Carlos Rondero Guerrero

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Cálculo promedial. El caso de la media aritmética

Relime, Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010


Promedial calculus. The average case

Carlos Rondero Guerrero

RESUMEN

En este trabajo se presenta un enfoque acerca de cómo es que la noción de promediación aparece en la construcción de lo que se denomina el cálculo promedial. Se muestran diferentes contextos en los que algún tipo de promedio es usado para la realización de los cálculos correspondientes de áreas,sumas finitas, integrales definidas, valores esperados y otros conceptos de la estadística. El tratamiento gira principalmente en torno de la media aritmética que es el promedio prototípico y del cuál se hace un rescate epistemológico que es el exceso y el defecto que deviene de las consideraciones de Arquímedes.

ABSTRACT

This paper presents an approach on how the promediation notion is shown in the construction of what is termedthe promedial calculus. Show different contexts in which some kind of average is used for carrying out the calculations of areas, finite sums, definite integrals, expected values and other concepts of statistics. Treatment revolves mainly around thearithmetic mean is the prototype of the average, and what is arescue that epistemology is the excess and defect that stems from considerations of Archimedes.

RESUMO

Este trabalho apresenta uma abordagem sobre a forma como o noção promediación é mostrada na construção daquilo que se designa o cálculo promedial. Mostrar diferentes contextos em que algum tipo de média é utilizada para a realizaçãodos cálculos de áreas, finito montantes, definida integrais, valores esperados e outros conceitos de estatísticas. Tratamento gira principalmente em torno de metade do que é a média aritmética considerado como o protótipo do média, e que é um salvamento epistemologica del excesso e defeito e que decorre de considerações de Arquimedes.

Relime (2010) 13 (4-II): 387-408. Recepción: Junio 3, 2009 / Aceptación: Junio 23, 2010.

RESUMORESUMO

Este trabalho apresenta uma abordagem sobre a forma como Este trabalho apresenta uma abordagem sobre a forma como o noção promediación é mostrada na construção daquilo que o noção promediación é mostrada na construção daquilo que se designa o cálculo promedial. Mostrar diferentes contextos se designa o cálculo promedial. Mostrar diferentes contextos em que algum tipo de média é utilizada para a realizaçãoem que algum tipo de média é utilizada para a realizaçãodos cálculos de áreas, finito montantes, definida integrais, dos cálculos de áreas, finito montantes, definida integrais,

This paper presents an approach on how the promediation This paper presents an approach on how the promediation notion is shown in the construction of what is termednotion is shown in the construction of what is termedthe promedial calculus. Show different contexts in which some the promedial calculus. Show different contexts in which some kind of average is used for carrying out the calculations of kind of average is used for carrying out the calculations of areas, finite sums, definite integrals, expected values and other areas, finite sums, definite integrals, expected values and other concepts of statistics. Treatment revolves mainly around theconcepts of statistics. Treatment revolves mainly around thearithmetic mean is the prototype of the average, and what is aarithmetic mean is the prototype of the average, and what is arescue that epistemology is the rescue that epistemology is the excessexcessfrom considerations of Archimedes.from considerations of Archimedes.

RESUMORESUMO

Este trabalho apresenta uma abordagem sobre a forma como Este trabalho apresenta uma abordagem sobre a forma como o noção promediación é mostrada na construção daquilo que o noção promediación é mostrada na construção daquilo que

RESUMORESUMORESUMORESUMO

Este trabalho apresenta uma abordagem sobre a forma como Este trabalho apresenta uma abordagem sobre a forma como Este trabalho apresenta uma abordagem sobre a forma como Este trabalho apresenta uma abordagem sobre a forma como o noção promediación é mostrada na construção daquilo que o noção promediación é mostrada na construção daquilo que o noção promediación é mostrada na construção daquilo que o noção promediación é mostrada na construção daquilo que

conceptos de la estadística. El tratamiento gira principalmente conceptos de la estadística. El tratamiento gira principalmente en torno de la media aritmética que es el promedio prototípico en torno de la media aritmética que es el promedio prototípico y del cuál se hace un rescate epistemológico que es ely del cuál se hace un rescate epistemológico que es el exceso exceso y y

que deviene de las consideraciones de Arquímedes. que deviene de las consideraciones de Arquímedes.

la realización de los cálculos correspondientes de áreas,la realización de los cálculos correspondientes de áreas,sumas finitas, integrales definidas, valores esperados y otros sumas finitas, integrales definidas, valores esperados y otros conceptos de la estadística. El tratamiento gira principalmente conceptos de la estadística. El tratamiento gira principalmente en torno de la media aritmética que es el promedio prototípico en torno de la media aritmética que es el promedio prototípico

PALABRAS CLAVE:

- Cálculo promedial- Exceso y defecto- Rescate epistemológico- Articulación de saberes

KEY WORDS:

- Promedial calculus- Excess and defect- Epistemological rescue- The articulation of

knowledge

PALAVRAS CHAVE:

- Cálculo promedial- Excesso e defeito- O salvamento

epistemologia- A articulação de

conhecimentos



RÉSUMÉ

Ce document présente une approche sur la manière dont la notion de promediacion est montré dans la construction de ce quel’on appelle le calcul promedial. Voir les différents contextes dans lesquels une sorte de moyen est utilisé pour effectuer les calculs de aires, sommes finies, les intégrales définies, lesvaleurs attendues et d’autres concepts de la statistique.Le traitement s’articule essentiellement autour de la moyenne arithmétique considéré comme le prototype de moyenne, etce qui est une opération de sauvetage épistémologic est l’excès et défaut qui découle de considérations d’Archimède.

1 Introducción

El Cálculo promedial está sustentado precisamente en la noción de promediación, considerada a su vez como una idea germinal, en el sentido de que de ella se desprenden defi niciones, teoremas y teorías, identifi cadas

todas ellas como categorías constructivas del conocimiento matemático (Rondero, 2001a).

Es posible mostrar dentro del corpus del Cálculo la persistente presencia manifi esta del Cálculo promedial, que además aparece a su vez en el corpus estructural de muchas otras áreas de la matemática como es el caso de la probabilidad y la estadística.

Uno de los conceptos de promedio más conocido y usado para la realización de diferentes cálculos, es indudablemente la media aritmética, la cualtiene diferentes acepciones que la didáctica tradicional no remarca ni hace explícitas, como puede ser el caso de ocuparla para calcular áreas de triángulos y trapecios, sumas finitas de enteros positivos e integrales definidas defunciones con exponente entero positivo, valores esperados y varianza de variablesaleatorias, entre otros.

En el Cálculo promedial aparecen otros tipos de promedio, no sólo la media aritmética, en tal caso se pueden mencionar dos teoremas del Cálculo, relacionados con el concepto de promedio, como son el Teorema del valormedio para derivadas, que nos dice la forma en que se relacionan la razón de cambio promedio de una función continua con la razón de cambio instantáneo, bajo condiciones dadas y el Teorema del valor medio para integrales, que propicia una forma de calcular la altura promedio de una función continua en un intervalo dado [a,b], mediante la cual es posible encontrar el área bajo la curva, al multiplicar el tamaño del intervalo por dicha altura promedio. Es de hacerse notar

funciones con exponente entero positivo, valores esperados y varianza de variablesfunciones con exponente entero positivo, valores esperados y varianza de variablesaleatorias, entre otros.aleatorias, entre otros.

En el Cálculo promedial aparecen otros tipos de promedio, no sólo la En el Cálculo promedial aparecen otros tipos de promedio, no sólo la media aritmética, en tal caso se pueden mencionar dos teoremas del Cálculo, media aritmética, en tal caso se pueden mencionar dos teoremas del Cálculo, relacionados con el concepto de promedio, como son el Teorema del valorrelacionados con el concepto de promedio, como son el Teorema del valormedio para derivadas, que nos dice la forma en que se relacionan la medio para derivadas, que nos dice la forma en que se relacionan la

Es posible mostrar dentro del corpus del Cálculo la persistente presencia Es posible mostrar dentro del corpus del Cálculo la persistente presencia manifi esta del Cálculo promedial, que además aparece a su vez en el corpus manifi esta del Cálculo promedial, que además aparece a su vez en el corpus estructural de muchas otras áreas de la matemática como es el caso de la estructural de muchas otras áreas de la matemática como es el caso de la probabilidad y la estadística.probabilidad y la estadística.

Uno de los conceptos de promedio más conocido y usado para la realización Uno de los conceptos de promedio más conocido y usado para la realización de diferentes cálculos, es indudablemente la media aritmética, la cualde diferentes cálculos, es indudablemente la media aritmética, la cualtiene diferentes acepciones que la didáctica tradicional no remarca ni hace tiene diferentes acepciones que la didáctica tradicional no remarca ni hace explícitas, como puede ser el caso de ocuparla para calcular áreas de triángulos explícitas, como puede ser el caso de ocuparla para calcular áreas de triángulos y trapecios, sumas finitas de enteros positivos e integrales definidas dey trapecios, sumas finitas de enteros positivos e integrales definidas defunciones con exponente entero positivo, valores esperados y varianza de variablesfunciones con exponente entero positivo, valores esperados y varianza de variablesaleatorias, entre otros.aleatorias, entre otros.

En el Cálculo promedial aparecen otros tipos de promedio, no sólo la En el Cálculo promedial aparecen otros tipos de promedio, no sólo la media aritmética, en tal caso se pueden mencionar dos teoremas del Cálculo, media aritmética, en tal caso se pueden mencionar dos teoremas del Cálculo,

funciones con exponente entero positivo, valores esperados y varianza de variablesfunciones con exponente entero positivo, valores esperados y varianza de variablesfunciones con exponente entero positivo, valores esperados y varianza de variablesfunciones con exponente entero positivo, valores esperados y varianza de variablesaleatorias, entre otros.aleatorias, entre otros.aleatorias, entre otros.aleatorias, entre otros.

En el Cálculo promedial aparecen otros tipos de promedio, no sólo la En el Cálculo promedial aparecen otros tipos de promedio, no sólo la En el Cálculo promedial aparecen otros tipos de promedio, no sólo la En el Cálculo promedial aparecen otros tipos de promedio, no sólo la media aritmética, en tal caso se pueden mencionar dos teoremas del Cálculo, media aritmética, en tal caso se pueden mencionar dos teoremas del Cálculo, media aritmética, en tal caso se pueden mencionar dos teoremas del Cálculo, media aritmética, en tal caso se pueden mencionar dos teoremas del Cálculo,

l Cálculo promedial está sustentado precisamente en la noción de l Cálculo promedial está sustentado precisamente en la noción de promediación, considerada a su vez como una idea germinal, en el sentido promediación, considerada a su vez como una idea germinal, en el sentido de que de ella se desprenden defi niciones, teoremas y teorías, identifi cadas de que de ella se desprenden defi niciones, teoremas y teorías, identifi cadas

todas ellas como categorías constructivas del conocimiento matemático (Rondero, todas ellas como categorías constructivas del conocimiento matemático (Rondero,

Es posible mostrar dentro del corpus del Cálculo la persistente presencia Es posible mostrar dentro del corpus del Cálculo la persistente presencia

l Cálculo promedial está sustentado precisamente en la noción de l Cálculo promedial está sustentado precisamente en la noción de promediación, considerada a su vez como una idea germinal, en el sentido promediación, considerada a su vez como una idea germinal, en el sentido de que de ella se desprenden defi niciones, teoremas y teorías, identifi cadas de que de ella se desprenden defi niciones, teoremas y teorías, identifi cadas

todas ellas como categorías constructivas del conocimiento matemático (Rondero, todas ellas como categorías constructivas del conocimiento matemático (Rondero,

MOTS CLÉS:

- Calcul promedial- L’excès et défaut- Le sauvetage épistémologic- De l’articulation de la

connaissance

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la desarticulación didáctica que se manifi esta en el sentido de que no se hacen explícitas las relaciones conceptuales entre los diferentes tipos de promedio que aparecen en la matemática escolar. Es entonces conveniente el poder realizaruna articulación del saber matemático denominado genéricamente como promedio y mostrar de ese modo las bondades de relacionarlo conceptualmente desde la Matemática Elemental hasta la Matemática Avanzada.

Por otra parte, los usos sociales del promedio son amplios, como método de medición intermedia, valor representativo de otros, referencia obligadacomo un índice indicador de fácil manejo, entre otros. Cabe señalar que tales usos sociales le dan pertinencia al concepto mismo de promedio, pero adicionalmente propician su desarrollo en múltiples áreas del conocimiento, economía, ingeniería, física y química, además de la propia matemática. Los usos y las prácticas sociales impulsan y crean condiciones que a su vez propician la construcción social del conocimiento, sin el cual muchos saberes quedarían inertes.

La perspectiva teórica de este trabajo tiene dos vertientes principales, el rescate epistemológico y la articulación de los saberes matemáticos. En la primera se intenta después de realizar, a un cierto nivel de profundidad, un análisis epistemológico del saber referido, en este caso el promedio, mediante el cual se haga evidente su potencial constructor de conocimiento matemático, rescatarlo precisamente para llevarlo a la didáctica actual. En la segunda vertiente, se trata de resaltar el modo en que los saberes matemáticos se articulan, buscando hacer explícitas las relaciones conceptuales entre los mismos, dado que ello puedepropiciar en quienes aprenden el enriquecimiento cognitivo al develarse las múltiples formas que adopta el mismo saber dentro de las diferentes áreas o asignaturas en que está divida la matemática para su aprendizaje escolar.

2 La media aritmética

Un primer rescate de carácter epistemológico que se ha hecho del promedio, es el que se refi ere a la equiparación del exceso y el defecto. Arquímedes usó enmuchos de sus trabajos el principio de la balanza para el descubrimiento de propiedades geométricas, su sustento epistemológico es el de equilibrio mecánico entre fi guras geométricas, como lo hizo al calcular el área de un sector parabólico. Este equilibrio entre el exceso y el defecto, se puede considerar a su vez como el sustento de la media aritmética.

Por supuesto es posible hacer la identifi cación del método del exceso-defecto, para dos valores reales positivos a y b, con a < b, para lo cual procedemos de la siguiente forma, el exceso de a respecto a un valor intermedio x_, con a < x

_< b , que tiene la característica conceptual de ser el que equipara,

Un primer rescate de carácter epistemológico que se ha hecho del promedio, es Un primer rescate de carácter epistemológico que se ha hecho del promedio, es el que se refi ere a la equiparación del el que se refi ere a la equiparación del muchos de sus trabajos el principio de la balanza para el descubrimiento de muchos de sus trabajos el principio de la balanza para el descubrimiento de propiedades geométricas, su sustento epistemológico es el de equilibrio propiedades geométricas, su sustento epistemológico es el de equilibrio mecánico entre fi guras geométricas, como lo hizo al calcular el área de un sector mecánico entre fi guras geométricas, como lo hizo al calcular el área de un sector parabólico. Este equilibrio entre el exceso y el defecto, se puede considerar a su parabólico. Este equilibrio entre el exceso y el defecto, se puede considerar a su

de resaltar el modo en que los saberes matemáticos se articulan, buscando hacer de resaltar el modo en que los saberes matemáticos se articulan, buscando hacer explícitas las relaciones conceptuales entre los mismos, dado que ello puedeexplícitas las relaciones conceptuales entre los mismos, dado que ello puedepropiciar en quienes aprenden el enriquecimiento cognitivo al develarse las propiciar en quienes aprenden el enriquecimiento cognitivo al develarse las múltiples formas que adopta el mismo saber dentro de las diferentes áreas o múltiples formas que adopta el mismo saber dentro de las diferentes áreas o asignaturas en que está divida la matemática para su aprendizaje escolar.asignaturas en que está divida la matemática para su aprendizaje escolar.

La media aritmética La media aritmética

Un primer rescate de carácter epistemológico que se ha hecho del promedio, es Un primer rescate de carácter epistemológico que se ha hecho del promedio, es el que se refi ere a la equiparación del el que se refi ere a la equiparación del muchos de sus trabajos el principio de la balanza para el descubrimiento de muchos de sus trabajos el principio de la balanza para el descubrimiento de propiedades geométricas, su sustento epistemológico es el de equilibrio propiedades geométricas, su sustento epistemológico es el de equilibrio

Un primer rescate de carácter epistemológico que se ha hecho del promedio, es Un primer rescate de carácter epistemológico que se ha hecho del promedio, es Un primer rescate de carácter epistemológico que se ha hecho del promedio, es Un primer rescate de carácter epistemológico que se ha hecho del promedio, es el que se refi ere a la equiparación del el que se refi ere a la equiparación del el que se refi ere a la equiparación del el que se refi ere a la equiparación del muchos de sus trabajos el principio de la balanza para el descubrimiento de muchos de sus trabajos el principio de la balanza para el descubrimiento de muchos de sus trabajos el principio de la balanza para el descubrimiento de muchos de sus trabajos el principio de la balanza para el descubrimiento de propiedades geométricas, su sustento epistemológico es el de equilibrio propiedades geométricas, su sustento epistemológico es el de equilibrio propiedades geométricas, su sustento epistemológico es el de equilibrio propiedades geométricas, su sustento epistemológico es el de equilibrio

primera se intenta después de realizar, a un cierto nivel de profundidad, un análisis primera se intenta después de realizar, a un cierto nivel de profundidad, un análisis epistemológico del saber referido, en este caso el promedio, mediante el cual se epistemológico del saber referido, en este caso el promedio, mediante el cual se haga evidente su potencial constructor de conocimiento matemático, rescatarlo haga evidente su potencial constructor de conocimiento matemático, rescatarlo precisamente para llevarlo a la didáctica actual. En la segunda vertiente, se trata precisamente para llevarlo a la didáctica actual. En la segunda vertiente, se trata de resaltar el modo en que los saberes matemáticos se articulan, buscando hacer de resaltar el modo en que los saberes matemáticos se articulan, buscando hacer explícitas las relaciones conceptuales entre los mismos, dado que ello puedeexplícitas las relaciones conceptuales entre los mismos, dado que ello puede

de medición intermedia, valor representativo de otros, referencia obligadade medición intermedia, valor representativo de otros, referencia obligadacomo un índice indicador de fácil manejo, entre otros. Cabe señalar que tales usos como un índice indicador de fácil manejo, entre otros. Cabe señalar que tales usos sociales le dan pertinencia al concepto mismo de promedio, pero adicionalmente sociales le dan pertinencia al concepto mismo de promedio, pero adicionalmente propician su desarrollo en múltiples áreas del conocimiento, economía, ingeniería, propician su desarrollo en múltiples áreas del conocimiento, economía, ingeniería, física y química, además de la propia matemática. Los usos y las prácticas sociales física y química, además de la propia matemática. Los usos y las prácticas sociales impulsan y crean condiciones que a su vez propician la construcción social del impulsan y crean condiciones que a su vez propician la construcción social del conocimiento, sin el cual muchos saberes quedarían inertes.conocimiento, sin el cual muchos saberes quedarían inertes.

La perspectiva teórica de este trabajo tiene dos vertientes principales, La perspectiva teórica de este trabajo tiene dos vertientes principales, el rescate epistemológico y la articulación de los saberes matemáticos. En la el rescate epistemológico y la articulación de los saberes matemáticos. En la primera se intenta después de realizar, a un cierto nivel de profundidad, un análisis primera se intenta después de realizar, a un cierto nivel de profundidad, un análisis epistemológico del saber referido, en este caso el promedio, mediante el cual se epistemológico del saber referido, en este caso el promedio, mediante el cual se haga evidente su potencial constructor de conocimiento matemático, rescatarlo haga evidente su potencial constructor de conocimiento matemático, rescatarlo



es x_- a, mientras que el defecto de b respecto a x

_, es x

_- b, en forma tal que

al equipararse se tiene, considerando que x_- a, es un valor positivo, mientras

que x_- b, es negativo

x_- a + x

_- b =0

de donde,

2x_

=a+bo sea,

x_

=a+b

2

Desde un punto de vista conceptual, es mucho más enriquecedor para un estudiante, partir de considerar el exceso y el defecto de los valores a y b,en lugar definirse la media aritmética de dos valores, como usualmente se hace en la didáctica. Ello posibilita una especie de imposición conceptual,de la cual un estudiante difícilmente se puede sustraer, pero al mismo tiempo se convierte en un obstáculo didáctico que le imposibilita el darle otros signifi cados institucionales y personales a la misma.

En (Ramos & Font, 2008) se señala respecto a los signifi cados institucionales de los objetos matemáticos el de tipo Referencial, que concierne al sistema de prácticas que se usa como referencia para elaborar el signifi cado pretendido; que se determina mediante un estudio histórico-epistemológico para mostrar la diversidad de contextos de su uso. Precisamente uno de los propósitos de este trabajo reside en mostrar cómo pueden ser ampliados los significados institucionales del Cálculo promedial, particularmente en referencia al objeto matemático de la media aritmética como una de tantas formas de promedio, a través de las aportaciones del estudio epistemológico, lo que se irá mostrando en el desarrollo del mismo.

2.1. La media aritmética de n valores

Siguiendo con el tratamiento anteriormente discutido, podemos pasar al caso de n valores x1, x2, . . . , xn , bajo la consideración general de que la suma de los excesos y los defectos debe ser nula, respecto precisamente al valor de la media aritmética x

_, es decir,

x_-x1+x

_-x2+x

_-x3+Λ+x

_-xn = 0

de donde,

Siguiendo con el tratamiento anteriormente discutido, podemos pasar al caso de nvalores x1, x2, . . . , xn , bajo la consideración general de que la suma de los excesos y los defectos debe ser nula, respecto precisamente al valor de la media aritmética x , es decir,

0321 nxxxxxxxx

de donde,

n

xx

n

kk

1

Es posible trabajar con estas dos representaciones para la media aritmética,

i) La comparación de dos tipos de totales, n

xx

n

kk

1

ii) La acumulación de cantidades relativas, n

k

k

nx

x1

cada una de las cuales tiene su correspondiente interpretación aunque ambas se complementan en su resignificación.

Existen al menos otras dos formas representadas por,

iii) La suma total es igual a n veces la media, x nkk

n

1

x

iv) La suma nula de las diferencias 0)(11

n

kk

n

kk xxd

Todas las anteriores se pueden considerar como representaciones semióticas de un mismo objeto matemático, en este caso la media aritmética, no sólo cumplen la función de comunicación, sino además con las funciones primordiales de tratamiento de la información y de objetivación o toma de consciencia (Duval, 2004a).

La media aritmética ponderada

Precisamente en la búsqueda de significados, la media aritmética toma otra dimensión cuando aparece la llamada media aritmética ponderada, en donde a cada valor xk, se le asocia su correspondiente ponderación pk. Esto es, cada valor se multiplica por su respectiva ponderación, la suma queda expresada como,

x1 p1+x2 p2+. . . +xn pn = kkx p n

1k

Siguiendo con el tratamiento anteriormente discutido, podemos pasar al caso Siguiendo con el tratamiento anteriormente discutido, podemos pasar al caso de de nn valores valores excesosexcesos y los y los defectos defectos aritmética aritmética xx

__, es decir,, es decir,

que se determina mediante un estudio histórico-epistemológico para mostrar que se determina mediante un estudio histórico-epistemológico para mostrar de su uso.de su uso. Precisamente uno de los propósitos de Precisamente uno de los propósitos de

este trabajo reside en mostrar cómo pueden ser ampliados los significados este trabajo reside en mostrar cómo pueden ser ampliados los significados institucionales del Cálculo promedial, particularmente en referencia al objeto institucionales del Cálculo promedial, particularmente en referencia al objeto matemático de la media aritmética como una de tantas formas de promedio, a matemático de la media aritmética como una de tantas formas de promedio, a través de las aportaciones del estudio epistemológico, lo que se irá mostrando través de las aportaciones del estudio epistemológico, lo que se irá mostrando en el desarrollo del mismo.en el desarrollo del mismo.

La media aritmética de n valoresLa media aritmética de n valores

Siguiendo con el tratamiento anteriormente discutido, podemos pasar al caso Siguiendo con el tratamiento anteriormente discutido, podemos pasar al caso valores valores xx11, x, x22, . . . , x, . . . , x

y los y los defectos defectos , es decir,, es decir,

Siguiendo con el tratamiento anteriormente discutido, podemos pasar al caso Siguiendo con el tratamiento anteriormente discutido, podemos pasar al caso Siguiendo con el tratamiento anteriormente discutido, podemos pasar al caso Siguiendo con el tratamiento anteriormente discutido, podemos pasar al caso valores valores valores valores

y los y los y los y los defectos defectos defectos defectos

Font, 2008) se señala respecto a los signifi cados institucionales Font, 2008) se señala respecto a los signifi cados institucionales Referencial, que concierne al sistema de Referencial, que concierne al sistema de

prácticas que se usa como referencia para elaborar el signifi cado pretendido; prácticas que se usa como referencia para elaborar el signifi cado pretendido; que se determina mediante un estudio histórico-epistemológico para mostrar que se determina mediante un estudio histórico-epistemológico para mostrar

Precisamente uno de los propósitos de Precisamente uno de los propósitos de

Desde un punto de vista conceptual, es mucho más enriquecedor para Desde un punto de vista conceptual, es mucho más enriquecedor para de los valores de los valores aa y y bb

en lugar definirse la media aritmética de dos valores, como usualmente se en lugar definirse la media aritmética de dos valores, como usualmente se hace en la didáctica. Ello posibilita una especie de imposición conceptual,hace en la didáctica. Ello posibilita una especie de imposición conceptual,de la cual un estudiante difícilmente se puede sustraer, pero al mismo tiempo se de la cual un estudiante difícilmente se puede sustraer, pero al mismo tiempo se convierte en un obstáculo didáctico que le imposibilita el darle otros signifi cados convierte en un obstáculo didáctico que le imposibilita el darle otros signifi cados

Font, 2008) se señala respecto a los signifi cados institucionales Font, 2008) se señala respecto a los signifi cados institucionales Referencial, que concierne al sistema de Referencial, que concierne al sistema de

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i) La comparación de dos tipos de totales,

ii) La acumulación de cantidades relativas,

cada una de las cuales tiene su correspondiente interpretación aunque ambasse complementan en su resignifi cación.


iii) La suma total es igual a n veces la media,

iv) La suma nula de las diferencias


2.2. La media aritmética ponderada

Precisamente en la búsqueda de signifi cados, la media aritmética toma otra dimensión cuando aparece la llamada media aritmética ponderada, en dondea cada valor xk, se le asocia su correspondiente ponderación pk. Esto es, cada valor se multiplica por su respectiva ponderación, la suma queda expresada como,

donde la suma de todas sus ponderaciones es,

La media ponderada es,


0321 nxxxxxxxx

de donde,

n

xx

n

kk

1



xx

n

kk

1


k

k

nx

x1




n

1

x


n

kk

n

kk xxd




x1 p1+x2 p2+. . . +xn pn = kkx p n

1k


0321 nxxxxxxxx

de donde,

n

xx

n

kk

1



xx

n

kk

1


k

k

nx

x1




n

1

x


n

kk

n

kk xxd




x1 p1+x2 p2+. . . +xn pn = kkx p n

1k


0321 nxxxxxxxx

de donde,

n

xx

n

kk

1



xx

n

kk

1


k

k

nx

x1




n

1

x


n

kk

n

kk xxd




x1 p1+x2 p2+. . . +xn pn = kkx p n

1k


0321 nxxxxxxxx

de donde,

n

xx

n

kk

1



xx

n

kk

1


k

k

nx

x1




n

1

x


n

kk

n

kk xxd




x1 p1+x2 p2+. . . +xn pn = kkx p n

1k


0321 nxxxxxxxx

de donde,

n

xx

n

kk

1



xx

n

kk

1


k

k

nx

x1




n

1

x


n

kk

n

kk xxd




x1 p1+x2 p2+. . . +xn pn = kkx p n

1k

donde la suma de todas sus ponderaciones es, .n

kkpN

1


N

px

p

pxx

n

kkk

n

kk

n

kkk

p1

1

1

De tal manera que el proceso es muy similar, en el caso de la media simple se puede considerar que cada valor tiene asignado un mismo peso o ponderación que es 1, o sea que la suma correspondiente es:

x1 1+x2 1+. . . +xn 1= 1 1

n

iix

donde la suma de ponderaciones es igual a n, esto es, . Luego la media

aritmética queda expresada como,

n

kn

11

n

xx

n

kk

1

De donde se desprende que la media aritmética simple la podemos llevar al caso de la media aritmética ponderada, al hacer una comparación entre sus dos totales respectivos, en el que cada cantidad xi tiene asociado un peso o ponderación igual a 1 en la media simple, o pk para la media ponderada.

Se pueden desprender algunas propiedades las cuales se siguen cumpliendo, como la

antes referida a la suma de las diferencias nula, 0)(11

n

ii

n

ii xxd , sólo que ahora

toma la forma siguiente para n cantidades:

0=11

n

iii

n

ip pixpx ,

o bien, se puede expresar en términos de diferencias ponderadas como:

0)x- ( i11

i

n

ip

n

ii pxD

lo cual es una variante del resultado anterior en el que la suma de los excesos y defectos se anula.


kkpN

1


N

px

p

pxx

n

kkk

n

kk

n

kkk

p1

1

1


x1 1+x2 1+. . . +xn 1= 1 1

n

iix



n

kn

11

n

xx

n

kk

1




n

ii

n



0=11

n

iii

n

ip pixpx ,


0)x- ( i11

i

n

ip

n

ii pxD


a cada valor a cada valor se multiplica por su respectiva ponderación, la suma queda expresada como,se multiplica por su respectiva ponderación, la suma queda expresada como,

donde la suma de todas sus ponderaciones es,donde la suma de todas sus ponderaciones es,

Todas las anteriores se pueden considerar como representaciones Todas las anteriores se pueden considerar como representaciones semióticas de un mismo objeto matemático, en este caso la media aritmética, semióticas de un mismo objeto matemático, en este caso la media aritmética, no sólo cumplen la función de no sólo cumplen la función de comunicacióncomunicaciónprimordiales de tratamiento de la información y de objetivación o toma de primordiales de tratamiento de la información y de objetivación o toma de

(Duval, 2004a). (Duval, 2004a).

La media aritmética ponderadaLa media aritmética ponderada

Precisamente en la búsqueda de signifi cados, la media aritmética toma otra Precisamente en la búsqueda de signifi cados, la media aritmética toma otra dimensión cuando aparece la llamada media aritmética ponderada, en dondedimensión cuando aparece la llamada media aritmética ponderada, en dondea cada valor a cada valor xxkk, se le asocia su correspondiente ponderación , se le asocia su correspondiente ponderación se multiplica por su respectiva ponderación, la suma queda expresada como,se multiplica por su respectiva ponderación, la suma queda expresada como,a cada valor a cada valor a cada valor a cada valor se multiplica por su respectiva ponderación, la suma queda expresada como,se multiplica por su respectiva ponderación, la suma queda expresada como,se multiplica por su respectiva ponderación, la suma queda expresada como,se multiplica por su respectiva ponderación, la suma queda expresada como,

Todas las anteriores se pueden considerar como representaciones Todas las anteriores se pueden considerar como representaciones semióticas de un mismo objeto matemático, en este caso la media aritmética, semióticas de un mismo objeto matemático, en este caso la media aritmética,

kk

cada una de las cuales tiene su correspondiente interpretación aunque ambascada una de las cuales tiene su correspondiente interpretación aunque ambas

veces la media, veces la media, x nx nkkx nkx nx nkx nkk

nn

x nx nx nx n11

xx

nn

kk xxd xxd k xxd kk xxd k




donde la suma de ponderaciones es igual a n, esto es, . Luego la media aritmética queda expresada como,


Se pueden desprender algunas propiedades las cuales se siguen cumpliendo, como la antes referida a la suma de las diferencias nula,

sólo que ahora toma la forma siguiente para n cantidades:



Si ahora consideramos que el total de las ponderaciones es igual a un valor

se tendrá que

Esto es,

Otra representación para la media aritmética ponderada es:


kkpN

1


N

px

p

pxx

n

kkk

n

kk

n

kkk

p1

1

1


x1 1+x2 1+. . . +xn 1= 1 1

n

iix



n

kn

11

n

xx

n

kk

1




n

ii

n



0=11

n

iii

n

ip pixpx ,


0)x- ( i11

i

n

ip

n

ii pxD



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1


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x1 1+x2 1+. . . +xn 1= 1 1

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iii

n

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ip

n

ii pxD


Si ahora consideramos que el total de las ponderaciones es igual a un valor ,

se tendrá que

n

kkmN

1

MNmk xn

1kk .

Esto es,

11

n

kkk

n

kx mMmx


NmxM k

n

kk

1

.

Nótese que en esta representación, se puede considerar que la ponderación es de la

forma Nmk , lo que se puede identificar como ponderación relativa, ya que se expresa

como la razón entre la ponderación de la cantidad dada entre la ponderación total.

Estas son las únicas propiedades que mantienen cierta semejanza respecto a las ya mencionadas para la media aritmética simple, sin embargo, es de considerarse la resignificación adicional que conlleva la media ponderada, dado que hay una asignación que pondera o da peso a cada valor que interviene en la misma. Aquí se muestra la actividad cognitiva de “tratamiento” ya que se presenta cuando la transformación produce otra representación en un mismo registro, en este caso el numérico.

La media aritmética en el cálculo de áreas

Es posible considerar que la media aritmética tiene la característica de ser un tipo de promedio precisamente por ser aquel valor que representa al conjunto de valores dados originalmente. Pero al mismo tiempo es el valor que equilibra, en el sentido de equiparar los excesos y los defectos, siendo esta cualidad la que permite crear al proceso de cálculo. Precisamente tal característica va más allá de lo numérico, instalándose en lo geométrico, como es el caso del cálculo de áreas de figuras regulares como el triángulo y el trapecio. En este caso se muestra, como dice Duval (2004a) una propiedad fundamental de las representaciones semióticas: su transformabilidad en otras representaciones que conservan ya sea todo el contenido de la representación inicial, o bien sólo una parte de ese contenido. Aunque vale aclarar que en este caso se presenta la “conversión” ya que la transformación produce una representación de un registro-el numérico- a otro registro distinto, el geométrico. Veamos en primer lugar el caso del triángulo de base b y altura h, al ocupar el argumento del exceso y el defecto, aparece necesariamente la media aritmética, en


se tendrá que

n

kkmN

1

MNmk xn

1kk .

Esto es,

11

n

kkk

n

kx mMmx


NmxM k

n

kk

1

.








se tendrá que

n

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MNmk xn

1kk .

Esto es,

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.








se tendrá que

n

kkmN

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1kk .

Esto es,

11

n

kkk

n

kx mMmx


NmxM k

n

kk

1

.







lo cual es una variante del resultado anterior en el que la suma de los lo cual es una variante del resultado anterior en el que la suma de los defectosdefectos se anula. se anula.

Si ahora consideramos que el total de las ponderaciones es igual a un valor Si ahora consideramos que el total de las ponderaciones es igual a un valor nn

kkmN mN mN mN mN mN11

sólo que ahora toma la forma siguiente para sólo que ahora toma la forma siguiente para

o bien, se puede expresar en términos de diferencias ponderadas como:o bien, se puede expresar en términos de diferencias ponderadas como:

lo cual es una variante del resultado anterior en el que la suma de los lo cual es una variante del resultado anterior en el que la suma de los se anula. se anula.

Si ahora consideramos que el total de las ponderaciones es igual a un valor Si ahora consideramos que el total de las ponderaciones es igual a un valor

ii

11

nn

ii

nn

iipp pixpx pixpx pixpx pixpx pixpx pixpx i pixpx ii pixpx ip pixpx pp pixpx p

nn

lo cual es una variante del resultado anterior en el que la suma de los lo cual es una variante del resultado anterior en el que la suma de los lo cual es una variante del resultado anterior en el que la suma de los lo cual es una variante del resultado anterior en el que la suma de los defectosdefectosdefectosdefectos se anula. se anula. se anula. se anula.

Si ahora consideramos que el total de las ponderaciones es igual a un valor Si ahora consideramos que el total de las ponderaciones es igual a un valor Si ahora consideramos que el total de las ponderaciones es igual a un valor Si ahora consideramos que el total de las ponderaciones es igual a un valor

Se pueden desprender algunas propiedades las cuales se siguen Se pueden desprender algunas propiedades las cuales se siguen cumpliendo, como la antes referida a la suma de las diferencias nula,cumpliendo, como la antes referida a la suma de las diferencias nula,

0)( 0)( 0)( 0)( 0)( 0)( 0)( i 0)( 0)( i 0)( xxd xxd 0)( xxd 0)( 0)( xxd 0)( 0)( 0)( xxd 0)( 0)( 0)( 0)( xxd 0)( 0)( , sólo que ahora , sólo que ahora

De donde se desprende que la media aritmética simple la podemos llevar De donde se desprende que la media aritmética simple la podemos llevar al caso de la media aritmética ponderada, al hacer una comparación entre sus al caso de la media aritmética ponderada, al hacer una comparación entre sus

xxii tiene asociado un peso o tiene asociado un peso o para la media ponderada. para la media ponderada.

Se pueden desprender algunas propiedades las cuales se siguen Se pueden desprender algunas propiedades las cuales se siguen cumpliendo, como la antes referida a la suma de las diferencias nula,cumpliendo, como la antes referida a la suma de las diferencias nula,

393



Nótese que en esta representación, se puede considerar que la ponderación es

de la forma

se expresa como la razón entre la ponderación de la cantidad dada entre la

ponderación total.

Estas son las únicas propiedades que mantienen cierta semejanza respecto a las ya mencionadas para la media aritmética simple, sin embargo, es de considerarse la resignifi cación adicional que conlleva la media ponderada, dado que hay una asignación que pondera o da peso a cada valor que interviene en la misma. Aquí se muestra la actividad cognitiva de “tratamiento” ya que se presenta cuando la transformación produce otra representación en un mismo registro, en este caso el numérico.

2.3. La media aritmética en el cálculo de áreas

Es posible considerar que la media aritmética tiene la característica de ser un tipo de promedio precisamente por ser aquel valor que representa al conjunto de valores dados originalmente. Pero al mismo tiempo es el valor que equilibra, en el sentido de equiparar los excesos y los defectos, siendo esta cualidad la que permite crear al proceso de cálculo.

Precisamente tal característica va más allá de lo numérico, instalándose en lo geométrico, como es el caso del cálculo de áreas de fi guras regulares como el triángulo y el trapecio.

En este caso se muestra, como dice Duval (2004a) una propiedad fundamental de las representaciones semióticas: su transformabilidad en otras representaciones que conservan ya sea todo el contenido de la representación inicial, o bien sólo una parte de ese contenido. Aunque vale aclarar que en este caso se presenta la “conversión” ya que la transformación produce una representación de un registro -el numérico- a otro registro distinto, el geométrico.

Veamos en primer lugar el caso del triángulo de base b y altura h, al ocupar el argumento del exceso y el defecto, aparece necesariamente la media aritmética, en forma tal que una resignifi cación para el área del triángulo puede ser construida de forma tal que,

y se interpreta como el área de un rectángulo de base b y altura h/2

lo que se puede identifi car como ponderación relativa, ya que


se tendrá que

n

kkmN

1

MNmk xn

1kk .

Esto es,

11

n

kkk

n

kx mMmx


NmxM k

n

kk

1

.







forma tal que una resignificación para el área del triángulo puede ser construida de forma tal que,

2hbA


h

I h/2

II

b Figura 1.

Este rectángulo tiene la misma área del triángulo original porque los triángulos por exceso I y por defecto II, son efectivamente iguales, lo cual se puede demostrar geométricamente. Otra interpretación se refiere al hecho de que h/2 es la altura promedio, considerando los valores 0 y h. Aparece nuevamente el constructo teórico dado por Arquímedes del “exceso y el defecto”, de manera que cuando se equiparan, siempre aparece un valor promedial, en este caso la altura promedio. El área del trapecio Para el caso del trapecio de base b y alturas h1 y h2, el área se puede calcular por la expresión,

221 hhbA

Una forma de interpretar al área del trapecio es considerar como equivalente al área de

un rectángulo con base b y altura 2

21 hh , aunque ahora ésta es la altura promedio entre

las dos alturas que intervienen en el trapecio. h2

I (h1+h2)/2

II h1

b Figura 2. Nuevamente los triángulos I y II, son iguales pues equiparan el exceso y el defecto por

el hecho mismo de ser 2

21 hh , el promedio de las alturas. Esto es,

de un registro -el numérico- a otro registro distinto, el geométrico.de un registro -el numérico- a otro registro distinto, el geométrico.

Veamos en primer lugar el caso del triángulo de base Veamos en primer lugar el caso del triángulo de base ocupar el argumento delocupar el argumento delaritmética, en forma tal que una resignifi cación para el área del triángulo puede aritmética, en forma tal que una resignifi cación para el área del triángulo puede ser construida de forma tal que,ser construida de forma tal que,

los excesos y los defectoslos excesos y los defectospermite crear al proceso de cálculo.permite crear al proceso de cálculo.

Precisamente tal característica va más allá de lo numérico, instalándose en Precisamente tal característica va más allá de lo numérico, instalándose en lo geométrico, como es el caso del cálculo de áreas de fi guras regulares como el lo geométrico, como es el caso del cálculo de áreas de fi guras regulares como el triángulo y el trapecio.triángulo y el trapecio.

En este caso se muestra, como dice Duval (2004a) una propiedad En este caso se muestra, como dice Duval (2004a) una propiedad fundamental de las representaciones semióticas: fundamental de las representaciones semióticas: representaciones que conservan ya sea todo el contenido de la representación representaciones que conservan ya sea todo el contenido de la representación inicial, o bien sólo una parte de ese contenido. inicial, o bien sólo una parte de ese contenido. se presenta la se presenta la “conversión”“conversión”de un registro -el numérico- a otro registro distinto, el geométrico.de un registro -el numérico- a otro registro distinto, el geométrico.

Veamos en primer lugar el caso del triángulo de base Veamos en primer lugar el caso del triángulo de base ocupar el argumento delocupar el argumento delaritmética, en forma tal que una resignifi cación para el área del triángulo puede aritmética, en forma tal que una resignifi cación para el área del triángulo puede

de un registro -el numérico- a otro registro distinto, el geométrico.de un registro -el numérico- a otro registro distinto, el geométrico.de un registro -el numérico- a otro registro distinto, el geométrico.de un registro -el numérico- a otro registro distinto, el geométrico.

Veamos en primer lugar el caso del triángulo de base Veamos en primer lugar el caso del triángulo de base Veamos en primer lugar el caso del triángulo de base Veamos en primer lugar el caso del triángulo de base ocupar el argumento delocupar el argumento delocupar el argumento delocupar el argumento delaritmética, en forma tal que una resignifi cación para el área del triángulo puede aritmética, en forma tal que una resignifi cación para el área del triángulo puede aritmética, en forma tal que una resignifi cación para el área del triángulo puede aritmética, en forma tal que una resignifi cación para el área del triángulo puede

Es posible considerar que la media aritmética tiene la característica de ser un Es posible considerar que la media aritmética tiene la característica de ser un tipo de promedio precisamente por ser aquel valor que representa al conjunto tipo de promedio precisamente por ser aquel valor que representa al conjunto de valores dados originalmente. Pero al mismo tiempo es el valor que equilibra, de valores dados originalmente. Pero al mismo tiempo es el valor que equilibra,

los excesos y los defectoslos excesos y los defectos, siendo esta cualidad la que , siendo esta cualidad la que

Estas son las únicas propiedades que mantienen cierta semejanza respecto Estas son las únicas propiedades que mantienen cierta semejanza respecto a las ya mencionadas para la media aritmética simple, sin embargo, es de a las ya mencionadas para la media aritmética simple, sin embargo, es de considerarse la resignifi cación adicional que conlleva la media ponderada, dado considerarse la resignifi cación adicional que conlleva la media ponderada, dado que hay una asignación que pondera o da peso a cada valor que interviene en que hay una asignación que pondera o da peso a cada valor que interviene en

“tratamiento”“tratamiento” yaya que se que se presenta cuando la transformación produce otra representación en un mismo presenta cuando la transformación produce otra representación en un mismo

La media aritmética en el cálculo de áreasLa media aritmética en el cálculo de áreas

Es posible considerar que la media aritmética tiene la característica de ser un Es posible considerar que la media aritmética tiene la característica de ser un tipo de promedio precisamente por ser aquel valor que representa al conjunto tipo de promedio precisamente por ser aquel valor que representa al conjunto



Este rectángulo tiene la misma área del triángulo original porque los triángulos porexceso I y por defecto II, son efectivamente iguales, lo cual se puede demostrar geométricamente. Otra interpretación serefi ere al hecho de que h/2 es la altura promedio, considerando los valores 0 y h.Aparece nuevamente el constructo teóricodado por Arquímedes del “exceso y el defecto”, de manera que cuando se equiparan, siempre aparece un valor promedial, en este caso la altura promedio.

2.3.1. El área del trapecio

Para el caso del trapecio de base b y alturas h1 y h2, el área se puede calcular porla expresión,

Una forma de interpretar al área del trapecio es considerar como equivalente al área de un rectángulo con base b y altura

aunque ahora ésta es la altura promedio entre las dos alturas que intervienen en el trapecio.

Nuevamente los triángulos I y II, son iguales pues equiparan el exceso y el defecto por el hecho mismo de ser

el promedio de las alturas. Esto es,


2hbA


h

I h/2

II

b Figura 1.


221 hhbA





I (h1+h2)/2

II h1





2hbA


h

I h/2

II

b Figura 1.


221 hhbA





I (h1+h2)/2

II h1





2hbA


h

I h/2

II

b Figura 1.


221 hhbA





I (h1+h2)/2

II h1




Figura 2.


2hbA


h

I h/2

II

b Figura 1.


221 hhbA





I (h1+h2)/2

II h1





2hbA


h

I h/2

II

b Figura 1.


221 hhbA





I (h1+h2)/2

II h1





2hbA


h

I h/2

II

b Figura 1.


221 hhbA





I (h1+h2)/2

II h1




Figura 1.

I I

II II h h11

Una forma de interpretar al área del trapecio es considerar como equivalente Una forma de interpretar al área del trapecio es considerar como equivalente al área de un rectángulo con base al área de un rectángulo con base bb y altura y altura

aunque ahora ésta es la altura promedio entre las dos alturas que intervienen en aunque ahora ésta es la altura promedio entre las dos alturas que intervienen en el trapecio.el trapecio.

hh hh

I I I I I I

hh11 y y hh22, el área se puede calcular por, el área se puede calcular por

21 21 hh hh 21 hh 21 21 hh 21

Aparece nuevamente el constructo teóricoAparece nuevamente el constructo teórico“exceso y “exceso y

”, de manera que cuando ”, de manera que cuando se equiparan, siempre aparece un valor se equiparan, siempre aparece un valor promedial, en este caso la altura promedio.promedial, en este caso la altura promedio.

, el área se puede calcular por, el área se puede calcular por

395



Es de resaltarse que el tránsito entre la representación numérica y la geométrica, así como en otras que se tratarán adelante, aparece como un invariante epistemológico el exceso y el defecto, que particularmente en la formade promedio de la media aritmética, además de ser un único valor, es a su vezel valor que equilibra, en el caso numérico a todos los valores que apareceny en el caso del área de triángulos y trapecios a las alturas que intervienen, para poder así encontrar la altura del rectángulo de área equivalente.

2.3.2. Áreas de triángulos y trapecios referidos a un sistema cartesiano

Cada vez la idea germinal del exceso y del defecto va desplegando supotencial constructor de conocimiento, es entonces posible mostrar cómose puede realizar el cálculo de áreas de triángulos y trapecios pero ahoravistas como áreas bajo la curva de funciones elementales dadas.

En el caso de un triángulo rectángulo, éste se genera a través de la función y = f (x) = x, considerando el área bajo la recta entre 0 y un valor dado a, que es el tamaño de la base, esto es,

Figura 3.

En la fi gura anterior se muestra que el triángulo rectángulo e isósceles de base y altura iguales al valor a, tiene un área que es base por altura sobre dos, o sea, A =a (a/2), equivalente al área de un rectángulo de base a y altura (a/2), que podemos considerarla como una altura promedio, argumento que ahora es mostrado con un signifi cado y que posteriormente se usará en el cálculo de integrales defi nidas.

También se puede interpretar el área del triángulo descrito comoequivalente a la mitad del cuadrado de área a2, esto es, A = a2/2, el cual resulta ser un argumento básico para la integral defi nida,

221 hhbA

Es de resaltarse que en tránsito entre la representación numérica y la geométrica, así como en otras que se tratarán adelante, aparece como un invariante epistemológico el exceso y el defecto, que particularmente en la forma de promedio de la media aritmética, además de ser un único valor, es a su vez el valor que equilibra, en el caso numérico a todos los valores que aparecen y en el caso del área de triángulos y trapecios a las alturas que intervienen, para poder así encontrar la altura del rectángulo de área equivalente.

Áreas de triángulos y trapecios referidos a un sistema cartesiano Cada vez la idea germinal del exceso y del defecto va desplegando su potencial constructor de conocimiento, en entonces posible mostrar cómo se puede realizar el cálculo de áreas de triángulos y trapecios pero ahora vistas como áreas bajo la curva de funciones elementales dadas. En el caso de un triángulo rectángulo, éste se genera a través de la función y =f(x)= x,considerando el área bajo la recta entre 0 y un valor dado a, que es el tamaño de la base, esto es,

y=xa

a/2

0 a x

f(x)

Figura 3.

En la figura anterior se muestra que el triángulo rectángulo e isósceles de base y altura iguales al valor a, tiene un área que es base por altura sobre dos, o sea, A =a (a/2),equivalente al área de un rectángulo de base a y altura (a/2), que podemos considerarla como una altura promedio, argumento que ahora es mostrado con un significado y que posteriormente se usará en el cálculo de integrales definidas.

También se puede interpretar el área del triángulo descrito como equivalente a la mitad del cuadrado de área a2, esto es, A = a2/2, el cual resulta ser un argumento básico para la integral definida,

2

0 21 axdx

a

Ahora con la misma función y = f(x)= x, se puede generar un trapecio si en lugar de recorrer de 0 a a, se recorre de a a b, con a< b,

En la fi gura anterior se muestra que el triángulo rectángulo e isósceles de En la fi gura anterior se muestra que el triángulo rectángulo e isósceles de base y altura iguales al valor base y altura iguales al valor o sea, o sea, A =a A =a ((que podemos considerarla como una altura promedio, argumento que ahora que podemos considerarla como una altura promedio, argumento que ahora

En la fi gura anterior se muestra que el triángulo rectángulo e isósceles de En la fi gura anterior se muestra que el triángulo rectángulo e isósceles de base y altura iguales al valor base y altura iguales al valor

00

En la fi gura anterior se muestra que el triángulo rectángulo e isósceles de En la fi gura anterior se muestra que el triángulo rectángulo e isósceles de En la fi gura anterior se muestra que el triángulo rectángulo e isósceles de En la fi gura anterior se muestra que el triángulo rectángulo e isósceles de base y altura iguales al valor base y altura iguales al valor base y altura iguales al valor base y altura iguales al valor

y=xy=xaa

Áreas de triángulos y trapecios referidos a un sistema cartesianoÁreas de triángulos y trapecios referidos a un sistema cartesiano

va desplegando su va desplegando supotencial constructor de conocimiento, es entonces posible mostrar cómopotencial constructor de conocimiento, es entonces posible mostrar cómose puede realizar el cálculo de áreas de triángulos y trapecios pero ahorase puede realizar el cálculo de áreas de triángulos y trapecios pero ahoravistas como áreas bajo la curva de funciones elementales dadas.vistas como áreas bajo la curva de funciones elementales dadas.

En el caso de un triángulo rectángulo, éste se genera a través de la función En el caso de un triángulo rectángulo, éste se genera a través de la función considerando el área bajo la recta entre considerando el área bajo la recta entre 00 y un valor dado y un valor dado



Ahora con la misma función y = f (x)= x, se puede generar un trapecio si en lugar de recorrer de 0 a a, se recorre de a a b, con a<b,

Figura 4.

En este caso, el área del trapecio está dada por el tamaño de la base que es b-a, multiplicado por la altura promedio (a+b) / 2, es decir, A = (b-a) (a+b) / 2. Nótese que los triángulos que quedan por exceso y defecto son iguales, de tal manera que el trapecio tiene un área igual al rectángulo de área equivalente.

Al realizar los cálculos equivalentes, se obtiene la integral defi nida de f (x) en el intervalo [a,b], la integral correspondiente queda de la forma,

Lo que posteriormente se formaliza a través del cálculo de la primitiva y del teorema fundamental del cálculo como,

Por supuesto la altura promedio queda expresada como,

221 hhbA

Es de resaltarse que en tránsito entre la representación numérica y la geométrica, así como en otras que se tratarán adelante, aparece como un invariante epistemológico el exceso y el defecto, que particularmente en la forma de promedio de la media aritmética, además de ser un único valor, es a su vez el valor que equilibra, en el caso numérico a todos los valores que aparecen y en el caso del área de triángulos y trapecios a las alturas que intervienen, para poder así encontrar la altura del rectángulo de área equivalente.

Áreas de triángulos y trapecios referidos a un sistema cartesiano Cada vez la idea germinal del exceso y del defecto va desplegando su potencial constructor de conocimiento, en entonces posible mostrar cómo se puede realizar el cálculo de áreas de triángulos y trapecios pero ahora vistas como áreas bajo la curva de funciones elementales dadas. En el caso de un triángulo rectángulo, éste se genera a través de la función y =f(x)= x,considerando el área bajo la recta entre 0 y un valor dado a, que es el tamaño de la base, esto es,

y=xa

a/2

0 a x

f(x)

Figura 3.

En la figura anterior se muestra que el triángulo rectángulo e isósceles de base y altura iguales al valor a, tiene un área que es base por altura sobre dos, o sea, A =a (a/2),equivalente al área de un rectángulo de base a y altura (a/2), que podemos considerarla como una altura promedio, argumento que ahora es mostrado con un significado y que posteriormente se usará en el cálculo de integrales definidas.

También se puede interpretar el área del triángulo descrito como equivalente a la mitad del cuadrado de área a2, esto es, A = a2/2, el cual resulta ser un argumento básico para la integral definida,

2

0 21 axdx

a

Ahora con la misma función y = f(x)= x, se puede generar un trapecio si en lugar de recorrer de 0 a a, se recorre de a a b, con a< b,

y=xb

(a+b)/2

a

a b

f(x)

x

Figura 4.

En este caso, el área del trapecio está dada por el tamaño de la base que es b-a,multiplicado por la altura promedio (a+b)/2, es decir, A =(b-a) (a+b)/2. Nótese que los triángulos que quedan por exceso y defecto son iguales, de tal manera que el trapecio tiene un área igual al rectángulo de área equivalente. Al realizar los cálculos equivalentes, se obtiene la integral definida de f(x) en el intervalo , la integral correspondiente queda de la forma, ba,

2)()( baabxdx

b

a

,


22

222 abxxdxb

a

b

a


21 baxdx

ab

b

a

la que a su vez se puede calcular por medio del teorema del valor medio para integrales, el cual se cumple bajo la hipótesis de que si f(x) es una función continua en el intervalo

, entonces se asegura la existencia de un valor cba, ),( ba , de manera tal que se satisface,

)()(1 cfdxxfab

b

a

.

O equivalentemente, se puede expresar de dos formas diferentes,

y=xb

(a+b)/2

a

a b

f(x)

x

Figura 4.


2)()( baabxdx

b

a

,


22

222 abxxdxb

a

b

a


21 baxdx

ab

b

a



)()(1 cfdxxfab

b

a

.


y=xb

(a+b)/2

a

a b

f(x)

x

Figura 4.


2)()( baabxdx

b

a

,


22

222 abxxdxb

a

b

a


21 baxdx

ab

b

a



)()(1 cfdxxfab

b

a

.


y=xb

(a+b)/2

a

a b

f(x)

x

Figura 4.


2)()( baabxdx

b

a

,


22

222 abxxdxb

a

b

a


21 baxdx

ab

b

a



)()(1 cfdxxfab

b

a

.


Lo que posteriormente se formaliza a través del cálculo de la primitiva y del Lo que posteriormente se formaliza a través del cálculo de la primitiva y del teorema fundamental del cálculo como,teorema fundamental del cálculo como,

En este caso, el área del trapecio está dada por el tamaño de la base que es En este caso, el área del trapecio está dada por el tamaño de la base que es multiplicado por la altura promedio multiplicado por la altura promedio

Nótese que los triángulos que quedan por Nótese que los triángulos que quedan por manera que el trapecio tiene un área igual al rectángulo de área equivalente.manera que el trapecio tiene un área igual al rectángulo de área equivalente.

Al realizar los cálculos equivalentes, se obtiene la integral defi nida de Al realizar los cálculos equivalentes, se obtiene la integral defi nida de , la i, la integral correspondiente queda de la forma,ntegral correspondiente queda de la forma,

Lo que posteriormente se formaliza a través del cálculo de la primitiva y del Lo que posteriormente se formaliza a través del cálculo de la primitiva y del teorema fundamental del cálculo como,teorema fundamental del cálculo como,

abxdx abxdxbb

Lo que posteriormente se formaliza a través del cálculo de la primitiva y del Lo que posteriormente se formaliza a través del cálculo de la primitiva y del Lo que posteriormente se formaliza a través del cálculo de la primitiva y del Lo que posteriormente se formaliza a través del cálculo de la primitiva y del teorema fundamental del cálculo como,teorema fundamental del cálculo como,teorema fundamental del cálculo como,teorema fundamental del cálculo como,

Figura 4.Figura 4.

En este caso, el área del trapecio está dada por el tamaño de la base que es En este caso, el área del trapecio está dada por el tamaño de la base que es // 22,, es decir, es decir,

xx

397



la que a su vez se puede calcular por medio del teorema del valor medio para integrales, el cual se cumple bajo la hipótesis de que si f (x) es una función continua en el intervalo [a,b], entonces se asegura la existencia de un valorc∈(a ,b) , de manera tal que se satisface,


Donde evidentemente , es el valor promedio de los valores de la función en el intervalo de integración [a,b] y (b-a), el tamaño del mismo.Una vez más se puede observar el modo en que actúa el cálculo promedial, en el sentido de mostrar un signifi cado preponderante a la altura promedio de la función en el intervalo correspondiente y a la obtención del área del rectángulo equivalente a la de la fi gura dada.

A su vez, la misma idea germinal del exceso y el defecto, en este caso referido a las áreas por encima y por debajo de la altura promedio, se lleva desde el caso elemental del triángulo y trapecio, hasta el área bajo la curva de una función continua en el intervalo de integración [a,b], lo cual se ve refl ejado en el signifi cado del Teorema del Valor Medio para integrales.

Esto se muestra en la siguiente secuencia de fi guras:

Figura 5. Figura 6. Figura 7.

b

a

b

a

dx

dxxfcf

)()(

)()()( cfabdxxfb

a

Donde evidentemente )(cf , es el valor promedio de los valores de la función en el intervalo de integración y (b-a), el tamaño del mismo.Una vez más se puede observar el modo en que actúa el cálculo promedial, en el sentido de mostrar un significado preponderante a la altura promedio de la función en el intervalo correspondiente y a la obtención del área del rectángulo equivalente a la de la figura dada.

ba,

A su vez, la misma idea germinal del exceso y el defecto, en este caso referido a las áreas por encima y por debajo de la altura promedio, se lleva desde el caso elemental del triángulo y trapecio, hasta el área bajo la curva de una función continua en el intervalo de integración , lo cual se ve reflejado en el significado del Teorema del Valor Medio para integrales.

ba,

Esto se muestra en la siguiente secuencia de figuras:

x

f(x)

a b

)(cf

f(x)


Cabe destacar la filiación de carácter epistemológico que existe entre parte de lo anteriormente señalado, con la idea de la “regla del grado medio”, dada por Galileo yposteriormente trabajada por Oresme y que facilita la obtención del promedio de una cualidad intensiva que varía con relación a una escala fijada de antemano, (Fernández & Rondero, 2004).

y=xb

(a+b)/2

a

a b

f(x)

x

Figura 4.


2)()( baabxdx

b

a

,


22

222 abxxdxb

a

b

a


21 baxdx

ab

b

a



)()(1 cfdxxfab

b

a

.


b

a

b

a

dx

dxxfcf

)()(

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a


ba,


ba,


x

f(x)

a b

)(cf

f(x)



b

a

b

a

dx

dxxfcf

)()(

)()()( cfabdxxfb

a


ba,


ba,


x

f(x)

a b

)(cf

f(x)



b

a

b

a

dx

dxxfcf

)()(

)()()( cfabdxxfb

a


ba,


ba,


x

f(x)

a b

)(cf

f(x)



b

a

b

a

dx

dxxfcf

)()(

)()()( cfabdxxfb

a


ba,


ba,


x

f(x)

a b

)(cf

f(x)



b

a

b

a

dx

dxxfcf

)()(

)()()( cfabdxxfb

a


ba,


ba,


x

f(x)

a b

)(cf

f(x)



b

a

b

a

dx

dxxfcf

)()(

)()()( cfabdxxfb

a


ba,


ba,


x

f(x)

a b

)(cf

f(x)



b

a

b

a

dx

dxxfcf

)()(

)()()( cfabdxxfb

a


ba,


ba,


x

f(x)

a b

)(cf

f(x)



b

a

b

a

dx

dxxfcf

)()(

)()()( cfabdxxfb

a


ba,


ba,


x

f(x)

a b

)(cf

f(x)



b

a

b

a

dx

dxxfcf

)()(

)()()( cfabdxxfb

a


ba,


ba,


x

f(x)

a b

)(cf

f(x)



mostrar un signifi cado preponderante a la altura promedio de la función en el mostrar un signifi cado preponderante a la altura promedio de la función en el intervalo correspondiente y a la obtención del área del rectángulo equivalente a intervalo correspondiente y a la obtención del área del rectángulo equivalente a

A su vez, la misma idea germinal del A su vez, la misma idea germinal del exceso exceso a las áreas por encima y por debajo de la altura promedio, se lleva desde el a las áreas por encima y por debajo de la altura promedio, se lleva desde el caso elemental del triángulo y trapecio, hasta el área bajo la curva de una caso elemental del triángulo y trapecio, hasta el área bajo la curva de una función continua en el intervalo de integraciónfunción continua en el intervalo de integraciónel signifi cado del Teorema del Valor Medio para integrales.el signifi cado del Teorema del Valor Medio para integrales.

Esto se muestra en la siguiente secuencia de fi guras:Esto se muestra en la siguiente secuencia de fi guras:

Donde evidentemente , es el valor promedio de los valores de la función Donde evidentemente , es el valor promedio de los valores de la función b-ab-a)),, el tamaño del mismo.Una vez más el tamaño del mismo.Una vez más

se puede observar el modo en que actúa el cálculo promedial, en el sentido de se puede observar el modo en que actúa el cálculo promedial, en el sentido de mostrar un signifi cado preponderante a la altura promedio de la función en el mostrar un signifi cado preponderante a la altura promedio de la función en el intervalo correspondiente y a la obtención del área del rectángulo equivalente a intervalo correspondiente y a la obtención del área del rectángulo equivalente a

Donde evidentemente , es el valor promedio de los valores de la función Donde evidentemente , es el valor promedio de los valores de la función el tamaño del mismo.Una vez más el tamaño del mismo.Una vez más

)()()( )()()( cfabdxxf cfabdxxf )()()( cfabdxxf )()()( )()()( cfabdxxf )()()(



Cabe destacar la fi liación de carácter epistemológico que existe entre parte de lo anteriormente señalado, con la idea de la “regla del grado medio”, dada por Galileo y posteriormente trabajada por Oresme y que facilita la obtención del promedio de una cualidad intensiva que varía con relación a una escalafi jada de antemano (Fernández & Rondero, 2004).

2.4. La media aritmética en el cálculo de sumas

Es posible ocupar el promedio para calcular la suma de los n primeros números naturales, esto es,

s = 1+2+3+4+...+n.

Para tal fi n, se calcula la media aritmética de esos mismos valores, esto es,

1+2+3+4+...+n,n

dado que el numerador es la suma de n términos de una progresión aritmética, entonces su media aritmética es igual a su vez a la media aritmética de los valores extremos, es decir,

1+2+3+4+...+n = n+1 n 2

Luego entonces, la suma buscada es,

Si este mismo resultado se expresa en términos de una sumatoria, se obtiene,

O en la notación de Bernoulli para este tipo de sumas (Edward, 1979),

De dónde la media aritmética de estos mismos números se representa como,

La media aritmética en el cálculo de sumas Es posible ocupar el promedio para calcular la suma de los n primeros números naturales, esto es,

s = 1+2+3+4+...+n. Para tal fin, se calcula la media aritmética de esos mismos valores, esto es,

nn 4321 ,


214321

n

nn


2)1(4321

nnn


nnnnkn

k 21

21

2)1( 2

1


nnn21

21 2 .


21

211

1

nkn

n

k

Este mismo resultado se ocupa cuando se quiere entrar a calcular la integral definida,

211

0

dxx

cuyo argumento central se da en términos de un promedio, en este caso el de la media aritmética.



nn 4321 ,


214321

n

nn


2)1(4321

nnn


nnnnkn

k 21

21

2)1( 2

1


nnn21

21 2 .


21

211

1

nkn

n

k


211

0

dxx




nn 4321 ,


214321

n

nn


2)1(4321

nnn


nnnnkn

k 21

21

2)1( 2

1


nnn21

21 2 .


21

211

1

nkn

n

k


211

0

dxx




nn 4321 ,


214321

n

nn


2)1(4321

nnn


nnnnkn

k 21

21

2)1( 2

1


nnn21

21 2 .


21

211

1

nkn

n

k


211

0

dxx


O en la notación de Bernoulli para este tipo de sumas (Edward, 1979),O en la notación de Bernoulli para este tipo de sumas (Edward, 1979),

1+2+3+4+...+1+2+3+4+...+ n n

Luego entonces, la suma buscada es,Luego entonces, la suma buscada es,

Si este mismo resultado se expresa en términos de una sumatoria, se obtiene,Si este mismo resultado se expresa en términos de una sumatoria, se obtiene,

O en la notación de Bernoulli para este tipo de sumas (Edward, 1979),O en la notación de Bernoulli para este tipo de sumas (Edward, 1979),

44332211

nn

O en la notación de Bernoulli para este tipo de sumas (Edward, 1979),O en la notación de Bernoulli para este tipo de sumas (Edward, 1979),O en la notación de Bernoulli para este tipo de sumas (Edward, 1979),O en la notación de Bernoulli para este tipo de sumas (Edward, 1979),

términos de una progresión aritmética, términos de una progresión aritmética, entonces su media aritmética es igual a su vez a la media aritmética de los entonces su media aritmética es igual a su vez a la media aritmética de los

== n n+1+1 n n

primeros números primeros números

Para tal fi n, se calcula la media aritmética de esos mismos valores, esto es,Para tal fi n, se calcula la media aritmética de esos mismos valores, esto es,

n,n,

términos de una progresión aritmética, términos de una progresión aritmética, entonces su media aritmética es igual a su vez a la media aritmética de los entonces su media aritmética es igual a su vez a la media aritmética de los

399



Este mismo resultado se ocupa cuando se quiere entrar a calcular la integral defi nida,


Aquí se ha usado implícitamente una propiedad de la media aritmética,la que se refi ere a que la suma de n valores es igual a n veces el valor de la media, esto es,

Cuando se hace un tratamiento como el que viene realizando, además de hacer explícitos algunos de los contextos donde la media aritmética funciona como eje de articulación de los saberes matemáticos, se propicia una Idoneidad epistémica, como lo mencionan (Godino, Contreras & Font, 2006), que se refi ere al grado de representatividad de los signifi cados institucionales respecto alos de referencia, ya que se busca entre otros objetivos el incidir en los signifi cados personales. En el caso de la media aritmética, esa representatividad vienedada por la diversidad de formas que adquiere y sus signifi cados institucionales que son amplios en diferentes ámbitos tanto de la matemática como deotras áreas del conocimiento.

2.5. La media aritmética en el cálculo de integrales definidas

Un contexto más donde aparece la media aritmética es el que se refi ere al cálculo de integrales defi nidas para funciones de la forma y=f (x)=x k, con k=1,2.

Se puede ocupar este resultado para calcular en forma discreta el áreabajo la curva de la función f (x) = x, en el intervalo [0,1], (Rondero, 2001b). Realizando una equipartición del intervalo, xk: 0/n, 1/n, 2/n, …, n/n, como f (x k ) = k / n, se considera la integral defi nida como la media aritmética de las correspondientes alturas, dadas por los valores de la función, es decir,

de manera que si se considera que n→∞, se obtiene que:



nn 4321 ,


214321

n

nn


2)1(4321

nnn


nnnnkn

k 21

21

2)1( 2

1


nnn21

21 2 .


21

211

1

nkn

n

k


211

0

dxx


Aquí se ha usado implícitamente una propiedad de la media aritmética, la que se refiere a que la suma de n valores es igual a n veces el valor de la media, esto es,

xnxn

kk

1

.

Cuando se hace un tratamiento como el que viene realizando, además de hacer explícitos algunos de los contextos donde la media aritmética funciona como eje de articulación de los saberes matemáticos, se propicia una Idoneidad epistémica, como lo mencionan (Godino, Contreras & Font, 2006), que se refiere al grado de representatividad de los significados institucionales respecto a los de referencia, ya que se busca entre otros objetivos el incidir en los significados personales. En el caso de la media aritmética, esa representatividad viene dada por la diversidad de formas que adquiere y sus significados institucionales que son amplios en diferentes ámbitos tanto de la matemática como de otras áreas del conocimiento. La media aritmética en el cálculo de integrales definidas Una contexto más donde aparece la media aritmética es el que se refiere al cálculo de integrales definidas para funciones de la forma y = f(x) = xk, con k = 1,2. Se puede ocupar este resultado para calcular en forma discreta el área bajo la curva de la función f(x)=x, en el intervalo 1,0 , (Rondero, 2001b). Realizando una equipartición del intervalo, xk: 0/n, 1/n, 2/n, …,n/n, como f(xk)=k/n, se considera la integral definida como la media aritmética de las correspondientes alturas, dadas por los valores de la función, es decir,

n

nn

nnn

knn

kn

xdxn

k

n

k 21

21

21

211

21111 2

220

20

1

0

de manera que si se considera que n , se obtiene que:

211

0

dxx

Este último resultado, muestra desde una perspectiva discreta que efectivamente la media aritmética es un eje articulador de saberes, desde la matemática elemental hasta la matemática avanzada. Repitiendo el proceso para el caso de la función, f(x)=x2, definida en el intervalo de referencia 1,0 , realizando la misma equipartición del intervalo y evaluando

2

)(

nkxf k ; ahora la integral definida, calculada a través de la media aritmética de

los valores de la función dada, se tiene que es:

2

2333

0

23

2

0

1

0

2

61

21

31

61

21

311

6)12(1111

nnnnn

nnnn

nk

nnk

ndxx

n

k

n

k

De manera que si se toma el límite cuando n , queda,


xnxn

kk

1

.


n

nn

nnn

knn

kn

xdxn

k

n

k 21

21

21

211

21111 2

220

20

1

0


211

0

dxx


2

)(



2

2333

0

23

2

0

1

0

2

61

21

31

61

21

311

6)12(1111

nnnnn

nnnn

nk

nnk

ndxx

n

k

n

k



xnxn

kk

1

.


n

nn

nnn

knn

kn

xdxn

k

n

k 21

21

21

211

21111 2

220

20

1

0


211

0

dxx


2

)(



2

2333

0

23

2

0

1

0

2

61

21

31

61

21

311

6)12(1111

nnnnn

nnnn

nk

nnk

ndxx

n

k

n

k


Realizando una equipartición del intervalo, Realizando una equipartición del intervalo, ((xx kk )) = k / n= k / n

correspondientes alturas, dadas por los valores de la función, es decir,correspondientes alturas, dadas por los valores de la función, es decir,

11

dada por la diversidad de formas que adquiere y sus signifi cados institucionales dada por la diversidad de formas que adquiere y sus signifi cados institucionales que son amplios en diferentes ámbitos tanto de la matemática como deque son amplios en diferentes ámbitos tanto de la matemática como deotras áreas del conocimiento.otras áreas del conocimiento.

La media aritmética en el cálculo de integrales definidasLa media aritmética en el cálculo de integrales definidas

Un contexto más donde aparece la media aritmética es el que se refi ere al cálculo Un contexto más donde aparece la media aritmética es el que se refi ere al cálculo de integrales defi nidas para funciones de la forma de integrales defi nidas para funciones de la forma

Se puede ocupar este resultado para calcular en forma discreta el áreaSe puede ocupar este resultado para calcular en forma discreta el áreabajo la curva de la función bajo la curva de la función Realizando una equipartición del intervalo, Realizando una equipartición del intervalo,

= k / n= k / n, se considera la integral defi nida como la media aritmética de las , se considera la integral defi nida como la media aritmética de las correspondientes alturas, dadas por los valores de la función, es decir,correspondientes alturas, dadas por los valores de la función, es decir,

Realizando una equipartición del intervalo, Realizando una equipartición del intervalo, Realizando una equipartición del intervalo, Realizando una equipartición del intervalo, = k / n= k / n= k / n= k / n

correspondientes alturas, dadas por los valores de la función, es decir,correspondientes alturas, dadas por los valores de la función, es decir,correspondientes alturas, dadas por los valores de la función, es decir,correspondientes alturas, dadas por los valores de la función, es decir,

como lo mencionan (Godino, Contreras como lo mencionan (Godino, Contreras al grado de representatividad de los signifi cados institucionales respecto aal grado de representatividad de los signifi cados institucionales respecto a

ya que se busca entre otros objetivos el incidir en los signifi cados ya que se busca entre otros objetivos el incidir en los signifi cados personales. En el caso de la media aritmética, esa representatividad vienepersonales. En el caso de la media aritmética, esa representatividad vienedada por la diversidad de formas que adquiere y sus signifi cados institucionales dada por la diversidad de formas que adquiere y sus signifi cados institucionales que son amplios en diferentes ámbitos tanto de la matemática como deque son amplios en diferentes ámbitos tanto de la matemática como de

Aquí se ha usado implícitamente una propiedad de la media aritmética,Aquí se ha usado implícitamente una propiedad de la media aritmética, veces el valor de la veces el valor de la

Cuando se hace un tratamiento como el que viene realizando, además de Cuando se hace un tratamiento como el que viene realizando, además de hacer explícitos algunos de los contextos donde la media aritmética funciona hacer explícitos algunos de los contextos donde la media aritmética funciona como eje de articulación de los saberes matemáticos, se propicia una como eje de articulación de los saberes matemáticos, se propicia una

como lo mencionan (Godino, Contreras como lo mencionan (Godino, Contreras && Font, 2006), Font, 2006), al grado de representatividad de los signifi cados institucionales respecto aal grado de representatividad de los signifi cados institucionales respecto a

ya que se busca entre otros objetivos el incidir en los signifi cados ya que se busca entre otros objetivos el incidir en los signifi cados



Este último resultado, muestra desde una perspectiva discreta que efectivamente la media aritmética es un eje articulador de saberes, desde la matemática elemental hasta la matemática avanzada.

Repitiendo el proceso para el caso de la función, f (x) = x 2, defi nida en el intervalo de referencia [0,1], realizando la misma equipartición del intervalo y evaluando

ahora la integral defi nida, calculada a través de la media aritmética de los valores de la función dada, se tiene que es:

De manera que si se toma el límite cuando n→∞, queda,

En los cálculos anteriores se ocupó la media aritmética de los valores de la función que interviene. Igualmente se puede calcular el promedio de las áreas de los rectángulos de base 1/n y altura el correspondiente valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo. Por supuesto, los resultados de las integrales defi nidas que se calculan son iguales a los ya obtenidos.

Este mismo método de cálculo promedial se usa para calcular la integral defi nida de una función de la forma f (x)=x k, con x defi nida en el intervalo [0,1], obteniéndose el resultado conocido,

Que a su vez se generaliza cuando para esta misma función, se tiene el intervalo de integración [a,b],


xnxn

kk

1

.


n

nn

nnn

knn

kn

xdxn

k

n

k 21

21

21

211

21111 2

220

20

1

0


211

0

dxx


2

)(



2

2333

0

23

2

0

1

0

2

61

21

31

61

21

311

6)12(1111

nnnnn

nnnn

nk

nnk

ndxx

n

k

n

k



xnxn

kk

1

.


n

nn

nnn

knn

kn

xdxn

k

n

k 21

21

21

211

21111 2

220

20

1

0


211

0

dxx


2

)(



2

2333

0

23

2

0

1

0

2

61

21

31

61

21

311

6)12(1111

nnnnn

nnnn

nk

nnk

ndxx

n

k

n

k


311

0

2 dxx .

En los cálculos anteriores se ocupó la media aritmética de los valores de la función que interviene. Igualmente se puede calcular el promedio de las áreas de los rectángulos de base 1/n y altura el correspondiente valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo. Por supuesto los resultados de las integrales definidas que se calculan son iguales a los ya obtenidos. Este mismo método de cálculo promedial se usa para calcular la integral definida de una función de la forma kxxf )( , con x definida en el intervalo 1,0 , obteniéndose el resultado conocido,

111

0 k

dxxk

Que a su vez se generaliza cuando para esta misma función, se tiene el intervalo de integración ba, ,

)(1

1 11

kkb

a

k abk

dxx

Cuyo valor promedio es fácil de ver que corresponde a,

)(1

11 11 kkkkb

a

k babbaak

dxxab

donde precisamente aparece otro tipo de promedio al que denominamos media potenciada, (Rondero, 2001a),

1),( 0

k

babaM

k

n

nnk

k

La media aritmética en la Estadística No es el interés de este trabajo profundizar acerca de cómo es que interviene la media aritmética en la Estadística, más bien de lo que se trata es de mostrar la forma en que ciertos saberes de tipo estadístico se construyen en base a la media aritmética. Algunas de sus propiedades relevantes son, Batanero, C. (2005):

En el aspecto estadístico:

i) La media se sitúa entre los valores extremos,

311

0

2 dxx .


111

0 k

dxxk


)(1

1 11

kkb

a

k abk

dxx


)(1

11 11 kkkkb

a

k babbaak

dxxab


1),( 0

k

babaM

k

n

nnk

k




311

0

2 dxx .


111

0 k

dxxk


)(1

1 11

kkb

a

k abk

dxx


)(1

11 11 kkkkb

a

k babbaak

dxxab


1),( 0

k

babaM

k

n

nnk

k




Que a su vez se generaliza cuando para esta misma función, se tiene el intervalo Que a su vez se generaliza cuando para esta misma función, se tiene el intervalo de integración de integración

En los cálculos anteriores se ocupó la media aritmética de los valores de la En los cálculos anteriores se ocupó la media aritmética de los valores de la función que interviene. Igualmente se puede calcular el promedio de las áreas función que interviene. Igualmente se puede calcular el promedio de las áreas

/n/n y altura el correspondiente valor de la función en y altura el correspondiente valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo. Por supuesto, los resultados de las el extremo izquierdo de cada subintervalo. Por supuesto, los resultados de las integrales defi nidas que se calculan son iguales a los ya obtenidos.integrales defi nidas que se calculan son iguales a los ya obtenidos.

Este mismo método de cálculo promedial se usa para calcular la integral Este mismo método de cálculo promedial se usa para calcular la integral defi nida de una función de la forma defi nida de una función de la forma

, obteniéndose el resultado conocido,, obteniéndose el resultado conocido,

Que a su vez se generaliza cuando para esta misma función, se tiene el intervalo Que a su vez se generaliza cuando para esta misma función, se tiene el intervalo Que a su vez se generaliza cuando para esta misma función, se tiene el intervalo Que a su vez se generaliza cuando para esta misma función, se tiene el intervalo Que a su vez se generaliza cuando para esta misma función, se tiene el intervalo Que a su vez se generaliza cuando para esta misma función, se tiene el intervalo

En los cálculos anteriores se ocupó la media aritmética de los valores de la En los cálculos anteriores se ocupó la media aritmética de los valores de la función que interviene. Igualmente se puede calcular el promedio de las áreas función que interviene. Igualmente se puede calcular el promedio de las áreas

3311

..

ahora la integral defi nida, calculada a través de la media aritmética de los valores ahora la integral defi nida, calculada a través de la media aritmética de los valores

, queda,, queda,

22

2211

3311

6611

22 nnnnnn

401





2.6. La media aritmética en la Estadística

No es el interés de este trabajo profundizar acerca de cómo es que intervienela media aritmética en la Estadística, más bien de lo que se trata esde mostrar la forma en que ciertos saberes de tipo estadístico se construyen en base a la media aritmética. Algunas de sus propiedades relevantes son,Batanero (2005):


i) La media se sitúa entre los valores extremos,ii) La suma de las desviaciones es cero,iii) La media toma en cuenta todos los valores y no sus promedios

parciales.

En el aspecto abstracto:

i) La media no tiene por qué coincidir con alguno de los valores que han sido promediados,

ii) La media, puede ser un número que no tenga sentido en el contexto propuesto,

iii) Cuando se calcula la media, si aparece el cero, debe tenerse en cuenta.

En el aspecto de la representatividad:

i) La media es representativa de los valores promediados.

311

0

2 dxx .


111

0 k

dxxk


)(1

1 11

kkb

a

k abk

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k babbaak

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1),( 0

k

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k

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nnk

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2 dxx .


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0 k

dxxk


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1 11

kkb

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k abk

dxx


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11 11 kkkkb

a

k babbaak

dxxab


1),( 0

k

babaM

k

n

nnk

k




i)i)

ii)ii) La media, puede ser un número que no tenga sentido en el contexto La media, puede ser un número que no tenga sentido en el contexto propuesto,propuesto,

iii)iii) Cuando se calcula la media, si aparece el cero, debe tenerse en cuenta.Cuando se calcula la media, si aparece el cero, debe tenerse en cuenta.

i) La media se sitúa entre los valores extremos,i) La media se sitúa entre los valores extremos,ii) La suma de las desviaciones es cero,ii) La suma de las desviaciones es cero,iii) La media toma en cuenta todos los valores y no sus promedios iii) La media toma en cuenta todos los valores y no sus promedios

parciales.parciales.

En el aspecto abstracto:En el aspecto abstracto:

i)i) La media no tiene por qué coincidir con alguno de los valores que han La media no tiene por qué coincidir con alguno de los valores que han sido promediados,sido promediados,La media, puede ser un número que no tenga sentido en el contexto La media, puede ser un número que no tenga sentido en el contexto propuesto,propuesto,

i)i)i)i)

La media, puede ser un número que no tenga sentido en el contexto La media, puede ser un número que no tenga sentido en el contexto La media, puede ser un número que no tenga sentido en el contexto La media, puede ser un número que no tenga sentido en el contexto propuesto,propuesto,propuesto,propuesto,

la media aritmética en la Estadística, más bien de lo que se trata esla media aritmética en la Estadística, más bien de lo que se trata esde mostrar la forma en que ciertos saberes de tipo estadístico se construyen de mostrar la forma en que ciertos saberes de tipo estadístico se construyen en base a la media aritmética. Algunas de sus propiedades relevantes son,en base a la media aritmética. Algunas de sus propiedades relevantes son,

No es el interés de este trabajo profundizar acerca de cómo es que intervieneNo es el interés de este trabajo profundizar acerca de cómo es que intervienela media aritmética en la Estadística, más bien de lo que se trata esla media aritmética en la Estadística, más bien de lo que se trata esde mostrar la forma en que ciertos saberes de tipo estadístico se construyen de mostrar la forma en que ciertos saberes de tipo estadístico se construyen en base a la media aritmética. Algunas de sus propiedades relevantes son,en base a la media aritmética. Algunas de sus propiedades relevantes son,



En todas las propiedades anteriores, el hecho relevante que permite hacer una resignifi cación a la media aritmética es precisamente la consideración deser el valor que equipara los excesos y defectos, o sea el valor que equilibra.

Existen otras formas de signifi cación del concepto de la media aritmética, que como se ha señalado se desprende de la noción de promediación, uno másde tales significados es el correspondiente a lo “frecuencial”, en el cual, se puede ver como la acumulación de frecuencias individuales dadas por,

esto es,

Es precisamente a través de este signifi cado como el concepto de la media aritmética se articula con la estadística descriptiva en relación a las frecuencias relativas y la frecuencia acumulada, al trabajarse en términos de frecuencias, como si fuese una media aritmética ponderada, se tiene,

siendo , el número total de datos.

La misma se puede entonces rescribir como,

si cada valor fk/N, lo asociamos con una frecuencia relativa, , se tiene que,

esta forma de promedio, tendrá repercusión en la estructura de losvalores esperados en probabilidad.

ii) La suma de las desviaciones es cero,

iii) La media toma en cuenta todos los valores y no sus promedios parciales.

En el aspecto abstracto: i) La media no tiene por qué coincidir con alguno de los valores que han sido

promediados, ii) La media, puede ser un número que no tenga sentido en el contexto

propuesto, iii) Cuando se calcula la media, si aparece el cero, debe tenerse en cuenta.

En el aspecto de la representatividad: i) La media es representativa de los valores promediados.

En todas las propiedades anteriores, el hecho relevante que permite hacer una resignificación a la media aritmética es precisamente es la consideración de ser el valor que equipara los excesos y defectos, o sea el valor que equilibra. Existen otras formas de significación del concepto de la media aritmética, que como se ha señalado se desprende de la noción de promediación, uno más de tales significados es el correspondiente a lo “frecuencial”, en el cual x , se puede ver como la

acumulación de frecuencias individuales dadas por, nxk , esto es,

n

k

kn

nx

nx

nx

nxx

1

21 .

Es precisamente a través de este significado como el concepto de la media aritmética se articula con la estadística descriptiva en relación a las frecuencias relativas y la frecuencia acumulada, al trabajarse en términos de frecuencias, como si fuese una media aritmética ponderada, se tiene,

n

kk

n

kkk

f

fxx

1

1

siendo

n

kkfN

1, el número total de datos.


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Nfx

Nfx

Nfx

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n

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Nfx

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21

11 ,









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k

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n

n

kkk

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32

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11 ,

si cada valor fk/N, lo asociamos con una frecuencia relativa, kf~ , se tiene que ,

n

kkk fxx

1

~

esta forma de promedio, tendrá repercusión en la estructura de los valores esperados en probabilidad.

El valor esperado

En estadística valor esperado de una variable aleatoria discreta X, está definido como,

)( kx

k xpxXEk

donde p(xk), es la función de densidad de probabilidad para la correspondiente variable aleatoria X, la cual puede tener un número finito de valores o bien ser infinitos numerables, en cuyo caso debe cumplirse que )( k

xk xpx

k

, sea convergente para

asegurar la existencia del valor esperado E(X).

Por supuesto la función de densidad de probabilidad cumple con la condición,

1)( kx

xpk

siendo, 0< p(xk)<1.

De la definición misma no se desprende fácilmente que el valor esperado es una forma de promedio, sin embargo, se puede interpretar que cada valor xk que toma la variable aleatoria es multiplicado por su correspondiente valor de probabilidad p(xk) que es a su vez una forma de frecuencia relativa kf~ , y para asociar el promedio con la media aritmética todavía se divide entre la suma de frecuencias relativas, cuyo valor como es sabido es uno, esto es,

n

kkk

n

n

kkk

n

kkk

fxfff

fx

N

fxx

121

11 ~~~~

~~

Dado que la suma de las frecuencias relativas, kf~ + kf

~ + kf~ +. . . + kf~ =1

De tal manera que al valor esperado también se le llama media de la distribución de probabilidad, es decir,

)( k

xk xpxXE

k


n

kkk fxx

1

~


El valor esperado


)( kx

k xpxXEk


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k




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siendo, 0< p(xk)<1.


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n

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xk xpxXE

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si cada valor si cada valor

siendo , el número total de datos.siendo , el número total de datos.

La misma se puede entonces rescribir como,La misma se puede entonces rescribir como,

si cada valor si cada valor ffkkfkffkf /N/Nk/Nkk/Nk , lo asociamos con una frecuencia relativa, , se tiene que,, lo asociamos con una frecuencia relativa, , se tiene que,/N, lo asociamos con una frecuencia relativa, , se tiene que,/N/N, lo asociamos con una frecuencia relativa, , se tiene que,/N

NN

ffxxxx

nn

kkkkfkffkfkk

11

si cada valor si cada valor si cada valor si cada valor

kk

ff

ff kf kkf k

Es precisamente a través de este signifi cado como el concepto de la media Es precisamente a través de este signifi cado como el concepto de la media aritmética se articula con la estadística descriptiva en relación a las frecuencias aritmética se articula con la estadística descriptiva en relación a las frecuencias relativas y la frecuencia acumulada, al trabajarse en términos de frecuencias, relativas y la frecuencia acumulada, al trabajarse en términos de frecuencias, como si fuese una media aritmética ponderada, se tiene,como si fuese una media aritmética ponderada, se tiene,

nn

403



El valor esperado

En estadística valor esperado de una variable aleatoria discreta X, está defi nido como,

donde p ( x k ), es la función de densidad de probabilidad para la correspondiente variable aleatoria X, la cual puede tener un número fi nito de valores o bien ser infi nitos numerables, en cuyo caso debe cumplirse que

sea convergente para asegurar la existencia del valor esperado E (X).


siendo,

De la defi nición misma no se desprende fácilmente que el valor esperado es una forma de promedio, sin embargo, se puede interpretar que cada valor xk que toma la variable aleatoria es multiplicado por su correspondiente valor de probabilidad p (xk) que es a su vez una forma de frecuencia relativa , y para asociar el promedio con la media aritmética todavía se divide entre la suma de frecuencias relativas, cuyo valor como es sabido es uno, esto es,

Dado que la suma de las frecuencias relativas,



n

kkk fxx

1

~


El valor esperado


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k xpxXEk


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El valor esperado


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El valor esperado


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xk xpxXE

k

Dado que la suma de las frecuencias relativas,Dado que la suma de las frecuencias relativas,

De tal manera que al valor esperado también se le llama media de la distribución De tal manera que al valor esperado también se le llama media de la distribución

De la defi nición misma no se desprende fácilmente que el valor esperado De la defi nición misma no se desprende fácilmente que el valor esperado es una forma de promedio, sin embargo, se puede interpretar que cada valor es una forma de promedio, sin embargo, se puede interpretar que cada valor que toma la variable aleatoria es multiplicado por su correspondiente valor de que toma la variable aleatoria es multiplicado por su correspondiente valor de

que es a su vez una forma de frecuencia relativa , y para que es a su vez una forma de frecuencia relativa , y para asociar el promedio con la media aritmética todavía se divide entre la suma de asociar el promedio con la media aritmética todavía se divide entre la suma de frecuencias relativas, cuyo valor como es sabido es uno, esto es,frecuencias relativas, cuyo valor como es sabido es uno, esto es,

Dado que la suma de las frecuencias relativas,Dado que la suma de las frecuencias relativas,

nn

kkkk ffxxkxkkxk

xx 11

~~

Dado que la suma de las frecuencias relativas,Dado que la suma de las frecuencias relativas,Dado que la suma de las frecuencias relativas,Dado que la suma de las frecuencias relativas,

De la defi nición misma no se desprende fácilmente que el valor esperado De la defi nición misma no se desprende fácilmente que el valor esperado

11

es la función de densidad de probabilidad para la es la función de densidad de probabilidad para la , la cual puede tener un número fi nito , la cual puede tener un número fi nito

de valores o bien ser infi nitos numerables, en cuyo caso debe cumplirse quede valores o bien ser infi nitos numerables, en cuyo caso debe cumplirse que

sea convergente para asegurar la existencia del valor esperado sea convergente para asegurar la existencia del valor esperado EE ((XX))X)XX)X ..

Por supuesto la función de densidad de probabilidad cumple con la Por supuesto la función de densidad de probabilidad cumple con la



La varianza

La varianza de una variable aleatoria discreta X, la cual como es sabido es una medida de dispersión, está también defi nida en términos del valor esperado pero de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media µ, esto es,

Donde se cumple la propiedad,

Como , y el valor esperado es, , se tiene que,

La cual se puede expresar como,

cuyo signifi cado deviene a su vez de la diferencia entre dos valores esperados o promedios, el de x2 y el del cuadrado de μ, o sea, E [ X 2]-μ2.

El método de mínimos cuadrados

Un método estadístico donde se muestra el papel relevante del promedio en su conceptualización es el de mínimos cuadrados. Se parte de la consideración deque dada una distribución de puntos, (x1,y1), (x2 ,y2), (x3 ,y3),...(xn ,yn), se tratade encontrar una recta que mejor se ajuste a la misma. Para ello, se busca quela suma de los cuadrados de las distancias de cada uno de los puntos a la recta de ajuste L, sea un mínimo. En otra palabras se quiere que el promedio de los cuadrados de las distancias (y-yi )

2, sea un mínimo, esto es,

La varianza La varianza de una variable aleatoria discreta X, la cual como es sabido es una medida de dispersión, está también definida en términos del valor esperado pero de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media µ, esto es,

)()( 22

kx

k xpxXEXVk

.


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22

222

kx

kx

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k

kx

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k

Como 1)( k

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k

, y el valor esperado es, )( kx

k xpxk

, se tiene que,

22 2 XEXEXV .


2222 XEXEXEXV

cuyo significado deviene a su vez de la diferencia entre dos valores esperados o promedios, el de 2X y el del cuadrado de , o sea, 22 XE .

El método de mínimos cuadrados Un método estadístico donde se muestra el papel relevante del promedio en su conceptualización es el de mínimos cuadrados. Se parte de la consideración de que dada una distribución de puntos, ( x1 , y1 ), ( x2, y2 ), ( x3, y3 ),. . . ( xn , yn ), se trata de encontrar una recta que mejor se ajuste a la misma. Para ello se busca que la suma de los cuadrados de las distancias de cada uno de los puntos a la recta de ajuste L, sea un mínimo. En otra palabras se quiere que el promedio de los cuadrados de las distancias (y- yi )2, sea un mínimo, esto es,

n

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1

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Esta condición es la que asegura el poder obtener la mejor recta de ajuste a la distribución de datos dada.


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Un método estadístico donde se muestra el papel relevante del promedio en su Un método estadístico donde se muestra el papel relevante del promedio en su conceptualización es el de mínimos cuadrados. Se parte de la consideración deconceptualización es el de mínimos cuadrados. Se parte de la consideración deque dada una distribución de puntos, que dada una distribución de puntos, de encontrar una recta que mejor se ajuste a la misma. Para ello, se busca quede encontrar una recta que mejor se ajuste a la misma. Para ello, se busca quela suma de los cuadrados de las distancias de cada uno de los puntos a la recta la suma de los cuadrados de las distancias de cada uno de los puntos a la recta de ajuste de ajuste

cuyo signifi cado deviene a su vez de la diferencia entre dos valores esperados o cuyo signifi cado deviene a su vez de la diferencia entre dos valores esperados o y el del cuadrado de y el del cuadrado de μμ

El método de mínimos cuadradosEl método de mínimos cuadrados

Un método estadístico donde se muestra el papel relevante del promedio en su Un método estadístico donde se muestra el papel relevante del promedio en su conceptualización es el de mínimos cuadrados. Se parte de la consideración deconceptualización es el de mínimos cuadrados. Se parte de la consideración deque dada una distribución de puntos, que dada una distribución de puntos, de encontrar una recta que mejor se ajuste a la misma. Para ello, se busca quede encontrar una recta que mejor se ajuste a la misma. Para ello, se busca que

22 XXXXEEEEXXXXEE

Un método estadístico donde se muestra el papel relevante del promedio en su Un método estadístico donde se muestra el papel relevante del promedio en su Un método estadístico donde se muestra el papel relevante del promedio en su Un método estadístico donde se muestra el papel relevante del promedio en su conceptualización es el de mínimos cuadrados. Se parte de la consideración deconceptualización es el de mínimos cuadrados. Se parte de la consideración deconceptualización es el de mínimos cuadrados. Se parte de la consideración deconceptualización es el de mínimos cuadrados. Se parte de la consideración deque dada una distribución de puntos, que dada una distribución de puntos, que dada una distribución de puntos, que dada una distribución de puntos, de encontrar una recta que mejor se ajuste a la misma. Para ello, se busca quede encontrar una recta que mejor se ajuste a la misma. Para ello, se busca quede encontrar una recta que mejor se ajuste a la misma. Para ello, se busca quede encontrar una recta que mejor se ajuste a la misma. Para ello, se busca que

22 XXXXEE

Como , y el valor esperado es, , se tiene que,Como , y el valor esperado es, , se tiene que,

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Figura 8.

La idea central que subyace en el método de mínimos cuadrados esde poder encontrar la recta de ajuste, en este caso la recta que mejor se aproxime en promedio a la distribución de puntos dada. Nótese que mientras la distribución de puntos es discreta, la función lineal que se busca es continua de la forma y=f(x)=ax+b. Es decir, si podemos dar un procedimiento de cálculo para obtener los parámetros, pendiente de la recta a, y ordenada al origen b, se tiene bien determinada dicha recta de ajuste, lo que posibilita el realizar cálculos que permiten predecir el valor de la variable y.

Se parte de la consideración de que se requiere que sea mínima la suma de los cuadrados de las distancias entre los puntos dados y los puntos calculados, para así poder asegurar que se tiene la mejor recta de ajuste. La condición antes indicada se puede expresar sólo en términos de que la suma siguiente, tome un valor mínimo,

Las ecuaciones correspondientes que permiten calcular de manera elemental, los valores de a y b son:

Resolviendo el sistema, el valor de a que es la pendiente de la recta de regresión queda expresado como,

y y(x) *yn

*y3 y2 * y1 * x1 x2 x3 . . . xn x Figura 8. La idea central que subyace en el método de mínimos cuadrados es de poder encontrar la recta de ajuste, en este caso la recta que mejor se aproxime en promedio a la distribución de puntos dada. Nótese que mientras la distribución de puntos es discreta, la función lineal que se busca es continua de la forma y = f(x)= a x + b. Es decir si podemos dar un procedimiento de cálculo para obtener los parámetros, pendiente de la recta a, y ordenada al origen b, se tiene bien determinada dicha recta de ajuste, lo que posibilita el realizar cálculos que permiten predecir el valor de la variable y. Se parte de la consideración de que se requiere que sea mínima la suma de los cuadrados de las distancias entre los puntos dados y los puntos calculados, para así poder asegurar que se tiene la mejor recta de ajuste. La condición antes indicada se puede expresar sólo en términos de que la suma siguiente, tome un valor mínimo,

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Resolviendo el sistema, el valor de Resolviendo el sistema, el valor de regresión queda expresado como,regresión queda expresado como,

Se parte de la consideración de que se requiere que sea mínima la suma de Se parte de la consideración de que se requiere que sea mínima la suma de los cuadrados de las distancias entre los puntos dados y los puntos calculados, los cuadrados de las distancias entre los puntos dados y los puntos calculados, para así poder asegurar que se tiene la mejor recta de ajuste. La condición antes para así poder asegurar que se tiene la mejor recta de ajuste. La condición antes indicada se puede expresar sólo en términos de que la suma siguiente, tome un indicada se puede expresar sólo en términos de que la suma siguiente, tome un

Las ecuaciones correspondientes que permiten calcular de manera Las ecuaciones correspondientes que permiten calcular de manera elemental, los valores de elemental, los valores de aa y y bb

Resolviendo el sistema, el valor de Resolviendo el sistema, el valor de

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Resolviendo el sistema, el valor de Resolviendo el sistema, el valor de Resolviendo el sistema, el valor de Resolviendo el sistema, el valor de

. Es decir, si podemos dar un procedimiento de cálculo . Es decir, si podemos dar un procedimiento de cálculo para obtener los parámetros, pendiente de la recta para obtener los parámetros, pendiente de la recta se tiene bien determinada dicha recta de ajuste, lo que posibilita el realizar se tiene bien determinada dicha recta de ajuste, lo que posibilita el realizar cálculos que permiten predecir el valor de la variable cálculos que permiten predecir el valor de la variable yy..

Se parte de la consideración de que se requiere que sea mínima la suma de Se parte de la consideración de que se requiere que sea mínima la suma de los cuadrados de las distancias entre los puntos dados y los puntos calculados, los cuadrados de las distancias entre los puntos dados y los puntos calculados,

La idea central que subyace en el método de mínimos cuadrados esLa idea central que subyace en el método de mínimos cuadrados esde poder encontrar la recta de ajuste, en este caso la recta que mejor se de poder encontrar la recta de ajuste, en este caso la recta que mejor se aproxime en promedio a la distribución de puntos dada. Nótese que mientras la aproxime en promedio a la distribución de puntos dada. Nótese que mientras la distribución de puntos es discreta, la función lineal que se busca es continua de distribución de puntos es discreta, la función lineal que se busca es continua de

. Es decir, si podemos dar un procedimiento de cálculo . Es decir, si podemos dar un procedimiento de cálculo para obtener los parámetros, pendiente de la recta para obtener los parámetros, pendiente de la recta aa, y ordenada al origen, y ordenada al origense tiene bien determinada dicha recta de ajuste, lo que posibilita el realizar se tiene bien determinada dicha recta de ajuste, lo que posibilita el realizar



Y la ordenada al origen b,

Realizando operaciones algebraicas, estas mismas expresiones se pueden representar en términos de medias aritméticas x

_ y y

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En el caso de los datos estén centrados en el origen, se tiene que la media aritmética de los datos dados es nula, esto es, x

_ = 0 , lo cual hace que se

simplifi quen los cálculos para encontrar la pendiente a y la ordenada al origen b, que resulta ser a su vez la media aritmética de los valores de yi ,

Es de hacerse notar que en todo el tratamiento del método de mínimos cuadrados, aparece como un argumento recurrente el promedio y que juega diferentes roles en lo que corresponde a la sustentación del mismo método.

En este último contexto trabajado, se ha tratado de mostrar la necesidad de remarcar el valor conceptual del constructo teórico de la media aritmética, siendo este uno de los más relevantes en la Didáctica de la Estadística.Por supuesto, esto no es posible realizar sino se explicita la articulación conceptual de tipo transversal, con algunos de los contextos y representaciones aquí tratados y que corresponden precisamente al Cálculo Promedial.

3 Conclusiones

Es de resaltarse el constructo epistemológico del exceso y el defecto, el cual como se ha evidenciado tiene un papel protagónico en diferentes escenarios matemáticos.


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Realizando operaciones algebraicas, estas mismas expresiones se pueden representar en términos de medias aritméticas x y y de la forma,

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En el caso de los datos estén centrados en el origen, se tiene que la media aritmética de los datos dados ix es nula, esto es, x =0, lo cual hace que se simplifiquen los cálculos para encontrar la pendiente a y la ordenada al origen b, que resulta ser a su vez la media aritmética de los valores de iy ,

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Es de hacerse notar que en todo el tratamiento del método de mínimos cuadrados, aparece como un argumento recurrente el promedio y que juega diferentes roles en lo que corresponde a la sustentación del mismo método. En este último contexto trabajado, se ha tratado de mostrar la necesidad de remarcar el valor conceptual del constructo teórico de la media aritmética, siendo este uno de los más relevantes en la Didáctica de la Estadística. Por supuesto, esto no es posible realizar sino se explicita la articulación conceptual de tipo transversal, con algunos de los contextos y representaciones aquí tratados y que corresponden precisamente al Cálculo Promedial. Conclusiones El de resaltarse el constructo epistemológico del exceso y el defecto, el cual como se ha evidenciado tiene un papel protagónico en diferentes escenarios matemáticos. Se ha mostrado como es que el exceso y el defecto actúa como un invariante epistemológico, en el sentido de que se adapta a los diferentes contextos y


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Por supuesto, esto no es posible realizar sino se explicita la articulación Por supuesto, esto no es posible realizar sino se explicita la articulación conceptual de tipo transversal, con algunos de los contextos y representaciones conceptual de tipo transversal, con algunos de los contextos y representaciones aquí tratados y que corresponden precisamente al Cálculo Promedial.aquí tratados y que corresponden precisamente al Cálculo Promedial.

Conclusiones Conclusiones

Es de hacerse notar que en todo el tratamiento del método de mínimos Es de hacerse notar que en todo el tratamiento del método de mínimos cuadrados, aparece como un argumento recurrente el promedio y que juega cuadrados, aparece como un argumento recurrente el promedio y que juega diferentes roles en lo que corresponde a la sustentación del mismo método.diferentes roles en lo que corresponde a la sustentación del mismo método.

En este último contexto trabajado, se ha tratado de mostrar la necesidad En este último contexto trabajado, se ha tratado de mostrar la necesidad de remarcar el valor conceptual del constructo teórico de la media aritmética, de remarcar el valor conceptual del constructo teórico de la media aritmética, siendo este uno de los más relevantes en la Didáctica de la Estadística.siendo este uno de los más relevantes en la Didáctica de la Estadística.Por supuesto, esto no es posible realizar sino se explicita la articulación Por supuesto, esto no es posible realizar sino se explicita la articulación conceptual de tipo transversal, con algunos de los contextos y representaciones conceptual de tipo transversal, con algunos de los contextos y representaciones aquí tratados y que corresponden precisamente al Cálculo Promedial.aquí tratados y que corresponden precisamente al Cálculo Promedial.

Por supuesto, esto no es posible realizar sino se explicita la articulación Por supuesto, esto no es posible realizar sino se explicita la articulación Por supuesto, esto no es posible realizar sino se explicita la articulación Por supuesto, esto no es posible realizar sino se explicita la articulación conceptual de tipo transversal, con algunos de los contextos y representaciones conceptual de tipo transversal, con algunos de los contextos y representaciones conceptual de tipo transversal, con algunos de los contextos y representaciones conceptual de tipo transversal, con algunos de los contextos y representaciones aquí tratados y que corresponden precisamente al Cálculo Promedial.aquí tratados y que corresponden precisamente al Cálculo Promedial.aquí tratados y que corresponden precisamente al Cálculo Promedial.aquí tratados y que corresponden precisamente al Cálculo Promedial.

media aritmética de los datos dados es nula, esto es, media aritmética de los datos dados es nula, esto es, simplifi quen los cálculos para encontrar la pendiente simplifi quen los cálculos para encontrar la pendiente que resulta ser a su vez la media aritmética de los valores dque resulta ser a su vez la media aritmética de los valores d

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Realizando operaciones algebraicas, estas mismas expresiones se pueden Realizando operaciones algebraicas, estas mismas expresiones se pueden

En el caso de los datos estén centrados en el origen, se tiene que la En el caso de los datos estén centrados en el origen, se tiene que la media aritmética de los datos dados es nula, esto es, media aritmética de los datos dados es nula, esto es, xx

__x xx x = 0= 0 , lo cual hace que se , lo cual hace que se

simplifi quen los cálculos para encontrar la pendiente simplifi quen los cálculos para encontrar la pendiente aa y la ordenada al origen y la ordenada al origen que resulta ser a su vez la media aritmética de los valores dque resulta ser a su vez la media aritmética de los valores de e

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Se ha mostrado cómo es que el exceso y el defecto actúa como un invariante epistemológico, en el sentido de que se adapta a los diferentes contextos y representaciones donde aparece bien sea como elemento constructor o eje de articulación conceptual.

La media aritmética como prototipo de un concepto de promedio, aparece de manera preponderante cuando se pretenden construir saberes matemáticos. Se ha presentado la forma en que articula conceptos de la matemática elemental con otros de la matemática avanzada.

La noción de promediación, identifi cada como una idea germinal, resulta ser de gran importancia conceptual y es posible su rescate epistemológico como en parte aquí ha sido evidenciado para la didáctica de la matemática.

En referencia a la articulación de saberes, la media aritmética queda evidenciada como un eje de articulación conceptual, entre los pensamientos numérico, geométrico y algebraico, además del variacional.

El Cálculo Promedial, tiene una fuerte presencia en la matemática y es el referido a las formas en que aparecen los diferentes tipos de promedio. Por supuesto, se requiere explicitarlo en la matemática escolar, aquí se ha presentado el caso relevante de la media aritmética.

Por medio de los diferentes elementos conceptuales aquí mostrados, es posible realizar el diseño de situaciones de aprendizaje tanto para estudiantes, como para la formación didáctica de profesores de matemáticas, particularmente de secundaria y bachillerato.

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Batanero, C. (2005). Significados de probabilidad en la educación secundaria. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 8 (3), 247-263.

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posible realizar el diseño de situaciones de aprendizaje tanto para estudiantes, posible realizar el diseño de situaciones de aprendizaje tanto para estudiantes, como para la formación didáctica de profesores de matemáticas, particularmente como para la formación didáctica de profesores de matemáticas, particularmente

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Duval, R. (2004b). Duval, R. (2004b).

Duval, R. (2004a). Duval, R. (2004a). Duval, R. (2004a). Duval, R. (2004a). formas superiores en el desarrollo cognitivoformas superiores en el desarrollo cognitivoformas superiores en el desarrollo cognitivoformas superiores en el desarrollo cognitivoeducación y pedagogía. Grupo de Educación Matemática.educación y pedagogía. Grupo de Educación Matemática.educación y pedagogía. Grupo de Educación Matemática.educación y pedagogía. Grupo de Educación Matemática.

Duval, R. (2004b). Duval, R. (2004b). Duval, R. (2004b). Duval, R. (2004b).

el referido a las formas en que aparecen los diferentes tipos de promedio. Por el referido a las formas en que aparecen los diferentes tipos de promedio. Por supuesto, se requiere explicitarlo en la matemática escolar, aquí se ha presentadosupuesto, se requiere explicitarlo en la matemática escolar, aquí se ha presentado

Por medio de los diferentes elementos conceptuales aquí mostrados, es Por medio de los diferentes elementos conceptuales aquí mostrados, es posible realizar el diseño de situaciones de aprendizaje tanto para estudiantes, posible realizar el diseño de situaciones de aprendizaje tanto para estudiantes, como para la formación didáctica de profesores de matemáticas, particularmente como para la formación didáctica de profesores de matemáticas, particularmente

La noción de promediación, identifi cada como una idea germinal, resulta La noción de promediación, identifi cada como una idea germinal, resulta ser de gran importancia conceptual y es posible su rescate epistemológico como ser de gran importancia conceptual y es posible su rescate epistemológico como en parte aquí ha sido evidenciado para la didáctica de la matemática.en parte aquí ha sido evidenciado para la didáctica de la matemática.

En referencia a la articulación de saberes, la media aritmética queda En referencia a la articulación de saberes, la media aritmética queda evidenciada como un eje de articulación conceptual, entre los pensamientos evidenciada como un eje de articulación conceptual, entre los pensamientos numérico, geométrico y algebraico, además del variacional.numérico, geométrico y algebraico, además del variacional.

El Cálculo Promedial, tiene una fuerte presencia en la matemática y es El Cálculo Promedial, tiene una fuerte presencia en la matemática y es el referido a las formas en que aparecen los diferentes tipos de promedio. Por el referido a las formas en que aparecen los diferentes tipos de promedio. Por supuesto, se requiere explicitarlo en la matemática escolar, aquí se ha presentadosupuesto, se requiere explicitarlo en la matemática escolar, aquí se ha presentado



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Autor:

Carlos Rondero Guerrero.Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería, Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo-Mé[email protected] y [email protected]@[email protected]

Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería, Universidad Autónoma del Estado de Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería, Universidad Autónoma del Estado de

[email protected]@hotmail.com

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