Cartel A2 Branco · Un rectángulo é áureo se:Unrectángulo é áureo se: Lonxitude da...

sem

ana áurea

sem

ana áurea

IES

Ram

ónOt

ero P

edra

yo. A

Cor

uña

2015

.IE

SRa

món

Oter

oPed

rayo

.AC

oru

ña20

15.

IES Ramón Otero Pedrayo. A Coruña 2015.IES Ramón Otero Pedrayo. A Coruña 2015.

Sección ÁureaSección Áurea

A

A C

B

B

Dado un segmento , imos dividilo en dúas partescortándoo polo punto .

Teremos deste modo tres segmentos: , e .

AB

C

AB AC CB

,Dado un segmento , imos dividilo en dúas partescortándoo polo punto .

Teremos deste modo tres segmentos: , e .

AB

C

AB AC CB

,

Cando ocorra queCando ocorra queAB ACAC CB

=

diremos que, ao facer o corte polo punto obtemos ado segmento

C,

AB.Sección Áureadiremos que, ao facer o corte polo punto obtemos a

do segmentoC,

AB.Sección Áurea

Euclides

media e extrema razón

diría que acabamos de“

”.dividir a lonxitude enAB

Euclides

media e extrema razón

diría que acabamos de“

”.dividir a lonxitude enAB


Divina ProporciónDivina Proporción

A

A

C

C

B

B

Sexa o punto que determina a dosegmento

Designemos por a medida do segmento e por amedida do segmento

C

AB

a AC b

CB

Sección Áurea.

.

Sexa o punto que determina a dosegmento

Designemos por a medida do segmento e por amedida do segmento

C

AB

a AC b

CB

Sección Áurea.

.

a b

a + ba + b

Podemos escribir:Podemos escribir:

a + ba + ba =

ab

Luca PacioliDivina Proporción

denominou esta relación como.

Luca PacioliDivina Proporción

denominou esta relación como.


Número ÁureoNúmero Áureo

Partimos da :Divina ProporciónPartimos da :Divina Proporción

a + ba + b

+

x + 1x + 1

a

x

=

=

=

a

a

b

b

Dividimos entre o numerador e denominador daprimeira razón:

bDividimos entre o numerador e denominador daprimeira razón:

b

a bb b

ab

Facemos o cambio :Facemos o cambio := xab

x

x + 1x + 1 x + 1x + 1 - x - 1- x - 1x = = = 0= 0=> =>x x2

x2

x2

x2

Tomando a solución positiva da ecuación:Tomando a solución positiva da ecuación:

1,61803398...= =1 5

2+

x

Este número irracional adoita representarse coa letra grega, :phi

Este número irracional adoita representarse coa letra grega, :phi

1,61803398874989484820...=�

�


é irracionalé irracional�

=1 5

2+�

1,618033988749894848204586834365638117720309179805

76286213544862270526046281890244970720720418939113

74847540880753868917521266338622235369317931800607

66726354433389086595939582905638322661319928290267

88067520876689250171169620703222104321626954862629

63136144381497587012203408058879544547492461856953

64864449241044320771344947049565846788509874339442

21254487706647809158846074998871240076521705751797

88341662562494075890697040002812104276217711177780

53153171410117046665991466979873176135600670874807

10131795236894275219484353056783002287856997829778

34784587822891109762500302696156170025046433824377

64861028383126833037242926752631165339247316711121

15881863851331620384005222165791286675294654906811

31715993432359734949850904094762132229810172610705

96116456299098162905552085247903524060201727997471

75342777592778625619432082750513121815628551222480

93947123414517022373580577278616008688382952304592

64787801788992199027077690389532196819861514378031

49974110692608867429622675756052317277752035361393

62107673893764556060605921658946675955190040055590

89502295309423124823552122124154440064703405657347

97663972394949946584578873039623090375033993856210

24236902513868041457799569812244574717803417312645

32204163972321340444494873023154176768937521030687

37880344170093954409627955898678723209512426893557

30970450959568440175551988192180206405290551893494

75926007348522821010881946445442223188913192946896

22002301443770269923007803085261180754519288770502

10968424936271359251876077788466583615023891349333

31...

1,618033988749894848204586834365638117720309179805

76286213544862270526046281890244970720720418939113

74847540880753868917521266338622235369317931800607

66726354433389086595939582905638322661319928290267

88067520876689250171169620703222104321626954862629

63136144381497587012203408058879544547492461856953

64864449241044320771344947049565846788509874339442

21254487706647809158846074998871240076521705751797

88341662562494075890697040002812104276217711177780

53153171410117046665991466979873176135600670874807

10131795236894275219484353056783002287856997829778

34784587822891109762500302696156170025046433824377

64861028383126833037242926752631165339247316711121

15881863851331620384005222165791286675294654906811

31715993432359734949850904094762132229810172610705

96116456299098162905552085247903524060201727997471

75342777592778625619432082750513121815628551222480

93947123414517022373580577278616008688382952304592

64787801788992199027077690389532196819861514378031

49974110692608867429622675756052317277752035361393

62107673893764556060605921658946675955190040055590

89502295309423124823552122124154440064703405657347

97663972394949946584578873039623090375033993856210

24236902513868041457799569812244574717803417312645

32204163972321340444494873023154176768937521030687

37880344170093954409627955898678723209512426893557

30970450959568440175551988192180206405290551893494

75926007348522821010881946445442223188913192946896

22002301443770269923007803085261180754519288770502

10968424936271359251876077788466583615023891349333

31...

As primeiras mil cincocentas cifras decimais do número :phiAs primeiras mil cincocentas cifras decimais do número :phi

=�

Número ÁureoNúmero Áureo

Se é solución da ecuaciónSe é solución da ecuación

entón cúmprese que:entón cúmprese que:

e, polo tanto:e, polo tanto:

- x - 1- x - 1

- - 1�- - 1�

+ 1� + 1�

+ 1� + 1�

1 +1 +

= 0= 0

= 0= 0

=

=

=

=

x2

x2

�2�2

�2�2

�

�

�

�

�

�

1

1� - 1� - 1



Como se fai a Sección Áureadun segmento?

Como se fai a Sección Áureadun segmento?

A

A

A

A

C

C

B

B

B

B

med(AB)

D

D

D

med(BD) =med(BD) =med(AB)

2

E

E

Seguimos o seguinte proceso:Seguimos o seguinte proceso:

Xustifica alxebricamente esta construción.Xustifica alxebricamente esta construción.


Dado o segmento AC, como se constrúeo segmento AB?

Dado o segmento AC, como se constrúeo segmento AB?

A

A

A

C

C

C B

a

a

2

a

a

a

Seguimos o seguinte proceso:Seguimos o seguinte proceso:

Xustifica alxebricamente esta construción.Xustifica alxebricamente esta construción.


Como se constrúe unRectángulo Áureo?

Como se constrúe unRectángulo Áureo?

Baseándonos na construción anterior:Baseándonos na construción anterior:

Un rectángulo é áureo se:Un rectángulo é áureo se:

Lonxitude da baseLonxitude da baseLonxitude da alturaLonxitude da altura

=�


Sucesión de rectángulos áureosSucesión de rectángulos áureos

Se dun rectángulo áureo separamos un cadrado de áreamáxima, o novo rectángulo obtido será tamén áureo.Se dun rectángulo áureo separamos un cadrado de áreamáxima, o novo rectángulo obtido será tamén áureo.


Dúas propiedadesDúas propiedades

Estoutra propiedade soamente se cumpre se o é.

rectánguloáureoEstoutra propiedade soamente se cumpre se o é

.rectángulo

áureo

Calquera familia de cumpren aseguinte propiedade:

rectángulos semellantesCalquera familia de cumpren aseguinte propiedade:

rectángulos semellantes


Rectángulos áureos e aproximación daespiral logarítmica

Rectángulos áureos e aproximación daespiral logarítmica


Pentágono e número áureoPentágono e número áureo

A

A

B

B

C

X

=

=

�

�

AB

AB

AC

AX


Triángulos áureosTriángulos áureos

AA BC

C

108º

B

=�ABAC

36º 36º

36º

72º 72º

+ 1� + 1�=�2�2

A

A

C

C

B

B

1

1 1

1

2

Número Áureo eTeorema de Pitágoras

Número Áureo eTeorema de Pitágoras

�

� �

�

52


Número Áureo edardo e papaventos de Penrose

Número Áureo edardo e papaventos de Penrose


Dardo

Papaventos

Ro

ger

Pen

rose

Ro

ger

Pen

rose

Leonardo de Pisa, Fibonacci, (1170 - 1250)Leonardo de Pisa, Fibonacci, (1170 - 1250)


Sucesión de FibonacciSucesión de Fibonacci

No ano 1202 aparece a primeira

edición do , primeiro libro

de . Curiosamente,

o nome de quedou ligado

para sempre a un problema deste libro

que ten por protagonistas a unha

parella de coellos.

A partir da resolución dese problema

xurde unha sucesión numérica

chamada que

presenta infinidade de propiedades

matemáticas.

O problema en cuestión poderíase

redactar así:

Liber abaci

Leonardo de Pisa

Fibonacci

Sucesión de Fibonacci

No ano 1202 aparece a primeira

edición do , primeiro libro

de . Curiosamente,

o nome de quedou ligado

para sempre a un problema deste libro

que ten por protagonistas a unha

parella de coellos.

A partir da resolución dese problema

xurde unha sucesión numérica

chamada que

presenta infinidade de propiedades

matemáticas.

O problema en cuestión poderíase

redactar así:

Liber abaci

Leonardo de Pisa

Fibonacci

Sucesión de Fibonacci

Un home ten unha parella de coellos nun terreo cerrada. Estaparella medra durante un mes e cando remata ese mes acada aidade fértil. A partir dese momento, xeran unha novaparella de coellos que tarda outro mes en nacer.

Cantas parellas de coellos haberá ao cabo dun ano se cadaunha das que nacen se comporta da mesma maneira respecto áprocreación?

cada mes

Un home ten unha parella de coellos nun terreo cerrada. Estaparella medra durante un mes e cando remata ese mes acada aidade fértil. A partir dese momento, xeran unha novaparella de coellos que tarda outro mes en nacer.

Cantas parellas de coellos haberá ao cabo dun ano se cadaunha das que nacen se comporta da mesma maneira respecto áprocreación?

cada mes



1

1

2

1

3

2

4

3

5

5

6

8

Meses:

N Parellas:o

N Parellas:o

Debuxo: Violeta Moldes RivasDebuxo: Violeta Moldes Rivas


1

, 1, 2

6765

,3,

5,

68

8,

13,21,34,55,8

9,144,2

33,377,610,9

87, 1597, 2584, 4181,

, 10946,

17

711,28

657,46

3...

1

, 1, 2

6765

,3,

5,

68

8,

13,21,34,55,8

9,144,2

33,377,610,9

87, 1597, 2584, 4181,

, 10946,

17

711,28

657,46

3...


F = 11F = 11

F = 12F = 12

F = F + Fn n-1 n-2F = F + Fn n-1 n-2{

11 155

52 2+

-( )( ) ( )( )n n[ ][ ]-F =nF =n

Lei de recorrencia para aSucesión de Fibonacci:

Lei de recorrencia para aSucesión de Fibonacci:

Expresión do termo xeral da Sucesión de Fibonacci:Expresión do termo xeral da Sucesión de Fibonacci:

Cálc

ulo

sre

aliz

ados

con

Wiris

Cálc

ulo

sre

aliz

ados

con

Wiris

1 1

5

2

3

21

8

13

55

34



1

3

8

21

55

144

377

987

2584

6765

17 71117 711

46 36846 368

121 393121 393

317 811317 811

832 040832 040

1

2

5

13

34

89

233

610

1597

4181

10 94610 946

28 65728 657

75 02575 025

196 418196 418

514 229514 229

2

5

13

34

89

233

610

1597

4181

10 94610 946

28 65728 657

75 02575 025

196 418196 418

514 229514 229

1 346 2691 346 269

1

3

8

21

55

144

377

987

2584

6765

17 71117 711

46 36846 368

121 393121 393

317 811317 811

832 040832 040

= 2= 2

= 1,666...= 1,666...

= 1,625= 1,625

= 1,619047619047...= 1,619047619047...

= 1,6181818...= 1,6181818...

= 1,6180555...= 1,6180555...

= 1,618037135...= 1,618037135...

= 1,61803444782...= 1,61803444782...

= 1,6180340557...= 1,6180340557...

= 1,618033998521803399852...= 1,618033998521803399852...

= 1,618033990175597...= 1,618033990175597...

= 1,618033988957902...= 1,618033988957902...

= 1,61803398878024...= 1,61803398878024...

= 1,61803398875432...= 1,61803398875432...

= 1,61803398875054...= 1,61803398875054...

= 1= 1

= 1,5= 1,5

= 1,6= 1,6

= 1,615384615384...= 1,615384615384...

= 1,61764705882352941...= 1,61764705882352941...

= 1,617977528...= 1,617977528...

= 1,618025751...= 1,618025751...

= 1,618032786885...= 1,618032786885...

= 1,618033813400...= 1,618033813400...

= 1,6180339631667...= 1,6180339631667...

= 1,618033985017...= 1,618033985017...

= 1,618033988205...= 1,618033988205...

= 1,618033988670443...= 1,618033988670443...

= 1,618033988738303...= 1,618033988738303...

= 1,61803398874920...= 1,61803398874920...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1,61803398874989484820...FnFn

= =�Lim Fn+1Fn+1


Fra Luca Pacioli da Borgo Sansepolcro (1445 - 1517)Fra Luca Pacioli da Borgo Sansepolcro (1445 - 1517)



Leonardo da Vinci (1452 - 1519)Leonardo da Vinci (1452 - 1519)


Canon das proporcións do corpo humanoCanon das proporcións do corpo humano

O home idealO home ideal ou O home de VitruvioO home de Vitruvio

Leonardo da VinciLeonardo da Vinci


[...] deste modo, o centro natural do corpo humano é o embigo pois se se

deita unha persoa no chan abrindo e estirando os seus brazos e pernas e

debuxamos un círculo facendo centro cun compás no seu embigo, os

extremos dos pés e das mans tocarán na circunferencia.

Así como ocorre isto sobre o círculo, acontece outra propiedade que ten

que ver co cadrado, xa que a medida tomada desde as plantas dos pés ao

cocote coincide coa que hai entre as puntas dos dedos das mans cando se

colocan os brazos en cruz, obténdose así que a altura coincide coa anchura

como sucede nun cadrado. […]De architectura. Libro III. Cap. I

M. Vitruvio Polión.

[...] deste modo, o centro natural do corpo humano é o embigo pois se se

deita unha persoa no chan abrindo e estirando os seus brazos e pernas e

debuxamos un círculo facendo centro cun compás no seu embigo, os

extremos dos pés e das mans tocarán na circunferencia.

Así como ocorre isto sobre o círculo, acontece outra propiedade que ten

que ver co cadrado, xa que a medida tomada desde as plantas dos pés ao

cocote coincide coa que hai entre as puntas dos dedos das mans cando se

colocan os brazos en cruz, obténdose así que a altura coincide coa anchura

como sucede nun cadrado. […]De architectura. Libro III. Cap. I

M. Vitruvio Polión.

r

r

r

r

rr

2

2

22

r 52

r

r

5

5

2

2

l

l

Construción dun cadrado de lad a partir dun

círculo de raio de modo que

o lr

Construción dun cadrado de lad a partir dun

círculo de raio de modo que

o lr

r

r

2

2 r 52

r

1,61803398...== =� 1 52

+

=�rl

rl

Que sorprende nesta construciónse a comparamos co debuxo de

Leonardo da Vinci?

Que sorprende nesta construciónse a comparamos co debuxo de

Leonardo da Vinci?



Le CorbusierLe Corbusier

Charles-Edouard Jeanneret, Le Corbusier

Proporción Áurea

home ideal de Vitruvio

, ( , 6 deoutubro de 1887 , 27 de agosto de 1965).Arquitecto e pintorsuízo-francés.

Entusiasta defensor da aplicación da na arte e naarquitectura.

Seguindo a idea do , crea un sistema deproporcións baseadas no corpo humano para establecer

.

La Chaux-de-Fonds- Cap Martin

“unha medidaharmónica a escala humana, aplicable universalmente á arquitectura eá mecánica”

Charles-Edouard Jeanneret, Le Corbusier

Proporción Áurea

home ideal de Vitruvio

, ( , 6 deoutubro de 1887 , 27 de agosto de 1965).Arquitecto e pintorsuízo-francés.

Entusiasta defensor da aplicación da na arte e naarquitectura.

Seguindo a idea do , crea un sistema deproporcións baseadas no corpo humano para establecer

.

La Chaux-de-Fonds- Cap Martin

“unha medidaharmónica a escala humana, aplicable universalmente á arquitectura eá mecánica”

Este sistema de proporcións presentouseprimeiramente baixo o nome de (1948) elogo como (1953).

está baseado nun home ideal de seis pésde alto (aproximadamente, 183 cm) cun brazolevantado a unha altura de 226 cm.

A altura do home (6 pés, 183 cm) considérase enproporción áurea coa altura do seu embigo (3 pés e8.5 polgadas, 113 cm).

Modulor

Modulor II

O Modulor

Este sistema de proporcións presentouseprimeiramente baixo o nome de (1948) elogo como (1953).

está baseado nun home ideal de seis pésde alto (aproximadamente, 183 cm) cun brazolevantado a unha altura de 226 cm.

A altura do home (6 pés, 183 cm) considérase enproporción áurea coa altura do seu embigo (3 pés e8.5 polgadas, 113 cm).

Modulor

Modulor II

O Modulor

226

113

18370

cm

70

cm

A

C

D

B


A serie vermellaA serie vermellaA partir do segmento AC determínase o punto que cumpraDA partir do segmento AC determínase o punto que cumpraD =�

ACAD

Utilizando os tres números 70, 113, 183 constrúese unha

que foi denominada por

.

sucesión

tipo Fibonacci Le Corbusier serie

vermella

Utilizando os tres números 70, 113, 183 constrúese unha

que foi denominada por

.

sucesión

tipo Fibonacci Le Corbusier serie

vermella

A serie vermella:

… 27, 43, 70, 113, 183 …

A serie vermella:

… 27, 43, 70, 113, 183 …


226

86

cm

86

cm

A

D’

B

140

A serie azulA serie azulDetermínase o punto como sección áurea do segmento AB:D'Determínase o punto como sección áurea do segmento AB:D' =�

AD’AB

Utilizando os tres números 86, 140. 226 constrúese unha sucesión

que se coñece como .tipo Fibonacci serie azul

Utilizando os tres números 86, 140. 226 constrúese unha sucesión

que se coñece como .tipo Fibonacci serie azul

A serie azul:

… 32, 54, 86, 140, 226 …

A serie azul:

… 32, 54, 86, 140, 226 …

27

43

70

226

140

86


Series vermella e azul entrelazadasSeries vermella e azul entrelazadas

113

183

Que relación numérica hai entre as dúas series?Que relación numérica hai entre as dúas series?

27

43

70

226

140

86


113

183

27

43

70

226

140

86


70

cm

113

183

27

43

70

226

140

86


113

183


Dalí e o Número ÁureoDalí e o Número Áureo

Sem

itaza

gig

an

tevo

lan

te,co

nan

exo

inexp

licab

led

ecin

co

metr

os

de

lon

git

ud

Sem

itaza

gig

an

tevo

lan

te,

co

nan

exo

inexp

licab

led

ecin

co

metr

os

de

lon

git

ud



Leda atómicaLeda atómica



A última ceaA última cea


A Gran PirámideA Gran Pirámide

a

146,6

1

115,17

a

l

h

b=l/2b

b

= =a

a = 186,4366 ma = 186,4366 m

186,44

115,17b1,6188243... ~_�


Partenón


Notre DameNotre Dame

Número Áureo e filotaxiaNúmero Áureo e filotaxia


Aparte da botánica que estuda a disposición das follas nos talos das plantas, dos pétalas das flores,das sementes... chámase o .filotaxia filotaxis

Aparte da botánica que estuda a disposición das follas nos talos das plantas, dos pétalas das flores,das sementes... chámase o .filotaxia filotaxis

tres

dúas

unha

Arelación

é, en moitos casos, algunha dasseguintes:

1/2, 1/3, 2/5, 3/8 ...

é, en moitos casos, algunha dasseguintes:

1/2, 1/3, 2/5, 3/8 ...

número de voltas

número de follas

O ángulo áureo obtense ao facer a seccióndunha circunferencia utilizando o númeroáureo:

O ángulo áureo obtense ao facer a seccióndunha circunferencia utilizando o númeroáureo:

0o

0o

360o

360o

,,137 30 27,9

o

137 30 27,9o ,

� =

222 29 32o

222 29 32o ,,,

� =

=�

360o

360o

�

� = 360o

360o �

Ángulo áureoÁngulo áureo

Adistribución das follas sobre os talos e dospétalos das flores de moitas plantas estándirectamente relacionadas co ángulo áureo.

Adistribución das follas sobre os talos e dospétalos das flores de moitas plantas estándirectamente relacionadas co ángulo áureo.

6

1

2

3

5

4

A fermosura dunha rosa ten unha relacióndirecta co número áureo. Os seus pétalosestán xirados uns respecto dos outrosutilizando ángulos que se obteñen aomultiplicar 360º por a parte decimal demúltiplos de .

A fermosura dunha rosa ten unha relacióndirecta co número áureo. Os seus pétalosestán xirados uns respecto dos outrosutilizando ángulos que se obteñen aomultiplicar 360º por a parte decimal demúltiplos de .�


Piña e sucesión de FibonacciPiña e sucesión de Fibonacci


Rafael AlbertiRafael Alberti

A tí, maravillosa disciplina,media, extrema razón de la hermosuraque claramente acata la clausuraviva en la malla de tu ley divina.A tí, cárcel feliz de la retina,áurea sección, celeste cuadratura,misteriosa fontana de mesuraque el universo armónico origina.A tí, mar de los sueños angulares,flor de las cinco flores regulares,dodecaedro azul, arco sonoro.Luces por alas un compás ardiente.Tu canto es una esfera transparente.A tí, divina proporción de oro.

Rafael Alberti

A tí, maravillosa disciplina,media, extrema razón de la hermosuraque claramente acata la clausuraviva en la malla de tu ley divina.A tí, cárcel feliz de la retina,áurea sección, celeste cuadratura,misteriosa fontana de mesuraque el universo armónico origina.A tí, mar de los sueños angulares,flor de las cinco flores regulares,dodecaedro azul, arco sonoro.Luces por alas un compás ardiente.Tu canto es una esfera transparente.A tí, divina proporción de oro.

Rafael Alberti

Cartel A2 Branco · Un rectángulo é áureo se:Unrectángulo é áureo se: Lonxitude da...

Documents

Transcript of Cartel A2 Branco · Un rectángulo é áureo se:Unrectángulo é áureo se: Lonxitude da...