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CURSO: MECANICA DE FLUIDOS II CAPITULO: VIII NOCIONES DE FLUJO NO PERMANENTE EN CANALES

Msc Ing. Abel A. Muñiz Paucarmayta Página 1

CAPITULO VIII

NOCIONES DEL FLUJO NO PERMANENTE EN CANALES

8.1. GENERALIDADES.

En un canal abierto lo normal es que el flujo sea permanente (a). Solo

eventualmente se presentan olas que hacen que el flujo sea no permanente (b).

Se dice ola u onda, indistintamente

El estudio del flujo no permanente en canales abiertos se refiere al estudio de las

olas. Las únicas que se estudian aquí son las olas de gravedad traslatorias.

Si el frente de ola es suave:


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El flujo no permanente es gradualmente variado y si el frente de ola es empinado

El flujo no permanente es rápidamente variado

8.2. FLUJO NO PERMANENTE GRADUALMENTE VARIADO.

8.2.1. ECUACION DE CONTINUIDAD.

En la tajada de canal dx se aplica el principio de conservación de masa.

El caudal que entra es Q y el que sale Q +dQ

El volumen que entra es Q dt y el que sale Q dt + dQ dt o que es lo mismo

dt dx xQ

dt Q ..

De manera que se produce un cambio en el volumen:

dt dx xQ

dt Q ..

Asimismo un cambio en el almacenamiento:


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dxdt t

yT . o dxdA. o dxdt

t A

.

Para agua incomprensible la masa es constante, de modo que dM=0 o

dVo=0

Remplazando:

0.. dxdt t

yT dt dx

xQ

0t

yT

xQ

(Ec. 8.1)

o 0.. dxdt t

Adt dx

xQ

0t

A xQ

(Ec. 8.2)

En una ecuación Q = A.V. De modo que la (Ec. 8.1) queda:

0)(

t y

T x

AV (Ec. 8.3)

o 0t

yT

x A

V xV

A (Ec. 8.4)

(8.4)

Pero

DT A .

dyT dA .

x y

T x A

.

De modo que remplazando en la última ecuación:


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0... x y

T x y

T V xv

DT , o

0 x y

x y

V xV

D (Ec. 8.5)

Cualquiera de las cinco ecuaciones expresa la ecuación de continuidad del

flujo no permanente, en general, en canales abiertos. Rigen tanto para el

flujo gradualmente variado como para el rápidamente variado.

Para canal muy ancho, la Ecuación 8.1 se puede expresar como:

0t

y xq

(Ec. 8.6)

Cuando el canal recibe lateralmente un caudal q’, la Ecuación 8.2 se

expresa como:

0'qt

A xQ

(Ec. 8.7)

Cuando el canal principal tiene una porción lateral de área A’ la

contribución de esta en caudal es insignificante, la Ecuación 8.2 se puede

expresar:

0'

t A

t A

xQ

(Ec. 8.8)

8.1.2. ECUACION DEL MOVIMIENTO.

Una forma simple de deducirla consiste en partir del flujo permanente y

agregar el efecto de la variable del tiempo.

El variable tiempo provoca un cambio en la velocidad, es decir una

aceleración. Esta aceleración indica la presencia de una fuerza, la cual

produce una perdida adicional de energía.

Hipótesis:

• Canal de pendiente moderada.


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• La aceleración se produce en la dirección X.

• La componente vertical de la aceleración es despreciable.

t

vmam F ..

Trabajo = dxt v

mdx F ...

Este trabajo es igual a la energía perdida debido a la aceleración por

unidad de peso = dxt v

g ..

1

Por el principio de la energía:

dxt v

g dxS

g V

d g

V dy ydz z

g V

y z f ..1

.222

222

(Ec. 8.9)

dxt v

g dxS

g V

y z d f ..1

.)2

(2

(Ec. 8.10)

Dividiendo entre dx y utilizando derivadas parciales:

0.1

)2

()( 2

t v

g g V

xS

x y z

f (Ec. 8.11)

0.1

f S x z

t v

g xv

g V

x y

(Ec. 8.12)


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Para canales prismáticos:

oS x z

f o S S t v

g xv

g V

x y

.1

(Ec. 8.13)

(Ecuación del movimiento para flujo no permanente gradualmente variado

en canales prismáticos).

8.1.3 FLUJO UNIFORMENTE PROGRESIVO.

Es un caso simple del flujo no permanente gradualmente variado en el que

la ola avanza o progresa de modo uniforme. Queda bien representado por

el tipo de onda llamada onda de subida monoclinal, de manera que su

estudio se hace en base al estudio de esta onda.

ONDA DE SUB IDA MONOCLINAL.- Su característica es que se traslada

con velocidad constante sin que su frente cambie de forma (a este tipo deonda se aproximan las ondas de avenida de los canales naturales).

PROPIEDADES:

1. Las posiciones sucesivas del frente de onda son paralelas;

2. La velocidad del frente de onda V w es mayor que la velocidad media del

agua V en cualquier sección de la onda;

3. El perfil de la onda viaja con la velocidad constante Vw, pero la velocidad

media del agua cambia de una sección a otra de la onda;


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4. V w y V son velocidades referidas a un punto fijo del canal y son por ello

velocidades absolutas; en cambio V w – V es la velocidad de la onda con

respecto al agua en movimiento, se llama celeridad de la onda, y es por

ello una velocidad relativa.

Nomenclatura:

V1 : Región de flujo uniforme sin la ola.

V2 : Región de flujo uniforme don la ola.

V : Región de flujo gradualmente variado.

V > V 1 >> V 2

CALCULO DE LA VELOCIDAD V w.- Cuando el frente de onda pasa sobre

el FV en el canal, se transforma en una descarga permanente en el frente

de valor Q o = (V w – V1) A1 y dejado atrás una descarga permanente de

valor Q o= (V w – V2) A2.

(Esto es lo que ve n observador que sigue el frente de onda).

La descarga permanente Q o que fluye en la dirección de aguas arriba llama

over run o desborde.

1122 )()( AV V AV V Qo ww (Ec. 8.14)

111222 AV AV AV AV ww

112212 )( AV AV A AV w

12

1122

A A AV AV

V w (Ec. 8.15)

12

12

A AQQ

V w (Ec. 8.16)


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ECUACION DEL MOVIMIENTO SIMPLIFICADA.- Se obtiene

introduciendo el valor Q o. Que corresponde a la imagen permanente del

movimiento, en la ecuación general de FGV:

3

20

2

1 gA

T Q

S S

x y f (Ec. 8.17)

Usando Chezy o Manning se demuestra que: 220

K

QS f

Remplazando tenemos:

2

2

2

22

2

2 )(

K

V AV

K QV

K Q

S ww f

3

20

2

2

1

)(

gAT Q

K V AV

S

x y

ww f

(Ec. 8.18)

( x y Representa la endiente instantánea del perfil de la onda; en un instante

dado es lo mismo que la pendiente permanentedxdy

).

PERFIL DE LA ONDA.- Cuando se hace el estudio del perfil de la onda

monoclinal se encuentre que los posibles perfiles son solo dos:

(yc se llama Profundidad critica de desborde y es igual a en canales

rectangulares).

• El perfil es asintótico a y 1, y 2

• Se produce cuando y c < y 1


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• El perfil es empinado.

• Se produce cuando y c > y 1

ONDA PROVOCADA POR LA RUPTURA DE UN DIQUE.- Se supone por

simplicidad un cauce, ancho y rectangular. La ruptura del dique causa un

brusco desplazamiento del agua almacenada formándose una ola que se

conoce como onda rodillo. Suponiendo la hipótesis de suministro constantede agua, la onda rodillo viene a ser un caso particular de onda monoclinal.

Usando Chezy:

R AQ

Sf S R AV AQ f 22

..

De modo que K2

, en la (Ec. 8.8) es A2

R.

Para canal muy ancho, entonces:

A1 = 0

V1 = 0

Qo = 0

022 S yC V V w

yC AS

yS C AS Q K

f

f

f

22222

2

Y remplazando en la Ec. 8.18, en un instante dado:

02

022

22

0

22

22

0

.01

.S

y

yS

yC A

AV S

yC A AV

S

dx

dy ww


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)1( 20 y y

S dxdy

Se puede escribir y 2 = y n aguas arriba el flujo es prácticamente uniforme:

Que es equivalente a:

dy

y yS

dx

n

)1(

11

1

0

(Ec. 8.19)

Para integrar se escoge el borde Terminal del frente de onda como origen

de coordenadas (x = 0, y = 0)

dy

y yS

dx

n

y

)1(

11

10

0

(Ec. 8.20)

n y y

z

Si se grafica se obtiene un frente bastante parado de la onda.

8.1.3 PROPAGACION DE LA ONDA.

Para estudiar la propagación de las ondas de gravedad hay que describir lo

que es una solitaria.

Si en un canal rectangular, con el agua quieta, se provoca un

desplazamiento horizontal brusco de una compuerta:

1. Aparece una onda

2. Esta onda consiste en una elevación n sobre el tirante y,3. Su forma es simple,


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4. Se mueve, sin turbulencia, con una velocidad c,

5. Si no hubiera fricción en el canal la onda viajara una distancia infinita

sin cambiar n y c,

6. Como en realidad hay fricción n va disminuyendo,

7. C se denomina celeridad de la onda.

La imagen permanente del fenómeno, es decir para un observador que

viaja con la onda, resulta:

Sea x la velocidad en la sección (y +h);

Por continuidad:

xn yC y )(.

n yC y

x .

22

22

n y

y g

C g x

DETERMINACION DE C

a) Analíticamente. Sea un canal rectangular, sin fricción, de pendiente

pequeña y α = 1. la ecuación de Bernoulli es: 222 1

22

n y g

C n y

g C

y

Despejando

2

2)(2

n yn y g C (Ec. 8.21)


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Si n es moderada se desprecia n 2 en el desarrollo:

)43

1(.)23

1(. yn

y g yn

y g C (Ec. 8.22)

Si n es pequeña

y g C . (Ec. 8.23)

(para canal no rectangular D g C . )

b) Experimentalmente. El valor obtenido es:

)( n y g C

c) Mediante un análisis riguroso, para h moderada:

y g

tgH g

C 2

(λ = longitud de onda, de cresta a cresta)

En aguas profunda; y >> x

g

C

Si n es pequeño:

y >> n

y ytgH

22

y g C .

En resumen, la expresión simplificada y g C . para sección rectangular o

D g C . para sección cualquiera, es utilizada para estudiar la propagación

de las ondas de gravedad.

1. Si en un estanque con agua en reposo se deja caer una piedrecita, la onda

que se genera se propaga en todas las direcciones en un esquema como

este:


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2. Si el agua esta en una canal, fluyendo en régimen subcrítico:

Vw = C + V Velocidad de la onda aguas abajo

Vw = C - V Velocidad de la onda aguas arriba.(es decir los frentes de onda son estacionarios).

3. Si el agua fluye en régimen crítico:

Vw = C + C = 2C Velocidad de la onda aguas abajo.

Vw = C - C = 0 Velocidad de la onda aguas arriba.

(es decir los frentes de onda son estacionarios).

4. Si el agua fluye en régimen critico:


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Vw = c + V Velocidad de la onda aguas abajo.

Las ondas solo viajan hacia aguas abajo.

Las líneas tangentes a los frentes de onda forman un ángulo B con la

dirección del flujo.

r F V

gD

V C

sen 1

(Ec.8.24)

β : Angulo del frente de onda

Fr : Numero de Froude.

COMENTARIO:

V : Velocidad del agua con respecto a un punto fijo del canal.

C : Velocidad de la onda con referencia al agua en movimiento

(velocidad relativa de la onda y celeridad).

Vw : Velocidad de la onda con respecto a un punto fijo del canal

(velocidad absoluta de la onda).La ecuación vectorial general es:

C V V w (Ec. 8.25)Y como, en general estos tres vectores son paralelos al eje del canal, solo

hay dos opciones algebraicas:

C V V w (Ec. 8.26)

+ : Sentido de aguas abajo.

- : Sentido de aguas arriba .

(V se supone siempre en el sentido de aguas abajo).


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Por ejemplo, la aplicación de la Ec. 8.26 al caso 2 recientemente descrito conduce a:

En el sentido de aguas abajo:

V ccV V w En el sentido de aguas arriba:

cV V w V cV w Expresiones que concuerdan con las del esquema pertinente.

8.3. FLUJO NO PERMANENTE RAPIDAMENTE VARIADO.

8.3.1. FLUJO UNIFORMENTE PROGRESIVO.

Queda conformado por una onda monoclinal de perfil empinado que

avanza o progresa de modo uniforme, es decir con una velocidad Vw

constante.

Se genera, por ejemplo, al levantarse bruscamente la compuerta de aguas

arriba de un canal:

El esquema permanente que corresponde es:

Aplicando a este esquema de flujo permanente la ecuación de cantidad de

movimiento y la ecuación de continuidad se obtiene:

1V cV w

De manera análoga, al cerrase bruscamente la compuerta de aguas abajo

del canal se forma la onda:


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Y aplicando el esquema de flujo permanente la ecuación de cantidad de

movimiento y la ecuación de continuidad se obtiene:

1V cV w

8.2.2 TIPOS DE OLEAJE.

Teóricamente hay cuatro tipos de oleaje.

OLEAJE TIPO A:

La onda se genera abriendo bruscamente la compuerta de aguas arriba de

un canal. El ejemplo práctico lo constituye la onda generada por la rupturade un dique u onda de rodillo. El frente de onda avanza aguas abajo. El

oleaje es positivo, el valor de la velocidad de la onda es V w = c + V 1 y la

imagen permanente e la que aparece a la derecha.

OLEAJE TIPO B:

La onda se genera cerrando bruscamente la compuerta de aguas debajo

de un canal. El ejemplo práctico lo constituye la disminución en la demanda

de agua del canal. El frente de onda avanza aguas arriba. El oleaje es

positivo, el valor de la velocidad de la onda es V w = c – V1 y la imagen

permanente es la que aparece a la derecha.


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OLEAJE TIPO C:

La onda se genera cerrando bruscamente la compuerta de aguas arriba de

un canal. El ejemplo práctico lo constituye la disminución en el suministro

de agua del canal. El frente de onda retrocede aguas abajo. El oleaje es

negativo, el valor de la velocidad de la onda es V w = c +V 1 y la imagen

permanente es la que se muestra a la derecha.

OLEAJE TIPO D:

La onda se genera bruscamente la compuerta de aguas debajo de un canal.

El ejemplo práctico lo constituye el aumento en la demanda de agua del

canal. El frente de onda retrocedes aguas arriba. El oleaje es negativo, el

valor de la velocidad de la onda es V w = c – V1 y la imagen permanente es

la que se muestra a la derecha.

8.2.3. SOLUCION DE PROBLEMAS DE OLEAJE.

Es posible solucionar algunos problemas prácticos de oleaje en canales sin

recurrir a la solución analítica, del modo que se describe a continuación.

Por simplicidad se consideran ondas de altura pequeña en canales

rectangulares de pendiente moderada, con velocidades de agua muy bajas

(Vw = c) y sin fricción.


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CAMBIO EN EL ANCHO DEL CANAL .

Planteamiento del problema: S i llega a la contracción una onda (ΔQ 1, C 1,

n1), ¿qué cambios experimenta esta onda?

La ola que llega sufre reflexión parcial: una parte del agua regresa (ΔQ 3, C 3,

n3) y otra parte pasa (ΔQ 2, C 2, n 2). Se asume que el nivel del agua en la

sección transversal B es constante, es decir que no se produce una

discontinuidad en la superficie libre, por lo que el esquema resultante a

solucionar es este:

Por geometría : 231 nnn (a)Por continuidad : 321 QQQ

Como, en general : ncbQ ..

333222111 ncbncbncb (b)

Resolviendo este sistema de ecuaciones (a) y (b) es posible encontrar

expresiones de n 2 y n 3 en función de n 1

Para n 2:


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)( 1233222111 nncbncbncb

133233222111 ncbncbncbncb

133111222233 ncbncbncbncb

12233

33112 ncbcb

cbcbn

Según la (Ec. 8.22)

0

101 4

31.

yn

y g c

0

303 4

31.

yn

y g c

Como suponemos n b 2 c 2


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Segundo caso: b1 c1 < b2 c2


21/25



Tercer caso: b 2 c 2 →0

Cuarto caso: b 2 c2→∞

CANAL CON TRAMO ENSNCHADO INTERCALADO


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Planteamiento del problema: si llega al ensanche una onda c 1, n 1, ¿qué

cambios experimenta esta onda?

El esquema genera es el siguiente:

Según vimos:

112211

112 .1

22nn

cbcbcb

n

112211

22112 .1

1nn

cbcbcbcb

n

Se puede calcular:

221111

114 .1

22 nncbcb

cbn

221111

11115 .1

1nn

cbcbcbcb

n

Análogamente,


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551111

116 .1

22nn

cbcbcb

n

551111

11117 .11 nncbcb cbcbn

771111

118 .1

22nn

cbcbcb

n

Por el canal de salida pasa primero n 4, luego aparece n 8 y así

sucesivamente.

Se demostrara que n 4, n 8, etc. siguen una progresión geométrica de razón:

2.11

De modo que la suma de n 4, n 8, etc. resulta igual a n 1 (se deja como

ejercicio algebraico).

CANA L CON BIFURCACION.


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Planteamiento del problema: si llega al punto de bifurcación una onda c 1, n 1,

¿qué cambios experimenta esta onda?

Se asume que el nivel del agua en a sección de bifurcación B es constante,

es decir que no se produce una discontinuidad en la superficie libre.

Por geometría:

4231 nnnn Por continuidad

4321 QQQQ Como, en general

ncbQ ..

Análogamente:


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