Facilitador: Dr. David Wong Daz

Estabilidad de Estructura En el diseo de columnas, el rea seccionada

transversalmente se selecciona tales que:

El esfuerzo permisible no excede

allA

P

La deformacin en la seccin

transversal:

specAE

PL

Despus de que stos diseen clculos,

puede descubrir que la columna es

inestable bajo cargas y que

repentinamente se curve agudamente.

Estabilidad de estructuras Considerar el modelo con dos barras y el

resorte torsional. Despus de una

perturbacin pequea,

moment ingdestabiliz 2

sin2

moment restoring 2

LP

LP

K

La columna es estable (tiende para

volver a la orientacin alineada) si:

L

KPP

KL

P

cr4

22

Estabilidad de estructuras Asumir que una carga P est

aplicada. Despus de una

perturbacin, el sistema coloca a una

nueva configuracin de equilibrio a

un ngulo finito de la desviacin.

sin4

2sin2

crP

P

K

PL

KL

P

Para cualquier valor positivo de se

tiene que: sin < , as la ecuacin da un valor distinto de cero slo

cuando el miembro izquierdo de la

ecuacin es mayor que 1.

Frmula de Euler para Columnas Articuladas.

Considerar una viga axialmente

cargada. Despus de una

perturbacin pequea, el sistema

alcanza una configuracin del

equilibrio tales que:

02

2

2

2

yEI

P

dx

yd

yEI

P

EI

M

dx

yd

La solucin con la configuracin

asumida se puede obtener

solamente si:

2

2

2

22

2

2

rL

E

AL

ArE

A

P

L

EIPP

cr

cr

Frmula de Euler para Columnas Articuladas.

s ratioslendernesr

L

tresscritical srL

E

AL

ArE

A

P

A

P

L

EIPP

cr

crcr

cr

2

2

2

22

2

2

El valor del esfuerzo

correspondiente a la carga crtica,

es el esfuerzo crtico

El anlisis precedente se limita

a las cargas cntricas

perfectamente alineadas.

Problema de Ejemplo 10.1 Una columna de aluminio, de la longitud L y

seccin transversal rectangular, tiene un

extremo fijo en B y soporta una carga

cntrica en el A. Dos placas lisas y

redondeadas restringen el movimiento en el

extremo A en uno de los planos verticales de

simetra de columnas, pero le permite que se

mueva en el otro plano.

a) Determine la relacin a/b de los lados de

la seccin correspondiente al diseo

ms eficiente contra el pandeo.

b) Disee la seccin transversal ms

eficiente para la columna, si L = 10.110

Psi, P = 5 Kips y el factor de

seguridad es 2.5.

L = 20 in.

E = 10.1 x 106 psi

P = 5 kips

FS = 2.5

Problema de Ejemplo 10.1

Pandeo en el plano xy:

12

7.0

1212

,

23121

2

a

L

r

L

ar

a

ab

ba

A

Ir

z

ze

zz

z

Pandeo en el plano xz:

12/

2

1212

,

23121

2

b

L

r

L

br

b

ab

ab

A

Ir

y

ye

yy

y

El diseo ms eficiente:

2

7.0

12/

2

12

7.0

,,

b

a

b

L

a

L

r

L

r

L

y

ye

z

ze

35.0b

a

SOLUCIN:

El diseo ms eficiente ocurre cuando los

esfuerzos crticos corresponden a los dos

posibles modos de pandeo son iguales.

Problema de Ejemplo 10.1

L = 20 in.

E = 10.1 x 106 psi

P = 5 kips

FS = 2.5

a/b = 0.35

Diseo:

2

62

2

62

2

2

cr

cr

6.138

psi101.10

0.35

lbs 12500

6.138

psi101.10

0.35

lbs 12500

kips 5.12kips 55.2

6.138

12

in 202

12

2

bbb

brL

E

bbA

P

PFSP

bbb

L

r

L

e

cr

cr

y

e

in. 567.035.0

in. 620.1

ba

b

Extensin del frmula de Euler Una columna con un extremo libre y

empotrado, se comportar como la

mitad superior de una columna

articulada.

La carga crtica se calcula del frmula

de Euler,

length equivalent 2

2

2

2

2

LL

rL

E

L

EIP

e

e

cr

ecr

Extensin del frmula de Euler

Cargas excntricas; El frmula de la secante. La carga excntrica dada se reemplaza

por una fuerza cntrica P y un par de

momento.

A medida que la carga excntrica se

incrementa, tanto el par como la fuerza

axial aumenta y ambos provocan que a

columna se flexione ms.

2

2

max

2

2

12

sec

ecr

cr L

EIP

P

Pey

EI

PePy

dx

yd

La deflexin no se hace infinita cuandoP

= Pcr

esfuerzo mximo.

r

L

EA

P

r

ec

A

P

r

cey

A

P

e

2

1sec1

1

2

2max

max

Cargas excntricas; El frmula de la secante

r

L

EA

P

r

ec

A

P eY

2

1sec1

2max

Problema de Ejemplo 10.2 La columna uniforme AB consiste en una

seccin de 8 pies de tubo estructural cuya

seccin se muestra.

a) Usando la frmula de Euler de seguridad

de dos, determinar la carga cntrica

permisible para la columna y el

correspondiente esfuerzo normal.

b) Si la carga permisible hallada en la parte

a, se aplicada en un punto a 0.75 pulg.

del eje geomtrico de la columna,

determinar la deflexin horizontal del

tope de la columna y el esfuerzo normal

mxima en la columna.

.psi1029 6E

Problema de Ejemplo 10.2 SOLUCION:

Carga cntrica mxima permisible:

in. 192 ft 16ft 82 eL

- Longitud efectiva,

kips 1.62

in 192

in 0.8psi 10292

462

2

2

ecr

L

EIP

- Carga crtica,

2in 3.54

kips 1.31

2

kips 1.62

A

P

FS

PP

all

crall

kips 1.31allP

ksi 79.8

- Carga asumible, y esfuerzo

Problema de Ejemplo 10.2 Carga excntrica:

in. 939.0my

122

secin 075.0

12

sec

crm

P

Pey

- Deflexin Final

22sec

in 1.50

in 2in 75.01

in 3.54

kips 31.1

2sec1

22

2

crm

P

P

r

ec

A

P

ksi 0.22m

- esfuerzo normal mximo,

Diseo de columnas bajo una carga cntrica En los anlisis anteriores

asumieron que todos los

esfuerzos permanecan bajo el

lmite de proporcionalidad y que

las columnas eran inicialmente

prismticas.

Los datos experimentales

muestran:

Para columnas largas donde Le/r,

es grande la falla y se puede

predecir con la frmula de

Euler y el valor crit. .

- Por la longitud

intermedia Le/r, cr la falla depende de

Y and E.

Diseo de columnas bajo carga cntrica

Acero estructural

Instituto Americano de la

construccin de acero

Para Le/r > Cc

92.1

/2

2

FS

FSrL

E crall

e

cr

Para Le/r > Cc

3

2

2

/

8

1/

8

3

3

5

2

/1

c

e

c

e

crall

c

eYcr

C

rL

C

rLFS

FSC

rL

At Le/r = Cc

YcYcr

EC

22

21 2

Diseo de columnas bajo carga cntrica

Aluminio

Alloy 6061-T6

Le/r < 66:

MPa /868.0139

ksi /126.02.20

rL

rL

e

eall

Le/r > 66:

2

3

2/

MPa 10513

/

ksi 51000

rLrL eeall

Alloy 2014-T6

Le/r < 55:

MPa /585.1212

ksi /23.07.30

rL

rL

e

eall

Le/r > 66:

2

3

2/

MPa 10273

/

ksi 54000

rLrL eeall

Problema de Ejemplo 10.4

Usando la aleacin de aluminio

2014-T6, determine la barra de

menor dimetro que puede

utilizarse para soportar la carga

cntrica P = 60 kN if a) L = 750

mm,

b) L = 300 mm

SOLUCION:

Puesto que no se conoce el dimetro

de la barra. Debe suponerse que el

valor de L/r; supondr L/r >55.

Calcular el dimetro para el rgimen

asumido.

Evaluar la relacin de esbeltez.

Problema de Ejemplo 10.4

2

4

gyration of radius

radiuscylinder

2

4 c

c

c

A

I

r

c

Para L = 750 mm, asuma L/r > 55

Determinar el radio del cilindro:

mm44.18

c/2

m 0.750

MPa 103721060

rL

MPa 10372

2

3

2

3

2

3

cc

N

A

Pall

Para la relacin de esbeltez.

553.81

mm 18.44

mm750

2/

c

L

r

L

la hiptesis es correcta

mm 9.362 cd

Problema de Ejemplo 10.4 Para L = 300 mm, asuma L/r < 55

Determinar el dimetro del cilindro:

mm00.12

Pa102/

m 3.0585.1212

1060

MPa 585.1212

62

3

c

cc

N

r

L

A

Pall

Comprobar la hiptesis para la

relacin de esbeltez.

5550

mm 12.00

mm 003

2/

c

L

r

L

la hiptesis es correcta

mm 0.242 cd

Diseo de columnas bajo carga excntrica

Mtodo de esfuerzo permisible:

allI

Mc

A

P

Mtodo de interaccin:

1

bendingallcentricall

IMcAP

Una carga excntrica P se puede

sustituir por un sistema equivalente

que conste de una carga cntrica P

y un par M = Pe.

Los esfuerzos normales se pueden

encontrar suponiendo los esfuerzos

debido a la carga cntrica y al par

respectivamente.

I

Mc

A

P

bendingcentric

max