Caractersticas Onda SinusoidalCARACTERISTICAS DE UNA ONDA SENOIDAL Se denomina corriente alterna (abreviada CA en espaol y AC en ingls, de Altern Current) a la corriente elctrica en la que la magnitud y direccin varan cclicamente. La forma de onda de la corriente alterna ms comnmente utilizada es la de una onda senoidal (figura 1), puesto que se consigue una transmisin ms eficiente de la energa. Sin embargo, en ciertas aplicaciones se utilizan otras formas de onda peridicas, tales como la triangular o la cuadrada.

Utilizada genricamente, la CA se refiere a la forma en la cual la electricidad llega a los hogares y a las empresas. Sin embargo, las seales de audio y de radio transmitidas por los cables elctricos, son tambin ejemplos de corriente alterna. Algunos tipos de ondas peridicas tienen el inconveniente de no tener definida su expresin matemtica, por lo que no se puede operar analticamente con ellas. Por el contrario, la onda senoidal no tiene esta indeterminacin matemtica y presenta las siguientes ventajas: La funcin seno est perfectamente definida mediante su expresin analtica y grfica. Mediante la teora de los nmeros complejos se analizan con suma facilidad los circuitos de alterna. Las ondas peridicas no senoidales se pueden descomponer en suma de una serie de ondas senoidales de diferentes frecuencias que reciben el nombre de armnicos. Esto es una aplicacin directa de las series de Fourier. Se pueden generar con facilidad y en magnitudes de valores elevados para facilitar el transporte de la energa elctrica.

Su transformacin en otras ondas de distinta magnitud se consigue con facilidad mediante la utilizacin de transformadores. Onda senosoidal

Figura 2: Parmetros caractersticos de una onda senoidal Una seal sinusoidal, a (t), tensin, v (t), o corriente, i (t), se puede expresar matemticamente segn sus parmetros caractersticos (figura 2), como una funcin del tiempo por medio de la siguiente ecuacin:

Donde A0 es la amplitud en voltios o amperios (tambin llamado valor mximo o de pico), la pulsacin en radianes/segundo, T el tiempo en segundos, y el ngulo de fase inicial en radianes. Dado que la velocidad angular es ms interesante para matemticos que para ingenieros, la frmula anterior se suele expresar como: Donde f es la frecuencia en hercios (Hz) y equivale a la inversa del perodo. Los valores ms empleados en la distribucin son 50 Hz y 60 Hz.

Valores significativos A continuacin se indican otros valores significativos de una seal sinusoidal: Valor instantneo (a (t)): Es el que toma la ordenada en un instante, t, determinado. Valor pico a pico (App): Diferencia entre su pico o mximo positivo y su pico negativo. Dado que el valor mximo de sen(x) es +1 y el valor mnimo es 1, una seal sinusoidal que oscila entre +A0 y -A0. El valor de pico a pico, escrito como AP-P, es por lo tanto (+A0)-(-A0) = 2A0. Valor medio (Amed): Valor del rea que forma con el eje de abcisas partido por su perodo. El rea se considera positiva si est por encima del eje de abcisas y negativa si est por debajo. Como en una seal sinusoidal el semiciclo positivo es idntico al negativo, su valor medio es nulo. Por eso el valor medio de una onda sinusoidal se refiere a un semiciclo. Mediante el clculo integral se puede demostrar que su expresin es la siguiente: Valor eficaz (A): su importancia se debe a que este valor es el que produce el mismo efecto calorfico que su equivalente en corriente continua. Matemticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantneos alcanzados durante un perodo: En la literatura inglesa este valor se conoce como R.M.S. (root mean square, valor cuadrtico medio), y de hecho en matemticas a veces es llamado valor cuadrtico medio de una funcin. En el campo industrial, el valor eficaz es de gran importancia ya que casi todas las operaciones con magnitudes energticas se hacen con dicho valor. De ah que por rapidez y claridad se represente con la letra mayscula de la magnitud que se trate (I, V, P, etc.). Matemticamente se demuestra que para una corriente alterna senoidal el valor eficaz viene dado por la expresin:

El valor A, tensin o intensidad, es til para calcular la potencia consumida por una carga. As, si una tensin de corriente continua (CC), VCC, desarrolla una cierta potencia P en una carga resistiva dada, una tensin de CA de Vrms desarrollar la misma potencia P en la misma carga si Vrms = VCC.

Para ilustrar prcticamente los conceptos anteriores se consida, por ejemplo, la corriente alterna en la red elctrica domstica en Europa: cuando se dice que su valor es de 230 V CA, se est diciendo que su valor eficaz (al menos nominalmente) es de 230 V, lo que significa que tiene los mismos efectos calorficos que una tensin de 230 V de CC. Su tensin de pico (amplitud), se obtiene despejando de la ecuacin antes reseada:

As, para la red de 230 V CA, la tensin de pico es de aproximadamente 325 V y de 650 V (el doble) la tensin de pico a pico. Su frecuencia es de 50 Hz, lo que equivale a decir que cada ciclo de la onda sinusoidal tarda 20 ms. en repetirse. La tensin de pico positivo se alcanza a los 5 ms de pasar la onda por cero (0 V) en su incremento, y 10 ms despus se alcanza la tensin de pico negativo. Si se desea conocer, por ejemplo, el valor a los 3 ms de pasar por cero en su incremento, se emplear la funcin sinsoidal: Representacin fasorial Una funcin senoidal puede ser representada por un vector giratorio (figura 3), al que se denomina fasor o vector de Fresnel, que tendr las siguientes caractersticas: Girar con una velocidad angular . Su mdulo ser el valor mximo o el eficaz, segn convenga.

Figura 3: Representacin fasorial de una onda senoidal La razn de utilizar la representacin fasorial est en la simplificacin que ello supone. Matemticamente, un fasor puede ser definido fcilmente por un nmero complejo, por lo que puede emplearse la teora de clculo de estos nmeros para el anlisis de sistemas de corriente alterna.

Consideremos, a modo de ejemplo, una tensin de CA cuyo valor instantneo sea el siguiente:

Figura 4: Ejemplo de fasor tensin (E. P.: eje polar). Tomando como mdulo del fasor su valor eficaz, la representacin grfica de la anterior tensin ser la que se puede observar en la figura 4, y se anotar:

Denominadas formas polares, o bien:

Denominada forma binmica. Angulo de fase

Fase es una diferencia de tiempo relativa, entre dos seales. Generalmente se mide en unidades de ngulo, en lugar de unidades de tiempo, y solamente tiene sentido si las dos seales que se comparan tienen la misma [frecuencia]. Un ciclo de una seal peridica representa un crculo completo o 360 grados de ngulo de fase. Una diferencia de 180 grados es una diferencia de medio ciclo. La medicin de fase es una medicin de dos canales y no tiene sentido cuando solamente se considera una sola seal. En el balanceo de equipo rotativo, la medicin de fase, relativa a la posicin de la flecha es de una importancia vital y un impulso de tacmetro derivado de una posicin en la flecha, se usa como referencia para el ngulo de fase cero. La fase tambin es una parte importante de la medicin de la respuesta de frecuencia.

La fraccin de ciclo que ha transcurrido desde que una corriente o voltaje ha pasado por un determinado punto de referencia (generalmente en el comienzo o 0) se denomina fase o ngulo de fase del voltaje o corriente. Ms frecuentemente, los trminos fase o diferencia de fase se usan para comparar dos o ms voltajes, o corrientes alternados o voltajes y corrientes de la misma frecuencia, que pasan por sus puntos cero y mximo a diferentes valores de tiempo.

La tangente entre la resistencia y la reactancia se conoce como ngulo de Fase (AF).

Se calcula de la siguiente manera:

El ngulo de fase se puede medir desde la posicin de referencia o bien en la direccin de la rotacin, o bien en la direccin opuesta a la rotacin, eso es atraso de fase o avance de fase. , y varios fabricantes de mquinas usan diferentes convenciones. En el programa DLI Balance Alert, se puede seleccionar ambas direcciones, segn la preferencia del operador

5.-Concepto de fasores. Representacin fasorialLos valores instantneos que desarrolla una funcin senoidal (funcin matemtica seno) coinciden con los valores del cateto vertical del tringulo que describe un vector giratorio (ver ANEXO II), llamado fasor. En Fig. podemos ver esta correlacin.

En vista de esta relacin, se deduce que una magnitud senoidal se puede representar mediante un fasor equivalente. De esta forma en los circuitos de corriente alterna, las tensiones y corrientes se representan mediante vectores giratorios (fasores), con las siguientes normas:

El mdulo de los fasores es el valor eficaz de las magnitudes senoidales. El ngulo entre fasores es el desfase entre las senoidales.

El convenio de nomenclatura que utilizaremos es el siguiente

o o o

V(t); I(t): onda senoidal que depende del tiempo V; I fasor equivalente V; I: valor eficaz

En los siguientes ejemplos aclaramos esta representacin mediante fasores.

Ejemplo 1 (Fig. ): Tensin: 230 (V) de valor eficaz Intensidad: 2 (A) de valor eficaz; retrasada 30 respecto a la tensin

!!! Cuando un fasor retrasa con otro, debe girarse en sentido horario.

Ejemplo 2 (Fig.):

Tensin: 230 (V) de valor eficaz Intensidad: 6 (A) de valor eficaz; adelantada 60 respecto a la tensin.

!!! Cuando una fasor adelanta con otro, debe girarse en sentido anti horario

Ejemplo 3 (Fig.): Tensin: 230 (V) de valor eficaz Intensidad: 10 (A) de valor eficaz; en fase.

Impedancia caractersticaSe denomina impedancia caracterstica de una lnea de transmisin a la relacin existente entre la diferencia de potencial aplicada y la corriente absorbida por la lnea en el caso hipottico de que esta tenga una longitud infinita, o cuando an siendo finita no existen reflexiones. En el caso de lneas reales, se cumple que la impedancia de las mismas permanece inalterable cuando son cargadas con elementos, generadores o receptores, cuya impedancia es igual a la impedancia caracterstica. La impedancia caracterstica es independiente de la frecuencia de la tensin aplicada y de la longitud de la lnea, por lo que esta aparecer como una carga resistiva y no se producirn reflexiones por desadaptacin de impedancias, cuando se conecte a ella un generador con impedancia igual a su impedancia caracterstica.

De la misma forma, en el otro extremo de la lnea esta aparecer como un generador con impedancia interna resistiva y la transferencia de energa ser mxima cuando se le conecte un receptor de su misma impedancia caracterstica. No se oculta, por tanto, la importancia de que todos los elementos que componen un sistema de transmisin presenten en las partes conectadas a la lnea impedancias idnticas a la impedancia caracterstica de esta, para que no existan ondas reflejadas y el rendimiento del conjunto sea mximo. La impedancia caracterstica de una lnea de transmisin depende de los denominados parmetros primarios de la misma que son: resistencia, capacitancia, inductancia y conductancia(inversa de la resistencia de aislamiento entre los conductores que forman la lnea). La frmula que relaciona los anteriores parmetros y que determina la impedancia caracterstica de la lnea es:

Donde: Z0 = Impedancia caracterstica en ohmios. R = Resistencia de la lnea en ohmios. C = Capacitancia de la lnea en faradios. L = Inductancia de la lnea en henrios. G = Conductancia del dielctrico en siemens. = 2f, siendo f la frecuencia en hercios j = Factor imaginario

Impedancia caracterstica y velocidad de fase De acuerdo a la geometra del medio, la onda electromagntica se propaga a lo largo de ella. Partiendo de las Leyes de Kircho, la mayora de los materiales presentan una caracterstica de impedancia - admitancia, que puede ser representado mediante un circuito elctrico, como se ve en la gura 1.1 con las siguientes caractersticas:

Determinacin de valores RMS de voltaje y corriente

Relacin entre las Leyes de Kirchoff y las caractersticas de un material para la transmisin de una onda electromagntica.La corriente alterna y los voltajes (cuando son alternos) se expresan de forma comn con su valor efectivo o RMS (Root Mean Square raz media cuadrtica). Cuando se dice que en nuestras casas tenemos 120 voltios o 220 voltios, stos son valores RMS o eficaces Qu es RMS y porqu se usa? Tiene una relacin con las disipaciones de calor o efecto trmico que una corriente directa de igual valor disipara. Un valor en RMS de una corriente es el valor, que produce la misma disipacin de calor que una corriente directa de la misma magnitud. En otras palabras: El valor RMS es el valor del voltaje o corriente que C.A. que produce el mismo efecto de disipacin de calor que su equivalente de voltaje o corriente en C.D. Ejemplo: 1 amperio (ampere) de corriente alterna (c.a.) produce el mismo efecto trmico que un amperio (ampere) de corriente directa (c.d.) Por esta razn se utiliza el termino efectivo El valor efectivo de una onda alterna se determina multiplicando su valor mximo por 0.707 VRMS = VPICO x 0.707 Ejemplo: encontrar el voltaje RMS de una seal con VPICO = 130 voltios 130 Voltios x 0.707 = 91.9 Voltios RMS

Valor RMS Si se tiene un voltaje RMS y se desea encontrar el voltaje pico: VPICO = VRMS / 0.707 Ejemplo: encontrar el voltaje Pico de un voltaje VRMS = 120Voltios VPICO = 120 V / 0.707 = 169.7 Voltios Pico

Valor promedio El valor promedio de un ciclo completo de voltaje o corriente es cero ( 0 ). Si se toma en cuenta solo un semiciclo (supongamos el positivo) el valor promedio es: VPR = VPICO x 0.636

La relacin que existe entre los valores RMS y promedio VRMS = VPR x 1.11 VPR = VRMS x 0.9 Resumiendo en una tabla Valores dados Para encontrar los valores

Mximo (pico) RMS Promedio Mximo (pico) 0.707 x Valor Pico 0.636 x Valor Pico RMS 1.41 x VRMS 0.9 x VRMS Promedio 1.57 x Promedio 1.11 x Promedio

Ejemplo Valor promedio de sinusoide = 50 Voltios, entonces: VRMS = 50 x 1.11 = 55.5 Voltios VPICO = 50 x 1.57 Voltios = 78.5 Voltios Notas: - El valor pico-pico es 2 x Valor pico - Valor RMS = Valor eficaz = Valor efectivo

Impedancias complejasSupongamos que tenemos el caso que se muestra en la figura 3. Si el elemento en bornes de la fuente de CA es una resistencia, se cumple la ley de Ohm: v = RI )Vpeiwt = RIpeiwt es decir que la resistencia no desfasa a la corriente de la tensi on (tienen la misma fase): Vpcoswt = RIpcoswt)F = 0 Definimos la impedancia asociada a la resistencia como: ZR = vI = R

si el elemento en bornes de la fuente de CA es una inductancia L (figura 3), tenemos que:

Nuevamente el desfasaje entre la corriente y el potencial es de p 2 , aunque en este caso la corriente se encuentra retrasada con respecto al voltaje:

Definimos la impedancia asociada a la inductancia como: ZL = vI = iwL

En general, si el elemento en bornes de la fuente de CA en realidad es una combinacin de resistencias, capacitores e inductancias, de impedancia Z, se cumple que, si: v(t) =Vpcos(wt) = Re(Vpei(wt))) I = VZ , lo que implica:

Ejemplo 1: Circuito RLC seriePara mostrar el uso de las tecnicas explicadas previamente, analizaremos un circuito compuesto por una resistencia R, en serie con una inductancia L y un capacitor C, en presencia de una fuente sinusoidal, de frecuencia w y valor