Capítulo 5: Modelo de electrones libres para metales
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ky
kx
2/L
k
dk
Capítulo 5: Modelo de electrones Capítulo 5: Modelo de electrones libres para metaleslibres para metales
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unión metálica
Covalente
vdW
Cov. + vdW
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Metales electrones que se mueven libremente a través del material electrones de conducción
Modelo : Gas de electrones libres
Drude (1900)
Sommerfeld (1927)
Aplicó la estadística de Fermi-Dirac
Considero un gas clásico para estudiar conductividad
Potencial cristalino
Potencial del modelo
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L
Na: 1s2 2s2 2p6 3s1
Sodio metálico
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Otra forma de expresar la densidad:
Z: valenciaA: masa atómica (g/mol)ρm = densidad (g/cm3)
Densidad electrónica (electrones/cm3) ?
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Modelo de Sommerfeld
Para un gas de Ne electrones :
Si despreciamos la interacción e-e, resolvemos el problema de 1 e-
y llenamos los niveles de energía con los Ne electrones
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Ej.: 1D
Condiciones de contorno
= k = n π / L n=1,2,…
L
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Números cuánticos: n = 1, 2, 3, 4,…. s = + ½ , - ½ (↑ , ↓ )
Lleno los niveles con los Ne electrones
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Ej.: Ne = 6
nF: n correspondiente al último nivel ocupado
Definimos la Energía de Fermi como la energía del último nivel ocupado
En general, si N es par se tiene: nF = N/2 en un cristal N ≈1023
La energía de Fermi es función de N/L (densidad electrónica)
nF = 3
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Para el gas en 3D
F
ni=1,2,3,..
Estas condiciones de contorno no son adecuadas para estudiar las propiedades de bulk de un material
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Condiciones periódicas de contorno (Born-von Karman)
Lz
Las soluciones son:
Lx
Lx
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Las funciones de onda son autofunciones
del operador momento
Poseen momento lineal definido
Valores posibles de k ?
ni
entero
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ky
kx
2/Ly
kF
estados ocupados
2/Lx
Para Ne electrones: Energía de Fermi
Velocidad de Fermi
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Superficie de Fermi
= εF
superficie en el espacio k (esfera)
Separa los estados ocupados de los vacíos
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La energía total del estado fundamental del gas es:
Para una muestra macroscópica, los valores permitidos de k llenan densamente el espacio
densidad de estados g(k) g(E)
1d3d
2d
g g g
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Volumen del espacio k asociado a cada estado
El número de estados que contiene una región de volumen es:
Densidad de estados en el espacio k
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?
Para el gas de electrones en 3D:
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Se obtiene:
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Susceptibilidad de Pauli
Al aplicar un campo magnético al gas, los niveles de energía que estaban degenerados en spin se splitean
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Extremos de integración
Recordando que
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Calor específico de metales
La energía interna de un gas clásico de N electrones es:
U(T) = 3/2 N K T (1/2 K T por grado de libertad)
Cv (clas) = ∂E/∂T = 3/2 N K
Si N = NA (6.023 1023), el calor específico molar es:
Cv (clas) = 3/2 NA K = 3/2 R
Este término debería sumarse a la contribución proveniente de las vibraciones de la red. El Cv de un metal monoatómico a temperatura ambiente sería
Cv = 3/2 R + 3 R = 9/2 R
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A bajas temperaturas
Cv = α T3
Cv / T = α T2
Contribución de los fonones (aisladores)
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En un metal ?
T=Tamb Cv = 3 R + 3/2 R = 9/2 R ?
Cv = Cv (fonones) + 3/2 R ?
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La contribución de los electrones de conducción al calor especifico de un metal es pequeña a temperatura ambiente, comparada con la contribución proveniente de las vibraciones de la red (fonones)
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A muy bajas temperaturas :
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Tratamiento cuántico - Gas de Sommerfeld
La energía total del estado fundamental del gas es :
E(T) Cv = ∂E/∂T Cómo calculamos la energía interna E(T) ?
donde Distribución de Fermi-Dirac
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EF = lim μT 0
T ≠ 0
T = 0
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Estimación de la contribución electrónica al Cv
g(ε) No e- excitados
V ≈ g(EF) K T
Energía de excitación ≈ K T
E
V ≈ g(EF) (K T)2
Cv ≈ g(EF) K2 T
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Se muestra que para un gas de electrones en 3D :
g(EF) = = 2 EF
3 n
2 K TF
3 n
Cv ≈ g(EF) K2 T = 3/2 n K T/TF
Cv(clas) = 3/2 n K
Cv
Cv(clas)≈ T/TF ≈ 10-2
La contribución de los electrones de conducción al calor especifico de un metal a Tamb es ~ 1% del valor clásico
T=Tamb
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Para un metal a bajas temperaturas
Cv = Cv(e) + Cv(ph) = γ T + α T3
Cv / T = γ + α T2
γ es proporcional a g(EF)
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Limite clásico ????
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