Características de Los Filtro Analógicos de Butterworth y Chebyshev
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8/16/2019 Características de Los Filtro Analógicos de Butterworth y Chebyshev
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Características de los filtro analógicos de Butterworth
y Chebyshev
Los filtros analógicos de Butterworth y Chebyshev ofrecen al
diseñador dos forma distintas de aproximación de la respuesta ideal enfrecuencia tal y como se ilustra en la Figura 6!"#
Fig 6!"
$l filtro de Butterworth efect%a la aproximación mediante el criterio de
m&xima uniformidad en la banda pasante La ganancia disminuye
gradualmente pasando por el punto de '() dB* a la frecuencia de
corte ωl + medida ,ue aumenta el orden del filtro se incrementan las
pendiente de atenuación
+ continuación se incluye una tabla con los coeficientes de los
polinomios de Buterworth La tabla est& dada para filtros normali-ados.
es decir. la frecuencia de corte ω l = 1 rd/sg. /ara obtener el filtro a
cual,uier frecuencia deberemos multiplicar tanto el numerador como
denominador por la frecuencia de corte elevada al grado del polinomio de
denominador /or e0emplo para un filtro de paso ba0o de 12orden#
H(s) 3
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8/16/2019 Características de Los Filtro Analógicos de Butterworth y Chebyshev
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La aproximación de Chebyshev genera un ri-ado en la banda pasante
La amplitud de dicho ri-ado varía entre 1 y donde ε es el factor
de ri-ado. par&metro controlado por el diseñador + medida ,ue aumenta
el orden del filtro se incrementa el ri-ado en la banda de paso
/ara un mismo orden la atenuación de un filtro de Chebyshev es
superior al de Butterworth
4H(ω)| = Butterworth
|H(ω)| = Chebyshev
donde n es el orden del filtro yωl es la frecuencia de corte Cn son
los polinomios de Chebyshev de grado n definidos por #
C5 'x* 3 " C" 'x* 3 x C! 'x* 3 ! x! ( " C) 'x* 3 7 x
) ( ) x
C8 'x* 3 ! x C8 (" 'x* ( C8 (! 'x*
$stos polinomios tiene la siguiente propiedad descubierta por /L
Chebyshev#
9e todos los polinomios de grado 8 con coeficientes igual a ". el
polinomio definido por # tiene el menor valor m&ximo de
magnitud en el intervalo 4x4 " 9icho valor es. de hecho. 2
1 - N
$n lagr&fica ad0unta. Figura 6!!. se muestran e0emplos para 83 ! y )
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Fig 6!!
$l n%mero de oscilaciones en la banda de paso est& determinado por el
par&metro δ mediate la e!"resi#$
$xisten diversas t:cnicas para transformar un filtro de paso ba0o conuna frecuencia de corte normali-ada de " rd;s en otro filtro de paso ba0o
'con distinta frecuencia de corte*. paso alto . paso de banda o recha-o de
banda
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Las frecuencias analógicas€ω y digital Ω€est&n relacionadas por =
mediante la expresiónΩ = ω Τ
+sí mismo en el campo digital las transformaciones de paso son#
9onde = es el periodo de muestreo y ω€u la frecuencia de corte
deseada. y en t:rminos de la frecuencia digital#
Ω = ω Τ
9onde = es el periodo de muestreo y ω€u la frecuencia de corte deseada
y en t:rminos de la frecuencia digital#
Ω = ω Τ
9onde = es el periodo de muestreo. ω0
es la frecuencia central de la
banda de paso. ω€u la frecuencia de corte superior y ωl la frecuencia de
corte inferior deseada
% = &ot
y en t:rminos de la frecuencia digital#
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Ω = ω Τ
> 3 cot
9onde = es el periodo de muestreo.ω
0
es la frecuencia central de la
banda de paso €w u la frecuencia de corte superior y ωl la frecuencia de
corte inferior deseada
% = &ot
y en t:rminos de la frecuencia digital#
Ω = ω Τ
> 3 cot
1! Filtro de Butterworth
'eiido siem"re "ara el iltro "aso bao.Características de su respuesta#
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8/16/2019 Características de Los Filtro Analógicos de Butterworth y Chebyshev
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• *u&i# &ara&ter+sti&a$
,u &om"ortamieto$
• es"uesta "laa e la bada de "aso.
• Ca+da de 2 dB/d&ada e la bada ateuada.
• *iltro &ara&teri0ado "or los valores de & y .
9iseño de un filtro de Butterworth#
eemos 3ue e&otrar & y 3ue satisaga las es"e&ii&a&ioes.
4s"e&ii&a&ioes$
1. Cálculo del orden del filtro de Butterworth (n).
'ebe &um"lir$
,i o es etero redodearemos al siguiete 3ue asegure el &um"limieto de
es"e&ii&a&ioes.
2. Cálculo de la frecuencia de corte (ωc ) del filtro de Butterworth.
5m"oiedo 3ue el iltro "ase "or la es3uia ( "6 H ")$
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Bode de am"litud de iltros Butterworth de orde &re&iete$
1) Filtro de Chebyshev
'eiido siem"re "ara iltro "aso bao.
Características de su respuesta#
• *u&i# &ara&ter+sti&a$
'eii&i# de los "oliomios de Chebyshev$
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7bteidos de orma re&urrete$
,u &om"ortamieto$
• es"uesta &o ri0ado e la bada de "aso.
• *iltro &ara&teri0ado "or los valores de 8 y .
• 'ado el orde del iltro ()6 a mayor ri0ado "ermitido e la bada de "aso6 meor
sele&tividad e re&ue&ia.
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9iseño de un filtro de Chebyshev
eemos 3ue e&otrar 8 y 3ue &um"le las es"e&ii&a&ioes dadas.
4s"e&ii&a&ioes$
1. Cálculo del orden del filtro de Chebyshev (n).
'ebe &um"lir$
,i o es etero redodearemos al siguiete 3ue asegure el &um"limieto de
es"e&ii&a&ioes.
2. Cálculo del parámetro de rizado () del filtro de Chebyshev.
5m"oiedo 3ue el iltro "ase "or la es3uia ( "6H ")$
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,i os da el ri0ado 8 9 "odemos dedu&ir H ".Comparación Butterworth(Chebyshev
• :os Chebyshev de&ae m;s r;"idamete 3ue los Butterworth.
• :os Butterworth se &om"orta meor e la bada de "aso.
17 ?mplementación de filtros de Butterworth y Chebyshev
*iltros Butterworth y Chebyshev solo "aso bao.
+C=?@A 'paso ba0o*#
*iltro de 2< orde (=2)
*iltro de < orde (=)
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*iltro de >< orde (=>)
,o iltros ,alle-?ey &oe&tados e &as&ada. 4stos &ir&uitos im"lemeta la res"uesta
de Butterworth o Chebyshev seg@ el valor de sus &om"oetes.
/+?@A 'paso ba0o*#
*iltro e es&alera.
(a) Cir&uito &o m+imo @mero de idu&ta&ias.
(b) Cir&uito &o m+imo @mero de &odesadores.
4 orde del iltro lo determia el @mero total de elemetos alma&eadores de eerg+a
(&odesadoresAidu&ta&ias).
17"
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Como uestra re&ue&ia w& o w " o ser; de 1rad/s y o usaremos resiste&ias de 1D
debemos a"li&ar ua ley de es&alamieto (e re&ue&ia e im"eda&ia) a los valores de
la tabla.
:ey Eiversal de 4s&alamieto "ara iltros a&tivos
=ablas filtros pasivos
:o "rimero 3ue teemos 3ue de&idir es si vamos a utili0ar ua estru&tura &o el m+imo
@mero de &odesadores o de idu&ta&ias.
Butterworth$ Coo&ido y w&6 la tabla muestra los valores de Cs y :s "ara w &= 1rad/s y
:= 1D.
Chebyshev$ Coo&ido y 86 la tabla muestra los valores de Cs y :s "ara w "= 1rad/s y := 1D6 "ara u ri0ado determiado.
estos iltros se les &oo&e &omo iltros "aso bao "asivos "rototi"o o ormali0ados.
Fara obteer u iltro &o la re&ue&ia 3ue os iteresa y valores Gra0oablesG de
&om"oetes tedremos 3ue a"li&ar otra ley de es&alamieto.
:ey Eiversal de 4s&alamieto "ara iltros "asivos
16 Criterios de diseño para otros tipos de especificaciones
=ransformación de paso ba0o a paso alto
4 la u&i# de trasere&ia e3uivale a sustituir$
s 91/s
$0emplo#
4sta trasorma&i# se "rodu&e al sustituir s "or Cs de valor 1/ y Cs "or s de valor
1/C (trasorma&i# C-C de itra) e el iltro "aso bao activo "rototi"o.
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4sta trasorma&i# e3uivale e el iltro "aso bao pasivo "rototi"o a sustituir :s "or Cs
de valor 1/: y Cs "or :s de valor 1/C.
=ransformación de paso ba0o a paso banda
4 la u&i# de trasere&ia e3uivale a sustituir$
4sta trasorma&i# e3uivale a "oer e &as&ada dos iltros a&tivo "rototi"o.
4sta trasorma&i# se obtiee sustituyedo e el iltro "aso bao "asivo "rototi"o$
=ransformación de paso ba0o a recha-o banda4 la u&i# de trasere&ia e3uivale a sustituir$
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4sta trasorma&i# e3uivale a "oer e "aralelo dos iltros a&tivo "rototi"o.
4sta trasorma&i# se obtiee sustituyedo e el iltro "aso bao "asivo "rototi"o$
1 $scalado en frecuencia e impedancia
Fermite reutili0ar u iltro diseIado modii&ado las re&ue&ias de &orte o los valores
de las resiste&ias em"leadas
$scalado en frecuencias#
'eseamos multi"li&ar la re&ue&ia &ara&ter+sti&a de u iltro "or ua &ostate J.
,i la re&ue&ia del iltro "asa a ser J6 debemos modii&ar el valor de los
&om"oetes utili0ados "ara o variar otras &ara&ter+sti&as del iltro.4 filtros pasivos$
9 J
C 9 C/J
: 9 :/J
4 filtros activos (s#lo hay resiste&ias y &odesadores)$
,e es&ala s#lo los valores de o los valores de C
9 J
C 9 C/J # 9 /J
$scalado de impedancias#
'eseamos mateer la re&ue&ia de &orte "ero utili0ar los &om"oetes dis"oibles
(utili0ar otros valores de im"eda&ias).
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,i dis"oemos de resiste&ias de valor K e lugar del valor del diseIo6 debemos
modii&ar el valor de los otros &om"oetes utili0ados "ara o variar las &ara&ter+sti&as
del iltro.
,i 9 K
C 9 C/K
: 9 K:$0emplo del uso de escalados#
4l siguiete &ir&uito es u iltro "aso bao de Chebyshev &o las siguietes
&ara&ter+sti&as$
,e desea &overtirlo e u iltro "asa alto &o las mismas &ara&ter+sti&as "ero &o ua
" de 1 ?h0 y uos valores de resiste&ias Gra0oablesG del orde de ?D.
1. Frimero se &ovierte e u iltro "aso bao ormali0ado e re&ue&ia "= 1
rad/s.
J=1/(2L1)=.1MO1-
Fara redu&ir la re&ue&ia6 aumetaremos el valor de las resiste&ias o &odesadores e
la misma "ro"or&i#. 4 este &aso es m;s modo modii&ar las resiste&ias.
4 el &aso de iltros "asivos aumetar+amos al mismo tiem"o los valores de los
&odesadores e idu&ta&ias.
2. rasormamos a "asa alto ormali0ado e re&ue&ia "= 1 rad/s mediate las
trasorma&ioes PC de itra.
. Ha&emos u es&alado e re&ue&ia "ara "asar el iltro "asa alto de ua "= 1
rad/s a ua " de 1 ?h0 (Q "= 2L1 rad/s).
J= 2L1/1= R2S
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Fodemos dismiuir (dividir "or J) el valor de las resiste&ias o de los &odesadores.
Como las resiste&ias 3uedar+a muy "e3ueIas6 o"tamos "or redu&ir el valor de los
&odesadores.
>. Como los valores de las resiste&ias so muy elevadas las redu&iremos mediate
u es&alado e im"eda&ias. Como o deseamos 3ue " var+e si dismiuimos las
resiste&ias tedremos 3ue aumetar e la misma rela&i# los &odesadores (e
este &aso 1).