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Capítulo 5

Control de procesos por atributos

1. Introducción

2. Gráfico P

3. Gráfico NP

4. Gráfico C

5. Gráfico U

Apéndice: Curva Característica de Operaciones

1Apuntes realzados por el Profesor Ismael Sánchez para la asignatura: Métodos Estadísticos para la Mejora dela Calidad, de la titulación de Ingeniería de Telecomunicaciones. Universidad Carlos III de Madrid

1

2 Control de procesos por atributos

5.1. Introducción

En el capítulo anterior se estudió la construcción de gráficos de control para analizar la evoluciónde una variable cuantitativa continua que fuese el resultado de una medición: longitud, peso, tiempo,etc. relacionada con la calidad. Sin embargo, a veces no se desea controlar el valor de una magnitudmedible sino simplemente si el producto es adecuado o no lo es; o, en general, si se posee o nocierto atributo. Ejemplos de este tipo de variables son abundantes en telecomunicaciones. Algunosejemplos son:

Número de llamadas en un intervalo de tiempo.

Proporción de fallos en cada millón de llamadas.

Número de averías en un cable de fibra óptica al mes.

Este tipo de medición, a través de presencia o ausencia de atributos, tiene ciertas ventajas sobreel control por variables del tema anterior:

Suele ser más sencillo y rápido. Por tanto, es más económico. Por ejemplo, es más rápidocomprobar si una pieza pasa por cierto calibre que medir su longitud exacta

Permite resumir las características de varias variables. Un artículo o servicio puede ser de-fectuoso o no dependiendo de un conjunto de variables y no de una sola. No se controla unacaracterística medible sino la ausencia o presencia de un atributo (rechazo/no rechazo).

La información de si el artículo es o no defectuoso contiene, implícitamente, la información dela capacidad del proceso (variabilidad del proceso productivo bajo control) y las tolerancias

La monitorización de un proceso a través de este tipo de mediciones de denomina controlpor atributos. Existen varios gráficos que permiten monitorizar la evolución de este tipo de in-formación. En unos se observa la evolución de la proporción de artículos defectuosos en sucesivasmuestras de tamaño n (cada elemento observado es/no es defectuoso, o tiene/no tiene cierto atrib-uto; por ejemplo, una llamada es o no es fallida), mientras que en otros se observa la evolución delnúmero de defectos que aparecen en cada unidad de medida (cada unidad de medida puede tenermás de un defecto o más de un atributo, por ejemplo, en cada minuto se puede recibir más de unallamada).

5.2. Gráfico PEn este gráfico se muestra la evolución de la proporción de individuos que tienen cierto

atributo. Por ejemplo, la proporción de artículos defectuosos, la proporción de llamadas telefónicasque quedaron bloqueadas, la proporción de clientes que presentan una reclamación, etc. Llamare-mos p a esta proporción.

Veamos primeramente el contexto estadístico en el que nos encontramos. Supongamos un pro-ceso que opera de manera estable (bajo control) y cuyo resultado es un artículo o un servicio.Supongamos que en ese estado la probabilidad de que un artículo sea defectuoso sea p. Supongamosque en un instante ti analizamos un tamaño muestral ni (número de piezas producidas o númerode clientes a los que se ha prestado el servicio), el número de artículos (o servicios) defectuosos será

5.2 Gráfico P 3

di, que será una variable aleatoria al depender de los elementos ni concretos que hayan caído ennuestras manos en ese instante. Por tanto, la proporción de artículos defectuosos de cada muestra,que denotaremos por pi = di/ni será una variable aleatoria. Por tanto, aunque el proceso esté bajocontrol, tendremos en general que pi 6= p. El valor p es un valor poblacional, mientras que pi es sólouna estimación de p obteniada con ni observaciones. El objetivo del gráfico P será comprobar sila evolución de los valores pi observados son compatibles con un mismo valor poblacional p, y portanto la diferencia entre el valor observado pi y el poblacoinal p se debe sólo al azar de la muestra(variabilidad muestral).Supongamos, además, que en esta situación de estabilidad el proceso evoluciona de manera

independiente; es decir, la probabilidad de que se produzca un artículo o servicio defectuoso esindependiente de si el anterior artículo o servicio fue o no defectuoso. Esta suposición también puedeinterpretarse como ausencia de memoria. El proceso no recuerda si el último artículo producido fueo no fue defectuoso. Bajo estos supuestos de estabilidad e independencia, la probabilidad deque cada artículo sea defectuoso es siempre la misma e igual a p. Cada artículo producido puedeentonces asociarse a una variable aleatoria de Bernoulli que tome valor xi = 1 si el artículo esdefectuoso (P (xi = 1) = p)) o xi = 0 si es aceptable (P (xi = 0) = 1− p). Por tanto, el número deunidades defectuosas di de un total de ni unidades es una variable aleatoria Binomial con funciónde probabilidad

P (di = r) =

µnir

¶pr(1− p)ni−r; r = 0, 1, 2, ..., ni.

La media y varianza serán (ver Apéndice del Capítulo 5):

E(di) = pni,

Var(di) = nip(1− p).

Como puede verse, ambos parámetros, media y varianza, dependen sólo de p, por lo que paraanalizar la evolución del número de artículos defectuosos no es necesario construir un gráficode control para la media y otro diferente para la variabilidad, como ocurría en el control porvariables, sino que con un gráfico de control del parámetro p es suficiente. El gráfico serealiza tomando muestras de tamaño ni (no tienen por qué ser todas de igual tamaño) y contandoel número de artículos defectuosos di. Nuestro interés está en la evolución de la proporción deartículos defectuoso, es decir,

pi =dini=número de defectuosos en la muestra i-ésimatamaño muestral de la muestra i-ésima

.

El número de artículos defectuosos di puede escribirse como la suma de las variablesBernoulli xi de cada artículo, que tendrán valor 1 ó 0. Entonces, la proporción de artículosdefectuosos en un total de ni unidades puede escribirse como

pi =dini=1 + 0 + 1 + 0 + 0 + · · ·

ni

=x1 + x2 + · · ·+ xni

ni=⇒ x

y es, por tanto, una media muestral de variables de Bernoulli independientes entre si. Es fácil,entonces, deducir las siguientes propiedades:

E(pi) = p,

Var(pi) =p(1− p)

ni;


y, si ni es suficientemente grande, podremos aplicar el Teorema Central del Límite y utilizar que,aproximadamente,

pi ≈ N

µp,p(1− p)

ni

¶.

El gráfico de control P sirve para ver la evolución de este estadístico pi a medida que se vanrecogiendo muestras consecutivas de tamaño ni. Supondremos que el tamaño muestral ni es sufi-cientemnete grande como para utilizar la aproximación a la normal. Como en gráficos anteriores,el gráfico P tiene los siguientes elementos

Límite de Control Superior = E(pi) + 3pVar(pi)

Línea Central = E(pi)

Límite de Control Inferior = E(pi)− 3pVar(pi)

tomándose como límite inferior el cero si resultase un valor negativo. Si la proporción de unidadesdefectuosas p es conocida, el gráfico de control será

Límite de Control Superior = p+ 3

sp(1− p)

ni

Línea Central = p (5.1)

Límite de Control Inferior = p− 3

sp(1− p)

ni

Puede verse que los límites de control no son, en general, dos líneas rectas, sino que variarán conel tamaño muestral ni. Esta variación es necesaria para asegurar que en cada momento existeuna probabilidad del 99.7% de estar entre los límites si el proceso está bajo control. En el caso dep conocido, los pasos a seguir para la construcción del gráfico son:

1. Tomar muestras de tamaño muestral ni. El tamaño muestral se decide según las característi-cas de cada caso. El tamaño muestral debe ser elevado, tanto para que la aproximación a lanormal sea buena, como para dar oportunidad a que aparezcan piezas defectuosas. De estaforma, el 99,7% de los valores estarán dentro de los límites de control cuando el proceso estéen estado de control. Las muestras suelen tomarse a intervalos regulares de tiempo, aunqueel tamaño muestral no necesita ser el mismo.

2. Dibujar el gráfico con las especificaciones mostradas en (5.1).

3. Calcular la proporción de artículos defectuosos en cada muestra:

pi =número de defectuosos

ni.

4. Colocar los valores pi ordenados en el tiempo en el gráfico e interpretarlo.

Ejemplo 1:

5.2 Gráfico P 5

Muestra : Node diodos inspeccionados Diodos defectuosos pi1 126 8 0,0632 118 10 0,0853 122 10 0,0824 129 9 0,0705 124 10 0,0816 136 10 0,0747 119 9 0,0768 127 9 0,0719 114 20 0,17510 127 11 0,08711 119 12 0,10112 115 5 0,04313 110 11 0,10014 103 6 0,05815 108 10 0,09316 116 4 0,03417 119 7 0,05918 118 8 0,06819 107 10 0,09320 113 13 0,115

Total : 2370 192

Cuadro 5.1: Datos ejemplo 1

Los diodos para un circuito impreso son producidos de forma continua en cierto proceso indus-trial. Un operario va tomando aleatoriamente diodos de la cadena de producción y va comprobandosi son defectuosos o aceptables. Como la cadena no tiene un ritmo de producción constante (sigueun ritmo de producción denominado just− in− time, donde el ritmo de la cadena se va determi-nando según el nivel de stock final e intermedio), el ritmo de inspección no es tampoco constante.El operario, por tanto, no toma siempre la misma cantidad de diodos para realizar la inspección.La Tabla 5.1 muestra el tamaño de las muestras recogidas y el número de diodos que resultarondefectuosos.

Se sabe por la información histórica del proceso, que si sólo actúan causas no asignables (azar),se espera que el 8% de los diodos sean defectuosos. Se quiere construir un gráfico de control parala proporción de diodos defectuosos. El gráfico se muestra en la figura 5.1. En dicho gráfico puedeverse cómo los límites de control, aunque están usando el mismo valor p = 0,08 tienen distintoancho, debido a que las muestras son de distinto tamaño. Existe un punto fuera de control quehabrá que investigar. Algunas aplicaciones informáticas permiten realizar un gráfico con límites decontrol que son líneas rectas. Para ello utilizan como tamaño muestral en las fórmulas (5.1) elpromedio de los tamaños muestrales; es decir, usan, en lugar de ni

n =

Pki=1 nik

.

Cuando no hay un valor de p conocido es necesario estimarlo con unas muestras iniciales. Estasmuestras deben estar recogidas cuando el proceso se encuentra en estado de control. Los pasos aseguir para la construcción del gráfico en este caso son:

1. Tomar k muestras (al menos 20) de tamaño muestral ni (i = 1, ..., k).


Prop. de diodos defectuosos

Muestra

pL. Central=0.08

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

0,18

Figura 5.1: Gráfico P para la proporción de diodos defectuosos con p conocido: p = 0,08.

2. Calcular la proporción de artículos defectuosos en cada muestra

pi =número de defectuosos

ni.

3. Calcular una estimación del valor poblacional p a través de la proporción total de defectuosos:

p =

Pki=1 diPki=1 ni

.

Este valor de p constituirá la línea central del gráfico de control. Si durante este periodode recogida de información el proceso ha estado bajo control, este estimador será un buenestimador de p. Este estimador es mejor que el promedio de los diferentes valores de pi, esdecir,

p =

Pki=1 pik

,

pues en este promedio no estamos teniendo en cuenta que cada muestra tiene tamaño muestraldistinto y, por tanto, precisión distinta.

4. Calcular los límites de control de manera que si el proceso está bajo control, y basándonosen la normalidad, sólo 3 de cada mil muestras estén fuera de los límites. Esto es equivalente,utilizando las propiedades de la distribución normal, a poner los límites en tres desviaciones

5.2 Gráfico P 7

típicas. Por tanto, el gráfico de control tiene las características siguientes:

Límite de Control Superior = p+ 3

sp(1− p)

ni

Línea Central = p (5.2)

Límite de Control Inferior = p− 3

sp(1− p)

ni

5. Dibujar el gráfico con la línea central y los límites de control y colocar los valores pi orde-nados en el tiempo. Si algún valor estuviese fuera de los límites habría que rechazar dichamuestra y repetir el proceso con las restantes. Se ha de recalcular entonjces p con las muestrasrestantes. Una vez que se tiene un gráfico con todos los valores dentro de los límites puedenconsiderarse éstos válidos y puede utilizarse el valor estimado p para posteriores muestras.

Ejemplo 1 (continuación):

Con los datos del ejemplo 1 y sin utilizar el valor de p = 0,08, se obtendría un valor estimadode

p =192

2370= 0,081 (5.3)

Los límites serán p± 3pp(1− p)/ni = 0,081± 0,819/

√ni (se usa el límite inferior 0 si resulta

un número negativo). La figura 5.2 muestra el nuevo gráfico de control

En este gráfico se vuelve a apreciar que hay un punto fuera de control. Por tanto la estimaciónde p hecha en 5.3 no es adecuada. Si eliminamos la muestra 9 del análisis y rehacemos el gráficose tiene la nueva estimación:

p =192− 202370− 114 = 0,076,

y los nuevos límites serán p ± 3pp(1− p)/ni = 0,076 ± 0,795/√ni. La figura 5.3 muestra el

nuevo gráfico. En esta ocasión todos los puntos se encuentran dentro de los límites, por lo que laestimación de p puede utilizarse para controlar el proceso en posteriores muestras.

Al no ser los límites constantes se ha de tener cuidado para interpretar tendencias y rachas enestos gráficos. Un procedimiento para simplificar la interpretación de las gráficos P es el uso devalores estandarizados. En este caso los valores representados en el gráfico son

zi =pi − prp(1− p)

ni

,

donde p es utilizado en lugar de p si este valor no es conocido. Con estos datos se tiene que

E(zi) = 0

Var(zi) = 1



Muestra

pL. Central=0.08

0 4 8 12 16 200

0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

0,18

Figura 5.2: Gráfico P para el porcentaje de diodos defectuosos. El valor de p está estimado con losdatos.


Muestra

p

L. Central=0.07

0 4 8 12 16 200

0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

0,18

Figura 5.3: Gráfico P para el porcentaje de diodos defectuosos. La muestra 9 ha sido eliminada(aparece con el símbolo X).

5.3 Gráfico NP 9

Prop. de diodos defect (estandarizado)

Muestra

p

0 4 8 12 16 20-3

-1

1

3

5

Figura 5.4: Gráfico P estandarizado para el porcentaje de diodos defectuosos. La muestra 9 hasido eliminada (aparece con el símbolo X).

y por tanto el gráfico estandarizado tendrá las siguientes características

Límite de Control Superior = 3

Línea Central = 0 (5.4)

Límite de Control Inferior = −3

La figura 5.4 muestra el gráfico estandarizado correspondiente al ejemplo 1 con p estimado.

Como puede observarse, la construcción del gráfico se resume a la obtención de una buenaestimación de p. A partir de entonces, y una vez fijada la estrategia de muestreo (tamaños mues-trales, frecuencia, criterios para determinar que una pieza es defectuosa), lo que hay que hacer paracontrolar estadísticamente el proceso es:

1. Tomar una muestra de tamaño ni

2. Calcular los LCS y LCI con ese valor ni y colocarlos en el gráfico

3. Contar el número de piezas defectuosas di y calcular la proporción sobre el total de la muestrapi.

4. Colocar este valor pi en el gráfico y verificar si el proceso está bajo control

5.3. Gráfico NPSe aplica al mismo tipo de procesos que en el caso anterior. La diferencia está en que, en lugar

de monitorizar la proporción de artículos defectuosos en una muestra, se monitoriza el número


de artículos defectuosos. En general, es útil si:

(a) el número es más relevante que la proporción,

(b) el tamaño muestral es constante.

Aunque matemáticamente sería posible construir un gráfico NP con tamaño muestral variable,su interpretación sería complicada, por lo que supondremos que se utilizan muestras de tamañoconstante ni = n, i = 1, 2, ... Llamemos di al número de artículos defectuosos en una muestra detamaño n. El gráfico de control será:

Límite de Control Superior = E(di) + 3pVar(di)

Línea Central = E(di)

Límite de Control Inferior = E(di)− 3pVar(di)

Sea p la proporción total de defectuosos que produce el proceso. Entonces di sigue una dis-tribución binomial de media np y varianza np(1 − p). Si n es grande ( y np(1 − p) > 5), dichadistribución puede aproximarse a la normal (ver apéndice del Capítulo 5). Por tanto, para n ele-vado, aproximadamente,

di = npi ∼ N (np, np(1− p)) .

Por tanto el gráfico de control NP será:

Límite de Control Superior = np+ 3pnp(1− p)

Línea Central = np

Límite de Control Inferior = np− 3pnp(1− p)

y si la aproximación a al normal es buena, contendrá al 99.7% de los datos si el proceso está bajocontrol. De nuevo, si el límite de control resultase negativo se usaría al valor cero. Para construirel gráfico de control es necesario estimar p, salvo que se conozca ya su valor. Al igual que en elcaso anterior, tanto el nivel medio como la variabilidad dependen sólo del parámetro p, por loque un solo grafico será suficiente para controlar el proceso. Para construir el gráfico se siguen lossiguientes pasos:

1. Se toman k muestras de tamaño n. El número de muestras k debe ser elevado (más de 20).también el tamaño muestral n debe ser grande (mayor de 50) y han de tomarse consecutiva-mente y a intervalos iguales

2. Contar el número de artículos defectuosos en cada muestra di

3. Contar el número total de defectuosos d1+d2+· · ·+dk y hallar el número medio de defectuosospor muestra:

p =

Pki=1 dink

=

Pki=1 dik

=d

n⇒ d = np.

Este valor d será un buen estimador de np, media del proceso, si el proceso ha estado bajocontrol durante esta etapa de recogida de información. Este valor medio d = np será la líneacentral del gráfico de control.

5.4 Gráfico C 11

4. Se calculan los límites de control a tres desviaciones típica, obteniéndose:

Límite de Control Superior = np+ 3pnp(1− p)

Línea Central = np

Límite de Control Inferior = np− 3pnp(1− p)

5. Se dibuja el gráfico trazando la línea central en np y los límites de control. Los límites decontrol serán ahora constantes, al ser constante el tamaño muestral n.

6. Colocar los valores di de forma secuencial. Si alguno se encuentra fuera de los límites decontrol habrá que eliminarlo y volver a reconstruir el gráfico con las muestras restantes.

La capacidad se sigue definiendo de la misma manera que en los gráficos P, es decir (1-p). Portanto la estimación de la capacidad es

Estimación de la capacidad=(1− p),

Ejemplo 2:

Se desea construir un gráfico de control NP para controlar un proceso que fabrica un chip quese insertará en una tarjeta de telefonía. Se tienen 25 muestras, cada una formada por 50 chips. Elnúmero de chips defectuosos en cada una de las muestras se muestra en la Tabla 5.2.

El gráfico de control que resulta se encuentra en la figura 5.5. En él puede apreciarse que hay unaobservación fuera de control por lo que habrá que eliminarla antes de considerar que la estimaciónde p es definitiva y pueda ser utilizada para analizar posteriores muestras. En este gráfico el LCIes cero, pues el valor que se obtiene aplicando la fórmula correspondiente es negativo: LCI=-1.87.

5.4. Gráfico CA veces, el interés no reside en el número de artículos defectuosos sino en el número de

defectos en un artículo o unidad de medida o, en general, el número de sucesos o atributosobservados por unidad de medida. Por ejemplo, en una película fotográfica interesa controlarel número de defectos por centímetro cuadrado. En un cable de fibra óptica interesa el número dedefectos por metro o kilómetro, o el número de averías detectadas por kilómetro una vez enterrado.En una centralita interesará controlar el número de llamadas por hora o minuto. En un puesto deatención a clientes, interesa el número de clientes que llegan por unidad de tiempo. La diferenciarespecto al caso de control del número de artículos con cierto atributo es el soporte en el que seobservan los sucesos. Mientras que antes el soporte es discreto: muestra de n elementos, ahorael soporte es contínuo: tiempo, longitud, superficie. Este tipo de control tiene interés cuando:


Muestra: Tamaño de la muestra Número de articulos defectuosos pi1 50 3 0.062 50 5 0.103 50 5 0.104 50 1 0.025 50 10 0.206 50 4 0.087 50 2 0.048 50 5 0.109 50 6 0.1210 50 4 0.0811 50 1 0.0212 50 0 0.0013 50 4 0.0814 50 6 0.1215 50 2 0.0416 50 2 0.0417 50 3 0.0618 50 4 0.0819 50 2 0.0420 50 5 0.1021 50 4 0.0822 50 5 0.1023 50 2 0.0424 50 4 0.0825 50 2 0.04

Total : 1250 91


Número de chips defectuosos

Muestra

np

L. Central=3.64

LCS=9.15

LCI=0.00

0 5 10 15 20 250

2

4

6

8

10

Figura 5.5: Gráfico NP para el número de chips defectuosos en 25 lotes de 50 chips cada uno.

5.4 Gráfico C 13

Las disconformidades aparecen de forma contínua (burbujas en vidrio, defectos en una placa,arañazos en plásticos, cortes en cables, llegada de clientes a un puesto de servicio...)

Los defectos pueden encontrarse por simple inspección a pesar de ser debidas a causas muydiversas

Este tipo de control es muy frecuente cuando el proceso es un servicio. Por ejemplo, interesa con-trolar el número de clientes atendido por unidad de tiempo, número de quejas por día, número dellamadas recibidas en cierto servicio telefónico, número de llamadas bloqueadas en un día, númerode llamadas atendidas por una centralita en una unidad de tiempo, número de fallos diarios en unequipo de intercomunicación, número de altas diarias en un servicio, etc.

Esta variable que se quiere controlar puede definirse como: número de sucesos en unintervalo de longitud fija. Si el proceso es estable y los sucesos ocurren de forma indepen-diente (la llegada de un cliente a un servicio no depende de cuántos clientes han solicitado eseservicio en esa unidad de tiempo, la rotura de un cable en un punto dado es independiente de si elcable se ha roto en otro punto) entonces el número de sucesos en un intervalo de longitudfija seguirá una distribución de Poisson (ver apéndice del Capítulo 5). La hipótesis de independen-cia puede también interpretarse como ausencia de memoria: el proceso no recuerda cuántos sucesosse registraron en la unidad de tiempo anterior.

Si x es una variable con distribución de Poisson de parámetro λ, el valor medio de dichadistribución es también λ. Por ejemplo, λ será el número medio de defectos por cm2 en unaplaca metálica, o número medio de clientes por día. La varianza de esta distribución es tambiénλ. Una propiedad interesante de la distribución de Poisson es la de aditividad; es decir, si elnúmero de sucesos en un intervalo es una distribución de Poisson de parámetro λ, el número desucesos en n intervalos es una Poisson de parámetro nλ. Si λ es elevado (λ > 5), la distribuciónde Poisson se aproxima bastante a la normal. Por tanto, utilizando la mencionada propiedadde aditividad tenemos que si tomamos una unidad de medida suficientemente grande, podremosutilizar la distribución normal como referencia. Entonces, el número de defectos D por unidad demedida (o no-conformidades) será, si la unidad de medida es suficientemente grande,

D ∼ N(λ, λ). (5.5)

De nuevo, conociendo un parámetro, λ, se tiene control sobre la media y la variabilidad del proceso.Bastará, entonces, con un solo gráfico de control. Sea Di el número de sucesos observado en unintervalo de longitud fija. Un gráfico de control para controlar la evolución de esta variable será:

Límite de Control Superior = E(Di) + 3pVar(Di)

Línea Central = E(Di)

Límite de Control Inferior = E(Di)− 3pVar(Di)

y, aplicando (5.5) se tiene que

Límite de Control Superior = λ+ 3√λ

Línea Central = λ

Límite de Control Inferior = λ− 3√λ


Hectómetro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Número de defectos 5 2 7 12 10 3 6 4 3 7 2 10


Si el LCI resultase negativo se usaría el valor cero. Si λ no fuese conocido habría que estimarlo conun conjunto de datos preliminares, procedentes del proceso en estado de control. En este caso, elgráfico se construiría de la siguiente forma:

1. Seleccionar la unidad de medida, de manera que en tal unidad se detecten por término medioal menos cinco ocurrencias (averías, defectos, clientes,...), para que la aproximación a lanormal sea buena. De esta forma los límites de control tendrían al 99.7% de las observacionesen estado de control.

2. Tomar k muestras (al menos 20) a intervalos regulares de tiempo y contar el número deocurrencias en cada muestra Di

3. Estimar λ con el número medio de ocurrencias observadas

λ =

Pki=1Di

k.

Si el proceso ha estado bajo control durante esta etapa, el valor λ será un buen estimador deλ =número medio de ocurrencias. Este valor se usará entonces como línea central del gráfico

4. Calcular los límites de control a tres desviaciones típicas. El gráfico resultante será:

Límite de Control Superior = λ+ 3pλ

Línea Central = λ (5.6)

Límite de Control Inferior = λ− 3pλ

Si el límite inferior es negativo se sustituye por el valor cero.

5. Dibujar el gráfico y colocar los valores Di de forma secuencial. Si alguno está fuera de controlse elimina y se recalcula el gráfico.

La capacidad del proceso se define por λ : número medio de defectos y se estima con λ. portanto

Estimación de la capacidad=λ

Ejemplo 3:

Un fabricante de cable de fibra óptica desea controlar la calidad del cable mediante un gráficode control C. Para ello toma como unidad de medida los 100 metros e inspecciona el número dedefectos que encuentra: microfisuras, arañazos externos, poros, etc. La inspección está altamenteautomatizada, inspeccionándose el 100% del cable. La tabla 5.3 muestra el resultado de 12 unidades(1200 metros).

5.5 Gráfico U 15

Número de defectos en un hectómetro

0 2 4 6 8 10 12

Hectómetro

0

3

6

9

12

15

c

L. Central=5.92

LCS=13.21

LCI=0.00

Figura 5.6: Gráfico C para el número de defectos de un hectómetro de cable.

El número medio de defectos es

λ =71

12= 5,92

que será la línea central del gráfico. Como esta media es superior a 5 tendremos que la aproximacióna la normal será buena, y el gráfico basado en (5.6) es correcto. El límite de control superior es

LCS=λ+ 3pλ = 13,21

y el inferior

LCS=λ− 3pλ = −1,38

por tanto se usaráLCI = 0.

La figura 5.6 muestra el gráfico de control donde están representadas las observaciones de laTabla.5.3.

5.5. Gráfico UEl gráfico U se utiliza cuando no es posible tener siempre la misma unidad de medida para contar

el número de defectos (o no-conformidades, o clientes, etc...). Entonces, se controla el número mediode defectos por unidad de medida. Por ejemplo:

Los elementos a analizar pueden contener un número variable de unidades: por ejemplo dosrollos de película fotográfica no tendrán exáctamente la misma longitud, diferentes láminasde vidrio tendrán distinta superficie.


Es difícil tomar mediciones a intervalos iguales de tiempo: el inspector puede estar dedicadoa varias tareas, por lo que es necesario un esquema de muestreo más flexible.

Llamaremos ci al número de defectos (u ocurrencias de cierto suceso) en la muestra i-ésima yni al número de unidades de medida analizadas (número de metros del cable, número de unidadesde tiempo, número de cm2 de superficie analizada...). El número de defectos por unidad de medidaserá

ui =cini=número de defectos en ni unidadesnúmero de unidades de la muestra

(5.7)

La variable ci es una variable Poisson de parámetro

λi = niλ,

donde λ es el número medio de sucesos por unidad. Por tanto:

E(ci) = λi = niλ,

Var(ci) = λi = niλ.

Esta variable ui es, entonces, un promedio de variables tipo Poisson, donde los sucesos se observanen intervalos de longitud distinta. Si el valor de ni es suficientemente grande, la variable aleatoriaui será, por el Teorema Central del Límite, aproximadamente normal. El gráfico de control de lavariable ui será:

Límite de Control Superior = E(ui) + 3pVar(ui)

Línea Central = E(ui)

Límite de Control Inferior = E(ui)− 3pVar(ui)

y si la aproximación a al normal es buena, contendrá al 99.7% de las observaciones. De (5.7) seobtiene que

E(ui) =E(ci)

ni=

niλ

ni= λ.

Var(ui) =Var(ci)n2i

=niλ

n2i=

λ

ni.

El gráfico de control será, entonces,

Límite de Control Superior = λ+ 3

rλ

niLínea Central = λ

Límite de Control Inferior = λ− 3r

λ

ni

Si la media λ es desconocida se puede estimar con valores preliminares de ui. La media de ladistribución del número medio de defectos se estimará con

u =número total de defectosnúmero total de unidades

=

Pki=1 ciPki=1 ni

.

5.5 Gráfico U 17

Entonces dVar(ui) = u

ni.

Y el gráfico de control U será:

Límite de Control Superior = u+ 3

ru

ni

Línea Central = u

Límite de Control Inferior = u− 3r

u

ni

El LCI será cero si la fórmula anterior diese un valor negativo. En resumen, el gráfico se construiráde la siguiente manera:

1. Se toman k muestras de tamaños ni, i=1,...,k y se cuenta el número de defectos ci de cadamuestra y el número medio por unidad de medida de cada muestra ui = ci/ni.

2. Se calcula la media del número medio de defectos por unidad de medida u. Si el proceso haestado bajo control, este estimador u será un buen estimador de λ y será la línea central delgráfico.

3. Se calculan los límites de control a tres desviaciones típicas de la línea central

LCS = u+ 3

ru

ni,

LCI = u− 3r

u

ni.

Estos límites varían con el tamaño muestral. Al igual que ocurría con los gráfico P, dado quelos límites de control no son constantes, la interpretación de rachas y tendencias se ha de hacercon cautela. Una posible opción sería representar el gráfico normalizado; es decir, representar losvalores

zi =ui − ur

u

ni

,

en un gráfico donde la línea central es cero y los límites LCS=3 y LCI=-3. La capacidad del procesose define como u, por tanto

Estimación de la capacidad=u.

Ejemplo 4:

Un operario inspecciona la calidad de unos circuitos impresos (arañazos, bandas incorrectas,grosor no uniforme, etc.). Los circuitos que inspecciona son muy diversos. Según el tipo de circuitose apunta su superficie y el número de defectos. Tras inspeccionar 12 placas obtiene los datos dela Tabla 5.4.


Superficie (cm2) 50 50 34 38 54 22 22 25 50 34 34 38número de defectos 4 3 4 4 4 3 5 3 4 2 2 4


Número medio de defectos por unidad de sup.

Placa

u

0 2 4 6 8 10 120

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

Figura 5.7: Gráfico U para el número medio (por cm2) de defectos en placas de circuitos impresos.

El número total de defectos es 42 y la superficie total 451. Por tanto

u =42

451= 0,093

Los límites de control dependen de cada placa, al tener superficies distintas. La figura 5.7 muestrael gráfico de control donde se representan los valores de ui (u1 = 4/50, ..., u12 = 4/38) del númerode defectos por cm2. La figura 5.8 muestra el gráfico de control estandarizado. En ambos gráficosse observa que el proceso está en estado de control.

Apéndice: Curva Característica de Operaciones

La curva característica de operaciones o curva OC (del inglés Operating-Characteristic curve)es una función que proporciona, para un gráfico de control dado, la probabilidad de aceptar in-correctamente la hipótesis de estado de control. Es decir:

Curva OC=Probabilidad de NO detectar un estado fuera de control.

5.5 Gráfico U 19

Número medio de defectos por unidad de sup.

Placa

u

0 2 4 6 8 10 12-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 5.8: Gráfico U para el número medio (por cm2) de defectos en placas de circuitos impresos.Gráfico estandarizado.

Esta curva aparece en muchas aplicaciones informáticas, por lo que es importante entender su sig-nificacdo. La curva OC es, entonces, una medida de la sensibilidad del gráfico de control. Supong-amos que el gráfico de control representa la evolución del estadístico yi , por ejemplo, una mediamuestral , varianza muestral, proporción muestral, etc. Los límites de control serán, en general,

Límite de Control Superior = E(yi) + 3pVar(yi)

Límite de Control Inferior = E(yi)− 3pVar(yi)

Si llamamos μc a la media de yi cuando el proceso está bajo control, la curva OC será

OC(μ) = P (LCI ≤ yi ≤ LCS|E(yi) = μ 6= μc).

Veámos a continuación cómo es esta curva según el tipo de gráfico.

Gráfico P

Cuando el estadístico de interés es la proporción de artículos defectuosos pi se tiene que

pi ≈ N

µp,p(1− p)

ni

¶,

donde, si p es desconocido se estima con los datos. Con los datos del ejemplo 1, y construyendo loslímites con un tamaño muestral promedio, se obtiene, usando el Statgraphics, el siguiente gráficode control y la respectiva curva OC:


p Chart for Diodef/Numdiodos

Subgroup

p

L. central=0.07

LCS=0.149

LCI=0.0032

0 4 8 12 16 200

0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

0,18

Gráfico de control para los datos del ejemplo 1.

OC Curve for p

Process proportion

Pr(a

ccep

t)

0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2 0,240

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Curva OC para el gráfico de control correspondiente a los datos del ejemplo 1.

Si p = 0,076 es la estimación de p (línea central del gráfico) cuando el proceso está bajo control,la curva OC será:

OC(p) = P (0 ≤ pi ≤ 0,15|E(pi) = p 6= 0,076).Como

pi =número de defectos

tamaño (medio) de la muestra=

din

se puede escribir que

OC(p) = P (nLCI ≤ di ≤ nLCS|p)= P (di ≤ nLCS|p)− p(di < nLCI|p)

y se puede usar la distribución binomial acumulada para calcular esas probabilidades con mayorprecisión que usando la distribución normal. Por ejmplo, si la proporción disminuye a p = 0,04 laproporción muestral será, aproximadamente,

pi ≈ N

µ0,02,

0,04× 0,96n

¶,

mientras que el número de artículos defectuosos será

di ∼ B(n, 0,04)

5.5 Gráfico U 21

donde n es el promedio de los tamaños muestrales ni igual a n = 118,7. La probabilidad de nodetectar este cambio será:

OC(0,02) = P (118,7× 0,00318 ≤ di ≤ 118,7× 0,1493) = P (0,378 ≤ di ≤ 17,72).

El resultado final variará según se haga la aproximación a valores enteros para utilizar la binomial.Por eso, pueden encontrarse a veces diferencias según el software empleado. Por ejemplo, si aprox-imamos a los enteros que produzcan un intervalo más estrecho se obtiene (cálculos realizados conel Statgraphics):

P (di ≤ 17)− P (di ≤ 1) = 1− 0,05 = 0,95,

mientras que si aproximamos para obtener un intervalo más amplio:

P (di ≤ 18)− P (di = 0) = 1− 0,008 = 0,99.

Otra posibilidad es utilizar el promedio de estos valores. Si promediamos ambos resultados seobtiene

OC(0,02) ≈ 0,97

Gráfico NP

Los gráficos siguientes muestran el gráfico de control y OC del ejemplo 2, sobre el número dechips defectuosos en lotes de 50.

np Chart for Defchip

Subgroup

np

L. central=3.38LCS=8.70

LCI=0.00

0 5 10 15 20 250

2

4

6

8

10

OC Curve for np

Process mean count

Pr(a

ccep

t)

0 3 6 9 12 150

0,2

0,4

0,6

0,8

1


La curva OC(p) es la probabilidad de que una muestra tenga un valor npi que esté dentro delos límites de control pero que p 6= p = 3,38. Sea di = npi el número de arrículos defectuosos enun lote. Entonces, la curva OC(p) es

OC(p) = P (LCI ≤ di ≤ LCS|p)= P (0,00 ≤ di ≤ 8,79),

donde

di ∼ B(n, p)

Por ejemplo, si el dúmero de artículos defectusos aumenta a np = 6 (n = 50, p = 0,12) la probabil-idad de no detectarlo es

P (0,00 ≤ di ≤ 8,79|di ∼ B(50, 0,12)).

Al igual que con el gráfico P, la solución final dependerá de cómo tratemos los números no enterosde los límites de control. Una posible opción es promediar las dos siguientes probabilidades:

P (0,00 ≤ di ≤ 8|di ∼ B(50, 0,12)) = 0,86

P (0,00 ≤ di ≤ 9|di ∼ B(50, 0,12)) = 0,93

Por tanto

OC(p = 0,12) =0,86 + 0,93

2= 0,895,

que es, aproximadamente, el valor que puede verse en la curva OC del Statgraphics.

Gráfico C

Los gráficos siguientes muestran el gráfico de control y curva OC del ejemplo 3: defectos porhectómetro de cable:

5.5 Gráfico U 23

c Chart for Defcable

Observation

c

Centerline = 5,9

UCL = 13,21

LCL = 0,00

0 2 4 6 8 10 120

3

6

9

12

15

OC Curve for c

Process mean count

Pr(a

ccep

t)

0 4 8 12 16 20 240

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Ahora la distribución exacta del número de defectos es la Poisson. Si llamamos ci al número dedefectos por hectómetro, y λ al parámetro de la Poisson en estado de cobntrol, la curva OC será

OC(λ) = P (LCI ≤ ci ≤ LCS|ci ∼ P(λ 6= λ)).

Por ejemplo, si el número medio aumenta hasta λ =12 defectos/hectómetro, el valor de la curvaOC será:

OC(12) = P (0,0 ≤ ci ≤ 13,21|ci ∼ P(12)).

Usando la distribución de Poisson acumulada (operaciones que se pueden hacer fácilmente con elStatgraphics) se obtienen los siguientes resultados

OC(12) = P (0,0 ≤ ci ≤ 13|ci ∼ P(12)) = 0,68,OC(12) = P (0,0 ≤ ci ≤ 14|ci ∼ P(12)) = 0,77,

y el promedio es

OC(12) =0,68 + 0,77

2= 0,725.

Gráfico U

Los gráficos para el ejemplo 4 sobre defectos en placas de circuitos impresos son:


u Chart for Defplaca/Suplaca

0 2 4 6 8 10 12

Subgroup

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

u

Centerline = 0,0

UCL = 0,24

LCL = 0,00

OC Curve for u

Process frequency

Pr(a

ccep

t)

0 0,1 0,2 0,3 0,40

0,2

0,4

0,6

0,8

1

donde se ha usado como tamaño muestral (número de unidades en cada muestra) un promedio(n = 37,58). La curva OC es

OC(λ) = P (LCI ≤ ui ≤ LCS)

Si el número medio de defectos aumtenta hasta λ = 0,2, se tiene que, aproximadamente,

ui ∼ N

µ0,2,

0,2

37,58

¶≡ N

¡0,2, 0,0732

¢.

El valor de la curva OC usando esta aproximación a la normal será:

OC(0,2) = P

µ0,0− 0,20,073

≤ z ≤ 0,24− 0,20,073

¶= P (−2,74 ≤ z ≤ 0,548|z ≈ N(0, 1)) = 0,71.

Otra forma de resolverlo es utilizando la distribución de Poisson. Si λ = 0,2 y n = 37,58, se tieneque el número de defectos por muestra promedio sera

ci ∼ P(nλ) = P(7,52).

Por tanto, como ui = ci/n, se tiene que

OC(0,2) = P (0,0n ≤ ci ≤ 0,24n|ci ∼ P(7,52))= P (0 ≤ ci ≤ 9,019|ci ∼ P(7,52)) ≈ 0,77

que está más próximo al valor que proporciona el gráfico del Statgraphics

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