Cuadratura de Gauss

Cuadratura de GaussElección de nodos apropiados

Casos particulares

◦ Gauss-Legendre

◦ Gauss-Chebyshev

◦ Gauss-Laguerre

◦ Gauss-Hermite

Cuadratura de Gauss

OBJETIVOS:

Elección de nodos x1 , x2 ,..., xn para aumentar el grado de precisión.

Máximo grado de exactitud.

CONCLUSIONES:

Una fórmula de cuadratura con n nodos es exacta para polinomios de grado 2n-1 siy sólo si:

◦ la fórmula es interpolatoria, y◦ los nodos son las raices del n-esimo polinomio ortogonal respecto del producto escalar

inducido por w(x) en [a,b].

No existe ninguna fórmula con n nodos exacta para todos los polinomios de grado 2n.

)x(fc)x(fc)x(fcdx)x(f)x(w nn2211

b

a

Fórmula de cuadratura

w x f x dx c f xa

b

i ii

n

( ) ( ) ( ) 1

n,1,2,=i

b

ai

n

ini dx)x(w

xx

)x(T

)x('T

1c

<ba<

dx)x(w)x(T)!n2(

)(f)f(E

b

a

2n

)n2(

CUADRATURA INTERVALO F. PESO

Gauss-Legendre [a,b]=[-1,1] w(x)=1

Gauss-Chebyshev [a,b]=[-1,1] w(x)=1/(1-x2)1/2

Gauss-Jacobi [a,b]=[-1,1] w(x)=(x-1)a(x+1)b

Gauss-Laguerre [a,b]=[0,+[ w(x)=xae-x

Gauss-Hermite [a,b]=]- , +[2

)( xexw

Gauss-LegendreEn [-1,1], los polinomios de Legendre forman una familia ortogonal:

pn(x) tiene n raices reales distintas,

y los coeficientes de la fórmula de cuadratura,

)x(pn)x(px1n21n

1)x(p

,2,1nx)x(p1)x(p

1nn1n

10

n,1,2,=k

432k nO

2n4

1k4cos

n8

1

n8

11x

n,,2,1i

)x(px1

2dx

xx

xxc

2

i'n

2i

1

1

n

ij1j ji

ji

n nodos coeficientes2 0.5773502692 1.00000000003 0.7745966692 0.5555555556

0.0000000000 0.88888888894 0.8611361159 0.34785484510.3399810436 0.6521451549

Polinomios de Legendre Si [a,b][-1,1], el cambio de variable es:

y la fórmula de cuadratura queda:

xb a

tb a

dxb a

dt

2 2 2,

b

a

n

1iii )f(E

2

abx

2

abfc

2

abdx)x(f

EJEMPLO:

◦ cambio de variable a [-1,1]

◦ Gauss-Legendre n=2

◦ Gauss-Legendre n=3

I f e dxx( ).

2

1

1 5

e dx e dxxt

2

2

1

1 55

16

1

11

4

.( )

1094003.0ee4

1)f(I 16

)55773.0(

16

)55773.0( 22

1093642.0

e555556.0e888889.0

e5555556.04

1)f(I

16

)5774596.0(

16

)50(

16

)5774596.0(

22

2

Gauss-Chebyshev

En [-1,1], los polinomios de Chebyshev forman una familia ortogonal,

y Tn(x) tiene n raices reales distintas,

,3,2)()(T2)(

)(

1)(

21

1

0

nxTxxxT

xxT

xT

nnn

1-n,0,1,2,=k

2

12cos

n

kxk

f x

xdx

nf xi

i

n( )( )

1 21

1

1

Gauss-Laguerre

En [0,+[, los polinomios de Laguerre son una familia ortogonal,

Tn(x) tiene n raices reales y distintas,,2,1n

)x(Ln)x()x1n2()x(L

x1)x(L1)x(L

1n2

n1n

10

L

1,n-,2,1,0k=

)O(n

2

1n48

j21

2

1n4

jx 5-

2

2k0

2

2k0

k

+

e f x dx c f xxi i

i

n

( ) ( )

10

nixL

xnc

in

ii ,,2,1

)(

!2

1

2

Gauss-Hermite

En]-,+[, los polinomios de Hermite forman una familia ortogonal,

Hn(x) tiene n raices reales y distintas en ]- ,+[, y los coeficientesson:

,2,1,0n

)x(H)1n(2)x(x2)x(H

x2)x(1)x(H

n1n2n

10

H

H

n

iii

x xfcdxxfe1

)()(2

ni

xH

nc

in

n

i ,,2,1)(n

!22

12

1

INTEGRALES MULTIPLES

INTEGRALES MULTIPLESAplicando las técnicas anteriormente vistas se pueden modificar para seraplicadas a integrales múltiples

Tales como:

b

a

d

cRdxdyyxfdAyxfI ),(),(

R es una region en el plano, o sea:R={(x,y)/a<=x<=b, c<=y<=d}a, b, c y d son constantesUsaremos Simpson, considerando de que se puede utilizarcualquier otra técnica

b

a

d

cRdxdyyxfdAyxfI ),(),(

Supongamos que se escogen enteros n y m para determinar los tamaños de lospasos tal que:

h = (b−a) / (2*m), k = (d−c) / (2*n)

b

a

b

a m

m

j

b

a j

m

j

b

a j

b

a

b

a

d

c

dxy

),x(fk

)cd(dx)y,x(f

k

dx)y,x(fk

dx)y,x(fk

dx)y,x(fk

dxdy)y,x(f

4

44

2

112

1

12

0

1803

3

4

3

23

Aplicamos Simpson a cada una de estas integrales:

)y,x(f)y,x(f

)y,x(f)y,x(fh

dx)y,x(f

jn

n

iji

b

a

n

ijijj

21

12

1

120

4

23

4

44

180 x

)y,(fh

ab jj

mn

n

imi

n

imim

m

j

m

jjn

n

iji

m

j

n

iji

m

jj

m

jjn

m

j

n

iji

m

j

n

iji

m

jjn

n

ii

n

ii

b

a

d

c

ffff

ff

fff

ffff

fffhk

dxdyyxf

2,21

2,12

1

12,22,0

1 112,2

112,12

1

1

112,2

112,0

1

12,2

1

1 12,12

1

1

1

12,2

1

12,00,2

10,12

1

10,20,0

422

416

842

842

429

),(

Expresión del error:

R

180 4

44

4

44

ˆ,ˆ,,

ˆ,ˆy

fk,

x

fh

)ab)(cd(E

Coeficientes de la fórmula de cuadratura:

m

dck

n

abh

m,,,,jjkcy

n,,,,iihax

i

i

22

2210

2210

b=x2n

d=y2m

y2m-1

y2

y1

c=y0

a=x0 x1 x2 x3 x4 x2n-2 x2n-1

1

1 12 2 2

2 2 2 1

4 4 4

44 4

4 4

4 4 4

4 4

2

8 8 8

8 8 8

8

161616

161616

2 88

Algoritmo de la integral múltiple

Entrada: f(x,y), c(x), d(x), a, b, m, n.

Salida: aproximación I◦ PASO 1: dividir [a,b] en 2n subintervalos◦ PASO 2: en cada nodo xi,

◦ evaluar la función◦ calcular (d(xi )-c(xi ))/(2m)

◦ PASO 3: aplicar la regla compuesta de Simpson respecto a y◦ PASO 4: sobre el resultado obtenido del PASO 3 aplicar Simpson respecto a la variable

x

b

a

xd

xcdydxyxf

)(

)(),(

INTEGRALES MULTIPLES

INTEGRALES MULTIPLESEjemplo:

Con n=2 y m=1

INTEGRALES MULTIPLESh= (2-1,4)/4=0.15 y k=(1,5-1)/2=0.25

i=0,1,2,3,4

J=0,1,2

Entonces la aproximación es:

INTEGRALES MULTIPLESResultados

INTEGRALES MULTIPLESComo:

INTEGRALES MULTIPLESEl error es:

INTEGRALES MULTIPLESEjercicio

INTEGRALES MULTIPLESResultado

I(f)=0.3920109