69

Capítulo 4. Dispersión Raman Electrónica

El estudio de la dispersión Raman es una poderosa técnica para la investigación de varias

propiedades físicas en las nanoestructuras. La estructura electrónica de los semicon-

ductores, las nanoestructuras, y en particular las nanoestructuras semiconductoras, pueden

ser estudiadas teniendo en cuenta diversas polarizaciones de la radiación incidente y

emitida.

Consideraremos un electrón confinado en la banda de conducción dentro de un QWW a

temperatura 0 KT . La banda la asumimos parabólica, comúnmente usada en

semiconductores polares II - VI cuando se trabaja cerca del centro de la zona de Brillouin,

en el esquema de bandas reducidas. El rompimiento de la estructura de subbandas del

sistema es debido al confinamiento y a la presencia del campo magnético. Bajo estas

condiciones dinámicas el potencial de barrera no implica transiciones interbandas.

El proceso de dispersión Raman electrónica (ERS, por sus siglas en inglés electron Raman

scattering) que desarrollamos aquí puede ser cualitativamente descrita de la siguiente

forma: primero, un electrón de la banda de conducción absorbe un fotón de radiación

incidente de energía l

y realiza una transición intrabanda, luego el electrón emite un

fotón de radiación secundaria de energía s debido a una nueva transición intersubbanda.

En este capítulo se describe la dispersión Raman en un alambre cuántico semiconductor de

geometría cilíndrica en presencia de un campo magnético externo.

4.1 ERS en un alambre cuántico semiconductor con campo magnético

externo.

En relación con el fenómeno de la dispersión Raman, el cálculo de la sección eficaz de

dispersión permite obtener una mejor comprensión del sistema estudiado. Para poder

determinarla primero debemos de obtener los elementos matriciales involucrados en ésta.

70

4.1.1 Elementos Matriciales.

El hamiltoniano para el campo de radiación tiene la forma

2ˆ ˆ

e

V

H e p

donde ˆH es el primer término de la ecuación (2.44) en la aproximación dipolar, y e

son la frecuencia y el vector de polarización unitario; el subíndice ( )l s indica a la

radiación incidente y secundaria, respectivamente.

La aproximación dipolar es comúnmente utilizada para la dispersión Raman electrónica y la

dispersión Raman resonante en nanoestructuras [50, 54, 53 y 55]. Esta aproximación es

válida siempre que la longitud de onda de la radiación sea mucho mayor que el radio del

alambre. En este trabajo consideraremos que el radio del alambre es menor que 100 Å . El

efecto de reducir la dimensionalidad en la absorción de los portadores libres, y las reglas de

selección para la transición intersubbanda, se han discutido en la referencia [50].

Para calcular (2.70) necesitamos determinar los elementos matriciales que aparecen en

(2.71). Tomemos como y a b dos estados diferentes, entonces

2ˆ ˆ

ea b a b

V

H e p

como ˆ i p tenemos que

2ˆ e

a b i a bV

H e . (4.1)

Propongamos una nueva base

ˆ ˆ

ˆ ˆ,2

x y

z

i

e ee e ,

y representemos el operador en coordenadas cilíndricas en esta base.

Para ello en simetría circular tenemos que

71

ˆ ˆ ˆcos sen

ˆ ˆ ˆsen cos

r x y

x y

e e e

e e e

entonces

ˆ ˆ ˆ ˆi

r x yi e

e e e e

de aquí podemos determinar que

1ˆ ˆ ˆ

2

ˆ ˆ ˆ2

i i

r

i i

e e

ie e

e e e

e e e

como

,

ˆr z

z

e

y siendo

,

ˆˆ

r rr r

ee

sustituyendo tenemos que

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ .2 2

i i i i

r

ie e e e

r r

e e e e

Por lo que finalmente podemos escribir en la nueva base como sigue:

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2

i i i i

z

ie e e e

r r z

e e e e e ,

de aquí se observa que tenemos tres polarizaciones.

Para la polarización e :

De la ecuación (4.1) tomando y ba a b bn m n ma tenemos que

72

2 1

2ˆ ˆ ˆ

d d f f

ea b i

V

a b a b

H e e

donde 1 1 y 2 2 , 1 y

2 son las masas efectivas fuera y dentro del alambre,

respectivamente; los subíndices d y f en los estados a y b representan los estados dentro

y fuera del alambre. Aquí por entendemos

2

ie i

r r

.

Como a y b representan estados cualesquiera los podemos representar como

a a b bn m n ma y b

y de aquí

' ''

221

,

02

,

, , 1 ,

1 1

2

1

2

1.

2

a b a b

a a b b sa sb

a b sa sb

b

a a b a b a b s s

L

i k k z i m m

n m n m m m

LV

brn rn m m

rn

rn b rn rn k k m m m m

a b dV e dz e dL

mr dr

r r

r dr m drr

por lo que finalmente tenemos que

, , 1 ,

0

ˆ ˆˆ .

a b a b a b a b sa sbn n b n n k k m m m m

ea b i I m II

V r

H

e e (4.2)

donde

0

0

, 2 0 1 0

0 00

,a b a b a b a b a b

r

n n n n n n n n n n

r

I r A A R r R r rdr r B B K r K r rdrr r

0

,

0

2 0 1 0

0 00

.n n a b a b a b a ba b

r

n n n n n n n n

r

II r A A R r R r dr r B B K r K r dr

Como podemos observar el elemento matricial sólo depende del número cuántico m , por lo

que es mejor utilizarlo para etiquetar nuestras expresiones que el número cuántico n .

73

Como puede observarse la emisión o absorción de un fotón solo puede darse entre estados

consecutivos del número cuántico m , acorde a la regla de selección 1a bm m .

Para la polarización ze

2 1

2ˆ ˆ ˆz d d f fz

ea b i a b a b

V z z

H e e ,

2

, , ,

2

2

,

0

, , ,

1

2

.

a b

a a b b sa sb

a b

a b sa sb

a b a b a b sa sb

L

i k k zbn m n m m mz

LV

i m m

r n r n m m

b r n r n k k m m m m

ika b dV e dz

z z L

e d r dr

ik r dr

Si definimos como

0

0

, 2

0

1

0 0

,

a b a b a b

a b a b

r

n n n n n n

n n n n

r

III A A R r R r dr

B B K r K r dr

entonces

, , , ,

2ˆ ˆ ˆ .a b a b a b sa sbb z n n k k m m m mz

ea b k III

V

H e e

Finalmente el resultado general puede escribirse como

, 1

0

, 1

0 , , ,

ˆ ˆ ˆ ˆ

, , ,

, , ,

2 .

a b

a b

a b a b a b sa sb

z

a a b b m m

a a b b m m

b z n n m m k k m m

a b a b a b a b

ei T m n m n

r V

T m n m n

i k r III

H H H H

(4.3)

donde

, , , .a b a ba a b b n n b n nT m n m n I m II

74

4.1.2 Sección eficaz diferencial de ERS.

La sección eficaz diferencial de ERS está dada por la ecuación (2.70) y depende de la

polarización de la radiación incidente y la emitida. Para poder determinarla debemos de

obtener (2.71) acorde a la regla de oro de Fermi, la cual para nuestro problema tiene la

forma

2

1 2

2, ,s s f iW M M

e

donde hemos llamado a

1

2

ˆ ˆ

ˆ ˆ

s l

a i a a

l s

b i b b

f a a iM

i

f b b iM

i

H H

H H

(4.4)

Aquí a y b son estados intermedios con energías a y

b ; i y f son los estados

inicial y final con energías i y f ; a y b son los tiempos de vida del electrón en los

estados a y

b .

En el estado inicial tenemos un electrón en una subbanda de conducción y un fotón de

radiación incidente, en el estado final tenemos un electrón en otra subbanda de conducción

y un fotón de radiación secundaria. Las energías de los estados inicial y final son

2 2

2 2

0 0y .2 2

i l r B s f s r B sk B g m k B g m

Para la dispersión Raman, el estado intermedio tiene dos posibilidades [56]:

1) El electrón absorbe el fotón incidente y después emite un fotón de radiación secundaria.

2) El electrón emite el fotón de radiación secundaria y después absorbe el fotón incidente.

La energía de los estados intermedios es

2 2

2 2

0 0 .2 2

a r B s b l s r B sk B g m y k B g m

Considerando que i f

75

2

2 2

02

i a s r r B s sk k B g m m

(4.5)

2

2 2

02

i b l r r B s sk k B g m m

(4.6)

además

2

2 2

0 .2

i a l s r r B s sk k B g m m

(4.7)

El término de la polarización en z de los elementos matriciales dependerá de 2k , por lo

que al realizar la suma sobre todos los valores de , k el resultado es divergente. Por

tanto la dispersión Raman en la dirección z está prohibida, de forma similar al caso del

pozo [55]. En [50], se demuestra que la ERS sólo puede darse en la dirección de

confinamiento.

Sustituyendo (4.3) y (4.5) en (4.4)

2 3

1 , , , ,2 2, ,0

, 1 , 1

, 1 , 1

22 2

0

, , , , , ,

, , , , , ,

2

s s s s

s

k k m m k k m m

m n k ms l

s m m s m m

l m m l m m

s r r B s

eM

V r

T m n m n T m n m n

T m n m n T m n m n

k k B g m

1

.sm

Realizando las operaciones algebraicas propuestas se obtienen cuatro contribuciones, de

modo tal que

1 1 1 1 1 ,M M M M M

siendo

76

'

'

32, , , 1 , 1

1 2 2

32, , , 1 , 1

1 2 2

, , , , , ,

, , , , , ,

s s

s s

s l k k m m m m m m

n s r r as l

s l k k m m m m m m

n s r r as l

T m n m n T m n m neM

iV r

T m n m n T m n m neM

iV r

'

'

32, , , 1 , 1

1 2 2

32, , , 1 , 1

1 2 2

, , , , , ,

, , , , , ,

s s

s s

s l k k m m m m m m

n s r r as l

s l k k m m m m m m

n s r r as l

T m n m n T m n m neM

iV r

T m n m n T m n m neM

iV r

.

Para calcular 2M se opera de la misma forma que para

1M . Al realizar las operaciones

algebraicas obtenemos que 2M tiene la misma estructura que

1M , diferenciándose sólo en

el denominador.

La suma de 1M y

2M la podemos condensar en las siguientes expresiones:

2 3

2 2,0

, , 1 , 1

, , , , , ,

1 1

s l

m ns l

k k m m m m

s r r a l r r b

eM T m n m n T m n m n

Vr

i i

(4.8)

2 3

2 2,0

, , 1 , 1

, , , , , ,

1 1.

s l

m ns l

k k m m m m

s r r a l r r b

eM T m n m n T m n m n

Vr

i i

(4.9)

Considerando las deltas,

2, ,f i l s m n m n

Tenido en cuenta las reglas de selección se obtienen para la sección eficaz cuatro términos

independientes,

2 2 2 2 2

.s s s s s

d d d d d

d d d d d d d d d d

77

Realizando la sustitución de la delta de Dirac por la función Lorenziana con el objetivo de

tener en cuenta el tiempo de vida del fonón (f ),

22

1 f

f i

f i f

,

obtenemos:

2 42 2

4 2. ,

, 2

2 2

, ,

s ss l

m n m ns l l

m m f

l s m n m n f

d e

d d c

(4.10)

y

2 42 2

4 2, ,

,

2 2

, ,

s ss l

m n m ns l l

m m f

l s m n m n f

d e

d d c

(4.11)

donde 2

0 2

0 02 r

y

, 1 , 1

,

0 0

, , , ,

, , , , , , m m m m

m n

s m n m n a l m n m n b

T m n m n T m n m n

i i

(4.12)

, 1 , 1

,

0 0

, , , ,

, , , , , ,

.

m m m m

m n

s m n m n a l m n m n b

T m n m n T m n m n

i i

(4.13)

4.1.3 Discusión de los Resultados.

Calculamos la sección trasversal diferencial para un proceso de ERS en un alambre

cuántico semiconductor con campo magnético externo en la dirección z. Los parámetros

78

físicos utilizados en nuestra formulación corresponden a un sistema crecido en una matriz

de 0.35 0.65GaAs / Al Ga As y 0.001 eVa b f [53].

Las ecuaciones (4.10) y (4.11) tienen un pico cuando

1, , , 1, ,r rm n m n m n m n

y

, ,, , ,

, ,

s r r

l r r

m n m n lm n m n

m n m n s

con 2 para la polarización s l y 0 para la polarización

s l .

Como puede observarse, el campo magnético produce que los niveles se dividan en dos

estados diferentes, debido a que la transición puede ocurrir sólo entre estados consecutivos

para el número cuántico m , es decir 1m m , pero no hay restricción para el número

cuántico n . Por esta razón no podemos observar los picos relacionados a la transición

intrasubbanda. Hemos obtenido dos picos porque teníamos dos diferentes tipos de

subbandas, uno para valores negativos de m y otro para valores positivos. El contacto entre

el sistema de subbandas es en este caso el estado 0m , 1n ; este nivel se corresponde

con el estado base con campo magnético.

Las reglas de selección son diferentes para las cuatro polarizaciones:

, 1, ,

, 1, ,

, 1, ,

, 1, ,

s l

s l

s l

s l

m n m n

m n m n

m n m n

m n m n

Los picos relacionados con estas transiciones son independientes del fotón de radiación

incidente para el espectro de emisión, y generalmente se les denomina como picos

resonantes [55, 56 y 57]. En el caso de los espectros de excitación los picos resonantes

son independientes del fotón de radiación secundaria. Las otras singularidades,

comúnmente llamadas no resonantes, están relacionadas con las siguientes reglas de

selección:

79

, 2, ,

, , ,

, 2, ,

, , ,

s l

s l

s l

s l

m n m n

m n m n

m n m n

m n m n

Estas transiciones son responsables del incremento, aproximadamente de un orden de

magnitud, de la intensidad del espectro Raman para las polarizaciones s l y

s l (ver figura 4.1).

En la figura 4.1 graficamos el espectro de emisión para diferentes polarizaciones del fotón

de radiación incidente y secundario con 0 50 År y 0.28 eVl . El campo magnético

rompe la degeneración de los estados, permitiendo la aparición de nuevos estados

Figura 4.1: Espectro de emisión de un QWW para 0 50 År y 0.28 eVl . La línea continua

corresponde a 0 1 TB y la línea discontinua a 0 20 TB : ) ,s la ) ,s lb ) s lc y

) s ld .

80

electrónicos lo cual a su vez permite la aparición de nuevas singularidades que no están

presentes en el caso de la dispersión Raman electrónica sin campos magnéticos. Se puede

observar que el campo magnético provoca el desplazamiento de los picos en todas las

polarizaciones, en el caso de las polarizaciones s l y

s l el desplazamiento

ocurre hacia valores de mayor de energía, mientras que para las polarizaciones s l y

s l los picos se desplazan a valores de menor de energía. Este comportamiento es

debido a que el aumento de la intensidad del campo magnético produce un incremento del

gap entre las subbandas negativas ( m menor que cero) y un decrecimiento del gap entre las

subbandas positivas ( m mayor que cero). Para las polarizaciones s l y

s l

los picos correspondientes a no se observan, debiéndose esto a las reglas de selección

que aparecen en la ecuación (4.12). Esta singularidad es posible observarla en las

polarizaciones s l y

s l debido a las reglas de selección de la ecuación

(4.13).

En la figura 4.2 incrementamos el radio de 50 Å a 60 Å para un campo magnético de

0 1.0 TB . Como resultado de esta variación aparecen nuevas singularidades, debido a que

un aumento del radio permite la aparición de nuevas subbandas dentro del QWW, como

puede apreciarse en la figura 3.3. También podemos observar que los picos

correspondientes a un QWW de 50 Å (figura 4.1) permanecen en el espectro de emisión

pero desplazados a valores de menor energía, debiéndose esto a que el incremento del radio

causa una disminución del gap entre las subbandas. En las figuras 4.1 y 4.2 observamos que

las intensidades de los picos para las polarizaciones s l y

s l son menores

que las intensidades de las polarizaciones s l y s l respectivamente. Esto

sucede debido a que las regla de selección para s l es 2m m y para

s l

es 2m m , es decir el proceso de dispersión termina en un estado superior al estado

inicial (para m ), lo cual provoca que el proceso sea más difícil de producirse, mientras que

para s l y

s l la regla de selección es m m , es decir el proceso de

dispersión comienza y termina en estados con el mismo número cuántico m .

81

Figura 4.2: Espectro de emisión de un QWW para 0 60 Å, 0.28 eVlr y 0 1 TB : ) ,s la

) ,s lb ) s lc y ) s ld .

4.2 ERS en un alambre cuántico semiconductor con campo magnético

externo: Interacción de Fröhlich.

Las oscilaciones ópticas polares en nanoestructuras semiconductoras como los pozos

cuánticos, alambres cuánticos y puntos cuánticos, han sido frecuentemente estudiadas

debido al efecto electrón-fonón en diversos fenómenos nanoestructurados, en especial la

dispersión Raman. El cálculo de la sección eficaz diferencial de dispersión Raman continúa

siendo una herramienta fundamental para la comprensión de la interacción electrón-fonón

en nanoestructuras semiconductoras. El campo magnético aplicado, especialmente el

inhomogéneo, podría proveer de información adicional y nuevas propiedades de los

portadores de carga en los sólidos y en particular en las nanoestructuras.

82

El proceso de ERS intersubbanda puede ser cualitativamente descrito como un electrón que

se encuentra inicialmente en la banda de conducción y realiza una transición intersubbanda,

absorbiendo un fotón de energía l ; después el electrón emite un fotón de radiación

secundaria de energía s y lleva a cabo una nueva transición intersubbanda. Finalmente,

el electrón emite un fonón de energía p debido a la interacción electrón-fonón.

La ERS puede caracterizarse a partir de la determinación de la sección eficaz diferencial

por unidad de ángulo sólido para la frecuencia de la luz incidente, l , y la frecuencia s de

la luz dispersada dadas por (2.70) y (2.71). A continuación presentamos su desarrollo.

4.2.1 Elementos Matriciales.

Para encontrar los elementos matriciales de este nuevo problema, además de tener en

cuenta la interacción del electrón con el campo de radiación, que ya fue descrita con

anterioridad, debemos considerar la interacción electrón-fonón. El hamiltoniano de

interacción electrón-fonón tiene la forma dada en la ecuación (2.34).

Definamos

01 0

1 0

1

1 1 1 1

0

2

1

2

n

n

mn mn n

n

n

n n n n

rdJ x

rnJ x r rR B J y

yJ y r r dx

rJ x J y J y J x

r

(4.14)

01

1 0 0

1

1 1 1 1

0

2

1,

2

n

n

mn mn n

n

n

n n n n

rdJ y

rJ x n r rB J x

J y dy x r r

rJ x J y J y J x

r

(4.15)

para las cuales se cumple que

, .mn m n mn m n m mR R rdr

(4.16)

83

Reescribamos (2.34) como

ˆˆ p

p p p p p p p p

p p

im

ph m n m n m n m n

m n

C B F e HC

H b

donde ahora

p p p p p pm n m n m nF r B F r

0

0 0

00

1,

1.

p

p p

p pp

p p

n

n n

m nn

n n

r rJ x t x r r

x r rF r

rJ x t x r r

x r

Entonces

ˆ p

p p p p p p

p p

im

ph m n m n m n

m n

a b C B a F r e b

H

de aquí se obtiene que

,

22

02

,

1 1

2

p p

p p a a p p b b sa sb

a p ba b

a a p p b b sa sb

im im

m n n m m n n m m m

V

L

i m n mi k k z

L

n m m n n m m m

a F r e b F r e dV

e dz e dL

F r rdr

por lo que

, , ,p

p p a b a b p sa sb

im

m n ph k k m m n m ma F r e b I

donde

0

0 0 00

.a b a p p b a b a p p b

r

ph n n n m n n n n n m n n

r

I A A R r F r R r r dr B B K r F r K r r dr

Finalmente tenemos que

, , ,

,

ˆ .p p p p a b a b p sa sb

p p

ph m n m n ph k k m m n m m

m n

a b C B I H (4.17)

84

En nuestro trabajo sólo nos interesa el caso en que 0pn , por lo que la ecuación (2.33),

(2.35) y (2.36) tomarán la forma

1 1( ) 0J x J y

0 0 0

0

0 0

0 0 0

1

1,

p pm m

rJ x t x r r

x rF B

J x t x r rx

0 0

1.

b a

a b

t x J xx

Además (4.14) , (4.15) y (4.16)

0

0

0 02p pm m

rdJ x

rR B

dx

,0 0pm

teniendo en cuenta que 0 1

0 0

d r rJ x J x

dx r r

0

22

12 2 2 00 1 0

00

2 2 12p p

r

m m

dJ xrrB J x rdr B

r dx

obteniendo

11

1

,0

0pm

dJ xB

r dx

por tanto

85

11 12

212

,0 ,0 0

0 0

112

1

0

0

.

p p

p

p

LOm m F

m

LOF

n

dJ xC B r c

r dx

dJ xr c

dx

4.2.2 Sección eficaz diferencial de ERS.

Considerando las leyes de conservación de la energía y el momento

y i f z z z zk k k k obtenemos la sección transversal diferencial. Teniendo en

cuenta la regla de otro de Fermi, ,s sM e se puede escribir como

6

1

,s s j

j

M e M

donde

1 1 4 41 1 1 1 4 4 4 4

5

2 2 5 52 2 2 2 5 5 5 5

1 1 1 1 4 4 4 4

1 4

2 2 2 2 5 5 5 5

2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

s ph l l ph s

a b a bi a a i b b i a a i b b

s l ph l s ph

a b a bi a a i b b i a a i b b

f b b a a i f b b a a iM M

i i i i

f b b a a i f b b a a iM M

i i i i

H H H H H H

H H H H H H

3 3 5 63 3 3 3 6 6 6 6

3 3 3 3 6 6 6 6

3 6

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.

ph s l ph l s

a b a bi a a i b b i a a i b b

f b b a a i f b b a a iM M

i i i i

H H H H H H

(4.18)

De la ecuación (3.8) tenemos que las energías para los estados inicial y final tiene la forma

i r l f r s py

donde no hemos considerado k y sm por no aportar al sistema (ver epígrafe 4.1.2), Las

energías para los estados intermedios son

86

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6.

a r b r p

a r p l b r p

a r b r s

a r s l b r p s l

a r p l b r s p l

a r s l b r s

Considerando la ley de conservación de la energía i f se tiene

1 1

2 2

3 3

4 4

5

6

,

,

,

,

,

,

i a s p r r i b s r r

i a s l r i b s r r

i a s p r i b p r r

i a p l r i b l r

i a s l r

i a p l r

5

6

r

i b l r r

i b p r r

además

.i f l s p r r

Como se hizo en la sección 3.2, utilizaremos la condición 0z k y las funciones de onda

electrónicas del QWW para determinar los elementos matriciales (4.18). Para el caso de la

interacción electrón-fonón óptico veremos el caso de los modos con 0z q .

Sustituyendo 1

ˆsf bH ,

1 1ˆ

phb aH y 1

ˆla iH en (4.18) para determinar 1M y 4M ,

debido a que estas dos contribuciones se pueden agrupar,

,

1 1

1 0 ,

, ,

, 1 , 1

, 1 , 1

1

, , , , , ,

, , , ,

n n pp m m m

m n m n

s m m s m m

l m m l m m

s p r r a s r r a

M A I

T m n m n T m n m n

T m n m n T m n m n

i i

1

87

,

4 4

4 0 ,

, ,

, 1 , 1

, 1 , 1

1

, , , , , ,

, , , ,

n n pp m m m

m n m n

l m m l m m

s m m s m m

l p r r a l r r a

M A I

T m n m n T m n m n

T m n m n T m n m n

i i

1

siendo aquí

23

0

0

2.

p p p pm n m n

s l

C BeA

r V

Sumando 1 4 y M M tenemos que

1 4 0 1M M A (4.19)

donde

1 1 1 11

0

con s l , s l , s l , s l .

,

1 1

4 4

1 , 1 , , 1

, ,

0

, , , ,

0

, , , ,

, , , , , ,n n pp m m m m m m m

m n m n

s p m n m n a s m n m n b

l p m n m n a l m n m n b

T m n m n I T m n m n

i i

i i

(4.20)

,

1 1

4 4

1 , 1 , , 1

, ,

0

, , , ,

0

, , , ,

, , , , , ,n n pp m m m m m m m

m n m n

s p m n m n a s m n m n b

l p m n m n a l m n m n b

T m n m n I T m n m n

i i

i i

.

(4.21)

Mediante este procedimiento determinamos

88

2 5 0 2 3 6 0 3 y M M A M M A

donde

2 2 2 22

0

3 3 3 33

0

,

2 2

5 5

2 , 1 , , 1

, ,

0

, , , ,

0

, , , ,

, , , , , ,n n pp m m m m m m m

m n m n

s l m n m n a s m n m n b

s l m n m n a l m n m n b

T m n m n T m n m n I

i i

i i

(4.22)

,

2 2

5 5

2 , 1 , , 1

, ,

0

, , , ,

0

, , , ,

, , , , , ,n n pp m m m m m m m

m n m n

s l m n m n a s m n m n b

s l m n m n a l m n m n b

T m n m n T m n m n I

i i

i i

(4.23)

,

3 3

6

3 , 1 , , 1

, ,

0

, , , ,

0

, , , ,

, , , , , ,n n pp m m m m m m m

m n m n

s p m n m n a p m n m n b

l p m n m n a p m n m n

I T m n m n T m n m n

i i

i i

6b

(4.24)

y

89

,

3 3

6

3 , 1 , , 1

, ,

0

, , , ,

0

, , , ,

, , , , , ,n n pp m m m m m m m

m n m n

s p m n m n a p m n m n b

l p m n m n a p m n m n

I T m n m n T m n m n

i i

i i

6b

(4.25)

De aquí se obtiene

4 322

20

3, , , ,

2

1 2 3

22

, ,

4

p p p p

s s LOF s l

m n m n m ns l l m n

f

l s p m n m n f

rd eC

d d c

4 322

20

3, , , ,

2

1 2 3

22

, ,

4

.

p p p p

s s LOF s l

m n m n m ns l l m n

f

l s p m n m n f

rd eC

d d c

Finalmente obtenemos que la sección ERS es

2 2 2 2 2

.s s s s s

d d d d d

d d d d d d d d d d

4.2.3 Discusión de los Resultados.

Los parámetros físicos utilizados en nuestra formulación corresponden a un sistema crecido

en una matriz de 0.35 0.65GaAs / Al Ga As :

0 0.3 eV,V 1 00.096 ,

2 00.0665 , y

0.001 eVa b f [53].

La sección eficaz diferencial de dispersión presenta diferentes singularidades. El espectro

de emisión presenta picos que son característicos de las excitaciones del sistema atribuidos

a las excitaciones inter-magneto-subbandas de un electrón cuando

, , , , ,slp l p r rm n m n m n m n (4.26)

90

y

, , , , ,sl r r lm n m n m n m n . (4.27)

Para el espectro de excitación estos picos dependen de la radiación secundaria, cuando

, , , , ,lsp s p r rm n m n m n m n (4.28)

y

, , , , ,ls r r sm n m n m n m n . (4.29)

También pueden observarse singularidades cuando

s l p , (4.30)

esta singularidad sólo ocurre para las polarizaciones ,s l y ,s l , donde

, ,r rm n m n . En este caso el electrón absorbe el fotón incidente, emite un fonón y

un fotón, retornando al estado inicial. Hay otros picos resonantes y no resonantes, cuando

las ecuaciones de la (4.20) a la (4.25) tienen singularidades. Para el espectro de emisión

, , , , ,s r rm n m n m n m n , (4.31)

, , , , ,sp r r pm n m n m n m n (4.32)

y para el espectro de excitación

, , , , ,l r rm n m n m n m n , (4.33)

, , , , ,lp r r pm n m n m n m n . (4.34)

También podemos observar una singularidad cuando

.s l (4.35)

En este caso el electrón absorbe el fotón incidente y emite un fotón de la misma energía,

regresando al estado inicial. Estos picos sólo pueden ocurrir cuando , ,r rm n m n

en las ecuaciones (4.27) y (4.29). En el espectro de emisión la posición de las

singularidades están definidas por las ecuaciones (4.31) y (4.32) que no dependen de la

91

energía del fotón incidente, siendo picos resonantes. Para el espectro de excitación las

posiciones de los picos están definidas por las ecuaciones (4.33) y (4.34).

La emisión o absorción de un fotón tiene lugar sólo entre estados consecutivos, de acuerdo

al número cuántico m , 1m m , como puede verse en la ecuación (4.2), pero no

establece restricciones para el numero cuántico n . Por esta razón no podemos observar los

picos relacionados con las transiciones intrabandas. Hemos obtenido dos tipos de picos, así

como dos diferentes sistemas de subbandas, uno para los valores negativos de m y otro para

los valores positivos. Para el caso de 0m y 1n el sistema de subbandas se cruzan, lo

cual corresponde al estado base del campo magnético. Las reglas de selección son

diferentes para las cuatro polarizaciones, donde se tienen las siguientes polarizaciones:

, 1, , ,

, 1, , ,

, 1, , ,

, 1, , .

s l a b

s l a b

s l a b

s l a b

m n m n

m n m n

m n m n

m n m n

Los picos asociados a estas transiciones son independientes del fotón incidente para el

espectro de emisión, y también independientes del fotón secundario para el espectro de

excitación. La emisión de un fonón puede tener lugar entre los estados de acuerdo al

número cuántico pm , pm m m , como se puede ver en la ecuación (4.17).

En la figura 4.3 mostramos el espectro de emisión para diferentes polarizaciones del fotón

incidente y secundario, con 0 50 År ,

0 1 TB y 0.28 eVl , considerando sólo el

caso de 0pm . Debemos señalar que la regla de selección indica que para la interacción

electrón-fonón se produce una transición intrabanda, ya que para 0pm , se obtiene

a bm m . Aquí podemos observar la aparición de picos debido a la emisión de un fotón y

un fonón. En este caso los picos para la emisión del fotón y el fonón involucran los mismos

estados, por lo que los picos están separados por la energía de un fonón (ver ecuación

(4.31) y (4.32)). Las intensidades de los picos en las diferentes polarizaciones tienen un

comportamiento similar a los descritos en el caso donde no existe la interacción electrón-

92

fonón, lo cual fue discutido en la figura 4.2 de la sección 4.1.3. Otro efecto de la interacción

electrón-fonón es una disminución importante de la intensidad de los picos.

Figura 4.3: Espectro de emisión para un QWW con 0 50 År , 0 1 TB y 0.28 eVl para 0.pm

, , , , , y , .s s s sl l l la b c d

En la figura 4.4 a) y figura 4.4 b) el radio del alambre se incrementa a 0 60 År . Podemos

ver que aparecen nuevos picos resonantes y no resonantes ya que el incremento del radio

del alambre permite la aparición de nuevas subbandas dentro del QWW. Podemos ver que

los picos para un radio 0 50 År aún están presentes sólo que se desplazan a valores

menores de energía. Esto demuestra que un incremento del radio del alambre causa una

disminución del gap entre las subbandas, lo cual es un comportamiento similar al caso en el

que no se considera la interacción electrón-fonón. También un incremento del radio del

alambre causa una disminución de la intensidad de los picos, como puede verse para el pico

1,1,0,1s . Este resultado es diferente al obtenido en trabajos previos como los citados

en las referencias [57 y58], debido a que en éstos se consideró la banda de conducción

93

vacía. Esta figura muestra el efecto del incremento de pm , al pasar de 0pm a 1pm ,

para esto debemos comparar las figuras 4.4 a) y 4.4 b), con las figuras 4.4 c) y 4.4 d). Puede

observarse que la posición de los picos debido a transiciones que involucran la interacción

electrón-fonón, ecuación (4.31), no dependen del modo fonónico involucrado, por lo que su

posición no varía, como puede observarse para el pico 2,1,1,1s en las figuras 4.4 a) y

4.4 c), así como para el pico 3,1,2,1s en las figuras 4.4 b) y 4.4 d); además

observamos que la intensidad de estos picos disminuye con el incremento de pm . También

es observable que el cambio del modo fonónico altera los picos relacionados con la emisión

del fonón, esto se debe a la regla se selección pm m m .

Figura 4.4: Espectro de emisión para un QWW con 0 060 Å, 1 T y 0.28.lr B ) ys la

0, ) 0, ) 1, ) 1.p s l p s l p s l pm b y m c y m d y m