Capitulo_1_Trigonometria

5/17/2018 Capitulo_1_Trigonometria - slidepdf.com

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Capítulo 1

Trigonometría

La palabra Trigonometría signi…ca "Medida de los triángulos", por lo que durante mucho tiempose entendió como el estudio de problemas relativos a la medida de los lados y los ángulos de un

triángulo. Su origen data aproximadamente hace 2000 años, en Grecia. Sin embargo, en el último

siglo se ha aplicado en el estudio de problemas de ondas, oscilaciones y también en fenómenos

periódicos.

1.1. Sistemas de medición angular

El concepto de ángulo desempeña un papel importante en el estudio de las funciones trigonométri-

cas, su de…nición se supondrá conocida por el lector. A cada ángulo se asocia un número real llamado

medida angular. La medida angular es positiva o negativa si la rotación del lado terminal del án-

gulo es positiva o negativa. Se entiende por rotación positiva aquella efectuada en sentido contrario

al giro de las manecillas del reloj y negativa aquella efectuada en el mismo sentido de las manecillas

del reloj.

Los dos sistemas más usados para determinar la medida angular son :

4



i) Sistema sexagesimal (medida en grados).

ii) Sistema circular (medida en radianes).

De…nición 1.1 El ángulo del centro que subtiende un arco cuya longitud es igual a 1360 de la

circunferencia de un círculo tiene una medida que se llama un grado. Se denota 1o.

Un grado constituye la unidad de medida en el sistema sexagesimal. Son divisiones comunes de esta

unidad el minuto que es igual a 1

60de un grado y el segundo que corresponde a

1

60de un

minuto. Se denotan respectivamente : 10 y 1".

Observación 1.1 De lo anterior 45 o 16’ 48" se lee 45 grados, 16 minutos, 48 segundos y es

equivalente a 45 o 16,8’ (reduciendo los segundos a décimas de minuto) o 45,28 o (reduciendo los

minutos a décimas de grado).

De…nición 1.2 El ángulo del centro que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de un

círculo tiene una medida que se llama un radián . Se denota: 1 [rad]

Un radián constituye la unidad de medida en el sistema circular. La división común de esta

unidad es el miliradián que es igual a 1

1000[rad].

1.1.1. Relación entre grados y radianes

Como un ángulo completo subtiende un arco igual a la longitud de la circunferencia (2r) en-

tonces mide 2 [rad], mientras que su medida en grados es 360o. Por lo tanto,

2 [rad] = 360

o

1 [rad] =180

1o =

180[rad] :

Ejemplo 1.1 Convertir las siguientes medidas en radianes:

5



1. 45o

2. 210o

3. 112o 400

Solución Usando la relación entre grados y radianes, se tiene:

1. 45o = 45h

180

i[rad] =

4[rad]

2. 210o = 210h

180

i[rad] =

7

6[rad]

3. 112o 400 =

338

3

=

338

3

h

180

i[rad] =

169

270[rad] :

7

6[rad]

Ejemplo 1.2 Convertir las siguientes medidas en grados:

1.

2[rad]

2.3

5[rad]

3.1

4[rad]

Solución Usando la relación entre grados y radianes, se tiene:

1.

2 [rad] =

2180o

= 90o

2.3

5[rad] =

3

5

180o

= 108o

3.1

4[rad] =

1

4

180o

14; 32394488o 14o 190 26"

La siguiente tabla muestra la equivalencia entre la medida en grados y la medida en radianes

para los ángulos de uso más frecuente.

Grados 360 270 180 135 90 60 45 30 0

Radianes 2 32

34

2

3

4

6

0

6



Observación 1.2 Tradicionalmente se ha convenido en entender que cuando no se especi…can las

unidades para la medida de un ángulo, éstas corresponden a radianes. Además, es común referirse

a un ángulo mencionando únicamente su medida. Por ejemplo, el ángulo de la siguiente …gura se

denomina ángulo AOB cuya medida es de 90 .

7



EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Expresar en grados cada una de las siguientes medidas:

a) 45

b)11

4

c)15

8

d)10

7

2. Expresar en radianes cada una de las siguientes medidas:

a) 27o 100

b) 540o

c) 840o

d) 300o

3. Localice sobre una circunferencia unitaria los puntos determinados por ángulos del centro de

medidas:

a)13

6

b)7

4

c) 94

d)5

3

8



1.2. Funciones trigonométricas

1.2.1. Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria

1. La distancia entre dos puntos del plano R2; P 1 = (x1; y1) y P 2 = (x2; y2) está dada por:

d (P 1; P 2) =

q (x2 x1)

2+ (y2 y1)

2

2. La fórmula anterior permite a…rmar que la ecuación de una circunferencia unitaria, con centro

en (0; 0) y radio igual a 1, es:

x2 + y2 = 1

De…nición 1.3 Sea P = (x; y) un punto de la circunferencia unitaria y sea la medida en

radianes del ángulo desde el eje X positivo hasta OP (ver …gura 1). El conjunto de pares f(; x)g

se l lama función coseno y el conjunto de pares f(; y)g se l lama función seno.

Notar que puede asumir cualquier valor real, ya que es posible tomar, además de valores

comprendidos en [0; 2], valores positivos mayores que 2 y cualquier valor negativo. Con cada

valor de está asociado un único valor de x y un único valor de y, luego cada uno de los conjuntosf(; x)g y f(; y)g es una función, cuyo dominio es R y cuyo recorrido es el intervalo [1; 1], en

ambos casos. Usando la notación funcional tenemos :

cos : R ! [1; 1]

! cos = x

9



sen : R ! [1; 1]

! sen = y

1. En la …gura 1 se observa que un incremento de 2 o un múltiplo entero de 2 en la medidadel ángulo deja sin cambio la posición del punto P y por lo tanto, los valores de x e y

no cambian. Es decir :

cos( + 2n) = cos

sen ( + 2n) = sen; n 2 Z

Esto se ajusta al concepto de función periódica, de modo que es posible a…rmar que las funciones

seno y coseno son periódicas con periódo 2.

2. Dada la …gura:

Observamos que:

sen () = y = sen

y

cos() = x = cos

En base a las funciones trigonométricas seno y coseno se de…nen nuevas funciones:

1) La función tangente dada por tan =sen

cos ; de…nida cuando cos 6= 0.

2) La función cotangente dada por cot = cos sen

; de…nida cuando sen 6= 0.

3) La función secante dada por sec =1

cos ; de…nida cuando cos 6= 0.

4) La función cosecante dada por csc =1

sen ; de…nida cuando sen 6= 0.

10



De las de…niciones de las funciones trigonométricas se observa que :

sen csc = 1

cos sec = 1

tan cot = 1

Los signos algebraicos asociados con los valores de las funciones trigonométricas dependen del

cuadrante en que se encuentre el ángulo y de la aplicación de las de…niciones anteriores. Se resume

en el siguiente diagrama el signo de las funciones trigonométricas básicas:

Observación 1.3 Un ángulo cuadrantal es aquel cuyo lado terminal coincide con uno de los ejes

coordenados. Los valores de las funciones trigonométricas en los ángulos cuadrantales se resumen

en la tabla siguiente :

0

2

3

2sen 0 1 0 1

cos 1 0 1 0

tan 0 no existe 0 no existe

cot no existe 0 no existe no existe

sec 1 no existe 1 no existe

csc no existe 1 no existe 1

1.2.2. Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo

Es posible extender las de…niciones de las funciones trigonométricas a cualquier triángulo rec-

tángulo utilizando las relaciones que existen entre triángulos semejantes

11



En la …gura anterior, es claro que los triángulos OAB y OP C son semejantes, así:

AB

OA=

P C

OP , pero OA = 1 y AB = sen

Luego

sen =P C

OP =

cateto opuesto

hipotenusaen 4 OP C

Análogamente,

OB

OA =

OC

OP , pero OA = 1 y OB = cos Luego :

cos =OC

OP =

cateto adyacente

hipotenusaen 4OP C

En base a los anterior y las de…niciones 1) 4), se tiene que en el 4OP C :

tan =P C

OC =

cateto opuesto

cateto adyacentecot =

OC

P C =

cateto adyacente

cateto opuesto

sec =OP

OC =

hipotenusa

cateto adyacentecsc =

OP

P C =

hipotenusa

cateto opuesto

Utilizando consideraciones geométricas, se pueden calcular los valores de las funciones trigonométri-

cas de ángulos cuyo lado terminal se encuentra en el interior de los cuadrantes. En particular, se

determinarán los ángulos

3;

4y

6.

De la geometría plana se tiene que en un triángulo rectángulo cuyos ángulos miden

6y

3, la

hipotenusa mide el doble del cateto menor. Considerando la …gura 3a. en el 4OAP , ]AOP =

6,

12



la longitud de la hipotenusa OP es igual a 1 y el cateto menor AP mide1

2. Usando Teorema

de Pitágoras, se tiene :

OA2

= OP 2 AP

2

OA2

= 1 1

4=

3

4, por lo tanto OA =

1

2

p 3

Aplicando la de…nición, dada anteriormente, de las funciones trigonométricas sobre un triángulo

rectángulo y calculando cuando corresponda, se tiene que:

sen

6

=1

2

cos

6

=

p 3

2

tan

6

=

cot

6= sec

6= csc

6=

Análogamente, considerando la Figura 3b; en el 4OBR : ]OBR =

3, OR = 1, OB =

1

2y

BR =

p 3

2y entonces,

sen

3=

p 3

2cos

3=

1

2tan

3=

cot

3= sec

3= csc

3=

Ejercicio 1.1 En forma similar, obtener las funciones trigonométricas para

4:

13




1. Determinar, para cada uno de los siguientes casos, los valores del resto de funciones trigonométri-

cas.

a) senA =4

5, con A en el primer cuadrante

b) cos B = 3

4, con B en el tercer cuadrante

c) tan C =1

2, con C en el Tercer cuadrante

14



1.2.3. Grá…ca de las funciones seno y coseno

En primer lugar se analizará la grá…ca de la función y = sen x ; x 2 [0; 2]. Los valores más

importantes que toma esta función son :

x 0

6

4

3

2

2

3

5

6 7

6

4

3

3

2

5

3

11

62

y = sen x 0 1

2

p 2

2

p 3

21

p 3

2

1

20 1

2

p 3

21

p 3

21

20

Gra…camente :

Se sabe que la función seno es de período 2, de modo que es posible extender su grá…ca a todo

su dominio R. Además es claro que el recorrido es [1; 1]. Por otra parte, usando la propiedad

sen (x) = senx que signi…ca simetría con respecto al origen es un ejercicio obtener la grá…ca

y = sen x para los valores negativos:

La función coseno es simétrica con respecto al eje Y , esto es : cos(x) = cos x . También es

periódica de período 2, es decir : cos(x + 2n) = cos x; 8n 2 Z. Su recorrido es [1; 1] :

Algunos de los valores de la función coseno que nos ayudará a obtener su representación son los

siguientes:

x 0

6

4

3

2

2

3

5

6 7

6

4

3

3

2

5

3

11

6 2y = cos x 1

p 3

2

p 2

2

1

20 1

2

p 3

21

p 3

21

20 1

2

p 3

21

Gra…camente :

15



1.2.4. Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

Todos los teoremas que se ven a continuación son ciertos para todos los valores y reales para

los cuales están de…nidas las funciones que en ellos aparecen.

Teorema 1.2 sen ( + ) = sen cos + cos sen

Demostración: Considere la siguiente …gura:

Sea P un punto del lado terminal del ángulo + . Sean P A perpendicular a OX , P B perpendicular

al lado terminal del ángulo , BC perpendicular a OX y BD perpendicular a AP .

16



Se tiene que ]AP B = (¿Por qué?). Entonces

sen ( + ) =AP

OP =

AD + DP

OP

= CB + DP OP

=CB

OP +

DP

OP

=CB

OB OB

OP +

DP

BP BP

OP

= sen cos + cos sen

Análogamente, si + >

2

Teorema 1.3 cos( + ) = cos cos sen sen

Demostración: De la …gura del Teo. anterior se tiene que:

cos( + ) =OA

OP =

OC AC

OP

=OC DB

OP

=OC

OP DB

OP

=OC

OB OB

OP DB

BP BP

OP = cos cos sen sen

Teorema 1.4 sen ( ) = sen cos cos sen

Demostración: sen ( ) = sen [ + ( )]

= sen cos( ) + cos sen ( )

= sen cos cos sen

Teorema 1.5 cos( ) = cos cos + sen sen

Demostración: Propuesto

Teorema 1.6 tan( ) =tan tan

1 tan tan


17



1.2.5. Fórmulas del ángulo doble

Teorema 1.7 sen 2 = 2 sen cos

Demostración: sen2 = sen ( + )= sen cos + cos sen

= 2 sen cos

Teorema 1.8 cos2 = cos2 sen2

Demostración: cos2 = cos ( + )

= cos cos sen sen

= cos2 sen2

Esta fórmula puede reescribirse utilizando la identidad cos2 + sen2 = 1 (su demostración se

verá en 1.3.1) como:cos2 = 1 2sen2 = 2 cos2 1

Teorema 1.9 tan2 =2tan

1 tan2 :


1.2.6. Fórmulas del ángulo medio

Teorema 1.10 sen

2=

r 1 cos

2, donde la elección del signo debe coincidir con el signo de

sen

2

.

Demostración: Por la fórmula cos2 = 1 2sen2 ;

se tiene sen2 =1 cos2

2y sen =

r 1 cos2

2sustituyendo 2 por , se obtiene:

sen

2=

r 1 cos

2

Teorema 1.11 cos

2=

r 1 + cos

2, donde la elección del signo coincidir con el signo de cos

2.

Demostración: Por la fórmula cos2 = 2 cos2

1Luego cos2 =

1 + cos 2

2y cos =

r 1 + cos 2

2sustituyendo 2 por , se obtiene:

cos

2=

r 1 + cos

2

18



Teorema 1.12 tan

2=

r 1 cos

1 + cos , donde la elección del signo debe coincidir con el signo de

tan

2.

Demostración:

tan

2=

sen

2

cos

2

=r

1 cos

2

r

1 + cos

2

= r

1 cos

1 + cos

Ejercicio 1.13 Deducir que:

tan

2=

sen

1 + cos =

1 cos

sen

Ejemplo 1.3 Veri…car la identidad tan

2+ cot

2

cot

2 tan

2

= sec :

Solución

tan

2+ cot

2

cot

2 tan

2

=

sen

2

cos

2

+cos

2

sen

2

cos

2

sen

2

sen

2

cos

2

=sen2

2+ cos2

2

cos2

2 sen2

2

=1

cos

2

2

=1

cos = sec :

1.2.7. Fórmula de reducción

De…nición 1.4 Si f y g son dos funciones trigonométricas que satisfacen

f

2

= g () o f () = g

2

; con 0 < <

2,

entonces f y g se llaman cofunciones.

Observación 1.4 Como

sen

2

= cos

tan

2

= cot

sec

2

= csc

entonces son cofunciones : seno y coseno, tangente y cotangente, secante y cosecante.

19



En lo que sigue interesa deducir los valores de las funciones trigonométricas para otros ángulos.

En algunos casos es posible obtenerlas mediante una reducción a funciones trigonométricas de ángulos

agudos positivos.

Teorema 1.14 Sea f una de las seis funciones trigonométricas. Para cada n 2 Z y un

ángulo cualquiera, entonces :

f

n

2

=

(f () si n es par

Cof () si n es impar

En cada caso, el signo algebraico es igual al signo que tiene la función f en el cuadrante al que

pertenece el ángulo original

n

2

si es un ángulo agudo positivo:

Ejercicio 1.15 Calcular el valor de las siguientes expresiones:

1. sec

43

2. sec

15

4

20




1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) sen 23

b) cos7

6

c) tan(765o)

d)sen (270o) + cos150o

tan480o + cot (225o)

e) sen2

3+ cos

7

6+ tan

5

3

2. Si tan A =1

2y A 2 III cuadrante, calcular

senA 3cos A

senA + 2 cos A:

3. Si tan25o = A encontrar en términos de "A"la expresión:tan205o tan115o

tan245o + tan335o:

21



1.2.8. Grá…ca de la función tangente

En lo que se re…ere a la función y = tan x se hará un análisis más formal.

a) Dominio: como tan x = senxcos x

; entonces cos x 6= 0: Por tanto x 6= 2

+ n; n 2 Z, así

Dom tan = Rn

2+ n; n 2 Z

o

b) Recorrido:

Rec tan = R

c) Intersecciones con los ejes

(i) Eje Y : x = 0 =) sen 0 = 0; cos 0 = 1, luego y = tan 0 = 0, es decir, la grá…ca de la

función pasa por el origen.

(ii) Eje X : y = 0 =) tan x = 0 =) senx = 0; x = 0; ; 2.

d) Simetría

(i) Con respecto al origen: como

tan(x) =sen (x)

cos(x)=senx

cos x= tan x

Luego la función tangente es una función impar, es decir, su grá…ca es simétrica con

respecto al origen.

(ii) Con respecto al eje Y : como tan(x) 6= tan x entonces la función tangente no es unafunción par, es decir, su grá…ca no es simétrica con respecto al eje Y .

e) Asíntotas: Para obtener las asíntotas verticales se hace cos x = 0, obteniéndose x =

2+ n,

n 2 Z, que corresponde a las ecuaciones de dichas asíntotas. En cambio, asíntotas horizontales

no existen, puesto que Rec (tan) = R.

f) Periodicidad

tan(x + ) =sen (x + )

cos(x + )=senx

cos x= tan x

g) Tabla de valores

x 0 6

4

3

2

y = tan x 0p 3

31

p 3 No existe

22



Aprovechando que la función y = tan x es simétrica con respecto al origen y periódica de período

, se tiene su representación grá…ca.

Ejercicio 1.16 Haciendo un análisis similar obtenga las grá…cas de las funciones trigonométricas

restantes.

1.2.9. Elementos de las funciones seno y coseno

Se considerarán las grá…cas de funciones del siguientes tipo :

y = Asen (Bx + C ) ; y = A cos(Bx + C )

siendo, A; B y C constantes, pudiendo ser algunas iguales a cero. Estas constantes producen el

efecto de trasladar, ampliar, re‡ejar o reducir las grá…cas básicas de y = senx y y = cos x. Si la

primera ecuación se escribe en la forma

y = A sen Bx +C

Bse tiene :

A : Amplia verticalmente si A > 1

B : Amplia horizontalmente si 0 < B < 1

C : Traslada hacia la izquierda siC

B> 0

23



Ejemplo 1.4 Hacer las grá…cas de y = senx y y = 3senx

Solución

x 0 6

4

3

2

23

56 7

643

32

53

116 2

y = senx 0 1

2

p 2

2

p 3

21

p 3

2

1

20 1

2

p 3

21

p 3

21

20

y = 3sen x 0 3

2

3p 2

2

3p 3

23 3

p 3

2

3

20 3

23

p 3

23 3

p 3

23

20

Se observa que la diferencia radica en los recorridos, mientras que el recorrido de y = senx es

[1; 1] se tiene que el recorrido de y = 3 senx es [3; 3] :

En general, para la grá…ca de y = Asenx, se tiene que jAj se llama Amplitud de la onda

senoidal.

1) Si A > 1 la grá…ca de y = Asenx corresponde a una ampliación vertical de la grá…ca dey = sen x:

2) Si 0 < A < 1 la grá…ca de y = Asenx corresponde a una reducción vertical de la grá…ca de

y = sen x:

3) Si A < 0, la grá…ca de y = Asenx corresponde a una re‡exión de la grá…ca y = senx

respecto del eje X (ampliada o reducida verticalmente).

Ejercicio 1.17 Hacer las grá…cas de y = senx y y = sen 3x

Solución

x 0

6

4

3

2

2

3

5

6 7

6

4

3

3

2

5

3

11

62

y = sen x 0 1

2

p 2

2

p 3

21

p 3

2

1

20 1

2

p 3

21

p 3

21

20

y = sen 3x 0 1p 2

20 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Se observa que la diferencia radica en los períodos, mientras que el período de y = senx es 2 se

tiene que el período de y = sen 3x es 2

3.

En general, para la grá…ca de y = senBx, se tiene que cuando Bx = 0 entonces x = 0 y

cuando Bx = 2 entonces x =2

B, siendo éste valor su período.

1) Si B > 1, la grá…ca de y = senBx corresponde a una reducción horizontal de la grá…ca de

y = sen x:

2) Si 0 < B < 1, la grá…ca de y = senBx corresponde a una ampliación horizontal de la grá…ca

de y = sen x:

3) Si B < 0 entonces utilizaremos lo anterior sabiendo que senBx = sen jBjx.

24



Ejercicio 1.18 Hacer las grá…cas de y = senx y y = sen

x +

4

Solución

x 0

6

4

3

2

2

3

5

6 7

6

y = senx 0 1

2

p 2

2

p 3

21

p 3

2

1

20 1

2

y = sen

x +

4

p 2

2

p 2+

p 6

41

p 2+

p 6

4

p 2

2

p 6

p 2

4

p 2

p 6

4

p 2

2

p 2+

p 6

4

x 4

3

3

2

5

3

11

62

y = senx p 3

21

p 3

21

20

y = sen

x +

4

p 2+

p 6

4

p 2

2

p 2

p 6

4

p 6

p 2

4

p 2

2

Se observa que la diferencia radica en que la grá…ca de y = sen

x +

4

coincide con la grá…ca de

y = sen x desplazada

4unidades hacia la izquierda.

En general, la grá…ca de y = sen (x + C ), corresponde a un desplazamiento de la grá…ca de

y = sen x en C unidades, hacia la izquierda si C > 0 y hacia la derecha si C < 0. La constante

jC j se llama Desfase o Angulo de Fase.

La combinación de los tres casos anteriores se puede representar por y = Asen (Bx + C ), donde

jAj: Amplitud

x =2

B: Período

C

B: Angulo de fase, ya que y = Asen (Bx + C ) = AsenBx +

C

B

25




1. Gra…car y =1

2sen

2x +

4:

2. Gra…car para x 2 [0; 2] las siguientes funciones:

a) y =1

2senx

b) y = 4 cosx

2

c) y = 2sen

2x +

2

d) y = sen x + cos x

26



1.2.10. Funciones trigonométricas inversas

Para que una función periódica sea invertible, su dominio debe restringirse a algún intervalo en

el cual sea biyectiva.

Considerar la función y = f (x) = senx, entonces Domf = R; Recf = [1; 1]. Si se restringe

Domf al intervalo A =

2;

2

se tiene que la función restringida al conjunto A, denotada por,

f jA

es uno a uno, luego es invertible.

De…nición 1.5 Si se restringe el dominio de la función y = senx al intervalo

2;

2

, entonces

la función inversa del seno se llama Arcoseno y se denota por: y = Arcsen x.

Luego :

y = Arcsen x

()x = sen y,

2 y

2Además, si f 1 (x) es la función inversa de la función f (x) entonces Domf 1 = Recf y

Recf 1 = Domf . Luego, en este caso

sen :

2;

2

! [1; 1] y Arcsen : [1; 1] !

2;

2

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

y = Arcsen x

Ejemplo 1.5

1. Arcsen (1) =

2, porque sen

2= 1:

2. Arcsen

p 2

2

!=

4, porque sen

4=

p 2

2:

27



3. Arcsen (2), no está de…nido ya que el dominio de la función Arcsen es [1; 1].

Observación 1.5

-1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

y

Se puede observar que ambas grá…cas seno y Arcoseno son simétricas con respecto a la recta

y = x. Esta propiedad es cumplida por las grá…cas de cualquier función y su inversa.

De…nición 1.6 Si se restringe el dominio de la función y = cos x al intervalo [0; ], entonces

existe la función inversa del coseno que se llama Arcocoseno y se denota por y = Arc cos x.

Por lo tanto,

y = Arc cos x () x = cos y; 0 y

luego :

cos : [0; ] ! [1; 1] y Ar cos : [1; 1] ! [0; ]

28



-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1

2

3

x

y

y = Arc cos x

Ejemplo 1.6

1. Ar cos

p 3

2

!=

6, ya que cos

6=

p 3

2

2. Ar cos

cos

4

=

4

3. cosArcsen4

5 =3

5

Solución En efecto, si = Arcsen4

5; 2

h

2;

2

ientonces, sen =

4

5> 0 y por lo tanto

2h

0;

2

i. Es decir

29



Por tanto,

cos

Arcsen

4

5

= cos =

3

5

De…nición 1.7 Si se restringe el dominio de la función y = tan x al intervalo

2 ;

2

, entonces existe la función inversa de la tangente que se llama Arcotangente y se denota por: y = Arc tan x.

Por lo tanto,

y = Arc tan x () x = tg y,

2< y <

2Luego :

tan :

2;

2

! R y Arc tan : R !

2;

2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

x

y

Ejemplo 1.7

1. Arc tanp

3

=

3, porque tan

3=p

3

2. sen (Arc tan (5)) =5p 26

Solución En efecto sea = Arc tan(5), 2

2;

2

entonces, tan = 5 > 0 y por lo tanto

2

0;

2

. Es decir,

30



Por tanto,

sen (Arc tan(5)) = sen =5p 26

1.3. Identidades trigonométricas

De…nición 1.8 Una igualdad que contiene funciones trigonométricas y que es válida para todos los

valores del ángulo para los cuales estén de…nidas las funciones, se denomina identidad trigonométri-

ca .

1.3.1. Identidades fundamentales

Todos los teoremas que se ven a continuación son ciertos para todo valor real para el cual están

de…nidas las funciones que en ellos aparecen.

Teorema 1.19 sen2 + cos2 = 1

Demostración: En la siguiente …gura:

P = (cos ;sen) es un punto de la circunferencia unitaria con centro el origen y ecuación

x2 + y2 = 1. De las de…niciones de las funciones seno y coseno se tiene que x = cos ; y = sen.

Reemplazando, en la ecuación de la circunferencia, se tiene que :

sen2 + cos2 = 1

Corolario 1.1 1 + tan2 = sec2

31



Demostración: Del teorema, cos2 + sen2 = 1, dividiendo ambos miembros por cos2 se

tiene :cos2

cos2 +

sen2

cos2 =

1

cos2

Luego :

1 + tan2 = sec2

Corolario 1.2 1 + cot2 = csc2

Demostración: Del teorema : cos2 + sen2 = 1, dividiendo ambos miembros por sen2 se

tiene :cos2

sen2+

sen2

sen2=

1

sen2

Luego :1 + cot2 = csc2

Observación 1.6 Las fórmulas anteriores se conocen como relaciones pitagóricas.

1.3.2. Otras identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica se puede demostrar transformando uno de los miembros hasta

hacerlo idéntico al otro.

Ejemplo 1.8 Demostrar que tan cot

tan + cot = 2sen2 1

Solución Transformando el primer miembro :

tan cot

tan + cot =

sen

cos cos

sensen

cos +

cos

sen

=

sen2 cos2

cos sen sen2 + cos2

cos sen

=sen2 cos2

sen2 + cos2

= sen2 cos2

= sen2 1 sen2

= 2sen2 1

Ejemplo 1.9 Demostrar que

tan

1 cot +

cot

1 tan = 1 + tan + cot :

32




1. Veri…car las siguientes identidades :

a) tan

x2

+ 4

= sec x + tan x

b) (senx cos x)2

= 1 sen 2x

c)senx

cos x=

1 cos2x

sen 2x

d) sen 4x cos x sen 3x cos2x = senx cos2x

e) cos(x + y)cos y + sen (x + y) seny = cos x

f)senx

1 + cos x=

1 cos x

sen x= tan

x

2

g) sen (x + y) sen (x y) = cos2 y cos2 x

h) cos2x = cos4

x sen4

x

i) tanx

2+ cot

x

2= 2 csc x

j) sec (90o A) cot A cos (90o A) tan(90o A) = sen A

k)

sec A

senA tan A

senA = cos A

l)senA

1 + cos A+

1 + cos A

sen A= 2 sec A

m) csc A (sec A 1) cot A (1 cos A) = tan A senA

n)1 cos A

1 + cos A=

sec A 1

sec A + 1= (cot A csc A)

2

ñ)1

1 sen A +1

1 + senA = 2 sec2 A

33



1.4. Ecuaciones trigonométricas

De…nición 1.9 Una igualdad que involucra funciones trigonométricas que sólo se veri…can para

valores particulares de los ángulos desconocidos se denomina ecuación trigonométrica.

No hay método general para resolver ecuaciones trigonométricas. Sin embargo, existen algunos

procedimientos básicos para la resolución de estas ecuaciones. Tres de estos se ilustran a continuación:

A) La ecuación se puede factorizar

Ejemplo 1.10 Resolver: 2 senx cos x + 2 senx cos x 1 = 0, en [0; 2]

Solución En este caso es conveniente factorizar

2 senx cos x + 2 senx

cos x

1 = 0

(2 senx cos x + 2 senx) + ( cos x 1) = 0

2 sen x ( cos x + 1) (cos x + 1) = 0

(2 sen x 1) (cos x + 1) = 0

Luego :

2 sen x 1 = 0 _ cos x + 1 = 0

Si

2 sen x 1 = 0 =) senx =1

2

=) x = 6

, 56

Si

cos x + 1 = 0 =) cos x = 1

=) x =

Por lo tanto, el conjunto solución es :

S =

6;

5

6;

Observación 1.7 Como las funciones seno y coseno son periódicas de período 2, las soluciones del ejemplo anterior, se pueden extender a (1; +1) sumando a cada una de ellas 2n para

n 2 Z. En lo sucesivo se considerarán unicamente las soluciones particulares en [0; 2).

B) Las diversas funciones que se presentan en la ecuación se pueden expresar en

función de una sola

34



Ejemplo 1.11 Resolver: 2tan2 x + sec2 x = 2

Solución Sabemos que sec2 x = 1 + tan2 x, luego

2tan2 x + sec2 x = 2 tan2 x + 1 + tan2 x = 2

3tan2 x = 1

tan2 x =1

3

tan x = 1p 3

Si

tan x =1p

3=) x =

6,

7

6

Si

tan x = 1

p 3 =) x =

5

6 ,

11

6


S =

6;

5

6;

7

6;

11

6

C) Elevar ambos miembros de la ecuación al cuadrado

Ejemplo 1.12 Resolver: senx + cos x = 1

Solución

sen x + cos x = 1 =

)sen x = 1

cos x

Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado, se tiene que

sen2 x = (1 cos x)2

sen2 x = 1 2cos x + cos2 x

como sen2 x = 1 cos2 x, entonces

1 cos2 x = 1 2cos x + cos2 x

2cos2 x 2cos x = 0

2cos x (cos x

1) = 0

Si

2cos x = 0 =) cos x = 0

=) x =

2,

3

2

35



Si

cos x 1 = 0 =) cos x = 1

=) x = 0

Notar que para

x =

2, sen

2

+ cos

2

= 1 + 0 = 1

x =3

2, sen

3

2

+ cos

3

2

= 1 + 0 = 1 6= 1

x = 0, sen (0) + cos(0) = 0 + 1 = 1


S = n0;

2oObservación 1.8 Cada vez que una ecuación trigonométrica se eleve al cuadrado o se multiplique

la ecuación por una expresión que contega la incógnita debemos comprobar las soluciones obtenidas

previamente.

Ejemplo 1.13 Resolver: sec x + tan x = 0

Solución Multiplicando la ecuación por cos x se tiene que

1 + senx = 0 =) sen x = 1

=) x =3

2

Pero sec

3

2

y tan

3

2

no están de…nida. Por tanto,

S =

36



1.4.1. Ejemplos de otros procedimientos

Ejemplo 1.14 Resolver: sen 3x = p

2

2

Solución Notar que x debe ser tal que 0 x < 2, entonces 3x debe ser tal que

0 3x < 6

Entonces,

sen 3x = p

2

2=) 3x =

5

4,

7

4,

13

4,

15

4,

21

4,

23

4

=) x = 512

, 712

, 1312

, 1512

, 2112

, 2312


S =

5

12;

7

12;

13

12;

15

12;

21

12;

23

12

Ejemplo 1.15 Resolver: sen 3x = cos 2x

Como cos2x = sen

2 2x

y cos2x = sen

2+ 2x

entonces

sen 3x = sen

2 2x =

)3x =

2 2x,

5

2 2x,

9

2 2x, ....

=) 5x =

2,

5

2,

9

2,

13

2,

17

2

porque sabemos que 0 x < 2, así 0 5x < 10. Luego,

=) x =

10,

5

10,

9

10,

13

10,

17

10

Y

sen 3x = sen

2+ 2x

=) 3x =

2+ 2x,

5

2+ 2x,

9

2+ 2x, ....

=) x =

2


S =

10,

2,

5

10,

9

10,

13

10,

17

10

37




1. Resolver las siguientes ecuaciones para x 2 [0; 2]

a) sen 2x = tan x

b) cos2x + sen 2x + 1 = 0

c) sen 4x + sen 2x = 0

d) cos2x + sen 2x + 1 = 0

e) 4cos2x

2= 2 +

p 3

f) sen 2x =1

2

g) cosx

2=

1

2

p 3

h) 4cos x senx + 2 sen x 2cos x = 1

i) 4 sen2x + 8 senx + 3 = 0

j) cos2 x sen2x + cos x + 1 = 0

k) tan xp 3 cot x + 1 =p

3

l) csc x = 1 + cot2 x

m) sec x tan x csc x + cot x = 0

38



1.5. Identidades y ecuaciones con funciones trigonométricas

inversas

Ejemplo 1.16 Probar que: Arc tanxp

1 x2= Arcsen x ; jxj < 1

Solución Sea = Arc tanxp

1 x2, entonces

tan =xp

1 x2; con 2

2;

2

Sea = Arcsen x, entonces

sen = x ; con 2h

2;

2 iSe debe probar que = . En efecto,

tan =xp

1 x2=

sen p 1 sen 2

=sen

cos

= tan

y dado que la función tangente es invertible en

2;

2

aplicando Arc tan, se tiene que = .

Es decir :

Arc tanxp

1 x2= Arcsen x ; jxj < 1

Ejemplo 1.17 Resolver : Arc cos2x = Arcsen x

Solución Sea = Arc cos2x entonces

cos = 2x ; con 2 [0; ]

Sea = Arcsen x entonces

sen = x ; con

2 h

2

;

2i

Se tiene entonces que = , de donde se concluye que y están ambos en el primer cuadrante,

de modo que x 0. Es decir,

39



Aplicando la función coseno a ambos miembros de la ecuación = , se tiene que:

cos = cos , ¿Por qué?

2x =p

1 x2

4x2 = 1 x2

5x2 = 1

x2 =1

5

x = 1p 5

= p

5

5

x =

p 5

5

Comprobando:

Arc cos2

p 5

5

! 26o 300

Arcsen

p 5

5

! 26o 300

Resolver: Arc cos2xArc cos x =

3

40




1. Evaluar:

a) cos

Arcsen 45

b) tan

Arc cos

4

5

c) tan

Arc cos

1

2

2. Probar que:

a) sec(Arc tan x) =p

1 + x2

b) Arcsen x + Arcsen (x) = 0

c) Arc tan 3 + Arc cot3 = 2

3. Veri…car que:

a) Arcsen x + Arc cos x =

2

b) Arc cos x + Arc cos(x) =

c) Arc tan x + Arc tan1

x=

2, si x > 0

d) Arc cos x + 2Arcsen 1 =

4. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) Arcsen x = Arc cos x

b) Arcsen x + Arc cos2x =

6

c) Arcsen x + Arc cos(1 x) =

2

d) Arc tan(x + 1) Arc tan(x 1) = Arc cot2

41



1.6. Teoremas del seno y coseno

En cualquier triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, es decir:

a

sen =

b

sen =

c

sen :

Demostración: Considerando un triángulo con todos los ángulos interiores agudos

Sean ]CAB = , ]ABC = y ]BC A = .

En 4ADC se tiene :

sen =hc

b=) hc = bsen

En 4BDC se tiene :

sen =hc

a=) hc = asen

Luego :

bsen = asen

Entonces

b

sen =

a

sen

Usando el mismo argumento anterior para ha se obtiene :

c

sen =

b

sen

Por lo tanto,a

sen =

b

sen =

c

sen

42



Observación 1.9 El teorema del seno es frecuentemente usado para resolver un triángulo en los

siguientes casos:

1) Cuando se conoce un lado y dos ángulos.

2) Cuando se conoce dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados.

Ejercicio 1.20 En 4ABC; a = 4; 56; = 43o; = 57o resolver el triángulo.

Ejercicio 1.21 Los puntos A y B están situados en lados opuestos de un cráter lunar. El punto

C está a 50 metros de A. Se determina que la medida del ángulo BAC es de 112o y que la

medida del ángulo ACB es de 42o ¿ Cuál es la anchura del cráter?.

Teorema 1.22 (Teorema del Coseno) El cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a

la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el

coseno del ángulo que forman. Por ejemplo: c2 = a2 + b2 2ab cos :

Demostración:

Consideremos el 4ABC

γ b

c

A = (bcos θ, bsen θ)

a

θ β

B = a 0C = (0,0)

43



Ubicar el 4ABC de manera tal que el vértice C esté en el origen y el lado "a" a los largo

del eje X positivo. Entonces las coordenadas de B son (a; 0) y las coordenadas de A son

(b cos ; bsen) :

Usando la fórmula de distancia entre dos puntos es posible obtener la longitud del lado c, esto

es :

c2 = (a b cos )2

+ (0 bsen )2

= a2 2ab cos + b2 cos2 + b2sen2

= a2 + b2 2ab cos

El mismo razonamiento se puede realizar para obtener las longitudes de a y b, lográndose

a2 = b2 + c2 2bc cos

b2

= a2

+ c2

2ac cos

Observación 1.10 El teorema del Coseno se utiliza frecuentemente para resolver un triángulo

en los siguientes casos:

1) Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre estos dos lados.

2) Cuando se conocen los tres lados.

Ejercicio 1.23 En 4ABC; a = 18; b = 25; c = 12. Resolver el triángulo.

1.6.1. Resolución de triángulos cualesquiera

1. Si un punto B está por encima de una recta horizontal AC , el ángulo de elevación del

punto B visto desde el punto A es el ángulo formado por la recta de observación AB y la

recta horizontal AC

44



2. Si un punto B se encuentra debajo de una recta horizontal AC , el ángulo de depresión

del punto B visto desde el punto A es el ángulo que forman la recta de observación AB y

la recta horizontal AC

3. A continuación mostramos dos ejemplos de como referirse a una posición geográ…ca:

Ejemplo 1.18 (A) Dirección Este 60 al Norte ( E 60 N ) o dirección Norte 30 al Este ( N 30 E ):

Ejemplo 1.19 (B) Dirección Noreste 45 :

45



Ejemplo 1.20 Desde un avión que vuela a una altitud de 3000 metros sobre terreno plano, se

pueden ver dos pueblos directamente al Este. Los ángulos de depresión a los pueblos son 5o100

y

77o300. ¿A qué distancia está un pueblo de otro?.

Solución La siguiente …gura presenta la situación planteada en este problema, donde = 5o 100

y = 77o 300. A es el avión, P y Q son los pueblos.

La distancia pedida d = d2 d1. Como!AR

!BQ se puede aprovechar el concepto de ángulos

alternos internos. Así ]RAP = ]BP A = y ]RAQ = ]P QA = .

En 4BP A :

tan =3000

d1=) d1 =

3000

tan(77o 300) 665; 08

En 4ABQ :

tan =3000

d2=) d2 =

3000

tan(5o 100) 33178; 29

Por lo tanto,

d = d2 d1 = 32513; 21:

46




1. Resolver en 4ABC si :

a) = 7o, = 52o, a = 6412

b) = 32o, a = 24, b = 36

c) = 32o, a = 38, b = 112

d) = 7, b = 3, c = 5

2. Desde un tren que viaja hacia el norte por una vía recta, el maquinista observa una torre en

dirección N 20o30

0E . Después de recorrer 475 metros observa la misma torre en dirección

S 71o400E . ¿ A qué distancia estaba la torre del primer punto ? ¿ del segundo punto ? ¿ de

la línea ferrea ?.

3. Dos vías ferreas rectilineas se cruzan bajo un ángulo de 49o. En cierto instante, el tren A

está a 32 kms. del cruce y el tren B está a 76 kms. del cruce. Calcular la distancia que los

separa en ese instante.

4. Determinar el área de un triángulo dado dos ángulos interiores de 62o400 y 79o200, si el lado

opuesto del ángulo menor es de 147 cm.

5. El área de un terreno triangular es 7510 mts2, uno de los ángulos interiores es 75o30

0y uno

de los lados que forman dicho ángulo es 116 mts. ¿Cuál es el gasto que demanda cercar dicho

terreno, si cercar un metro vale $500 ?.

6. Una torre está en lo alto de un edi…cio de 200 pies. En un punto del suelo, a 500 pies de la

base del edi…cio, la torre se ve bajo un ángulo de 10o. ¿Cuál es la altura de la torre?.

7. Desde la azotea de un edi…cio de 9 mts. de altura, el ángulo de elevación de la cúspide de una

torre es de 42o y el ángulo de depresión de su base es 17o. Hallar la altura de la torre.

8. Un observador, determina que el ángulo de elevación de una torre es "A", avanza "a"mts.

hacia la torre y el ángulo de elevación es 45o. Sigue avanzando "b"mts. y el ángulo de elevación

es (90o A). Demostrar que la altura de la torre H , es igual a

ab

a b :

47

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