Caroline 1213120118 ..

7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

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BATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2015

SERIES DE POTENCIA

Resolver la ecuaci !i"erecial !e se#u!o or!ed

2y

dx22xy=0

Soluci

Para simplifcar, supondremos un punto ordinario est siempre localizado en x

= 0, ya que si no lo est, la sustitucin t = x- x

0 traslada el valor x=

x0

at=0.

Si x=0esun puntoordinario de la ecuacin diferencialentonces y=n=0

cnx

n

esla

y=n=0

cnxn

dy

dx=

n=1

ncnxn1

d2y

dx2=

n=1

n(n1)cnxn2

por lo tanto al reemplazar se tiened

2y

dx22xy=

n=1

n(n1)cnxn2

n=0

2cnxn+1=0

Ahora deemos i!ualar las potencias y para eso se aplica las propiedades delas series de potencias"

n=0

(n+2 )(n+1)cn+2xn

n=0

2cn1xn=0

luegoigualado losinicios es decir :1.2 . c2+

n=0

(n+2 )(n+1)cn+2xn

n=0

2cn1xn=0

Ahora e#ectuaremos la suma al!$rica de las series((n+2 ) (n+1 ) cn+22cn1)x

n=0

1.2. c2+

n=0

% CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(

7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

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Aplicando el m$todo el merito de los coefcientes indeterminados e i!ualando

termino a termino se tiene"2.c

2=0c

2=0

(n+2 ) (n+1) cn+22cn1=0paran=1,2,3,4

&a 'ltima expresin es equivalente a.

cn+2= 2cn1

(n+2)(n+1), n=1,2,3

Ahora iterando se tiene

n=1,C32C

0

2.3 =

2C0

2.3

n=2,C4

2C1

2.3

n=3,C5

2C2

4.5=0

n=4,C6

2C3

5.6= 2

2

C0

2.3.5.6

n=5,C7

2C4

6.7=

22

C1

3.4.6.7

n=6,C8

2C5

7.8=0,etc.

(omo

y=n=0

cnxn=c

0+c

1x+c

2x

2+c3x

3+c4x

4+

) CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(

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y=c0+c

1x+

2c0

2.3x

3+2c1

3.4x

4+ 2

2C1

3.4 .6.7x

7+

y=c0+2c0

2.3x

3+ 2

2c0

2.3.5.6x

6+ 2

3C0

2.3.5.6.8.9x

9++c1x+

2c1

3.4x

4+ 2

2c1

3.4.6.7x

7

+23C13.4 .6.7 .9.10

x10+

x+ 2

4

3.4+

22

3.4.6.7x

7

y=c0(1+ 22.3

x3+ 22

2.3.5.6x6+ 2

3

2.3.5.6.8.9x 9+)+c1

+23

3.4 .6.7 .9.10x

10+

Resolver la ecuaci !e se#u!o or!e

d2y

dx2+x

dy

dx

+y=0

Soluci

*e acuerdo a la nota el punto ordinario se toma x=0 entonces la solucin

en serie de potencia es

y=n=0

cnxn

dy

dx=

n=1

ncnxn1

d2

y

dx2=

n=2

n(n1)cnxn2

Ahora reemplazamos en la ecuacin di#erencial

+ CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(

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d2y

dx2+x

dx

dx+y=

n=2

n (n1 ) cnxn2+x

n=1

ncnxn1+

n=0

cnxn=0,ahora ponemos

n=1

(n+1 ) (n+2 ) cn+2xn+

ncnx

n+n=0

cnxn=0

las x en una misma potencian=0

[(n+1) (n+2 ) cn+2+cn ]xn+

n=1

ncnxn=0, igualand o los inicios delas series se

n=0

iene.

2 c2+c

0+

n=1

[(n+1 ) (n+2 ) cn+2+cn ]xn+

n=1

cnxn=0

#ectuando la suma al!eraica de la serie"

2c2+c

0+

n=1

[(n+1 ) (n+2 ) cn+2+ (n+1 ) cn ]xn=0

Aplicando el m$todo de los coefcientes indeterminados e i!ualando t$rminos a

t$rmino se tiene.

2c2+c0=0

c2=c

0

2

CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(

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(n+1 ) (n+2) cn+2+(n+1) cn =0

cn+2=

cn

n+2

Para"

n=1,c3=c

1

3

n=2,c4=c

2

4=

c0

2.4

n=3,c5=c

3

5=

c1

3.5

n=4,c6=c

4

6=

c0

2.4 .6

n=5,c7=

c5

7 =

c1

3.5.7

/eneralizando se tiene"

c2n=

(1)n c02.4.6(2n)

y c2n+1=

(1)nC11.3.5 . (2n+1 )

(omo y=c0+c1x+c2x2+c2x3++c2nx3n+c2n+1x2n+1+

CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(

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1n

1

n c1x

2n+1

2n+1

y=n=0

Resolver la ecuaci !i"erecial d

2y

dx2 ) 1* y2 +,e!ia-e series !e

.o-ecia !e /+ saie!o ue 304 )0

Soluci

Tomamos a x0=0 como punto ordinario, porlo tanto lasolucin es y=

n=0

cnxn

Ahora determinamos los coefcientescn , oteni$ndose mediante la

derivada

y=n=0

cnxn

entoncesdy

dx=

n=1

ncnxn1

rewemplazando en laecuacion dada se tiene

xn

n=0

cn

n=1

ncnxn1=1+

1 CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(

7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

7/22


nk

n=0

n

ckc

n=1

ncnxn1

n=0

nk

k=0

n

ckc

n=0

(n+1)cn+1xn

n=0

(n+1 ) cn+1

nk

k=0

n

ck. c

n=0

(omo se tiene un t$rmino independiente en el se!undo miemro entoncesdesarrollamos para n=0en la serie"

ck . ck+n=0

[(n+1 )cn+1k=0

n

ck . cnk]xn=11

k=0

0

c

Aplicamos el m$todo de los coefcientes indeterminados e i!ualando t$rminos atermino se tiene

c1c

0

2=1y=n+1=cn+1k=0

n

ck. cnk=0


7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

8/22


c1=1+c02

&ue!o"Aplicndola condicin inicial y 304=0se

cn+1= 1

n+1k=0

n

ckcn+k n1

tiene y=n=0

cnxn=c

0+c

1x+c

2x

2++cnxn+

y(0)=c0=0c

0=0de donde c

1=12

para:n=1,c2=

1

2k=0

1

ck. c1k=1

2[c0 . c1+c1. c0 ]=0

n=2,c3=

1

3k=0

2

ck.c2k=1

3[c0 . c1+c1 . c1+c2 . c0 ]=

1

3

ck.c 3k=14

[c0. c2+c1. c2+c2. c1+c3. c0 ]=

n=3,c4=

1

4k=0

3

n=4,c5=

1

5k=0

4

ck. c4k=1

5[c0 . c4+c1 . c3+c2 . c2+c3 . c1+c4 c0]=

2

15

n=5,c6=1

6k=0

5

ck. c5k=0


7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

9/22


ck. c6k= 17

315

n=6,c7=

1

6k=0

5

y=n=0

cnxn=c

0+c

1x+c

2x

2++cnxn+

y=x+1

3x

3+ 2

15x

5+ 17

315x

7+ y=tgx .

allar la soluci #eeral !e la ecuaci !i"erecial

d2y

dx22xdy

dx 3y=0

Soluci

omamos a x

0=0

como punto ordinario, por lo tanto la solucin en serie de

potencias alrededor dex

0 =0 es"

y=n=0

cnxn

de dondedy

dx=

n=1

n cnxn1

d2y

dx2=

n=2

n (n1 ) cnxn2

Ahora reemplazamos en la ecuacin di#erencial dada.

n=2

n (n1) cnxn2

2xn=1

n cnxn13

n=1

cnxn=0

n=2

n (n1 ) cnxn2

n=1

2n cnxn3

n=0

cnxn=0 , poniendolas xen unamisma potencia

n=2

(n2) (n+1 ) cn+2xn

n=1

2n cnxn

n=0

3cnxn=0


7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

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Ahora poniendo los inicios i!uales se tiene"

2 c2

3 c0

+

n=1

(n+2 ) (n+1 ) cn+2

xn

n=1

2n cnx

n

n=1

3cnx

n=0

#ectuando la suma al!eraica de la serie"

2n+3(n+2 )(n+1cn+2()cn ]x

n=0

2c23c

0+

n=1

#ectuando el m$todo de los coefcientes indeterminados e i!ualando termino a

termino.

2c23c

0=0y(n+2 ) (n+1 ) cn+2(2n+3 ) cn=0

c2

3c0

2y cn+2=

(2n+3)cn(n+2 ) (n+1 )

, n 1

Para

n=1,c3=

5c1

2.3

n=2,c4=

7c2

3.4=

3.7

2.3.4.5c0

n=3,c5=

9c3

4.5=

5.9

2.3.4 .5c1

%0 CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(

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n=4,c6=11

5.6c4=

3.7.11

2.3.4.5.6c0

reemplazando en la solucion se tiene . y=n=0

cnxn=c

0+c

1x+c

2x

2+c3x

3

y=c0+c

1+3

2c0x

2+5c

1

2.3x

3+ 3.7

2.3.4.5x

4+ 5.9 .c

1

2.3.4.5x

5+3.7.11 c

0

2.3.4.5.6x

6+

y=c0(1+ 32 x2+ 3.72.3.4 .5x4+ 3.7.112.3.4 .5.6 x6+ .)+c1(x+ 52.3x3+ 5.92.3.4.5 x5 )

y=c0[1+

n=0

1.3.7(4 n1)

(2n) x

2n]+c1n=0

1.5.9(4n1)

(2n+1) x

2n+1

resol!er la ecuaci n diferencia (x2+1 )d2y

dx2x

dy

dxy=0 , mediante series de potencias x

Soluci

Tomando como punto ordinarioa x0=0entoncesla solucion es :

y=n=1

cnxn dy

dx=

n=1

ncnxn1 entoncesdy

dx=

n=2

n(n1)cnxn2

Ahora reemplazamos a la ecuacin di#erencial dada.

%% CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(

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12/22


ncnxn1

n=1

cnxn=0

(x2+1)n=1

n (n1) cnxn2+x

n=1

n (n1 )cnxn2+

n=1

ncnxn

n=0

cnxn=0

n=2

n (n1 )cnxn+x

n=2

Poniendo las x en una misma potencia.

(n+1 ) (n+2 ) cn+2xn

+n=1

ncnx

n

n=0

cnx

n

=0

n (n1 ) cnxn+

n=0

n=2

Ahora poniendo los inicios i!uales se tiene"

[(n+1) (n+2 ) cn+2cn ]xn+

n=1

ncnxn=0

n ( n1 ) cnxn+

n=0

n=2

[(n+1 ) (n+2 ) cn+2cn+ncn]xn=0

n (n1 ) cnxn+2c

2c

0+

n=1

n=2

2 c2c

0+6.c

3x+

n=0

[n (n+1 ) cn+(n+1 ) (n+2 ) cn+2cn+ncn ]xn=0

%) CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(

7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

13/22


2c2c

0+6.c

3x+

n=0

[n (n+1 ) (n+2) cn+2+(n+1) cn ]xn=0

Aplicando el m$todo de los coefcientes indeterminados e i!ualando t$rmino at$rmino se serie"

{ 2 c

2c

0=0

6c3=0

(n+1 ) (n+2 )cn+2+ (n+1 ) ( n+1 ) cn=0

c2=

c0

2

c3=0

cn+2=n1

n+2cn ,n 1 ,

n=2,c 4=14 c2=

c0

2.4 =

c0

22.2

n=3,c5=25

c3=0

n=4,c6=3c

4

6=

1.3c0

23.3

n=5,c7=4 c5

7=0

n=6,c8=5c

6

8=1.3.5 . c

0

24.4

0

n=7,c9=6c

7

9=0

n=8,c10=7c

8

10=

1.3.5.7. c0

25.5

,etc.

como y=n=0

cnxn=c

0+c

1x+c

2x

2+c3x

3+c4x

4++cnxn+..

%+ CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(

7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

14/22


y=c1x+c

0(1+

x2

21

22x

4+ 13

233

x6

1.3.5

244

x8+

1.3.5.7

255

x10+)

y1(x)=c

0(1+

x2

2

1

222

x4+

13

233

x6

1.3.5

244

x8+

1.3.5.7

255

x10+)

2n

1+x

2

2+

n=2

(1)n11.3.5(2n3)

2n

n x

,

y

1(x)=c

0

y1(x )=c

1x y=k

1y

1(x )+k

2y

2(x ) la solucion general .

De-er,iar el valor !e r .ara ue la ecuaci !i"erecial

d2y

dx2+x

dy

dx+ry=0, tenga soluciones en series de potenciasde x .

dela forma y=n=0

cnxn

Soluci

omando como punto ordinario ax

0=0

entonces la solucin es"

y=n=0

cnxn

dy

dx=

n=1

ncnxn1

entoncesd

2y

dx2=

n=2

n (n1 ) cnxn2

,

Ahora reemplazamos a la ecuacin di#erencial dada.


7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

15/22


n=2

n (n1) cnxn22x

n=1

ncnxn1+r

n=0

cnxn=0

2ncnxn+

n=0

r cnxn=0,poniendo las x en una misma potencia

n (n1 ) cnxn2

n=1

n=2

2ncnxn+

n=0

r cnxn=0,

(n+1 ) (n+2 ) cn+2xn

n=1

n=0

[(n+1) (n+2 ) cn+2+rcn ]xnn=1

2cn=0ahora poniendo los iniciosiguales se tiene

n=0

[(n+1) (n+2 ) cn+2+rcn ]xnn=1

2n cnxn=0

2c2+rc0+n=1

#ectuando la suma al!eraica de las series.


7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

16/22


2c2+rc

0+

n=1

[(n+1 ) (n+2 ) cn+2+(r2n)cn]xn=0

Aplicando el m$todo de los coefcientes indeterminados e i!ualando t$rmino a

t$rmino se tiene" n 1

2c2+rc

0=0

c2=r2

c0

n+1(n+2)

cn+2=r2n

(n+1 ) (n+2) cn+2+(r2n )cn=

+(r2n )cn=0

Para

n=1,C3=r22.3

c1

n=2,C4=r43.4

c2

r (r4 )2.3.4

c0

n=3,C5=r64.5

c3r (r2)(r6)

2.3.4.5 c1


7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

17/22


4=r (r4 )(r8)

2.3.4.5.6 c0

n=4,C6=r85.6

c

5=(r2)(r6)(r10)

2.3.4.5.6.7 c1,etc .

n=5,C7=r19

6.7c

(omo

y=n=0

cnxn=c0+c1x+c2x2+c3x3++cnxn+

y=C0+c1x r

2 x

2c0

r23

c1x3+

r (r4 )4

c0x4+

(r2 ) (r6 )5

c1x5

(r4 )(r8)6

c0x6

(r2 )(r6)( r7

r4

r ( 4 x4 r (r4 ) (r8 )6

x6+)+

1 r

2x

2+

y=C0

r6

(r2 )( 5 x5r (r2 ) (r6 )(r10)

7 x

7+)

x r23

x3+

+C1


7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

18/22


1

(n+1r (r2 ) (r6 ) (r10 )

(2n+1 )x

2n+1)

1+n=0

y=c0

1

(n+1r (r2) (r6 ) (r10) (r(4n+2 ))

(2n+1) x

2n+1)

x+n=0

+C1

&os valores r son para todo r70,)n, donde n +z

"esol!er laecuacin diferenciald

2y

dx2(x+1 )y=0mediante series

Po-ecia !e /6

Soluci

sea y=n=0

cnxn

la solucinen serie de potencia de x deri!ando setiene .

dy

dx=

n=1

n cnxn1

d2

y

dx2=

n=2

n (n1 )cnxn2

ahora reemplzado enla ecuacin


7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

19/22


*i#erencial dada

n=2

n (n1) cnxn2(x+1)n=0

cnxn=0

cnxn+1

n=1

cnxn=0 # poniendo las x en unamisma potencia

n (n1 )cnxn2

n=1

n=2

cnxn

n=0

cnxn=0

(n1 ) (n2 ) cn+2xn

n=1

n=0

cn+2cn(n1 ) (n2) x

n=0

2 c2c

0+

n=1

[(n+1 ) (n+2 ) cn+2cncn1 ]x=0


7/23/2019 Caroline 1213120118 ..

20/22


Aplicamos el m$todo de los coefcientes indeterminado e i!ualando t$rmino a

t$rmino se tiene"

{ 2c2c0=0(n+1) (n+2 )cn+2cncn1=0 { c

2= c0

2

cn+2= cn cn1

(n+1 )(n+2),n 1

Para simplifcar en estos casos, primero podemos ele!irc0

$0,c1=0,

y esto

nos

dar una solucin8 la otra solucin proviene de ele!ir c

0=0,c

1$0

.

Para el primer caso se tiene"

paran=1,C3=

c1+c

0

2.3=

c0

2.3

n=2,C4=

c1+c

1

3.4=

c2

3.4.

c0

2.3.4=

c0

2.4

n=3,C5=

c3+c

2

4.5=( c02.3 .+

c0

2) 14.5=c0

30,etc.

&ue!o una solucin en serie es"

y=c0+c1x+c2x2+c3x

3++cnxn+

)0 CAROLINE RA$OS %ANO&A 121'12011(

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21/22


y1=C

0+

c0

2x

2c0

6x

3+c0

24x

4+c

0

30x

5+=c0(1+

x2

2+

x3

6+

x4

24+

c5

30+)

&a otra solucin es para

c0=0,c

1$0.

n=1,C3=c

0

2.3=

c0

6

n=2,c 4= c2+c13.4

= c13.4

=c 112

n=3,c5=c

3+c

2

4.5=

c1

2.3.4.5=

c1

120,etc

luegola solucin en seriees :y=n=0

cnxn=cn+c1x+c2x

2+c3x

3++cnxn+

y2(x )=C

1x+

c1

6x

3+c

1

12x

4+ c

1

120x

5+=c1(x+

x3

6+

x4

12+

x5

120)

&a solucin !eneral de la ecuacin di#erencial es.

y=C0(1+

x2

6+

x3

6+

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