemáticas, sino en otras áreas del conocimiento. En este sentido, los contenidos de la

cartilla serán:

Actividad diagnóstica.

Múltiplos.

Divisores.

Números primos y compuestos.

Criterios de divisibilidad.

Descomposición de números en factores primos.

M.C.D (Máximo Común Divisor).

M.C.M (Mínimo Común Múltiplo).

Resolución de problemas con M.C.D y M.C.M.

Actividad final.


2.3 Referente Legal o Normativo

Tabla 1 Normograma. Fuente: elaboración propia.

NORMATIVIDAD TEXTO DE LA NORMA CONTEXTO DE LA

NORMA

Constitución

Política Colombiana,

Artículo 67

“La educación es un

derecho de la persona y un

servicio público que tiene una

función social... la ciencia, a la

técnica, y a los demás bienes y

valores de la cultura.”

Fomenta la

formación de los niños y

adolescentes, con el

propósito de que pongan

en práctica lo aprendido en

los diferentes contextos

que enmarcan la sociedad.

Ley general de la

Educación (ley 115 de

1994), Artículo 5,

“La adquisición y

generación de los conocimientos

científicos y técnicos más

avanzados...hábitos

intelectuales adecuados para el

desarrollo del saber.”

A través de los fines

de la educación, se

pretende que las personas

que acceden a los servicios

educativos, en pro de la

formación científica y

tecnológica.

Lineamientos

Curriculares para el área

de Matemáticas de 1998.

Ministerio de Educación

Nacional de Colombia

(MEN).

“Este documento se

presenta a consideración de los

docentes de los niveles de la

educación básica y media que

orientan y desarrollan el área de

matemáticas en el país.”

Son referentes

curriculares que sirven

como guía y apoyo a los

docentes, enfáticamente

en lo relacionado en para

qué y cómo enseñar

matemáticas.

Estándares

Básicos de Competencias

(EBC) en Matemáticas del

MEN (2006)

“En Colombia, desde los

inicios de la República hasta la

década de los setenta, la

contribución de la formación

matemática a los fines generales

de la educación por su aporte al

Estos son criterios o

referentes claros, que dan

cuenta de lo que el

estudiante debe saber de

acuerdo a su grado de

escolaridad, para

desarrollar las



desarrollo de la ciencia y la

tecnología en el país.”

competencias en

matemáticas.

Derechos Básicos

de Aprendizaje (DBA) en

Matemáticas del MEN

(2016)

“Su importancia radica en

que plantean elementos para

construir rutas de enseñanza

que promueven la consecución

de aprendizajes año a

año…propuestos por cada grupo

de grados.”

Promueven la

flexibilidad curricular y la

consecución año a año de

lo que los estudiantes

deben aprender en pro de

alcanzar los EBC.

Malla Curricular de

matemáticas (2018)

“Las mallas de

aprendizaje son un recurso para

la implementación de los

Derechos Básicos de

Aprendizaje, que permitirá

orientar a los docentes… y cómo

pueden desarrollar actividades

para este fin.”

Como estructura

general del área, organiza

los contenidos a abordar.

En cierta forma, garantizan

que los temas

determinados de cada

grado si sean

desarrollados.

Decreto 457 de

marzo de 2020

Decreto 593 de

abril de 2020

Medidas

establecidas por el

Gobierno Nacional, el 19

de mayo de 2020

“Por medio de los cuales

se imparten instrucciones para el

cumplimiento del Aislamiento

Preventivo Obligatorio en todo el

territorio nacional”

De la mano de

estos decretos, el

presidente de la república

emitió un comunicado

donde establece que, hasta

el 31 de julio las clases

serán virtuales en todo el

país, bajo la modalidad de

estudio en casa, tanto para

los jardines, instituciones

educativas públicas,

privadas y para la

educación superior.


2.4 Referente Espacial

La Institución Educativa Enrique Olaya Herrera está ubicada en la Calle 71A #32-18 en

el barrio Manrique Oriental, de la ciudad de Medellín y pertenece al núcleo educativo 916. Las

familias de la Institución Educativa pertenecen a los estratos 1 y 2, las ocupaciones de los

padres de familia, generalmente están entre amas de casa, vigilantes, oficios varios y trabajos

independientes. Dentro de la población se cuenta con afrodescendientes, necesidades

educativas especiales (NEE), indígenas, con discapacidad y algunos en situación de

desplazamiento. En este sentido, la institución le apuesta a la inclusión como herramienta

fundamental para la educación integral de los estudiantes y su proceso formativo.

La Institución Educativa Enrique Olaya Herrera, en el PEI, determina que el modelo a

seguir es el modelo pedagógico Social-Cognitivo, al considerarlo el de mayor correspondencia

con el horizonte institucional definido. El modelo pedagógico y el PEI son un eje articulador de

las prácticas pedagógicas en pro del mejoramiento continuo.

La Institución tiene claro que la educación de los niños y jóvenes del sector de Manrique

Oriental, es una labor de formación para la responsabilidad social, promoviendo un proceso

de liberación constante, mediante la formulación de alternativas de acción al confrontar

colectivamente situaciones reales; lo que fomenta la participación y empoderamiento que se

necesita, incidiendo y transformando significativamente las realidades sociales que configuran

el contexto. Dicha formación, se encuentra fundamentada en una visión actual y renovada de

la ciencia, en un acercamiento permanente a la tecnología y sus aplicaciones, en el

conocimiento y difusión de la cultura y en el ejercicio permanente de los valores. En este

sentido, resulta pertinente el modelo social cognitivo que permite interpretar las realidades

sociales que se tienen en el contexto y construir tejido social, a través del ejercicio de una

participación ciudadana, autónoma y responsable (I.E. Enrique Olaya Herrera, 2018, pág. 56).



3. Diseño metodológico

3.1 Enfoque

Esta propuesta está enmarcada en la investigación de corte cualitativo, que de la mano

de la investigación-acción educativa (I-A-E), enfocada a maestros investigadores, menciona

tres etapas fundamentales en el proceso: La deconstrucción de la práctica pedagógica del

maestro, la reconstrucción de dicha práctica y la evaluación de la práctica reconstruida. La

deconstrucción de la práctica pedagógica del maestro, puede entenderse como el proceso

mediante el cual el docente hace retrospección, mira hacia atrás, se evalúa y reconoce sus

debilidades, con miras a cambiar la enseñanza de sus prácticas. La reconstrucción de sus

prácticas, hace referencia a aquellos aspectos positivos que puede tomar en cuenta a partir

de su desconstrucción, para complementarlos con su nueva trasformación, con el fin de

producir un saber pedagógico nuevo, y, por último, en la evaluación de la práctica reconstruida,

dejará actuar su nueva práctica por determinado tiempo, para analizar resultados de su

transformación (Restrepo, 2002).

De la mano de la investigación-acción educativa, se encuentra el paradigma socio-

critico, donde el conocimiento se construye por intereses, que parten de unas necesidades.

Dicha construcción debe hacerse de una manera reflexiva y crítica, donde los autores del

proceso, analicen su propio contexto, con miras a dar solución a las problemáticas o

dificultades que se presentan en dicho proceso. Desde este paradigma, se pretenden obtener

resultados positivos, con el fin de promover cambios y trasformar experiencias (Unzueta,

2011).

En este sentido, según Alvarado & García (2008), el paradigma socio-crítico permite

transformar las relaciones y realidades sociales, partiendo de la acción reflexiva y crítica para

la construcción del conocimiento, mediante un proceso de interacción constante de

3. Diseño metodológico 21

construcción y reconstrucción de la teoría y la práctica, con el fin de resolver ciertos problemas

que surgen de dichas relaciones sociales.

3.2 Método

Las fases en relación a la investigación-acción educativa y la investigación de corte

cualitativo, que son: el diagnóstico, la intervención y la valoración o evaluación, deberán ser

modificadas para dar cumplimiento a los objetivos propuestos en este trabajo. En este orden

de ideas, las fases a desarrollar establecen:

El diagnóstico: Se partirá del rastreo bibliográfico (estado del arte), de los trabajos

relacionados con la dificultad a tratar, el constructivismo social, las etapas de la resolución de

problemas y referentes curriculares propios de la temática, como elementos base para la

construcción de la propuesta. De igual forma y en concordancia con el primer objetivo

propuesto, se realizará rastreo bibliográfico físico y virtual, sobre las metodologías de la

enseñanza actual del M.C.D y M.C.M en el grado sexto.

La intervención: Ésta se va a llevar a cabo a través del diseño de la cartilla, tomando

como referencia el rastreo bibliográfico sobre las metodologías de la enseñanza actual del

M.C.D y M.C.M en el grado sexto, de la mano de los referentes teóricos que la sustentarán,

con el fin de contribuir al mejoramiento del aprendizaje de dichas temáticas, y con miras a dar

solución a la dificultad encontrada. Esta fase corresponderá al cumplimiento del segundo

objetivo de la propuesta.

La evaluación: Una vez ejecutadas las dos fases anteriores, donde ya se tendrá la

cartilla terminada, dando cumplimiento al tercer objetivo propuesto, ésta se someterá a

validación a través de juicio de expertos, para avalar su pertinencia. Una vez se haya dado

cumplimiento a lo hasta aquí planteado, finalmente será enviado a evaluación externa, de

donde surgirán sugerencias y aportes para realizar las correcciones finales que se requieran.



3.3 Instrumentos de recolección de información

Respecto a los instrumentos de recolección de información, para el diseño de la cartilla,

se tendrán en cuenta aspectos tales como:

Libros escolares como herramienta de apoyo e insumo para determinar cómo se

planeta en la actualidad la enseñanza actual del M.C.D y M.C.M, búsquedas en internet, sobre

cómo desde la virtualidad se aborda dicha temática en el contexto actual, elaboración del

material que hará parte del contenido de la cartilla y, por último, una lista de chequeo que le

permitirá a los expertos evaluar la cartilla una vez diseñada.

Tabla 2. Lista de chequeo. Fuente: elaboración propia

ASPECTO A EVALUAR

CUMPLE OBSERVACIONES Y SUGERENCIAS

SI NO

Título acorde a la temática

Pertinencia de la introducción

Secuencialidad en las temáticas

Imágenes apropiadas

Claridad en los contenidos teóricos

Coherencia de los ejemplos con la teoría.

Actividades claras y variadas

Diseño llamativo para estudiantes de grado sexto

Imágenes apropiadas

Tipo y tamaño de letra acordes

Manejo adecuado de los colores


3.4 Población y muestra

La población a la cual está dirigido el diseño de la cartilla, corresponde a la Institución

Educativa Enrique Olaya Herrera, ubicada en el barrio Manrique Oriental de la ciudad de

Medellín; conformada por 1022 estudiantes de la básica primaria, la básica secundaria y la

media académica; los cuales pertenecen a los estratos 1 y 2, el equipo docente, conformado

por 35 personas, tres psicólogos que acompañan los procesos de entorno protector, MIAS y

la UAI, el personal de servicios generales, los miembros del equipo administrativo (secretarias,

coordinadores y rectora) y los padres de familia.

El diseño de esta propuesta está dirigida a los estudiantes del grado sexto de la

institución, cuyas edades oscilan entre los 11 y 14 años de edad.

3.5 Delimitación y alcance

Con el diseño de esta cartilla, se espera que los estudiantes diferencien conceptos

básicos de La Teoría Elemental de Números, y que sea una herramienta para la enseñanza

de esta temática, no sólo para los docentes y estudiantes de grado sexto de la Institución

Educativa Enrique Olaya Herrera, sino para los docentes y estudiantes de este grado a nivel

Nacional.



3.6 Programación de actividades

Para llevar a cabo el diseño de esta cartilla, se elaborará un cronograma de trabajo que

relaciona las fases con los objetivos como se muestra a continuación:

Tabla 3. Programación de actividades. Fuente: elaboración propia.

FASE OBJETIVO ACTIVIDADES

Fase 1:

Diagnóstico

Realizar rastreo bibliográfico

físico y virtual, sobre las

metodologías de la enseñanza

actual del M.C.D y M.C.M

1.1 Revisión de estado del arte

(trabajos y artículos en relación a la

temática a abordar)

1.2 Rastreo bibliográfico sobre el

constructivismo socio-cultural, y la

resolución de problemas.

1.3 Verificación de los referentes

curriculares, propios de la temática a

trabajar.

1.4 Revisión del modelo pedagógico

institucional.

1.5 Análisis de la enseñanza del

M.C.D y el M.C.M en la actualidad.

Fase 2:

Intervención

Diseñar el contenido de la

cartilla didáctica para

estudiantes y la guía para el

docente.

2.1. Elaboración de las diversas

actividades de la cartilla para

estudiantes.

2.2. Construcción de la guía para el

docente.

Fase 3:

Evaluación

Validar la pertinencia de la

cartilla a través del juicio de

expertos.

3.1. Evaluación de la cartilla en

cuanto a su pertinencia.

3.2. Corrección de la cartilla, con

base a los aportes y sugerencias de

los expertos.

Fase 4:

Conclusiones y

recomendaciones

Determinar el alcance y

pertinencia de la propuesta, con

base a los objetivos específicos

planteados.

4.1. Formulación de las conclusiones

y recomendaciones, como insumo

posterior al diseño de la cartilla.


3.7 Cronograma de actividades

Tabla 4. Cronograma de actividades. Fuente: elaboración propia.

ACTIVIDADES

SEMANAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Actividad 1.1 X X

Actividad 1.2 X X

Actividad 1.3 X X

Actividad 1.4 X X

Actividad 1.5 X X

Actividad 2.1 X X X X X X X

Actividad 2.2 X X

Actividad 3.1 X X

Actividad 3.2 X X

Actividad 4.1 X X



4. Diseño de una cartilla: Una aventura con los múltiplos y los divisores

4.1 Resultados y análisis de la intervención

4.1.1 Rastreo bibliográfico sobre las metodologías de la enseñanza

actual del M.C.D y el M.C.M en el grado sexto.

Si bien es cierto que, en la Institución Educativa Enrique Olaya Herrera, no trabajamos

con libro guía, en la biblioteca contamos con una colección de diversos libros desde el grado

primero, hasta el grado once, dentro de los cuales el libro los Caminos del Saber, es el más

utilizado por algunos docentes como una guía para la enseñanza de los contenidos de grado

sexto. Analizando la forma en la que se plantean los temas, se encontró que parten desde la

definición del concepto, la explicación de los dos métodos para hallar el M.C.D y el M.C.M,

algunos ejemplos y los ejercicios prácticos para que el estudiante resuelva. En cuanto a lo

relacionado con la resolución de problemas, no se brindan elementos que le permitan a los

estudiantes, desde su lectura, identificar si se trata de un problema donde hay que hacer uso

del M.C.D o el M.C.M, es algo que el estudiante debe suponer, porque los problemas están

planteados una vez finalizada la temática de alguno de los dos conceptos. Para mayor

ilustración y corroboración de esta información, ver ANEXO A.

Otra de las fuentes físicas revisadas, fue el libro del estudiante “Vamos a aprender

matemáticas 6°”, que propuso el MEN en el 2017, como un apoyo para su aprendizaje. En

este libro no se encontraron elementos diferenciadores a lo encontrado en el anterior, ya que

están estructurados de la misma forma, planteando la teoría, ejemplos y los ejercicios

prácticos para el estudiante, de igual forma, plantean algunos problemas para que sean

4. Diseño de una cartilla: una aventura con los múltiplos y los divisores 27

resueltos por los estudiantes, pero no dan insumos claros, de cómo diferenciar estos dos

conceptos, para aplicarlos en la solución de éstos. Para ampliar información al respecto, ver

ANEXO B.

Sólo se han referenciado como recurso físico los dos libros mencionados en el ítem

anterior, pero en la práctica y experiencia laboral como docente de matemáticas, se ha tenido

acercamiento a otros libros escolares, como una guía de apoyo para docentes y estudiantes,

y prácticamente en todos se encuentran los contenidos estructurados de la misma forma, sin

dar insumos claros sobre cómo diferenciar si en un problema se debe hacer uso del M.C.D o

el M.C.M. En este mismo sentido, en los problemas planteados, no se hace una resolución

de éstos de forma detallada, con el fin de que los estudiantes identifiquen las etapas de la

resolución de problemas, como una actividad importante en la dinamización de los procesos

matemáticos.

4.1.2 Rastreo cibergráfico sobre las metodologías de la enseñanza

actual del M.C.D y el M.C.M, en el grado sexto.

Desde la revisión de alguna cibergrafía o recursos virtuales en relación al a enseñanza

actual del M.C.D y el M.C.M, se encuentra material en la página educaplay, como una

herramienta interactiva para que los estudiantes pongan en práctica lo aprendido. De esta

manera, primero habría que hacer un acercamiento a los referentes teóricos de la temática,

para que los estudiantes puedan acceder a interactuar con los recursos que allí se ofrecen, a

partir de los cuales el estudiante puede resolver situaciones, llevar un registro de tiempo y

acceder a resultados y respuestas correctas, con la posibilidad de corregir los errores

presentados. Lo cual se puede verificar accediendo a la página:

https://es.educaplay.com/recursos-educativos/5248488-teoria_de_numeros.html, consultada

por última vez el 22 de julio de 2020.

En este mismo sentido, otro de los recursos virtuales revisados fue educalab, que es

un sitio de exploración para la educación muy similar al sitio anterior, ya que le permite al

estudiante practicar con el fin de ejercitar procedimientos, la teoría es mínima y se presenta a

través de un video corto. Los estudiantes pueden interactuar resolviendo ejercicios, averiguar

su puntuación, mostrar respuestas y realizar correcciones. Esta dentro de lo que comúnmente

https://es.educaplay.com/recursos-educativos/5248488-teoria_de_numeros.html



nos encontramos en el ámbito virtual y digital. La información suministrada, se puede validar

accediendo a la página: http://procomun.educalab.es/es/ode/view/1458121780103,

consultada por última vez el 22 de julio de 2020.

Al igual que otros recursos cibergráficos revisados, los dos a los que se hace

referencia, carecen de algunas herramientas que brinden a los estudiantes elementos

diferenciadores, para relacionar la teoría y la práctica en beneficio de su aprendizaje, ya que

muchos de los contenidos allí presentados, no les ofrecen elementos que puedan asociar a

su contexto o cotidianidad, remitiéndose sólo a la ejecución y mecanización de

procedimientos, dejando de lado la exploración y experimentación desde el uso de material

concreto para generar aprendizaje significativo.

4.2 Diseño de la cartilla didáctica

El diseño de esta cartilla surge como una propuesta que permite a los estudiantes de

grado sexto, acercarse a la comprensión de conceptos importantes y de gran aplicación de

una forma sencilla y práctica, por medio de actividades que les brindarán elementos e insumos

para enfrentarse a la resolución de problemas que involucren el M.C.D y el M.C.M.

Es una herramienta útil tanto para el estudiante como para el docente, ya que es un

recurso que facilitará el aprendizaje de la temática en cuestión, sin que el niño se encuentre

necesariamente en el aula, dado que es un material que el estudiante podrá manipular y

explorar fácilmente, ya sea sólo, con el acompañamiento del docente o de algún familiar.

El material disponible desde el diseño de esta propuesta, será la cartilla dirigida los

estudiantes de grado sexto, donde se partirá de un lenguaje ameno y fácil de entender para

ellos, a partir de una estructura colorida, que llame su atención a simple vista y desde su

manipulación.

En este sentido, también se dispondrá de unas pautas de apoyo para el docente, donde

se dará a conocer el paso a paso que deberá llevar a cabo, para abordar la teoría y orientar

la solución de las actividades propuestas para el estudiante. Desde estas indicaciones

necesarias, guiará y acompañará la manipulación y exploración de la cartilla.

http://procomun.educalab.es/es/ode/view/1458121780103


Con el uso, recorrido por esta cartilla y el desarrollo de sus actividades, se espera que

se puedan subsanar las dificultades que los docentes hemos identificado al interior del aula,

respecto a la enseñanza del tema en cuestión y su relación con la resolución de problemas.



UNA

AVENTURA

CON LOS

MÚLTIPLOS

Y LOS

DIVISORES


BIENVENIDO

La aventura con los múltiplos y divisores, es una

herramienta dirigida a ti, como estudiante de grado

sexto. En ella explorarás diversos contenidos que te

permitirán divertirte mientras aprendes, puedes

manipular este material en casa o en el cole, ya sea

solo, con un amiguito, con tu profe o con algún

familiar. Aprenderás mucho de forma sencilla y práctica, por medio de actividades variadas y

juegos, que te brindarán bases importantes, que podrás utilizar en tu vida diaria.

A partir del recorrido por esta cartilla, te encontrarás con muchos temas y situaciones que

seguramente ya conoces o recuerdas de tus clases de matemáticas, dentro de los cuales están:

los múltiplos y los divisores, los números primos y los compuestos, los criterios de divisibilidad,

la descomposición de números en factores primos, el Máximo Común Divisor (M.C.D), el mínimo

común múltiplo (M.C.M) y la resolución de problemas asociada a estos últimos dos conceptos.

La forma en la que encontrarás los contenidos propuestos, es la siguiente: la teoría del tema con

sus respectivos ejemplos, la meta del día que debes cumplir en cada actividad o reto, una

explicación detallada de la actividad y los materiales que debes utilizar para su realización. Todo

esto con el fin de que explores el maravilloso mundo de los números, mientras te entretienes y

aprendes.

Es importante que conozcas e interiorices el contenido aquí presentado, ya que te generará

aprendizajes muy valiosos y de gran aplicación en la construcción del conocimiento, en relación

a temáticas posteriores que abordarás en otros grados.

Disfruta del trayecto por esta cartilla y realiza un balance de los temas conocidos y desconocidos,

para que los discutas con un amiguito, tu profe o algún familiar; identificando cuáles son más

interesantes para ti y cómo se pueden aplicar a la vida diaria.



ACTIVIDAD # 1

¿Qué tanto sabes de multiplicación y división?

Tu meta para hoy: Identificar qué tanto recuerdas sobre multiplicación y división.

Descripción: En esta actividad te encontrarás con un material que

podrás recortar y/o pintar, mientras resuelves algunas situaciones

planteadas, con las cuales te puedes encontrar en tu día a día. Con

la manipulación de este material desde tu creatividad, darás cuenta

qué tanto conoces o recuerdas sobre multiplicación y división.

ÁNIMO

Materiales: 5 fichas con canicas, 3 fichas con rosas, colores y

tijeras.

Juan, tu mejor amigo, tiene un número de canicas como el que se muestra en la figura y desea

contarlas de varias formas, sin que sobre ninguna. Utiliza 5 fichas con canicas como la que se

muestra a continuación y colores, para ayudar a tu amigo a solucionar a lo que se plantea en

cada situación. Debes utilizar una ficha para cada posibilidad de conteo, coloreando la cantidad

de canicas que consideres. Ten en cuenta que una de las posibilidades de conteo surge de

encerrarlas con un color de una en una.


Una vez hayas coloreado las 5 fichas con todas las posibilidades de

conteo (encerrando las canicas con un color), responde falso (F) o

verdadero (V), según consideres. Justifica las falsas.

1. Es correcto afirmar que una de las formas de contar las

canicas es de 4 en 4. ____

___________________________________________

2. ¿Si se realiza el conteo de 3 en 3, quedan 2 canicas por

fuera del grupo? ____

___________________________________________________

3. ¿Todas las formas posibles que se tienen para contar, dividen exactamente a la cantidad de

canicas que tiene Juan? ____

___________________________________________________

Responde:

4. De cada posibilidad de contar surgen una cantidad de grupos, es decir, si cuentas de una en

una, se forman 16 grupos, cada uno con una canica, esto quiere decir que 1 x 16 = 16.

Escribe todas las multiplicaciones que surgieron, a partir de lo que coloreaste en cada ficha.

Dispones de 24 rosas para repartir entre tus compañeras de grupo. Partiendo de 3 fichas con

rosas como las que se muestran a continuación, recórtalas teniendo en cuenta la indicación de

cada pregunta.



5. ¿Si desea armar 8 ramos de rosas, cuántas rosas debe tener cada ramo? (Recorta una de las

fichas para solucionar esta pregunta)

A. 4 rosas.

B. 3 rosas.

C. 6 rosas.

D. 12 rosas

6. ¿Cuál es la operación matemática que te permite resolver de

forma rápida, lo que se plantea en la pregunta 1?

A. La suma

B. La resta

C. La multiplicación

D. La división

7. Deseas obtener otros 2 ramos diferentes a los que ya formaste en la pregunta 1. Escribe las

dos opciones elegidas, determinando cuántos ramos formaste y de cuántas flores cada uno.

Recuerda que no pueden sobrar rosas (Recorta las otras 2 fichas para solucionar esta pregunta)

Opción 1:

Número de ramos_________________ Cantidad de rosas en cada uno _________________

Opción 2:

Número de ramos_________________ Cantidad de rosas en cada uno _________________

8. Si quisieras tener 9 ramos con 5 rosas cada uno, ¿cuántas rosas te hacen falta para realizar

esta tarea?

De acá en adelante te encontrarás con contenidos variados que son importantes para la

compresión y aprendizaje de diversos temas, los cuales podrás aplicar en la cotidianidad. Lee

detenidamente y realiza las actividades propuestas.


MÚLTIPLOS Y DIVISORES

MÚLTIPLOS

Los múltiplos de un número se obtienen

multiplicándolo por todos los números

naturales, por lo tanto, los múltiplos de

un número son infinitos.

EJEMPLOS:

Los múltiplos del número 3 son: 3, 6, 9,

12, 15, 18, 21....

Los múltiplos del número 7 son: 7, 14,

21, 28, 35, 42, 49, 56....

Los múltiplos del número 18 son: 18,

36, 54, 72, 90…

DIVISORES

Los divisores de un número son aquellos

números lo dividen exactamente, es decir,

si el número se divide entre cada uno de sus

divisores, el residuo debe ser cero. Los

divisores de un número están

determinados, ya que cada número tiene

una cantidad definida de divisores.

EJEMPLOS:

Los divisores del número 18 son: 1, 2, 3, 6,

9 y 18

Los divisores del número 45 son: 1, 3, 5,

9, 15 y 45

Los divisores del número 90 son: 1, 2,

3, 5, 6, 9, 10, 15,18, 30, 45 y 90

Los múltiplos y los divisores guardan una relación

directa entre sí, porque:

* Si 24 es múltiplo de 4, entonces 4 es divisor de 24

* Si 15 es divisor de 45, entonces 45 es múltiplo de 15



ACTIVIDAD # 2

Un concepto relacionado con la multiplicación

Tu meta para hoy: Identificar el concepto de múltiplo a través de un juego.

Descripción: Para el desarrollo de esta actividad, partirás de un juego lúdico que podrás jugar

con un compañero del grupo o con algún familiar. Ambos jugadores deberán tener a la mano el

tablero con los números del 1 al 100 y fichas de dos colores diferentes que deberán recortar

previamente (cada jugador aproximadamente 50 fichas de cada color). Éstas serán utilizadas

para tapar los números del tablero. Cada participante tapará los números con fichas de color

diferente. Deben ser fichas de tamaño 1cm x 1cm, como éstas:

Materiales: Un tablero de juego y fichas de dos colores diferentes, como se explicó

anteriormente.

Reglas del juego:

1. Para iniciar el juego, cada jugador elegirá un número diferente del

1 al 10.

2. Cada jugador tapará su número elegido con el color que le

corresponda.

3. De forma intercalada, irán tapando uno a uno todos los múltiplos

del número elegido.

4. Una vez hayan llevado a cabo el paso anterior, ambos jugadores deberán tomar nota de los

números que coincidieron y fueron tapados con ambas fichas.

5. Realizarán los 4 pasos anteriores una vez más, con otros 2 números diferentes del 1 al 10, de

tal forma que se interactué en el juego, con 4 números en total.

Adaptado de: https://www.cokitos.com/desafio-de-multiplos-y-divisores/

https://www.cokitos.com/desafio-de-multiplos-y-divisores/


TABLERO DE JUEGO

1. Escribe cuáles fueron los dos números elegidos por cada jugador en el primer momento del

juego. Además, realiza la lista de los todos los números que fueron tapados con las fichas de

ambos colores.

2. Escribe cuáles fueron los dos números elegidos por cada jugador

en el segundo momento del juego. Además, realiza la lista de todos

los números que fueron tapados con las fichas de ambos colores.

3. ¿Si el tablero hubiera sido de 150 números, crees que habría más

coincidencias? ¿Por qué?

4. De cada par de números elegidos, ¿cuál fue el número más

pequeño que coincidió en ser tapado con las dos fichas de distinto

color?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100



5. Observa los números y responde: 60 - 72 - 81 - 97 - 100

a) ¿Cuáles de los números son múltiplos de 12?

________________________

b) ¿Qué número es múltiplo de 8 y 9?

________________________________

c) ¿Qué número es múltiplo de 25, pero no de 15?

_______________________

Para la siguiente actividad, partirás del mismo con el fin de que

identifiques otro concepto que te será de gran utilidad.

Los números que coincidieron en ser

tapados con ambos colores, son los

múltiplos comunes a dichos números y el

más pequeño de ellos, es su mínimo común

múltiplo (M.C.M)


ACTIVIDAD # 3

Un concepto relacionado con la división

Tu meta para hoy: Identificar el concepto de divisor a través de un juego.

Descripción: Para el desarrollo de esta actividad, partirás de un juego lúdico que podrás jugar

con un compañero del grupo o con algún familiar. Ambos jugadores deberán tener a la mano el

tablero con los números del 1 al 100 y fichas de dos colores diferentes que deberán recortar

previamente (cada jugador aproximadamente 50 fichas de cada Color). Éstas serán utilizadas

para tapar los números del tablero. Cada participante tapará los números con fichas de color

diferente. Deben ser fichas de tamaño 1cm x 1cm, como estas:

Materiales: Un tablero de juego y fichas de dos colores diferentes.

Reglas del juego:

1. Para iniciar el juego, cada jugador elegirá un número diferente del

10 en adelante.

2. Cada jugador tapará su número elegido con el color que le

corresponda.

3. De forma intercalada, irán tapando uno a uno todos los divisores del

número elegido.

4. Una vez hayan llevado a cabo el paso anterior, ambos jugadores

deberán tomar nota de los números que coincidieron y fueron tapados con ambas fichas.

5. Realizarán los 4 pasos anteriores una vez más, con otros 2 números diferentes, de tal forma

que se interactué en el juego, con 4 números en total.

Adaptado de: https://www.cokitos.com/desafio-de-multiplos-y-divisores/

https://www.cokitos.com/desafio-de-multiplos-y-divisores/



TABLERO DE JUEGO

1. Escribe cuáles fueron los dos números elegidos por cada jugador en el primer momento del

juego. Además, realiza la lista de los todos los números que fueron tapados con las fichas de

ambos colores.

2. Escribe cuáles fueron los dos números elegidos por cada jugador

en el segundo momento del juego. Además, realiza la lista de todos

los números que fueron tapados con las fichas de ambos colores.

3. ¿Si el tablero hubiera sido de 150 números, crees que habría más

coincidencias? ¿Por qué?

4. De cada par de números elegidos, ¿cuál fue el número más grande

que coincidió en ser tapado con las dos fichas de distinto color?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


5. Observa los números y responde: 7 - 2 - 4 - 12 - 15 – 23

a) ¿Cuáles de los números son divisores de 24?

______________________________

b) ¿Qué número es divisor de 30 y 45?

_______________________________

c) ¿Qué número es divisor de 69, pero no de 13?

_______________________________

El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, son dos

conceptos de gran importancia y aplicación. Es importante que

aprendas a diferenciarlos.

Los números que coincidieron en ser

tapados con ambos colores, son los

divisores comunes a dichos números y el

más grande de ellos, es su Máximo Común

Divisor (M.C.D)



ACTIVIDAD # 4

Cantidad de divisores

Tu meta del día: Identificar dos conceptos en relación a la cantidad de divisores de un número

y las reglas de divisibilidad, a partir de un tablero numérico.

Descripción: Para que realices esta actividad, tendrás a disposición un tablero numérico con los

números del 2 al 100, similar al que utilizaste en los juegos anteriores, en el cual deberás realizar

lo siguiente:

1. Encierra el número 2 en un círculo con un color, y posteriormente tacha

todos sus múltiplos con el mismo color.

2. El primer número de los que quedan, es el 3, enciérralo en un círculo con

un color diferente al anterior y se tacha todos tus múltiplos con el mismo color.

3. El siguiente número de los que quedan, es el 5, enciérralo en un círculo

con un color diferente a los anteriores y se tacha todos sus múltiplos con el

mismo color.

4. Se continúa con la misma dinámica. Cada vez que se llegue a un número que queda, se

encierra en un círculo y se tachan todos sus múltiplos. Así hasta el final.

Ten en cuenta que, si vas a tachar un número, y ya está tachado, deberás tacharlo nuevamente,

esto ocurre porque un número puede ser múltiplo de varios a la vez, y lo mismo ocurre con los

divisores.

Una vez hayas llevado a cabo estos pasos, encontrarás elementos teóricos importantes para

diferenciar los números primos de los compuestos e interiorizar los criterios de divisibilidad.

Finalmente, deberás realizar la actividad planteada.

Materiales: Tablero numérico y colores.


LA CRIBA DE ERATÓSTENES

Observa bien los números que encerraste en un círculo, éstos se llaman NÚMEROS PRIMOS, y

se caracterizan porque sólo tiene dos divisores que son el 1 y el mismo número. Por ejemplo, si

tomas el número 7 de la Criba, éste sólo tiene como divisores el 1 el mismo 7.

Los números que tachaste, se llaman NÚMEROS COMPUESTOS, y se caracterizan porque

tienen más de dos divisores. Por ejemplo, si tomamos el número 9, éste tiene como divisores el

1, el 3 y el 9. El número 35, tiene como divisores el 1, el 5, el 7 y el 35.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

La Criba de Eratóstenes, es un

procedimiento que permite determinar

los números primos menores a

determinado número natural.

Investiga por qué el número 1 no se

tiene en cuenta en la Criba de

Eratóstenes.



En relación a los divisores de un número, Los CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD son reglas que

permiten determinar si un número es divisible por otro.

Consulta los criterios de

divisibilidad de 7, 11 y 13

RECUERDA:

Si un número es divisible por otro,

es porque al realizar la división se

obtiene como residuo cero, es

decir, la división es exacta.

Por ejemplo, 2 es divisor de 24, por

lo tanto, la división de 24 entre 2,

tiene que ser exacta.

S


1. Completa la tabla, marcando con una “X”, para determinar si es primo o compuesto.

2. Observa los siguientes números y escríbelos en el recipiente que corresponda: 25, 31, 81, 16,

13, 43, 17, 49, 67 y 99

3. Escribe al frente de cada número, si es divisible por 2, 3, 5 y 10; recuerda que en ocasiones

un mismo número puede ser divisible por varios números al mismo tiempo.

a) 120 _____________________

b) 72 _____________________

c) 135 _____________________

d) 231 _____________________

4. Analiza detalladamente las situaciones planteadas:

NÚMERO DIVISORES (Separar con comas)

PRIMO COMPUESTO

5

28

23

45

13



a) Tu madre tiene una panadería y compra bolsas con 5 panes cada una. ¿Podrá comprar 315

panes, para obtener un número exacto de bolsas y luego venderlas? Explica tu respuesta

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

b) Tienes 32 chocolates, y quieres repartirlos en partes iguales sin que

sobren. ¿Si se deseas repartirlos entre 7 amigos, se cumple con la

condición dada? Explica tu respuesta

_________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

5. Establece cuáles son los divisores del 48 y realiza todas las divisiones para comprobarlo.

DIVISIONES


ACTIVIDAD # 5 Otra forma de expresar un número

Tu meta del día: Expresar números a partir de factores primos, haciendo uso de material

concreto.

Descripción: Para la realización de esta actividad deberás hacer un corto repaso y recordar lo

que hasta ahora has abordado (múltiplos, divisores, números primos, compuestos y criterios de

divisibilidad), ya que son insumos fundamentales para la cumplir con tu meta.

Esta actividad, podrás hacerla de forma individual, con algún compañero o familiar. Deberás

tener a la mano varios botones de papel de 4 colores diferentes (verde, azul, amarillo y rojo), los

cuales representarán los 4 primeros números primos: 2, 3, 5 y 7. Se empezará con los números

primos en su orden, tomando el botón verde, que corresponde al número 2, posteriormente se

tomará el botón azul que corresponde al número 3. Si deseas representar el número 4, que no

es primo, no podrás utilizar un solo botón; por lo tanto, deberás utilizar dos botones verdes

seguidos el uno del otro, para representar el número 4, así:

Lo cual equivale a 2 x 2 = 22 = 4

Los botones seguidos uno del otro, representan la operación

multiplicación, por lo tanto, si deseas formar el número 6, tampoco podrás hacer uso de un solo

botón, ya que deberás tomar un botón verde y uno azul seguidos, para formar dicho número, así:

Lo cual equivale a 2 x 3 = 6

Supongamos que ahora quieres construir el número 140, para lo cual

lógicamente debes hacer uso de varios botones. El resultado sería:

Materiales: Ficha para la actividad, 8 botones de papel de cada color, tijeras y pegante.



LA DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS, es un proceso mediante el

cual un número compuesto se expresa como el producto de números primos. Para realizar el

proceso de descomposición, se deben aplicar los criterios de divisibilidad trabajados

anteriormente, por esto es importante que los identifiques muy bien.

EL PROCESO QUE SE DEBE SEGUIR PARA DESCOMPONER NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS, ES EL SIGUIENTE:

1. Escribir el número a descomponer al lado izquierdo y trazar una línea vertical a su derecha,

la cual hace las veces de la operación división.

2. A la derecha del número, se ubica el menor número primo por el cual sea divisible, y a la

izquierda, debajo del número, el cociente al realizar la división.

3. Se procede de la misma manera, hasta que el último número de la izquierda, sea 1.

4. Los números obtenidos al lado derecho de la línea, son los factores primos del número

dado, y al multiplicarlos, el resultado debe ser dicho número.

5. Si se obtienen dos o más factores primos iguales, se expresan como el producto de

potencias.

El proceso que se acaba de llevar a cabo con los

botones, recibe el nombre de DESCOMPOSICIÓN DE

NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS.

Observa con atención las formas de hacerlo.


Veamos algunos ejemplos

Ahora pondrás en práctica lo aprendido:

1. Une cada número con su respectiva descomposición en factores primos.

2. Realiza las descomposiciones a partir de los esquemas.



3. Completa la tabla teniendo en cuenta el ejemplo.

30

BOTONES

MULTIPLICACIÓN

2 x 3 x 5

CON POTENCIAS

NO APLICA

75

BOTONES

MULTIPLICACIÓN

CON POTENCIAS

112

BOTONES

MULTIPLICACIÓN

CON POTENCIAS

175

BOTONES

MULTIPLICACIÓN

CON POTENCIAS


MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)

El máximo común divisor de dos o más números, es el divisor común más grande que los divide

exactamente. En este caso, utilizaremos la descomposición de los números en factores primos

para hallarlo.

Observemos este ejemplo:

Hallar el M.C.D de 180 y 200

180 = 22 x 32 x 5 200 = 23 x 52

M.C.D (180, 200) = 22 x 5 M.C.D (180, 200) = 4 x 5 M.C.D (180, 200) = 20

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS O MÁS NÚMEROS

1. Descomponer los números en factores primos y expresarlos como producto de

potencias. 2. Observar detalladamente el producto de potencias de cada descomposición. 3. Multiplicar los factores comunes con el menor exponente, tomando como referencia

las descomposiciones obtenidas. 4. El número obtenido en el numeral anterior, será el M.C.D de los números dados.



MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)

El mínimo común múltiplo de dos o más números, es el múltiplo común más pequeño por el

que los números pueden ser divididos exactamente. En este caso, utilizaremos la

descomposición de los números en factores primos para hallarlo.

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS O MÁS NÚMEROS

1. Descomponer los números en factores primos y expresarlos como producto de

potencias. 2. Observar detalladamente el producto de potencias de cada descomposición.

3. Multiplicar los factores comunes y no comunes con el mayor exponente, tomando como referencia las descomposiciones obtenidas. 4. El número obtenido en el numeral anterior, será el M.C.M de los números dados.

Observemos este ejemplo:

Hallar el M.C.M de 180 y 200

180 = 22 x 32 x 5 200 = 23 x 52

M.C.M (180, 200) = 23 x 32 x 52

M.C.M (180, 200) = 8 x 9 x 25 M.C.M (180, 200) = 1.800


ACTIVIDAD # 6

De los factores comunes y no comunes

Tu meta del día: Encontrar el Máximo Común Divisor (M.C.D) y mínimo común múltiplo (m.c.m),

por medio de la descomposición de números en factores primos.

Descripción: Realizarás la actividad, partiendo de todo lo que has aprendido hasta ahora.

Deberás analizar e interpretar situaciones y harás uso de las tablas presentadas.

Materiales: Ficha de trabajo

Lee, analiza y resuelve cada situación:

1. Se sabe que 6 es el M.C.D de dos números m y n, además, sabemos que m es uno de los

siguientes números: 14, 28, 40, 54, 65, 100. De acuerdo a esta información, podemos decir que:

m = _______

2. Se sabe que el M.C.M de dos números p y q es 420, además, sabemos que q es uno de los

números: 9, 24, 60, 85, 120, 211. De acuerdo a esta información, podemos decir que:

q = _______

3. Halla el M.C.D de los numerales a y b, basándote en el ejemplo planteado.

Ejemplo: Hallar el M.C.D de 30 y 50

Números dados Factores obtenidos en

la descomposición

Factores comunes

con el menor

exponente

M.C.D

(Producto

columna

anterior)

30 2 x 3 x 5

2 y 5

10

50 2 x 52



a)


la descomposición

Factores comunes

con el menor

exponente

M.C.D

(Producto

columna

anterior)

75

90

b)


la descomposición

Factores comunes

con el menor

exponente

M.C.D

(Producto

columna

anterior)

48

56

4. Halla el M.C.M de los numerales a y b, basándote en el ejemplo planteado.

Ejemplo: Hallar el M.C.M de 28 y 42


la descomposición

Factores comunes

y no comunes con

el mayor

exponente

M.C.M

(Producto

columna

anterior)

28 22 x 7

22, 3 y 7

84

42 2 x 3 x 7

a)


la descomposición

Factores comunes

y no comunes con

el mayor

exponente

M.C.M

(Producto

columna

anterior)

45

105


b)


la descomposición

Factores comunes

y no comunes con

el mayor

exponente

M.C.M

(Producto

columna

anterior)

12

81

5. Calcula el M.C.D de 90 y 140

Procedimiento completo:

6. Calcula el M.C.M de 24 y 33

Procedimiento completo:



RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Ahora, pondrás en práctica lo aprendido hasta el momento, a través

de la resolución de problemas que involucran M.C.D y M.C.M, para

lo cual deberás tener en cuenta que se deben seguir unos pasos

puntuales y secuenciales, que te llevarán a la solución de la

situación planteada. En este orden de ideas, los pasos son: comprender el problema, concebir

un plan, ejecutar el plan y examinar la solución obtenida.

Cabe resaltar que es muy importante en la ejecución de dichos pasos, identificar con claridad, si

es un problema donde se debe hacer uso del M.C.D o el M.C.M, para esto, el problema

generalmente proporciona palabras claves que permitirán determinar cuál de los dos conceptos

utilizar.

Veamos algunos ejemplos:

1. Juan y Paula, llevan dulces a la escuela para compartir. Juan ha llevado a clase 24 bombones

y Paula 18 chocolates. Si desean repartir los dulces entre sus compañeros de modo que todos

tengan la misma cantidad de cada dulce y que sea la mayor posible, ¿a cuántos de sus amigos

podrán dar dulces?

ÉSTAS PALABRAS CLAVES SON:

Para el M.C.D: El mayor, lo más grande, el máximo, el más

largo y otras en relación a éstas.

Para el M.C.M: Coincidir, mínimo, menor, el más pequeño,

al mismo tiempo y otras en relación a éstas.


Solución:

Paso 1: Comprender el problema: se lee el problema detenidamente,

analizando qué datos dan e identificando palabras claves que permitan

determinar si se debe hacer uso del M.C.D o el M.C.M.

Paso 2: Concebir un plan: se analizan los datos dados, cómo se

relacionan y lo que se pregunta, con el fin de identificar cuáles operaciones

o proceso matemático, permiten dar solución al problema.

En este caso, se habla de una repartición a partir de los números 24 y 18, como se menciona

que cada compañero debe tener la misma cantidad de dulces y que esta cantidad debe ser LA

MAYOR posible, entonces se puede asegurar, que en este problema se debe hacer uso del

M.C.D, es decir, se debe hallar M.C. D (18,24)

Paso 3: Ejecutar el plan: se procede a realizar los procedimiento y operaciones matemáticas

identificadas en el paso anterior. En este caso se descomponen en factores primos los números

18 y 24 y se calcula su M.C.D

Esto quiere decir, que de cada tipo de dulce se pueden hacer 6 grupos, por lo tanto, le podrán

dar dulces a 6 amigos.



Paso 4: Examinar la solución obtenida: Se lee nuevamente el

enunciado, verificando que la solución obtenida, cumpla con lo

requerido en la situación planteada.

Como ya se sabe que los dulces se pueden repartir a 6 personas,

verificamos, cuántos dulces de cada uno, debe tener cada persona,

es decir que debe haber 6 grupos con 4 bombones, para un total de

24 bombones y 6 grupos con 3 chocolates, para un total de 18

chocolates, lo cual quiere decir que cada persona recibe 7 dulces en

total.

Multiplicando 6 x 7, se obtiene la cantidad de dulces total que había para repartir, es decir, 42

dulces.

2. Carlos está practicando béisbol con dos lanzadoras de bolas. Las programa para que una

dispare cada 12 segundos y la otra cada 16 segundos. ¿Cuánto tiempo tardarán las máquinas

en lanzar una bola al mismo tiempo por primera vez?

Solución:

Paso 1: Comprender el problema: se lee el problema detenidamente, analizando que datos

dan e identificando palabras claves que permitan determinar si se debe hacer uso del M.C.D o el

M.C.M.

Paso 2: Concebir un plan: se analizan los datos dados, cómo se relacionan y lo que se

pregunta, con el fin de identificar cuáles operaciones o proceso matemático, permiten dar

solución al problema.

En este caso, mencionan dos lanzadoras de bolas que está programadas para

que cada una dispare una bola, cada determinado tiempo. En la pregunta

planteada, hacen referencia al momento en que las lanzadoras, dispararán las

bolas AL MISMO TIEMPO, con lo cual se puede asegurar que en este problema

se debe hacer uso del M.C.M, es decir, se debe hallar el M.C.M (12, 16).




12 y 16 y se calcula su M.C.M.

De acuerdo al resultado obtenido, las

lanzadoras, dispararán por primera vez una bola al mismo tiempo, a los 48 segundos.

Paso 4: Examinar la solución obtenida: Se lee nuevamente el enunciado, verificando que la

solución obtenida, cumpla con lo requerido en la situación planteada.

En este caso, como se halló el M.C.M de los números dados, el resultado obtenido, lógicamente

debe ser un múltiplo común a los números, además debe ser el múltiplo común más pequeño.

Si tomamos el número 12 y sus múltiplos, obtenemos: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 …

Si tomamos el número 16 y sus múltiplos, obtenemos: 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112 …

Observemos, que el 48 es el menor múltiplo común a ambos números, por la tanto la solución

obtenida fue la correcta.

Debe tenerse en cuenta que dichos números tienen muchos más múltiplos comunes, pero el más

pequeño es el 48.

3. Roberto quiere cortar dos pedazos de tela en partes iguales. Pero quiere cortarlos lo más largo

posible para no desaprovecharlos. Si los pedazos miden 246cm y 328cm, ¿cuánto deben medir

los trozos?



Solución:



M.C.M.




Lo planteado en la situación, hace referencia al corte de dos pedazos de telas en partes iguales,

cuyos trozos deben ser LO MÁS LARGOS posibles, con lo cual se puede decir, que en este

problema se debe hacer uso del M.C.D, es decir, se debe hallar M.C. D (246,328)



246 y 328 y se calcula su M.C.D

De acuerdo al resultado obtenido, cada trozo cortado debe medir 82cm.

Paso 4: Examinar la solución obtenida: Se lee nuevamente el enunciado, verificando que la



En este caso se halló el M.C.D de los números dados, el resultado

obtenido, lógicamente debe ser un divisor común a los números, además

debe ser el divisor común más grande que los divide exactamente.

Si tomamos el número 246 y sus divisores, obtenemos: 1, 2, 3, 6, 41, 82,

123 y 246

Si tomamos el número 328 y sus divisores, obtenemos: 1, 2, 4, 8, 41, 82,

164 y 328

Observemos, que el 82 es el mayor divisor común a ambos números, por la tanto la solución


Debe tenerse en cuenta que dichos números tienen otros divisores comunes, pero el más grande

es el 82.

4. Natalia y Lina van a correr alrededor de una urbanización del barrio. Natalia tarda 18 minutos

en dar una vuelta completa y Lina tarda 24 minutos. Cuando coincidan en la salida por primera

vez, ¿cuántas vueltas habrá dado cada una?

Solución:



M.C.M.




Lo planteado en la situación, hace referencia a cuántas vueltas habrá

dado cada uno, cuando COINCIDAN en la salida por primera vez, con lo

cual se puede decir, que en este problema se debe hacer uso del M.C.M,

es decir, se debe hallar M.C.M (18 y 24).





18 y 24 y se calcula su M.C.M.

De acuerdo al resultado obtenido, coincidirán en la salida la primera vez, a los 72 minutos, y para

determinar cuántas vueltas dio cada una en ese preciso momento, se divide el 72 entre el tiempo

que tarda cada una en dar una vuelta, es decir:

72 ÷ 18 = 4 (Número de vueltas que dio Natalia)

72 ÷ 24 = 3 (Número de vueltas que dio Lina)

Paso # 4: Examinar la solución obtenida: Se lee nuevamente el enunciado, verificando que la


En este caso, como se halló el M.C.M de los números dados, el resultado obtenido, lógicamente

debe ser un múltiplo común a los números, además debe ser el múltiplo común más pequeño.



Observemos, que el 72 es el menor múltiplo común a ambos números, por la tanto la solución



Debe tenerse en cuenta que dichos números tienen otros múltiplos comunes, pero el más

pequeño es el 72, el cual, dividido entre el tiempo que tardó cada una en dar una vuelta,

corresponde a un valor exacto, que determina el número de vueltas que dio cada una.

ACTIVIDAD # 7

Resolviendo problemas

Tu meta del día: Resolver problemas aplicando el M.C.D y el M.C.M

Descripción: Esta actividad la desarrollarás con algún compañero o

familiar, donde resolverán cada problema planteado, completando la

tabla que se muestra después de los enunciados y teniendo en cuenta los ejemplos explicados

anteriormente. Recuerden realizar las descomposiciones de los números en factores primos de

forma correcta, e identificar claramente las palabras claves del problema, para elegir con certeza

si se debe hacer uso del M.C.D o del M.C.M para solucionarlo. De igual forma, encontrarán

situaciones concretas que se deben tener en cuenta en relación al cálculo del M.C.D y el M.C.M.

Materiales: Ficha de trabajo

1. Escoge una única respuesta ante cada enunciado:

A) Ante un problema planteado, se obtiene

24 como M.C.D, de acuerdo a esto, es

posible afirmar que los números dados

fueron:

a. 120 y 75

b. 120 y 96

c. 53 y 96

d. 100 y 45

B) Si en una situación plateada se obtuvo

como M.C.M 380, el siguiente par de

números dividen exactamente al M.C.M

encontrado:

a. 38 y 70

b. 38 y 45

c. 20 y 65

d. 20 y 38



2. Resuelve los problemas planteados utilizando la tabla.

a) Un carro necesita que le cambien el aceite cada 9.000 km, el filtro del aire cada 15.000 km

¿A qué número mínimo de kilómetros habrá que hacerle ambos cambios a la vez?

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Recuerda que en este paso se efectúan todas

las operaciones correspondientes que validan la respuesta.

Paso 4


b) Sandra y María tienen 35 bolas blancas y 60 bolas azules, quieren hacer el mayor número

de collares iguales sin que sobre ninguna bola. ¿Cuántos collares iguales pueden hacer?

Paso 1

Paso 2

Paso 3



Paso 4



c) Dos aviones salen a la misma hora de un mismo aeropuerto, el primero sale cada 8 días y

el segundo cada 20 días. ¿Dentro de cuántos días volverán a coincidir en la salida?

Paso 1

Paso 2

Paso 3



Paso 4


d) Un trabajador desea dividir un vidrio de 50cm de largo por 30 cm de ancho, en cuadrados

iguales, tan grandes como sea posible, de forma que no sobre ningún trozo de vidrio. ¿Cuánto

debe medir el lado de cada cuadrado?

Paso 1

Paso 2

Paso 3



Paso 4



3. Responde falso (F) o verdadero (V), según el caso y justifica las

falsas.

a. Al resolver un problema relacionado con el M.C.D de dos números,

es incorrecto afirmar, que el M.C.D divide exactamente a ambos

números. _______

b. Los números a partir de los cuales se halla el M.C.M, lo dividen

exactamente. _______

c. Si se halla el M.C.D y el M.C.M de los mismos números, siempre será mayor el

M.C.D._______

4. ¿Qué operación u operaciones se requieren para comprobar las respuestas de los

numerales del primer punto? __________________________________________________

ACTIVIDAD # 8

Pon a prueba qué tanto aprendiste

Tu meta del día: Indagar qué tan apropiado estás del contenido presentado en la cartilla.

Descripción: Realizarás esta actividad, partiendo de todo del recorrido y exploración de esta

cartilla, con el fin de que pongas a prueba qué tanto aprendiste de los temas presentados, los

cuales te serán de gran utilidad para tu vida cotidiana.

Materiales: Ficha de trabajo y colores.

1. Dispones de 36 tarjetas para formar más de un grupo de igual cantidad

sin que sobren, ¿cuál es la menor cantidad de tarjetas, que debes incluir

en cada grupo? Explica tu respuesta.

2. Se tienen 33 cuadernos, ¿cuál es la mayor cantidad de grupos iguales que se pueden

obtener, sin que sobren cuadernos? Explica tu respuesta.


3. Lee la pregunta y asóciala con su respectiva respuesta, como se muestra en el ejemplo.

4. Se desean utilizar baldosas cuadradas de igual medida, para cubrir un piso rectangular de 450cm

de largo y 360cm de ancho. ¿Cuál debe ser la medida del lado de la baldosa más grande que cumpla

la condición? ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir el piso

rectangular?

5. Felipe suele ir a la biblioteca de su barrio cada 25 días y Edward cada

22. El día 12 de septiembre ambos se encontraron allí. ¿A los cuántos

días coincidieron por primera vez en la biblioteca? ¿Qué día volverán a

coincidir?



6. Observa la gráfica y elige la opción correcta en cada pregunta:

Recuperado de: https://images.app.goo.gl/L6APeQJN5HSjtqRT6

A. No es correcto afirmar que:

a) 8 es la tercera parte de 24

b) 6 es el múltiplo común más pequeño a 2, 3 y 6

c) 2, 3 y 6 son divisores de 24

d) Los sectores obtenidos de 6 en 6 para llegar a 24, son 8

B. Se puede asegurar que:

a) Las líneas rojas, representan la mitad de los segmentos verdes.

b) La línea 1 y la línea 2, coinciden en 4 momentos.

c) Hay otro número diferente de 1, que divide exactamente a 2 y 3.

d) Las líneas azules representan a los múltiplos de 6.

7. Tienes 18 ponqués, con los cuales debes formar todos los arreglos posibles. Para ello

cuentas 6 fichas como las que se muestran a continuación:

https://images.app.goo.gl/L6APeQJN5HSjtqRT6


Utiliza cada una de las fichas para plasmar con colores cada arreglo. Posteriormente completa

los espacios:

a) _____ grupos de 9

b) 1 grupo de _____

c) _____ grupos de 3

d) 9 grupos de _____

e) _____ grupos de 1

f) 3 grupos de _____

Marco de la cartilla recuperado de: https://images.app.goo.gl/mGTkYMwxaToszk4L7

https://images.app.goo.gl/mGTkYMwxaToszk4L7



4.3 Pautas de apoyo para el docente

De la mano de la cartilla que es un material manipulable para el estudiante, también se

plantea la guía de apoyo para el docente como una herramienta que le permitirá orientar y

acompañar de forma detallada, el recorrido, exploración y realización de las actividades por

parte de los estudiantes, con el fin de que el material presentado contribuya a la mejoría de

los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las temáticas propias de la cartilla.

4.3.1 Actividad # 1: ¿Qué tanto sabes de multiplicación y división?

Asegúrese de haber solicitado previamente los materiales que los estudiantes deberán

utilizar para la realización de la actividad (colores y tijeras).

Al iniciar la clase, realice un corto conversatorio sobre la importancia de los contenidos

presentados en la cartilla, y cómo éstos le serán de utilidad a los estudiantes para las clases

y en su vida cotidiana.

Dé a conocer a los estudiantes el objetivo de la primera actividad de la cartilla y el

tiempo que tendrán para su desarrollo.

Objetivo: Diagnosticar los conocimientos previos de los estudiantes en relación a la

multiplicación y la división.

Duración: Hora y media

Adicional a los materiales previamente solicitados, deberá entregarle a cada estudiante

5 fichas con canicas y 3 fichas con rosas. Una vez haya entregado a los estudiantes el material

requerido, asegúrese de explicar en detalle la descripción de la actividad, acompañando su

realización y respondiendo las posibles dudas que puedan surgir durante su realización.


Resuelva de forma general las dudas planteadas por los estudiantes, ya que serán

referente de ayuda para todo el grupo.

Una vez terminada la actividad, realice socialización de la misma, a través de la

participación libre de los estudiantes y de sus respectivas correcciones, con el fin de que los

estudiantes afiancen los conceptos de multiplicación, división, múltiplos y divisores.

4.3.2 Actividad # 2: Un concepto relacionado con la multiplicación.


utilizar para la realización de la actividad (100 fichas de dos colores diferentes, tamaño 1cm x

1cm).

Explique a los estudiantes que, de acá en adelante, se encontrarán con el contenido

temático y las actividades de la cartilla, las cuales están secuenciadas y presentan contenido

teórico y práctico.

Presente la agenda de clase, dando a conocer el objetivo de la actividad que realizarán

los estudiantes y el tiempo que tendrán para solucionarla.

Objetivo: Utilizar un juego como herramienta para que los estudiantes identifiquen el

concepto de múltiplo.


Explique detalladamente el concepto de múltiplo y divisor, con la participación y salida

al tablero de algunos estudiantes, para el planteamiento de algunos ejemplos.

Adicional a los materiales solicitados previamente a los estudiantes, entregue a cada

pareja un tablero de juego, explique detalladamente la descripción de la actividad y las reglas

del juego para que sean claras para todos los estudiantes. Déjeles claro, que la actividad se

desarrolla una vez se haya ejecutado el juego para 4 números diferentes.

Acompañe a cada pareja de juego, con el fin de corroborar si están jugando de forma

correcta y acorde a las reglas establecidas.



Las dudas que surjan durante el juego y el desarrollo de la actividad, deberán ser

resueltas en general para todos los estudiantes.

Una vez terminada la actividad, realice socialización de la misma, con el fin de que los

estudiantes corrijan los errores presentados, afiancen el concepto de múltiplo e identifiquen

qué tan apropiados están de lo que aprendieron.

4.3.3 Actividad # 3: Un concepto relacionado con la división


utilizar para la realización de la actividad (100 fichas de dos colores diferentes, tamaño 1cm x

1cm).



Objetivo: Utilizar un juego como herramienta para que los estudiantes identifiquen el

concepto de múltiplo.

Duración: Una hora


pareja un tablero de juego e indíqueles que es la misma dinámica del juego anterior.

Explique las reglas del juego para que sean claras para todos los estudiantes.

Indíqueles que la actividad se desarrolla una vez se haya ejecutado el juego para 4 números

diferentes.

Acompañe a cada pareja de juego, con el fin de que se asegure que están jugando de

forma correcta y acorde a las reglas establecidas.

Las dudas que surjan durante el juego y el desarrollo de la actividad, deberán ser

resueltas en general para todos los estudiantes.


Una vez terminada la actividad, realice socialización de la misma, con el fin de que los

estudiantes corrijan los errores presentados, afiancen el concepto de divisor e identifiquen qué

tan apropiados están de lo que aprendieron.

4.3.4 Actividad # 4: Cantidad de divisores.


utilizar para la realización de la actividad (colores).

Dé a conocer a los estudiantes el objetivo de la actividad y el tiempo que tendrán para

su desarrollo.

Objetivo: Utilizar la Criba de Eratóstenes para que los estudiantes diferencien los

números primos de los compuestos.

Duración: Una hora


un tablero numérico, con los números del 2 al 100. Una vez haya entregado a los estudiantes

el material requerido, indíqueles que es un tablero similar al de los dos juegos anteriores, pero

que tiene otra finalidad.

Oriente claramente los pasos que debe seguir en el tablero, asegurándose que

mientras explica cada uno, el estudiante lo ejecute. Una vez hayan tachado todos los números

del tablero, explíqueles que los números encerrados en círculo son los números primos y parta

de su definición, de la misma forma, indíqueles que los números tachados son número

compuestos y defínalos.

Una vez identificados y diferenciados estos dos tipos de números, solicítele a los

estudiantes que comiencen con el desarrollo de la actividad. Acompañe este proceso de

solución, aclarando las posibles dudas que puedan surgir.

Recuerde que siempre es importante resolver las dudas de forma general para todo el

grupo.


participación libre de los estudiantes y de sus respectivas correcciones.



4.3.5 Actividad # 5: Otra forma de expresar un número


utilizar para la realización de la actividad (tijeras y pegante).



Objetivo: Verificar que los estudiantes utilicen los criterios de divisibilidad en la

descomposición de números en factores primos.


Dé la opción de realizar el trabajo de forma individual o en parejas.


estudiante o pareja, una ficha para la actividad y la ficha para recortar los botones de colores.

Explique con claridad el valor que le corresponde a cada botón, enfatizando en que

éstos representan los primeros 4 números primos. Oriente la construcción de los números 4,

6 y 140, pidiendo a algunos estudiantes que compartan con los demás compañeros sus

resultados, para aclarar dudas a partir de ellos. Una vez los estudiantes hayan interactuado

con ese material, explique cómo se descomponen números compuestos en factores primos,

recordando la importancia de hacer uso adecuado de los criterios de divisibilidad.

Solicite a los estudiantes que inicien la solución de la actividad, realizando el

acompañamiento correspondiente desde la aclaración de dudas.

Una vez los estudiantes hayan terminado el desarrollo de la actividad, socialice algunos

puntos de ésta, para que los estudiantes afiancen sus aprendizajes y verifiquen sus

soluciones.


4.3.6 Actividad # 6: De los factores comunes y no comunes.

Dé a conocer a los estudiantes el objetivo de la actividad y el tiempo que tendrán para

su desarrollo.

Objetivo: Corroborar que los estudiantes usen la descomposición de números en

factores primos, en el cálculo del Máximo Común Divisor (M.C.D) y mínimo común múltiplo

(M.C.M).

Duración: Dos horas

Explique detalladamente el proceso a seguir para hallar el M.C.D y el M.C.M de dos o

más números por medio de la descomposición de números en factores primos (puede ser a

partir de un video), resuelva varios ejemplos con números propuestos por los estudiantes,

realice preguntas orientadoras que permitan a los estudiantes participar en la solución de

dichos ejemplos. Esto con el fin de resolver dudas generales que surjan del proceso.

Una vez haya abordado el contenido temático y su ejemplificación, entregue la ficha

de trabajo con la cual resolverán la actividad propuesta y explique cómo deben desarrollarla.

Asegúrese de pasar por el puesto de cada estudiante para verificar que están

solucionando la actividad correctamente, resolviendo de forma general las dudas que surjan.


participación libre de los estudiantes y de sus respectivas correcciones.

4.3.7 Actividad # 7: Resolviendo problemas

Inicie la clase con un corto diálogo, donde recordará de forma general los temas

abordados hasta ahora, dejando claro que son de gran importancia y aplicación para la

solución de problemas que involucran M.C.D y M.C.M.



Objetivo: Validar la solución de problemas por parte de los estudiantes, a partir de la

diferenciación del M.C.D y el M.C.M



Duración: Dos horas.

Explique claramente la solución de los 4 problemas planteados, asegurándose de que

los estudiantes reconozcan los 4 pasos fundamentales para tal fin. Par esto, planteé unas

preguntas orientadoras para cada etapa, y dé a conocer las palabras claves para identificar

cuál de los dos conceptos debe usarse en la solución de cada uno.

Durante este proceso explicativo, haga referencia a que es importante hacer uso del

proceso de descomposición de números en factores primos, para la solución de la actividad

que propondrá.

Entregue la ficha de trabajo y especifique en que esta actividad se realizará en parejas,

oriente cómo debe resolverse la actividad, enfatizando en la importancia de llevar a cabo el

paso a paso detallado en la solución de cada situación planteada.

Una vez finalizado el tiempo estipulado para el desarrollo de la actividad, realice un

corto conversatorio, sobre cuáles fueron las etapas de solución que más se les dificultó y

compartan algunas soluciones obtenidas, con el fin de aclarar dudas y corregir posibles

errores.

4.3.8 Actividad # 8: Pon a prueba qué tanto aprendiste.


utilizar para la realización de la actividad (colores).

Al iniciar la clase, indíquele a los estudiantes que esta es la última actividad que ofrece

la cartilla, la cual reúne todos los elementos que se abordaron durante su exploración, los

cuales les serán de gran utilidad para temáticas futuras que aprenderán y también para su

vida diaria.

Dé a conocer a los estudiantes el objetivo de la última actividad de la cartilla y el tiempo

que tendrán para su desarrollo.

Objetivo: Evaluar qué tanto aprendieron los estudiantes sobre los contenidos

presentados en la cartilla.

Duración: Dos horas.



6 fichas con ponqués. Una vez haya entregado a los estudiantes el material requerido,

asegúrese de explicar en detalle la descripción de la actividad, acompañando su realización y

respondiendo las posibles dudas que puedan surgir durante su realización.

Resuelva de forma general las dudas planteadas por los estudiantes, ya que serán

referente de ayuda para todo el grupo.


participación libre de los estudiantes y de sus respectivas correcciones, con el fin de que los

estudiantes afiancen los conceptos trabajados en la actividad.

4.4 Material de apoyo para el estudiante

La cartilla como tal es una herramienta para manejo del estudiante, a partir de la cual

dispondrá de material impreso y variado que podrá recortar, pintar y manipular como insumo

para la realización de algunas actividades, lo cual le permitirá analizar e interpretar las

situaciones presentadas, apropiándose de su propio aprendizaje.



4.4.1 Ficha con canicas (Actividad # 1)

Debes disponer de 5 fichas como esta:

Figura 1. Ficha con canicas (Actividad # 1)


4.4.2 Ficha con rosas (Actividad # 1)


Figura 2. Ficha con rosas (Actividad # 1)



4.4.3 Tablero de juego (Actividades # 2 y # 3)

Deben disponer del mismo tablero para ambas actividades.

Figura 3. Tablero de juego (Actividades # 2 y # 3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100


4.4.4 Fichas recortables (Actividades # 2 y # 3)

Cada jugador debe disponer de 50 fichas de un color diferente

Figura 4. Fichas recortables (Actividades # 2 y # 3)



4.4.5 Criba de Eratóstenes (Actividad # 4)

Debes disponer de un tablero como este:

Figura 5. Criba de Eratóstenes (Actividad # 4)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100


4.4.6 Botones de colores recortables (Actividad # 5)

Los dos participantes deben disponer de 8 de botones de papel de cada color.

Figura 6. Botones de colores recortables (Actividad # 5).



4.4.7 Descomposición con botones (Actividad # 5)

Debes disponer de una ficha como esta:

30

BOTONES

MULTIPLICACIÓN

2 x 3 x 5

CON POTENCIAS

NO APLICA

75

BOTONES

MULTIPLICACIÓN

CON POTENCIAS

112

BOTONES

MULTIPLICACIÓN

CON POTENCIAS

175

BOTONES

MULTIPLICACIÓN

CON POTENCIAS

Figura 7. Descomposición con botones (Actividad # 5)


4.4.8 Ficha con ponqués (Actividad # 8)


Figura 8. Ficha con ponqués (Actividad # 8)



4.5 Evaluación de la cartilla a partir de juicio de expertos

Una vez diseñada la cartilla, las pautas para el docente y el material manipulable para

el estudiante, ésta se sometió al juicio de dos expertos, los cuales fueron elegidos por la

directora del trabajo de grado. La evaluación realizada por ellos, se llevó a cabo a partir de la

tabla 2: lista de chequeo.

Los nombres de dichos evaluadores no se mencionan, pero serán identificados como:

Evaluador # 1 y Evaluador # 2. Sus sugerencias y observaciones generales se muestran a

continuación:

Tabla 5. Lista de chequeo (Evaluador # 1).

ASPECTO A

EVALUAR

CUMPL

E

OBSERVACIONES Y SUGERENCIAS

SI NO

Título acorde

a la temática

Es necesario especificar o presentar el tema de

la cartilla. “La aventura con los números” es un título

llamativo, pero a su vez lleva a pensar que se van a

tratar muchos temas de matemáticas. Si no es en esta

parte, puede ir explicado en la introducción.

Pertinencia de

la introducción

Presentar a los estudiantes de que va a tratar la

cartilla (contenidos) ya que sólo se explica cómo está

organizada.

Secuencialida

d en las temáticas

Se presentan las temáticas en forma

secuencial, teniendo en cuenta los saberes previos de

los estudiantes, además se observa la importancia que

se da al material manipulativo (concreto) para que los

estudiantes aprendan los conceptos a partir de la

resolución de situaciones problemas presentados.


Imágenes

apropiadas

Imágenes ajustadas al contenido, se sugiere

cambiar la imagen de la portada, pues se observa un

poco pixelada. En la actividad 8 (punto 3) la imagen

también está pixelada.

Claridad en

los contenidos

teóricos

Contenidos claros, lenguaje sencillo que hace

que los estudiantes puedan resolver por sí solos la

cartilla.

Coherencia

de los ejemplos con

la teoría.

Se observa la intención de construir el concepto

desde el planteamiento de problemas, que poco a poco

van a acercar al estudiante al aprendizaje.

Actividades

claras y variadas

Instrucciones claras, con ejemplos.

La ficha de la actividad 1. Se sugiere que la

entrega de las fichas a los estudiantes sea sin colores,

para que puedan hacer la actividad de acuerdo a lo

pedido en la instrucción. Me imagino que va en los

anexos

Diseño

llamativo para

estudiantes de grado

sexto

Colores y diseño acorde para el uso con

estudiantes del grado 6°

Tipo y tamaño

de letra acordes

Debe de realizar revisión de algunas palabras

donde se presentan algunas omisiones de letras, ya

que puede alterar el significado. Revise toda la cartilla,

puede observar que la mayoría de errores está en la

sección “Pautas de apoyo para el docente”.



Observaciones generales (Palabras textuales del Evaluador # 1):

“En términos generales se observa un diseño de forma y contenido que tiene cohesión

y coherencia entre los conceptos tratados. Se explica claramente teniendo en cuenta las

situaciones propuestas en cada actividad. Se observan actividades concretas y exploratorias

que llevan al aprendizaje de los conceptos, lo cual para los estudiantes de grado 6°, teniendo

en cuenta también la edad, es todavía esencial. Se puede ver claramente la intención de pasar

por el aprendizaje concreto a otro más formal.

Es una guía no sólo para los estudiantes si no para que el docente aborde de forma

divertida estos conceptos dentro del aula”.

Tabla 6. Lista de chequeo (Evaluador #2)

Manejo

adecuado de los

colores

ASPECTO A EVALUAR

CUMPLE OBSERVACIONES Y SUGERENCIAS

SI NO

Título acorde a la

temática

X El título de la cartilla “una aventura

con los números” es muy general, es

recomendable que este más enfocado al

tema central del mismo m.c.d y m.c.m.

Pertinencia de la

introducción

X En la introducción se recomienda

esclarecer los temas y subtemas que la

cartilla aborda, para que docentes, padres de

familia y estudiantes conozcan que tópicos

aborda. También incluir la importancia de


que los estudiantes adquieran aprendizajes

sólidos en estos temas y demás.

Secuencialidad en

las temáticas

X

X

La secuencialidad de los temas está

acorde a la finalidad de la cartilla.

Imágenes

apropiadas

X

X

El uso de las imágenes es esencial

en el diseño de un material como estos.

Recomiendo por tanto incluir diversas

imágenes (no repetir las mismas) que

apoyen los procesos.

Claridad en los

contenidos teóricos

X

X

Los contenidos teóricos tienen un

tratamiento tradicional, donde se dan

conceptos y ejemplos numéricos. No está

demás acompañar estos ejemplos con

pequeños ejemplos que ilustren éstos.

Coherencia de los

ejemplos con la teoría.

X

X

Los ejemplos son acordes a cada

una de las actividades y de los propósitos

que busca con respecto a la enseñanza

Actividades claras y

variadas

X

X

Presenta la cartilla variedad de

actividades que permite englobar el tema

central m.c.m y m.c.d

Diseño llamativo

para estudiantes de grado

sexto

X

X

Aunque la presentación general de la

cartilla está bien, pero no tanto para

estudiantes de grado sexto, ya que requiere

de más elementos visuales (imágenes

variadas, y otros elementos visuales que

acompañen los procesos y los ejemplos)



Observaciones generales (Palabras textuales del Evaluador # 2):

“La cartilla es una buena opción de aprendizaje para los estudiantes y herramienta útil

para padres de familia y docentes.

Se recomienda que la introducción permita al lector informarse sobre qué temas y

subtemas tratara la cartilla, sin dejar ser amena y divertida. También es importante que la

bienvenida indique a que publico está dirigida, es decir que el lector tenga una idea preliminar

sobre el nivel de la cartilla que es para estudiantes de sexto grado.

La propuesta desde el juego es una buena opción para enganchar y motivar a los

estudiantes a que avancen en estas temáticas que son de vital importancia en las matemáticas

futuras que afrontara el estudiante.

La parte visual es muy importante y la cartilla se acerca, sólo algunos detalles a tener

en cuenta como las imágenes, tan importantes para estudiantes de sexto; estas ojalá sean

más variadas que permitan acompañar cada uno de los procesos para el desarrollo de las

distintas temáticas.

Los procesos presentados son correctos, pero estos los recomiendo no sólo dejarlos

como un mero listado, sino que acompañen cada proceso que desarrolla un ejemplo que

implica varios procesos y estos deben detallarse para optimizar aprendizajes. La importancia

de lo anterior radica que la cartilla la puede manejar tanto un padre de familia como un

estudiante.

Tipo y tamaño de

letra acordes

X

X

El tipo de letra es adecuado.

Manejo adecuado

de los colores

X

X

La cartilla es colorida y ello es bueno,

pero es recomendable que los colores de

fondo del cuadro de dialogo se acoplen con

los colores principales, además los colores

del texto contenidos en estos deben ser del

mismo color.


Con respecto a las actividades, son variadas, distintas y vinculan al estudiante al hacer

y el realizar junto con otros amigos o papás.

Es importante que la cartilla propone diversas situaciones problema relacionadas con

los temas desarrollados.

Y por último es un acierto incluir anexos para los materiales que pueden ser empleados

por docentes o padres de familia”.

Las observaciones y sugerencias realizadas por los dos evaluadores, se llevaron a

cabo con el aval y orientación de la directora de trabajo de grado, con el fin de dar cumplimiento

al tercer objetivo propuesto en el trabajo.

5. Conclusiones y recomendaciones 95

5. Conclusiones y recomendaciones

5.1 Conclusiones

La realidad actual que vivimos en medio de la contingencia por el COVID-19, no

permitió la intervención y aplicación en el aula del trabajo inicialmente propuesto, por lo

que éste se redireccionó de otra forma, a través del diseño de una cartilla didáctica para la

enseñanza del máximo común divisor (M.C.D) y el mínimo común múltiplo (M.C.M),

aplicada a la resolución de problemas, con el fin de generar aprendizajes significativos en

los estudiantes.

Contrario a lo observado del rastreo bibliográfico y cibergráfico que se llevó a cabo

sobre la enseñanza actual del Máximo Común Divisor (M.C.D) y el mínimo común múltiplo

(M.C.M) en el grado sexto, donde los recursos explorados carecen de elementos

articuladores entre los conocimientos previos de los estudiantes, la teoría, la práctica y las

actividades propuestas, limitándose a la realización mecánica y rutinaria de ejercicios y

problemas; la cartilla brinda elementos que integran todos estos aspectos, desde la

exploración, análisis e interpretación del material propuesto, en pro de aplicar los nuevos

conocimientos adquiridos a la resolución de problemas y situaciones de la cotidianidad.

En la elaboración de esta cartilla como herramienta de enseñanza, se plantearon

actividades concretas y exploratorias que llevan al aprendizaje y aplicación de los

conceptos, desde la manipulación de material concreto en relación a La Teoría elemental

de Números, de una forma dinámica, agradable y fácil, lo cual es de gran importancia para

los estudiantes de grado sexto, facilitándoles que pasen de un aprendizaje concreto a uno

más formal.



En este mismo sentido, el diseño de la cartilla se estructuró en 3 momentos como lo

son: el diseño de la cartilla como tal, como material principalmente dirigido a los

estudiantes, las pautas de apoyo para el docente, que son un derrotero detallado sobre

cómo debe acompañar y orientar exploración de la cartilla, y, por último, el material de

apoyo para el estudiante, donde se encuentran fichas imprimibles, para que el estudiante

recorte, pinte e interactúe con ellas como insumo para la realización de algunas

actividades. En este orden de ideas, la cartilla es una herramienta útil, no sólo para el

estudiante, sino también para el docente, ya que ésta podrá ser trabajada en el colegio con

el direccionamiento del docente, en casa en compañía de un familiar o desde la autonomía

del estudiante.

Los aportes y recomendaciones realizados por los dos evaluadores elegidos por la

directora del trabajo de grado, pusieron en manifiesto la pertinencia de la cartilla diseñada

para los estudiantes de grado sexto, desde las temáticas particulares que allí se abordaron,

con lo cual se puede decir que la cartilla es una herramienta de apoyo práctica y funcional

para la enseñanza y facilitar el proceso de aprendizaje en los estudiantes.

Por último, cabe resaltar que la elaboración y construcción de la cartilla y el material

pertinente para ello, desde el constructivismo y la teoría de la resolución de problemas,

permiten al estudiante desempeñar un rol más activo en la construcción de su propio

conocimiento, desde el fortalecimiento de su actividad mental, la manipulación de material

concreto y la interacción con situaciones prácticas y del contexto.

Conclusiones y recomendaciones 97

5.2 Recomendaciones

Si bien es cierto que las actividades planteadas en la cartilla, no se implementaron

desde la intervención directa en el aula, como paso a seguir, se sugiere que éstas sean

implementadas, analizadas y sistematizadas, para evidenciar si se mejoró o solucionó la

problemática encontrada inicialmente.

En caso de que las actividades propuestas se implementen al interior del aula, se

deberá contar con un tiempo mínimo de 12 semanas, para que el docente teorice y

ejemplifique los conceptos abordados, dirija la realización de la actividad por parte de los

estudiantes, resuelva dudas, socialice y retroalimente resultados de cada actividad.

Dada la pertinencia del material diseñado para la enseñanza del tema en cuestión

en grado sexto, se recomienda que este material sea usado y explorado por los estudiantes

de grado sexto y docentes de matemáticas de dicho grado, en cualquier ciudad del país, y

por qué no, también en otros países.

Se sugiere llevar el material diseñado a la virtualidad, para generar una nueva

herramienta interactiva, que esté mediada por eso uso de las TIC y la era tecnológica de

la que hacen parte los estudiantes en la actualidad.



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A. Anexo: Libro los caminos del saber 6

Anexos 103

Anexos 105

Anexos 107

B. Anexo: Libro vamos a aprender Matemáticas 6

Anexos 109

Cartilla didáctica para la enseñanza del máximo común ...

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