Cap°tulo 4 TE - Estructuras espaciales de nudos r°gidos

P. Martínez 2011/2012

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TEORÍA DE ESTRUCTURAS

Capítulo 4

Estructuras espaciales de nudos rígidos

Departamento de Estructuras y Construcción Universidad Politécnica de Cartagena

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nudo

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Índice

4.1 Introducción 4.2 Sistemas de coordenadas. Matrices de rotación 4.3 Matriz de rigidez elemental en el sistema local 4.4 Matriz de rigidez elemental en el sistema global 4.5 Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura 4.6 Condiciones de contorno 4.7 Cálculo de desplazamientos 4.8 Cálculo de esfuerzos 4.9 Cálculo de fuerzas en los nudos

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4.1 Introducción

• Este capítulo está dedicado a la aplicación del método de las rigideces para estructuras espaciales de nudos rígidos. Este es el caso más general, y cualquier estructura puede analizarse como estructura espacial de nudos rígidos, si bien con un costo computacional mayor que si se emplea una formulación más ajustada a la estructura a analizar

• La generalidad del método de las rigideces hace que la aplicación al resto de las estructuras (espaciales de nudos articulados, planas de nudos rígidos y emparrillados) pueden obtenerse siguiendo un procedimiento similar al de las estructuras espaciales de nudos rígidos.

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4.2 Sistemas de coordenadas. Matrices de rotación (1)

• En este tipo de estructuras, tanto las cargas como los elementos pueden adoptar cualquier posición en el espacio tridimensional

• Este tipo de estructuras es el más general que puede presentarse, pudiendo obtener el resto de estructuras (articuladas, planas de nudos rígidos y emparrillados) como un caso particular, colocando ceros en las posiciones correspondientes a los grados de libertad no utilizados

• Para el desarrollo que sigue se van a utilizar las dos hipótesis siguientes:

1. Todas las cargas son puntuales y están aplicadas en nudos, y

2. Todos los nudos son rígidos, excepto los apoyos, que deben ser ideales (desplazamientos o reacciones cero en cualquiera de los grados de libertad. Esto elimina los apoyos elásticos)

• En este tipo de estructuras el número de grados de libertad por nudo es de seis. Así pues, los vectores de fuerzas (desplazamientos) generalizadas serán de seis componentes, tres fuerzas (desplazamientos) y tres momentos (giros).

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• Los sistemas de coordenadas, global de la estructura y local de los elementos, son los de la figura

X

Y xi, p1, d1

yi, p2, d2

p6, d6 i

p5, d5

p4, d4

zi, p3, d3

xj, p7, d7

yj, p8, d8

p12, d12 j

p11, d11

p10, d10

zj, p9, d9

Z

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• El sistema de coordenadas local de un elemento se forma del siguiente modo:

1. El eje x tiene la dirección del elemento y su sentido positivo va del nudo i al nudo j. Los cosenos directores del eje x en el sistema de coordenadas global son

2. El eje y se adopta perpendicular a los ejes x y Z, de manera que coincida con el producto vectorial de Z por x

3. Puesto que el sistema de coordenadas debe ser ortogonal y dextrógiro, el eje z se determina con la condición de ortogonalidad

[ ]xZxYxX coscoscos=x [ ]xxx nml=

−−−=

ij

ij

ij

ij

ij

ij

LZZ

LYY

LXX

=∧=

xxx nml100'kji

xZy''

yyy = [ ]yyy nml=

yxz ∧= [ ]zzz nml=

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• La matriz de rotación que pasa del sistema global al local, en el extremo i del elemento ij, es

=

zzz

yyy

xxx

ij

nmlnmlnml

'R

• Puesto que los vectores en ambos sistemas tienen seis componentes, la matriz de transformación deberá ser de 6x6

= '

'

R00R

Rij

ijij

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4.3 Matriz de rigidez elemental en el sistema local (1)

−

−

−

−

−−

−

−

=

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LGJ

LGJ

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LGJ

LEI

LEI

LEA

zzzz

yyyy

yyy

zzz

zz

yy

y

z

peij

400060200060

40

6000

20

600

00000000

12000

60

1200

1206000120

00000

400060

40

600

000

SIM.12

00

120

22

22

323

323

2

2

3

3

k

=

pijjpji

pijpjii

peij kk

kkk

• La expresión de la matriz de rigidez del elemento en un sistema de coordenadas cuyos ejes coinciden con los principales de inercia de la sección es

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• En el caso más general, el eje y local no coincidirá con el principal de inercia de la sección . El giro β entre ambos ejes es el de la figura

yp

zp

z

y

β

• La matriz que pasa del sistema local al sistema de ejes principales de la sección es

( )( )

+−=ββββ

cos90cos090coscos0001

pij'R

=

pij

pij

pij '

'

R00R

R

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• La ecuaciones de comportamiento para un elemento conectado a los nudos i y j, en el sistema de ejes principales de inercia, son

=

pji

pij

pijjpji

pijpjii

pji

pij

dd

kkkk

pp

=

ji

ij

pijpijjp

Tijpijpjip

Tij

pijpijpTijpijp

jiip

Tij

ji

ij

dd

RkRRkRRkRRkR

pp

y en el sistema local

=

ji

ijijjji

ijjii

ji

ij

dd

kkkk

pp

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4.4 Matriz de rigidez elemental en el sistema global

• La ecuaciones de comportamiento para un elemento conectado a los nudos i y j son

=

ji

ijijjji

ijjii

ji

ij

dd

kkkk

pp

=

ji

ijijjji

ijjii

ji

ij

DD

KKKK

PP

=

ji

ij

ijijj

Tijijji

Tij

ijijTijij

jii

Tij

ji

ij

DD

RkRRkRRkRRkR

PP

=

ji

ij

ijpijpijjp

Tij

Tijijpijpjip

Tij

Tij

ijpijpijpTij

Tijijpijp

jiip

Tij

Tij

ji

ij

DD

RRkRRRRkRRRRkRRRRkRR

PP

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4.5 Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura

• Las condiciones de equilibrio en el nudo i son

++= imiji PPP ++++= mimimiijiji

jii DKDKDKDK +++= mimjijiii DKDKDK

DKP =

=

m

j

i

mmmjmi

jmjjji

imijii

m

j

i

DDD

KKKKKKKKK

PPP

• La aplicación de las condiciones de compatibilidad en el nudo i supone

iimij DDD ===

• La ecuaciones de comportamiento para los elementos que concurren al nudo i son

jiijijjiiij DKDKP += miimim

miiim DKDKP +=

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4.6 Condiciones de contorno

=

I

L

IIIL

LILL

I

L

DD

KKKK

PP

• La matriz de rigidez, K, es singular y no puede invertirse, debido a que la estructura sin las condiciones de apoyo es estáticamente inestable, lo que hace que haya infinitas soluciones al sistema anterior. Aplicando las condiciones de apoyo se llega a una matriz de rigidez no singular

• Si dividimos los grados de libertad en liberados (L) e impuestos (I)

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4.7 Cálculo de desplazamientos

ILILLLL DKDKP +=

( )ILILLLL DKPKD −= −1

En el caso particular de que todos los grados de libertad impuestos tengan valor cero

LLLL PKD 1−=

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4.8 Cálculo de esfuerzos

jijjijiji

jijijiiij

DKDKPDKDKP

+=+=

jiijji

ijijij

PRpPRp

==

=

j

iijjji

ijjii

ji

ij

DD

KKKK

PP

• El segundo procedimiento consiste

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4.9 Cálculo de fuerzas en los nudos

• El segundo procedimiento consiste

∑=

=b

jiji

1PP

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