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21 La semiótica en la didáctica de la matemática

Capítulo 1: La semiótica: qué es, su historia, su evolución

La semiótica y la matemática nacieron y crecieron juntas, una al lado de la otra, ayudándose y sosteniéndose entre sí, a espaldas de todos, por

mucho más joven que la matemática, en el sentido que su carácter de

a partir del siglo XIX; pero sólo a partir de los años ’90 irrumpe con fuerza en la didáctica de la matemática, y esto gracias a los problemas

la matemática (aparentemente lejana de la semiótica) reveló y aún hoy continua revelando en las escuelas de todo el mundo. En este momento, casi todos los estudiosos de la didáctica de la matemática han evidenciado el papel de la semiótica en la enseñanza y en el aprendizaje de la matemática. Raymond Duval (1993), Luis Radford (1997), Bruno D’Amore (1998) y Juan D. Godino (2002) son sólo algunos de los tantos en haber llevado

gran utilidad para este tratado.

Para entender mejor, y con mayor profundidad, cómo la semiótica se encuentra fuertemente entrelazada con la matemática (aún siendo independiente de ésta), y cómo su papel, tan estratégico y decisivo, no puede ser descuidado, olvidado o evitado en la enseñanza y en el aprendizaje de la matemática a partir de la escuela primaria, tratamos de recorrer, a grandes líneas, sin intención alguna de ser exhaustivos, algunos de los momentos

Aquí examinaremos únicamente algunos momentos en la historia del pensamiento occidental, particularmente importantes para nuestro análisis.

Bruno D´Amore, Martha Isabel Fandiño Pinilla, Maura Iori

22www.magisterio.com.co

Orígenes del término “semiótica”

El término “semiótica” tiene orígenes antiquísimos. Ya en la antigua Grecia existía el término (semeion), traducido usualmente como “signo”, que constituye la raíz etimológica, aunque no conceptual, de la palabra “semiótica” (Deely, 2003). Un era para los Griegos un fenómeno de naturaleza física, un “signo natural”, diríamos hoy: como el humo para el fuego, un síntoma para una enfermedad o las nubes para la lluvia. Por tanto, traducir como “signo” sería un error, o no sería del todo

Un denotaba únicamente un determinado fenómeno natural A, accesible a través de los sentidos, que debía remontar a otro fenómeno natural B (diverso de A) no inmediata o directamente accesible como A, pero a ese fenómeno ligado mediante una relación de causa-efecto (si A entonces B, si hay humo entonces hay fuego) de manera que pueda explicarse o caracterizarse el fenómeno A de cualquier forma. Denotaba entonces una interacción de naturaleza física, no social, o una relación de inferencia.

En otros términos, la “semiótica griega” distingue netamente la teoría del signo entendido como dato natural (síntoma o señal), de la teoría del lenguaje (teoría de los nombres o de las expresiones lingüísticas). Estas dos teorías comienzan a confundirse con los Estoicos y a fundirse con Agustín de Hipona (354 – 430).

Conceptualmente, el término “semiótica” es de hecho mucho más cercano, como veremos dentro de poco, al término latino signum, tal y como Agustín lo utilizó para indicar una noción genérica que incluyese tanto fenómenos naturales como fenómenos culturales. El concepto latino signumplenamente el sentido genérico con el cual hoy nosotros utilizamos el término “signo”; hablamos de hecho no solamente de signos de eventos naturales, sino también de signos que impregnan o que constituyen nuestra forma cultural: signos lingüísticos, matemáticos, artísticos etc.

semeiotiké; de : semeion, y, según tecne, “arte”, “saber hacer”, pero la cosa es cuestionable),

hacen referencia no a una doctrina general de los signos sino a una rama



griegos o de signa naturalia latinos.

Con mayor precisión, el término “semiótica” (semiotics) aparece por primera vez en An American Dictionary of the English Language de Noah Porter (1870),

semiology), que aparece veinte años antes, en el diccionario de Chauncey A. Goodrich (1850). En este último, el término “semiología” (semiologyparte de la medicina que trata los signos de las enfermedades”, aparece junto al término “semiótico” (semiotico a los síntomas de las enfermedades”.

En el diccionario de John Ogilvie (1853) se encuentra tanto la pareja semiology/semiotic como la pareja semeiology/semeiotics, que hacen (todas) referencia a los signos entendidos como síntomas de las enfermedades.En el diccionario editado por Charles Annandale (1883) los términos “semiología” (semiology) y “semiótica” (semioticstérminos no ya exclusivamente “naturalísticos” o médicos, que de todas

términos de “doctrina” o “ciencia” de los signos (Deely, 2003, 2006).

Platón (-428 – -347)

En Platón no encontramos una teoría del signo completamente separada

apartados de sus diálogos, en particular en el Crátilo, el papel de lo que

ónoma onómata) como medios para representar cosas en forma aproximada, imprecisa o incompleta, cosas que para el ser humano no son más que sombras y proyecciones de

idées, y traducidos con “ideas” en el sentido de “formas”) que pueblan el mundo que está más allá de la bóveda celeste, en el Hiperuranio ( , el lugar “más allá del cielo”) del cual de alguna forma vienen proyectadas. Y es en el Hiperuranio que, además de las ideas, por ejemplo, de belleza, de bien y de verdad, se encuentran también las ideas matemáticas. En el mundo de la experiencia sensible, por tanto, palabras como “unidad”, “número”,



“par”, “impar”, “punto”, “recta”, triángulo”, “cuadrado”, “círculo”, indican únicamente representaciones o copias imperfectas de ideas o formas perfectas que pueblan el Hiperuranio.

Un círculo, por ejemplo, es una forma que ninguno ha visto y que nadie puede ver, tocar u oler, no es parte de los objetos reales que caen bajo los sentidos. Lo que en realidad vemos son algunas aproximaciones del círculo ideal, del círculo propiamente dicho. La “circularidad” es un concepto innato, más real de los objetos circulares que percibimos con los sentidos en cuanto es el modelo perfecto de ellos. Un objeto que existe en el mundo de la experiencia sensible puede ser llamado “círculo” sólo porque se acerca a la forma perfecta e ideal de la “circularidad”.

En otros términos, para Platón, la matemática se ocupa de un reino de objetos ideales o abstractos (es decir no-temporales, no-espaciales) a los cuales no podemos acceder directamente, es decir, de objetos eternos, inmutables y existentes independientemente de los seres humanos, pero que los matemáticos representan a través de objetos concretos que tienen con los objetos ideales la misma relación que tienen los objetos concretos

aparentemente a los objetos concretos, temporales y mutables (diagramas, sólidos concretos, “construcciones con regla y compás” etc.).

La relación entre “nombre” e “idea” puede ser representada de la siguiente forma:



La línea punteada indica la naturaleza indirecta de la relación entre nombre (signo lingüístico) e idea (referente conceptual, no mental).

Es interesante notar que el término griego eídos era utilizado inicialmente, en particular por Homero, para indicar “lo que uno ve”, “apariencia”, “forma” (Peters, 1967). Desde los tiempos de Herodoto (-484 – -425), como evidencia Francis E. Peters (1967), el uso del término eídos, y del término afín idea, que también había entrado en uso, fue ampliado para indicar una “propiedad característica” o un “tipo”. Platón utiliza el término eide para indicar algo suprasensible.

«Platón (…) dice que las discusiones sobre la naturaleza de la realidad están polarizadas en facciones, que él llama los Gigantes y los Dioses. Los primeros son materialistas (…) y Platón probablemente hace referencia a la tradición atomista. Los Dioses, por otra parte, son descritos como “amigos de las eideque es indistinguible de la de Platón» (Peters, 1967, 46-47).

Para Platón, las ideas (eide) constituyen una realidad suprasensible y la base del verdadero conocimiento (episteme); por tanto, las ideas (en particular: los objetos matemáticos) no son concebidas como entes situados en la mente, sino como algo suprasensible, externo.

En el Crátilo, Platón expone las dos concepciones tradicionales, en su tiempo muy discutidas, sobre la pertinencia de los nombres. Los protagonistas del dialogo en cuestión son: Crátilo (-V s.), Hermógenes (-V – -IV s.) y, obviamente, Sócrates (-470 – -399).

Crátilo, discípulo de Heráclito (-535 – -tiene un nombre por naturaleza, en el sentido que cada nombre describe

acogiendo una pertinencia natural. En otros términos, los nombres tienen una exactitud intrínseca, en cuanto que tienen la capacidad de mostrar la naturaleza de las cosas nombradas: los nombres tienen la misma naturaleza de las cosas nombradas. Para Crátilo, entonces, quien conoce los nombres conoce también las cosas nombradas: existe una perfecta correspondencia entre nombres (signos) y cosas (referentes).



Hermógenes, discípulo de Parménides de Elea (-515 – -450), sostiene, por el contrario, que un nombre no pertenece por naturaleza a alguna cosa

por convención; en otros términos, un nombre no tiene por sí mismo exactitud alguna o necesidad, sino aquellas determinadas por los usos y por los acuerdos al interior de determinados grupos sociales.

Platón, por boca de Sócrates, no comparte plenamente ni la concepción de la convencionalidad absoluta, entendida como completa arbitrariedad del nombre (signo lingüístico), ni la concepción de la naturalidad del lenguaje, es decir, de la identidad entre nombre y cosa nombrada. Él sostiene, por una parte, que el signo lingüístico encierra dentro de sí algo de la cosa a la cual hace referencia y, por otra parte, que no existe identidad entre nombre y cosa, existe únicamente semejanza. Para Platón, existe otra realidad más allá del nombre, aquella a la cual todos los signos lingüísticos hacen referencia, una realidad que permanece inalterada en el tiempo y que hace posible y válida la nominabilidad: el mundo de las ideas.

Las ideas tienen una relación de semejanza con las cosas reales. Es así como una cosa evoca la idea que proporciona un nombre (sonido) a la cosa (Nöth, 1995, 89-90). El signo lingüístico (nombre) de Platón presenta por tanto una estructura triádica del siguiente tipo:

El ser humano puede, por tanto, conocer sólo parcialmente las cosas que pueblan el mundo de las ideas. El aprender es, para Platón, un recordar las ideas que el alma, desligada del cuerpo, logró conocer por contacto antes de reencarnarse en otro cuerpo.



Como pone en evidencia Giovanni Manetti (2010), Platón utiliza el término semeion en diferentes contextos: adivinación (República, Timeo, Fedro), escritura (“signo vocal”), hechos psíquicos como la memoria, donde la mente está descrita como una tableta de cera sobre la cual se imprimen los “signos” producidos a través de la percepción.

En conclusión, para Platón, los nombres (signos lingüísticos), sean estos naturales o convencionales, son representaciones parciales, incompletas, de la verdadera naturaleza de las cosas y el estudio de los nombres nada revela el contorno de la naturaleza de las cosas, dado que el mundo de las ideas es netamente diferente e independiente del mundo de la experiencia sensible y, por tanto, de sus representaciones mediante nombres. El conocimiento indirecto, mediado por los nombres, es inferior al conocimiento directo de las “cosas” que pueblan el mundo de las ideas.

Los objetos o conceptos matemáticos existen independientemente de las actividades de los seres humanos, del tiempo y de la cultura, no se pueden alcanzar; a dichos objetos sólo podemos acercarnos cada vez más a través de complejos procesos de conceptualización. La matemática aparece entonces como un conjunto de saberes eternos, inmutables, difíciles de adquirir o descubrir, en el sentido que el acercamiento a dicho conjunto de saberes está reservado generalmente a personas con capacidades o dotes particulares, casi siempre innatas, como aquella natural de recordar.

Aristóteles (-384 – -322)

En la obra De la interpretación, Aristóteles asevera que los sonidos de la voz (las symbola) de las afecciones del

alma (eventos mentales, conceptos), mientras los signos escritos (las palabras

(symbolon) es aquí utilizada para indicar una relación de equivalencia o de mutua posible sustitución entre signos lingüísticos (palabras) y conceptos.1

symbolon) en la cultura griega antigua indicaba el perfecto acoplamiento de las dos partes de un objeto que, roto y después recompuesto, demostraba la existencia de un acuerdo y, por tanto, constituía un signo de reconocimiento. Se trataba de un objeto (un pedazo de madera o un tableta de terracota) que se partía a conclusión de un pacto o acuerdo entre dos familias o como acto seguido a la hospitalidad dada a, o recibida de, una de las dos familias. Esto se convertía por lo tanto en una señal de reconocimiento para cada una de las dos familias que conservaba una de las dos partes; el perfecto acoplamiento de las dos partes era la demostración

symbolon(symballo), compuesto de (syn ballo



Aristóteles dice también que las palabras pueden ser consideradas como semeia) de las afecciones del alma, en el sentido que una

emisión verbal puede ser síntoma del hecho que el emisor tiene algo en mente (Eco, 2007).

Las afecciones del alma son, para Aristóteles, imágenes o íconos de las cosas, es decir, están ligadas a las cosas mediante una relación (natural, no convencional) de semejanza. Entre palabras y cosas no existe una conexión directa: las cosas se conocen solamente a través de las afecciones del alma. En otros términos, se nombran las cosas percibiendo las imágenes correspondientes que las cosas suscitan en la mente de quien las nombra.

Por tanto, los sonidos de la voz (palabras) tienen una relación de tipo convencional con las afecciones del alma (los conceptos); y las afecciones del alma (los conceptos) tienen una relación de tipo natural, no convencional, con las cosas del mundo, de las cuales son copias (imágenes semejantes).

dos tipos de relaciones: una relación convencional entre sonidos de la voz y afecciones del alma (conceptos) y una relación natural entre afecciones del alma (conceptos) y cosas.

Nótese que la palabra símbolo deriva del latín symbolum symbolon), con el symbolon diávolon): “diablo”, que deriva

diaballo): “arrojar a través”, “lanzar contra”, “calumniar”, “separar”, composición de día: “a través” y bàllo: “lanzar”, “arrojar” (véase: Pianigiani, 1907). Por tanto el diablo es el contrario, el enemigo, del símbolo.



representan son las mismas para todos los seres humanos, incluso si los signos lingüísticos que las designan son diferentes (por ejemplo la palabra española “triángulo” y la palabra inglesa “triangle” son símbolos diferentes, pero el concepto que representan es el mismo tanto para quienes hablan español como para quienes hablan inglés).

Las cosas de la experiencia sensible son, por tanto, percibidas por cada individuo a través de las mismas imágenes mentales o conceptos. En otras palabras, la realidad está representada en los conceptos que se presentan idénticos para todos; cada comunidad, sin embargo, decide atribuir por convención palabras diferentes a dicha realidad.

En relación con los objetos de la matemática, Aristóteles niega que dichos objetos puedan existir en un mundo separado e independiente de aquello de la experiencia sensible, pero admite que tales objetos puedan ser abstractos, no sensibles; es decir, objetos obtenidos por medio de un proceso (de abstracción) que permite, a través de los objetos concretos, acceder a objetos diferentes, no separados de aquellos. Por tanto, los objetos de la matemática no son objetos concretos, sino que son individuados por nosotros a partir de los objetos concretos, gracias a la capacidad de abstracción del ser humano.

Por tanto, a diferencia de lo que sostiene Platón, para Aristóteles, los seres humanos tienen la posibilidad de acceder a los objetos matemáticos, aun cuando estos sean abstractos. Aristóteles, como lo evidencia Radford (2004, 8):

«atribuye a los objetos matemáticos un origen en el mundo sensible. En la Física B2, Aristóteles dice: ‘el matemático está en grado de estudiar

físicas en cuanto (…) él está en grado de separar las dos cosas en el pensamiento (…). Una vez separados por el pensamiento, los objetos matemáticos están libres de los cambios a los cuales están sujetos los objetos físicos’ (Aristóteles, Física B2, 193b, 33-34). De esta forma, una de las diferencias más importantes entre las ontologías de Platón y de Aristóteles es que, en el primero, los sentidos no tienen ningún papel de carácter epistemológico; son de hecho omitidos como medios para adquirir el verdadero conocimiento. En el segundo, por el contrario, los sentidos tienen un papel importante».



En general, Aristóteles admite la existencia de conceptos (universales), pero los considera como esencias de los entes del mundo sensible, de las cosas; a estos se llega a través de una operación de abstracción, a partir de los entes del mundo sensible. Los conceptos presentan, además, una estructura

un concepto C es necesario individuar, primero, el género próximo (genus proximum), es decir, el concepto inmediato G, más general que C, y, segundo, la ( ) D, es decir, la característica que diferencia a C de los otros conceptos que tienen el mismo género próximo G. Por ejemplo, un paralelogramo (C) es un cuadrilátero (género próximo G) cuyos lados opuestos son paralelos entre sí ( D).

En De Interpretatione (De la Interpretación), Aristóteles desarrolla una teoría

limita al signo lingüístico. En otras obras, él toma en consideración también el signo no lingüístico (semeion), y se da cuenta de que en el lenguaje común esta palabra designa numerosos conceptos: desde fenómenos empíricos que indican la existencia de algo, hasta el razonamiento abstracto que lleva a una conclusión.

En particular, en los Analíticos primeros y en la Retórica, Aristóteles desarrolla una teoría del signo o del (semeion), estrictamente ligada al razonamiento: el signo (semeion) se convierte en un hecho o en un evento que se relaciona con otro hecho o con otro evento, mediante una relación de implicación. En particular, en la Retórica, los signos son hechos naturales que pueden evidenciar posibles consecuencias. Aristóteles distingue en esta obra los signos necesarios (tekmeria) de los signos “más débiles” (a

“semeia en estricto sentido”).

El tekmerion es el signo que produce un conocimiento cierto, un indicio seguro (como en el ejemplo que el mismo Aristóteles presenta: “Si uno

semeion en sentido estricto, por el contrario, es el signo que no permite obtener un conocimiento cierto (siguiendo una vez más el ejemplo de Aristóteles: “Si uno respira

(o antecedente) de un razonamiento centrado en la implicación, está en grado de producir un conocimiento (o consecuente) solamente probable.



Los términos semeion y tekmerion aparecen, también, en el Corpus Hippocraticum – la colección de textos escritos en griego antiguo y en gran parte atribuidos al médico griego Hipócrates de Cos (-V – -IV s.). En él, dichos términos están utilizados para indicar hechos naturales, precisamente síntomas o indicios de enfermedades que conducen, por inferencia, a conclusiones diagnósticas. En particular, el semeion indica un síntoma de enfermedad que se puede convertir en tekmerion, es decir, prueba con un alto grado de certeza las condiciones del enfermo y las causas de su estado.

Por tanto, en este sentido, el semeion tiene, con su referente (ente, hecho o p es equivalente

a q, p qsino una relación de inferencia (si p entonces

En conclusión, Aristóteles parece reacio a considerar las palabras como signos (semeia). En sus obras, aparece con fuerza la distinción entre signo lingüístico (symbolon) y signo no lingüístico (semeion), distinción que se centra en la dicotomía entre la relación de equivalencia que relaciona el signo lingüístico con el concepto que representa o con la cosa que designa, y la relación inferencial que liga el “signo natural” (hecho o evento) a la cosa (otro hecho o evento) a la cual reenvía. La diferencia entre los sistemas de signos lingüísticos tiene que ver únicamente con el plano de la expresión, no con el del contenido, dado que los conceptos son los mismos para todos.

La semiótica de los Estoicos (-IV – -III s.)

de Citio (-333 – -263), la cual toma su nombre del Stoà Poikíle (“pórtico pintado”) donde Zenón impartía sus lecciones.

La teoría del signo de los Estoicos está estrechamente ligada con su concepción de logos (razón) como principio que gobierna, organiza y mueve todo el universo, incluso el pensamiento del ser humano. Cada cosa que sucede es el efecto de razones o causas precedentes y es, ella misma, razón o causa de ulteriores efectos. El universo es, por tanto, determinado plenamente. Así, el ser humano tiene la posibilidad de interpretar fenómenos naturales como síntomas o signos de alguna cosa;



esto debido, sobre todo, a que el lenguaje permite establecer relaciones o conexiones entre las cosas.

Los Estoicos focalizan su atención, principalmente, en dos temas diferentes entre sí: 1) en las expresiones lingüísticas, a través de un análisis de las relaciones entre lenguaje, pensamiento y realidad y, 2) en el “signo como proposición”, a través de un análisis de naturaleza lógica de las proposiciones.

Por tanto, la distinción entre palabra y signo está, al igual que en Aristóteles, presente en los Estoicos. En las palabras y, más en general, en las expresiones lingüísticas, los Estoicos evidencian tres componentes:

• el semainon), es decir, el aspecto fonético, la expresión (palabra o frase) pronunciada,

• el semainómenon), es decir, el contenido asociado a la expresión y

• el referente tynchánon), es decir, la realidad concreta a la cual se

ente no corpóreo. Los Estoicos distinguen, de hecho, entre el objeto real (referente), que es corpóreo, el conjunto de los sonidos articulados

representa un ente invariante entre comunidades lingüísticas y culturas.

semainon-semainómenon-tynchánon) caracteriza en cada caso, siempre y exclusivamente, las expresiones lingüísticas. Dicha relación puede ser representada de la siguiente forma:



Como en Aristóteles, el término semeion (signo) tiene una naturaleza diferente, no principalmente lingüística. Los Estoicos hablan de semeion (signo) y de lektón evidente (en el sentido que expresa algo verdadero o que puede ser conocido directamente) que implica otra expresión no inmediatamente evidente o incognoscible (Eco, 1986 b). Esto representa el antecedente de una implicación (del tipo: si… entonces…) capaz de revelar un consecuente no inmediatamente evidente o incognoscible. En otras palabras, el signo natural (semeion) no es la asociación de un evento A (“humo”) con un evento B, relacionado físicamente con aquél (“fuego”), sino el resultado de un razonamiento inferencial. «En lugar de eventos naturales, A y B se vuelven proposiciones. El signo A es el antecedente de un razonamiento hipotético (“Si hay humo…”) y B es el consecuente inferido (“…entonces debe haber fuego”)» (Nöth, 1995, 87).

En particular, el lektón se dice completo si transmite una información de la cual se puede decir, sin equivocación, si es falsa o verdadera. El lektón se dice incompleto si expresa algo que debe ser integrado con algo más para transmitir una información que puede ser juzgada como verdadera o falsa. Por ejemplo, un predicado sin sujeto (“camina”) expresa un lektón incompleto, mientras una proposición (“Sócrates camina”) expresa un lektón completo.

El lektón no representa un ente psicológico; no está colocado al nivel de la mente de quien habla, sino a nivel del lenguaje; es uno de los cuatro



asomata (incorpóreos), además del vacío, el tiempo y el lugar. Es un decible o dictum: “lo que puede ser dicho” o “lo que es dicho” (Eco, 1986b); lo que

(2005), no es una palabra o una cosa, ni un pensamiento en el sentido de un estado mental particular: es una estructura semántica y lógica, pensable y expresable (pero objetiva) por la posibilidad que tiene cualquiera de expresarla y entenderla en cualquier idioma. Es el hecho, la verdad o la falsedad que expresamos o entendemos por medio del lenguaje hablado o escrito.

semainon es aquella que se tiene entre dos lekta completos (si antecedente entonces consecuente). En este sentido, la proposición antecedente es el signo de la proposición consecuente. En otras palabras, el lenguaje verbal es el medio más apropiado de una “semiótica natural”, que se expresa a través de esquemas inferenciales».

La tradición post-Estoica y, principalmente, Sesto Empírico (II s.), semainómenon con el lektón,

los términos lingüísticos como tipos particulares de signum.

La semiótica de los Epicúreos (-IV s.)

La escuela de Epicúreo de Samos (-341 – -fundada en la sensación como criterio de verdad. Esta sensación es pensada como el efecto de las impresiones o acciones ejercidas sobre el

de los objetos materiales, conservando la forma (simulacra). La sensación produce una imagen mental de las cosas; aun cuando ésta sea semejante, no es, necesariamente, idéntica a las cosas. La sensación está, por tanto, directamente conectada con las cosas; de hecho, de éstas surge. La imagen

Sin embargo, las sensaciones permiten conocer solamente ciertos tipos de objetos (o fenómenos): aquellos considerados “evidentes”, cuyo conocimiento resulta inmediato.



Los Epicúreos distinguen, en general, cuatro tipos de objetos (Bettetini, 2009):

objetos evidentes: se conocen de manera inmediata;

temporal, no se conocen de manera inmediata;objetos oscuros por sí mismos: no perceptibles a través de los sentidos y necesitan del uso de signos;objetos oscuros en forma absoluta: imposibles de conocer por el ser humano.

La epistemología epicúrea considera como fundamental, entonces, no sólo la sensación sino también el razonamiento por medio de signos, el cual resulta necesario para tratar todos aquellos objetos que no pueden ser inmediatamente conocidos a través de la sensación. Dichos objetos

oscuros por sí mismos”, estrechamente ligados con el uso de signos. Y es en este último caso que el signo cumple una función fundamental: la de obtener de los objetos conocidos, es decir de aquellos que son accesible a los sentidos (aquello que aparece), objetos no inmediata o directamente accesibles a los sentidos (aquello que no aparece). El signo, accesible a los sentidos, permite, por tanto, conocer algo oculto, algo que no puede ser percibido con los sentidos.

Winfried Nöth (1995) evidencia que el signo (lingüístico) tiene, para los Epicúreos, una naturaleza esencialmente diádica; sus componentes son:

lektón de los Estoicos y no conciben la existencia de cosas intermedias (entre palabras y objetos) vehiculadas por los signos.

Euclides (-325 aprox. – -265 aprox.)

En los Elementos de Euclides, el término (semeion) es utilizado para designar el ente fundamental por excelencia de la geometría: lo que nosotros llamamos “punto”. En el primer óros del Libro I de los Elementos, Euclides introduce este término describiéndolo de la siguiente manera: “Punto ( ) es lo que no tiene partes”. El punto-semeion (signo), por



lo que hemos visto, vehicula la idea de algo accesible a los sentidos que hace referencia a otra cosa que (a su vez) no es directamente accesible a los sentidos. En los textos aristotélicos, el punto geométrico es designado también con el término (stigméetimológico de “huella”, “marca”, “punzada” o “traza”. De cualquier forma, el término da la idea de “punto” como la “huella” que deja la punta de un lápiz sobre una hoja de papel.

Vincenzo Vita (1982) evidencia que en la primera mitad del siglo -IV los términos griegos stigmé semeion ( ) eran utilizados en lugar de las mónadas pitagóricas para designar el “punto” geométrico,

Después del descubrimiento de la inconmensurabilidad entre el lado y la diagonal del cuadrado (es decir, que existen magnitudes homogéneas que no tienen un submúltiplo en común y, por tanto, cuya razón no puede ser expresada mediante la razón entre dos números naturales), la necesidad de distinguir la unidad aritmética del punto geométrico (en otras palabras, la necesidad de desvincular el punto geométrico del concreto de la mónada pitagórica) se vuelve cada vez más apremiante. La inconmensurabilidad, de hecho, había trágicamente colocado en duda la existencia de las mónadas como punto-unidad, es decir como elementos constitutivos de

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generando una profunda crisis de la teoría aritmo-geométrica de la escuela pitagórica, minándola en sus mismos fundamentos.

stigmé) para indicar el punto geométrico

de la aritmo-geometría; es decir, para designar el punto como elemento

utiliza el término (semeion) en temas estrictamente matemáticos, precisamente «cuando desea referirse al punto que aparece en las construcciones geométricas, en las demostraciones de las proposiciones o en las interpretaciones matemáticas de los fenómenos físicos» (Vita, 1982, 105). Después de Aristóteles, el término (semeion) se privilegia

2 Recordemos que para el mundo griego antiguo el número denotaba una multiplicidad; por tanto “uno” y “cero” no designaban número alguno. Sin embargo, mientras el “uno” era concebido como el generador de todos los números

la entera cultura griega, admitía únicamente la realidad del Ser, inmóvil, único, eterno e indivisible. Fuera del Ser no podía existir algo; de aquí la imposibilidad y la no pensabilidad de la nada, del vacío, y por tanto del cero como ente matemático. (Sobre la inmovilidad, indivisibilidad, unicidad del Ser parmenidiano, véase D’Amore, 2001b).



más que el término stigmétambién Arquímedes, Apolonio y otros estudiosos griegos de geometría.

Los objetos de los cuales se ocupa la geometría de los Elementos aparecen como fruto de la intuición, de axiomas o de postulados intuitivamente

permanecen implícitos, sobreentendidos, o no utilizados conscientemente (como, por ejemplo, el hecho de que dos rectas pueden intersecarse en un punto).

En particular, los entes fundamentales (punto, recta etc.) aparecen como absolutamente evidentes, directamente intuidos e independientes de la teoría. A partir de estos, la existencia de los otros objetos está establecida mediante oportunas construcciones, axiomas, postulados, teoremas ya demostrados, u otras evidencias.

Elementos emerge un amplio y muy bien articulado uso de diagramas (representaciones semióticas, como diríamos hoy) a los cuales se hace referencia como si fueran precisamente los objetos del discurso; no ideas ni formas puras (el círculo, el triángulo etc.) pero individuos particulares que son el resultado

compás.

Con el descubrimiento de la existencia de las magnitudes inconmensurables, el problema de asignar un valor numérico a las longitudes, a las áreas, a los ángulos y a los volúmenes es resuelto por medio de la representación geométrica de todas las magnitudes. Así, los números son representados por medio de segmentos; el producto de dos números está representado por el área del rectángulo que tiene por lados los segmentos que representan los dos números; el producto de tres números es un volumen; la adición de dos números es obtenida prolongando el segmento que representa uno de los números de un segmento congruente a aquel que representa el otro número; y así sucesivamente.



Agustín de Hipona (354 – 430)

Hasta Agustín (de Hipona o de Tagaste) la teoría del lenguaje era considerada distinta de la del signo. La primera era modelada en términos

raíces en la antigua medicina hipocrática y en la adivinación, era modelada en términos de inferencia o de implicación (si p entonces q). Con Agustín, las dos teorías se fundan en una única teoría que extiende la concepción del signo (semeion) de tal forma que incluye también a las palabras.

Agustín acepta la concepción epicúrea del signo como dato sensorial que representa algo que en el momento no es perceptible. Sin embargo,

referencia explícita también a la mente de quien interpreta.

En la obra De doctrina cristiana signum) como:

«algo que, más allá de su aspecto sensible, hace que en la mente surja algo diferente de sí, como la huella dejada por un animal, el humo del cual se

que comunica una orden a los soldados».

Entonces, “un signo” es, para una mente, siempre “un signo de algo”.

por algunos autores (en particular: Markus, 1957; Simone, 1972) como una

(2) su referente y (3) la mente para la cual el signo está por otra cosa. «Sin embargo, el modelo no es triádico en la tradición que distingue sistemáticamente sentido y referente como han supuesto los Estoicos» (Nörth, 1995, 85). La diferencia decisiva entre modelos tríadicos y

referente, lo cual no parece preocupar a Agustín. La atención de Agustín está focalizada en su totalidad en el vehículo del signo (aliquid) y sobre el referente (aliquo). El intérprete es presupuesto, necesario, en cualquier modelo del signo, incluso si no está explícitamente mencionado.



Signo para Agustín:

En la obra De magistro

entre estas se encuentran también las palabras».

Agustín, por tanto, incluye en la categoría de los signa no solamente los signos no lingüísticos (fenómenos naturales, gestos, señales militares etc.) sino también las palabras.

comprendido por quien escucha cuando es pronunciado por quien habla» (Agostino, De dialectica).

Manetti (2010) evidencia que la teoría del signo lingüístico elaborada por

habla a la mente de quien escucha).

Las relaciones entre las expresiones lingüísticas y sus contenidos

inferencia.

verbum (la palabra), como un signo que reenvía a otra cosa, precisamente sobre la base de la relación de implicación elaborada por los Estoicos para el semeion.

En la obra De dialéctica, Agustín distingue cuatro elementos del signo lingüístico:



el verbum, que aquí indica simplemente la palabra proferida;3

la dictio

el decible, es decir, lo expresable, lo que de la palabra viene percibido por la

la res (cosacon el intelecto o percibido a través de los sentidos, o lo que permanece oculto, no siendo ni perceptible a través de los sentidos ni concebible mentalmente.

por medio de otros signos, usando otras palabras, indicando algo, o a través de gestos. La dirección es siempre de signo a signo, nunca de signo

(de naturaleza puramente mental).

En cuanto a la relación entre signo y objeto (cosa o res), Agustín reconoce que se necesita conocer, en primer lugar, el objeto para poder decir que un determinado signo es signo de dicho objeto. Es el conocimiento del objeto que hace posible el signo de dicho objeto, no lo contrario. En otros términos, se aprende no de los signos, sino de las cosas (res); el conocimiento de las cosas es mucho más importante que el conocimiento de los signos.

«De hecho cuando me es dado un signo, si no me encuentro con el conocimiento de la cosa de la cual es signo, no me puede enseñar nada, pero si lo sé ya, entonces ¿qué estoy aprendiendo a través del signo?» (Agustín, De magistro, 10, 115).

El signo puede indicarnos dónde mirar para ver y, por tanto, para aprender, o puede tener una función evocativa, es decir, traer a la mente un concepto,

De magistro, 10, 115). En otras palabras, el signo tiene, principalmente, una función ostensiva. Es por esto que el signo, para Agustín, tiene un valor inferior (a nivel ontológico) respecto al objeto, precisamente porque es utilizado en función del objeto.

3 «Verbum es el signo de una cosa cualquiera, que puede ser comprendido por un oyente o proferido por un hablante» (Agustín, De dialectica, 5).



En De Trinitate, Agustín coloca en primer plano la esfera interna de la cognición, distinguiendo entre la palabra interior (verbum mentis), que caracteriza el acto mismo del pensamiento, es decir, el concepto mental, y la palabra exterior (verbum oris), que es la expresión sensible de la primera, incluyendo los sonidos articulados de la lengua hablada, los gestos y la lengua escrita. La palabra exterior aparece como un simple signo de la palabra interior; su función es exclusivamente instrumental, por tanto secundaria, con respecto al acto de pensar. La palabra interior se sitúa entre la palabra exterior y la cosa. Esta representa el conocimiento de la

En De doctrina cristiana se encuentra una importante distinción entre signos naturales (signa naturalia) y signos convencionales (signa data):

los signos naturales (signa naturaliaindependiente de la intención; incluyen todo aquello que no tiene por sí

rostro que revela estados de ánimo o emociones);

los signos convencionales (signa data) son los signos acompañados de una intención comunicativa, es decir los signos emitidos para comunicar un pensamiento, una emoción, un sentimiento (como las palabras de un idioma, los gestos, los sonidos emitidos por los animales).

En conclusión, la teoría del signo de Agustín constituyó un momento de cambio fundamental en la historia de la semiótica, pues se basa en una

como el signo lingüístico convencional.

Semiótica medieval (entre realismo y nominalismo)

En la época medieval, el problema del signo se estudió básicamente con propósitos religiosos, para la interpretación de las Escrituras, en el ámbito del trivio [es decir de las tres “artes liberales”: gramática, retórica y dialéctica (lógica)].4 Escolástica.

4 Recordemos que el cuadrivio estaba formado por aritmética, geometría, astronomía y música.



La teoría agustiniana (algo que está al puesto de algo diferente) tiene un desarrollo ulterior en la teoría escolástica de la suposición (suppositio),

realizada, en particular, por el portugués Pedro Hispano (1205 o 1220 – 1277 aprox.) (quien será el papa Juan XXI) y por Guillermo de Ockham (1288 – 1349).

La palabra suposición (del verbo latino sub-ponere, “colocar una cosa bajo o en lugar de otra”) es, en general, utilizada en el Medioevo para indicar la

el contexto en el cual el término se usa al interior de una proposición. En otros términos, la suposición es la propiedad que tiene un término, al interior de una proposición, de estar por (supponere pro) el objeto al cual se

de una proposición. La suposición se contrapone a la , es decir al

aún mucho más similar a la de Agustín: “Un signo es todo aquello que

“Un signo es algo que hace que algo diferente se haga presente en la conciencia”.

La fórmula aliquid pro aliquo que caracteriza la semiótica medieval sugiere

en profundidad, revelan por lo general un tercer elemento: una mente.

«La cuestión si la pareja aliquid-aliquo implica una relación sígnica diádica o tríadica se interpreta de forma diferente en el curso de la historia de la semiótica medieval» (Nöth, 1995, 85).

La semiótica medieval distingue también entre signo natural (signum naturale) y signo convencional (signum ad placitum) o intencional.

Además, un tema muy discutido en el siglo XI, y de gran interés para la historia de la semiótica, fue la relación entre los signos (lingüísticos) de los conceptos generales y los objetos a los cuales dichos signos reenvían. Los conceptos (o las ideas) de naturaleza general, es decir atribuibles a más



de un individuo o a más de una cosa, son llamados universales; mientras que los objetos empíricos, de los cuales tenemos experiencia en el mundo como entidades individuales, son llamados particulares o individuales. Es decir, mientras el diseño de un triángulo, o el perro que encontramos en nuestra caminata son entidades individuales, los términos generales que los designan (“triángulo” y “perro” respectivamente) son universales. Las preguntas fundamentales que se hacían en el Medioevo eran las siguientes: ¿Cuál es la naturaleza de los universales?, ¿tienen una realidad más allá de los signos lingüísticos que los designan?

Para Platón, como lo hemos dicho, las ideas existen en un mundo separado e independiente del mundo de la experiencia sensible. Ahora, la

existen desde antes de las cosas (ante res), es decir, separados respecto a las entidades individuales empíricas, como ideas en Dios, como causas de las cosas. En otros términos, los universales tienen una realidad autónoma y separada de los individuos. Guillermo de Champeaux (1070 – 1121) y Anselmo de Canterbury (1033 – 1109) son algunos de los principales exponentes de esta forma de realismo, llamado realismo extremo, que

El mayor conocimiento de los escritos de Aristóteles conduce a una nueva forma de realismo, el llamado realismo moderado, del cual Tomás de Aquino (1225 – 1274) es el principal exponente. El signo fue por él concebido

sensible) al conocimiento de algo oculto (una realidad espiritual). Entre los signos (emisiones vocales o no vocales) y los conceptos (o afecciones del alma) existe, para Tomás de Aquino, una correspondencia natural o convencional, no inferencial (en cuanto no tiene en cuenta a los semeia estoicos); mientras que estos últimos (los conceptos) están ligados a las cosas mediante una relación de semejanza. Por tanto, los conceptos son

de las cosas.

La fórmula adaequatio rei et intellectus (correspondencia entre la cosa y el intelecto), que se remonta al siglo IX, se encuentra nueva y ampliamente en Tomás de Aquino, para indicar que la verdad consiste en la correspondencia entre la cosa y el intelecto, o entre lo real y su representación conceptual (sobre este tema véase: D’Amore, Matteuzzi, 1976).



En general, según el realismo moderado, los universales están en las cosas (in rebus), es decir están incorporados en los objetos empíricos individuales, como forma o esencia de los objetos mismos o como sus principios organizadores. Su existencia efectiva puede ser observada en una pluralidad de cosas (en numerosos diseños de triángulos, o en numerosos perros que encontramos), en cuanto cada cosa individual contiene en sí lo universal de su clase. Según el realismo moderado, los universales existen también después de las cosas (post res), como conceptos en la mente humana, y antes de las cosas (ante res), como ideas o formas en la mente divina. En otros términos, los universales tienen una realidad autónoma, pero no separada de los individuos.

Según el nominalismo, por el contrario, los universales no son entes reales, no poseen una propia existencia ni antes de las cosas (ante res) ni en las cosas (in rebús). Estos existen en la mente humana solamente después de las cosas (post res), como simples nombres (nomina). En otras palabras, únicamente las entidades individuales existen en la naturaleza (por ejemplo, el diseño de un particular triángulo, tres perros); los universales (la “triangularidad”, lo

y teólogo francés Roscelin de Compiègne (1050 – 1120) es el máximo exponente de la forma de nominalismo, llamada nominalismo extremo, según la cual los universales son simples nombres, sonidos puros o emisiones vocales ( ).

Pedro Abelardo (1079 – 1142) y Guillermo de Ockham (1288 – 1349) fueron, por el contrario, los principales sostenedores de una tesis intermedia entre el nominalismo extremo y el realismo, llamada conceptualismo o nominalismo moderado, según la cual los universales no son entidades reales, no tienen nada de material, pero existen en la mente de quien los produce; es decir, tienen una existencia como conceptos mentales.

Eco (1986a) hace evidente el hecho de que Abelardo desarrolla una teoría de la lógica como “ciencia de los discursos”. Ésta está interesada no en la

reservar el término únicamente a la relación entre un sonido y el concepto que éste suscita en la mente, así pues, es una especie de relación causal. Un sonido (vox):



causalmente algo para la mente, una representación interna (intellectus);da un nombre a las cosas o hace referencia a entidades individuales (res);

sententia( ) correspondiente.

Para Abelardo, el intelecto humano considera varios aspectos de los entes individuales y, por abstracción, produce una imagen común confusa que es expresada mediante un nombre y que no corresponde con alguna esencia real; el objeto correspondiente puede, incluso, no existir. En dicha teoría,

Lo que un sonido o una palabra originan en la mente, la representación interna (intellectus), puede corresponder con muchas posibles descripciones

tradición aristotélica) proporcionando únicamente el género próximo y la

sententia)

para establecer, sin ambigüedad, el sentido de la palabra.

Como Abelardo, también Ockham considera los universales no como sonidos puros, sino como signos que pueden ser predicados de más de una cosa y que existen sólo en la mente. No tienen una real existencia propia en las cosas, pero son, por decirlo de alguna manera, sustitutos mentales de las cosas. Para Ockham, los conceptos son signos naturales producidos en el intelecto por acción de las cosas.

Como evidencia Eco (2007, 340):

«existe una relación directa entre conceptos y cosas, desde el momento en el cual los conceptos son los signos naturales que las cosas, y existe también una relación directa entre las palabras y aquellas cosas a las cuales las palabras imponen un nombre, mientras que la relación entre palabras y conceptos es del todo descuidada».



palabras (términos), en un primer momento, no son conexas a los conceptos; después, gracias a la intermediación intelectual, se conectan a las cosas, pero son impuestas directamente sobre las cosas y sobre el

La relación entre “término”, “concepto” y “cosa” puede ser representada de la siguiente forma:

En conclusión, siguiendo también a Nöth (1995):

• el Realismo semiótico, en su forma más auténtica, tiene origen en la

signo son entidades no-mentales, es decir, tienen su existencia objetiva independiente de nuestras mentes;

• el Nominalismo semiótico rechaza la idea de una realidad de los conceptos generales o de los referentes; los Nominalistas reconocen únicamente la existencia de las entidades individuales y niegan la realidad de los universales; así mismo, niegan la realidad de una propiedad (como la “triangularidad”) predicada por todos los individuos de una cierta clase; en su forma extrema, el Nominalismo sostiene que los objetos que poseen la misma cualidad no tienen nada más en común que su nombre; los signos son, por tanto, nombres sin ninguna correlación en la realidad;

• el Conceptualismo semiótico considera, por el contrario, la dimensión semántica del signo como dependiente de la mente; para el



subjetivo, y no tienen una propia identidad externa; en otros términos, los universales son contenidos mentales que existen post res; pero la mente recibe continuamente nuevos datos de la experiencia sensible,

universales.

Descartes (1596 – 1650)

El período que va del siglo XI al siglo XVII está caracterizado por una activa y continua discusión sobre el signo. Debido a una serie de importantes e insólitas contiendas, esta discusión culmina en una división fundamental.

Por una parte, existen quienes piensan que el signo es un nombre vacío, un , nada más que un ente de razón (ens rationis) en contra del ente

real (ens reale), siendo el primero un ente que sólo tiene una existencia en la mente y, el segundo, un ente que tiene una existencia independiente de la mente. Por otra parte, existen quienes fundan la noción de signo en una relación, compleja y articulada, entre el ente de razón (ens rationis) y el ente real (ens reale).

René Descartes (1596 – 1650) no se preocupó explícitamente por el problema de la naturaleza del signo, pero, desde el punto de vista semiótico, sus trabajos contienen numerosos argumentos particularmente importantes.

Todo su pensamiento gira alrededor de la idea de que la razón humana es, por sí misma, una fuente de verdad superior a la percepción e independiente de ésta. El conocimiento de las cosas no deriva de la percepción y de la abstracción, sino de la capacidad de la mente para formular juicios.

Para Descartes, nosotros, seres humanos, no conocemos directamente las cosas, sólo nuestras ideas sobre las cosas. Recordemos que por “idea”, Descartes, a diferencia de Platón, entiende un objeto del pensamiento, un contenido de la mente. Los signos de las cosas son, por tanto, las ideas que están en nosotros; dichos signos son únicamente representaciones, imágenes, no copias de las cosas que están fuera de nosotros. El sujeto, por tanto, conoce ideas y no cosas; de aquí la fractura entre pensamiento y realidad. En otras palabras, para Descartes no existe una relación directa



entre sujeto y objeto (entendido como ente real, más allá del sujeto), en cuanto que el sujeto puede acceder directamente, solamente, a sus representaciones (ideas) del objeto, no al objeto en sí.

En la obra Meditationes de prima philosophia

porque, ya sea que yo imagine una cabra o una quimera, imagino la una no menos que la otra. (…) En verdad, el error de mayor relevancia y de mayor frecuencia consiste en juzgar que las ideas, que se encuentran en mi, son similares o conformes a ciertas cosas que se encuentran fuera de mi» (Descartes, Meditationes III, 10, http://www.earlymoderntexts.com/pdf/descmedi.pdf).

Descartes distingue, en particular, entre ideas innatas (es decir, que nacen con nosotros, dentro de nosotros, presentes en nosotros desde el nacimiento, como la idea de verdad o la idea de triángulo), ideas adventicias (es decir, que provienen de las cosas fuera de nosotros, como la idea de Sol o la idea de perro) e ideas facticias (es decir, inventadas por nosotros, como la idea de hipogrifo o la idea de sirena).

La concepción descartesiana de las ideas innatas evidencia la prioridad del conocimiento intelectual sobre la experiencia perceptiva; incluso el dualismo cartesiano entre mente y cuerpo o entre sustancia pensante (res cogitans) y sustancia extensa (res extensa) es la base de una teoría del

(entes reales).

Dado que el pensamiento, en su visión, precede al lenguaje, la diversidad

Tal diversidad corresponde al hecho de que en el hombre existen simultáneamente un cuerpo y una mente totalmente distintos uno de otro. Así, el aspecto material del lenguaje es variable, es decir, los idiomas son diferentes, pero las ideas no lo son. La estructura del pensamiento y de la razón es, para Descartes, común a todos los hombres.

Omar Calabrese (2001, 83) evidencia que la teoría del signo no es muy original, porque se encuentra ya en la Escolástica, en los Estoicos y en muchos otros autores de la antigüedad:



«Descartes piensa en una estructura triádica del signo, constituida por un aspecto material (los sonidos de las palabras), un aspecto mental (que está

de la realidad, que las palabras representan. Sin embargo, no existe una relación directa entre palabras y cosas, y el lenguaje tiene que considerarse como una institución, es decir arbitrario. Descartes incluye a veces en la categoría del lenguaje también fenómenos no verbales, como la luz, la sonrisa, el llanto, cuando son usados como signos. En la obra Discurso sobre el método llega a indicar también los gestos de los sordomudos e incluso los signos naturales que expresan pasiones».

para Descartes, tanto el dualismo mente-cuerpo como la prioridad de la experiencia intelectual sobre la perceptiva.

Kant (1724 – 1804)

La posición de Immanuel Kant en la historia de la semiótica, como nota Nöth (1995), aún hoy no se ha podido establecer unívocamente. La verdad es que son muchos los elementos de sus extraordinarias obras que han dado decisivas, fuertes y relevantes contribuciones para el desarrollo de la semiótica.

En la obra Crítica de la razón pura, Kant asume doce categorías del intelecto (formas de funcionar del intelecto, conceptos a priori, o conceptos que no vienen de la experiencia) como instrumentos a priori, a través de los cuales ordenar el mundo de la experiencia sensible.5 Mediante las categorías, el

hacer de esto un objeto de conocimiento. Para Kant, de hecho, no es la realidad la que modela nuestra mente, sino que es nuestra mente la que modela la realidad a través de las categorías de nuestro intelecto. Y la realidad, así como aparece teniendo como base las categorías del intelecto, es el fenómeno. La realidad en sí, o la cosa en sí, independiente de nosotros, es pensable pero no conocible. El noumeno, lo pensable, es una representación de la cosa en sí, o es la cosa pensada no como objeto de los sentidos, sino como cosa en sí.

5 Las doce categorías kantianas son subdivididas en cuatro grupos. Cada uno de los cuales contiene tres categorías: cantidad (unidad, multiplicidad, totalidad), cualidad (realidad, negación, limitación), relación (sustancia y accidente, causa y efecto, acción recíproca) y modalidad (posibilidad-imposibilidad, existencia-inexistencia, necesidad-contin-gencia). Estas categorías pertenecen al intelecto y existen independientemente de nuestra experiencia, pero no tienen



«Kant sostiene que entre la cosa en sí y el fenómeno existe una fractura. Existe una fractura que no podemos colmar. Este es el problema de

aquello de lo cual no tenemos conocimiento no es la realidad misma: lo que nosotros conocemos es únicamente aquello que nos llega a través de las sensaciones» (Radford, 2004, 17).

Esto es didácticamente muy importante. Para Kant el conocimiento es el resultado de la interacción directa entre el sujeto que aprende (sus estructuras cognitivas) y los objetos de la experiencia sensible; en particular, es la adecuación de los objetos de la experiencia (o mejor, de las impresiones que los objetos de la experiencia producen sobre los sentidos) a la facultad cognoscitiva del sujeto.

muy conocida, tomándola prestada de la física: así como el líquido toma la forma del recipiente que lo contiene, las impresiones sensoriales adoptan las formas que son impuestas por las estructuras cognitivas. Pero para que esto se dé, y es la muy conocida “hipótesis fuerte” de Kant, se necesitan formas innatas de sensibilidad, como espacio, tiempo, causalidad, permanencia del objeto, permanencia y posibilidad de uso de experiencias precedentes etc. (véase también: D’Amore, 2001a). Igualmente D’Amore (2001a) evidencia que el conocimiento para Kant no es una simple representación de la realidad externa, sino que es una transformación o reconstrucción de la realidad, de los objetos de la experiencia sensible, por parte del sujeto que aprende, sobre la base de las estructuras cognitivas poseídas por él.

Un objeto de conocimiento es impensable sin conceptos, es decir, sin unidades que sintetizan la multiplicidad de las impresiones proporcionadas por los sentidos (presentaciones o intuiciones) del objeto de la experiencia.

Las intuiciones para Kant no son representaciones sino presentaciones del objeto (Glaserfeld, 1987); no son creadas espontáneamente por la mente, sino que son dadas a la mente a través de los sentidos (A19/B33). Estas son independientes de la actividad mental del sujeto, es más, preceden a toda representación mental; denotan una relación directa entre nuestros sentidos y los objetos de la experiencia (Radford, 2004).



Los conceptos son, por el contrario, representaciones mediadas (A68/B93)

al objeto mediante otras representaciones de éste y determinan otros conceptos o intuiciones (O’Farrell, 1989). En particular, un concepto

posibles, es decir, representa una cosa (por ejemplo una particular mesa) a través de características generales de la cosa (“mueble”, “de color marrón”, “de madera”, “rectangular”, “con cuatro patas” son ejemplos de representaciones mediadas de la mesa). Los conceptos son los modos en los cuales los objetos son pensados, son creaciones de la mente y son conexos a la comprensión.

(marcas), rasgos distintivos o características comunes de dichos objetos (o a sus intuiciones).

Kant escribe: «Los pensamientos sin contenido son vacíos, las intuiciones sin conceptos son ciegas» (A 51/B 75).

(…). Pero, el ser pensante no implica el ser realmente posible o el ser real. Por esto, para tener un contenido real, el objeto debe ser dado a nosotros, y es dado a nosotros solamente por medio de la intuición sensible. (…) Las intuiciones sin conceptos son ciegas, en cuanto las intuiciones por sí solas no proporcionan conocimiento. Reconduciendo las intuiciones bajo conceptos, las hacemos inteligibles».

El mismo O’Farrell (1989, 57) evidencia que para Kant:

por el objeto, (…) [pero] ejercita una función o una actividad respecto

representaciones [presentaciones] de los sentidos bajo una representación que es a ésta común (común a muchos)».



Por tanto, como Radford (2004, 18) nota con claridad:

«Kant concibe un objeto de conocimiento como una relación entre (re)presentaciones o intuiciones como nos la presentan nuestros sentidos o como la sintetiza el individuo a través de los conceptos lógicos a priori de la facultad de conocer. (…) los individuos no juegan un papel receptivo (como

innata que, a través de un acto de generosidad, Dios presumiblemente nos concedió (como en el racionalismo). En el constructivismo de Kant, los individuos son concebidos como activamente sintetizantes activos de las intuiciones y de las impresiones. Ellos juegan un papel dinámico: se volvieron los productores de su propio conocimiento».

Kant estableció la distinción semiótica fundamental entre juicios analíticos y juicios sintéticos. Un juicio (una conexión de un predicado a un sujeto) es analítico cuando el predicado está ya incluido semánticamente en el sujeto (por ejemplo, “un triángulo isósceles tiene dos lados congruentes”). Un juicio analítico no puede proporcionar nuevas informaciones respecto del sujeto. Por el contrario, un juicio es sintético cuando el predicado agrega nuevas informaciones al sujeto (por ejemplo: “La suma de los ángulos internos de un triángulo es un ángulo llano”).

Mientras que los juicios analíticos son solamente a priori (independientes de la experiencia) los juicios sintéticos pueden ser a priori o a posteriori (dependientes de la experiencia). En particular, según Kant, la matemática se compone de juicios sintéticos a priori; estos tienen, por tanto, carácter de universalidad y necesidad, dado que no derivan de la experiencia.

ser reducido ni a una actividad mental interna gobernada por las reglas a priori de la razón (como en la tradición racionalista de Descartes, Leibniz y Wolff), ni a lo que las impresiones y los sentidos proporcionan (como en la tradición empirista de Hume y de Locke). Toda cognición implica tanto un elemento conceptual como un elemento sensible (una intuición sensible, o un conocimiento inmediato a través de los sentidos), el cual nos lleva

tradiciones racionalistas y empiristas.

Pero, ¿qué relación existe entre estos dos elementos aparentemente distantes? Pues bien, para Kant, la relación entre elemento conceptual



(general) y elemento sensible (particular) está asegurada por el esquema. Un esquema se entiende no como una imagen, sino como un proceso, una procedimiento universal, un método o una regla para producir una imagen, un método o una regla para la aplicación de un concepto; esto relaciona conocimiento y acción, actividad mental interna y mundo de la experiencia sensible, general y particular. El individuo, por tanto, no se reduce ni a un receptor pasivo de impresiones ni a un ejecutor de cálculos lógicos únicamente. Para adquirir conocimiento, el individuo debe ser activo. Sin embargo, en la teoría del conocimiento de Kant, el esquema exhibe o desvela su concepto, no lo produce (Radford, 2005a).

Por ejemplo, el esquema de triángulo, o lo que conecta el concepto de triángulo (lo general) a una representación de este (lo particular), es la

generales de los triángulos (Eco, 2007). Del mismo modo, nosotros reconocemos un perro porque los datos empíricos que recogemos en

El esquema no es una abstracción tomada de la experiencia.

«La experiencia es posible, y los datos empíricos se vuelven pensables, a causa del esquema, no lo contrario. Este es el motivo por el cual la teoría de Kant sobre el conocimiento no incluye una teoría de la abstracción» (Radford, 2005a, 140).

En la monumental obra Crítica de la razón pura, Kant escribe:

«En realidad, a la base de nuestros conceptos puros sensibles no hay imágenes de los objetos, sino esquemas. Al concepto de un triángulo en general no podría nunca adecuarse imagen alguna del mismo. Pues no alcanzaría la universalidad del concepto, que hace que éste valga para todos, rectángulos o no, sino que estaría siempre limitado a una parte de esa esfera. El esquema del triángulo no puede nunca existir en otra parte

Mientras que los conceptos a posteriori derivan de la experiencia a través de procesos de abstracción, o son una representación general de lo que es

los conceptos a priori tienen su origen en la mente. Estos últimos son representados o directamente por medio de esquemas o indirectamente por medio de símbolos, como Kant evidencia en la Crítica del juicio:



«Todas las intuiciones que se hallan sometidas a conceptos a priori son, pues, o esquemas o símbolos: los primeros contienen presentaciones directas, los segundos, presentaciones indirectas del concepto. Los primeros producen demostrativamente; los segundos, por medio de una analogía (por cuyo medio nos servimos aún de intuiciones empíricas). En este último caso, el juicio tiene una doble función: primera, aplicar el concepto al objeto de una intuición sensible, y después aplicarlo a un objeto distinto, del que el

sobre esta intuición» (Kant, 1790).

El esquema de conceptos geométricos se basa, por tanto, en una cierta semejanza entre el concepto y una representación de éste (muestra ostensivamente una característica común al concepto y a su representación sensible), mientras el esquema de conceptos aritméticos o algebraicos es únicamente simbólico (Radford, 2005a).6

Peirce (1839 – 1914)

Charles Sanders Peirce es considerado el fundador de la semiótica moderna, un genio universal en muchas ciencias; en gran parte ignorado por sus contemporáneos, pero tiempo después reconocido por la humanidad

La teoría de los signos de Peirce se funda en la idea de que la cognición, el pensamiento e incluso el ser humano tienen una naturaleza esencialmente semiótica. Para Peirce, los signos son medios para representar algo para alguien, son medios de pensamiento, de comprensión, de razonamiento, de aprendizaje.

«Desde este punto de vista, los signos son, como en Kant, condiciones para esta actividad. A diferencia de Kant, sin embargo, para Peirce los signos son sólo condiciones transcendentales, subjetivas o mentales de experiencias posibles, pero condiciones para las cuales la diferencia entre interno y externo no juegan ningún papel: “Todo nuestro pensamiento se realiza sobre signos de un cierto tipo o de algún otro, imaginados o realmente percibidos. Lo mejor del pensamiento, sobre todo para argumentos de matemática, se obtiene experimentando con la imaginación sobre un diagrama o sobre otro esquema; esto ayuda al pensamiento a tenerlo delante de los ojos”. Así, por cada “concepto” o estado mental, “los signos externos responden a todos los objetivos, y no existe, de

6 Acerca de la moderna relación entre didáctica, conceptos y esquema en el ámbito de la teoría de las situaciones, véase D’Amore (2011).



hecho, necesidad de considerar lo que pasa en la mente” (NEM I: 122)» (Hoffmann, 2005, 45).7

Los signos no son entes o fenómenos que se encuentran junto a otras entidades que no son signos. Para Peirce, todo puede actuar como signo, basta que alguno lo intérprete como tal.

Pero, ¿qué es un signo?

relevantes e iluminante es la siguiente:

«Un signo, o representamen, es algo que para alguien está por algo bajo algún aspecto o capacidad. Se dirige a alguien, esto es, crea en la mente de esa persona un signo equivalente, o tal vez un signo más desarrollado. Este signo que crea lo llamo interpretante del primer signo. El signo está por algo, su objeto. Está por ese objeto no bajo todos los aspectos, sino con referencia a una cierta idea, que a veces he llamado ground del representamen» (CP 2.228, 1897).8

elementos: un representamen, es decir el vehículo, la parte “material” del signo; un objeto, eso a lo cual el representamen reenvía; un interpretante, es decir lo que deriva o viene generado de la relación entre representamen y el objeto.

Para Peirce la interpretación de un signo exige además un cierto conocimiento colateral del signo o del sistema de signos, es decir, un tipo de conocimiento obtenido de otras experiencias precedentes con lo que el signo denota y una cierta familiaridad con el sistema de signos.

7 NEM x: xxx (volumen: página) = The New Elements of Mathematics.8 CP x.xxx (volumen.parágrafo) = Collected Papers of Charles Sanders Peirce.



signo: la función representativa y la función epistemológica.

La función representativa, es decir, el signo como medio para reenviar a un

derecha: la representación de un objeto por un interpretante. La función epistemológica, o el signo como medio para construir o generar conocimiento, se obtiene de una lectura de la misma relación de derecha a izquierda: el uso de un signo

(Hoffmann, Roth, 2007).

El objeto, es decir, a lo cual el signo/representamen reenvía, tiene una naturaleza un poco más complicada de la que pueda parecer a primera vista. El objeto puede ser de dos tipos:

inmediato, es decir, el objeto tal y como es representado por el signo,dinámicopresente; lo que guía la producción del signo, y de lo cual el objeto inmediato representa únicamente un aspecto particular.

Por ejemplo, cuando se quiere hacer referencia a un triángulo genérico, por lo general se diseña una línea poligonal cerrada constituida por tres segmentos que reenvía inmediatamente a un triángulo escaleno. En términos semióticos, el triángulo dibujado es un interpretante del representamen “triángulo” (en lenguaje natural), cuyo objeto inmediato es el objeto matemático “triángulo escaleno”, pero su objeto dinámico es el objeto matemático “triángulo” (los dos objetos, recordémoslo, son inaccesibles a los sentidos); su eventual reconocimiento depende del conocimiento colateral en juego. El diseño puede, en cualquier caso, vehicular también

ente individual dibujado (a su posición, a sus dimensiones, a sus eventuales colores etc.); características no necesarias para la representación del ente matemático (objeto dinámico) al cual el diseño hace referencia.

Es necesario no confundir nunca el interpretante con el intérprete del signo, y tampoco con lo que el signo crea en la mente de una persona (“un signo más desarrollado”). Peirce, en diversos escritos, evidencia que el interpretante debe ser entendido como «el efecto propio inducido vehiculado por el signo» (CP 5.473, 5.475) y, por tanto, tiene una naturaleza



exclusivamente pragmática, en línea con el pragmatismo que caracteriza

El interpretante de un signo puede, en cualquier caso, volverse a su vez el representamen de un nuevo signo que reenvía al mismo objeto dinámico (bajo algún aspecto) a través de un nuevo objeto inmediato y de un nuevo interpretante, y así sucesivamente.

Retomando el ejemplo precedente, el dibujo del triángulo escaleno (interpretante del representamen “triangulo”) puede volverse a su vez el representamen de un nuevo signo que reenvía al mismo objeto dinámico “triángulo”, pero que tiene como objeto inmediato el objeto matemático “triángulo obtusángulo” o el objeto matemático “triángulo acutángulo”, y así sucesivamente.

Peirce sugiere aquí un proceso de semiosis (o, en otras palabras, una acción de signos que se realiza en la formación de nuevas relaciones triádicas) potencialmentepráctica inevitablemente interrumpen.

Peirce distingue en particular tres tipos de interpretantes:

• el interpretante inmediato, es decir, el primer efecto que un signo puede producir sobre su intérprete, una potencialidad semántica [por ejemplo, cuando el docente indica con el índice de la mano derecha el tablero, el efecto que se produce puede ser el de mirar al tablero y ver precisamente el dibujo del triángulo escaleno (obtusángulo o acutángulo) al cual el docente está señalando con el dedo];

• el interpretante dinámico, es decir, el efecto producido realmente sobre un intérprete (por ejemplo, mirar el tablero en general, en respuesta al señalamiento del dedo);

• el , es decir el resultado interpretativo al cual todo

ejemplo, mirar el dibujo del triángulo escaleno (obtusángulo o acutángulo) al cual el docente está indicando con el dedo y reconocer en ese un triángulo genérico, o mejor aún, el objeto matemático “triángulo”].



Los tres polos de la relación de signos (representamen, objeto, interpretante) reenvían respectivamente a las tres categorías sobre las cuales Peirce funda su faneroscopía o fenomenología:9

• Firstness (Primeridad): cualidad pura, sensación, idea, posibilidad de existencia, vaguedad; pura posibilidad de signo;

• Secondness (Segundidad): reacción, resistencia, hecho, realización, singularidad, experiencia; mero hecho de signo;

• Thirdness (Terceridad): representación, mediación, hábito, ley, generalidad; ley de signos.

Sobre la base de estas tres categorías y de las relaciones que el representamen de un signo tiene con el objeto (dinámico) al cual hace referencia, Peirce distingue tres tipos fundamentales de signo/representamen: icono, índice y símbolo.10

Un ícono es principalmente un signo de Primeridad; es un signo/representamen que posee una cierta semejanza con su objeto. Sin embargo, es necesario tener claro qué se entiende por “semejanza” en este contexto. Peirce lo aclara distinguiendo tres tipos diferentes de representamen icónicos:

imagen (semejanza al objeto por cualidad simple),diagrama (semejanza al objeto de tipo estructural o relacional),11

metáfora (semejanza al objeto mediante la representación de un paralelismo con alguna otra cosa).

son diagramas en cuanto representan relaciones particulares. Por ejemplo,

9 «La faneroscopía es la descripción del phaneron; y por phaneron yo entiendo el total colectivo de todo lo que está, de cualquier forma o sentido, presente en la mente, independientemente de su corresponder o no a algo real» (CP 1.284, 1905).

10 Nótese la presencia continua del número tres, sobre el cual Peirce focaliza gran parte de su atención y de toda su semiótica.

11 El término diagrama, del griego (diagrama), “dibujo”, deriva del verbo (diagrafo) “dibujar”, “tra-zar”, compuesto de (día) “a través de”, “por”, “por medio de” y (grafo) “describir”, “pintar”, “dibujar”, “escribir”; es utilizado para indicar “lo que es trazado por medio de líneas” (Harper, 2001-2012). El uso de tal tér-

al interior de un sistema de representación. Esta diferencia, como muestra Hoffmann (2010), no existe en Peirce. Según Peirce, también las oraciones y las ecuaciones son diagramas. Un diagrama solo tiene dos características fundamentales: representa relaciones y es “realizado sobre un sistema de representación perfectamente coherente” (CP 4.418, aprox. 1903). Desde aquí su carácter icónico. Aún más, un diagrama es un representamen en el que juegan un papel importante los índices, cuya función es dirigir la atención hacia algo (son índices también las variables en las

ley o de una convención.



la expresión (a+b)(a-b) es un diagrama que puede ser considerado un interpretante del representamen “producto de la suma de dos números por su diferencia” (en lengua natural). Dicho interpretante, para a>b>0, puede convertirse a su vez en el representamen de un nuevo signo que tiene, entre otros, el siguiente interpretante geométrico:

sólo estructural sino también cualitativa, con los objetos con los cuales están en relación. Como muestra Efraim Fischbein (1920 – 1998) (1993),

Existe una diferencia fundamental entre los diagramas y los otros tipos de íconos: los diagramas están construidos según reglas y convenciones que

de representación (un registro semiótico, o un registro de representación, en términos de Duval);12 por tanto, con estos se

12 registro semióticomás precisamente, como un sistema semiótico que responde no solo a una función de comunicación o de objetiva-ción sino también a una función de tratamiento, es decir de trasformación de una representación de un objeto en otra (del mismo objeto) al interior del mismo sistema semiótico. Se habla de conversión cuando se pasa de una represen-tación de un objeto en un registro semiótico determinado a una representación del mismo objeto en otro registro semiótico; se trata entonces de una transformación de representación que determina un cambio de registro sin

registro a otro (Duval, 2007; 2008). Un sistema semiótico

b) elementos que asumen valor de sentido sólo en oposición de elección a otros elementos y a sus usos según las reglas organizativas que permiten designar objetos (por ejemplo, las cifras de una base de un sistema de numeración).

Sin embargo: «No todos los sistemas semióticos son registros, sólo aquellos que permiten una transformación de representaciones» (Duval, 2006b, 111). En particular, Duval (2006a, b) distingue cuatro tipos de registros de repre-

por ejemplo 0D/2D, 1D/2D, 2D/2D, 3D/2D, donde el “denominador” denota la inclusión del espacio en el cual se producen las representaciones. Por tanto, representaciones de objetos geométricos de dimensión, respectivamente,

etc.). En los registros monofuncionales los tratamientos pueden asumir la forma de algoritmo, mientras en los registros

multifuncionales los tratamientos no pueden ser convertidos en algoritmos. Toda representación semiótica proporciona un contenido (sentido o modo de presentación) diferente según el re-



pueden hacer experimentos, es decir, manipulaciones o transformaciones, respetando las reglas del sistema. Y, dado que un diagrama es básicamente una representación de relaciones construida con los instrumentos disponibles en el sistema de representación considerado, Peirce evidencia que es exactamente este último, el sistema de representación, el que determina tanto los experimentos posibles con los diagramas como los resultados necesarios de dichos experimentos.

En el caso de la expresión considerada anteriormente, utilizando la propiedad distributiva del producto respecto a la suma y las usuales notaciones algebraicas, se obtiene una diferencia de dos cuadrados, precisamente el representamen: a²-b². Siempre para a>b>0, mediante una

correspondiente representación geométrica (representamen):

Estos representamen, obtenidos siguiendo las reglas y las convenciones de los correspondientes sistemas de representación (registro de la escritura

constituyen interpretantes del representamen “el producto de la suma de dos números por su diferencia” que reenvían al mismo objeto dinámico (objeto matemático), bajo algún aspecto, a través objetos inmediatos diferentes entre sí.

gistro semiótico utilizado para su producción; mientras que el objeto representado se vuelve el invariante de un conjunto de representaciones. Duval (2008) evidencia la estructura, esencialmente diádica, de una representación semiótica de la siguiente forma:

{{contenido de la representación, registro semiótico utilizado}, objeto representado}. Los tratamientos y las conversiones de representaciones semióticas se analizarán con mayor detalle en los capítulos

2 y 3.



¿Y qué decir de las metáforas? El hecho puede aparecer sorprendente, pero en matemática el uso de las metáforas (al menos en el sentido dado por Peirce) es generalizado e inevitable.

Por ejemplo, para describir el uso del signo “=” como relación binaria (no como signo de procedimiento) se recurre con frecuencia, al menos inicialmente, a la metáfora del equilibrio o de la balanza; sólo en un segundo momento, en los primeros años de la escuela secundaria, se inicia a considerar la relación de igualdad como una relación binaria particular; es decir, como un particular subconjunto del producto cartesiano del

Las expresiones “eje vertical” y “eje horizontal” para indicar, respectivamente, el eje de las ordenadas y el eje de las abscisas en un sistema de referencia cartesiano (en el plano) son de uso común en la clase de matemática, aun cuando los adjetivos “vertical” y “horizontal”

determinada relación espacial entre objetos que pueblan el mundo de la experiencia sensible, o una determinada disposición espacial, normalmente ausente entre los objetos matemáticos.

Análogamente, son frecuentes las expresiones del tipo: “trazar la recta r que pasa por los puntos A y B”, “consideremos un haz de rectas paralelas cortadas por dos rectas transversales”, “la circunferencia que pasa por el origen O del sistema de coordenadas y con centro en el punto C (diferente de O) tiene como ecuación…”, “esta función en todo su dominio y es siempre creciente” etc. A partir de estos ejemplos se pueden elaborar otros.

Pero no siempre existe una total consciencia del sentido que tiene cada una de estas expresiones. La naturaleza y el papel de los términos utilizados quedan muchas veces ocultos; son subestimados o considerados obvios en la mayoría de los casos. ¿Cómo es posible “dibujar” o “trazar” una “recta”? ¿Y un punto? ¿Y cómo hacen los objetos abstractos, no accesibles a los sentidos, para “cortarse”, para “pasar por”, para “crecer”, para “existir” etc.? (Para profundizar estos temas, véase D’Amore, Fandiño Pinilla, 2012b).



El análisis del paralelismo entre las propiedades de los objetos concretos (accesibles a los sentidos) y las propiedades de los objetos matemáticos (no accesibles a los sentidos) es necesario e inevitable para comunicar

matemática es crucial la transferenciacomo lo sugiere la etimología del término metáfora(metaforá metá), “más allá”, “después”, “entre”, y

), “llevar”, “indica en general una transferencia de un lugar a otro” (Nöth, 1995) – o del mundo de los objetos concretos al mundo de los objetos matemáticos.13 Pero, es necesario ser conscientes de este hecho.

Para Peirce, como hemos visto, las metáforas exhiben una especie de tercer nivel de iconicidad (el primer nivel lo ocupan las imágenes, que representan sus objetos por medio de una semejanza básicamente cualitativa, mientras que el segundo nivel lo ocupan los diagramasestructural con sus objetos). Peirce usa el término metáfora para indicar una relación de semejanza entre un representamen y un objeto que deriva de un paralelismo con alguna otra cosa (CP 2.277, aprox. 1902).

Muy interesante y de gran agudeza es el análisis de Font, Godino, Planas y Acevedo sobre el discurso matemático:

«El objeto metáfora está siempre presente en los discursos del docente porque en estos las entidades matemáticas están presentadas como “objetos con propiedades” que pueden ser físicamente representadas (en el tablero, con materiales didácticos, con gestos, etc.). (…) El uso del objeto metáfora facilita el pasaje de la representación ostensiva del

13 El Webster’s Third New International Dictionary metáforauna palabra o frase que denota literalmente un tipo de objeto o idea es utilizada al puesto de otra para sugerir una se-mejanza o analogía entre sí» (http://www.merriam-webster.com/dictionary). Una primera teorización de la metáfora fue proporcionada por Aristóteles, en la Poética y en la Retórica. En la Poéticametáfora como una transferencia del nombre propio de una cosa a otra, una transferencia que puede ser del género a la especie, de la especie al género, de especie a especie o por analogía. Pero la sugerencia principal que proporciona Aristóteles, como evidencia Eco (2007), es que para comprender una metáfora es necesario saber reconocer las semejanzas, lo símil en lo disímil (1459a). Para Aristóteles, por tanto, la metáfora tiene una importante función cog-nitiva, es un instrumento de conocimiento, no un banal ornamento del discurso (Eco, 2007). Esta función cognitiva, que la cultura medieval no fue capaz de acoger (Eco, 2007), viene reconocida después, reexaminada y evidenciada en numerosos estudios, en particular por Lakoff y Johnson (1980), quienes concibieron la metáfora, en sentido amplio, como un mapeo, una aplicación (en sentido matemático), entre dos dominios conceptuales, a través de la cual uno de los dos dominios, el dominio objetivo (target domain), está comprendido en términos del otro, el dominio fuente (source domain). La comprensión de una metáfora se basa por tanto en el conjunto de las correspondencias entre los ele-mentos del dominio fuente y los elementos del dominio objetivo. El dominio fuente está, en general, más ligado a la experiencia sensible respecto al dominio objetivo, que resulta mucho más abstracto y menos delineado. La iconicidad de la metáfora, para Lakoff y Johnson (1980), se basa en los hechos de la experiencia, nace por un proceso creativo e implica semejanzas entre los objetos, incluso aparentemente completamente diferentes, cuya percepción depende de códigos culturales. En otros términos, las metáforas no son naturales ni universales, sino que están determinadas culturalmente (Nöth, 1995).



objeto a un objeto ideal, no-ostensivo. Entonces el uso de la metáfora lleva a hablar de “existencia” de los objetos matemáticos. Este uso puede inducir a los estudiantes a asumir que los objetos matemáticos existen al interior del discurso matemático (existencia interna) y, en ocasiones, los estudiantes pueden suponer que estos existan como existen las sillas y los árboles (existencia externa, física o real)» (Font, Godino, Planas, Acevedo, 2010, 15-16).

Los mismos autores muestran también que en las prácticas matemáticas se

y, por otra, se distingue bien el objeto de algunas de sus representaciones. Aún así:

«las reglas de este juego lingüístico, donde el objeto metáfora es crucial, pueden ser difíciles de aprender para algunos estudiantes» (Font, Godino, Planas, Acevedo, 2010, 17).

Algunos investigadores, como Paul Ernest (2010) y Kathleen Hart (1989), evidenciaron que, mientras los expertos pueden reconocer una conexión estructural o metafórica entre las actividades basadas en las representaciones concretas y aquellas basadas en el uso de signos abstractos, los niños consideran por lo general estas dos actividades como no relacionadas, muy bien diferenciadas la una de la otra, cada una con reglas propias y

«Esto podría ser el resultado de un proyecto educativo débil que no evidencia las relaciones ni las estructuras compartidas. Pero podría también derivar de un problema mucho más profundo. (…) Tal vez no podemos reconocer una situación concreta como una metáfora de un concepto abstracto hasta que el concepto no se haya formado. Si las cosas están así, en la enseñanza de la matemática existe una gravísima falla en el uso de materiales estructurados» (Ernest, 2010, 103).

Los problemas didácticos inherentes al uso a-crítico de los “materiales estructurados”, en particular el grande problema del transfer cognitivo no espontáneo, que serán estudiados en mayor profundidad en los capítulos sucesivos de este libro, están ampliamente descritos, documentados y aclarados en numerosos trabajos de investigación y de divulgación en didáctica de la matemática (véase por ejemplo: D’Amore, 2002a; 2002b; Locatello, Meloni, Sbaragli, 2008).



Dichos materiales no constituyen registros de representación, sino artefactos que permiten la producción de representaciones auxiliares en el pasaje de los registros de lengua natural al de un sistema simbólico (por ejemplo, el de la notación decimal) y viceversa. Pueden también constituir el dominio fuente de algunas metáforas que tienen como dominio objetivo un registro semiótico particular. La comprensión del dominio objetivo en términos del dominio fuente, sin embargo, no es ni inmediata ni espontánea y crea más problemas que ventajas.

Volviendo a Peirce, podemos decir que un signo (representamen) tiene una relación icónica con su objeto si el signo representa el objeto por medio de una semejanza simplemente cualitativa (imagen), o estructural (diagrama), o por medio de una semejanza entre dos objetos o situaciones de naturaleza diferente (metáfora).

El punto fuerte de los signos que tienen una relación icónica con su objeto es el hecho de que estos vehiculan algo del objeto. El punto débil es que la iconicidad, por sí sola, no determina el objeto con el cual el signo establece una relación; el conjunto de los objetos al cual el signo puede ser

otros objetos matemáticos a los cuales la expresión (a+b)(a-bprecedentes pueden reenviar].

Un índice es principalmente un signo de Segundidad. Es un signo (representamenestablece una relación. Esto permite focalizar la atención del intérprete sobre el objeto; por ejemplo: las letras utilizadas convencionalmente para designar los vértices de un triángulo, el dedo índice de la mano derecha extendido para dirigir la atención a algo, una regla graduada, una fotografía, el relámpago en relación con el trueno, o los términos deícticos (esto, aquello, aquí, allá, antes, después, ahora, etc.).

En general, un signo (representamen) tiene una relación indexical (de indicación) con su objeto si el signo permite dirigir la atención al objeto, o si existe

(representamen) y el objeto.



Un símbolo tiene principalmente la naturaleza de la Terceridad: es el resultado de una mediación entre íconos e índices y, al mismo tiempo, relaciona íconos e índices.

En particular, es un signo (representamen) cuya relación con el objeto

esto que se relaciona con el contexto histórico-cultural del cual emerge.

la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

En general, un signo (representamen) tiene una relación simbólica con su objeto si es establecida por una convención.

En síntesis, la relación que un signo (representamen) puede tener con el objeto al cual hace referencia puede ser de tres tipos:

icónica: relación de semejanza (por simple cualidad, estructural, o mediante un paralelismo con alguna otra cosa);

simbólica: relación establecida por una convención, por un acuerdo o por una ley general.

Sin embargo, como el mismo Peirce evidencia, puros símbolos, puros íconos y puros índices, no existen. Un signo (representamen), y por tanto una representación semiótica de un objeto matemático, posee siempre un componente icónico, un componente indexical y un componente simbólico; pero siempre en relación con el intérprete y con su conocimiento colateral.

En todo caso, como argumenta Bagni (2009a, b), la comprensión del papel de las representaciones semióticas de los objetos matemáticos, en particular de sus componentes icónicos, indexicales y simbólicos, no es para nada espontánea ni lineal.

En el intento de explicar cómo funciona el conocimiento, teniendo en cuenta el sentido común y la experiencia, y por tanto nuestra capacidad de



particular de inferencia (distinta de la deducción y de la inducción). Se trata de la abducciónuna hipótesis explicativa, una hipótesis en capacidad de explicar un hecho sorprendente o inesperado (CP 5.171-172, 1903).

La abducción, para Peirce, puede explicar no sólo el razonamiento

que se forma una hipótesis explicativa relacionada con lo que se observa. En particular, una abducción consiste en suponer un caso a partir de un resultado y de una regla; es decir, en suponer que un dato observado sea el resultado de una regla.

Se puede esquematizar, siguiendo el famoso ejemplo de los frijoles blancos de Peirce, de la siguiente forma:

Resultado: Estos frijoles son blancos Regla: Aquel saco contiene solamente frijoles blancos Caso: Estos frijoles provienen de aquel saco.

O de la siguiente forma:

Resultado: x tiene la propiedad T Regla: Todo x del tipo H tiene la propiedad T Caso: x es del tipo H.

Es decir:

T [Resultado]

--------- ----------- H [Caso]

«La “regla” a menudo se busca de forma tal que explique el “resultado”. Esto es relevante didácticamente» (Bagni, 2009b, 194).

En esta forma de razonamiento, una conclusión (no cierta, sólo plausible) es aceptada porque explica los datos disponibles, convirtiéndose en una hipótesis explicativa.



La deducción se puede esquematizar de la siguiente forma:

Regla: Aquel saco contiene solamente frijoles blancos Caso: Estos frijoles provienen de aquel saco Resultado: Estos frijoles son blancos.


Regla: Todo x de tipo H tiene la propiedad T Caso: x es de tipo H Resultado: x tiene la propiedad T.

Es decir:

H [Caso] --------- ------------- T [Resultado]

La inducción puede ser esquematizada de la siguiente forma:

Caso: Estos frijoles provienen de aquel saco Resultado: Estos frijoles son blancos Regla: Aquel saco contiene sólo frijoles blancos.


Caso: x es de tipo H Resultado: x tiene la propiedad T Regla: Todo x de tipo H tiene la propiedad T.

Es decir:

H [Caso] T [Resultado] --------- -------------



La inducción se basa en un cierto número de observaciones de varios

En la abducción se observa el caso H; «la regla, pero, no siempre se “observa” simplemente: su misma búsqueda se convierte en una parte esencial, característica del proceso de abducción» (Bagni, 2009b, 196). El sujeto debe buscar, entre sus conocimientos o entre los de los demás, si

construirla, para formular la hipótesis H.

La hipótesis H, por lo menos en un primer momento, no puede ser considerada “justa” o “errónea”, sólo plausible.

Por ejemplo, para convencer a los estudiantes de los primeros años de secundaria de la validez, en la geometría euclidiana, del enunciado: la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a la medida de un ángulo llano, se puede pensar en recortar un triángulo dibujado en una cartulina y de doblar o cortar las extremidades (las “puntas”) del triángulo de cartón de forma tal que estas proporcionen un ángulo llano, como en la siguiente

pasaje de orden abductivo.



La abducción puede ser descrita de la siguiente forma:

Resultado: El ángulo suma de los tres ángulos internos de un triángulo de cartón tiene como lados dos semirrectas que pertenecen a la misma recta.Regla: Los lados de un ángulo llano pertenecen a la misma recta.Caso: La suma de los ángulos internos del triángulo de cartón es un ángulo llano.

¿Pero quién o qué garantiza la universalidad de la conclusión? Es decir, ¿qué garantiza que el dato observado (un diagrama individual) sea generalizable a todos los triángulos? Ciertamente podemos repetir la construcción con otros triángulos de cartón, pero la generalización aparece de todas formas muy problemática. Como bien lo saben los docentes (y como los estudiantes, antes o después, descubrirán en su recorrido escolar), un diagrama individual, diseñado o construido de alguna forma, no constituye una demostración (interpretante simbólico) de un enunciado (representamen simbólico).

El diagrama, es decir el momento icónico, constituye una fase transitoria (pero de la máxima importancia desde un punto de vista didáctico) entre dos momentos simbólicos (Bagni, 2009b). En cada caso, su elección no es didácticamente neutra; no está desprovista de efectos a corto o largo plazo, sobre todo en la construcción cognitiva de objetos matemáticos con



De Saussure (1857 – 1913)

Ferdinand de Saussure es el fundador internacionalmente reconocido de la lingüística moderna. Su principal contribución a la semiótica fue dada por su proyecto de construir una ciencia de los signos: la semiología.

En ésta,

«la lengua es un sistema de signos que expresan ideas y, por eso, es comparable a la escritura, al alfabeto de los sordomudos, a los ritos simbólicos, a las formas de cortesía, a las señales militares etc. Sólo que es el más importante de todos esos sistemas. Se puede, pues, concebir una ciencia que estudie la vida de los signos en el seno de la vida social. Tal ciencia sería parte de la psicología social y, por consiguiente, de la psicología general. Nosotros la llamaremos semiología (del griego semeion, “signo”). Ella nos enseñará en qué consisten los signos y cuáles son las leyes que los gobiernan. Puesto que todavía no existe, no se puede decir qué es lo que ella será; pero tiene derecho a la existencia y su lugar está determinado de antemano. La lingüística no es más que una parte de esta ciencia general. Las leyes que la semiología descubra serán aplicables a la lingüística, y así

el conjunto de los hechos humanos» (de Saussure, 1916, 33).14

Por tanto, para de Saussure, el objetivo de esta nueva ciencia es describir los signos socialmente determinados, los sistemas que estos forman, las reglas que rigen sus usos, y su evolución en el tiempo. Los signos incluyen tanto los signos lingüísticos orales o escritos como los diferentes tipos de señales (por ejemplo las militares), comportamientos y hábitos. Para de Saussure, sin embargo, el más importante sistema de signos es el lenguaje convencional de los seres humanos; por lo cual la ciencia semiológica de mayor relevancia es la lingüísticaque es elevada a modelo de toda la semiología. De Saussure elabora su modelo de signo precisamente con el objetivo de analizar el signo lingüístico.

Él distingue, en lingüística, la langue (la lengua como sistema formal socialmente compartido, gramática, estructura abstracta convencional,

14 El Curso de lingüística general (Cours de linguistique générale) de de Saussure fue publicado póstumo, en 1916, por dos estudiantes, Charles Bally y Albert Sechehaye, que frecuentaron las lecciones de lingüística general de de Saussure en la Universidad de Ginebra en los años 1906-11. Así, la publicación no fue escrita del puño y letra de de Saussure; fue redactada sobre la base de los apuntes tomados por sus alumnos durante sus lecciones. (El número de página se



mental y social) de la parole (el habla, el acto lingüístico concreto, contingente, variable de quien habla, es decir, la producción individual de la langue).

La langue es un sistema de reglas, un producto social, que permite a las personas comunicar. Sobre la base de la langue, un individuo produce la parole, un acto concreto, personal, de naturaleza psicológica y física, dependiente de la voluntad individual.

Pero, ¿qué es para de Saussure el signo? Un signo (signe) no es ni una entidad concreta, ni una referencia a una entidad concreta, sino el resultado de la combinación de un concepto y de una imagen acústica. La imagen acústica no es un sonido sino que es un esquema mental del sonido. Cuando se forma, un signo existe como una entidad psíquica; la imagen acústica y el concepto están en la mente, inseparables, y ninguno precede al otro. De Saussure, poco después de haber introducido la noción de signo, sustituye los términos concepto e imagen acústica con los términos más generales ( ) y

( ).

Es así como, para de Saussure, todo signo es una entidad psíquica de dos caras. Por una parte, es el o la imagen acústica (componente fonético, secuencia de letras); por otra, es el o el concepto (idea, lo que se “piensa”).

El modelo del signo lingüístico proporcionado por de Saussure está



el concepto no puede ser comprendido sin la imagen acústica, y la imagen

El signo para de Saussure es, por tanto, diádico: une de forma indisoluble

externo a la lengua.

Recordémoslo, los elementos que constituyen el signo para de de Saussure son de tipo mental, una imagen sonora y un concepto, y se unen en un sistema de reglas (langue: lengua), que después se confronta con la producción o la ejecución individual (parole: habla) durante el proceso comunicativo.

El signo para de Saussure es una entidad “abstracta”, en el sentido de “psíquico” o “mental”; es opuesto a “material”, diferente de los concretos actos lingüísticos, es decir, de la parole.

lingüístico, y son considerados en sus vínculos recíprocos de relación y de oposición. Pero sólo las diferencias o las oposiciones entre los signos son

“par”.

Dentro de un sistema lingüístico, cada signo adquiere un valor (de relación, opuesto o de diferencia) determinado por la presencia de otros signos: ningún signo queda idéntico si otros se le agregan o si se sustraen al sistema. De Saussure llama estructuras a los sistemas de diferencias o de oposiciones.

Para aislar las estructuras lingüísticas de su evolución histórica, de Saussure introduce la dicotomía sincrónico vs. diacrónico. El análisis sincrónico estudia un sistema de signos en un determinado momento, sin tener en cuenta su historia. El análisis diacrónico estudia, por el contrario, la evolución de un



sistema de signos en su desarrollo histórico. Dado que antes de de Saussure los lingüistas estaban interesados básicamente a la historia del lenguaje, su propuesta de estudiar el lenguaje en una perspectiva sincrónica constituye un viraje importante en la historia de la lingüística.

Arbitrariedad y convencionalidad son otras dos características fundamentales del signo lingüístico y de la langue.

La arbitrariedad del signo de de Saussure debe ser entendida no en el sentido de “casual”, sino en el sentido de que el signo no está determinado por relaciones necesarias de causa-efecto o de semejanza; por ejemplo, el signo lingüístico “perro” no está determinado por alguna relación de causa-efecto ni de semejanza con la clase de objetos del mundo al cual puede referirse. Esto no excluye la posibilidad de que los signos puedan ser

(como las onomatopeyas, por ejemplo, que reproducen ciertos sonidos, aunque de forma diferente de idioma a idioma).

La convencionalidad del signo de de Saussure hace referencia al consenso ideal (convencional) de una comunidad de hablantes acerca del uso del signo. De hecho, un signo arbitrario no puede convertirse en un signo lingüístico sin dicho consenso.

De Saussure distingue, en particular, el signo arbitrario del símbolosímbolo como un signo motivado

El símbolo está contrapuesto al signo arbitrario, aún más, es contrario al arbitrario

un componente psicológico (signo como imagen acústica y concepto) y, por otro, un componente social (signo como convención al interior de la langue). Pero, el componente psicológico del signo no debe ser entendido en términos de psicología individual. Dado que la semiología estudia los signos como entidades que tienen origen en las interacciones sociales (no

(imagen acústica) no son individuales, sino colectivos.



Como lo nota John Deely (2006), de Saussure, ignorando el pensamiento semeia

(symbola semeia) del reino de los symbola):

«de Saussure propuso una “ciencia de los signos” que excluíaconcentración exclusiva en

modernos, han podido imaginar» (Deely, 2006, 4).

Mientras es antigua la restricción del semeion a los eventos naturales y a los contextos proposicionales de la inferencia, es, por el contrario, relativamente moderna la restricción del signo al reino de la convención

symbolon ónoma, nombre). Sin embargo, como lo muestra una vez más Deely (2006, 19):

De hecho el término “semiótica” hoy hace referencia a una doctrina o ciencia de los signos que incluye todos los tipos de signos, tanto culturales como naturales.

En conclusión, los aspectos fundamentales de la teoría del signo (lingüístico) de de Saussure son: la estructura diádica, la concepción mentalista,

oposición, diferencias y valores que caracterizan el sistema de signos), la arbitrariedad y la convencionalidad.

Piaget (1896 – 1980)

Jean Piaget, a semejanza de Kant, considera el conocimiento estrictamente ligado a las acciones del sujeto; pero, a diferencia de Kant, Piaget, en cuanto epistemólogo cognitivo, analiza el conocimiento en el contexto de la vida biológica del ser humano y busca estudiar su génesis, a partir del nacimiento del individuo. Piaget argumenta que existen, en los individuos,



estructurales cognitivas: un desarrollo de tipo lineal llamado estadios de desarrollo cognitivo:

1. estadio sensorio-motor (desde el nacimiento hasta los 2 años)2. estadio pre-operatorio (de los 2 años hasta los 6 años)3. estadio de las operaciones concretas (de los 6 años hasta los 12 años)4. estadio de las operaciones formales (de los 12 años en adelante).

En el estadio sensorio-motor, el aprendizaje se adquiere principalmente a través de los sentidos y de las habilidades motoras; el niño actúa por medio de esquemas sensorio-motores innatos. Piaget entiende por esquema un modelo de acción física o mental que permite al individuo actuar, organizar, interpretar las informaciones y, al mismo tiempo, adaptarse al ambiente.15 Los esquemas que usa un niño recién nacido son muy limitados,

sensorio-motor, el niño no está aún en capacidad de interiorizar acciones, eventos u objetos a través de representaciones.

Únicamente a partir del estadio pre-operatorio, el niño está en capacidad de construir representaciones y de usar símbolos, entendidos como signos

representación re-presentación, es decir evocaciones en el pensamiento de un objeto que no está presente (Amín, Valsiner, 2004). La aparición de la capacidad de representación, en este estadio, permite la interiorización de esquemas sensorio-motores.

En el estadio de las operaciones concretas, por el contrario, el niño no sólo utiliza los símbolos sino que también puede manipularlos en forma lógica; sabe llevar a cabo operaciones complejas (usando los conceptos de número, longitud, área, peso, volumen etc.) con referencia siempre a objetos concretos; y tales operaciones mentales tienen carácter “reversible” (Piaget habla, en dicho caso, de “reversibilidad del pensamiento”): a cada operación corresponde una operación inversa.

15 Piaget utiliza en particular dos palabras francesas para decir “esquema”: schème y schéma. La primera, que podemos tra-ducir como “esquema operativo”, es utilizada para indicar un plano o modelo de acción, la forma general interna de

dispositivo auxiliar para las acciones de aprendizaje.



Sólo a partir de los 12 años, en el estadio de las operaciones formales, el niño adquiere la capacidad de comprender conceptos abstractos, de efectuar razonamientos de tipo hipotético-deductivo (se habla en tal caso de “pensamiento hipotético-deductivo”), de hacer razonamientos inductivos y deductivos al grado de representar objetos no directamente accesibles a través de los sentidos.

Piaget ve al individuo en continua interacción con el ambiente externo, y el desarrollo como un proceso de adaptación a dicho ambiente. Por medio de la interacción con el ambiente externo, el individuo construye el propio conocimiento o estructuras mentales cada vez más complejas, gracias a su capacidad de adaptación. La adaptación es, para Piaget, un equilibrio entre dos procesos, siempre presentes durante todo el desarrollo cognitivo del individuo: asimilación y acomodación. La asimilación consiste en la incorporación de los datos de la experiencia en esquemas ya poseídos, o en la interpretación de eventos en términos de estructuras cognitivas existentes; mientras la acomodaciónesquemas ya poseídos para acoger nuevos datos o informaciones. Así, mientras la asimilación es esencialmente conservativa, la acomodación implica un cambio. En ocasiones prevalece la asimilación; en otras, la acomodación. Cuando una nueva información no resulta compatible con los esquemas poseídos, prevalece el acomodamiento y el individuo busca

equilibrio entre asimilación y acomodamiento indica una adaptación, es decir, construcción de conocimiento.

Piaget describe el desarrollo en términos tanto de estructuras que cambian continuamente como de funciones invariantes (la asimilación y la acomodación); es decir, que no cambian durante todo el desarrollo. Las estructuras son esquemas o modelos de acción que en el estadio sensorio-motor, regulan acciones de tipo físico, ligadas al conocimiento práctico; a partir del estadio pre-operatorio, regulan también acciones de tipo mental, ligadas inicialmente al pensamiento simbólico; en el estadio de las operaciones concretas, regulan el uso de signos arbitrarios (es decir,

regulan al pensamiento hipotético-deductivo.



Según Piaget, todo el conocimiento está caracterizado por estructuras; éstas pueden ser , como las percepciones y las imágenes mentales, u operativas, como las estructuras de las acciones o de las operaciones, es decir, las estructuras operacionalesconocimiento está dado por las representaciones internas de las formas estructurales de los objetos de conocimiento, mientras el aspecto operativo está dado por las acciones o por las operaciones intelectuales orientadas

operativos, impregnan todos los estadios de desarrollo: desde el sensorio-motor hasta el de las operaciones formales.

Para Piaget, como lo evidencia Ernst von Glasersfeld (1987), el número

sino operativo.

«Sin embargo, las disposiciones perceptivas pueden ser utilizadas para

estatua prehistórica, por ejemplo, pueden ser interpretados como una documentación de tres eventos. En este sentido se pueden llamar

“tresidad”, se limitan a proponer al observador una ocasión para efectuar las operaciones conceptuales que constituyen la “triada”» (Glasersfeld, 1987, 223).

los segundos promueven simplemente la construcción de una concepción

indican que una determinada operación conceptual debe ser realizada (como los signos “+”, “-“, “=”, las proposiciones, las conjunciones y algunas otras palabras cuya interpretación no depende del recuerdo de experiencias sensorio-motoras, sino que requiere de la construcción de alguna relación conceptual operativa).

Al igual que Kant, Piaget trata de analizar la naturaleza de nuestras representaciones del mundo; pero, a diferencia de Kant, no asume la existencia de condiciones a priori para el conocimiento. La concepción constructivista que caracteriza su epistemología genética impulsa a Piaget



a centrar su atención en la forma en la cual las acciones y los gestos se convierten en representaciones conceptuales. Piaget re-elabora, por tanto, el esquema de Kant en términos constructivistas y de desarrollo cognitivo, enfatizando el papel de las acciones y de los gestos.

El conocimiento, para Piaget, no tiene origen en el lenguaje, en los signos lingüísticos, sino en las acciones reales o interiorizadas (acciones mentales) y en los consecuentes procesos de adaptación. El lenguaje, por sí mismo, aparece únicamente a nivel de conocimiento proposicional, como modalidad de representación; a nivel sensorio-motor, el lenguaje no es aún adecuado, mientras que a nivel de las operaciones formales no es ya adecuado. Más detalladamente, en el estadio sensorio-motor, el lenguaje aún no se ha desarrollado adecuadamente, mientras que en el estadio de las operaciones formales ya no es adecuado para representar o para tratar situaciones, dado que éstas requieren el desarrollo del pensamiento abstracto o el uso de conceptos abstractos por parte del sujeto.

Para Piaget, a diferencia de Kant, el intelecto no sólo enmarca y regula

estructuras mentales, los esquemas. Piaget abandona, como consecuencia, los conceptos a priori kantianos y su anti-apriorismo le permite atribuir a los símbolos un papel del todo central en el proceso de construcción de conocimiento.

En su libro La formación del símbolo en el niño, Piaget sostiene que el símbolo nace del esquematismo no simbólico. Con mayor precisión, como evidencia Radford (2005a, 141):

motores y el surgimiento de los primeros símbolos en los niños. En otras palabras, la inteligencia sensorio-motora se prolonga en la representación

como “señales” o como “índices” pero no tienen aún una independencia

incluye imitaciones, juego simbólico, imágenes mentales, gestos y lengua natural. Siguiendo a de Saussure, Piaget distingue entre símbolo y signo. Un símbolo



signo, por el contrario, tiene

representa un triángulo es un símbolo».

motivado icónicamente y por tanto no convencional, lo interpreta como

sonido del despertador o el azul del cielo). Los índices y las señales tienen una naturaleza de estímulo semiótico más primitivo. A diferencia de estos signos, los símbolos, según Piaget, son genéticamente más desarrollados;

aquella que existe entre el diseño de un despertador y el objeto concreto al cual el diseño reenvía), que se desarrolla plenamente en los signos convencionales no-icónicos (por ejemplo, en la palabra “despertador”). La arbitrariedad y la convencionalidad de los signos aumenta respectivamente en este orden: señal, índice, símbolo (icónico), signo arbitrario.

La representación mediante símbolos, que es adquirida en el estadio pre-operatorio (de los 2 a los 6 años), implica por tanto una diferenciación

Para Piaget, como muestra también Sara Lenninger (2006), la función semiótica

la función semiótica. Los otros aspectos son: imitación diferida (imitación de un modelo que ya no está frente al niño), el juego simbólico (juego en el cual un objeto está en lugar de otro), el diseño, la imagen mental y la memoria (la evocación simbólica de realidades ausentes). Los procesos verbales son por tanto distintos de las imágenes mentales (Piaget, Inhelder, 1966). Sin embargo, para Piaget e Inhelder (1966), como lo evidencia Fischbein (1993), las imágenes interactúan profundamente con los conceptos, en particular en el caso de las operaciones geométricas, donde los aspectos conceptuales (lo que es simbolizado a través de operaciones espaciales) y



Piaget proporciona también una interpretación semiótica de la imagen mental, caracterizándola como “imitación interiorizada” y transformación de la realidad (Piaget, 1971).

«Él describe este proceso de imitación interna como un aspecto de la función semiótica general, es decir, de la capacidad de representar alguna

La imagen mental no es una huella dejada por la pura percepción de la realidad externa dada objetivamente, sino que es el producto de una imitación interna.

La imagen interna se convierte en un «instrumento semiótico necesario para evocar y para pensar en lo que fue percibido» (Piaget, Inhelder, 1966, 381). Tal imagen es un símbolo, y, por tanto, presupone una diferenciación

hace referencia (Piaget, Inhelder, 1966, 383).

Como lo evidencia Nöth (1995), la imagen interna de Piaget se basa en un

Piaget es una entidad extra-semiótica para Saussure. En el modelo diádico saussuriano, de hecho, los dos componentes del signo son entidades

mental, lo que lo hace incompatible con la caracterización piagetiana del

imagen interna de Piaget se acerca al interpretante, y su correspondiente (el “evento externo”) sería el objeto peirceano.

En su análisis del pensamiento de los niños un poco más grandes, la atención de Piaget a los signos y a los símbolos disminuye; los signos llegan a simbolizar las operaciones, dejando poco espacio a los contenidos, a los sistemas semióticos y a los artefactos culturales que los niños utilizan. Los signos y los símbolos llegan a ser estrictamente vehículos con características rigurosamente estructurales.



El pensamiento de Piaget estuvo al centro de numerosas críticas en cuanto a que no sólo descuida el papel del contexto cultural en el desarrollo cognitivo del niño, sino que presume una cierta correlación entre lo que el

que, respecto a Kant (quien había evidenciado la naturaleza sintética, constructiva del conocimiento):

«Piaget tenía razón cuando decía que la actividad constructiva no está limitada a una síntesis de representaciones, sino que incluía también los

a priori y que, como consecuencia, concebía como datos ya conocidos. Sin embargo tanto Kant como Piaget se equivocaban en considerar el conocimiento como un proceso que parte de lo concreto y llega a lo abstracto, del mundo tangible al mundo intangible, conduciendo, en el caso de Kant, a una teoría cerrada en la cual el objeto sensible es subsumido dentro de los conceptos de razón (…) y, en el caso de Piaget, a un énfasis en la actividad con los objetos concretos en la fase sensorio-motora que se desvanece en la nada en los sucesivos “estadios de desarrollo”. La tesis es que, en nuestra búsqueda del conocimiento, hagamos alusión a diferentes sistemas semióticos. Por ejemplo, en el conocer nosotros vemos, interactuamos con las personas, hablamos, gesticulamos, y también asimos objetos y usamos artefactos. Tal vez sería mucho más justo ver el conocimiento y sus objetos como un proceso dialéctico continuo entre lo tangible y lo ideal, un proceso intrínsecamente referido a artefactos y a signos» (Radford, 2004, 20-21).

El pensamiento de Kant y de Piaget, junto al de Vygotsky, que analizaremos a continuación, constituyen importantes puntos de referencia para la comprensión de este proceso dialéctico entre lo tangible y lo ideal, entre lo concreto y lo abstracto, que anima todo proceso de conocimiento y sobre el cual gravita la aproximación semiótico-cultural de Radford.

Vygotsky (1896 – 1934)

El análisis de la generación del conocimiento que el psicólogo bielorruso

cultural y tiene como punto de partida la idea de que los procesos mentales superiores (pensamiento, memoria, razonamiento, consciencia etc.) dependen de los procesos sociales, es decir, que el desarrollo psíquico es



vive. La teoría del desarrollo cognitivo elaborada por Vygotsky, respecto a aquella de Piaget, desplaza, por tanto, la atención del desarrollo biológico al desarrollo cultural.

Vygotsky busca analizar los procesos mentales humanos examinando el ambiente social en el cual los individuos se desarrollan y, en particular, los signos y los instrumentos que median sus procesos mentales.

Lo que distingue las funciones mentales de los seres humanos de las de los animales es, para Vygotsky, tanto la capacidad de aquellos de usar signos

semiótica” de la mente humana, es decir, la capacidad de ésta de ser

Por tanto, para afrontar la cuestión del papel de la sociedad en las funciones mentales del individuo, Vygotsky considera la cognición humana como

modelada, por el uso de signos y de instrumentos.

«La invención y el uso de signos como medios auxiliares para la resolución de un determinado problema de tipo psíquico (recordar, confrontar algo, referir, elegir, y así sucesivamente) son análogos a la invención y al uso de utensilios para el aspecto psíquico. El signo suple como instrumento de la actividad psíquica, de la misma forma que la herramienta en el trabajo. Pero esta analogía, como cualquiera otra, no implica la identidad de estos conceptos símiles» (Vygotsky, 1978, 52-53).

Los utensilios de trabajo y los signos tienen para Vygotsky papeles

analogía funcional pero juegan un papel diferente respecto de los procesos psíquicos.

Los utensilios (entendidos como instrumentos concretos de trabajo, instrumentos técnicos) y los signos (entendidos como instrumentos psicológicos)

«son similares por el hecho de que ambos permiten a los individuos actuar e interactuar con el ambiente no en forma directa, sino en forma mediada. Sin embargo, son diferentes por la forma en la cual estos orientan el



comportamiento humano. Por una parte, el utensilio es orientado hacia el objeto de la actividad (por ejemplo, el control de la naturaleza). En tal caso, el utensilio sirve para orientar externamente el comportamiento humano. Por otra parte, el signo es un elemento crucial para la realización de un proceso psíquico que orienta internamente el comportamiento humano. “Estas actividades son tan diferentes la una de la otra”, concluye Vygotsky, “que la naturaleza de los medios que estas utilizan no puede ser la misma en los dos casos” (Vygotsky, 1978, 55)» (citado en Radford, 1998, 5).

Mientras el instrumento psicológico está orientado hacia el interior, es decir, actúa sobre la mente y sobre el comportamiento, el instrumento técnico está orientado hacia el exterior, actúa sobre el objeto externo. El instrumento psicológico no cambia en modo alguno el objeto, no es un

o el comportamiento humano; el instrumento técnico produce, por el contrario, cambios en el objeto externo (Vygotsky, 1930).

Todo esto trae como consecuencia algunas importantes y delicadas cuestiones de tipo didáctico. Si el objeto (externo) es un objeto matemático y si el instrumento (técnico) es un instrumento atractivo, súper-tecnológico o simplemente “bello” y cómodo para representar dicho objeto, el instrumento actúa sobre el ambiente externo (sobre las representaciones del objeto) y lo hace transformando el ambiente externo en un ambiente

transfer cognitivo,

produjo (o en el cual se produjo) a otro ambiente diferente y más amplio. En otras palabras, el instrumento técnico no asegura la producción de

instrumentos psicológicos.

Los signos, para Vygotsky, son por tanto instrumentos psicológicos

misma manera como los utensilios son dispositivos técnicos (instrumentos

La creación y el uso de los signos como instrumentos psicológicos para resolver problemas constituyen, para Vygotsky, una distinción fundamental entre las funciones psíquicas de los seres humanos y las de los animales. En particular, la transformación de instrumentos orientados externamente (utensilios o instrumentos técnicos) en instrumentos



orientados internamente (signos o instrumentos psicológicos) es para Vygotsky la base del proceso de interiorización (o internalización): proceso mediante el cual el individuo se apropia de las formas culturales de comportamiento social; de esta manera, forman parte del conjunto de los contenidos psíquicos del individuo. Se trata de la transformación de un proceso interpersonal en un proceso intra-personal, que constituye para Vygotsky la ley genética del desarrollo cultural.

«Toda función en el desarrollo cultural del niño aparece dos veces: primero, en el nivel social, y luego en el individual» (Vygotsky, 1978, 57).

psíquicos individuales con el contexto social, es decir, relaciona lo que sucede en el plano social (o externo) con lo que sucede en el plano individual (o interno).

En los proceso de interiorización los signos tienen un papel de mediación fundamental:

«La interiorización de las formas culturales implica la reconstrucción de una actividad psicológica mediante el uso de signos» (Vygotsky, 1978, 57).

Tanto Vygotsky como Piaget evidenciaron cómo la construcción de signos es fundamental para los procesos de interiorización. Sin embargo, Vygotsky, si bien utiliza el término interiorización para referirse a un proceso que supone la creación de signos ya sea en las actividades solitarias como en las interacciones con los otros, subraya que el resultado del proceso implica la interiorización de formas culturales de comportamiento. Para Piaget, por el contrario, en el proceso de interiorización, lo que viene transferido hacia el interior, a través de la representación, es precisamente el objeto de pensamiento. Los esquemas operativos que manipulan los objetos del pensamiento son esquemas de acción ya internos.

pensamiento ni en el contenido de lo que es interiorizado, sino más bien en la construcción de una teoría que pueda explicar cómo el conocimiento operativo de un niño es transferido del plano exterior de la acción a los procesos mentales interiorizados que no requieren el soporte de estructuras externas» (Amin, Valsiner, 2004, 19).



Vygotsky (1930) desarrolla su concepción de mediación semiótica distinguiendo dos formas elementales de comportamiento: acto natural (común a los seres humanos y a los animales), acto o instrumental

psicológico X (un nudo a un pañuelo, esquema mnemónico), al colocarlo

works/1930/instrumental.htm).

Por tanto, en el acto instrumental, la actividad está orientada hacia el interior, y no hacia el objeto. Vygotsky ilustra su idea de actividad mediada

comportamiento. En otras palabras, el instrumento X, que sirve de mediador, es un signo mientras que los otros actos directos son formas de comportamiento no semiótico (Nöth, 1995).

El proceso de interiorización requiere, por tanto, actividad semiótica. En particular, demanda el uso de sistemas semióticos que, para Vygotsky y a diferencia de Piaget, en las interacciones sociales son básicamente de tipo lingüístico; estos sistemas semióticos median entre el funcionamiento social y el individual.

El desarrollo cognitivo no es, entonces, descrito en términos de esquemas individuales (como en Piaget), sino en términos de interacciones sociales, de actividad mediada; no en términos de adaptación (como en Piaget), sino en términos de interiorización de formas culturales.



Jussi Silvonen (2010, 11) evidencia, sin embargo, que:

de signo. En un seminario de su grupo de investigación, él declaró que la naturaleza social del signo no fue comprendida correctamente en los

En palabras del mismo Vygotsky:

es inherente al signo» (Vygotsky, 1997, 134-136).

Sigue Silvonen (2010, 11-12):

«Aquí el centro del análisis se traslada del signo como instrumento

después se convierte en una categoría central en Pensamiento y Lenguaje. Esto conduce a la idea de naturaleza semántica y sistémica de la mente».

En palabras de Vygotsky:

«La consciencia como un todo tiene una estructura semántica (…) el análisis semiótico es el único medio adecuado para el estudio de la estructura sistémica y semántica de la consciencia» (Vygotsky, 1997, 137).

Se pasa así de una concepción principalmente instrumental del signo a un análisis semiótico del signo, que enfatiza la naturaleza sistémica y relacional de la mediación, incluyendo signos, instrumentos e interacción social.

En conclusión, el signo, para Vygotsky, es básicamente un instrumento que hace, por una parte, de mediador entre el individuo y su contexto y, por

transformación de las funciones psíquicas del individuo; es aquello que permite el pasaje de los objetos de conocimiento del plano social al plano individual, del inter-subjetivo a lo intra-subjetivo, de lo inter-psicológico a lo intra-psicológico. Un pasaje que implica necesariamente una reconstrucción interna de los



objetos de conocimiento, es decir, implica su interiorización. Los signos y los artefactos son entonces entendidos como instrumentos psicológicos, pues

enfoque semiótico-cultural construyó sus raíces.16

Eco

o una ciencia “dura”, sino como un campo interdisciplinario, un campo de estudio en el cual es posible hacer converger diversos enfoques

literarias etc., sobre la base de la estrecha interrelación entre todos los signos.

«La semiótica se ocupa de cualquier cosa que pueda considerarse como signo. Signo es cualquier cosa que pueda considerarse como substituto

necesariamente existir, ni debe subsistir de hecho en el momento en que el signo la represente» (Eco, 2000, 22).

Eco distingue la semiótica generalsemióticas

aplicadas, que buscan individuar las reglas internas a los diversos sistemas de signos, es decir, las prácticas interpretativas-descriptivas.

La cultura, según Eco, puede ser estudiada integralmente desde un punto de vista semiótico, o como un fenómeno de comunicación fundado en

«La semiótica estudia todos los procesos culturales como procesos de comunicación. Y, sin embargo, cada uno de dichos procesos parece subsistir sólo porque por debajo de ellos se establece un » (Eco, 2000, 24).

16 En el enfoque semiótico-cultural, de tradición post-Vygotskyana, Radford (2004, 21) evidencia que «el uso de signos y de artefactos altera nuestra modalidad de recepción de los objetos del mundo, es decir, los signos y los artefactos alteran la forma en la cual los objetos nos llegan a través de los sentidos. El inevitable resultado es este: la mediación altera nuestra capacidad cognitiva de ser afectados por las cosas y hace esta capacidad cognitiva (y por esto nuestro conocimiento) culturalmente dependiente».



Un proceso comunicativo

una Fuente, a través de un Transmisor, a lo largo de un Canal, hasta un Destinatario (o punto de destino)» (Eco, 2000, 24).

Si el pasaje ocurre

(…) no hay comunicación, aun cuando se pueda decir efectivamente que hay paso de información.En cambio, cuando el destinatario es un ser humano (y no es necesario que la fuente sea también un ser humano, con tal que emita una señal de acuerdo con reglas conocidas por el destinatario humano), estamos ante un proceso de comunicación, siempre que la señal no se limite a funcionar como simple estímulo, sino que solicite una respuesta interpretativa del destinatario.

(Eco, 2000, 24-25).

Hay que agregar una explicación del término “código”:

«Un código es un que reúne entidades presentes y entidades ausentes. Siempre que una cosa materialmente presente a la percepción del destinatario representa otra cosa a partir de reglas

acto perceptivo del destinatario y su comportamiento interpretativo no

que el código establezca una correspondencia entre lo que representa y lo representado, correspondencia válida para cualquier destinatario posible, aun cuando de hecho no exista ni pueda existir destinatario alguno» (Eco, 2000, 25).

Por tanto, pueden existir procesos de comunicación en los cuales se

mecánicos), es decir procesos en los cuales las señales no exigen una respuesta interpretativa por parte del destinatario sobre la base de un código, o, lo que es lo mismo, de reglas determinadas por una cultura;17

17 Eco distingue el código en sentido propio del s-código (código como sistema). Argumenta que un código en sentido propio comprende dos sistemas de estructuras relacionadas entre sí: un sistema de estructuras de expresión y un sistema de estructuras de contenido. Un s-código es simplemente un sistema constituido por «elementos estructurados en oposiciones y regidos por reglas combinatorias» (Eco, 2000, 66), que puede hacer el papel de sistema de elementos de expresiones o de sistema de elementos de contenido. Un código en sentido propio es una regla que asocia elementos de un sistema de expresión a elementos de contenido, es decir «los elementos de un s-código a los elementos de



en tal caso se transmiten informaciones, a través de cadenas de causas y efectos, es decir se tienen procesos que llevan informaciones, pero no se

sobre la base de un código, que establece una correspondencia (válida para todo destinatario posible) entre identidades presentes (aquello que está por) y entidades ausentes (alguna otra cosa) cuando el destinatario es un ser humano.

En su Tratado de semiótica general, sin embargo, Eco admite la existencia de

señalatorios, que revelan alguna otra cosa, aun cuando el emisor no sea consciente de las propiedades reveladoras de su propio comportamiento. (…)

. (…) En el caso de los síntomas

excluida cualquier clase de voluntad de comunicación; en cambio, en el caso de los gestos siempre se puede sospechar que el emisor, por ejemplo,

el emisor desee de verdad comunicar algo y el destinatario entienda su comportamiento como algo no intencional; o bien el sujeto puede actuar inconscientemente, mientras que el destinatario le atribuye la intención de comunicar sin aparentarlo» (Eco, 2000, 37).

variada y compleja, además de ser objeto de numerosas discusiones (véase, por ejemplo, Ponzio, 1976).

La , es decir, el estudio de los sistemas de

con «una posibilidad establecida por una convención social de generar

otro o más s-códigos» (Eco, 2000, 65). El código del semáforo, por ejemplo, consiste de un sistema de elementos de expresión: -“rojo”, “verde” “amarillo”- convencionalmente relacionados a un sistema de elementos de contenido, como: “detenerse”, “adelante”, “cambio de estado” o “obligatorio detenerse”, “acelerar”, “disminuir velocidad para detenerse”.



funciones semióticas» (Eco, 2000, 18), es decir se ocupa de «la estructura

La semiótica de la comunicación, es decir, el estudio de los procesos de comunicación, tiene que ver con la teoría de la producción sígnica. Ésta estudia la actividad de «producir físicamente expresiones, y para diferentes

«trabajo realizado al interpretar y producir signos, mensajes, textos, es decir, el esfuerzo físico y psíquico requerido para manejar la señal, para tener en cuenta los códigos existentes o para negarlos, el tiempo requerido, el grado de aceptabilidad social, la energía empleada al comparar los signos

sobre los destinatarios, etc.» (Eco, 2000, 228-229).

A partir de la noción de código, e inspirándose en de Saussure y en el

función sígnica como una correlación entre una expresión y un contenido:

«Cuando un código asocia los elementos de un sistema transmisor con los elementos de un sistema transmitido, el primero se convierte en la expresión del segundo, el cual, a su vez, se convierte en el contenido del primero. Existe función semiótica, cuando una expresión y un contenido están en correlación, y ambos elementos se convierten en funtivos de la correlación. (…) Un signo está constituido siempre por uno (o más) elementos de un plano de la expresión colocados convencionalmente en correlación con uno (o más) elementos de un plano del contenido» (Eco, 2000, 83).

Un código proporciona unas reglas para producir signos, pero los signos son únicamente resultados provisorios de dichas reglas, son correlaciones transitorias, dado que «cada uno de los elementos está, por decirlo así, autorizado a asociarse con otro elemento y a formar un signo sólo en determinadas circunstancias previstas por el código» (Eco, 2000, 84).

El ejemplo que Eco propone es de la expresión “plano” que puede ser relacionada con los contenidos “nivel”, “proyecto”, “regular”, “dibujo”, “trazado” etc.



Pero, en la comunicación pueden interactuar códigos diferentes y tal interacción puede generar fenómenos de aberración comunicativa, o

(Eco, Fabbri, 1978), es decir, interpretaciones inesperadas o distorsionadas a causa de la disparidad de los sistemas culturales del emisor y del destinatario.

incomprensión o rechazo del mensaje por ausencia del código: la información llega

incomprensión por desigualdad de los códigos: el código del emisor no es bien comprendido por el destinatario;incomprensión del mensaje por interferencias circunstanciales: el código del emisor es comprendido por el destinatario, pero la información es re-direccionada al propio sistema de expectativas;rechazo del mensaje por deslegitimación del emisor: el código del emisor es comprendido por el destinatario, pero el sentido es alterado por el sistema de creencias o por presiones circunstanciales del destinatario.

Estos casos de caracterizan numerosos procesos comunicativos; no son excluidos aquellos que tiene lugar en el aula escolar.

diccionario

entes (primitivos) lingüísticos – al de enciclopédicode un término es el conjunto de todos los posibles interpretantes, con una estructura abierta y potencialmente ilimitada.

Eco (2007, 57) nota que:

«la enciclopedia genera siempre nuevas interpretaciones según los contextos y las circunstancias (por lo cual en la enciclopedia la semántica incorpora la pragmática). Por tanto, de ésta no se da nunca una representación

sino que es local, y es activada en función de determinados contextos y circunstancias».



lingüística; el signo asume una naturaleza inferencial: si (es dada) una expresión E, entonces

En otros términos, la correlación entre expresión y contenido no se basa en una equivalencia (E = C) sino en una inferencia (si E entonces C). Así, el sentido de una expresión aparece como un conjunto potencialmente ilimitado de instrucciones para interpretar la expresión en diversos contextos; dicho de otra forma, para traer de la expresión todos sus posibles interpretantes. En la práctica, sin embargo, «se conoce (o se recuerda) sólo aquella porción [de interpretantes] activada por un determinado contexto» (Eco, 2007, 93).

Eco, de esta manera, trata de fusionar la tradición lingüístico-saussuriana

semiótico-interpretativa).

Fuertemente convencido de que los fenómenos culturales sean tratados como sistemas de signos, él desplaza su atención de la semiótica de la

para Eco el ejemplo más evidente de producción de función sígnica: el proceso inferencial clave que regula nuestras actividades cognitivas e interpretativas.

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