Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación ...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

“ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE LA PLACA DE FIJACIÓN

ENTRE LA CARROCERÍA Y LA SUSPENSIÓN PARA EL

CASO TODO TERRENO"

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA

MECÁNICA CON OPCIÓN EN DISEÑO MECÁNICO

PRESENTA:

Ing. César Eduardo Félix Heredia.

DIRECTOR DE TESIS:

Dr. José Ángel Ortega Herrera.

México, D.F. Diciembre del 2014.

Dedicatoria

Este trabajo lo dedico a mis padres por su incondicional apoyo en todo

momento para que esto lograra concretarse. Pase por numerosos

tropiezos y adversidades; sin embargo, ustedes siempre estuvieron allí.

En verdad, no existen palabras que puedan expresar lo mucho que les

agradezco por su tiempo, paciencia, dedicación, consejos y apoyos de

todo tipo. Asimismo, agradezco a mis hermanos y familiares cercanos

por apoyarme siempre a pesar del tiempo.

Agradecimientos

Al Dr. José Ángel Ortega Herrera por aceptarme en las difíciles condiciones en que

me encontraba. Le agradezco mucho por su paciencia; por su apoyo moral; por

todo el tiempo que me dedicó para explicarme una y otra vez hasta dejar bien

comprendido cada punto importante de este trabajo de Tesis; por su comprensión

ante cada uno de mis tropiezos; y finalmente, por todos sus consejos y enseñanzas

sobre cualquier aspecto de la vida.

Al Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón por haberme apoyado durante todo el

tiempo ordinario en que cursé la Maestría. Sin su ayuda y defensa no me hubiera

sido posible el poderme mantener dentro del Posgrado. Asimismo, le agradezco

por compartirme algunas experiencias personales, por sus consejos y por sus

enseñanzas sobre la Ingeniería en México.

Por su asesoría, consejos y apoyo, desde que cursé la materia de Matemáticas en

mi primer curso propedéutico, le agradezco al Dr. Marco Antonio Gutiérrez

Villegas.

En especial, agradezco al Ing. Fabián Leonov Santoyo López por su apoyo moral,

enseñanzas de todo tipo, consejos, amistad y valiosísima ayuda. Gracias a ti, mi

trabajo de Tesis pudo tomar un rumbo adecuado en momentos que me encontraba

con puras ideas aisladas, puras buenas intenciones, pero nada en concreto por

hacer.

Asimismo, agradezco a: Dr. Helvio Mollinedo, Dr. Ricardo Tapia Herrera, M. en C.

Yonatan Ali Rodríguez Arias, M. en C. Adrian Mendoza, y, M. en C. Gustavo

Armando Bautista Omaña, por su amistad, asesoría, soporte y enseñanzas, las

cuales, fueron fundamentales para poder concluir este trabajo.

Le agradezco a mi esposa: M. en C. Arely Ivonne López Soto, por su apoyo y

comprensión durante todo el tiempo en que realicé este trabajo.

A todos los compañeros que tuve el placer de conocer, convivir y aprender, desde

que cursé el primer curso propedéutico para ingresar al Posgrado en la SEPI

ESIME Zacatenco en Agosto del 2006. Muchas gracias a todos por escucharme y

por sus buenos deseos en todo momento.

De igual manera, les agradezco a: Ing. Rafael Berver Ríos, M. en C. Lucia Mónica

Gutiérrez Castro, M. en C. Edgar Ruiz Muñoz, M. en C. Jesús Andrés Romero García,

Ing. Sarai Becerril Jiménez, Ing. José Luis Beltrán Fonseca, Dr. Salvador Álvarez

Ballesteros, M. en C. Iván Altamirano Olguín, M. en C. Manuel López Godinez, Ing.

Antonio Serrano Aponte, M. en C. Sergio Viveros Breton, Ing. José Alberto Coatzin

Flores, Ing. Alberto Galicia Noriega, por su amistad y apoyo moral en todo

momento.

Finalmente, le agradezco a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Unidad Zacatenco, que forma

parte del Instituto Politécnico Nacional, por darme la oportunidad de poder cursar

un Posgrado de alto nivel para obtener el grado de Maestro en Ciencias.

ÍNDICE GENERAL

RESUMEN ............................................................................................................................................ 16

ABSTRACT ............................................................................................................................................ 17

OBJETIVO ............................................................................................................................................. 18

JUSTIFICACIÓN ..................................................................................................................................... 19

CAPÍTULO I. DESARROLLO HISTÓRICO DE LAS SUSPENSIONES ............................................................. 20

1.1 SISTEMA DE SUSPENSIÓN. ......................................................................................................................... 2

1.1.1 Definición de suspensión. .......................................................................................................... 2

1.1.2 Tipos de suspensión................................................................................................................... 2

1.1.2.1 Suspensión Dependiente. ................................................................................................................... 3

1.1.2.2 Suspensión Semi-dependiente. .......................................................................................................... 5

1.1.2.3 Suspensión Independiente. ................................................................................................................ 7

Suspensión Independiente de eje oscilante. ........................................................................................... 8

Suspensión Independiente de brazos tirados o arrastrados. .................................................................. 9

Suspensión Independiente MacPherson. .............................................................................................. 11

Suspensión Independiente de doble brazo transversal. ....................................................................... 13

Suspensión Independiente de paralelogramo deformable. Suspensión multibrazo. .......................... 14

1.1.3 Elementos que conforman la suspensión ............................................................................... 19

1.1.3.1 Resortes. ........................................................................................................................................... 19

Resortes de hoja. .................................................................................................................................... 20

Resortes Helicoidales. ............................................................................................................................ 22

Resortes Neumáticos. ............................................................................................................................ 23

Barra de Torsión. .................................................................................................................................... 25

1.1.3.2 Amortiguadores................................................................................................................................ 25

Amortiguador de fricción Hartford. ....................................................................................................... 26

Amortiguador Gabriel. ........................................................................................................................... 27

Amortiguador Hidráulico. ...................................................................................................................... 27

1.1.3.3 Barra de estabilidad ......................................................................................................................... 28

1.1.3.4 Estabilizadores. ................................................................................................................................. 29

1.1.3.5 Elementos de soporte. ..................................................................................................................... 29

1.1.3.6 Neumáticos. ..................................................................................................................................... 29

1.1.3.7 Casquillos de caucho ........................................................................................................................ 30

1.1.3.8 Bujes de goma .................................................................................................................................. 30

CAPÍTULO II. ANÁLISIS MODAL DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE LA PLACA DE FIJACIÓN. ............... 32

2.1 VIBRACIÓN. ......................................................................................................................................... 33

2.1.1 Vibraciones mecánicas. ........................................................................................................... 33

2.1.1.1 Elementos que componen a un sistema vibratorio. ......................................................................... 33

Masa. ...................................................................................................................................................... 34

Resorte. .................................................................................................................................................. 34

Amortiguador. ........................................................................................................................................ 35

Excitación. ............................................................................................................................................... 35

2.1.1.2 Tipos de Vibraciones Mecánicas. ...................................................................................................... 36

Vibración Libre de un grado de libertad. ............................................................................................... 36

Vibración Forzada. .................................................................................................................................. 38

Tipos de excitación forzada. ............................................................................................................ 45

Armónica. ..................................................................................................................................... 45

Periódica. ..................................................................................................................................... 47

Amortiguamiento en sistemas reales. ........................................................................................ 48

Vibración auto-excitada. ........................................................................................................................ 52

2.1.1.3 Tipos de movimiento. ....................................................................................................................... 53

Movimiento Armónico. .......................................................................................................................... 53

Movimiento Periódico. ........................................................................................................................... 58

Movimiento Aleatorio. ........................................................................................................................... 58

2.2 ANÁLISIS DE ¼ PARTE DE LA SUSPENSIÓN MACPHERSON ANTE LA RESPUESTA DEL TERRENO.................................. 59

2.2.1 Tipos de funciones. .................................................................................................................. 63

2.2.1.1 Escalón. ............................................................................................................................................ 63

2.2.1.2 Rampa. ............................................................................................................................................. 66

2.3 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE COMPUTADORAS ANALÓGICAS. ........................................ 68

2.3.1 Amplificadores operacionales. ................................................................................................ 69

2.3.2 Inversiones de signo. ............................................................................................................... 69

2.3.3 Sumadores. .............................................................................................................................. 71

2.3.4 Integradores. ........................................................................................................................... 73

2.3.5 Multiplicación por una fracción. ............................................................................................. 77

2.3.6 Soluciones de ecuaciones diferenciales. ................................................................................. 78

Procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales. ............................................................................... 78

Generación de una función exponencial. ..................................................................................................... 79

Generación de una función senoidal. ........................................................................................................... 80

Factor de escala de tiempo. ......................................................................................................................... 81

Factores de escala magnitud. ....................................................................................................................... 83

Procedimiento para determinar factores de escala magnitud. .................................................................... 84

2.4 PROCEDIMIENTO PARA CONSTRUIR DIAGRAMA DE BLOQUE EN MATLAB SIMULINK PARA OBTENER LA RESPUESTA. .... 85

2.5 ANÁLISIS EN MATLAB® SIMULINK® DE LA SUSPENSIÓN PASIVA TÍPICA PARA UN AUTÓMOVIL. ............................... 87

2.5.1 Diagrama de bloques en Matlab® Simulink® de la Suspensión Pasiva típica para un

autómovil. ........................................................................................................................................ 87

2.5.2 Respuesta en Matlab® Simulink® de Suspensión Pasiva típica para un autómovil

considerando una función de excitación de tipo: ESCALÓN. ........................................................... 88

CAPÍTULO III. ANÁLISIS NUMÉRICO DE LA PLACA DE FIJACIÓN MEDIANTE M.E.F. ................................ 89

3.1 EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO (MEF) ............................................................................................... 90

3.1.1 Definición. ................................................................................................................................ 90

3.1.2 Problemas de ingeniería. ........................................................................................................ 91

3.1.3 Métodos numéricos. ................................................................................................................ 91

3.1.4 Antecedentes históricos. ......................................................................................................... 92

3.1.5 Pasos básicos en el método del elemento finito. ................................................................... 98

Fase de preprocesamiento ........................................................................................................................... 98

Fase de solución ........................................................................................................................................... 98

Fase de postprocesamiento .......................................................................................................................... 98

3.1.6 Proceso de trabajo del método del elemento finito. .............................................................. 98

3.1.7 Datos básicos de entrada. ..................................................................................................... 101

3.1.8 Definición de la geometría. ................................................................................................... 102

3.1.9 Propiedades del material. ..................................................................................................... 102

3.1.10 Constantes de desplazamiento. .......................................................................................... 103

3.1.11 Fuerzas aplicadas. ............................................................................................................... 103

3.1.12 Tipos de elementos.............................................................................................................. 104

Elementos Beam. ....................................................................................................................................... 107

Elementos Plate. ........................................................................................................................................ 108

3.1.13 Modelo de elemento finito ................................................................................................. 108

3.1.14 Depuración de modelos de elemento finito. ...................................................................... 109

3.1.15 Verificación de resultados. .................................................................................................. 111

3.1.16 Ventajas y limitaciones del método del elemento finito. ................................................. 112

3.2 ANÁLISIS DE FRECUENCIAS EN VIBRACIÓN LIBRE. .................................................................................... 113

3.2.1 Resultados. ....................................................................................................................... 116

3.3 ANÁLISIS DINÁMICO TRANSITORIO MODAL DE LA PLACA DE FIJACIÓN. ....................................................... 120

3.3.1 Resultados. ............................................................................................................................ 122

3.3.2 Gráfica de respuesta: Historia – Tiempo. ............................................................................. 126

CAPITULO IV. DISCUSIÓN DE RESULTADOS. ....................................................................................... 127

4.1. RESULTADOS. .......................................................................................................................... 128

CONCLUSIONES. ................................................................................................................................. 130

TRABAJOS FUTUROS. ......................................................................................................................... 132

APÉNDICES ......................................................................................................................................... 133

APÉNDICE A. Prueba experimental a Placa de Fijación empleando Sistema de adquisición de datos.

........................................................................................................................................................ 133

APÉNDICE B. Análisis de Fatiga de Placa de Fijación en Ansys. ...................................................... 139

APÉNDICE C. Modelado de la Placa de Fijación. ............................................................................. 152

REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 153

ÍNDICE DE FIGURAS

FIGURA 1. 1 SUSPENSIÓN DEPENDIENTE. ............................................................................................................... 4

FIGURA 1. 2 SUSPENSIÓN DEPENDIENTE TRASERA. ................................................................................................... 5

FIGURA 1. 3 SUSPENSIÓN SEMI-DEPENDIENTE DE DION. ........................................................................................... 6

FIGURA 1. 4 SUSPENSIÓN SEMI-DEPENDIENTE DE RUEDAS TIRADAS. ............................................................................ 6

FIGURA 1. 5 SUSPENSIÓN SEMI-DEPENDIENTE DELTA-LINK. ....................................................................................... 7

FIGURA 1. 6 SUSPENSIÓN DE EJE OSCILANTE DE DOBLE ARTICULACIÓN. ........................................................................ 8

FIGURA 1. 7 SUSPENSIÓN DE EJE OSCILANTE DE UNA ARTICULACIÓN. ........................................................................... 9

FIGURA 1. 8 SUSPENSIÓN DE BRAZOS TIRADOS O ARRASTRADA (LADO IZQUIERDO) Y SUSPENSIÓN DE BRAZOS TIRADOS

OBLICUOS O SEMI-ARRASTRADA (LADO DERECHO). ........................................................................................ 10

FIGURA 1. 9 SUSPENSIÓN INDEPENDIENTE DE BRAZOS TIRADOS. ............................................................................... 10

FIGURA 1. 10 SUSPENSIÓN DE BRAZOS TIRADOS CON BARRAS DE TORSIÓN. ................................................................. 11

FIGURA 1. 11 SUSPENSIÓN MACPHERSON [5]. ..................................................................................................... 12

FIGURA 1. 12 ESQUEMA CON DETALLE DE SUSPENSIÓN MACPHERSON. ..................................................................... 12

FIGURA 1. 13 CONFIGURACIONES DE LA SUSPENSIÓN DE DOBLE BRAZO TRANSVERSAL [5]. ............................................. 14

FIGURA 1. 14 SUSPENSIÓN CONVENCIONAL DE PARALELOGRAMO DEFORMABLE. ......................................................... 15

FIGURA 1. 15 SUSPENSIÓN MULTIBRAZO DELANTERA Y TRASERA. ............................................................................. 16

FIGURA 1. 16 SUSPENSIÓN MULTIBRAZO DE 5 BRAZOS. ......................................................................................... 17

FIGURA 1. 17 SUSPENSIÓN MULTIBRAZO CON BRAZOS LONGITUDINALES. .................................................................. 18

FIGURA 1. 18 RESORTES DE HOJA [7]. ................................................................................................................. 20

FIGURA 1. 19 RESORTE DE UNA HOJA [8]. ............................................................................................................ 21

FIGURA 1. 20 CONJUNTO DEL SOSTÉN DE COLUMPIO.............................................................................................. 22

FIGURA 1. 21 RESORTE HELICOIDAL [10]. ............................................................................................................ 23

FIGURA 1. 22 RESORTE NEUMÁTICO ANTIGUO. ..................................................................................................... 24

FIGURA 1. 23 RESORTES NEUMÁTICOS MODERNOS [14]. ........................................................................................ 25

FIGURA 1. 24 BARRA DE TORSIÓN [15]. .............................................................................................................. 25

FIGURA 1. 25 AMORTIGUADOR DE FRICCIÓN HARTFORD. ........................................................................................ 26

FIGURA 1. 26 AMORTIGUADOR GABRIEL. ............................................................................................................ 27

FIGURA 1. 27 COMPONENTES DE UN AMORTIGUADOR DE IMPACTOS HIDRÁULICO. ....................................................... 28

FIGURA 1. 28 BARRA DE ESTABILIDAD [18]. ......................................................................................................... 28

FIGURA 1. 29 NEUMÁTICO [19]. ....................................................................................................................... 29

FIGURA 1. 30 DISTINTOS MODELOS DE CASQUILLOS DE CAUCHO [21]. ....................................................................... 30

FIGURA 1. 31 VARIOS TIPOS DE BUJES DE GOMA [23]. ........................................................................................... 31

FIGURA 2. 1 ELEMENTOS DE SISTEMAS VIBRATORIOS. ............................................................................................. 34

FIGURA 2. 2 SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD SIN AMORTIGUAMIENTO. ................................................................ 36

FIGURA 2. 3 SISTEMA MASA-RESORTE ANTE UNA FUERZA PERTURBADORA PERIÓDICA SOBRE W . ................................... 39

FIGURA 2. 4 ................................................................................................................................................... 40

FIGURA 2. 5 ................................................................................................................................................... 42

FIGURA 2. 6 ................................................................................................................................................... 44

FIGURA 2. 7 ................................................................................................................................................... 44

FIGURA 2. 8 AMPLITUD DE LA RESPUESTA DEL ESTADO-ESTACIONARIO CONTRA LA RELACIÓN DE FRECUENCIAS. .................. 46

FIGURA 2. 9 FUNCIÓN FORZADA PERIÓDICA. ......................................................................................................... 47

FIGURA 2. 10 SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL. ......................................... 50

FIGURA 2. 11 LA MAGNITUD DE LA VIBRACIÓN AUTO-EXCITADA PUEDE AUMENTAR CON EL TIEMPO HASTA QUE ES LIMITADO DE

ALGUNA MANERA (POR LO GENERAL POR UN EFECTO NO LINEAL). LA FRECUENCIA DE OSCILACIÓN ESTÁ CERCA DE LA

FRECUENCIA NATURAL DEL SISTEMA. .......................................................................................................... 53

FIGURA 2. 12 REGISTRO DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO. ...................................................................................... 54

FIGURA 2. 13 MOVIMIENTO ARMÓNICO COMO PROYECCIÓN DE UN PUNTO QUE SE MUEVE EN UNA CIRCUNFERENCIA. ........ 54

FIGURA 2. 14 EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN PRECEDEN AL DESPLAZAMIENTO EN 2

Y .

.......................................................................................................................................................... 55

FIGURA 2. 15 ................................................................................................................................................. 57

FIGURA 2. 16 ................................................................................................................................................. 57

FIGURA 2. 17 MOVIMIENTO PERIÓDICO. ............................................................................................................. 58

FIGURA 2. 18 MOVIMIENTO ALEATORIO. ............................................................................................................. 59

FIGURA 2. 19 MODELO DE ¼ PARTE DEL AUTOMÓVIL. ............................................................................................ 60

FIGURA 2. 20 (A) SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD; (B) FUERZA ESCALÓN; (C) RESPUESTA DINÁMICA. ......................... 63

FIGURA 2. 21 (A) SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD; (B) FUERZA RAMPA; (C) RESPUESTAS: DINÁMICA Y ESTÁTICA. ......... 67

FIGURA 2. 22 DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE UN AMPLIFICADOR OPERACIONAL. ........................................................... 69

FIGURA 2. 23 (A) DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE UN INVERSOR DE SIGNO; (B) SÍMBOLO DEL INVERSOR DE SIGNO CUANDO

0 / 1iR R ; (C) SÍMBOLO DEL INVERSOR DE SIGNO. .................................................................................. 70

FIGURA 2. 24 (A) DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE UN SUMADOR; (B) SÍMBOLO DEL SUMADOR. ........................................ 72

FIGURA 2. 25 (A) DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE UN INTEGRADOR; (B) SÍMBOLO DEL INTEGRADOR. .................................. 74

FIGURA 2. 26 (A) DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE UN INTEGRADOR CON DOS ENTRADAS; (B) DIAGRAMA SIMPLIFICADO. ........ 76

FIGURA 2. 27 (A) POTENCIÓMETRO; (B) SÍMBOLO DEL POTENCIÓMETRO. ................................................................... 77

FIGURA 2. 28 DIAGRAMA DE COMPUTADORA ANALÓGICA. ...................................................................................... 79



FIGURA 3. 1 TRES TIPOS DE ELEMENTOS PARA DISCRETIZAR UNA REGIÓN DADA. ......................................................... 105

FIGURA 3. 2 EJEMPLOS DE ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONALES. ....................................................................... 106

FIGURA 3. 3 EJEMPLOS DE ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONALES. ......................................................................... 106

FIGURA 3. 4 EJEMPLOS DE ELEMENTOS FINITOS TRIDIMENSIONALES, A) DE 1ER ORDEN, B) Y C) DE 2º ORDEN. ................ 107

FIGURA 3. 5 PUNTOS DE SUJECIÓN EN PLACA DE FIJACIÓN. .................................................................................... 115

FIGURA 3. 6 MALLA DE SÓLIDO. ....................................................................................................................... 116

FIGURA 3. 7 MODO 1. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS - VIBRACIÓN LIBRE. ..................................................................... 117



FIGURA 3. 10 MODO 4. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS - VIBRACIÓN LIBRE. ................................................................... 119

FIGURA 3. 11 MODO 5. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS - VIBRACIÓN LIBRE. ................................................................... 119

FIGURA 3. 12 PLACA DE FIJACIÓN CON CARGA/MASA REMOTA .............................................................................. 121

FIGURA 3. 13 MODO 1. ANÁLISIS DE FRECUENCIAS CON CARGA. ............................................................................ 123





FIGURA 3. 18 RESPUESTA DE LA PLACA DE FIJACIÓN ANTE SU EXCITACIÓN (IMPULSO). ................................................ 126

FIGURA 4.1 RESPUESTA DE SUSPENSIÓN PASIVA TÍPICA ANTE FUNCIÓN ESCALÓN OBTENIDA EN MATLAB® SIMULINK®. .... 128

FIGURA 4.2 RESPUESTA DE PLACA DE FIJACIÓN ANTE SU EXCITACIÓN (IMPULSO) OBTENIDA EN SOLIDWORKS SIMULATION. 128

FIGURA 4.3 GRÁFICA DE FRECUENCIAS OBTENIDAS EN PRUEBA EXPERIMENTAL. ......................................................... 129

FIGURA A. 1 GRÁFICA DE ACELERACIÓN VS TIEMPO, CONSIDERANDO LOS EJES X, Y Y Z. .............................................. 135

FIGURA A. 2 GRÁFICA DE ACELERACIÓN VS TIEMPO DE LA ZONA CRÍTICA DEL EJE Z. .................................................... 135

FIGURA A. 3 GRÁFICA DE ACELERACIÓN VS TIEMPO PARA LOS EJES X Y Y. GRÁFICA DE AMPLITUD VS FRECUENCIA PARA EL EJE

Z. ..................................................................................................................................................... 137

FIGURA A. 4 GRÁFICA DE AMPLITUD VS FRECUENCIA DE LA ZONA CRÍTICA DEL EJE Z. .................................................. 138

FIGURA B. 1 NUEVO PROYECTO EN ANSYS WORKBENCH 11 .................................................................................. 140

FIGURA B. 2 VENTANA DE INICIO PARA SELECCIONAR NUEVA GEOMETRÍA ................................................................ 140

FIGURA B. 3 SELECCIÓN DE LAS UNIDADES. ......................................................................................................... 141

FIGURA B. 4 IMPORTACIÓN DE GEOMETRÍA EXTERNA. ........................................................................................... 141

FIGURA B. 5 SELECCIÓN DE UNA NUEVA SIMULACIÓN. .......................................................................................... 142

FIGURA B. 6 RECONOCIMIENTO DE GEOMETRÍA. ................................................................................................. 142

FIGURA B. 7 EDICIÓN DE MATERIAL. ................................................................................................................. 143

FIGURA B. 8 PROPIEDADES DE ACERO ASTM-A36 .............................................................................................. 143

FIGURA B. 9 PROCEDIMIENTO PARA MODIFICAR EL NOMBRE DEL MATERIAL.............................................................. 144

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FIGURA B. 10 FIJACIÓN DE LOS SOPORTES. ......................................................................................................... 144

FIGURA B. 11 SUJECIONES O CONDICIONES DE FRONTERA ..................................................................................... 145

FIGURA B. 12 PROCEDIMIENTO PARA SELECCIONAR LAS FUERZAS. ........................................................................... 145

FIGURA B. 13 CARGA APLICADA DE 300 KG. ...................................................................................................... 146

FIGURA B. 14 SELECCIÓN DEL ESFUERZO MEDIANTE TEORÍA DE VON-MISES. ............................................................. 146

FIGURA B. 15 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS DE VON MISES .................................................................................. 147

FIGURA B. 16 PROCEDIMIENTO PARA SELECCIONAR LA DEFORMACIÓN TOTAL. .......................................................... 147

FIGURA B. 17 RESULTADOS DE DEFORMACIÓN TOTAL. ......................................................................................... 148

FIGURA B. 18 PROCEDIMIENTO PARA SELECCIONAR LA HERRAMIENTA DE FATIGA (FATIGUE TOOL). .............................. 148

FIGURA B. 19 CONFIGURACIÓN DE HERRAMIENTA DE FATIGA (FATIGUE TOOL) – SELECCIÓN DE TEORÍA DEL ESFUERZO

PRINCIPAL. ......................................................................................................................................... 149

FIGURA B. 20 RESULTADOS DE VIDA ÚTIL .......................................................................................................... 149

FIGURA B. 21 RESULTADOS DE FACTOR DE SEGURIDAD. ....................................................................................... 150

FIGURA B. 22 RESULTADOS DE DAÑO. .............................................................................................................. 150

FIGURA B. 23 RESULTADOS DEL ESFUERZO ALTERNANTE EQUIVALENTE. .................................................................. 151

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RESUMEN

El presente trabajo consiste en obtener y entender el comportamiento de la Placa

de Fijación ante condiciones todo terreno. Para lograr esto, se realiza un Análisis

en Matlab® Simulink® de la Suspensión Pasiva típica para un autómovil, un

Análisis de Frecuencias en Vibración Libre, un Análisis Dinámico Transitorio

Modal, una Prueba Experimental y un Análisis de Fatiga.

El Análisis en Matlab® Simulink® de la Suspensión Pasiva típica para un

autómovil sirve para obtener su respuesta ante una función de excitación de tipo

Escalón.

El Análisis de Frecuencias en Vibración Libre y el Análisis Dinámico Transitorio

Modal, realizados en Solidworks, se emplean para obtener el comportamiento

vibratorio de la Placa de Fijación.

La Prueba Experimental consiste en usar un Sistema de Adquisición de Datos sobre

la Placa de Fijación que se encuentra en la parte superior de una Suspensión de

tipo MacPherson en un automóvil típico, con la idea de encontrar y entender el

comportamiento real de dicho componente automotriz ante condiciones todo

terreno.

Finalmente, el Análisis de Fatiga es necesario para saber a cuantos ciclos fallará la

Placa de Fijación.

ABSTRACT

The present work is to obtain and understand the behavior of the Strut Mount to

road conditions. To accomplish this, an Analysis in Matlab ® Simulink ® of Passive

Suspension for a Typical Car, a Frequency Analysis of Free Vibration, a Modal

Transient Dynamic Analysis, Experimental Test and Fatigue Analysis is performed.

The Analysis in Matlab® Simulink® of Passive Suspension for a Typical Car used

to get their response to a Step Excitation Function.

Frequency Analysis of Free Vibration and Transient Dynamic Modal Analysis,

performed in Solidworks, are used to obtain the vibration behavior of the Strut

Mount.

The Experimental Test is to use a Data Acquisition System on Strut Mount found in

the top of a MacPherson Suspension in a common car, with the idea of finding and

understanding the actual behavior of the automotive component to all terrain

conditions.

Finally, the Fatigue Analysis is necessary to know at how many cycles Strut Mount

will fail.

OBJETIVO

Analizar y simular la Placa de Fijación de una suspensión de tipo MacPherson para

obtener la respuesta transitoria considerando su excitación ante las

irregularidades del camino.

JUSTIFICACIÓN

El análisis de los sistemas de suspensión siempre ha contemplado a elementos

principales, como son la masa y la rigidez. Elementos que se consideran para

realizar el estudio de dicho sistema, en algunas otras ocasiones se realiza un

análisis más completo al incluir el elemento del amortiguador. De los elementos

antes mencionados, la masa del automóvil es considerada como un valor numérico

al momento de analizarlo sin tomar en cuenta la forma que ésta tenga,

principalmente en el punto en que se une el sistema de suspensión y la carrocería

(sistema acoplado). Así pues, tenemos que al observar algunas de las formas

empleadas para dicho punto de unión por la industria automotriz se aprecia que

cada uno tiene su propia geometría definida. Además como en la actualidad no se

encuentra un análisis relativo a este punto importante de unión nos vemos en la

motivación de realizar este trabajo para tal fin. Es decir, el problema es determinar

el comportamiento dinámico de la placa de fijación; ya que, con el entendimiento

de dicho comportamiento se puede saber cómo mejorar este importante

componente automotriz y, además, con ello disminuir los desplazamientos

experimentados por los ocupantes del vehículo en condiciones de todo terreno.

Capítulo I. Desarrollo Histórico de

las Suspensiones

Capítulo I. Desarrollo histórico de las suspensiones automotrices.

2

1.1 Sistema de suspensión.

Para un vehículo, el sistema de suspensión tiene la función de aislar los golpes

severos y vibraciones inducidos por la superficie del terreno hacia los pasajeros o

a la carga que esté transportando. Este aislamiento de golpes y vibraciones

inducido por la forma del camino ayuda a extender la vida media del vehículo.

Otra función importante de la suspensión es que permite a la rueda mantener el

contacto con la superficie del camino, asegurando así la estabilidad y control del

vehículo.

1.1.1 Definición de suspensión.

Sistema de un automóvil que contiene una serie de elementos mecánicos que unen

a las ruedas con la carrocería del auto. Su función fundamental es darle confort de

marcha y estabilidad al vehículo [1]. Además de lo anterior, se sabe que este

sistema se compone del ensamble de resortes, amortiguadores, barras de torsión,

juntas, brazos, etc., con el objeto de amortiguar todas aquellas irregularidades que

se presentan en el camino [2].

Así pues, tenemos que en el automóvil existen masas suspendidas y no

suspendidas. Las masas suspendidas se definen como el conjunto de órganos del

vehículo que forman la caja como el bastidor, el chasis, la carrocería, los pasajeros

y la carga. En cambio, las masas no suspendidas se definen como el conjunto de

órganos que están en contacto directo con el terreno y deben seguir el perfil del

mismo en todas las circunstancias, ejemplo de este tipo de masas son las ruedas,

los ejes, los semiejes y los dispositivos de frenado [3].

1.1.2 Tipos de suspensión.

Existe una línea de suspensiones genéricas que se utilizan comúnmente; en esta

sección se describen algunas de ellas y se mencionan algunas de sus características

importantes.


3

Los factores que afectan principalmente a la elección del tipo de suspensión en la

parte delantera o trasera de un vehículo son la ubicación del motor y si las ruedas

son conducidas/no conducidas y/o dirigidas/no dirigidas. En general, las

suspensiones pueden ser ampliamente clasificadas como dependientes o

independientes [4].

1.1.2.1 Suspensión Dependiente.

La suspensión dependiente, también conocida como: suspensión de eje rígido, es

aquella que tiene unidas las ruedas mediante un eje rígido de forma que la

suspensión es conjunta. Presenta el siguiente inconveniente: al estar unidas ambas

ruedas, las vibraciones producidas por la acción de las irregularidades del

pavimento, se transmiten de un lado al otro del eje [1]. Dicho de otra forma, el

movimiento de una rueda de un lado del vehículo depende del movimiento de la

otra en el otro lado; por ejemplo, cuando una rueda de un lado del vehículo golpea

un bache, el efecto de ello se transmite directamente a la otra en el otro lado. Esto

tiene un efecto perjudicial sobre la marcha y la dirección del vehículo [4].

Algo importante a tomar en cuenta en este tipo de suspensión es que el peso de las

masas no suspendidas aumenta notablemente debido al peso del eje rígido y al

peso del grupo cónico diferencial en los vehículos de tracción trasera.

Como principal ventaja, los ejes rígidos destacan por su sencillez de diseño y no

producen variaciones significativas en los parámetros de la rueda como caída,

avance, etc. El principal uso de esta disposición de suspensión se realiza sobre todo

en vehículos industriales, autobuses y camiones. En la actualidad también se usan

en algunos turismos en los ejes traseros ya sean propulsores o no.

En la figura 1.1, se muestra un modelo de suspensión dependiente en la que el eje

rígido está actuando de eje propulsor. En estos casos el eje está constituido por una

caja que contiene el mecanismo diferencial (1) y por los tubos (2) que contienen

los palieres.


4

El eje rígido en este caso se apoya contra el bastidor mediante dos ballestas (3)

que hacen de elemento elástico transmitiendo las oscilaciones. Complementan el

conjunto los amortiguadores telescópicos (4).

En la figura 1.2, se muestra un moderno modelo de suspensión dependiente

trasera para un turismo con tracción delantera. Los principales componentes son

el eje rígido (1) que va unido a los cubos de las ruedas (2) mediante una mangueta

(3) atornillada al eje y un juego de rodamientos que permiten el giro de la rueda.

Sobre el eje rígido se apoyan los dos conjuntos muelle-amortiguador telescópico

(4) que por su extremo superior se anclan al chasis transmitiendo y amortiguando

las oscilaciones. Esta suspensión no presenta rigidez longitudinal de forma que el

eje rígido (1) lleva incorporadas cuatro barras longitudinales (5) formando un

paralelogramo de Watt que mantiene al eje en su posición longitudinal. Además,

para estabilizar el eje y generar un único centro de balanceo de la suspensión, se

añade una barra transversal (6) que está unida al eje en A y a la carrocería en B; a

esta barra se le conoce con el nombre de “barra Panhard”; tanto las barras

longitudinales como la barra Panhard dispone de articulaciones elásticas (como la

C) con el eje y con la carrocería para permitir realizar a la suspensión su función de

amortiguación vertical.

Figura 1. 1 Suspensión dependiente.


5

1.1.2.2 Suspensión Semi-dependiente.

Similares a las anteriores pero con menor peso no suspendido. La diferencia

principal con las anteriores estriba en que las ruedas están unidas entre sí como en

el eje rígido pero trasmitiendo de una forma parcial las oscilaciones que reciben de

las irregularidades del pavimento.

En la figura 1.3, se muestra una suspensión de este tipo. Concretamente una

suspensión con eje De Dion. En ella las ruedas van unidas mediante soportes

articulados (1) al diferencial (2), que en la suspensión con eje De Dion es parte de

la masa suspendida, es decir, va anclado al bastidor del automóvil. A su vez, ambas

ruedas están unidas entre sí mediante una traviesa o tubo De Dion (3) que las

ancla de forma rígida permitiendo a la suspensión deslizamientos longitudinales.

Este sistema tiene la ventaja, frente al de eje rígido, de que se disminuye la masa no

suspendida debido al poco peso de la traviesa del eje De Dion y al anclaje del

grupo diferencial del bastidor y mantiene los parámetros de la rueda

prácticamente constantes como los ejes rígidos gracias al anclaje rígido de la

traviesa. La suspensión posee además elementos elásticos de tipo muelle helicoidal

(4) y suele ir acompañada de brazos longitudinales que limitan los

desplazamientos longitudinales.

Figura 1. 2 Suspensión dependiente trasera.


6

Existen otros sistemas de suspensión semi-dependiente pero que poseen un

aspecto anterior de eje rígido (suspensión dependiente). En la figura 1.4, se

muestra una suspensión de ruedas tiradas mediante dos brazos longitudinales (1)

con un eje deformable (2).

En el interior del eje deformable (2) se encuentra situada la barra estabilizadora

(3). El sistema cuenta además con un conjunto de muelle-amortiguador

telescópico (4) y barra trasversal Panhard (5). Las articulaciones de la suspensión

con el bastidor se realizan mediante cojinetes elásticos (6).

Figura 1. 4 Suspensión semi-dependiente de ruedas tiradas.

Figura 1. 3 Suspensión semi-dependiente De Dion.


7

Como evolución de los sistemas de suspensión de eje rígido actualmente se han

desarrollado modernas suspensiones semi-dependientes que también parten del

concepto de ejes trasversales pero anclados de una forma elástica y no totalmente

rígida. A modo de ejemplo, en la figura 1.5, se muestra un modelo de tren trasero,

de tipo semi-dependiente, conocido con el nombre de Deltalink.

Este modelo es de ruedas tiradas mediante dos brazos longitudinales curvados (1)

pero unidos mediante un eje trasero “Deltalink” (2). El eje está formado por dos

ejes trasversales A y B ligados entre sí de forma elástica. Esta ligadura se forma a

partir de una larga prolongación de los brazos transversales articulados, mediante

casquillos de goma (3), de forma que lo hacen semi-solidarios. El guiado de los

brazos se realiza mediante unas bieletas transversales (4) y además dispone de

muelles helicoidales (5) y amortiguadores de gas (6).

Los anclajes al bastidor se realizan mediante dos pequeñas bieletas (7) apoyadas

en el extremo de los brazos longitudinales curvados (1).

1.1.2.3 Suspensión Independiente.

La tendencia actual es la suspensión independiente a las cuatro ruedas pues es la

más óptima desde el punto de vista de confort y estabilidad al reducir de forma

Figura 1. 5 Suspensión Semi-dependiente Delta-link.


8

independiente las oscilaciones generadas por el pavimento sin trasmitirlas de una

rueda a otra del mismo eje. La principal ventaja añadida es que posee menor peso

no suspendido que otros tipos de suspensión por lo que las acciones trasmitidas al

chasis son de menor magnitud. En contra, se sabe que para cargas elevadas esta

suspensión puede presentar problemas.

El número de modelos de suspensión independiente es muy amplio y además

posee numerosas variables. Los principales tipos de suspensión de tipo

independiente son:

Suspensión Independiente de eje oscilante.

La peculiaridad de este sistema que se muestra en la figura 1.6 es que el elemento

de rodadura (1) y el semieje (2) son solidarios (salvo el giro de la rueda), de

forma que el conjunto oscila alrededor de una articulación (3) próxima al plano

medio longitudinal del vehículo. Este tipo de suspensión no se puede usar como

eje directriz puesto que en el momento oscilatorio de los semiejes se altera

notablemente la caída de las ruedas en las curvas. Completan el sistema de

suspensión muelle-amortiguador telescópico (4).

Una variante de este sistema es el realizado mediante un eje oscilante pero de una

sola articulación mostrada en la figura 1.7. La ventaja que presenta es que el pivote

de giro (1) está a menor altura que el eje oscilante de dos articulaciones. El

mecanismo diferencial (2) oscila con uno de los palieres (3) mientras que el otro

Figura 1. 6 Suspensión de eje oscilante de doble articulación.


9

(4) se mueve a través de una articulación (A) que permite a su vez un

desplazamiento de tipo axial en el árbol de trasmisión. El sistema también cuenta

con dos conjuntos muelle- amortiguador telescópicos (5).

Suspensión Independiente de brazos tirados o arrastrados.

Este tipo de suspensión independiente se caracteriza por tener dos elementos de

soporte o brazos en disposición longitudinal que van unidos por un extremo al

bastidor y por el otro a la mangueta de la rueda.

Este sistema de suspensión ha dado un gran número de variantes cuyas

diferencias estriban fundamentalmente en cuál es el eje de giro del brazo tirado en

el anclaje al bastidor y cuál es el elemento elástico que utiliza.

En la figura 1.8 se muestra como en los brazos tirados pueden pivotar de distintas

formas: en el lado izquierdo los brazos longitudinales (A) pivotan sobre un eje de

giro perpendicular al plano longitudinal del vehículo; mientras que, en el lado

derecho, pivotan los brazos (A) sobre ejes que tienen componentes longitudinales,

es decir sobre ejes oblicuos al plano longitudinal del vehículo. A esta última

variante también se le conoce como brazos semi-arrastrados y tiene la ventaja de

que no precisa estabilizadores longitudinales debido a la componente longitudinal

que tiene el propio brazo o soporte.

Figura 1. 7 Suspensión de eje oscilante de una articulación.


10

En este tipo de elementos elásticos que se utilizan en las suspensiones de brazos

tirados, los principales son barras de torsión trasversales y muelles elásticos.

En la figura 1.9 se muestra un ejemplo de suspensión independiente de brazos

tirados (1) con muelles helicoidales y amortiguadores hidráulicos telescópicos (2).

La mangueta (3) va atornillada al brazo longitudinal (1) que pivota en el casquillo

(silentblock, en inglés) (4). Además cuenta con un brazo superior (5) y otro

inferior (6) que une el brazo tirado con el bastidor mediante casquillos. En el otro

extremo del brazo longitudinal hay un pequeño brazo de compensación (7) que

también va unido al bastidor mediante un casquillo.

Figura 1. 8 Suspensión de brazos tirados o arrastrada (lado izquierdo) y suspensión de

brazos tirados oblicuos o semi-arrastrada (lado derecho).

Figura 1. 9 Suspensión Independiente de brazos tirados.


11

En la figura 1.10 se muestra un modelo de suspensión independiente con brazos

tirados con barras de torsión como elementos elásticos y amortiguadores. En este

caso el brazo longitudinal (1) va unido al cubo de rueda (2) por un extremo y a un

tubo que contiene una barra de torsión (3) por el otro. La barra de torsión a su vez

va anclada al bastidor mediante un soporte (4) [1].

Suspensión Independiente MacPherson.

El sistema de suspensión independiente MacPherson (ver figura 1.11) es uno de

los más utilizados en el tren delantero aunque se puede montar igualmente en el

trasero. Este sistema ha tenido mucho éxito, sobre todo en vehículos más

modestos, por su sencillez de fabricación y mantenimiento, el coste de producción

y el poco espacio que ocupa.

Figura 1. 10 Suspensión de brazos tirados con barras de torsión.


12

La figura 1.12 muestra un modelo detallado de la suspensión MacPherson con

brazo inferior y barra estabilizadora.

Figura 1. 11 Suspensión MacPherson [5].

Figura 1. 12 Esquema con detalle de Suspensión MacPherson.


13

De acuerdo a la figura 1.12, los elementos básicos que componen a este tipo de

suspensión son los siguientes:

1 - Brazos de suspensión inferiores.

2 y 3 – Extremos (también conocidos como rótulas) que unen al bastidor.

4 – Mangueta.

5 – Tubo base para el amortiguador.

6 – Amortiguador, que en este caso es telescópico.

7 – Muelle o Resorte helicoidal [6].

Tomando en cuenta a la figura 1.12, se observa que la suspensión MacPherson se

caracteriza porque forma un mecanismo de tipo triangulo articulado formado por

el brazo inferior, el conjunto muelle-amortiguador y el propio chasis. El lado del

triángulo que corresponde al muelle-amortiguador es de compresión libre por lo

que sólo tiene un único grado de libertad: la tracción o compresión de los

elementos elásticos y amortiguador. Al trasmitirse a través del muelle-

amortiguador todos los esfuerzos al chasis es necesario un dimensionado más

rígido en la carrocería en la zona de apoyo de la placa fijación.

Suspensión Independiente de doble brazo transversal.

La suspensión de doble brazo transversal, también conocida como suspensión de

doble brazo tipo “A”, se caracteriza por tener un diseño que produce un clásico

mecanismo de cuatro barras cuando se ve desde la parte delantera del vehículo.

Tiene la mangueta situada en el centro del enlace acoplador y es, por tanto, capaz

de proporcionar movimiento en línea recta a la mangueta. Sin embargo, debido a

las limitaciones de espacio, es normal que el brazo oscilante transversal superior

sea más corto que el de la parte inferior. Los brazos dobles oscilantes

proporcionan la fuerza positiva para reaccionar a cargas transversales y

longitudinales [4]. En la figura 1.13 se puede ver dos configuraciones diferentes de

este tipo de suspensión.


14

Suspensión Independiente de paralelogramo deformable. Suspensión multibrazo.

Junto a la suspensión de Macpherson descrita en el apartado anterior, la

suspensión de paralelogramo deformable es la más utilizada en un gran número de

automóviles tanto para el tren delantero como para el trasero.

En la figura 1.14 se muestra una suspensión convencional de paralelogramo

deformable. El paralelogramo está formado por un brazo superior (1) y otro

inferior (2) que están unidos al chasis por los ejes (A) y (B), cerrando el

paralelogramo a un lado el propio chasis y, al otro, la propia mangueta (3) de la

rueda. La mangueta está articulada con los brazos mediante rótulas esféricas (C)

que permiten la orientación de la rueda. Los elementos elásticos y amortiguador

coaxiales (4) son de tipo soporte helicoidal e hidráulico telescópico; estos últimos,

están unidos por su parte inferior al brazo inferior y por su parte superior al

bastidor. Completan el sistema unos topes (D) que evitan que el brazo inferior

suba lo suficiente como para sobrepasar el límite elástico del resorte y un

estabilizador lateral (5) que va anclado al brazo inferior (2).

Figura 1. 13 Configuraciones de la suspensión de doble brazo transversal [5].


15

A la suspensión de paralelogramo deformable también se le conoce con distintos

nombres como: trapecio articulado; de triángulos superpuestos, cuando los brazos

de suspensión suelen ser triángulos; y, de brazos superpuestos, cuando se dispone

de un brazo trasversal y una bieleta anclada a este, formando ambos una

triangulación.

La evolución de estos sistemas de suspensión de paralelogramo deformable ha

llegado hasta las actuales suspensiones llamadas multibrazo (multilink, en inglés).

La diferencia fundamental que aportan estas nuevas suspensiones es que los

elementos guía de la suspensión multibrazo pueden tener anclajes elásticos

mediante manguitos de goma.

Gracias a esta variable, las multibrazo permiten modificar tanto los parámetros

fundamentales de la rueda, como la caída a la convergencia, de la forma más

apropiada de cara a la estabilidad en las distintas situaciones de uso del automóvil.

Las suspensiones multibrazo se pueden clasificar en dos grupos fundamentales:

Suspensiones multibrazo con elementos de guía trasversales u oblicuos con

funcionamiento similar a las de suspensiones de paralelogramo deformable.

Figura 1. 14 Suspensión convencional de paralelogramo deformable.


16

Suspensiones multibrazo que además disponen de brazos de guía longitudinal con

un funcionamiento que recuerda a los sistemas de suspensión de ruedas tiradas

por brazos longitudinales.

La figura 1.15 muestra una suspensión de tipo multibrazo; en la parte izquierda de

dicha figura, se exhibe un sistema multibrazo delantero, mientras que, en la parte

derecha se expone un sistema multibrazo trasero del tipo paralelogramo

deformable con tres brazos. La suspensión delantera consta de un brazo superior

(1) que va unido a una mangueta (2) larga y curva mediante el buje de

articulación (A) y un brazo inferior trasversal (3) que va unido a la mangueta por

una rotula doble (B) y al bastidor por un casquillo (silentblock, en inglés) (C) que

aísla de las vibraciones. Cierra el paralelogramo deformable el propio bastidor

como en cualquier suspensión de este tipo.

Esta suspensión dispone además de un tercer brazo (4) que hace de tirante

longitudinal y que está unido al bastidor y mangueta de la misma forma que el

brazo inferior trasversal.

La suspensión trasera consta de un brazo superior (1) con forma de triángulo

como la delantera, pero dispone de dos brazos trasversales, superior (2) e inferior

(3) y un tirante longitudinal inferior (4). Las articulaciones son similares al

modelo de suspensión lateral.

Figura 1. 15 Suspensión Multibrazo delantera y trasera.


17

Ambos sistemas poseen como elementos elásticos: resortes helicoidales y

amortiguadores telescópicos (5); también, barra estabilizadora.

En la figura 1.16 se muestra un sistema de suspensión de tren trasero multibrazo

de tipo paralelogramo deformable pero con cinco brazos horizontales y oblicuos.

Un brazo inferior (1) va unido a la cuna (2) de la suspensión mediante un bulón

(A) y unido por su extremo a la mangueta de la rueda (3) mediante un casquillo

(B). Este brazo inferior (1) hace de leva para el resorte helicoidal (4) que está

apoyado por un extremo a él y que por su extremo superior con una copela (bump

stop, en inglés) (C) a la propia cuna. El amortiguador de gas telescópico (5) va

unido al brazo inferior y al bastidor de forma independiente al resorte.

La mangueta de la rueda (3) está guiada por otros cuatro brazos que son el tirante

inferior (6), el tirante de paralelismo de la rueda (7), el tirante que controla la

caída de la rueda (8) y el tirante superior (9), que junto al brazo inferior (1) hacen

labores de suspensión. Por la parte inferior de la mangueta, junto al brazo inferior,

completa le suspensión de bieleta (10) que controla la barra estabilizadora (11).

Figura 1. 16 Suspensión Multibrazo de 5 Brazos.


18

En la figura 1.17 se muestra un sistema multibrazo para un eje trasero que se

asemeje más al segundo tipo de multibrazo que recuerda el funcionamiento de

ruedas tiradas por brazos longitudinales.

Esta suspensión tiene un esquema que se compone fundamentalmente de ruedas

tiradas por un brazo oscilante oblicuo (1) en forma de Z, y de dos brazos

transversales (2) y (3) formando el conjunto de paralelogramo deformable. Los

brazos trasversales están unidos al brazo oscilante y a la cuna (4) de la suspensión

mediante casquillos (A) lo cual consigue una convergencia constante sobre toda la

carrera de la rueda y una escasa variación de la caída. El brazo oscilante (1)

contiene a su vez el portacubo de la rueda (5).

Es importante mencionar que este sistema elimina parte del hundimiento que se

produce en arranques y frenadas.

Figura 1. 17 Suspensión Multibrazo con brazos longitudinales.


19

El elemento elástico lo compone el resorte helicoidal (6) que se combina de forma

separada con el amortiguador de gas telescópico (7). El resorte va unido mediante

dos copelas (B) al brazo transversal superior (2) y al bastidor. El amortiguador va

anclado al brazo oscilante (1) y al bastidor por su extremo superior con un tope

elástico (C). Completan el sistema una bieleta (8), que va unida al brazo superior

mediante una horquilla y un casquillo (A), que guía la barra estabilizadora (9).

El sistema de suspensión multibrazo además de ser puramente mecánico no está

excento de la posibilidad de implantar ayudas hidráulicas o electrónicas. Algunos

sistemas multibrazo se combinan con sistemas de amortiguación de

endurecimiento progresivo y sistemas hidráulicos auto-niveladores que, además

de mantener la altura constante, ejercen como elemento estabilizador. [1]

1.1.3 Elementos que conforman la suspensión

Los elementos requeridos en los sistemas de suspensión son: resortes,

amortiguadores, barras estabilizadoras, estabilizadores, elementos de soporte,

neumáticos, casquillos de caucho (bump-stop o bump rubber, en inglés) y bujes de

goma (rubber bushes, en inglés). A continuación, se describen los elementos que

conforman a la suspensión de un automóvil. [4]

1.1.3.1 Resortes.

Los resortes, también denominados muelles, son elementos de la suspensión que

tienen como función absorber los golpes cuando las llantas caen en suelos

irregulares o baches y soportan las vibraciones del eje. Los principales tipos de

resortes son: laminares o de hojas; helicoidales; torsionales, metálicos o

elastómeros; neumáticos (de aire); hidráulicos y oleoneumáticos [1]. A

continuación, se da una descripción de cada uno de ellos.


20

Resortes de hoja.

Este tipo de resorte es un conjunto de láminas planas de acero, de longitud

graduada llamadas hojas, como lo indica su nombre (ver figura 1.18). La hoja más

larga es llamada hoja maestra y tiene un ojo en cada extremo, con un cojinete de

bronce o de hule para reducir la fricción y el desgaste. Las hojas resultantes son

numeradas 2, 3, 4, etc. Un perno llamado pitón de muelle pasa a través del centro

de las hojas manteniéndolas unidas e impidiendo que tengan movimiento

longitudinal. Los broches de rebote son colocados cerca de los extremos de algunas

hojas para impedir que se separen.

El resorte de una hoja (ver figura 1.19) reemplaza en algunos automóviles al

resorte de varias hojas. La hoja tiene la misma forma que en el resorte múltiple:

delgada en los extremos y gruesa en el centro. Su acción es la misma que la del

resorte de varias hojas.

El conjunto actúa como un brazo flexible y, generalmente, en los extremos está

sujeto a la estructura y en el centro al eje. Para dar flexibilidad y fuerza y para

reducir el aplanamiento, las hojas del resorte están fabricadas de una aleación de

acero, tratada al calor, llamada acero templado.

Figura 1. 18 Resortes de hoja [7].


21

Cuando la estructura recibe una carga, los dos tipos de resorte se aplanan haciendo

que la distancia entre los ejes aumente. Si los ejes estuvieran rígidamente

asegurados a la estructura, la distancia entre ellos no podría variar y, en

consecuencia, no habría muelleo. Para permitir que los resortes se alarguen y se

acorten, uno de los extremos se engancha a la estructura por medio de un par de

eslabones oscilantes conocidos con el nombre de columpio de resorte (ver figura

1.20); mientras que, el otro extremo está unido, por medio de un perno, a una

ménsula de la armadura llamada percha de resorte. Los columpios deben oscilar

libremente; el perno del muelle no está sujeto firmemente, porque si lo estuviera,

no habría muelleo y el muelle (resorte) se rompería. Existen dos tipos de percha de

muelle (resorte), el primero está situado en la parte superior de la estructura y el

segundo en la inferior. Usualmente los resortes delanteros están sostenidos por el

primer tipo y los traseros por el segundo. Los pernos en forma de U sostienen las

hojas del resorte contra el eje. Las tuercas que sostienen estas tuercas en U deben

estar firmemente apretadas, para impedir la rotura de las hojas del muelle cerca o

en el perno central. El eje está aplanado en el lugar donde descansa el resorte. Esta

parte se conoce como asiento del resorte. El objeto de los resortes es el siguiente:

sostener el peso del vehículo, la tensión hacia adelante y hacia atrás, el empuje

lateral y el esfuerzo de torsión del eje trasero [9].

Figura 1. 19 Resorte de una hoja [8].


22

Resortes Helicoidales.

En esencia, un resorte helicoidal (ver figura 1.21) montado entre la rueda y la

carrocería de un vehículo permite que la rueda se mueva hacia arriba y hacia abajo

con las ondulaciones del camino sin causar movimientos similares al conductor y a

los pasajeros en un vehículo. Para el buen aislamiento del cuerpo (y, por tanto, una

buena marcha), los resortes deben de ser tan suaves como sea posible consistente

con la proporción de carga uniforme de la llanta para asegurar un funcionamiento

de dirección satisfactorio. El salto relativamente blando necesario para los

requisitos del camino es normalmente insuficiente para resistir la inclinación de la

carrocería en las curvas, por lo que, es habitual para un sistema de suspensión

incluir también un rodamiento reforzado adicional en forma de barras

estabilizadoras. Además, hay la posibilidad de que se detenga el choque de la

suspensión en los límites de su recorrido, como resultado de las entradas

anormales del terreno (por ejemplo, como resultado de un bache notable). Esto, es

necesario para garantizar que el mínimo de la carga de choque se transmita a la

masa suspendida. Asimismo, se requiere el uso de resortes adicionales en forma de

tope de retención para desacelerar la suspensión a sus límites de recorrido. Por

último, hay también un requisito para prevenir la transmisión de vibraciones de

alta frecuencia (mayor a 20 Hertz) de la superficie del camino, a través de la

Figura 1. 20 Conjunto del sostén de columpio.


23

suspensión a puntos de conexión en el chasis. Esto se logra mediante el uso de

topes de retención de goma entre los miembros de la suspensión [4].

Los resortes helicoidales se fabrican a partir de varillas que son en espiral en

forma de una hélice. Los parámetros de diseño de un resorte helicoidal son el

diámetro de la varilla, diámetro del resorte y el número de espiras por unidad de

longitud. Normalmente, los resortes fallan debido a la fatiga de alto ciclo en el que

la tensión aplicada se mantiene por debajo del nivel de resistencia a la

deformación y el ciclo de carga es de más de 105 ciclos/ s. En resortes hechos de

aceros, la composición química del acero y el tratamiento térmico dado a los

mismos son tales que la capacidad de amortiguación inherente del acero es alta. Es

raro que un resorte falle en el servicio debido a un diseño defectuoso [11].

Resortes Neumáticos.

Los resortes neumáticos, también conocidos como resortes de aire, combinan la

acción de un resorte con la de un amortiguador de impactos de una sola unidad

[12]; éstos, se emplean en diversos vehículos, tales como: autobuses, tracto-

camiones, camionetas, autos turismo y vehículos utilitarios deportivos (SUV, por

sus siglas en inglés) [13].

Figura 1. 21 Resorte helicoidal [10].


24

El primer resorte de este tipo fue desarrollado por la Cowey Motor Works de Gran

Bretaña, en 1909. Era un cilindro que se podía llenar de aire con una bomba de

bicicleta, a través de una válvula que se colocaba en la parte superior de dicho

cilindro. La mitad inferior de éste contenía un diafragma hecho de caucho y cuerda,

el cual, por estar rodeado de aire, actuaba como un neumático. Su problema

principal era que a menudo perdía el aire. Un ejemplo de este tipo de resortes

neumáticos antiguos se muestra en la figura 1.22 [12].

El único factor de sistemas neumáticos es que el sistema de control puede modular

la presión del muelle para proporcionar una deflexión estática constante, en otras

palabras, el vehículo es auto-nivelante. Tal característica es especialmente útil en

los vehículos para los que el peso bruto varía considerablemente, dependiendo de

la carga que se lleve o de lo que sea remolcado [13]. La figura 1.23 exhibe dos tipos

de resortes neumáticos.

Figura 1. 22 Resorte neumático antiguo.


25

Barra de Torsión.

La barra de torsión es una barra de acero circular hecha del acero del resorte. Un

extremo de la barra está anclado al bastidor, y la carga es cortante puro debido a la

torsión. La figura 1.24 muestra un ejemplo de una barra de torsión. La barra de

torsión amortigua poco y, por lo tanto, debe ser usada en conjunto con

amortiguadores. Mientras la barra permanece en la región elástica, la resistencia a

la torsión volverá a la barra a su posición normal al descargarlos. La desventaja

principal de las barras de torsión es el espacio en forma axial requerido para la

instalación [13].

1.1.3.2 Amortiguadores

Los amortiguadores son el disipador principal de energía en una suspensión de un

vehículo. Ellos están obligados a amortiguar las vibraciones después de que una

rueda golpee un bache y a proporcionar un buen arreglo entre la baja aceleración

de la masa suspendida (relacionada al trayecto) y el control adecuado de la masa

Figura 1. 23 Resortes neumáticos modernos [14].

Figura 1. 24 Barra de torsión [15].


26

no suspendida para proporcionar una buena estabilidad en el camino. También se

conoce que los amortiguadores son dispositivos telescópicos que contienen fluido

hidráulico. Ellos están conectados entre las masas suspendida y no suspendida;

además, producen una fuerza que está relacionada con la velocidad relativa a

través de sus extremos [16].

Los amortiguadores fundamentalmente son de tipo telescópico de uno o dos tubos

y suelen ir montados en el interior de resortes helicoidales [1]. En los siguientes

párrafos se da una explicación de los principales tipos de amortiguadores.

Amortiguador de fricción Hartford.

Hartford equipó un Oldsmobile con el primer amortiguador de impactos para un

automóvil que consistía en un par de palancas abisagradas entre sí, con una

almohadilla de caucho colocada en el punto de pivote. El brazo de una palanca se

fijaba al bastidor, mientras que el brazo de la otra palanca se atornillaba al muelle

de hojas. Había un perno colocado en el punto de abisagramiento, que podía

apretarse o aflojarse para que aumentara o disminuyera la fricción,

proporcionándole así al vehículo una marcha más rígida o más suave.

Figura 1. 25 Amortiguador de fricción Hartford.


27

Amortiguador Gabriel.

Este tipo de amortiguador estaba compuesto por una caja que contenía una cinta

enrollada en forma de espiral. La espiral se mantenía bajo tensión mediante un

muelle. La caja estaba fija al bastidor y el extremo exterior de la cinta se fijaba al

eje para limitar así los rebotes producidos por las sacudidas.

Amortiguador Hidráulico.

M. Houdaille, de Francia, fue quien diseñó el primer amortiguador de impactos

hidráulicos práctico en el año de 1908 [17].

Los amortiguadores hidráulicos son elementos que están sujetos a cambios

oscilatorios mayores o menores dependiendo del nivel del líquido que contengan,

tomando en cuenta la energía emitida por la masa o la velocidad a la que la carga

se mueva. Es decir, producen inmediatamente una cierta fuerza de amortiguación

al inicio de la carrera, cuyo nivel depende de si la energía se halla principalmente

en la masa o en la velocidad de la carga que se mueve.

Figura 1. 26 Amortiguador Gabriel.


28

La figura 1.27 muestra los componentes de un amortiguador hidráulico.

1.1.3.3 Barra de estabilidad

La barra estabilizadora lateral (ver figura 1.28) es un elemento anclado en la

carrocería que une ambas ruedas de un mismo tren y que tiene por misión

oponerse al par de vuelco que produce la acción de la fuerza centrífuga en los

virajes. Esta oposición la realiza mediante una rigidez torsional tal que los

movimientos del vehículo sean admisibles.

Figura 1. 27 Componentes de un amortiguador de impactos hidráulico.

Figura 1. 28 Barra de estabilidad [18].


29

1.1.3.4 Estabilizadores.

Los estabilizadores longitudinales restringen los desplazamientos longitudinales

relativos entre las ruedas y la carrocería y van anclados entre ambos mediante

uniones elásticas.

1.1.3.5 Elementos de soporte.

Los elementos de soporte están anclados mediante uniones elásticas a las ruedas y

a la carrocería y tienen como misión soportar los elementos elásticos y al

amortiguador.

1.1.3.6 Neumáticos.

El neumático representa el único punto de contacto entre el vehículo y la carretera.

Por lo tanto, toda la aceleración, el frenado, y fuerzas de dirección debe pasar a

través de esos cuatro pequeños parches (capas) de caucho. Además, el neumático

forma un componente del sistema de suspensión que proporciona rigidez y

amortiguación, impactando por lo tanto las características de marcha y manejo del

vehículo [13].

Los neumáticos (ver figura 1.29) ejercen un efecto de elemento elástico tanto ante

oscilaciones verticales como transversales [1].

Figura 1. 29 Neumático [19].


30

1.1.3.7 Casquillos de caucho

La importancia de este componente radica en que protege a la suspensión y el

vehículo (así como de los ocupantes) de un golpe violento, causada por una

obstrucción, como un bache, lo cual provoca que la suspensión se quede sin

desplazarse hacia arriba sin absorber plenamente la energía del golpe. Sin

casquillos de caucho (bump-stops, en inglés), un vehículo que caiga en un bache,

experimentará un choque muy duro cuando la suspensión se ponga en contacto

con la parte inferior del bastidor, que se transfiere a los ocupantes y a cada

conector y soldadura sobre el vehículo. Los vehículos de fábrica a menudo vienen

con cauchos lisos "protuberancias" para absorber la peor de las fuerzas, y aislar el

choque. En cambio, un vehículo de carrera del desierto, que debe rutinariamente

absorber las fuerzas de impacto mucho más altas, puede estar provisto de

casquillos de caucho neumáticos o hidroneumáticos [20]. Ejemplos de casquillos

de caucho se muestran en la figura 1.30.

1.1.3.8 Bujes de goma

Los bujes de goma (rubber bushes, en inglés) es un tipo de aislador de vibraciones

entre dos partes, amortiguando la energía transmitida a través del buje. Están

compuestos de goma o, más a menudo, de caucho sintético o poliuretano. Este tipo

de bujes separan las caras de dos objetos metálicos mientras que permite una

cierta cantidad de movimiento. Este movimiento permite que las partes de la

Figura 1. 30 Distintos modelos de casquillos de caucho [21].


31

suspensión se muevan libremente, por ejemplo, cuando se desplaza sobre un bache

grande, reduciendo al mínimo la transmisión de ruido y las pequeñas vibraciones

del chasis al vehículo. Este tipo de buje también puede ser descrito como un

montaje flexible o montaje anti-vibración [22]. Ejemplos de bujes de goma se

muestra en la figura 1.31.

Figura 1. 31 Varios tipos de bujes de goma [23].

Capítulo II. Análisis modal de la

respuesta transitoria de la placa de

fijación.

Capítulo II. Análisis Modal de la respuesta transitoria de la placa de fijación.

33

2.1 V ibración.

Cualquier movimiento que se repite después de un intervalo de tiempo se llama

vibración u oscilación. La oscilación de un péndulo y el movimiento de una cuerda

rasgueada son ejemplos típicos de vibración. La teoría de la vibración se ocupa del

estudio de los movimientos oscilatorios de los cuerpos y las fuerzas asociadas con

ellos [24].

2.1.1 Vibraciones mecánicas.

El tema de las vibraciones mecánicas se ocupa de la respuesta oscilante de los

cuerpos elásticos a las perturbaciones, tales como una fuerza externa o de otro tipo

de perturbación del sistema a partir de su posición de equilibrio. Todos los cuerpos

que poseen masa y tienen rigidez finita son capaces de vibrar. Por tanto, el objetivo

de la ingeniería es el reducir o eliminar las vibraciones. Algunos ejemplos de

vibraciones son:

Vibraciones en automóviles, lo que puede llevar a la molestia de pasajeros.

Vibraciones en diversos tipos de construcciones durante los terremotos.

Vibraciones en puentes debido a fuertes vientos.

Vibraciones en herramientas de corte durante operaciones de maquinado

[25].

2.1.1.1 Elementos que componen a un sistema vibratorio.

Los elementos que constituyen a un sistema vibratorio son: la masa, el resorte, el

amortiguador y la excitación; estos, se muestran en la figura 2.1.

Una manera de explicar el sistema vibratorio mostrado en la figura 2.1 es

considerando lo siguiente: la energía puede ser almacenada en la masa y el resorte,

y disipada en el amortiguador en forma de calor. Dicha energía, entra al sistema al

aplicar una fuerza de excitación y, ésta, es aplicada a la masa m del sistema.


34

Masa.

La masa m se considera como un cuerpo rígido (ver figura 2.1). Ésta ejecuta las

vibraciones y puede ganar o perder energía cinética de acuerdo al cambio de

velocidad del cuerpo. De la ley de movimiento de Newton, el producto de la masa y

su aceleración es igual a la fuerza aplicada a la masa, y la aceleración ocurre en la

dirección en la cual la fuerza actúa. En este punto, es importante recordar al

trabajo, éste se define como la fuerza por el desplazamiento en la dirección de la

fuerza y, éste mismo, es transformado en la energía cinética de la masa. La energía

cinética incrementa si el trabajo es positivo y disminuye si el trabajo es negativo.

Resorte.

El resorte k posee y se supone que es de masa despreciable (figura 2.1). La fuerza

de rigidez existe si el resorte es deformado, por ejemplo la extensión o compresión

de un resorte helicoidal. Por lo tanto, la fuerza de rigidez existe sólo si hay

desplazamiento relativo entre los dos extremos del resorte. El trabajo realizado en

la deformación de un resorte es transformado en energía potencial, esto es, la

energía de deformación almacenada en el resorte. Un resorte lineal es aquel que

Figura 2. 1 Elementos de sistemas vibratorios.


35

obedece la ley de Hooke, esto es, la fuerza de rigidez es proporcional a la

deformación del resorte. La constante de proporcionalidad, medida en la fuerza

por unidad de deformación, es llamada rigidez o constante del resorte k .

Amortiguador.

El amortiguador c no tiene ni masa ni elasticidad. La fuerza de amortiguamiento

existe sólo si hay movimiento relativo entre los dos extremos del amortiguador. El

trabajo o la energía de entrada a un amortiguador es convertida en calor. Por lo

tanto, el elemento de amortiguamiento es no conservativo. El amortiguamiento

viscoso, en el cual la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad, es

llamado amortiguamiento lineal. El coeficiente de amortiguamiento viscoso c es

medido en fuerza por unidad de velocidad.

Excitación.

La energía entra al sistema por la aplicación de una excitación. Una fuerza de

excitación puede ser aplicada a la masa y/o un movimiento de excitación aplicado

al resorte y al amortiguador. Una fuerza de excitación ( )F t aplicada a la masa m se

ilustra en la figura 2.1. La excitación varía de acuerdo con una función prescrita del

tiempo. Por lo tanto, la excitación está siempre dada en un determinado tiempo.

Alternativamente, si el sistema es suspendido de un soporte, la excitación puede

ser aplicada al sistema a través de impartir un movimiento prescrito para el

soporte. En la maquinaría, la excitación aumenta a menudo por el desbalance de

componentes en movimiento. Las vibraciones de sistemas dinámicos bajo la

influencia de una excitación son llamadas vibraciones forzadas. Sin embargo, las

vibraciones forzadas, son a menudo definidas como aquellas que se producen y se

mantienen por una excitación periódica [26].


36

2.1.1.2 Tipos de Vibraciones Mecánicas.

Las vibraciones mecánicas se pueden clasificar en tres categorías generales. Estas

son: vibración libre, vibración forzada, y las vibraciones auto-excitadas (o

trepidación). En los siguientes párrafos, los tres tipos de vibraciones se describen

con más detalle [25].

Antes de definir al primer tipo de vibración mecánica, se explica en forma breve al

sistema más elemental en la teoría de vibraciones mecánicas.

Sistema de 1 grado de libertad.

El sistema vibratorio más simple posible se muestra en la figura 2.2; que consiste

en una masa m unida por medio de un resorte k a un soporte inmóvil. La masa está

limitada a movimiento de traslación en la dirección del eje X , de manera que se

describe plenamente su cambio de posición a partir de una referencia inicial por el

valor de una cantidad única x . Por esta razón se le llama sistema de un solo grado

de libertad. Si la masa m se desplazó desde su posición de equilibrio y entonces se

dejó vibrar libremente de remotas fuerzas externas, se dice que tiene vibración

libre. La vibración también puede ser forzada, es decir, una fuerza continua actúa

sobre la masa.

Vibración Libre de un grado de libertad.

Tomando en cuenta a la figura 2.2, en la cual, se presenta un sistema en el que se

presenta vibración libre no amortiguada, la ecuación de Newton se escribe para la

Figura 2. 2 Sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento.


37

masa m . La fuerza mx ejercida por la masa sobre el resorte es igual y opuesta a la

fuerza kx aplicada por el resorte sobre la masa:

(2.1)

Donde 0x define la posición de equilibrio de la masa. La solución de la ec. 2.1 es:

(2.2)

Donde el término k

mes la frecuencia natural angular definida por:

rad/s. (2.3)

La oscilación sinusoidal de la masa se repite continuamente, y el intervalo de

tiempo para completar un ciclo es el periodo:

(2.4)

El recíproco del periodo es la frecuencia natural:

(2.5)

Donde W mg es el peso del cuerpo rígido que forma la masa del sistema

mostrado en la figura 2.2.

Condiciones iniciales.

En la ec. 2.2, B es el valor de x en el tiempo 0t , y el valor de A es igual a n

x

en el

tiempo 0t . Por lo tanto, las condiciones de desplazamiento y la velocidad que

existen en el tiempo cero determinan la oscilación subsecuente completamente.

Ángulo de fase.

La ec. 2.2 para el desplazamiento en movimiento oscilatorio puede ser escrita,

introduciendo la relación de frecuencia de la ec. 2.3,

0mx kx

s cosk k

x A en t B tm m

n

k

m

2

n

1 1 1

2 2 2

nn

k kgf

m W


38

(2.6)

Donde 2 2 1/2( )C A B y 1tanB

A

. El ángulo es llamado el ángulo de fase.

Deflexión estática.

La deflexión estática de un simple sistema masa-resorte es la deflexión del resorte

k como resultado de la fuerza de gravedad de la masa, st

mg

k . Por ejemplo, el

sistema de la figura 2.2 debe ser orientado con la masa m verticalmente por

encima del resorte k . Sustituyendo esta relación en la ec. 2.5, tenemos que:

(2.7)

Esta relación (ec. 2.7) aplica sólo cuando el sistema considerado es tanto lineal y

elástico. Por ejemplo, los resortes de goma tienden a ser no lineales o a exhibir una

rigidez dinámica que difiere de la rigidez estática; por lo que, la ec. 2.7 no es

aplicable [27].

Vibración Forzada.

En este tipo de vibración se considera el caso cuando además de la fuerza de

gravedad y de la fuerza en el resorte (figura 2.3), hay una fuerza perturbadora

periódica Psen t que actúa sobre la carga W .

El periodo de esta fuerza es 1

2

y su frecuencia es 1

2f

. De acuerdo a esto,

se obtiene la siguiente ecuación diferencial:

(2.8)

1

2n

st

gf

cos ( )n n nx A sen t B t C sen t

( )W

x W W kx P sen tg


39

O, mediante la siguiente ecuación:

(2.9) Resulta lo siguiente: (2.10) Una solución particular de esta ecuación se obtiene al asumir que x es

proporcional a sen t , es decir, tomando:

(2.11)

Donde A es una constante, la magnitud de los cuales debe ser escogida con el fin de

satisfacer a la ec. 2.10. Sustituyendo a la ec. 2.11 en aquella ecuación se tiene que:

Así, la solución particular requerida es:

Ahora bien, si recordamos que esta ecuación:

(2.12) Es la solución general de esta ecuación para vibración libre:

Entonces, si adicionamos 2 2

q sen tx

p

en la ec. 2.12, resulta que:

(2.13)

Pgq

W

2x p x qsen t

x Asen t

2 2

qA

p

2 2

q sen tx

p

1 2cosx C pt C senpt

2 0x p x

1 2 2 2cos

q sen tx C pt C senpt

p

Figura 2. 3 Sistema masa-resorte ante una fuerza perturbadora periódica sobre W .


40

Esta expresión contiene dos constantes de integración y representa la solución

general de la ec. 2.10. Asimismo, se observa que la ec. 2.13 consiste de dos partes,

los primeros dos términos representan a la vibración libre y el tercer término, que

depende de la fuerza perturbadora, representa al sistema de vibración forzada. Se

ve que esta vibración posterior tiene el mismo período 1

2

que la que tiene la

fuerza perturbadora. Su amplitud A , es igual al valor numérico de la expresión:

(2.14)

El factor P

k es la desviación que la fuerza perturbadora máxima P produciría si

actúa estáticamente y el factor 2

2

1

(1 )p

se encarga de la acción dinámica de esta

fuerza. El valor absoluto de este factor se denomina por lo general el factor de

magnificación. Vemos que sólo depende de la relación p

que se obtiene

dividiendo la frecuencia de la fuerza perturbadora por la frecuencia de la vibración

libre del sistema. En la figura 2.4, los valores del factor de magnificación se

representan frente a la relación p

.

22 2

2

1

1

q P

p k

p

Figura 2. 4


41

Se ve que para los pequeños valores de la relación p

, es decir, para el caso cuando

la frecuencia de la fuerza perturbadora es pequeña en comparación con la

frecuencia de la vibración libre, el factor de magnificación es aproximadamente la

unidad, y las deflexiones son aproximadamente las mismas como en el caso de una

acción estática de la fuerza P .

Cuando la relación p

se aproxima a la unidad, el factor de magnificación y la

amplitud de vibración forzada rápidamente aumentan y se vuelven infinitas para

p , es decir, para el caso cuando la frecuencia de la fuerza perturbadora

coincide exactamente con la frecuencia de la vibración libre del sistema. Esta es la

condición de resonancia. El valor infinito obtenido para la amplitud de las

vibraciones forzadas indica que si la fuerza pulsante actúa sobre el sistema de

vibración, siempre en un momento adecuado y en una dirección apropiada, la

amplitud de la vibración se incrementa indefinidamente siempre que no exista

amortiguamiento. Es importante aclarar que en los problemas prácticos siempre se

tiene amortiguamiento.

Cuando la frecuencia de la fuerza perturbadora aumenta más allá de la frecuencia

de la vibración libre, el factor de magnificación se vuelve de nuevo finito. Su valor

absoluto disminuye con el aumento de la relación p

y, se aproxima a cero, cuando

esta relación se vuelve muy grande. Esto significa que cuando una fuerza pulsante

de alta frecuencia (p

es grande) actúa sobre el cuerpo vibratorio, produce

vibraciones de amplitud muy pequeña y, en muchos casos, el cuerpo puede ser

considerado como que queda inmóvil en el espacio.

Considerando el signo de la expresión 2

2

1

(1 )p

se ve que para el caso p esta

expresión es positiva y para p esta se vuelve negativa. Esto indica que cuando

la frecuencia de la fuerza perturbadora es menor que la de la vibración natural del


42

sistema, las vibraciones forzadas y la fuerza perturbadora están siempre en la

misma fase, es decir, la carga vibratoria (figura 2.3) alcanza su posición más baja

en el mismo momento que la fuerza perturbadora asume su valor máximo en una

dirección hacia abajo. Cuando p la diferencia en fase entre la vibración forzada

y la fuerza perturbadora se vuelve igual a . Esto significa que en el momento en

que la fuerza es máxima en una dirección hacia abajo la carga vibratoria alcanza su

posición superior. Este fenómeno puede ser ilustrado por el siguiente experimento

simple: en el caso de un péndulo simple AB (figura 2.5), las vibraciones forzadas

pueden ser producidas por dar un movimiento oscilante en la dirección horizontal

al punto A . Si este movimiento oscilante tiene una frecuencia más baja que la del

péndulo, las posiciones extremas del péndulo durante tales vibraciones serán

como se muestra en la figura 2.5-a, los movimientos de los puntos A y B estarán en

la misma fase. Si el movimiento oscilatorio del punto A tiene una frecuencia más

alta que la del péndulo, las posiciones extremas del péndulo durante la vibración

serán como se muestra en la figura 2.5-b. La diferencia de fase de los movimientos

de los puntos A y B en este caso es igual a .

De acuerdo a lo anterior, la fuerza perturbadora fue tomada proporcional a sen t .

Las mismas conclusiones se pueden obtener si cos t , en lugar de sen t , sea

tomado en la expresión de la fuerza perturbadora.

Anteriormente, sólo el tercer término de la solución general (ec. 2.13) se ha

considerado. En la aplicación de una fuerza perturbadora, sin embargo, no sólo se

producen vibraciones forzadas sino también vibraciones libres dados por los

Figura 2. 5


43

primeros dos términos en la ec. 2.13. Después de un tiempo las últimas vibraciones

serán amortiguadas debido a los diferentes tipos de resistencia, pero al principio

del movimiento ellas pueden ser de importancia práctica. La amplitud de la

vibración libre se puede encontrar a partir de la solución general (ec. 2.13)

teniendo en cuenta las condiciones iniciales. Supongamos que en el instante inicial

( 0)t el desplazamiento y la velocidad del cuerpo vibrante son iguales a cero. Las

constantes arbitrarias de la solución (ec. 2.13) deben ser determinadas de una

manera tal que para ( 0)t

y

Estas condiciones serán satisfechas mediante la adopción de:

Sustituyendo en la ec. 2.13, se obtiene:

(2.15)

Así, el movimiento se compone de dos partes, la vibración libre proporcional a

senpt y la vibración forzada proporcional a sen t .

A continuación, se considera el caso cuando la frecuencia de la fuerza perturbadora

es muy cercana a la frecuencia de las vibraciones libres del sistema, es decir,

está cerca de p . Utilizando la notación:

Donde es una pequeña cantidad, y dejando a un lado un pequeño término con el

factor 2

p

, se representa a la ec. 2.15 de la siguiente forma:

(2.16)

1 2 2 20,

q

pC C

p

2 2

qx sen t senpt

p p

2p

2 2 2 2

2 2

2cos

2 2

2cos cos

2 2

p t p tq qx sen t senpt sen

p p

p tqsen t qsen tt

p

0x 0x


44

Desde que es una pequeña cantidad, la función sen t varía lentamente y su

periodo, igual a 2

, es largo. En tal caso, la ec. 2.16 puede ser considerada como la

representación de las vibraciones de un periodo 2

y de una amplitud variable

igual a 2

qsen t

. Este tipo de vibración es llamada pulsación y es mostrada en la

figura 2.6. El periodo de una pulsación, igual a 2

incrementa conforme se

acerca a p , es decir, cuando se acerca a la condición de resonancia. Para limitar la

condición p se puede poner en la ec. 2.16 t , en lugar de sen t y resulta que:

(2.17)

La amplitud de la vibración en la ec. 2.17 se incrementa indefinidamente con el

tiempo como se muestra en la figura 2.7 [28].

cos2

qtx t

Figura 2. 6

Figura 2. 7


45

Hasta este momento se ha definido a la vibración forzada de manera general; sin

embargo, para poder comprender de forma más amplia a este tipo de vibración, es

conveniente tomar en cuenta los distintos tipos de excitación; por tal motivo, se da

una explicación de esto en los siguientes párrafos.

Tipos de excitación forzada.

Armónica.

Si se considera el movimiento de un sistema de 1 grado de libertad amortiguado

sujeto a una fuerza que varía armónicamente:

(2.18) Donde es la frecuencia de excitación o la frecuencia forzada. La respuesta en

estado-estacionario ( )ssx t del sistema se asume como sinusoidal con la misma

frecuencia, es decir:

(2.19)

Para encontrar la amplitud y el ángulo de fase, se sustituye la ec. 2.19 en la ec. 2.18:

(2.20)

Donde r es la relación de frecuencia n

r

, y n y son la frecuencia natural no

amortiguada y la relación de amortiguamiento o coeficiente de amortiguamiento

introducido en la siguiente ecuación:

De acuerdo a la figura 2.8 y a la ec. 2.20, la amplitud de la respuesta del estado

estacionario depende de la frecuencia de excitación y del coeficiente de

amortiguamiento. Para un amortiguamiento ligero, se dice que 0.1 , la amplitud

se aproxima a un valor máximo mientras que la excitación está cerca de la

0( ) ( ) ( )mx t cx t kx t F sen t

0( )ssx t X sen t

0

02

2 2 2

1

1 4

FX

kr r

1

2

2tan

1

r

r

2

1,2 1 1n n i


46

frecuencia natural no amortiguada n . Por otra parte, cuanto menor sea el

coeficiente de amortiguamiento, mayor será la cresta (ver figura 2.8).

La respuesta del estado-estacionario ( )ssx t es una solución particular. La solución

total de la ec. 2.18 es la suma de una solución particular y la solución de la ecuación

homogénea correspondiente. Para el caso sub-amortiguado 0 1 esto se

vuelve:

(2.21)

Donde A y B son determinados por las condiciones iniciales. El primer término en

la ec. 2.21 es la respuesta transitoria porque se aproxima a cero para valores

grandes de t

La respuesta para sistemas con múltiples grados de libertad sujeta a excitaciones

armónicas puede ser determinada en forma similar. Para este fin, considerar:

(2.22)

0( ) cos ( )nt

d dx t e Asen t B t X sen t

0Mx t Cx t Kx t F sen t

Figura 2. 8 Amplitud de la respuesta del estado-estacionario contra la relación de

frecuencias.


47

Mediante un análisis complejo, la excitación es la parte imaginaria de la forma

exponencial 0

i tF e , 1i . Por lo tanto, la respuesta del estado estacionario

puede ser escrita como:

(2.23)

Donde el vector complejo 0X por la ec. 2.22 se determina como:

(2.24)

Las amplitudes y los ángulos de fase de los parámetros de desplazamiento pueden

ser evaluados desde las ecs. 2.23 y 2.24. De acuerdo a la figura 2.8, la amplitud

puede ser graficada contra la frecuencia de excitación. La diferencia es que las

curvas de frecuencia de amplitud tienen múltiples picos, porque hay n frecuencias

naturales no amortiguadas de la ecuación característica:

Periódica.

La respuesta a excitaciones periódicas arbitrarias se puede determinar mediante la

ampliación del enfoque dado en la ecuación 2.19. En la figura 2.9, una función

forzada periódica general F t se repite en un periodo de tiempo fijo T (el

período), de tal manera que F t T F t para todos los valores de t . Una

función sinusoidal es una función periódica, pero lo contrario puede no ser cierto.

Una función de fuerza periódica se puede expandir en una serie infinita de

funciones sinusoidales, llamada la serie de Fourier:

(2.25)

0( ) Im i tx t X e

1

2

0 0X M i C K F

2det 0

0

1

cos2

n n

n

aF t a n t b senn t

Figura 2. 9 Función forzada periódica.


48

Donde 2

T

, y los coeficientes de Fourier na y nb son calculados por las

formulas:

(2.26) (2.27) Siguiendo el principio de superposición, la respuesta a una excitación periódica es

la suma de las contribuciones de todos los componentes armónicos individuales.

Por ejemplo, una solución particular de la ecuación:

a una fuerza periódica se puede escribir como:

(2.28)

Se puede demostrar que

00

2

aX

k , y n nX sen n t es la solución de:

(2.29) Que puede obtenerse por las ecs. 2.19 y 2.20. La respuesta total del sistema es la

suma de la solución particular y la solución homogénea para las condiciones

iniciales.

El análisis armónico dado anteriormente también es aplicable a sistemas con

múltiples grados de libertad. Cabe señalar que, bajo excitaciones periódicas, la

resonancia se produce si una de las frecuencias naturales es idéntica a n para

cualquier número entero n [29].

Amortiguamiento en sistemas reales.

Los sistemas actuales siempre tienen algún tipo de amortiguamiento, pero rara vez

es amortiguamiento viscoso. Entre las formas más comunes de amortiguamiento

son amortiguamiento estructural y amortiguamiento de Coulomb.

Amortiguamiento estructural es una característica del material, cuyo valor puede

0

2cos , 0,1,2...

T

na F t n tdt nT

0

2, 1,2,3...

T

nb F t sen n tdt nT

mx t cx t kx t f t

0

1

p n n

n

x t X X sen n t

cosn nmx t cx t kx t a n t b sen n t


49

depender en gran medida de la temperatura y de la frecuencia. El amortiguamiento

de Coulomb surge del movimiento relativo entre las superficies secas en contacto;

este fenómeno es bastante difícil de cuantificar ya que depende de muchos

parámetros.

Un coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente puede ser definido para el

caso de una excitación armónica al usar la siguiente ecuación para energía disipada

por ciclo: (2.30)

Para amortiguamiento estructural se ha observado que la energía disipada por

ciclo tiene la forma: (2.31)

Esta ecuación, se considera sobre una gama limitada de frecuencia y de

temperatura; donde X es la amplitud del desplazamiento y a es una constante de

proporcionalidad. Así pues, el coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente

se encuentra de las ecs. 2.30 y 2.31.

(2.32) Por consiguiente:

(2.33) El cálculo de los sistemas con amortiguamiento estructural sometido a una

excitación armónica se consigue más convenientemente con el uso de la notación

compleja. Un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento estructural y

excitado por la fuerza cosF t se muestra en la figura 2.10. Éste, tiene la ecuación:

(2.34) En notación compleja, esto se vuelve:

(2.35)

2E c X

2E aX

2 2

eqaX c X

eq

ac

0 cosa

mx x kx F t

0 j tamz z kz Fe


50

Donde Rex z , es la parte real de la cantidad compleja z . Se buscan soluciones

de la forma: (2.36)

Lo cual, cuando se sustituye en 2.35, da:

(2.37) La ecuación 2.37 está convenientemente escrita como:

(2.38) Donde se conoce como el factor estructural de amortiguamiento:

(2.39) Además, se puede definir a la rigidez compleja como:

(2.40) El término en las ecuaciones 2.39 y 2.40 es a menudo referido como el factor de

pérdida. Por tanto, la ecuación 2.38 da:

(2.41) Qué se puede poner en la forma:

(2.42) Con:

(2.43)

j tz Ze

2 ak m Z j Z F

2 1m Z k j Z F

a

k

* 1k k j

2

FZ

k m j k

jZ Z e

2

2 2 2

FZ

k m k

Figura 2. 10 Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento estructural.


51

Y, donde:

(2.44)

Dado que:

(2.45)

Uno tiene:

(2.46) Con:

(2.47)

Las ecuaciones 2.46 y 2.47 son convenientemente escritas en la forma:

(2.48) (2.49) La determinación de es sencilla, porque:

(2.50) Donde f es el ancho de banda de media-potencia. Esto proporciona entonces un

medio de medición de amortiguamiento durante la vibración de estado-

estacionario.

Es importante tener en cuenta que el uso de la notación compleja resulta en una

reducción importante en el álgebra requerida para resolver la ecuación de

movimiento de un oscilador armónico forzado [30].

2

2 2 2

ksen

k m k

2

22 2 2

cosk m

k m k

Re j tx Ze

22 2 2

cosF

x t

k m k

2tan 0

k

k m

2

2

2

cos

1

F

kx t

2tan

1

f

f


52

Vibración auto-excitada.

La vibración auto-excitada, o trepidación (temblor), se produce cuando una fuerza

de entrada constante es modulada en vibración cerca de la frecuencia natural del

sistema. Un ejemplo intuitivo es el silbido. Aquí, el soplado de aire constante a

través de sus labios produce sonido (vibraciones) a una frecuencia que depende de

la tensión en los labios (que regula la frecuencia natural). El diafragma no se

mueve a una alta frecuencia del sonido, sino más bien el empuje continuo de aire

se convierte en una vibración de la "estructura". Del mismo modo, la fuerza

constante del arco a través de una cuerda de violín provoca que el sonido esté

cerca de la frecuencia natural de la cuerda.

Este comportamiento diferencia a las vibraciones auto-excitadas de ambas

vibraciones, libres y forzadas. A diferencia de la vibración libre, una fuerza externa

a largo plazo está presente. Contrariamente a la vibración forzada, la excitación en

una vibración auto-excitada es constante y no periódica; además, la vibración se

produce cerca de la frecuencia natural. Un ejemplo de respuesta en el dominio-

tiempo para la vibración auto-excitado se proporciona en la figura 2.11.

El término trepidación (temblor) se basa en la presencia común de vibraciones

auto-excitadas en aplicaciones aero-elásticas. Esto ocurre debido al flujo de aire

(fluido) sobre las alas durante el vuelo. Este flujo constante es modulado en

vibración cerca de la frecuencia natural de las alas. Esta vibración puede ser menor

(una vibración de magnitud pequeña manifiesta como en vuelo "buzz” (zumbido))

o puede ser catastrófico en casos extremos. El fenómeno no se limita a las

estructuras de aeronaves [25].


53

2.1.1.3 Tipos de movimiento.

Movimiento Armónico.

Este tipo de movimiento se considera dentro de la teoría básica de vibración libre;

sin embargo, antes de definir a este tipo de movimiento, se recordará que cuando

el movimiento se repite a intervalos de tiempo , se le conoce como periódico;

mientras que su reciproco, es decir, 1/f , es la frecuencia del sistema. Ahora

bien, si se designa el movimiento por ( )x t , todo movimiento periódico debe

satisfacer la relación ( ) ( )x t x t .

El movimiento periódico más simple es el movimiento armónico. Puede ilustrarse

por medio de una masa suspendida de un resorte liviano, como se muestra en la

figura 2.12. Si la masa se desplaza de su posición de reposo y se libera, oscilará

hacia arriba y hacia abajo. Colocando una fuente de luz en la masa, su movimiento

puede ser registrado en una tira de película sensible a la luz que, es movida a

velocidad constante.

Figura 2. 11 La magnitud de la vibración auto-excitada puede aumentar con el tiempo

hasta que es limitado de alguna manera (por lo general por un efecto no lineal). La

frecuencia de oscilación está cerca de la frecuencia natural del sistema.


54

El movimiento registrado en la tira de película puede representarse por medio de

la ecuación:

(2.51)

En donde A es la amplitud de la oscilación, medida desde la posición en equilibrio

de la masa y es el período. El movimiento se repite cuando t

Generalmente, se representa el movimiento armónico como la proyección sobre

una línea recta, de un punto que se mueve en una circunferencia a velocidad

constante, como se muestra en la figura 2.13. Si es la velocidad angular de la

línea op , el desplazamiento x puede escribirse como:

(2.51)

La velocidad angular , se expresa generalmente en radianes por segundo y se le

conoce también como frecuencia circular. Considerando que el movimiento se

repite cada 2 radianes, se tiene que:

x Asen t

2t

x Asen

Figura 2. 12 Registro de un movimiento armónico.

Figura 2. 13 Movimiento armónico como proyección de un punto que se mueve en

una circunferencia.


55

En donde y f , son el periodo y la frecuencia del movimiento armónico,

usualmente medidos en segundos y ciclos por segundo.

La velocidad y aceleración del movimiento armónico puede simplemente

determinarse por diferenciación de la ec. 2.51. Así pues, tenemos que:

(2.52) (2.53) De esta forma, la velocidad y la aceleración son también armónicas con la misma

frecuencia de oscilación pero aventajan al desplazamiento en 2

y radianes. La

figura 2.14 muestra la variación en tiempo y la relación de fase entre

desplazamiento, velocidad y aceleración.

Si consideramos que en la ec. 2.53 se encuentra el valor del desplazamiento (ec.

2.51), podemos representar a la ec. 2.53 de esta forma:

(2.54)

22w f

cos2

x A t A sen t

2 2x A sen t A sen t

2x x

Figura 2. 14 En el movimiento armónico la velocidad y la aceleración preceden al

desplazamiento en 2

y .


56

De modo que en el movimiento armónico la aceleración es proporcional al

desplazamiento y está dirigida hacia el origen. Como la segunda ley de Newton

establece que la aceleración es proporcional a la fuerza, un movimiento armónico

resulta para sistemas con resortes lineales y fuerzas que varían como kx

Forma exponencial en el movimiento armónico.

Las funciones trigonométricas seno y coseno están relacionadas con la función

exponencial por la ecuación de Euler.

(2.55) Un vector de amplitud A , que rota con velocidad angular constante , puede

representarse como una cantidad compleja z en el diagrama de Argand, como se

muestra en la figura 2.15.

(2.56) La cantidad z se conoce como el sinusoide complejo, con x y y como las

componentes real e imaginaria. La cantidad iwtz Ae también satisface Ia ec. 2.54

para movimiento armónico.

La figura 2.16 muestra a z y a su conjugada * iwtz Ae que está rotando en el

sentido negativo con velocidad angular . Es evidente, a partir del diagrama que

la componente real x está dada por la expresión:

(2.57) En donde Re representa la parte real de z . Vemos que la forma exponencial del

movimiento armónico ofrece a menudo ventajas matemáticas.

Algunas de las reglas de operaciones exponenciales entre 1

1 1

iz Ae

y 2

2 2

iz A e

son

[31]:

Multiplicación:

cosie isen

cos

iwtz Ae

A t iAsen t

x iy

1

* cos2

iwtx z z A t ReAe

1 2( )

1 2 1 2

iz z A A e


57

División:

(2.58)

Potencias:

1 2( )1 1

2 2

iz Ae

z A

n n inz A e

1/ 1/ /n n i nz A e

Figura 2. 15

Figura 2. 16


58

Movimiento Periódico.

Movimiento periódico es todo movimiento que se repite periódicamente. Esto

incluye el movimiento armónico, por pulsos, etc. El movimiento periódico es

cualquier movimiento que se repite en períodos de tiempo iguales. Por ejemplo, un

acoplamiento del motor desalineado que está suelto podría tener un golpe una vez

por revolución del eje. Aunque este movimiento no es armónico, es periódico. La

señal del tiempo tendrá un pulso cada x segundos, como se indica en la figura 2.17.

Movimiento Aleatorio.

El movimiento aleatorio se produce de un modo irregular y contiene todas las

frecuencias en una banda de frecuencia particular. Este tipo de movimiento no es

repetible. Ejemplos de este tipo de movimiento son: palomitas al momento de ser

elaboradas ya que empiezan a salir disparadas, la lluvia golpeando el techo, y los

bolos cuando son golpeados. Esta clase de movimiento también se conoce como

ruido. Cuando el ruido aleatorio es generado por una máquina, una grabación del

ruido reproducido diez veces más rápido de lo que se registró puede sonar como

un aparato de televisión después de que la estación ha salido del aire. Una señal de

tiempo de ruido aleatorio contendrá todas las frecuencias en un rango

Figura 2. 17 Movimiento periódico.


59

determinado. Los espectros de frecuencia de dichas señales de tiempo estarán

arriba de la línea de base, como se indica en la figura 2.18. A menudo, este tipo de

movimiento en una máquina es causado por una soltura o libertad severa [32].

2.2 Análisis de ¼ parte de la suspensión Macpherson ante la

respuesta del terreno.

Para realizar el análisis de la suspensión Macpherson se considera el modelo de

una cuarta parte del automóvil (figura 2.19), el cual, servirá para analizar la

respuesta dinámica del sistema, es decir, el comportamiento de un automóvil con

este tipo de suspensión en movimiento en condiciones: todo terreno.

Figura 2. 18 Movimiento aleatorio.


60

Las ecuaciones diferenciales de movimiento para el modelo mostrado en la figura

2.19 son las siguientes:

(2.59)

(2.60)

Donde:

sm = masa suspendida.

um = masa no suspendida.

sc = coeficiente de amortiguamiento viscoso.

sk = rigidez del resorte para masa suspendida.

uk = rigidez de la llanta.

sx = desplazamiento de la masa suspendida.

ux = desplazamiento de la masa no suspendida.

y = desplazamiento absoluto del terreno.

En este caso, la masa suspendida ( sm ) representa ¼ parte del vehículo, mientras

que, la masa no suspendida ( um ) representa una rueda del vehículo.

( ) ( ) 0s s s s u s s um x c x x k x x

( ) ( )u u s u s u s u s s um x c x x k k x k x k y

Figura 2. 19 Modelo de ¼ parte del automóvil.


61

Cabe aclarar que el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso de la llanta

( uc ), comparado con el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso del

amortiguador ( sc ), es muy pequeño; por lo tanto, se ignora a uc del modelo

simplificado mostrado en la figura 2.19.

Considerando ese mismo modelo, tenemos que la energía cinética ( K ) está dada

por:

(2.61)

Mientras que la energía potencial (V ), se expresa así:

(2.62)

Asimismo, la función de disipación ( D ) se representa de la siguiente forma:

(2.63)

Empleando el método de Lagrange:

(2.64)

(2.65)

Se obtienen las siguientes ecuaciones de movimiento:

(2.66)

(2.67)

2 21 1

2 2s s s sK m x m x

2 21 1( ) ( )

2 2s s u u uV k x x k x y

21( )

2s s uD c x x

0s s s s

d K K D V

dt x x x x

0u u u u

d K K D V

dt x x x x

s s s s u s s um x k x x c x x

u u s s u s s u u um x k x x c x x k x y


62

De este modo, las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de un

sistema de suspensión pasiva de dos grados de libertad pueden ser escritas de

forma matricial de la siguiente manera:

(2.68)

De acuerdo a [33], [34] y [35], los parámetros óptimos para una suspensión tipo Macpherson son estos:

sm = 300 kg.

um = 40 kg.

sc = 87.96Ns/m.

sk = 27.4 kN/m.

uk = 211 kN/m.

nf = 1 Hz.

Dónde:

nf = frecuencia natural del sistema.

s = frecuencia angular de la masa suspendida.

u = frecuencia angular de la masa no suspendida.

Si se desea, las especificaciones técnicas de la llanta se pueden ver en [36].

0 0

0

s s s s s s s s

uu u s s u s s u u

m x c c x k k x

k ym x c c x k k k x

1ss

s

k

m

10uu

u

k

m


63

Así pues, para analizar el comportamiento de una suspensión pasiva de dos grados

de libertad en condiciones: todo terreno, se debe obtener la respuesta de dicho

sistema mediante la ec. 2.68 y los parámetros óptimos para una suspensión tipo

Macpherson. Para lograr esto, se considera el comportamiento de un automóvil al

pasar por un bache o por un tope; así que, en este caso, en particular, se considera

como entrada una función escalón en un primer caso y, una función rampa en el

segundo. Por tal motivo, se explica a continuación, lo concerniente a las funciones

escalón y rampa.

2.2.1 Tipos de funciones.

2.2.1.1 Escalón.

En este caso, se considera a una fuerza escalón que salta repentinamente de cero a

0p y se mantiene constante a ese valor (ver figura 2.20 b). Para este tipo función, se

desea determinar la respuesta de un sistema no amortiguado de un solo grado de

libertad partiendo en reposo a la fuerza escalón:

(2.69)

Ahora bien, se sabe que la ecuación de movimiento para un sistema lineal de un

grado de libertad sujeto a una fuerza externa es:

(2.70)

0( ) ; 0

( ) 0 ; 0

p t p t

p t t

( )mu cu ku p t

Figura 2. 20 (a) Sistema de un grado de libertad; (b) fuerza escalón; (c) respuesta

dinámica.


64

Así pues, un método bien conocido para la solución de ecuaciones diferenciales

lineales, tales como la ecuación de movimiento de un sistema de un grado de

libertad, se basa en la representación de la fuerza aplicada como una secuencia de

impulsos cortos infinitesimalmente. La respuesta del sistema a una fuerza aplicada,

( )p t , en el tiempo t se obtiene mediante la adición de las respuestas a todos los

impulsos hasta ese momento.

(2.71)

Donde:

En este resultado es implícito que las condiciones iniciales se encuentren "en

reposo". La ecuación 2.71, conocida como integral de Duhamel, es una forma

especial de la integral de convolución.

La integral de Duhamel proporciona un método alternativo a la solución clásica si

la fuerza aplicada ( )p t se define analíticamente mediante una simple función que

permite la evaluación analítica de la integral. Para excitaciones complejas que se

definen sólo por valores numéricos de ( )p t en instantes de tiempo discretos, la

integral de Duhamel se puede evaluar por métodos numéricos.

Al resolver la ecuación 2.70 mediante la integral de Duhamel se obtiene:

(2.72)

Donde: , es la deformación estática debido a la fuerza 0p .

La deformación normalizada o desplazamiento,

0st

u t

u, es graficado contra el

tiempo normalizado, n

t

T, en la figura 2.20c. En dicha figura, se ve que el sistema

0

1( )

t

n

n

u t p sen t dm

n

k

m

0 0

21 cos 1 cosst n st

n

tu t u t u

T

0

0st

pu

k


65

oscila en su periodo natural sobre una nueva posición de equilibrio, que se

desplaza a través de 0stu a partir de la posición de equilibrio original de 0u .

El máximo desplazamiento puede ser determinado diferenciando la ec. 2.72 y

ajustando u t a cero, lo que da 0n nsen t . Los valores 0t de t que satisfacen

esta condición son:

(2.73)

Donde j es un número entero impar; incluso, los números enteros corresponden a

los valores mínimos de ( )u t . El valor máximo 0u de ( )u t es dado por la ec. 2.74

evaluado en 0t t ; estos máximos son todos iguales:

(2.74)

En consecuencia, una fuerza aplicada repentinamente produce el doble de la

deformación que habría causado como una fuerza aplicada lentamente.

La respuesta de un sistema con amortiguamiento puede ser determinada al

sustituir la ec. 2.69 en la siguiente ecuación:

(2.75)

Y, evaluando la integral de Duhamel para obtener:

(2.76)

Para el análisis de sistemas amortiguados el método clásico puede ser más sencillo

que la integral de Duhamel. La ecuación diferencial a ser resuelta es:

(2.77)

0 02

n n

jt j ó t T

0 02 stu u

1

( ) n

tt

D

D o

u t p e sen t dm

0 2

1 cos s1

nt

st D Du t u e t en t

0mu cu ku p


66

Su solución complementaria está dada por la siguiente ecuación:

(2.78)

Donde las constantes A y B han de ser determinadas a partir de las condiciones

iniciales. Para un sistema partiendo del reposo, 0 0 0u u , y:

Sustituyendo estas constantes en la ec. 2.78, resulta el mismo resultado que la ec.

2.76. Cuando se aplica para sistemas no amortiguados este resultado se reduce a la

ecuación 2.72, ya presentada en la figura 2.20c.

La ec. 2.76 es graficada en la figura 2.20c para dos valores adicionales de la razón

de amortiguamiento. Con amortiguamiento el exceso más allá de la posición de

equilibrio estático es menor, y las oscilaciones sobre esta posición decaen con el

tiempo. La razón de amortiguamiento determina la cantidad de exceso y la razón a

la que las oscilaciones decaen. Con el tiempo, el sistema se instala a la deformación

estática. Esta es la deformación en estado estacionario.

2.2.1.2 Rampa.

En la figura 2.21, la fuerza aplicada p t

se incrementa linealmente con el tiempo.

Naturalmente, esto no se puede incrementar indefinidamente, pero nuestro interés

se limita a la duración de tiempo en la que p t

es todavía lo suficientemente

pequeño que la fuerza de resorte resultante está dentro del límite elástico lineal

del resorte.

Mientras que la ecuación de movimiento puede ser resuelta por cualquiera de

varios métodos, aquí se ilustra el uso de la integral de Duhamel para obtener la

solución. La fuerza aplicada:

(2.79)

cosnt

D Du t e A t Bsen t

0 0

21

p pA B

k k

0 ; 0,

0 ; 0

r

tp t p t

t

p t t


67

Es sustituida en la ec. 2.71 para obtener:

(2.80)

La integral es evaluada y simplificada para obtener:

(2.81)

Donde 0

0st

pu

k , la deformación estática debido a la fuerza 0p .

La ec. 2.81 es graficada en la figura 2.21c para 2.5r

n

t

T , donde la deformación

estática en cada instante de tiempo:

(2.82)

También se muestra; stu t varia con el tiempo en la misma manera como p t y

los dos difieren por el factor de escala 1

k. Se ve que el sistema oscila en su periodo

natural sobre la solución estática [37].

0

0

1( )

t

n

n r

pu t sen t d

m t

0 0

2 /

2 /

n n nst st

r n r n r r n

sen t T sen t Tt tu t u u

t t T t sen t T

0

( )st st

r

p t tu t u t

k t

Figura 2. 21 (a) Sistema de un grado de libertad; (b) fuerza rampa; (c) respuestas:

dinámica y estática.


68

Así pues, considerando que la solución de la ec. 2.68 es compleja debido a que la

entrada comprende a dos tipos de excitación: función escalón y función rampa; se

resolverá dicha ecuación para simular el comportamiento del autómovil ante un

terreno irregular empleando el programa Matlab® con su herramienta Simulink®,

la cual, es un entorno de diagrama de bloques para la simulación multi-dominio y

diseño basado en modelos.

A continuación, se explica de manera general, cómo se logra solucionar una

ecuación diferencial mediante una computadora analógica que, en este caso, es

Simulink®.

2.3 Solución de ecuaciones diferenciales mediante

computadoras analógicas.

Los sistemas dinámicos prácticos pueden describirse mediante ecuaciones

diferenciales de orden superior. La solución de tales ecuaciones generalmente es

un proceso que consume mucho tiempo. La computadora analógica resulta muy

útil para resolver ecuaciones diferenciales ya que ahorra tiempo, particularmente

cuando se necesitan valores diferentes de cada uno de los parámetros.

Otro rasgo característico de la computadora analógica es que puede usarse como

simulador. De hecho, la simulación de los sistemas físicos es una aplicación

importante de este tipo de computadora. Puede usarse para simular una

componente, varias componentes, o aún un sistema entero. Como simulador en

tiempo real, la computadora se alambra para simular una o varias componentes de

un sistema que aún no se ha construido. Al utilizar los traductores adecuados, la

computadora analógica se conecta al resto del sistema real ya que esté construido.

El sistema compuesto puede probarse entonces como una unidad y puede

evaluarse el funcionamiento del sistema, procedimiento que se usa ampliamente

en la industria. En particular, la computadora analógica ha resultado muy útil para

determinar los efectos de las variaciones de parámetros en el funcionamiento de

sistemas.


69

2.3.1 Amplificadores operacionales.

Los amplificadores operacionales, como se usan en las computadoras analógicas,

son capaces de realizar las funciones matemáticas de integración, suma e inversión

de signo. Un amplificador operacional es un amplificador de corriente directa (cd)

y tiene una ganancia muy alta, aproximadamente de 106 a 108. La corriente

alimentada a la entrada de un amplificador operacional es despreciable por su

pequeñez. El voltaje de salida de un amplificador operacional está limitado

usualmente a ±100 V (en computadoras de pequeña escala está limitado a ±10 V).

La figura 2.22 es un diagrama esquemático de un amplificador operacional. El

voltaje de salida 0e y el voltaje de entrada e están relacionados por:

Donde K = 106 a 108

2.3.2 Inversiones de signo.

La figura 2.23(a) es un diagrama esquemático de un inversor de signo. Un

amplificador operacional está en serie con una resistencia de entrada iR y está en

paralelo con una resistencia de realimentación 0R . Porque la impedancia interna

del amplificador es muy alta, esencialmente la corriente i es despreciable.

0e Ke

Figura 2. 22 Diagrama esquemático de un amplificador operacional.


70

Por lo tanto, por la ley de corrientes de Kirchhoff:

Donde:

En consecuencia, se tiene:

(2.83) Observando que 0e Ke . La ec. 2.83 puede escribirse como:

Puesto que K es un número muy grande (106 a 108) y 0/iR R es del orden de 0.1 a

10, despreciando los términos que incluyen a K en el lado derecho de esta última

ecuación, se encuentra:

(2.84)

0ii i

00

0

,ii

i

e e e ei i

R R

0

0

i

i

e e e e

R R

0

0 0

1 i ii

R Re e

K KR R

00 i

i

Re e

R

0 / 10iR R

Figura 2. 23 (a) Diagrama esquemático de un inversor de signo; (b) símbolo del

inversor de signo cuando 0 / 1iR R ; (c) símbolo del inversor de signo.


71

Nótese que la ec. 2.84 pudo obtenerse también simplemente sustituyendo 0e en

la ec. 2.83.

De la ec. 2.84, se ve que el voltaje de salida 0e es igual al de entrada ie multiplicado

por una constante ( 0

i

R

R ), la cual es negativa. Los valores de las resistencias

iR y 0R normalmente son 0.1 M , 0.25 M y 1 M . Así son posibles valores

diferentes de 0

i

R

R. En muchas computadoras analógicas, sin embargo, los valores de

0

i

R

Restán fijos en 1, 4 o 10.

La figura 2.22 (b) y (c) muestra los símbolos comúnmente usados para el inversor

de signo con 0 1i

R

R y 0 10

i

R

R , respectivamente.

2.3.3 Sumadores.

El diagrama esquemático de un sumador que adiciona n entradas se da en la figura

2.24(a). En el sumador, se usan resistores como impedancias de entrada y de

realimentación de un amplificador operacional. Este circuito es el mismo que el

inversor de signo. De hecho, cada sumador se puede usar como el inversor de

signo.


72

Observando que la corriente i es despreciable por su pequeñez, la ecuación para

este circuito se puede obtener como:

O bien:

Al sustituir 0e en esta última ecuación, tenemos:

(2.85)

1 2 0... ni i i i

01 2

1 2 0

... n

n

e e e ee e e e

R R R R

0 0 00 1 2

1 2

... n

n

R R Re e e e

R R R

Figura 2. 24 (a) Diagrama esquemático de un sumador; (b) símbolo del sumador.


73

Así, el circuito mostrado en la figura 2.24(a) realiza una adición o suma ponderada

de n entradas. (Nótese que el sumador cambia el signo algebraico). Si, por ejemplo,

0 1R M , 1 0.25R M , 2 1R M y 3 0.1R M , entonces la ec. 2.85 se hace:

El símbolo comúnmente usado para el sumador aparece en la figura 2.24(b).

2.3.4 Integradores.

La figura 2.25(a) es un diagrama esquemático del integrador. En este circuito se

usa un resistor como impedancia de entrada y un capacitor como impedancia de

realimentación.

La ecuación del circuito puede obtenerse de la siguiente forma. Observando que la

corriente i es despreciable por su pequeñez, tenemos:

Donde:

Por lo tanto,

0 1 2 34 10e e e e

0ii i

0

0 0,ii

i

d e ee ei i C

R dt

0

0i

i

d e ee eC

R dt


74

Sustituyendo 0e en esta última ecuación da:

O bien:

00

i

i

e deC

R dt

0

0

1i

i

dee

dt RC

Figura 2. 25 (a) Diagrama esquemático de un integrador; (b) símbolo del integrador.


75

Integrando ambos miembros de esta última ecuación de 0 a t, encontramos:

O bien:

(2.86)

La ec. 2.86 muestra que el circuito de la figura 2.25(a) es un integrador. El

integrador debe estar inicialmente polarizado por un voltaje de corriente directa

con el objeto de dar la condición inicial necesaria 0 0e .

La figura 2.25(b) muestra el símbolo comúnmente usado para el integrador. La

condición inicial 0 (0)e se indica en el círculo. Adviértase que en muchas

computadoras analógicas se usan resistores estándar de 0.1 MΩ, 0.25 MΩ, 1 MΩ y

un capacitor estándar de 1 µF. En tal caso, los valores de 0

1

iR C son iguales

solamente a 1, 4 o 10.

Como en la operación de suma, si se aplican dos señales de entrada al integrador

como se muestra en la figura 2.26, entonces la salida 0 ( )e t está constituida por la

suma de dos integrales y la condición inicial 0 (0)e , o sea:

(2.87)

0 0

0 0

10

t

i

i

e t e e t dtRC

0 0

0 0

10

t

i

i

e t e t dt eRC

0 1 2 0

1 0 2 00 0

1 10

t t

e t e t dt e t dt eR C R C


76

La ec. 2.87 puede encontrarse observando que:

Donde:

1 2 0i i i

0

0 0

d e ei C

dt

11

1

e ei

R

22

2

e ei

R

Figura 2. 26 (a) Diagrama esquemático de un integrador con dos entradas; (b)

diagrama simplificado.


77

2.3.5 Multiplicación por una fracción.

La multiplicación de ie por una constante , donde 0 1 puede efectuarse

mediante el uso de un potenciómetro (ver figura 2.27a). La salida 0e es:

La figura 2.27b ilustra el símbolo comúnmente usado para un potenciómetro.

00 i

i

Re e

R

Figura 2. 27 (a) Potenciómetro; (b) símbolo del potenciómetro.


78

2.3.6 Soluciones de ecuaciones diferenciales.

Al resolver ecuaciones diferenciales por medio de una computadora analógica,

siempre integramos derivadas más bien que diferenciarlas. La razón de este hecho

es el ruido falso que está siempre presente en el sistema de la computadora

analógica. La diferenciación acentúa el efecto del ruido, en tanto que la integración

lo suaviza y, por lo tanto, las computadoras analógicas usan la integración más que

la diferenciación como un operador básico.

Nótese que con el objeto de resolver ecuaciones diferenciales lineales, invariantes

en el tiempo como:

Se necesitan las componentes enlistadas abajo:

1. El integrador.

2. El sumador.

3. El inversor de signo.

4. El potenciómetro.

5. La fuente de voltaje de cd.

Procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales.

Si se considera la ecuación diferencial:

(2.88)

Lo primero que se debe de hacer para construir un diagrama de computadora

consiste en suponer que se dispone de la derivada de mayor orden. Luego, se debe

resolver la ecuación diferencial para esta misma derivada. En la ecuación

diferencial presente:

( ) ( 1)

1 1... ( )n n

n nx a x a x a x p t

10 16 0, (0) 0, (0) 80x x x x x

10 16x x x


79

Tomando en cuenta que la variable x se puede obtener al integrar x y, en el

caso de x , se puede obtener al integrar x ; con esto, se producen las señales

10x y 16x , e igualar el resultado con x . Posteriormente, se fijan las

condiciones iniciales en las salidas de los integradores. En la figura 2.28, muestra

un diagrama de computadora del sistema definido en la ec. 2.88; además, en esa

misma figura se muestran las condiciones iniciales en forma de círculos.

Cabe recordar, que el cambio de signo está asociado con cada amplificador

operacional; de tal manera que, si el número de amplificadores operacionales

(integradores, sumadores e inversores de signo) en una trayectoria cerrada es par,

los voltajes de salida se incrementarán hasta que se saturen. Para eliminar

cualquier posibilidad de operación inestable, el número de amplificadores

operacionales en cualquier trayectoria cerrada debe ser una cantidad impar. En la

figura 2.28, se observa que la trayectoria cerrada interna tiene un amplificador

operacional y la trayectoria cerrada externa tiene tres.

Generación de una función exponencial.

En este punto, se demuestra como producir una función exponencial

0.5( ) 20 tx t e . Así pues, con el objeto de construir el diagrama de computadora

analógica, se obtiene primero la ecuación diferencial correspondiente, la ecuación

diferencial de más bajo orden cuya solución es 0.5( ) 20 tx t e .

Figura 2. 28 Diagrama de computadora analógica.


80

Al diferenciar ( )x t con respecto a t , tenemos que:

Por tanto, la ecuación diferencial requerida es:

Resolviendo esta ecuación para x da:

Suponiendo que esté disponible x , x puede obtenerse integrando x una

vez. La figura 2.29, muestra un diagrama de computadora analógica para generar

la función exponencial dada.

Generación de una función senoidal.

En este punto, lo que se desea es generar una señal senoidal, tal como 10 3sen t .

Con el objeto de construir el diagrama de computadora analógica, se obtiene la

ecuación diferencial de más bajo orden cuya solución se considera: 10 3sen t .

Entonces:

Por tal motivo, la ecuación diferencial requerida es:

0.510 tx e

0.5 0, (0) 20x x x

0.5x x

( ) 10 3x t sen t

( ) 90 3x t sen t

9 0, (0) 0, (0) 30x x x x



81

Resolviendo esta ecuación diferencial para la derivada de mayor orden, tenemos:

Si se supone que esté disponible x , x puede obtenerse integrando dos veces a x .

En la figura 2.30, se muestra un diagrama de computadora de este tipo de sistema.

Obsérvese que las salidas del primero y el segundo integrador, oscilan entre 30 y -

30 V y, entre 10 y -10 V. La salida del inverso de signo oscila entre 90 y -90 V. Con

el objeto de tener buena exactitud, es deseable oscilar el voltaje de salida de

cualquier amplificador entre 80 y 90 V. Este paso puede efectuarse utilizando los

factores de escala de magnitud apropiada, los cuales, se explican a continuación.

Factor de escala de tiempo.

Al resolver un sistema de ecuación diferencial, el tiempo de solución real puede ser

tan rápido que el registrador sea incapaz de seguir la respuesta con exactitud. En

fenómenos físicos que tienen lugar con semejante rapidez, la velocidad a la cual

son simulados por la computadora debe disminuirse. Por otra parte, en algunos

casos, la solución real puede tomar un tiempo excesivamente largo. Para evitar

tales inconvenientes, se necesita la técnica conocida como técnica de escalamiento

en tiempo.

El escalamiento en tiempo relaciona la variable independiente del sistema físico

con la variable independiente de la computadora analógica. La computadora puede

llevar a cabo la corrida más aprisa o más despacio que en "tiempo real" de ser

conveniente o necesario. Nótese que si se van a usar partes reales del sistema con

la computadora; esto es, si la computadora se usa para simular una o varias

9x x



82

componentes del sistema real y está conectada directamente al hardware del

sistema real, la escala de tiempo debe ser de uno a uno. En otras palabras, la

computadora debe trabajar en tiempo real.

Considerando la siguiente ecuación que relaciona el tiempo real t en segundos

con el tiempo de la computadora (o tiempo de la máquina) en segundos:

Donde es el factor de escala de tiempo. Si se escoge como 0.1, entonces 10

segundos de tiempo real equivalen a 1 segundo de computadora. Esto significa que

si la respuesta real toma 10 segundos de tiempo real para completarse, entonces la

respuesta se completa en 1 segundo en la computadora. Recíprocamente, si se

escoge como 10, entonces 1 segundo de tiempo real es equivalente a 10 segundos

de tiempo de computadora. Por lo tanto, con el objeto de acelerar (retardar) la

respuesta de la computadora, debe escogerse menor que (mayor que) la unidad.

Una manera de esclarecer lo anterior se logra al considerar la ecuación diferencial:

(2.89)

En este sistema, puesto que la frecuencia natural no amortiguada n es igual a 10

rad/s y el factor de amortiguamiento relativo es igual a 0.5, el tiempo de

asentamiento st es:

La respuesta se establece dentro del 2% del valor final en 0.8 segundos.

Supóngase que deseamos retardar la respuesta de modo que el tiempo de

asentamiento sea de 8 segundos. Podemos hacerlo escogiendo un factor de escala

de tiempo de 10. Convirtamos la variable independiente t en . Puesto que

t , obtenemos:

t

2

210 100 0, (0) 10, (0) 15

d x dxx x x

dt dt

4 4

0.80.5 10

s

n

t s


83

Con esto último, la ec. 2.89 se vuelve:

O bien:

Para retardar la solución mediante un factor de 10, sustituimos 10 en esta

última ecuación. La ecuación de la computadora es entonces:

Las condiciones iniciales se transforman en:

Factores de escala magnitud.

La magnitud del voltaje de salida del amplificador depende en gran medida de la

exactitud del circuito. Cuando alambramos el circuito, el voltaje debe hacerse tan

grande como sea posible dentro de los límites de la máquina. Los límites son

usualmente ±100 V. (En ciertas computadoras analógicas de pequeña escala los

límites son ±10 V.)

Después de la selección de un factor de escala de tiempo conveniente, debe darse

atención a la escala de magnitudes. Puesto que la computadora manipula voltajes,

es necesario transformar las ecuaciones del sistema real, las cuales pueden

involucrar, por ejemplo: presión, temperatura, desplazamiento y cantidades

2 22

2 2

dx dx d dx

dt d dt d

d x d x

dt d

22

210 100 0

d x dxx

d d

2

2 2

10 1000

d x dxx

d d

2

20

d x dxx

d d

0 0

1 1(0) 10, 15 1.5

10t

dx dxx

d dt


84

similares, en ecuaciones de voltaje análogas. Esto es, en un sistema de presión,

debemos decidir cuántos newtons por metro cuadrado del sistema real deben ser

representados por un volt en la computadora. Los factores de escala de magnitud

relacionan los voltajes de salida de los amplificadores con las correspondientes

cantidades fisicas.

Al escoger factores de escala de magnitud, deben tenerse presentes los siguientes

requisitos. El voltaje de salida de cualquier amplificador no debe exceder los

límites del amplificador (usualmente ±100 V) si se va a evitar la saturación. La

saturación en el voltaje causará errores en la solución. Y con el objeto de eliminar

el efecto del ruido, el voltaje máximo de cualquier amplificador no debe ser muy

pequeño. Para asegurar la exactitud apropiada, es preferible que la máxima

oscilación en el voltaje de salida de cualquier amplificador esté alrededor de ±80

hasta ±90 V. A este respecto, la selección apropiada de los factores de escala de

magnitud es de gran importancia. (Nótese que en la mayor parte de las

computadoras analógicas algunos errores son toscamente constantes. Para tales

errores las salidas grandes resultan en errores de bajo porcentaje). Esta magnitud

del error puede ser adecuada, puesto que las suposiciones de simplificación en el

análisis de ingeniería a menudo involucran aun mayor exactitud.

Procedimiento para determinar factores de escala magnitud.

A causa de que el cambio en escala de tiempo puede alterar las derivadas de

tiempo de las variables dependientes, el factor de escala de tiempo debe decidirse

antes de determinar los factores de escala de magnitud. Si la velocidad de las

soluciones del sistema real está dentro del alcance razonable de la computadora, el

dar escala de tiempo puede no ser necesario. El problema se puede correr en

tiempo real.

El primer paso para determinar los factores de escala de magnitud consiste en

estimar las magnitudes máximas de las variables que puedan ocurrir en el sistema

físico. En la práctica, las escalas de las variables usualmente son desconocidas

antes de obtener la solución. Por lo tanto, se necesita cierta cantidad de tanteos


85

para establecer los factores de escala de magnitud apropiados. Tales estimaciones

pueden provenir de un conocimiento del sistema real, de cálculos burdos, de una

conjetura pura o de una combinación de éstos. (En muchos casos, las estimaciones

se hacen despreciando el amortiguamiento en el sistema). Excepto en problemas

comunes y corrientes, puede haber gran necesidad de conjeturas.

Una vez encontradas las estimaciones iniciales de las magnitudes máximas de las

variables, se pueden determinar los factores de escala de magnitud. Los valores así

determinados pueden probarse para ver si son los apropiados mediante la corrida

del problema con los factores de escala de magnitud supuestos y observando si los

voltajes son demasiado grandes o demasiado pequeños. Si los factores de escala de

magnitud no son los apropiados, éstos pueden variarse hasta obtener resultados

satisfactorios [38].

2.4 Procedimiento para construir diagrama de bloque en

Matlab Simulink para obtener la respuesta .

Considerando que ya se tiene una idea general acerca de cómo solucionar una

ecuación diferencial mediante una computadora analógica, se presenta a

continuación en forma matemática la base para construir un diagrama de bloques

en Matlab Simulink para obtener la respuesta de un sistema: masa – resorte –

amortiguador.

Así pues, despejando el término masa por aceleración de las ecuaciones 2.59 y

2.60, se tiene que:

2.90

2.91

Ahora bien, si se despeja el término aceleración, se obtiene:

2.92

( ) ( )s s s s u s s um x k x x c x x

( ) ( ) ( )u u s s u s s u u um x k x x c x x k x y

( ) ( )s ss s u s u

s s

k cx x x x x

m m


86

2.93

Si se considera para las ecuaciones 2.92 y 2.93, lo siguiente:

2.94

2.95

2.96

2.97

2.98

Entonces, sustituyendo las ecuaciones 2.94, 2.95, 2.96, 2.97 y 2.98 en las

ecuaciones 2.92 y 2.93, se obtiene:

2.99

2.100

( ) ( ) ( )s s uu s u s u u

u u u

k c kx x x x x x y

m m m

s

s

ka

m

s

s

cb

m

s

u

kc

m

u

u

ke

m

s

u

cd

m

s s u s ux ax ax bx bx

u s u s u ux cx cx dx dx ex ey


87

2.5 Análisis en Matlab® Simulink® de la Suspensión Pasiva

típica para un autómovil.

Antes de construir el diagrama de bloques, es muy importante recordar de [38] lo

siguiente: con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de

control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada

escalón unitario, puesto que ésta es fácil de generar y es suficientemente drástica.

Por tanto, si se conoce la respuesta a una entrada escalón, es matemáticamente

posible calcular la respuesta para cualquier entrada.

2.5.1 Diagrama de bloques en Matlab® Simulink® de la Suspensión Pasiva típica

para un autómovil.


88

2.5.2 Respuesta en Matlab® Simulink® de Suspensión Pasiva típica para un

autómovil considerando una función de excitación de tipo: ESCALÓN.

Capítulo III. Análisis numérico de la

placa de fijación mediante M.E.F.

Capítulo III. Análisis Numérico de la placa de fijación mediante M.E.F.

90

3.1 El Método del Elemento Finito (MEF)

3.1.1 Definición.

Los diseños de ingeniería exigen en la actualidad que éstos cumplan condiciones

de operación cada vez más severas, de ahí la necesidad de contar con métodos de

cálculo más exactos y que involucren el mayor número de parámetros, por ello, el

método del elemento finito se ha convertido en una herramienta de cálculo muy

importante.

Este método es un procedimiento numérico que puede ser usado para obtener

soluciones en una amplia gama de problemas de ingeniería, implicando análisis

estructural, transferencia de calor, electromagnetismo, transporte de masa y flujo

de fluidos. Con los avances de la tecnología de las computadoras y de los sistemas

CAD (Computer Aidded Design, Diseño Asistido por Computadora) y CAE

(Computer Aidded Engineering, Ingeniería Asistida por Computadora), pueden

modelarse problemas complejos con relativa facilidad. En una computadora

pueden probarse varias configuraciones y simular el comportamiento más

adecuado del fenómeno.

Este método aproxima valores de las variables desconocidas en números discretos

en el medio continuo. De esta forma, el proceso de modelar un cuerpo dividiéndolo

en un sistema equivalente de pequeños cuerpos o unidades (elementos finitos)

interconectados en puntos en común (nodos) y/o estableciendo sus fronteras y/o

interconexiones externas, es denominado discretización.

En el método del elemento finito, en vez de resolver el problema para cada cuerpo

entero en una sola operación, se formulan ecuaciones para cada elemento,

combinándose al final para obtener la solución del cuerpo entero. En problemas

estructurales es común determinar los desplazamientos de cada nodo para

calcular las deformaciones y por último los esfuerzos.


91

3.1.2 Problemas de ingeniería.

En general, los problemas de ingeniería son modelos matemáticos de fenómenos

físicos. Los modelos matemáticos son ecuaciones diferenciales con un sistema de

correspondientes condiciones iniciales y de frontera. Esta determinación de

ecuaciones representa el balance de masa, fuerza o energía. Cuando es posible, la

solución exacta de estas ecuaciones proporciona la representación detallada del

comportamiento de un sistema bajo ciertas condiciones dadas.

Las soluciones analíticas están compuestas de dos partes, una parte homogénea y

otra parte particular. A su vez, cualquier problema de ingeniería dado tiene dos

sistemas de parámetros que afectan el comportamiento del sistema. Primero, están

los parámetros que proporcionan información respecto al comportamiento natural

del mismo. Estos parámetros incluyen propiedades tales como módulo de

elasticidad, conductividad térmica y viscosidad. Por otro lado, se tienen

parámetros que producen alteraciones del sistema, ejemplo de esto son los valores

que incluyen fuerzas externas, momentos, diferencial de temperatura a través de la

media, diferenciales de presión y flujo de fluidos.

Es importante entender el papel que juegan estos parámetros en el modelo del

elemento finito en términos de sus respectivas funciones en matrices de rigidez o

conductividad y matrices de carga o fuerza.

Una vez comprendidos estos conceptos, será posible utilizar con mayor efectividad

las características con que cuenta el MEF.

3.1.3 Métodos numéricos.

Existen algunos problemas prácticos de ingeniería para los cuales no es posible

obtener soluciones exactas. Esta incapacidad de obtener una solución exacta puede

ser atribuida a la compleja naturaleza de las ecuaciones diferenciales o las

dificultades que surgen de tratar con las condiciones iniciales y de frontera. Para


92

tratar con tales problemas se recurre a aproximaciones numéricas. En contraste

con las soluciones analíticas que muestran el comportamiento exacto de un

sistema en cualquier punto del mismo, las soluciones numéricas aproximan

resultados precisos sólo en un punto llamado nodo.

El primer paso de cualquier sistema numérico es la discretización. Este proceso

consiste en dividir el dominio de estudio en un número finito de subregiones y

nodos. Hay dos clases comunes de métodos numéricos:

Método de las diferencias finitas.

Método del elemento finito (MEF).

El método del elemento finito usa formulaciones integrales más que ecuaciones

diferenciales para crear un sistema de ecuaciones algebraicas. Además, una

función de aproximación continua es adoptada para representar la solución de un

elemento.

La solución total es después generada por la conexión o ensamble de las soluciones

individuales.

Durante el desarrollo del MEF hasta alcanzar el funcionamiento que tiene en la

actualidad, se han hecho diversas versiones del mismo con igual cantidad de

nombres y aplicaciones. Cada uno de ellos implicó un avance en la forma de

resolución de problemas ingenieriles. Los siguientes párrafos tratan un poco de

esto.

3.1.4 Antecedentes históricos.

En 1956, M. J. Clough presentó por primera vez este método bajo la formulación de

la matriz de rigidez, basado en los desplazamientos del sistema para un elemento

triangular. El término "Elemento Finito" fue introducido por Clough en 1960 en su

trabajo "The Finite Element Method in Plane Stress Analysis".


93

El primer código importante de uso general fue NASTRAN desarrollado para la

NASA por la corporación MacNeal-Schwendler y la corporación de las ciencias de la

computación a mediados de 1960. Teniendo sus orígenes para la industria

aeroespacial, el método fue aplicado para otras áreas de análisis estructural en

ingeniería mecánica y civil.

El código ANSYS tuvo sus orígenes en la industria nuclear y fue introducido en

1970 por Swanson, análisis de sistemas. ANSYS es una programa de computadora

de propósito general del elemento finito que contiene arriba de 100 000 líneas de

código, es capaz de realizar análisis estáticos, dinámicos, transferencia de calor,

flujo de fluidos y electromagnetismo. ANSYS es una poderosa e imprescindible

herramienta de ingeniería que puede ser usada para resolver una amplia variedad

de problemas [39].

Abaqus FEA (antes ABAQUS) es un paquete de software para el análisis de

elementos finitos y de ingeniería asistida por ordenador, lanzado originalmente en

1978. El nombre y el logotipo de este software se basan en la herramienta de

cálculo ábaco. La suite de productos Abaqus consta de cuatro productos de

software principales:

Abaqus / CAE, o "Entorno Abaqus Completo" (una expresión en la que sus siglas

tienen una obvia raíz en Ingeniería Asistida por Computadora, que en inglés es:

Computer Aided Engineering). Se trata de una aplicación de software que se utiliza

tanto para el modelado como para el análisis de componentes mecánicos y

ensambles (pre-procesamiento), así como, para visualizar el resultado del análisis

de elementos finitos. El subconjunto Abaqus/CAE incluyendo sólo el módulo de

post-procesamiento puede ser iniciado de forma independiente en el producto

Abaqus/Viewer.

Abaqus / CFD, un programa de Dinámica de Fluidos Computacional (CFD, por sus

siglas en inglés) que proporciona capacidades avanzadas con un amplio soporte

para pre-procesamiento y post-procesamiento previsto en Abaqus/CAE.


94

Abaqus/Standard, un analizador de Elementos-Finitos de propósito general que

emplea esquema de integración implícita (tradicional).

Abaqus/Explicit, un analizador de Elementos-Finitos de propósito especial que

utiliza esquema de integración explícita para resolver muy bien sistemas no

lineales con muchos contactos complejos bajo cargas transitorias.

Los productos Abaqus usan el lenguaje de escritura: Python, de código abierto,

para scripting y personalización. Abaqus/CAE utiliza el kit de herramientas: Fox,

para el desarrollo de Interfaz Gráfica de Usuario (GUI, por sus siglas en inglés)

[40].

LS-DYNA es un programa de computadora que su origen proviene del programa de

Análisis de Elemento Finito en tres dimensiones: DYNA3D, desarrollado por el Dr.

John O. Hallquist en el Laboratorio Nacional Lawrence Livermore (LLNL, por sus

siglas en inglés) en 1976. DYNA3D fue creado con el fin de simular el impacto de la

Opción de Fusión Completa (FUFO, por sus siglas en inglés) o una bomba nuclear

para la versión de baja altitud (velocidad de impacto de aproximadamente 40

m/s). En ese momento, no se dispone de algún programa en 3D para la simulación

de impacto y los programas en dos dimensiones eran inadecuados. Mientras la

bomba FUFO fue cancelada, el desarrollo de DYNA3D continuó. DYNA3D utiliza el

tiempo de integración explícita para estudiar los problemas dinámicos no lineales,

con las aplicaciones originales son en su mayoría el análisis de estrés de las

estructuras sometidas a diversos tipos de impactos. El programa fue inicialmente

muy simple en gran parte debido a la falta de recursos computacionales adecuados

en el momento. Una versión en 2D del mismo programa fue desarrollado al mismo

tiempo. En 1978 el código fuente DYNA3D fue publicado en el dominio público sin

restricciones después de la petición de Francia.

En 1979 fue realizada una nueva versión de DYNA3D, la cual, fue programada para

un rendimiento óptimo en las supercomputadoras CRAY-1. Esta nueva versión

contenía un mejorado tratamiento de la interfaz de deslizamiento, que era un


95

orden de magnitud más rápido que el tratamiento de contacto anterior. Esta

versión también elimina los elementos sólidos de orden estructural y superior de

la primera versión, aunque incluyendo la integración de elemento racional del

método de diferencia integral desarrollado en 1974.

La versión de 1982 incluyó nueve modelos de materiales adicionales que

permitieron nuevas simulaciones, tales como explosivos-estructura y las

interacciones suelo-estructura. La versión también permite el análisis de la

respuesta estructural debido a los proyectiles penetrantes. Las mejoras en 1982

impulsaron aún más la velocidad de ejecución en un 10 por ciento. Hallquist fue el

único desarrollador de DYNA3D hasta 1984, cuando fue acompañado por el Dr.

David J. Benson. En 1986, se añadieron muchas capacidades. Las características

adicionales incluyen vigas, láminas, cuerpos rígidos, contacto superficial simple,

fricción de interfaz, resortes y amortiguadores discretos, tratamientos opcionales

de Hourglass, integración volumen exacto opcional y compatibilidad con los

sistemas operativos: VAX/VMS, IBM, UNIX, COS. En este punto, DYNA3D se

convirtió en el primer código en tener un algoritmo de contacto de superficie solo

en general.

La simulación de conformado de metales y capacidades de análisis de compuestos

fueron añadidos para DYNA3D en 1987. Esta versión incluye cambios en los

elementos laminares, y relajación dinámica. La versión final de DYNA3D en 1988

incluía a varios más elementos y capacidades.

Para 1988 el Laboratorio Nacional Lawrence Livermore (LLNL, por sus siglas en

inglés) había enviado aproximadamente 600 cintas que contenían el software de

simulación. Hallquist había consultado a cerca de 60 empresas y organizaciones en

el uso de DYNA3D. Como resultado, a finales de 1988 se funda la Corporación de

Tecnología de Software Livermore (LSTC, por sus siglas en inglés) para continuar

el desarrollo de DYNA3D de una manera mucho más específica, lo que resulta en

LS-DYNA3D (posteriormente reducido a LS-DYNA). Así pues, las realizaciones y el

apoyo a DYNA3D fue detenido. Desde entonces, LSTC ha ampliado en gran medida


96

las capacidades de LS-DYNA en un intento de crear una herramienta universal para

la mayoría de las necesidades de simulación [41].

Altair Engineering es un producto de diseño y desarrollo, programa de ingeniería y

una empresa de programa de computación en la nube (Cloud Computing). Altair

fue fundada por James R. Scapa, George Cristo, y Mark Kistner en 1985. Durante su

historia, ha tenido varios lugares cerca de Detroit, Michigan, E.U.A. Actualmente

tiene su sede en Troy, Michigan, con oficinas regionales en toda América, Europa y

Asia. Altair Engineering es el creador de HyperWorks, una suite de productos de

Ingeniería Asistida por Computadora (CAE, por sus siglas en inglés).

En 1990, HyperMesh fue puesto en libertad.

En 1994, Altair recibe de IndustryWeek’s el premio "Tecnología del Año" por su

producto: OptiStruct.

Durante la crisis económica de 2008, Altair inició un programa para ofrecer

formación gratuita en su producto para desempleados en Michigan.

En septiembre de 2010, Altair compró unos 136,000 pies cuadrados (12,600 m2)

del Anexo Fondo de Troy, para inicialmente albergar a la subsidiaria de Altair:

ilumisys, Inc. Altair también adquirió SimLab en octubre de 2011.

El 2011 se inició con otra adquisición, AcuSim, con su solucionador de Dinámica de

Fluidos Computacional (CFD, por sus siglas en inglés): AcuSolve. En septiembre del

2011, Altair ProductDesign presentó BUSolution, un autobús híbrido hidráulico.

Las principales ofertas de productos de la división de Programa Comercial de

Altair es su línea de programa: HyperWorks, incluyendo:


97

OptiStruct – programa de optimización.

RADIOSS – Solucionador de análisis de elemento finito (FEA, por sus siglas

en inglés) tanto para casos lineales como no-lineales.

MotionView – Solucionador-neutral, pre-procesador multicuerpo o

multiparte.

MotionSolve – Solucionador multicuerpo o multiparte.

HyperXtrude – Solucionador de extrusión de metal y polímero.

HyperForm – Solucionador de conformado de metal.

HyperMesh, HyperCrash, Simlab, HyperView, HyperGraph - Pre y Post

procesador de Ingeniería Asistida por Computadora (CAE, por sus siglas en

inglés).

HyperStudy – Diseño de experimentos y optimización de diseño multi-

disciplinario.

HyperMath – Entorno de análisis matemático.

AcuSolve –Solucionador de Dinámica de Fluidos Computacional (CFD, por

sus siglas en inglés) basado en Elemento Finito.

Los datos de Ingeniería Asistida por Computadora (CAE, por sus siglas en inglés) y

soluciones de gestión de procesos:

Administrador de datos de Altair.

Administrador de proceso de Altair.

La división Enterprise Computing desarrolla y gestiona:

PBS Professional software, developed from OpenPBS.

Subsidiarias de Ingeniería Altair:

ilumisys - produce productos de iluminación LED

Compañías propias de Altair:

solidThinking – Programa de diseño industrial.

HiQube – Programa inteligente de negocios.

Altair ProductDesign - Consultoría innovación de productos [42].

http://en.wikipedia.org/wiki/RADIOSS

http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_analysis

http://en.wikipedia.org/wiki/Portable_Batch_System

http://en.wikipedia.org/wiki/SolidThinking


98

3.1.5 Pasos básicos en el método del elemento finito.

Independientemente del nombre comercial con el que se conozca, los pasos

básicos en el MEF son los siguientes:

Fase de preprocesamiento

1. Creación de dominio de estudio. Esto es subdividir el dominio de estudio

en nodos y elementos.

2. Adoptar una función de forma para representar el comportamiento físico

del elemento. Esto es, una aproximación de función continua es supuesta

para representar la solución de un elemento.

3. Desarrollar ecuaciones para un elemento.

4. Ensamblar los elementos para presentar un problema entero. Construir la

matriz global de rigidez.

5. Aplicar condiciones de frontera y condiciones iniciales de frontera.

Fase de solución

6. Resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales o no lineales

simultáneamente, para obtener resultados nodales como valores de

desplazamiento para diferentes nodos.

Fase de postprocesamiento

7. Obtener otra información importante. Este punto puede estarse interesado

en valores de esfuerzo principales, entre otros.

3.1.6 Proceso de trabajo del método del elemento finito.

En un problema del medio continuo de cualquier dimensión, la variable bajo

consideración (ya sea presión, temperatura, desplazamiento, esfuerzo o alguna

otra variable) tiene una infinidad de valores, ya que es una función de cada uno de

los puntos que forman el cuerpo o dominio de estudio, cosa que ya se ha manejado.

Como consecuencia de esto, el problema tiene un número finito de incógnitas, y las


99

funciones de aproximación (también llamadas funciones de interpolación) son

definidas en términos de puntos nodales.

El comportamiento del campo de la variable respecto de los elementos viene dado

por los valores nodales del campo de la variable y las funciones de interpolación

para los elementos, siendo dichos valores, las nuevas incógnitas en el campo de la

variable. Una vez que se resuelvan las incógnitas, las funciones de interpolación

definen la variable a través del ensamble de los elementos.

Naturalmente, la exactitud de la solución depende tanto del tipo de elemento,

como de la calidad de la malla, así como de las funciones de interpolación

empleadas. No se deben elegir funciones arbitrariamente, porque no se cumplirían

las condiciones de compatibilidad requeridas; por lo que normalmente se eligen

funciones de interpolación de modo que la variable o sus derivadas sean continuas

a través de los límites de los elementos adyacentes.

Ya que este método es un procedimiento ordenado, puede resumirse a grandes

rasgos como sigue:

1. Discretización del dominio: el primer paso consiste en dividir el dominio

estudio en elementos. Puede emplearse una amplia variedad de formas de

elementos y, teniendo suficiente cuidado, se pueden emplear diferentes

tipos de elementos en la misma discretización. En realidad cuando se

analiza una estructura que tiene diferentes tipos de componentes, como

son placas y vigas no sólo es deseable sino necesario emplear diferentes

tipos de elementos en el mismo dominio.

2. Selección de las funciones de interpolación: este paso consiste en asignar

los nodos a cada elemento y elegir el tipo de función de interpolación para

representar el cambio de la variable sobre el elemento. La variable puede

ser una escala, un vector, o un tensor de orden superior. La magnitud de la

variable, así como la magnitud de sus derivadas, pueden ser las incógnitas

existentes en cada nodo.


100

3. Definición de las propiedades de los elementos: una vez que se han

establecido los elementos y sus funciones de interpolación, se está en la

posibilidad de determinar las ecuaciones matriciales que expresan las

propiedades de cada uno de los elementos. Para realizar esto se puede

emplear alguna de las cuatro formulaciones posibles del método del

elemento finito: la formulación directa, la formulación variacional, la

formulación de los pesos residuales, o la formulación del balance de

energía.

La formulación variacional es generalmente la más conveniente, sin

embargo, la selección de esta depende completamente de la naturaleza del

problema.

4. Ensamble de las propiedades de los elementos para obtener las ecuaciones

del sistema, considerando las condiciones de frontera del espécimen: se

requiere combinar las ecuaciones matriciales expresando el

comportamiento del dominio entero o sistema. Las ecuaciones matriciales

para el sistema tienen la misma forma que las ecuaciones para un solo

elemento excepto que estas contienen muchos más términos porque

incluyen a todos los nodos.

La base para realizar el procedimiento de ensamble se fundamenta en el

hecho de que en un nodo, el valor de la variable es el mismo para cada

elemento que comparte dicho nodo.

NOTA: Antes de que las ecuaciones del sistema estén listas para ser

solucionadas, deberán modificarse para introducir las condiciones de

frontera del problema. Si no se representan de una forma adecuada las

condiciones de frontera, los resultados obtenidos serán poco confiables.

5. Resolución del sistema de ecuaciones: el proceso de ensamble del paso

anterior estableció una serie de ecuaciones simultáneas, las cuales al


101

resolverse se obtienen los valores nodales de la variable. Si el sistema de

ecuaciones es lineal, se pueden emplear técnicas como son la Eliminación

de Gauss-Seidel, o la descomposición de Cholesky; si las ecuaciones son no-

lineales, para su solución puede emplearse el método de Newton-Raphson,

el método de sustituciones sucesivas o algún otro método iterativo capaz

de resolver dicho sistema de ecuaciones.

3.1.7 Datos básicos de entrada.

Para formar el modelo del elemento finito, el ingeniero debe estar muy relacionado

con los siguientes tres puntos:

1. El comportamiento básico de la estructura a ser modelada.

2. Los datos de entrada requeridos por el programa que se usará.

3. Una interpretación de las técnicas de modelado para hacer el modelo más

efectivo.

Cada programa de elemento finito requiere certeza en los datos de entrada, estos

incluyen:

1. Definición de la geometría de la estructura por nodo y datos del elemento.

2. Especificación de las propiedades del material.

3. Especificación de las constantes de desplazamiento.

Una vez corroborados los valores que se han de ingresar al programa, así como los

temas que esto implica, es posible definir la geometría del cuerpo, que es otro de

los puntos relevantes del correcto uso del MEF; si esto no es bien realizado, los

errores serán considerablemente importantes.


102

3.1.8 Definición de la geometría.

La geometría de la estructura es especificada en términos de nodos y elementos de

entrada; los nodos son definidos en términos de sus coordenadas, y los elementos,

que conforman la estructura, son definidos por los nodos los cuales son ingresados

por su número de nodo y coordenadas.

La disponibilidad de las opciones del sistema de coordenadas depende del

programa individual. Por tanto, es necesario destacar que el método del elemento

finito es no dimensional y todas las dimensiones y valores deben ser revisados por

el usuario, sin embargo, cualquier unidad de medida puede ser usada.

Cuando la geometría ha sido correctamente dimensionada y conformada, resta

saber, como parte de los datos básicos de entrada, los valores de ciertas

propiedades del material, las cuales son importantes por la influencia que tienen

en el comportamiento mecánico del elemento de estudio.

3.1.9 Propiedades del material.

Para análisis de esfuerzo estático, las propiedades del material requeridas son el

módulo de Young y la relación de Poisson, porque sólo la rigidez de la estructura

necesita ser calculada.

Típicamente las unidades para el sistema internacional a utilizar pueden ser:

Longitud (l), metro (m).

Tiempo (t), segundo (s).

Fuerza (F), newton (N).

Masa (m), kilogramo (kg).

Cierto tipo de elementos, como plate y elementos beam requieren datos especiales

como área de momentos de inercia. Por ejemplo:


103

Elemento plate:

o Módulo de elasticidad o de Young (E), GigaPascal (GPa).

o Coeficiente de Poisson (ν).

o Densidad (ρ), kg/m3.

o Módulo de elasticidad en cortante (G), GigaPascal (GPa).

o Espesor, milímetro (mm).

Elemento beam:

Módulo de elasticidad o de Young (E), GigaPascal (GPa).

Coeficiente de Poisson (ν).

Densidad (ρ), kg/m3.

Módulo de elasticidad en cortante (G), GigaPascal (GPa).

Área de sección transversal (A), mm2.

Área de momentos de inercia alrededor de dos ejes locales y la orientación de

estos ejes respecto a los ejes globales (A), mm2.

3.1.10 Constantes de desplazamiento.

Los desplazamientos deben ser constantes en uno o más puntos en el modelo, y en

casos donde pueda ser posible, todos los grados de libertad deben ser constantes al

menos en un punto, para prevenir el movimiento de cuerpo rígido del modelo, con

el fin de equilibrar la entrada de fuerzas externas en el mismo.

Donde estas no son fuerzas o momentos externos, es aconsejable tener constantes

al menos en un punto.

3.1.11 Fuerzas aplicadas.

Los valores utilizados como constantes son importantes por el orden que

imprimen a los elementos durante el desarrollo del fenómeno de aplicación de

cargas y el comportamiento que el elemento de estudio tiene respecto a ello. Sin

embargo, la actuación de las fuerzas es fundamental ya que, no solamente se trata

de magnitudes de carga sino de otros factores tales como dirección, sentido,


104

puntos de aplicación, tipos de carga, etc. Por tanto, ahondar un poco sobre el

particular permite otra vez, un mejor aprovechamiento de este método de análisis

numérico.

Así pues, las fuerzas aplicadas pueden ser categorizadas en los siguientes tres

grupos:

A. Fuerzas puntuales aplicadas en los nodos.

B. Fuerzas distribuidas, tipo presión.

C. Fuerzas de cuerpo, tipo centrifuga y magnética.

De cualquier forma, como las fuerzas son ingresadas al programa, todas ellas son

convertidas en puntos de carga aplicadas en los nodos.

Fuerzas nodales directas.

Las fuerzas nodales son especificadas de acuerdo al grado de libertad, de esta

manera cada grado de libertad de un nodo puede tener diferente amplitud de

fuerza. La dirección de la fuerzas es especificada por el signo de la amplitud

relativa de la fuerza del sistema global de coordenadas.

Fuerzas no coincidentes con los ejes globales son representadas por el vector suma

de las componentes de fuerza individual.

Así como cada tipo de fuerza genera respuestas diferentes por parte de la pieza

sobre la que actúa, es necesario conocer cómo son los tipos de elementos que

estarán sometidos a dichas fuerzas.

3.1.12 Tipos de elementos

Con la discretización del dominio de estudio se idealiza la región física de interés.

Así, por ejemplo, una estructura puede idealizarse empleando elementos axiales,

mientras que las regiones planas pueden ser discretizadas con elementos en forma


105

de polígonos, como es el triángulo, y los sólidos por elementos poliédricos, como es

el caso del tetraedro.

Conforme las investigaciones del campo del método del elemento finito han

requerido de discretizaciones más exactas, ha sido preciso emplear elementos de

forma complicada. Así, los problemas idealizados con elementos unidimensionales,

en los cuales se presenta una flexión excesiva, no pueden manejarse

adecuadamente empleando elementos axiales simples con funciones de

desplazamiento lineales. Por tanto, se deriva el elemento curvo empleando una

expansión cúbica para la función de desplazamiento. Adicionalmente, para

considerar factores tales como la deformación del cuerpo rígido y estados de

deformación permanente, se hace necesaria la inclusión de elementos de

refinamiento.

El analista puede seleccionar alguna de las siguientes tres categorías de elementos

finitos:

A. Elementos de forma simple sin refinamiento.

B. Elementos de forma simple de segundo orden.

C. Elementos de forma complicada con refinamiento.

Los tipos de elementos pueden dividirse en pequeños grupos básicos:

unidimensional, bidimensional, sólido tridimensional, viga y placa. Otros

elementos especiales son elemento resorte, gap y amortiguador.

Figura 3. 1 Tres tipos de elementos para discretizar una región dada.


106

Los elementos unidimensionales tienen una sección transversal determinada, pero

por lo general se representan esquemáticamente como un segmento de línea. El

área de sección transversal puede variar a lo largo de su longitud.

La figura 3.2a muestra un elemento unidimensional sin refinamiento, el cual tiene

dos nodos, uno en cada extremo. El elemento unidimensional cuadrático de la

figura 3.2b, tiene tres nodos, mientras que el elemento cúbico de la figura 3.2c

tiene cuatro nodos.

Los elementos finitos bidimensionales, que se emplean con mayor frecuencia son el

triángulo y el cuadrilátero. La figura 3.3a muestra elementos lineales de ambos tipos,

mientras que la figura 3.3b muestra un elemento de orden superior, el cual puede tener

ambos tipos de elementos en un mismo dominio siempre que éstos tengan la misma

cantidad de nodos en los lados que comparten elementos adyacentes, como lo ilustra la

figura 3.3c. El espesor de los elementos puede ser constante, o bien puede variar en

función de las coordenadas del elemento.

El elemento bidimensional puede estar en cualquier plano de esfuerzos o plano de

tensiones. Estos elementos pueden ser usados cuando todas las fuerzas y

desplazamientos actúan en el plano. Además, tiene dos grados de libertad por

nodo; formas incluidas son el cuadrilátero y el triángulo. Estos elementos pueden

tener nodos sólo en sus vértices o tenerlos adicionales en puntos medios.

Figura 3. 2 Ejemplos de elementos finitos unidimensionales.

Figura 3. 3 Ejemplos de elementos finitos bidimensionales.


107

Los elementos tridimensionales más comunes son los tetraedros y paralelepípedos

mostrados en las figuras 3.4a y 3.4b. En ambos casos, los elementos lineales sólo

presentan lados rectos, mientras que los de orden superior pueden tener

superficies curvas.

Otro grupo de elementos tridimensionales que pueden emplearse en problemas

con formas cilíndricas, se muestra la figura 3.4c. Dichos elementos son similares al

elemento triangular bidimensional, excepto que éstos permiten la variación de su

tercera dimensión.

Los sólidos tridimensionales están formulados como una extensión directa de los

elementos bidimensionales. Además, tienen tres grados de libertad por nodo y

traslación en las direcciones x, y, y z. Las formas incluidas son: tetraedro, cuña y

prismas rectangulares.

Como los casos bidimensionales, estos elementos pueden tener nodos sólo en sus

vértices y a lo largo de sus puntos medios.

Elementos Beam.

Los elementos viga tiene un sólo nodo en cada extremo, pero grado de libertad

rotacional en orden de transferir momentos tan bien como fuerzas en los mismos,

es decir, tres desplazamientos más tres rotaciones o inclinaciones. Las fuerzas en

los nodos consisten en tres fuerzas y tres momentos.

Estos elementos suponen variar constante o linealmente las propiedades de

sección transversal. Propiedades como área de sección transversal y momentos de

Figura 3. 4 Ejemplos de elementos finitos tridimensionales, a) De 1er orden, b) y c) De 2º

orden.


108

inercia deben ser ingresadas para elementos viga porque la geometría de la misma

no puede estar determinada a partir de dos nodos.

Elementos Plate.

Estos elementos junto con los shell también tienen seis grados de libertad por

nodo. La mayoría de los elementos plate tienen sólo un nodo en sus vértices así

que el espesor del plate debe ser especificado como una constante o variación

lineal.

Sabiendo las posibles conformaciones de elementos que brinda este método, la

construcción del elemento de estudio depende solamente de utilizar bien las

consideraciones al respecto planteadas.

3.1.13 Modelo de elemento finito

El objetivo ideal en el desarrollo de la malla de trabajo es que la densidad relativa

del elemento debe seguir la distribución de esfuerzos.

Los elementos “cuadrilátero” deben ser tan cuadrados como sea posible, y los

elementos triangulares deben ser equiláteros siempre que sea posible,

especialmente en áreas críticas.

La distorsión en el grosor de los elementos debe ser evitada en cualquier parte del

modelo, aún en áreas no críticas.

Los elementos triangulares y cuña deben ser usados en la transición de áreas entre

mallados fino y ordinario.

Los elementos contiguos deben compartir nodos comunes y grados de libertad

también comunes.


109

Tabla 3.1 Guía para la división del modelo en elementos.

Los tipos de elementos deben ser consistentes, es decir, los elementos

tridimensionales y bidimensionales no pueden ser mezclados en el mismo análisis.

Elementos plate y beam si pueden ser mezclados con elementos sólidos

tridimensional cuando la rotación del grado de libertad lo explica.

Los elementos deben ser pequeños y en gran cantidad en las áreas donde se prevé

un alto gradiente de esfuerzos. Estas áreas pueden ser: filetes, agujeros y muescas.

Un mallado extremadamente fino debe ser usado cuando las fuerzas sean aplicadas

cerca de las áreas de alto esfuerzo. Al aplicar estas fuerzas hay que cuidar la

deformación de la distribución de esfuerzos cerca del punto de aplicación.

Como medida precautoria en el momento de utilizar el elemento modelado, es

recomendable revisar dicho modelo, así como también los valores de variable y

tipos de ellas ingresados al programa, para que siempre haya concordancia entre

lo que se ingresa, y lo que se obtiene del mismo.

3.1.14 Depuración de modelos de elemento finito.

Una larga proporción del total del tiempo en generar un modelo de elemento finito

es usado en eliminar fallas del mismo.

Un típico modelo para este método numérico puede ser dividido en cuatro áreas:

geometría, propiedades del material, fuerzas aplicadas y restricciones espaciales.

Geometría: Los problemas de geometría pueden ser clasificados como obvios

(distorsión o deformación del elemento) y no tan obvios (elemento sin conectar o

perdidos, pequeñas inexactitudes en dimensiones).


110

Propiedades de la materia: La entrada de datos para las propiedades del material

es bastante pequeña: módulo de Young y coeficiente de Poisson son siempre

requeridos.

Sin embargo, los dos errores más comunes son:

1. Módulo de Young incorrecto por la potencia de 10.

2. Inconsistencia en las unidades son asumidas por la densidad del material.

Ya que el método del elemento finito es no dimensional, el usuario debe

asegurarse de que las unidades usadas son consistentes.

NOTA: Cuando más de un material es usado en el modelo algún elemento puede ser

indicado con diferente color.

Fuerzas aplicadas

Las fuerzas aplicadas deben serlo en los nodos, tomando en cuenta lo siguiente:

1. Una adecuada magnitud.

2. La localización correcta.

3. La dirección adecuada.

Constantes de desplazamiento

Los dos problemas más comunes con las condiciones desplazamientos son:

1. Constantes de nodo pérdidas.

2. Constantes sobrelimitadas.

La siguiente tabla muestra las posibles causas de error y falla en la interpretación

de un problema ingenieril, así como los efectos de ellas sobre los resultados

obtenidos por el programa.


111

Tabla 3.2 Síntomas y sus posibles causas.

SÍNTOMAS POSIBLES CAUSAS

Deflexión excesiva pero esfuerzos

anticipados.

Módulo de Young demasiado bajo

y/o constantes nodales perdidas.

Deflexión y esfuerzo excesivos. Las fuerzas aplicadas son demasiado

altas, las coordenadas nodales

incorrectas, aplicación de fuerzas en

nodos equivocados.

Discontinuidad interna en el

esfuerzo y la deflexión.

Aplicación de fuerzas en nodos

equivocados, elemento interno

perdido o doble.

Discontinuidad a lo largo del límite. Constante nodal perdida, fuerza

aplicada en nodo equivocado.

Muy alta y muy baja frecuencia

natural respecto de la anticipada.

Deflexión estática aceptable y no

aceptable.

Densidad incorrecta, módulo de

Young incorrecto.

Abertura interna, abriéndose el

modelo bajo cargas, discontinuidad

de esfuerzos.

Unión nodal inapropiada.

Como una reiteración de la importancia que la depuración de los datos de entrada

y demás consideraciones iniciales tiene para la obtención de resultados confiables

y útiles, es expuesto a continuación un tema que busca ampliar los puntos de

cuidado que el analista debe tener al usar MEF.

3.1.15 Verificación de resultados.

Quienes usan el método del elemento finito como herramienta de análisis, deben

entender las limitaciones de los procedimientos del mismo; desafortunadamente,

no siempre es así. Por tanto, se presentan a continuación varias fuentes de error

que pueden contribuir a resultados incorrectos:


112

1. Error en la entrada de datos tales como propiedades físicas y dimensiones:

el error puede ser corregido simplemente listando y verificando las

propiedades físicas y coordenadas de nodos o keypoints (puntos

definiendo los vértices del objeto).

2. Seleccionar tipos de elementos inapropiados.

3. Forma de elemento pobre y después tamaño de mallado: esta área es de

gran importancia en cualquier análisis de elemento finito, ya que la

inapropiada forma del elemento y tamaño afectará en la precisión de los

resultados.

4. Aplicando condiciones de carga de frontera equivocadas: este paso es

usualmente el más difícil aspecto del modelado. Esto implica tomar un

problema actual y estimar las cargas y las apropiadas condiciones límite

(boundary) para un modelo. Este paso requiere buen juicio y algo de

experiencia.

3.1.16 Ventajas y limitaciones del método del elemento finito.

Una de las mayores ventajas del método del elemento finito, es la posibilidad de

analizar cuerpos formados por distintos materiales, cuyas propiedades pueden

diferir. Tal es el caso del módulo de elasticidad, la conductividad térmica,

anisotropía, entre otros.

Para el caso de las partes críticas se pueden utilizar pequeños elementos, con lo

cual se tendrán resultados más precisos.

También es relevante mencionar el gran número de cálculos involucrados en la

solución de problemas prácticos, lo que imposibilita su manipulación manual, de

ahí la necesidad de contar con una computadora cuando se usa el MEF. Por otra

parte, las cifras obtenidas deben ser cuidadosamente analizadas y corroboradas

con resultados ya sean analíticos o experimentales [39].


113

A continuación, se presenta un análisis de frecuencias hecho en un programa de

simulación, el cual, sirve como base para posteriormente hacer el análisis dinámico

transitorio modal de la placa de fijación.

3.2 Análisis de frecuencias en vibración libre.

Este tipo de análisis se emplea para determinar las diferentes frecuencias

naturales y sus formas modales.

Así pues, para poder realizar un análisis de frecuencias en vibración libre se deben

seguir los siguientes pasos en Solidworks Simulation:

1. Creación de un nuevo Estudio de Frecuencia.

2. Definición de las propiedades del ensayo de Frecuencia.

3. Selección del material.

4. Definición de las sujeciones.

5. Aplicación de cargas.

6. Creación del mallado.

7. Ejecución de la simulación.

8. Visualización de resultados.

De acuerdo a estos pasos a seguir, se crea inicialmente un nuevo Estudio de

Frecuencia al que se denomina como: Análisis de Frecuencias de la Placa de fijación;

posteriormente, los parámetros a considerar en Propiedades del ensayo de

Frecuencia son: el número de frecuencias, el límite superior de frecuencia y el tipo

de Solucionador (Solver, en inglés) que deseamos emplear.

Tabla 3.3 Datos a ingresar en Propiedades del Análisis de Frecuencias.

Número de frecuencias 5

Límite superior de frecuencia 618 Hz.

Solucionador Automático


114

Una explicación sencilla acerca del Solucionador se proporciona a continuación:

Automático. Se refiere a que Solidworks Simulation selecciona el Solucionador

(Solver) más adecuado a las condiciones del estudio en función del rendimiento de

cálculo y la efectividad. Ahora bien, el programa de simulación aquí empleado

contiene dos tipos de Solucionadores (Solvers): Direct Sparse y FFEPlus.

Direct Sparse. Emplea técnicas numéricas exactas en la resolución de las

ecuaciones matemáticas del cálculo. Se recomienda su uso cuando el modelo sea

sencillo. En problemas más complejos como resolución de ensayos con muchas

piezas el proceso de cálculo se demora y tardará más tiempo.

FFEPlus. Método de cálculo iterativo y por aproximación. En cada iteración

determina una solución y evalúa el error cometido. Se calculan iteraciones hasta

obtener errores admisibles. Es un Solver rápido en la resolución de problemas con

más de 100.000 grados de libertad. Es más eficaz cuanto mayor sea el problema a

resolver. Se recomienda su uso en estudios no lineales con más de 50.000 grados

de libertad.

Aunado a lo anterior, tenemos que de acuerdo al tercer paso, se selecciona el

material que en este caso es: acero ASTM A36 (ver tabla 3.4).

Tabla 3.4 Propiedades mecánicas del acero ASTM A36.

Densidad específica ( ) 7850 kg/m3

Módulo de elasticidad ( E ) 190 – 210 GPa

Relación de Poisson ( ) 0.27 – 0.30

Esfuerzo de fluencia ( Ys ) 250 MPa

Esfuerzo último ( Us ) 400 – 550 MPa

Después se especifican los puntos de sujeción que en la realidad tiene la pieza de

estudio; para lograr esto, se seleccionan cuatro puntos de sujeción (ver figura 3.5):


115

tres aristas que corresponden a los agujeros en los cuales se atornilla la placa y

solo la arista del centro que corresponde al agujero central.

Luego, en Aplicación de cargas no se considera ninguna carga debido a que en este

caso en particular se considera vibración libre.

Posteriormente, en Creación del mallado, se desea mallar a la placa de fijación; por

tanto, para lograr esto, se considera un grosor de malla: regular. La figura 3.6

muestra a la pieza de estudio ya mallada.

Figura 3. 5 Puntos de sujeción en Placa de fijación.


116

Con la malla ya elaborada, se ejecuta la simulación y se obtienen los resultados, los

cuales, se presentan a continuación.

3.2.1 Resultados.

En la tabla 3.5 se presenta el informe de resultados proporcionados por el

Solucionador (Solver) acerca del análisis de frecuencias efectuado.

Tabla 3.5 Informe de resultados

Número de nodos 20263

Número de elementos 9940

Número de grados de libertad 60381

Tiempo total de solución 00:00:26

Figura 3. 6 Malla de sólido.


117

En la tabla 3.6 se muestran los valores en Hertz de las 5 frecuencias naturales

calculadas y el periodo correspondiente a cada una de las mismas [43].

Tabla 3.6 Frecuencias Naturales de la placa de fijación

Número de Modo de Frecuencia Frecuencia (Hz)

1 918.78

2 919.09

3 1623

4 1627.1

5 1652.5

A continuación, en las figuras 3.7 a 3.11 se presentan los modos de forma de cada

una de las frecuencias calculadas en el presente análisis, con sus respectivos

valores de frecuencia. Cabe aclarar que la orientación de cada imagen es la misma,

esto para ver el efecto que tienen cada una de las frecuencias naturales [44].

Figura 3. 7 Modo 1. Análisis de frecuencias - Vibración libre.


118




119




120

3.3 Análisis Dinámico Transitorio Modal de la placa de

fijación.

En esta sección se muestran los resultados del Análisis de Frecuencias Naturales

con carga, el cual, sirve para saber qué frecuencias resonantes presenta la placa de

fijación cuando se le aplica una carga.

Así pues, para poder realizar un Análisis Dinámico Transitorio Modal considerando

a la carga como masa remota, se deben de seguir los siguientes pasos en

Solidworks Simulation:

1. Creación de un nuevo Estudio de Movimiento > Tipo: Dinámica Líneal >

Opciones: Gráfico de historia-tiempo.

2. Definición de las propiedades del Estudio de Movimiento.

3. Selección del material.

4. Definición de las sujeciones.

5. Aplicación de cargas.

6. Definición de amortiguamiento.

7. Personalización de Opciones de resultados.

8. Creación del mallado.

9. Ejecución de la simulación.

10. Visualización de resultados.

Por tal motivo, para empezar se crea un nuevo estudio de movimiento al que se le

denomina: Análisis Dinámico Transitorio Modal de la Placa de fijación. En seguida,

se introducen en propiedades del estudio de movimiento los parámetros

mostrados en la tabla 3.7.

Tabla 3.7 Datos a ingresar en propiedades del estudio de movimiento.

Opciones de Frecuencia

Número de frecuencias 5

Límite superior de frecuencia 618 Hz


121

Solucionador Automático

Opciones dinámicas

Hora de inicio 0 s

Tiempo final 0.012 s

Incremento de tiempo 6x10-5 s

Ahora bien, tanto la selección del tipo de material como el establecimiento de los

puntos de sujeción de la placa de fijación, siguen el mismo procedimiento que en el

Análisis de frecuencia - Vibración libre.

En el caso de la aplicación de la carga, se considera a la masa de ¼ del automóvil

(300 kg) como una Carga/Masa Remota que actúa sobre la placa de fijación tal

como se muestra en la figura 3.12. En este mismo paso, en la sección de variación

en el tiempo se crea la curva en el apartado: Variación en el tiempo; esto se logra

en base a distintos tiempos propuestos de forma que se logre encontrar la

respuesta de la placa de fijación ante su excitación (Impulso).

Figura 3. 12 Placa de fijación con Carga/Masa remota


122

Para el caso del amortiguamiento, se introduce en cociente de amortiguamiento un

valor de 0.02, porque este valor es el que se considera para el material

seleccionado para esta pieza automotriz.

Respecto a las Opciones de resultados, se consideran los parámetros mostrados en

la tabla 3.8.

Tabla 3.8 Parámetros necesarios en Opciones de resultados

Pasos de solución – Conjunto 1

Paso n°

Inicio 1

Fin 200

Incremento 1

Posteriormente, se crea la malla como en el Análisis de frecuencias – Vibración

libre, es decir, se considera un grosor de malla: regular.

Una vez creada la malla, se ejecuta la simulación y se obtienen los resultados, los

cuales, se exponen a continuación.

3.3.1 Resultados.

En la tabla 3.9 se presenta el informe de resultados proporcionados por el

Solucionador (Solver) acerca del Análisis Dinámico Transitorio Modal efectuado.

Tabla 3.9 Informe de resultados

Número de nodos 10801

Número de elementos 5245

Número de grados de libertad 0

Tiempo total de solución 00:00:47


123

En la tabla 3.10 se muestran los valores en Hertz de las 5 frecuencias naturales

calculadas y el periodo correspondiente a cada una de las mismas [43].

Tabla 3.10 Frecuencias Naturales de la placa de fijación

Número de Modo de Frecuencia Frecuencia (Hz)

1 957.7

2 958.88

3 1625.2

4 1628.1

5 1655.9

A continuación, en las figuras 3.13 a 3.17 se presentan los modos de forma de cada

una de las frecuencias calculadas en el presente análisis, con sus respectivos

valores de frecuencia. Cabe aclarar que la orientación de cada imagen es la misma,

esto para ver el efecto que tienen cada una de las frecuencias naturales [44].

Figura 3. 13 Modo 1. Análisis de frecuencias con carga.


124




125




126

3.3.2 Gráfica de respuesta: Historia – Tiempo.

Esta gráfica muestra la respuesta que presenta el Análisis Modal Dinámico Transitorio

ante su excitación (Impulso), realizado en Solidworks Simulation; esto, con la idea de

comprender el comportamiento de la placa de fijación ante las irregularidades del camino.

Figura 3. 18 Respuesta de la Placa de fijación ante su excitación (Impulso).

CAPITULO IV. DISCUSIÓN DE

RESULTADOS.

Capítulo IV. Discusión de Resultados.

128

4.1. RESULTADOS.

La respuesta de una Suspensión Pasiva típica fue obtenida en Matlab® Simulink®

considerando como excitación a la función: Escalón (ver figura 4.1), en cambio, en

Solidworks Simulation se obtuvo la respuesta de la Placa de Fijación ante una

excitación de tipo: Impulso (ver figura 4.2).

Figura 4.1 Respuesta de Suspensión Pasiva típica ante Función Escalón obtenida en

Matlab® Simulink®.

Figura 4.2 Respuesta de Placa de Fijación ante su excitación (Impulso) obtenida en

Solidworks Simulation.

Capítulo IV. Discusión de Resultados.

129

Posteriormente, se realizó una Prueba Experimental (ver Apéndice A) en la que se

obtuvo la frecuencia de trabajo (618 Hz) considerando la amplitud más alta (ver

figura 4.3); con dicha frecuencia, se hace un comparativo con los datos de las

frecuencias obtenidas en Solidworks Simulation (ver tabla 4.1).

Tabla 4.1 Comparativo entre frecuencias obtenidas de forma experimental y

frecuencias obtenidas en Solidworks Simulation.

Frecuencia de Trabajo

(Hz)

Frecuencia Natural –

Vibración Libre (Hz)

Frecuencia Natural – con

Carga (Hz)

611 918.78 957.7

613 919.09 958.88

616 1623 1625.2

617 1627.1 1628.1

618 1652.5 1655.9

Figura 4.3 Gráfica de frecuencias obtenidas en Prueba Experimental.

130

CONCLUSIONES.

Se empleó Matlab® Simulink® y Solidworks Simulation con el objeto de

encontrar el comportamiento mecánico dinámico de la Placa de Fijación.

Con Matlab® Simulink® se creó un diagrama de bloques para una

suspensión pasiva típica de un automóvil considerando una excitación de

tipo escalón. Con esto, se encontró la respuesta de una suspensión pasiva

típica de un automóvil.

Con Solidworks se modelo y simuló la placa de fijación con el objeto de

obtener la respuesta de la placa de fijación. Así pues, se modelo en

Solidworks la placa de fijación con dimensiones propuestas.

Posteriormente, se realizó un Análisis de Frecuencias para conocer el

comportamiento de esta pieza en vibración libre, es decir, sin aplicación de

carga. A continuación, se empleó la información obtenida en el Análisis de

Frecuencias para realizar un nuevo estudio de simulación: Análisis Modal

Transitorio Dinámico; con esto, se pudieron obtener resultados

satisfactorios con lo cual se puede ver el comportamiento de la placa

cuando se le aplica una carga. Con esto último, se encuentran las

Frecuencias Resonantes, las cuales, son las que se deben de evitar cuando se

realice el diseño de la placa de fijación para evitar caer en Resonancia.

Considerando que se necesitó conocer la frecuencia de trabajo de la placa

de fijación, se realizó una Prueba Experimental (ver Apéndice A) con la cual

se pudieron obtener frecuencias cuando la placa de fijación de un automóvil

se conduce por un terreno irregular, es decir, un terreno que contiene

numerosos baches. De dichas frecuencias, solo se considera una frecuencia

de acuerdo a la amplitud más alta (ver figura A.4) y ésta es la frecuencia de

trabajo real.

131

Comparando los resultados obtenidos en Solidworks y en la Prueba

Experimental, se comprueba que la frecuencia de trabajo está muy por

debajo de cualquiera de las frecuencias resonantes, con lo cual se concluye

que la Placa de Fijación es una pieza automotriz que es sumamente

resistente y que está diseñada para una larga vida útil.

Para corroborar lo de la vida útil de la Placa de Fijación se realizó un

Análisis de Fatiga (ver Apéndice B) con ayuda del programa: Ansys

Workbench. Después de realizar dicho análisis, se obtiene que este

componente automotriz tiene un número de ciclos alto al ser mayor a 106 y,

por tanto, se considera que esta pieza tiene una duración infinita.

Finalmente, gracias a todo lo realizado en el presente trabajo de tesis, se

conoce la respuesta de la placa de fijación ante un terreno irregular; con lo

cual, ya se puede comprender mejor el comportamiento de esta pieza

automotriz cuando se encuentra en un automóvil en movimiento ante

condiciones no ideales. Asimismo, todo esto servirá como una metodología

para poder mejorar el diseño de esta pieza automotriz y, de alguna forma,

para cualquier pieza de una suspensión pasiva típica.

132

TRABAJOS FUTUROS.

Programar en Matlab® Simulink® el diagrama de bloques para el Sistema

Masa-Resorte-Amortiguador considerando todas aquellas excitaciones que

provengan del terreno para obtener una respuesta más completa del

sistema.

Elaborar modelo de la Suspensión MacPherson y simular en Matlab®

Simulink® la suspensión de un automóvil al pasar por un tope y luego por

un bache, para poder entender su comportamiento, lo cual, sería muy

cercano a lo que sucede en la realidad.

Proponer nuevas geometrías para la Placa de Fijación en un programa de

modelado como Solidworks.

Proponer nuevos materiales para la Placa de Fijación, simular y evaluar en

base a los resultados si el cambio del material puede disminuir el costo y

aumentar la resistencia de la pieza.

Mejorar el diseño de la pieza haciéndolo más rígido al agregar más barrenos

de sujeción; es decir, en vez de que solo sean 3 sujeciones, proponer 6. De

esta forma se reduce la concentración de esfuerzos alrededor de los

barrenos que son puntos críticos porque tienen el menor valor del factor de

seguridad a la fatiga.

Realizar diversas pruebas experimentales con ayuda de un mejor y

moderno sistema de adquisición de datos que el que se empleó en este

trabajo.

133

APÉNDICES

APÉNDICE A. Prueba experimental a Placa de Fijación empleando Sistema de

adquisición de datos.

Se realizó una prueba experimental a la placa de fijación con la idea de conocer su

comportamiento vibratorio ante condiciones todo terreno. Por tal motivo, se llevó

a cabo la prueba en un automóvil compacto en un camino irregular. Los datos de

esta prueba se obtuvieron mediante un Sistema de adquisición de datos

posicionado justo encima de la placa de fijación, la cual, se encuentra en la parte

superior de una Suspensión MacPherson; asimismo, se empleó una computadora

portátil para guardar los datos.

Es importante decir que el Sistema de adquisición de datos contiene un

acelerómetro, el cual, registra lo siguiente:

Aceleraciones en los ejes X, Y y Z, medidas en metros por segundo al

cuadrado (m/s2).

Diferencia de Tiempo, medida en milisegundos (ms).

Este tipo de datos se guardaron en un archivo de texto (.txt).

Posteriormente, se desarrolló un programa en Matlab® para poder ordenar y

graficar los datos del archivo de texto. Ejemplo de ello, se muestra a continuación:

clc clear all

data =-9.81+[1.156 0.292 10.095 20 1.152 0.293 10.097 20 1.151 0.27 10.123 20 1.155 0.264 10.126 20 1.177 0.248 10.119 20 1.178 0.265 10.14 20 1.167 0.265 10.117 20 1.174 0.265 10.125 20

134

1.185 0.264 10.112 20 1.179 0.281 10.125 20 1.179 0.278 10.119 20 1.163 0.286 10.135 20

1.17 0.31 10.125 20 1.162 0.293 10.105 21 1.174 0.271 10.095 19 1.178 0.284 10.098 20 1.185 0.286 10.116 21 1.163 0.267 10.102 20 1.164 0.268 10.126 20 1.173 0.276 10.122 20

.

.

.

.

. 1.291 -0.03 10.044 20 1.309 -0.04 10.047 20 1.294 -0.037 10.043 20 1.306 -0.042 10.058 20 1.317 -0.05 10.059 20 1.305 -0.033 10.051 20 1.311 -0.037 10.054 20 1.306 -0.03 10.05 20 1.309 -0.037 10.055 20 1.288 -0.032 10.068 20 1.327 -0.032 10.013 20 1.284 -0.028 10.053 20 1.31 -0.033 10.041 20 1.304 -0.035 10.04 20 1.312 -0.046 10.068 20 1.299 -0.041 10.044 20 1.31 -0.039 10.043 20];

%%

for i=1:63663 dato1(i,1)=data(i,1); dato2(i,1)=data(i,2); dato3(i,1)=data(i,3); i=i+1; end subplot(3,3,1);plot(dato1) subplot(3,3,2);plot(dato2) subplot(3,3,3);plot(dato3)

Es importante tomar en cuenta del programa en Matlab® apenas mostrado, que la

aceleración debida a la gravedad se suma debido a que se despreció en el Sistema

de adquisición de datos antes de realizar la prueba.

135

Luego, una vez ejecutado el programa se obtuvo la siguiente gráfica en el espacio

del tiempo:

Ahora bien, si consideramos solamente al eje Z de esta gráfica y si desde Matlab®

se visualiza su zona crítica, se presenta la siguiente gráfica:

En la figura A.2 se muestra en el eje X el valor del tiempo; mientras que, en el eje Y

se muestra el valor de la aceleración en m/s2. De dicha figura se obtiene en forma

aproximada lo siguiente:

Aceleración positiva más alta = 8 m/s2

Aceleración negativa más alta = -18 m/s2

Figura A. 1 Gráfica de Aceleración Vs Tiempo, considerando los ejes X, Y y Z.

Figura A. 2 Gráfica de Aceleración Vs Tiempo de la zona crítica del eje Z.

136

Con estos datos, es posible calcular las fuerzas máxima y mínima.

A continuación, se agregó al programa hecho en Matlab® una serie de

instrucciones para que, mediante la ejecución de la transformada rápida de

Fourier, se obtenga una gráfica en el espacio de las frecuencias. Ejemplo de ello, se

muestra a continuación:

clc clear all

data =-9.81+[1.156 0.292 10.095 20 1.152 0.293 10.097 20 1.151 0.27 10.123 20 1.155 0.264 10.126 20 1.177 0.248 10.119 20 1.178 0.265 10.14 20 1.167 0.265 10.117 20 1.174 0.265 10.125 20 1.185 0.264 10.112 20 1.179 0.281 10.125 20 1.179 0.278 10.119 20 1.163 0.286 10.135 20

1.17 0.31 10.125 20 1.162 0.293 10.105 21 1.174 0.271 10.095 19 1.178 0.284 10.098 20 1.185 0.286 10.116 21 1.163 0.267 10.102 20 1.164 0.268 10.126 20 1.173 0.276 10.122 20

.

.

.

.

. 1.291 -0.03 10.044 20 1.309 -0.04 10.047 20 1.294 -0.037 10.043 20 1.306 -0.042 10.058 20 1.317 -0.05 10.059 20 1.305 -0.033 10.051 20 1.311 -0.037 10.054 20 1.306 -0.03 10.05 20 1.309 -0.037 10.055 20 1.288 -0.032 10.068 20 1.327 -0.032 10.013 20 1.284 -0.028 10.053 20 1.31 -0.033 10.041 20 1.304 -0.035 10.04 20

2 2

.300 8 / 2400 / 2400

MÁXF ma kg m s kgm s N

2 2

.300 18 / 5400 / 5400

MÍNF ma kg m s kgm s N

137

1.312 -0.046 10.068 20 1.299 -0.041 10.044 20 1.31 -0.039 10.043 20];

%%

for i=1:63663 dato1(i,1)=data(i,1); dato2(i,1)=data(i,2); dato3(i,1)=data(i,3); i=i+1; end subplot(3,3,1);plot(dato1) subplot(3,3,2);plot(dato2) subplot(3,3,3);plot(dato3)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Fs = 20000; % Sampling frequency T = 1/Fs; % Sample time L = 63663 % Length of signal t = (0:L-1)*T; % Time vector z = dato3; % Sinusoids plus noise plot(Fs*t(1:63663),z(1:63663)) title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise') xlabel('time (milliseconds)')

NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y Y = fft(z,NFFT)/L; f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);

% Plot single-sided amplitude spectrum. plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1))) title('Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)') xlabel('Frequency (Hz)') ylabel('|Y(f)|')

Al ejecutar este último programa, se obtiene la siguiente gráfica:

Figura A. 3 Gráfica de Aceleración Vs Tiempo para los ejes X y Y. Gráfica de Amplitud

Vs Frecuencia para el eje Z.

138

Ahora bien, si consideramos solamente al eje Z de esta gráfica y, si desde Matlab®

se visualiza su zona crítica, se presenta la siguiente gráfica en el espacio de las

frecuencias:

Los valores que se muestran en esta última gráfica revelan que aunque exista alta

frecuencia en su zona más crítica, la Placa de Fijación no falla debido a un

comportamiento vibratorio. Por ello, es necesario hacer un Análisis de Fatiga para

poder conocer la vida útil de este componente automotriz.

Figura A. 4 Gráfica de Amplitud Vs Frecuencia de

la zona crítica del eje Z.

139

APÉNDICE B. Análisis de Fatiga de Placa de Fijación en Ansys.

Antes de comenzar la explicación de este tipo de análisis, se definirá en forma

breve a la fatiga.

La fatiga es el fenómeno en el que una estructura cargada en forma repetida, se

fractura a un nivel de carga inferior de su resistencia última estática. Por ejemplo,

una barra de acero puede resistir con éxito una aplicación de carga estática de

tensión de 100 kN, pero puede fallar después de 1 millón de repeticiones de una

carga de 200 kN.

Los principales factores que contribuyen a fallas por fatiga incluyen:

El número de ciclos de carga experimentada.

Rango de esfuerzo experimentado en cada ciclo de carga.

El esfuerzo medio experimentado en cada ciclo de carga.

La presencia de concentraciones de esfuerzo locales. [47]

A continuación, se explica a detalle lo concerniente al Análisis de Fatiga.

Para poder llevar a cabo esto, es necesario seguir estos pasos en el programa Ansys

Workbench v.11:

Realizar análisis estático estructural.

Solucionar.

Aplicar herramienta de Fatiga.

Antes de iniciar con la explicación de los pasos aquí mencionados, se presentan las

características del equipo de cómputo con que se realizó este análisis:

Procesador Intel Pentium Dual CPU T2330, a una velocidad de 1.60 GHz

140

Memoria RAM de 1 GB

Disco duro de 320 GB

Unidad de DVD RW (grabador de DVD)

Sistema Operativo: Windows 7 Profesional de 32 Bits.

De acuerdo a los pasos mencionados, se comienza a explicar el análisis estático

estructural; por tanto, para llevar a cabo este tipo de análisis se debe hacer esto:

1. Se ejecuta el programa Ansys Workbench v.11 y se selecciona de la ventana

principal la opción: Empty Project (Proyecto vacío).

2. Aparece una nueva ventana en la cual se elige: New geometry (Nueva

geometría).

Figura B. 1 Nuevo proyecto en Ansys Workbench 11

Figura B. 2 Ventana de inicio para seleccionar Nueva Geometría

141

3. Se seleccionan las unidades de trabajo, en este caso, milimeter (milímetros).

4. Se Importa el modelo de Placa de Fijación de la ubicación donde se

encuentre guardado; luego, se da clic en el ícono de confirmación de

geometría: Generate (Generar).

Figura B. 3 Selección de las unidades.

Figura B. 4 Importación de geometría externa.

142

5. Con el modelo ya listo, ir a la pestaña: Project y seleccionar una nueva

simulación: New Simulation (Nueva Simulación).

6. En Geometry (Geometría) dar clic en el signo de mas (+), aparecerá una

opción de superficies, seleccionar: solid (sólido); luego buscar entre las

opciones que aparecen en la parte inferior izquierda: Details of (Detalles

de), la opción: Definition (Definición); una vez allí, dar clic derecho en:

Material, para agregar, importar o editar el material que corresponde al

elemento de estudio. Se opta por la opción: Edit Material (Editar Material),

aparece una nueva ventana: Engineering Data (Datos de Ingeniería), en la

que se podrán editar y agregar datos, tales como: Módulo de Elasticidad,

Densidad, Relación de Poisson, etc.; asimismo, en dicha nueva ventana, se

puede modificar el nombre del material que aparece en forma

predeterminada. Por tanto, el material seleccionado para la Placa de

Fijación es: Acero ASTM A36.

Figura B. 5 Selección de una nueva simulación.

Figura B. 6 Reconocimiento de Geometría.

143

7. Se cierra la ventana: Engineering Data, y se vuelve a la ventana: Simulation

(Simulación); allí, se busca la opción: Environmental (Entorno), se da clic

derecho, se elige la opción: Rename (Renombrar) y se escribe: Static

Structural (Análisis Estático Estructural); posteriormente, se da clic con el

botón derecho a Static Structural, luego se elige la opción: Insert (Insertar)

y, finalmente, se opta por la opción: Fixed Support (Soporte Fijo). Se

seleccionan las caras que serán fijas y se da clic en: Apply (Aplicar cambios).

Figura B. 7 Edición de Material.

Figura B. 8 Propiedades de Acero ASTM-A36

144

Figura B. 10 Fijación de los soportes.

Figura B. 9 Procedimiento para modificar el nombre del Material.

145

8. Se da clic derecho en: Static Structural, se escoge: Insert; finalmente, se elige

Force (Fuerza). Esto servirá para aplicar la fuerza a la Placa de Fijación. Así

pues, se selecciona la cara en la cual se aplicará dicha fuerza y se asigna su

valor; ahora, solo dar clic en: Apply.

Figura B. 12 Procedimiento para seleccionar las fuerzas.

Figura B. 11 Sujeciones o Condiciones de frontera

146

|

9. Se da clic en: Solution (Solución), luego en: Insert, luego en: Stress

(Esfuerzo) y, finalmente, en: Equivalent (Von Mises). Con esto, al darle

solución a la simulación, nos mostrará, entre otras cosas, la distribución de

esfuerzos de Von Mises.

Figura B. 14 Selección del esfuerzo mediante teoría de Von-Mises.

Figura B. 13 Carga Aplicada de 300 kg.

147

10. En el caso de la deformación total, se da clic en: Solution (Solución), luego

en: Insert, luego en: Deformation (Deformación) y, finalmente, en: Total.

Figura B. 16 Procedimiento para seleccionar la Deformación Total.

Figura B. 15 Distribución de Esfuerzos de Von Mises

148

11. Para definir bajo que teoría será considerado este análisis, se toma en

cuenta a la fatiga. Por tal motivo, se da clic en: Solution, luego en: Insert,

luego en: Fatigue (Fatiga) y, finalmente, en: Fatigue Tool (Herramienta de

Fatiga).

Figura B. 18 Procedimiento para seleccionar la Herramienta de Fatiga (Fatigue

Tool).

Figura B. 17 Resultados de Deformación Total.

149

12. Seleccionar: Fatigue Tool, dirigirse a la parte inferior izquierda de la

ventana para editar: Details of “Fatigue Tool”; estando allí, ingresar un valor

adecuado en: Fatigue Strength Factor (Factor de Intensidad de Esfuerzo);

posteriormente, en: Analysis type (Tipo de Análisis), establecer el análisis

más apropiado; finalmente, en: Safety Factor (Factor de Seguridad), buscar

la opción: Design Life (Vida de Diseño) e ingresar el número de ciclos a los

que trabajará dicho elemento. [48]

Figura B. 19 Configuración de herramienta de fatiga (Fatigue Tool) – Selección de

Teoría del Esfuerzo Principal.

Figura B. 20 Resultados de Vida Útil

150

Figura B. 21 Resultados de Factor de Seguridad.

Figura B. 22 Resultados de Daño.

151

Acerca del daño es importante mencionar que se define como la relación entre la

vida de diseño (Design Life) y la vida disponible (Available Life). También se puede

entender como la vida que resta para que la pieza de estudio falle. Así pues, de

acuerdo a la figura B.22, el valor de 1x108 representa la vida disponible (Available

Life).

Figura B. 23 Resultados del Esfuerzo Alternante Equivalente.

152

APÉNDICE C. Modelado de la Placa de Fijación.

La Placa de Fijación fue modelada en Solidworks con dimensiones propuestas. Así

pues, en el plano que aquí abajo se muestra se pueden visualizar con detalle las

dimensiones y vistas principales de dicha pieza automotriz.

153

REFERENCIAS

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Actualizada, Universidad de Zaragoza, 1ª. Edición, España, capítulo 2.

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[46] http://www.stock-automotive-illustration.com/automotive-illustration.html

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[48] Hernández Cruz, D. M., Ramirez Joachin J., Torrijos Pérez, H. G., “Metodología para la

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Politécnico Nacional, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Unidad

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