Tema 4. Filtros Analógicos - tsc.uc3m.es 4/Tema4.pdf · Filtros eléctricos analógicos: circuitos...

Sistemas y Circuitos 1© Francisco J. González, UC3M 2009

Tema 4. Filtros Analógicos

Caracterización Temporal


4.1 Definición

Filtro analógico: Sistema en Tiempo Continuo que obedece a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes:

Filtro digital: Sistema en Tiempo Discreto que obedece a una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes:

• N, M = órdenes del filtro− Orden del filtro = max(N, M)

Si N=0 →Filtro MA →respuesta impulsional finita (FIR)Si M=0 →Filtro AR→respuesta impulsional infinita (IIR)

0 0

( ) ( )k lN M

k lk lk l

d y t d x ta bdt dt= =

=∑ ∑

[ ] [ ]0 0

N M

k lk l

a y n k b x n l= =

− = −∑ ∑

Filtro

,k ka b{ })()( txTty =)(tx

[ ]x n { }[ ] [ ]y n T x n=


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

4.2 Filtros: el caso eléctrico

Elementos circuitales pasivos• Relaciones tensión-corriente en

− Condensadores

Ejemplo

( )( ) dv ti t Cdt

=+

−

( )v t( )i t

C

00

1( ) ( ) ( )t

tv t i d v t

Cτ τ= +∫

( ) sin( ) V

220 2 sin(2 50 ) Vmv t V t

t

ω

π

=

=

1 mFC =( ) cos( ) A

22 2 cos(2 50 ) Ami t V C t

t

ω ω

π π

=

=

La corriente adelanta a la tensión



Elementos circuitales pasivos• Condensadores

− Energía [Julios]

+

−

( )v t( )i t

C

[ ]2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1( ) ( ) Julios2

dv t dE tp t v t i t Cv tdt dt

dE t Cv t dv t

E t Cv t

= = =

=

=

( )( ) dv ti t Cdt

=


Ejemplo: L=100 mH

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

p (W

)

seg

4.2 Filtros: el caso eléctricoElementos circuitales pasivos• Bobinas

− Energía [Julios]

[ ]2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1( ) ( ) Julios2

di t dE tp t v t i t Li tdt dt

dE t Li t di t

E t Li t

= = =

=

=

+

−

( )v t( )i t ( )( ) di tv t L

dt=

L

510 A 0( )

0 A 0

tte ti t

t

−⎧ ≥= ⎨

<⎩

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

seg

i (A

)

5 (1-5 ) V 0( )

0 V 0

te t tv t

t

−⎧ ≥= ⎨

<⎩

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

seg

v (V

)

( )p t

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

seg

E (J

)

( )E t

( )v t

( )i t



Elementos circuitales pasivos• Comportamiento con tensiones constantes

− Condensadores

− Un condensador NO admite cambios instantáneos en el voltaje → i=∞− El voltaje en un condensador es continuo

( )( ) dv ti t Cdt

=

( )Si ( ) . 0 ( ) 0 condensador circuito abiertodv tv t cte i tdt

= ⇒ = → = ⇒ ⇔

+

−

( )v t( )i t

C

)()( 00+− = tvtv



Elementos circuitales pasivos• Comportamiento con corrientes constantes

− Bobinas

− Una bobina NO admite cambios instantáneos en la corriente → v=∞− La corriente en una bobina es continua:

( )( ) di tv t Ldt

=

+

−

( )v t( )i t

L

( )Si ( ) . 0 ( ) 0 bobina cortocircuitodi ti t cte v tdt

= ⇒ = → = ⇒ ⇔

)()( 00+− = titi



Filtros eléctricos analógicos: circuitos R, L y C.• Los coeficientes ak, y bk dependen de los valores de R, L y C

Primer orden: circuitos RL y RC

( ) ( ) ( )( ) 1 1( ) ( )( )( )

O IO

O IO

R i t v t v tdv t v t v tdv t dt RC RCi t C

dt

+ = ⎫⎪ → + =⎬

= ⎪⎭

Filtro

,k ka b

{ })()( txTty =)(tx

Para obtener la respuesta necesito conocer la tensión inicial en el condensador: v0(t0)

0 0

( ) ( )k lN M

k lk lk l

d y t d x ta bdt dt= =

=∑ ∑



Filtros eléctricos analógicos: circuitos R, L y C.• Los coeficientes ak, y bk dependen de los valores de R, L y C

Segundo orden: circuitos RLC serie y paralelo

)()()()( tvtRidt

tdiLtv OI ++=

2

2 )()()()(dt

tvdCdt

tditidt

tdvC OO =⇒=

2

2

( ) ( ) 1 1( ) ( )O OO I

d v t dv tR v t v tdt L dt LC LC

+ + =

Para obtener la respuestanecesito conocer la tensión inicial en el condensador y la corriente inicial en la bobina:

v0(t0), i(t0)Condiciones auxiliares

)(tx )(ty


4.2 Filtros: el caso mecánico

Condiciones auxiliares

• Para resolver la ecuación diferencial, es necesario conocer la posición inicial ( ) y la velocidad inicial ( )

-b

( )dy tdt

( )dy tdt-M

( )dy tbdt

−

2

2

( )d y tMdt

−

1k( )F t

2

2

1 ( ) ( )( ) ( )d y t dy tF t M b y tk dt dt⎛ ⎞

− − =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )y t

0( )y t 0( )y t′

Modelo

2

2

( ) ( ) ( ) ( )d y t dy tM b ky t F tdt dt

+ + =

( )y t( )dy tb

dt


4.3 Filtros analógicos: respuesta general

Respuesta general de un filtro analógico de primer orden.

• Condición auxiliar

• Tipos de señales de entrada

( )dy tdt( )dy t

dt− 1−

( )y t

Modelo

τ

0(0)y Y=

)(tx)()(1)( txty

dttdy

=+τ

t

0(0)y Y=

( )y t

( )x t

tK

0)( ≡tx

( )x t

tK

0

0

)()(1)( txtydt

tdy=+

τ( )x t


4.3 Filtros analógicos: respuesta natural

Respuesta natural de un filtro analógico de primer orden.

• Condición auxiliar

• 1º) Polinomio característico− Si....

− ... entonces

• En nuestro caso...

( ) ( )1 0dy t

y tdt τ

+ =

1( )P s sτ

= +

( )dy tdt( )dy t

dt− 1−

( ) 0x t ≡ ( )y t

Modelo

τ

0 1( ) ( )( ) 0

N

N N

dy t d y ta y t a adt dt

+ + + =

1( ) ... No NP s a a s a s= + + +

0(0)y Y=


4.3 Filtros analógicos: respuesta naturalRespuesta natural de un filtro analógico de 1er orden.

• 2º) Calcular raíces del Polinomio característico

• 3º) La solución de la ecuación diferencial es de la forma

− A es una constante que hay que determinar− Comprobar que cumple la ecuación diferencial

( ) ( )1 0dy t

y tdt τ

+ =

1 1( ) raiz rP s s sτ τ

= + → = −

( ) r

ts ty t Ae Ae τ

−= =

A

t0

y(t)

0τ >

( ) ( )1 1 1 0t tdy t

y t A e Aedt

τ τ

τ τ τ− −⎛ ⎞+ = − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

0(0)y Y=



Respuesta natural de un filtro analógico de primer orden.

• 4º) Aplicar la condición auxiliar para despejar A− Como y(0)=Y0

• 5º) Obtener la respuesta

( ) ( )1 0dy t

y tdt τ

+ =

( ) 000

t

tt

y t Ae Yτ−

==

= = 0Y

t0

y(t)

0τ >

( ) 0

t

y t Y e τ−

=

0(0)y Y=



Ejemplo: Respuesta natural de un circuito RL paralelo.

• Por la bobina circula una corriente inicial de I0 amperios

• Para calcular la corriente se necesita su valor inicial en la bobina.

( ) ( )Kirchhoff: Voltajes 0di t

L Ri tdt

→ + =

( ) ( ) ( ) ( )10 0di t dy tR i t y t

dt L dt τ+ = → + = L

Rτ =

( ) ( )t R t

Lo oy t Y e i t I eτ

− −= → =

( ) ( )i t y t≡+

-

( )0 ( ) ( )

R tL

o

di tv t L i t R I Re

dt−

= = − = −

0IL

t0

i(t)0I

tLR

eI−

0


Respuesta natural de un circuito RC paralelo.

• El condensador tiene un voltaje inicial de V0 voltios

• Para calcular el voltaje se necesita su valor inicial en el condensador.

• La corriente es

( ) ( ) 0=+Rtv

dttdvC


( ) ( ) ( ) ( )1 10 0dv t dy t

v t y tdt RC dt τ

+ = → + =

RCτ =

( ) ( )1t t

RCo oy t Y e v t V eτ

− −= → =

( ) ( )v t y t≡

( )1

( ) ( )t

RCoV edv t v ti t C

dt R R

−

= = − = −

+

-0V+

- C

t0

v(t)0V

tRCeV1

0

−


4.4 Filtros analógicos: respuesta al escalón

Respuesta al escalón de un filtro analógico de primer orden.

• 1º) Polinomio característico

• 2º) Solución general (para t≥0)

− donde YF y A son dos constantes que hay que determinar− Comprobar que se cumple la ecuación diferencial

Por tanto

( ) ( )1 , 0dy t

y t K tdt τ

+ = ≥

( )dy tdt( )dy t

dt− 1−

( ) ( )x t Ku t= ( )y t

Modelo

τ

1 1( ) raiz rP s s sτ τ

= + → = −

( ) , 0t

Fy t Y Ae tτ−

= + ≥

( ) ( )1 1 1t tF

F

dy t Yy t A e Y Ae Kdt

τ τ

τ τ τ τ− −⎛ ⎞⎛ ⎞+ = − + + = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠FY Kτ=

0(0)y Y=


Respuesta al escalón de un filtro analógico de primer orden.

• 3º) Para despejar la constante A hay que aplicar la condición auxiliar

− Si

− Cuando t→∞,


( ) ( )1 , 0dy t

y t K tdt τ

+ = ≥

( )0 0 0(0)y Y K A Y A Y Kτ τ= → + = → = −

( ) 01 , 0t t

y t K e Y e tτ ττ− −⎛ ⎞

= − + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) Fy K Yτ∞ = =

( )y tFY

t0Y

( ) , 0t

y t K Ae tττ−

= + ≥

0(0)y Y=

( ) ( )0 , 0t

F Fy t Y Y Y e tτ−

= + − ≥

( )x t

tK

( ) ( )1 , 0dy t

y t K tdt τ

+ = ≥

0(0)y Y=

( )y t



Respuesta al escalón desplazado.

• Solución general (para t≥t0)

− Si

− Como, cuando t→∞,

( ) ( ) 01 ,

dy ty t K t t

dt τ+ = ≥

( )0 0 00( ) t t ty t Y A K Y A Y Kτ τ= → + = → = −

( )dy tdt( )dy t

dt− 1−

0( ) ( )x t Ku t t= − ( )y t

Modelo

τ

( )( )0

0, t t

y t K Ae t tττ−

−= + ≥

( ) ( )0

0

( )

0, t t

F t Fy t Y Y Y e t tτ−

−= + − ≥

( ) Fy K Yτ∞ = =

( )y tFY

t0t

Y

0t

00( ) ty t Y=



Respuesta de un circuito RC paralelo a un escalón.( ) ( ) , 0S

dv t v tC I t

dt R+ = ≥Ecuación:

Solución de la expresión genérica:

Circuito RC:

( ) ( )1 , 0dy t

y t K tdt τ

+ = ≥ RCτ =( ) ( )v t y t≡ SIKC

=

Expresión genérica:

Condición inicial: ( ) 00v V=

Valor final: ( ) Sv I R∞ =

( ) ( )0 , 0t

F Fy t Y Y Y e tτ−

= + − ≥

( ) ( )0 , 0t

RCS Sv t I R V I R e t

−= + − ≥

( )v tSI R

t0V

0

( )v t+

-

0V+

-C


Ejercicios


Ejercicios


4.5 Filtros analógicos de segundo orden

Respuesta natural de un filtro analógico de segundo orden.

• Polinomio característico

• Raíces

− (1) Si las raíces son reales− (2) Si las raíces son complejas.

− (3) Si tenemos raíces múltiples (multiplicidad 2).

( ) ( ) ( )2

202 2 0

d y t dy ty t

dt dtα ω+ + =

2 20( ) 2P s s sα ω= + +

-2α

( )dy tdt

( )dy tdt

-1

( )2 dy tdt

α−

2

2

( )d y tdt

−

( ) 0x t ≡ ( )y t

Modelo

20

1ω

2 2

1,2

2 2

2 4 42

o

o

sα α ω

α α ω

− ± −=

= − ± −

oωα >

oωα <02,1 <→ s

2 21

2 22

o d

o d

s j j

s j j

α ω α α ω

α ω α α ω

= − + − = − +

= − − − = − −

oα ω=1 2s s α= = −

*1 2s s→ =


4.5 Filtros analógicos 2º orden: respuesta natural

Respuesta natural.• (1) Sobreamortiguamiento.

• (2) Subamortiguamiento.

• (3) Amortiguamiento crítico.

Las constantes se obtienen a partir de las condiciones auxiliares

( ) tsts eAeAty 2121 +=

( ) 1 2d dj t t j tty t A e e A eω α ωα − −−= + =

( ) ( ) tetDDty α−+= 21

( ) ( )1 2cos sint td dB e t B e tα αω ω− −= +

oωα >

oωα <

oωα =

0 0( ), ( )y t y t′

2 21,2 os α α ω= − ± −

2 21

2 22

o d

o d

s j j

s j j

α ω α α ω

α ω α α ω

= − + − = − +

= − − − = − −


4.5 Filtros 2º orden: respuesta al escalón

Respuesta al escalón• (1) Sobreamortiguamiento.

• (2) Subamortiguamiento.

• (3) Amortiguamiento crítico.

Las constantes se obtienen a partir de las condiciones auxiliares

( ) 1 21 2

s t s tFy t Y A e A e= + +

( ) 1 2d dj t t j tt

Fy t Y A e e A eω α ωα − −−= + + =

( ) ( )1 2t

Fy t Y D D t e α−= + +

( ) ( )1 2cos sint tF d dY B e t B e tα αω ω− −= + +

oωα >

oωα <

oωα =

0 0( ), ( )y t y t′

-2α

( )dy tdt

( )dy tdt-1

( )2 dy tdt

α−

2

2

( )d y tdt

−

( ) ( )x t Ku t≡ ( )y t

Modelo

20

1ω

20

FKYω

= K

0 t



Filtros de orden 2

FY

( )y t

t

te α−2

d

πω

Subamortiguamiento


4.5 Filtros analógicos de orden 2

Ejemplo: filtro analógico RLC serie de orden 2

1. Polinomio característico:

)(tx)(ty ( ) ( ) ( ) ( )

22 20 02 2

d y t dy ty t x t

dt dtα ω ω+ + =

( ) ( ) ( ) ( )2

0 00 2 I

dv t d v tv t RC LC v t

dt dt+ + = ⇔

21 2

11, 2 , o oRa a aL LC

α ω= = = = =

2 1( ) RP s s sL LC

= + +



Ejemplo: filtro analógico RLC serie de orden 2

• Raíces− (1) Si las raíces son reales: sobreamortiguamiento

− (2) Si las raíces son complejas: subamortiguamiento¿R=0?

− (3) Si tenemos raíces de multiplicidad 2: amort. Crítico

)(tx)(ty

2

1,220

121 2 2

RR RL sL L LC

LC

α

ω

⎫= ⎪⎪ ⎛ ⎞→ = − ± −⎬ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪=

⎪⎭

2 LRC

>

2 LRC

<

2 LRC

=


Ejemplo: filtro analógico RLC paralelo de orden 2

1. Polinomio característico:


)(tx

)(ty

( ) ( ) ( ) ( )2

2 20 02 2

d y t dy ty t x t

dt dtα ω ω+ + =

( ) ( ) ( )0 0( )L S

v t dv ti t C i t

R dt+ + =

21 12 , oRC LCα ω= =

2 1 1( )P s s sRC LC

= + +

( )0 ( ) Ldi t

v t Ldt

=

( ) ( ) ( )2

2

1 1L L SL

d i t di t Ii tdt RC dt LC LC

+ + =

( )Si t


Ejemplo: filtro analógico RLC paralelo de orden 2

• Raíces

− (1) Si las raíces son reales: sobreamortiguamiento

− (2) Si las raíces son complejas: subamortiguamiento

¿R=∞?− (3) Si tenemos raíces de multiplicidad 2: amort. crítico


)(tx

)(ty

2

1,220

11 1 12

1 2 2RC s

RC RC LCLC

α

ω

⎫= ⎪⎪ ⎛ ⎞→ = − ± −⎬ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪=

⎪⎭

12

LRC

<

12

LRC

>

12

LRC

=


4.7 Propiedades de los filtros

Linealidad (entrada idénticamente nula, salida ident. nula)• Un filtro es lineal si la respuesta libre es nula hay linealidad

si las condiciones auxiliares son cero.Invarianza temporal• La invarianza exige que las condiciones auxiliares se desplacen el

mismo valor que la entrada condiciones auxiliares son iniciales.

Causalidad• Un filtro es causal si está en reposo inicial.

Reposo inicial1) las condiciones auxiliares son condiciones iniciales.2) las condiciones iniciales son nulas.

LINEALIDAD

REPOSO INICIAL INVARIANZA

CAUSALIDAD


4.8 Filtros: respuesta al impulso

Si conocemos la respuesta al escalón de un filtro, y éste está en reposo inicial (→ Sistema Lineal e Invariante en el Tiempo), entonces la respuesta al impulso es...• Para filtros analógicos

− Ejemplo

Por tanto

( ) ( )1 ( )dy t

y t u tdt τ

+ = (0) 0y =

( ) ( ) 1 ( )t

y t s t e u tττ−⎛ ⎞

= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( )tds th t e u t

dtτ

−= =

1

t0

h(t)

0τ >

( )( ) ds th tdt

=

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