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CAPÍTULO V

Análisis de estabilidad de taludes y factor de seguridad

La aplicabilidad de los métodos se ha hecho con el cálculo manual, con la ayuda de un ordenador y la elaboración de una hoja de cálculo para mayor agilidad; sin embargo para mayor rapidez en la obtención de resultados, en nuestro medio y con la ayuda de la investigación en Internet encontramos diversos programas aplicables al cálculo de Factores de seguridad, como el caso de SLOPE/w que es una herramienta muy útil que ha contribuido a nuestra investigación. Siendo así, hemos usado este programa en Versión educativa (ó demo y que es la única disponible en la red en forma gratuita) accesible a todo el público, cuyo sitio en Internet es www.geo-slope.com, para comparar los resultados obtenidos mediante el cálculo manual. El manejo de este programa se presenta en el anexo A-25 con la explicación del ingreso de datos, obtención de resultados y gráficas. Los métodos de análisis de taludes y su estabilidad en los problemas de deslizamiento de tierra, incluyen factores tales como: la geología, parámetros geotécnicos, geometría, presencia de grietas de tensión, cargas dinámicas por acción de sismos, flujos de agua, etc. Determinar su solución implica que su factor de seguridad debe expresarse con la mayor precisión y exactitud. Sin embargo la solución a una inestabilidad no implica la intervención de una persona sino de un grupo interdisciplinario de personas con ideas amplias y criterios vastos para dar una solución o soluciones técnicas, económicas y sustentables. El propósito de analizar la estabilidad de un talud es llegar al cálculo del factor de seguridad, parámetro que constituye una primera pauta para formular el tipo de solución que se le dará al talud. Nivel Freático La localización del nivel freático corresponde a la línea de presión de poros igual a cero, equivalente a que la presión neta en el sitio es igual a la presión atmosférica. El nivel de agua determina los niveles de presiones hidrostáticas sobre una superficie localizada por debajo de ese nivel o los valores de presión negativa o de succión para el suelo por encima (Fig. 5.1), (Suárez, 1998). En taludes naturales de laderas, la línea de nivel freático general sigue una línea aproximadamente paralela a la superficie del terreno y ésta sube por el recargue debido a la infiltración. El agua subsuperficial puede dividirse entre zonas de presión de poros positiva y negativa. Las presiones de poro positivas son superiores y las negativas son inferiores a la presión atmosférica. La línea divisoria es el nivel freático donde la presión es igual a la presión atmosférica, la cual se designa como presión cero. Por debajo del nivel freático el suelo se encuentra saturado, lo cual equivale a que el agua llena todos los poros de los suelos y todas las cavidades de los materiales.

http://www.geo-slope.com/�

60

d) Saturado 80%

b) Saturado

e) Totalmente saturado

c) Saturado 50%

a) Completamente drenado 0% saturado

Fig. 5.1 Saturación y niveles freáticos La elevación del nivel freático de una localidad determinada depende de varios factores, tales como las fluctuaciones de las precipitaciones y de los caudales y fugas de los cuerpos de agua. El nivel de agua puede tener como base el pie del talud o puede estar suspendido por un manto impermeable dentro del talud. En el primer caso las fallas a producirse serán preferentemente de pie, mientras en el caso segundo las fallas tienden a ser a mitad del talud. El nivel freático y en general la presencia de agua en los materiales en la proximidad de la superficie de falla, desempeñan un papel fundamental en la estabilidad y de hecho, hacen algo más complejo el mecanismo para la generación de las fallas. Presión de poros o presión hidrostática: La presión de poros es la presión interna del agua de saturación. La presión de poros dentro del suelo depende de la localización de los niveles freáticos, presiones internas de los acuíferos y las características geológicas del sitio (Fig. 5.2), (Suárez, 1998).

de poros

hw

de falla

Grieta de tensión

Presión

U

V

H Superficie

Fig. 5.2 Presión de poros sobre una superficie de falla potencial

61

La presión de poros varía de acuerdo a las variaciones del régimen de aguas subterráneas. Los incrementos de presión pueden ocurrir rápidamente en el momento de una lluvia, dependiendo de la intensidad de la lluvia, de la tasa de infiltración del área tributaria, etc. Un incremento en la presión de poros positiva o una disminución de la presión negativa, equivale a una reducción de resistencia al cortante y de la estabilidad. 5.1 Concepto de factor de seguridad “Es una medida para conocer cual es el factor de amenaza de que el talud falle en las peores condiciones de comportamiento para el cual se diseña. Fellenius (1927) presenta al factor de seguridad como la relación entre la resistencia al corte real, calculada del material en el talud y los esfuerzos de corte críticos que tratan de producir la falla, a lo largo de una superficie supuesta de posible falla” (Suárez, -1998).

cortealEsfuerzocortealsistenciaSF

____Re. =

En superficies circulares donde existe un centro de giro y momentos resistentes y actuantes, FS es:

∑∑ = DR MM ActuanteMomentoresistenteMomentoSF

__. =

Otro criterio es el de dividir las masa a estudiar en una serie de rodajas, dovelas o bloques y considerar el equilibrio de cada dovela por separado. Una vez realizado el análisis de cada una se evalúan las condiciones de equilibrio de la sumatoria de fuerzas o de momentos.

∑∑=

tecoralEsfuerzoscortealsistencia

SFtan__

__Re.

( )∑=

=

=ni

iiiD senWrM

1* α ( )

+=∆+= ∑∑

=

==

ni

iiiiR NLcrlcrM

1tantan* φφσ

Donde ( r ) es el radio,( W ) peso de la dovela, ( α ) es el ángulo del radio del círculo de falla con la vertical bajo el centro de cada dovela, ( ∆L ) es la longitud del arco de deslizamiento interceptado por la dovela, ( L ) es longitud total del arco, ( c ) y ( φ ) la cohesión y fricción del suelo respectivamente, y Ni la resultante de las fuerzas normales efectivas.

∑

∑=

=

=

=

+= ni

iii

ni

ii

senW

NLcFs

1

1

*

*tan

α

φ

Finalmente al estimar el factor de seguridad mínimo para un problema particular es necesario considerar algunos factores como los señala Jaime Suárez Díaz – (1998): a. Las consecuencias del evento respecto al cual se está aplicando el FS. b. El efecto numérico en el valor de factor de seguridad debido a variaciones en los

parámetros implicados. c. La confiabilidad de los valores medidos o supuestos de los parámetros implicados. d. El aspecto económico del problema, debe tratarse en forma individual. Ejemplo.

62

Después de un abatimiento repentino: 1.20 Talud natural muy antiguo: 1.10 a 1.20 Condiciones de infiltración en régimen establecido: 1.25 Al final de la construcción (Terraplenes y Cortes): 1.30 Pilas de escombros: 1.50 Problemas con edificios: 2.0

e. Un criterio amplio para evaluar FS considera lo siguiente: Si puede ocurrir la pérdida de vidas humanas al fallar el talud 1.7 Si la falla puede producir la pérdida de más del 30% de la inversión de la obra específica o pérdidas económicas considerables. 1.5 Si se pueden producir pérdidas económicas no muy importantes 1.3 Si la falla del talud no causa daños 1.2

5.2 Métodos de análisis

Los métodos empleados para este análisis se fundamentan en que sólo son aplicables para superficies de fallas rotacionales. Esta es una limitante pues no siempre se va encontrar con este tipo específico de deslizamiento. El método de Fellenius y de Bishop Simplificado se emplea para superficies circulares, al contrario del método de Janbú aplicable a todo tipo de superficies curvas no necesariamente circulares. En el presente trabajo de investigación se pudo observar que el tipo de falla es de tipo rotacional por la orientación de los árboles y su deslizamiento forma una superficie cóncava en forma de cuchara, ocasionado por la influencia de aguas superficiales y subterráneas. Siendo esta falla de tipo rotacional, conviene aplicar el análisis de superficies de falla en forma rotacional llamado círculo de deslizamiento. El siguiente diagrama recoge los diferentes métodos de cálculo. Para efectuar el cálculo de estabilidad de un talud lo primero que hay que hacer es suponer qué forma presentará la superficie de rotura, para posteriormente establecer en ella las ecuaciones de equilibrio (ΣX=0; ΣY=0; ΣM=0).

63

En la Tabla 5.1 Tipos de fallas y sus métodos de análisis.

TIPO DE ROTURA METODO DE ANALISIS OBSERVACIONES

Rotura Plana • Métodos gráfico-analíticos (Hoek y Bray. 1981)

Permite efectuar una estimación rápida del factor de Seguridad; aunque realmente ocurre en taludes rocosos.

Rotura en Cuña • Ábacos de estabilidad (Hoek y Bray. 1981) • Métodos analíticos (Hoek y Bray. 1988)

Válido solo para diaclasas fricciónales. Válido para geometrías complejas con superficies planares.

Rotura Circular (Raramente ocurre en taludes rocosos; normalmente se produce en materiales blandos como rocas intensamente fracturadas y meteorizadas, en terraplenes y escombreras de residuos mineros y en suelos)

• Abacos de Estabilidad (Janbú, 1973; (Hoek y Bray. 1981; Duncan et al. 1987) • Método Ordinario de Rebanadas (Fellenius,1927) • Método Modificado de Bishop (1935).

Adecuado para muchos fines: rápido pero requiere interpolación. No satisface el equilibrio de fuerzas, solamente satisface el equilibrio de momentos. Satisface el equilibrio de momentos y el de fuerzas verticales, no satisface el equilibrio de fuerzas horizontales.

Rotura No Circular • Método de Janbú Generalizado (1973). • Método de Morgenstein y Price (1965). • Método de Spencer (1967)

Satisface todas las condiciones de equilibrio. Satisface todas las condiciones de equilibrio. Satisface todas las condiciones de equilibrio, supone que fuerzas laterales son paralelas.

Rotura por Vuelco Vuelco de Bloques Vuelco por Flexión

• Método de Goodman y Bray (1976). • Método de Aydan y Kawamoto, 1992; Adhikary et al. 1996)

Válido para bloques apoyados sobre bases inclinadas. Satisface toda condición, pero precisa calibración de campo.

Los métodos de análisis y desarrollados por el método de las dovelas son los más difundidos, varios autores han desarrollado sus propios procedimientos de cálculo, siendo los más relevantes: Fellenius, Bishop, y Janbú. La diferencia entre los métodos de análisis radica en el análisis de fuerzas horizontales y verticales, siguiendo la teoría del equilibrio límite. Localización de Centro de la superficie de falla y Grieta de Tensión Una vez determinado el nivel de agua presente en el talud, la localización del círculo crítico y la grieta de tensión no es particularmente sensible a la posición de la superficie freática. Los métodos más sofisticados para la localización de fallas circulares con factores mínimos de seguridad, constituyen los métodos iterativos, sin embargo un modo de localizar manualmente el centro de esta falla constituye el empleo de las siguientes gráficas (Fig. 5.3 y Fig. 5.4). HOEK Evert y BRAY John. Rock Slope Engineering. Chapter 9. Page. 240-241

64

H

Y

x

b

Falla por pie del talud

Grieta de

Localización del centro

tensión

crítico del círculo

Fig. 5.3. Localización de la superficie de falla critica y grieta de tensión critica para suelos drenados1 1 HOEK Evert y BRAY John. Rock Slope Engineering. Chapter 9. Page. 240-241

65

Fig. 5. 4. Localización de la superficie de falla critica y grieta de tensión critica para suelos con presencia de agua1.

1 HOEK Evert y BRAY John. Rock Slope Engineering. Chapter 9. Page. 240-241

66

Ejemplo: Si el ángulo de fricción es φ = 10º y el ángulo del talud es 26º, se tiene que las coordenadas de la ubicación del radio para este talud son: X = 0.95 * H = 0.95 (70.24) = 66.78 m. Y = 1.50 * H = 1.50 (70.24) = 105.36 m. Procedimiento general para el análisis de dovelas 1. Dividir la masa deslizante en dovelas. El ancho de cada dovela (∆x o b) debe

seleccionarse para tomar en cuenta los cambios en las propiedades de los materiales, geometría del talud y distribución de la presión de agua. Los cálculos se simplifican si se usa anchos de dovelas iguales pero, si las condiciones lo ameritan se debe tomar anchos de dovela desiguales. Se mide la inclinación α del centro de la base de cada dovela con respecto a la horizontal y el ancho ∆x de cada dovela. Calcular los valores de α, ∆x, c y Tan φ para cada dovela.

2. Calcular el peso la dovela ∆W y el peso promedio de cada dovela por unidad de área γ * Zm. Si la geometría de la rodaja es razonablemente regular, el peso ∆W = γ *Zm * ∆X. Ingresar a la hoja de calculo, hm (Z1, Z2, …..) y ∆W.

3. Calcular la presión de agua en la base de cada dovela y entrar estos valores en la hoja de cálculo. Si hay una grieta de tensión vertical en la última dovela se debe calcularse la fuerza horizontal de agua Q debido al agua en la grieta de tensión.

=

RaZwQ W ***

21 2γ

Donde, a = Brazo de momento para la fuerza Q, desde el centro de la superficie de falla, R = Radio

4. Calcular la fuerza resistente debido a la cohesión del material: C * b * Sec α 5. Calcular la fuerza resistente debido a la fricción del material

( )( ) φαµα TanSecb *)**( Cos *W −

Donde: W * Cos α Componente normal del peso en cada dovela µ * b * Sec α) Fuerza debido a la presión de agua en cada dovela 6. Determinar la fuerza (W * Senα) correspondiente al peso de cada dovela que actúa

como deslizante. 7. Calcular el factor de seguridad FS aplicando la fórmula. 8.

( ) ( )[ ]( )∑

∑+

−+=

QsenWTanSecbWbC

SFα

φαµαα*

***cos*sec*'*.

Si Q es cero entonces FS es:

( ) ( )[ ]∑

∑ −+=

αφαµαα

senWTanSecbWbC

SF*

***cos*sec*'*.

67

5.3 Método de las dovelas de Fellenius Este método asume superficies de falla circulares, divide el área de falla en dovelas verticales, se obtiene las fuerzas actuantes y resultantes para cada dovela y con la sumatoria de estas fuerzas se obtiene el factor de seguridad. “Las fuerzas que actúan sobre una dovela son (Fig. 5.5)” (Jaime Suárez Díaz – 1998). a. El peso o fuerza de gravedad, la cual se puede descomponer en una tangente y una

normal a la superficie de falla. b. Las fuerzas resistentes de cohesión y fricción que actúan en forma tangente a la

superficie de falla. c. Las fuerzas de presión de tierra y cortante en las paredes entre dovelas, las cuales no

son consideradas por Fellenius, pero sí son tenidas en cuenta en otros métodos.

( ) ( )[ ]( )∑

∑+

−+=

QsenWTanSecbWbC

SFα

φαµαα*

***cos*sec*'*.

En donde: α = Ángulo del radio del círculo de falla con la vertical bajo el centro de cada dovela. W = Peso total de cada dovela µ = Presión de poros b = Ancho de la dovela C’ = Parámetros de resistencia del suelo (Cohesión efectiva) φ = Parámetros de resistencia del suelo (Ángulo de fricción interna). Q = Fuerza horizontal de agua debido a una grieta de tensión Si Q = 0

( ) ( )[ ]( )∑

∑ −+=

αφαµαα

senWTanSecbWbC

SF*

***cos*sec*'*.

Este método no tiene en cuenta las fuerzas entre las dovelas y no satisface el equilibrio de fuerzas, tanto para la masa deslizada como para dovelas individuales. Asume que las fuerzas normales ínter dovelas E1 = E2 y fuerzas tangenciales ínter dovelas X1 = X2 son iguales, por lo que es necesario resolver las fuerzas que actúan en la base de la dovela. Sin embargo, este método es muy utilizado por su procedimiento simple. Muy impreciso para taludes planos con alta presión de poros su empleo nos da Factores de seguridad bajos.

68

( b )( a )

h

Tuna longitudrecta con

1R

2E

W

E1

R2x2

W

αR R

RR Sen a

0

A

Bθ 1xb

N´ = N - ul

base que se supone

α

Fig.5.5 Método de las Dovelas.

Procedimiento de Cálculo manual de FS según el método de Fellenius A. Realizar el análisis gráfico:

1. Se dibuja el perfil del terreno, líneas de división de estratos de suelo y el nivel freático (Ver figura 5.6).

2. Luego de realizar una inspección en el campo, se puede asumir ya la trayectoria de la superficie de falla definida por un radio R = 105 m. y centro O (100, 125).

3. Se traza una circunferencia de radio R y centro O con los datos anteriores. 4. Se procede a dividir la sección de la masa de suelo definida por la superficie de falla

en dovelas de un ancho constante b = 10 m. (columna 2), y las numeramos para su tabulación (columna 1).

69

Abs

cisa

8 +

280

19,2314,215,25

R =

105

m.

Cen

tro d

e ra

dio

= (1

00, 1

25)

Fig.

5.6

Aná

lisis

grá

fico

para

el c

alcu

lo m

anua

l del

F.S

Z2 =

0

10

b

X

56

7

8

9

Z3

Z1

0 1

23

4

-1-2

-3Z4

10

R =

radi

o de

l círc

ulo

X =

b =

O =

Z =

anch

o de

la d

ovel

a

dist

anci

a ho

rizon

tal d

el c

entro

de

grav

edad

de

la d

ovel

a al

cen

tro d

el c

írcul

o

cent

ro d

el c

írcul

o

altu

ra d

e la

dov

ela

Niv

el P

iezo

met

rico

OR

= 1

05 m

.

1020

3040

6050

7080

9010

011

012

013

014

015

016

017

018

019

020

021

0

102030405060708090100

110

120

130

130

120

110

100

90 80 70 60 50 40 30 20 10

Esc

ala

1:15

00D

ista

ncia

Hor

izon

tal (

m)

Elevación (m)Aná

lisis

del

mov

imie

nto

de m

asas

en

la V

ía L

oja

- Mal

acat

os

Eje

Vía

Loja

-Mal

acat

os

220

230

SC -

SM

OH

140

150

150

140

70

B. Realizar el análisis matemático: 1. Definir las propiedades de los suelos (peso específico del suelo natural y saturado,

cohesión y ángulo de fricción interna) y el peso específico del agua.

DATOS: Suelo 1 Suelo 2

OH SC - SM Radio r = 105 m Peso específico γ = 12.16 KN/m² 18.44 KN/m² Peso específico saturado γs = 16.48 KN/m² 20.70 KN/m² Cohesión C = 58.86 Kpa 34.34 Kpa Ang. Fric. Int φ = 6 º 10 º Tan < fric Tan φ = 0.1052 0.176 Peso específico agua γw = 10 KN/m²

1. Procedemos a calcular los brazos de momento x de cada dovela respecto al centro O

(columna 3).

4,35

8,62

1,45

W

Suelo: OH Limos de alta plasticidadPeso especifico = 12.16 Kn/m2 Peso especifico Saturado = 12.16 Kn/m2Angulo de fricción = 6'Cohesión = 58.86 KPa

Dovela 10

2. Se calcula el ángulo α formado entre la horizontal y el arco de dovela semejante a una línea (columna 4). A continuación calculamos Sen α (columna 5), Cos α (columna 6) y Sec α (columna 7).

º718.66105

45.9611

=

=

= −−

α

α SenRXsen

∑∑+=

AXA

XX*

10

( ) ( )( )2/35.4*62.8

3/35.4*2/35.4*62.89510 +=X

X10 = 95+1.45 = 96.45 m.

71

( )

( )

532.2395.01

cos1

395.0718.66cos

919.0718.66

=

==

==

==

αα

α

α

Sec

Cos

senSen

3. Se calcula la longitud de la dovela (columna 8) L = b * Sec α.

.01.11532.2*35.4 mL ==

4. Se determina las alturas en la dovela correspondientes a la división entre estratos de suelo seco Z1 (columna 9), Z3 (columna14) y saturado Z2 (columna 11), Z4 (columna16) definido por el nivel freático. Z1 = 8.62 m. Z2 = 0.00 m. Z3 = 0.00 m. Z4 = 0.00 m.

5. Se calcula el peso de la dovela W (columna 19) como la sumatoria de pesos W1 (columna 10), W2 (columna12), W3 (columna 15) y W4 (columna 17) para sus respectivas alturas Z1 a Z4 y su correspondiente peso específico, con la fórmula.

BZW **1 γ= 4321 WWWWW +++= W = (12.16 * (4.35 * 8.62 / 2)) + (16.48 * 4.35 * 0.0) + (18.44 *4.35 * 0.0) + (20.70 * 4.35 * 0.00) = 227.98 KN/m

6. Se calcula la presión de poros µ (columna 20) como la sumatoria de presión de poros para cada estrato µ1 (columna 13) y µ2 (columna 18) afectados por el nivel freático y por su correspondiente altura Z, así: µ = γW * Z.

21 µµµ += µ= (10 * 0.00)+ (10* 0.00) = 0

7. Se calcula la fuerza normal debida al peso W*Cos α (columna 21).

05.90cos*395.0*98.227cos*

==

αα

WW

8. Se calcula la fuerza desestabilizadora resistente tangencial debida a la presión de poros

(columna 22) con la fórmula.

mKNFub

/00.0532.2*0sec**Fu

=== αµ

9. Calcular la resultante de las fuerzas normales efectivas a la superficie de cada dovela

(columna 23). ( )

./05.9000.005.90'cos*'

mKNNFuWN=−=

−= α

10. Luego calculamos la fuerza resistente debida a la fricción del suelo (columna24) con

la fórmula.

mKNFtagNF

/48.9105.0*05.90'*

===

φφφ

72

11. Se calcula la fuerza debida a la cohesión (columna 25) con la fórmula.

./28.648532.2*35.4*86.58*'*

mKNFcSecbCFc

=== α

12. Finalmente se calcula la fuerza desestabilizadora (columna 26) con la fórmula.

52.209919.0*98.227Sen *W

===

TT α

13. Proceder a calcular los datos para cada una de las dovelas restantes, siguiendo los

pasos anteriores del 1 a 12 con la única diferencia de considerar la forma de la figura geométrica para calcular el brazo de momento x.

37,0

5

39,9

8

10

T = W* sen α

S

DOVELA 5

N = W* cos α - µ * bα

W

Suelo: SC-SM Arenas ArcillosasPeso especifico = 18.44 Kn/m2 Peso especifico Saturado = 20.70 Kn/m2Angulo de fricción = 10'Cohesión = 34.34 KPa

2,49

5,43

Z4 = hw

Z3

Z2 = 0

Z1 Suelo: OH Limos de alta plasticidadPeso especifico = 12.16 Kn/m2 Peso especifico Saturado = 12.16 Kn/m2Angulo de fricción = 6'Cohesión = 58.86 KPa

19,1

914

,21

5,25

Ejemplo.

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

49.94m. 94.445 X5

2/10*43.510*55.342/10*49.23/10*2/10*43.52/10*10*55.343/2*10*2/10*49.245

*

5

5

=+=

++++

+=

+=∑

∑

X

AXA

XX

∴ El brazo de momento para la dovela Nº 5 es: X = 49.88 m. ≈ 50.0 m. Z1 = 5.27 m. Z2 = 0.00 m. Z3 = 14.21 m. Z4 = 19.19 m.

73

14. Elaborar con todos los datos calculados en los pasos 1 a 13 una tabla como la siguiente (Tabla 5.2).

15. Calcular el factor de seguridad (FS) con la fórmula:

( ) ( )[ ]

( )

( )

65.046.20905

84.707567.6458.

.

*'tan*****'*.

=+

=

+=

−+=

∑∑

∑ ∑

SF

TFFc

SF

senWSecbCosWSecbCSF

φ

αφαµαα

FS = 0.65

74

TAB

LA 4

.2 C

ÁLC

ULO

PO

R E

L M

ETO

DO

DE

FELL

ENIU

S

DA

TOS:

Suel

o 1

Suel

o 2

RES

ULT

AD

O:

OH

SC -

SMR

adio

r =10

5m

F.S.

Fel

leni

us =

0.65

Den

sida

dγ

=12

.16

KN/m

²18

.44

KN/m

²D

ensi

dad

sat

γs =

16.4

8KN

/m²

20.7

0KN

/m²

Coh

esió

nC

=58

.86

Kpa

34.3

4Kp

aA

ng. F

ric. I

ntφ

=6

º10

ºTa

n <

fric

Tan

φ =

0.10

50.

176

YmYm

=10

KN/m

²

Nº D

atos

Nº D

ovel

ab

xα

= a

rsen

(x/r)

Sen

αC

os α

Sec

αL

= b

* Sec

αZ1

W1

= γ

∗ Z1

* b

Z2W

2 =

γ ∗

Z2*

bµ 1

= Y

w *

Z2Z3

W3

= γ

* Z3

* b

Z4W

4 =

γs *

Z4 *

bµ 2

= Y

w *

Z4(m

)(m

)gr

ados

(m)

KN

/m(m

)K

N/m

KN

/m²

(m)

KN

/m(m

)K

N/m

KN

/m²

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

110

4.35

96.4

566

.72

0.91

90.

395

2.53

211

.01

5.00

264.

480.

000.

000.

000.

000.

000.

000.

000.

002

910

89.3

158

.28

0.85

10.

526

1.90

119

.01

15.5

618

92.1

00.

000.

000.

000.

000.

000.

000.

000.

003

810

79.7

449

.42

0.75

90.

651

1.53

615

.36

15.9

219

35.8

70.

000.

000.

002.

8051

6.32

6.22

1287

.54

62.2

04

710

69.8

741

.72

0.66

50.

746

1.34

013

.40

12.1

214

73.7

90.

000.

000.

005.

9711

00.8

712

.95

2680

.65

129.

505

610

59.9

034

.79

0.57

10.

821

1.21

812

.18

8.11

986.

180.

000.

000.

009.

9218

29.2

516

.98

3514

.86

169.

806

510

49.9

428

.40

0.47

60.

880

1.13

611

.36

5.27

640.

830.

000.

000.

0014

.21

2620

.32

19.2

339

80.6

119

2.30

74

1039

.97

22.3

80.

381

0.92

51.

081

10.8

11.

4717

8.75

0.00

0.00

0.00

19.4

335

82.8

920

.05

4150

.35

200.

508

310

30.1

116

.67

0.28

70.

958

1.04

410

.44

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

19.1

735

34.9

519

.28

3990

.96

192.

809

210

20.1

311

.06

0.19

20.

981

1.01

910

.19

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

16.7

630

90.5

417

.42

3605

.94

174.

2010

110

10.1

95.

570.

097

0.99

51.

005

10.0

50.

000.

000.

000.

000.

0011

.48

2116

.91

11.2

623

30.8

211

2.60

110

100.

190.

110.

002

1.00

01.

000

10.0

00.

000.

000.

000.

000.

0012

.15

2240

.46

9.54

1974

.78

95.4

012

-110

-9.7

9-5

.35

-0.0

930.

996

1.00

410

.04

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

13.6

925

24.4

44.

1185

0.77

41.1

013

-210

-19.

65-1

0.79

-0.1

870.

982

1.01

810

.18

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

11.5

921

37.2

00.

000.

000.

0014

-312

.1-2

9.26

-16.

19-0

.279

0.96

01.

042

12.6

10.

000.

000.

000.

000.

008.

5018

96.5

50.

000.

000.

00

SUEL

O 1

: OH

SUEL

O 2

: SC

- SM

()

()

()

[]

∑∑

−+

=Se

nα*

WTa

nφa

*Se

cα*

b*

μC

osα

*W

Secα

*C

'*b

FS

75

W =

W1+

W2+

W3+

W4

µ =

µ1 +

µ2

N =

W ∗

Cos

αFu

= µ

* b

* Sec

αN

' =( W

*Cos

α) -

Fu

Fφ =

N' ∗

tag

φFc

= C

' * b

* Se

c α

T =

W *

Sen

α

KN

/mK

N/m

²K

N/m

KN

/mK

N/m

KN

/mK

N/m

KN

/m19

2021

2223

2425

2626

4.48

0.00

104.

470.

0010

4.47

10.9

764

8.28

243.

0618

92.1

00.

0099

5.24

0.00

995.

2410

4.5

1118

.93

1610

.18

3739

.73

62.2

024

34.5

695

5.39

1479

.17

260.

3352

7.46

2838

.46

5255

.31

129.

5039

20.4

617

35.3

021

85.1

638

4.59

460.

1634

94.7

863

30.2

916

9.80

5197

.17

2068

.16

3129

.01

550.

7141

8.26

3614

.60

7241

.76

192.

3063

72.7

521

84.5

341

88.2

273

7.13

390.

1034

47.0

879

11.9

920

0.50

7318

.59

2167

.41

5151

.18

906.

6137

1.22

3014

.47

7525

.91

192.

8072

09.8

220

12.8

351

96.9

991

4.67

358.

5121

59.9

466

96.4

817

4.20

6569

.25

1775

.10

4794

.15

843.

7734

9.92

1285

.72

4447

.73

112.

6044

25.4

911

31.6

332

93.8

657

9.72

345.

1243

1.43

4215

.24

95.4

042

15.2

495

4.00

3261

.24

573.

9834

3.40

8.43

3375

.21

41.1

033

61.7

141

2.64

2949

.07

519.

0434

4.77

-313

.89

2137

.20

0.00

2098

.73

0.00

2098

.73

369.

3834

9.58

-399

.66

1896

.55

0.00

1820

.69

0.00

1820

.69

320.

4443

2.96

-529

.14

Sum

ator

ia70

75.8

464

58.6

720

905.

46

TOTA

LES

76

5.4 Método de A. W. BISHOP En este método además de resolver las fuerzas que actúan en la base de la dovela considera el efecto de las fuerzas entre las dovelas; se puede suponer que las fuerzas ínter dovelas tangenciales (fuerzas de cortante) son iguales y opuestas, esto es, X1 = X2, pero que E1 ≠ E2, es decir las fuerzas normales ínter dovelas son desiguales (Fig. 5.6). Para expresar las fuerzas tangenciales se debe asumir un factor de seguridad inicial al cálculo, característica que convierte al método en iterativo por estar presente FS en ambos lados de la ecuación. La solución rigurosa de BISHOP es muy compleja y por esta razón se utiliza una solución simplificada de su método, de acuerdo a la expresión.

( ) ( )[ ]( )∑ ∑ +

−+=

QsenWbWbCSFα

ηφµ*

/'tan**'*.

Donde:

+=

SFCos

.tan*tan1* φααη

=

RaZwQ W ***

21 2γ

b = Ancho de la dovela W = Peso de cada dovela C’, φ = Parámetros de resistencia del suelo (cohesión, ángulo de fricción interna) µ = Presión de poros en la base de cada dovela = µ = γw * hw α = Ángulo del radio y la vertical en cada dovela. Q = Fuerza horizontal de agua debido a una grieta de tensión Si Q = cero,

( ) ( )[ ]( )∑ ∑−+

=α

ηφµsenW

bWbCSF*

/'tan**'*.

Fig. 5.6 Interpretación gráfica del Método de Bishop.

77

Este método es un método de tanteos el cual se comienza asumiendo un factor de seguridad hasta igualar la ecuación. Este método es muy aceptado por la mayoría de profesionales, su rango de error con respecto a métodos más exactos como el de Spencer y Morgenstern – Price es del 3 %, con excepción en casos muy ocasionales y raros con círculos de falla de base profunda y FS menor que la unidad (Roy Whitlow (1998). Procedimiento de Cálculo manual de FS según el método de Bishop A. Realizar el análisis gráfico:

El análisis gráfico a realizar, es el mismo procedimiento descrito en Método de Fellenius (pág. 77) y la figura 4.6.

B. Realizar el análisis matemático: 1. Definir las propiedades de los suelos (Peso específico del suelo natural y saturado,





(columna 3).

4,35

8,62

1,45

W


Dovela 10

∑∑+=

AXA

XX*

10

( ) ( )

( )2/35.4*62.83/35.4*2/35.4*62.89510 +=X

X10 = 95+1.45 = 96.45 m.

78

3. Calcular el ángulo α formado entre la horizontal y el arco de dovela semejante a una línea (columna 4). A continuación calculamos Sen α (columna 5), Cos α (columna 6), Sec α (columna 7) y Tan α (columna 8).

º718.66105

45.9611

=

=

= −−

α

α SenRXsen

( )

( )

( ) 324.2718.66

532.2395.01

cos1

395.0718.66cos

919.0718.66

==

=

==

==

==

TanTan

Sec

Cos

senSen

α

αα

α

α

4. Calcular la longitud de la dovela (columna 9) L = b * Sec α.

.01.11532.2*35.4 mL ==

5. Se determina las alturas en la dovela correspondientes a la división entre estratos de

suelo seco Z1 (columna 10), Z3 (columna 15) y saturado Z2 (columna 12), Z4 (columna 17) definido por el nivel freático. Z1 = 8.62 m. Z2 = 0.00 m. Z3 = 0.00 m. Z4 = 0.00 m.

6. Calcular el peso de la dovela W (20) como la sumatoria de pesos W1 (11), W2 (columna 13), W3 (columna 16) y W4 (columna 18) para sus respectivas alturas Z1 a Z4 y su correspondiente peso específico, con la fórmula.

BZW **1 γ= 4321 WWWWW +++=

W = (12.16 * (4.35 * 8.62 / 2)) + (16.48 * 4.35 * 0.0) + (18.44 *4.35 * 0.0) + (20.70 * 4.35 * 0.00) = 227.98 KN/m

7. Calcular la presión de poros µ (columna 21) como la sumatoria de presión de poros para cada estrato µ1 (columna 14) y µ2 (columna 19) afectados por el nivel freático y por su correspondiente altura Z, así: ww Z*γµ =

21 µµµ += µ= (10 * 0.00)+ (10* 0.00) = 0

8. Calcular la fuerza Fu (columna 22) debido a la presión de poros con la fórmula.

mKNFub

/00.035.4*00.0*Fu

=== µ

79

9. Calcular la resultante de las fuerzas correspondientes al peso menos la presión de poros (columna 23) con la formula: ( )bW *µ−

( ) ./98.22700.099.227* mKNbW =−=− µ

10. Calcular la fuerza estabilizadora Fφ (columna 24) debido a la fricción con la fórmula:

( )( )

./94.23105.0*98.227tan**

mKNFbWF

==−=

φφµφ

11. Calcular la fuerza estabilizadora Fc (columna 25) debido a la cohesión del suelo con

la fórmula:

./04.25635.4*86.58'*

mKNFcbCFc

===

12. Calcular la fuerza total estabilizadora (columna 26) debido a las propiedades de

resistencia del suelo con la formula.

./98.27994.2304.256 mKNFFc =+=+ φ

13. Calcular el producto de la tangente entre el ángulo de fricción del suelo y el ángulo α (columna 27).

244.0105.0*324.2tan*tan ==φα

14. Calcular η (columna 28) para un Factor de seguridad inicial Fs = 1 con la fórmula.

+=

FsTanTan '*1*cos φααη 491.0

1244.01*395.0 =

+=η

15. Calcular (Fc + Fφ) / η (columna 29) con la fórmula.

22.570491.0

98.279==

+η

φFFc

16. Calcular la fuerza tangencial desestabilizadora debida al peso T (columna 30) con la

formula.

mKNTsenWT

/52.209919.0*98.227*

=== α


pasos anteriores del 1 a 16 con la única diferencia, de consideran la forma de la figura geométrica para calcular el brazo de momento x.

80

Ejemplo.

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

49.94m. 94.445 X5

2/10*43.510*55.342/10*49.23/10*2/10*43.52/10*10*55.343/2*10*2/10*49.245

*

5

5

=+=

++++

+=

+=∑

∑

X

AXA

XX


W


2,49

5,43

Z4 = hw

Z3

Z2 = 0


19,1

914

,21

5,25

37,0

5

39,9

8

10

T = W* sen α

S

DOVELA 5

Ejemplo.

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

49.94m. 94.445 X5

2/10*43.510*55.342/10*49.23/10*2/10*43.52/10*10*55.343/2*10*2/10*49.245

*

5

5

=+=

++++

+=

+=∑

∑

X

AXA

XX


18. Elaborar con todos los datos calculados en los pasos 1 a 17 una tabla (Tabla 5.3).

81

TAB

LA 4

.3 C

ÁLC

ULO

PO

R E

L M

ETO

DO

DE

BIS

HO

P

DA

TOS:

Suel

o 1

Suel

o 2

RES

ULT

ADO

:O

HSC

- SM

Rad

ior =

105

mF.

S. B

ishop

=0.

70D

ensi

dad

γ =

12.1

6KN

/m²

18.4

4KN

/m²

Den

sida

d sa

tγs

=16

.48

KN/m

²20

.70

KN/m

²C

ohes

ión

C =

58.8

6Kp

a34

.34

Kpa

Ang.

Fric

. Int

φ =

6º

10º

Tan

< fr

icTa

n φ

=0.

105

0.17

6Ym

Ym =

10KN

/m²

Nº D

atos

Nº D

ovel

ab

xα

= a

rsen

(x/r)

Sen

αC

os α

Sec

αTa

n α

Z1W

1 =

γ * Z

1 * b

Z2W

2 =

γs* Z

2 * b

µ 1 =

Yw

* Z2

Z3W

3 =

γ * Z

3 * b

Z4W

4= γs

* Z4

* bµ 2

= Y

w *

Z4(m

)(m

)gr

ados

(m)

KN

/m(m

)K

N/m

KN

/m²

(m)

KN

/m(m

)K

N/m

KN

/m²

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

191

104.

3596

.45

66.7

180.

919

0.39

52.

532

2.32

411

.01

5.00

264.

480.

000.

000.

000.

000.

000.

000.

000

29

1089

.31

58.2

740.

851

0.52

61.

901

1.61

719

.01

15.5

618

92.1

00.

000.

000.

000.

000.

000.

000.

000

38

1079

.74

49.4

140.

759

0.65

11.

536

1.16

715

.36

15.9

219

35.8

70.

000.

000.

002.

8051

6.32

6.22

1287

.54

62.2

47

1069

.87

41.7

150.

665

0.74

61.

340

0.89

113

.40

12.1

214

73.7

90.

000.

000.

005.

9711

00.8

712

.95

2680

.65

129.

55

610

59.9

034

.783

0.57

00.

821

1.21

80.

695

12.1

88.

1198

6.18

0.00

0.00

0.00

9.92

1829

.25

16.9

835

14.8

616

9.8

65

1049

.94

28.4

000.

476

0.88

01.

136

0.54

111

.36

5.27

640.

830.

000.

000.

0014

.21

2620

.32

19.2

339

80.6

119

2.3

74

1039

.97

22.3

750.

381

0.92

51.

081

0.41

210

.81

1.47

178.

750.

000.

000.

0019

.43

3582

.89

20.0

541

50.3

520

0.5

83

1030

.11

16.6

640.

287

0.95

81.

044

0.29

910

.44

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

19.1

735

34.9

519

.28

3990

.96

192.

89

210

20.1

311

.053

0.19

20.

981

1.01

90.

195

10.1

90.

000.

000.

000.

000.

0016

.76

3090

.54

17.4

236

05.9

417

4.2

101

1010

.19

5.56

90.

097

0.99

51.

005

0.09

810

.05

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

11.4

821

16.9

111

.26

2330

.82

112.

611

010

0.19

0.10

40.

002

1.00

01.

000

0.00

210

.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

12.1

522

40.4

69.

5419

74.7

895

.412

-110

-9.7

9-5

.350

-0.0

930.

996

1.00

4-0

.094

10.0

40.

000.

000.

000.

000.

0013

.69

2524

.44

4.11

850.

7741

.113

-210

-19.

65-1

0.78

6-0

.187

0.98

21.

018

-0.1

9110

.18

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

11.5

921

37.2

00.

000.

000

14-3

12.1

-29.

26-1

6.18

1-0

.279

0.96

01.

042

-0.2

9012

.60

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

8.50

1896

.55

0.00

0.00

0

SUEL

O 1

: OH

SUEL

O 2

: SC

- SM

L =

b/co

s α

()

()

[]

()

()

∑∑∑

∑

+=

−+

=

T/η

FφFc

F.S

senα

*W

/ηta

nφa

*b

*μ

WC

'*b

F.S

82

Supu

esto

Fs

=0.

70W

= W

1+W

2+W

3+W

4µ

= µ1

+ µ

2Fu

=µ

* bW

− (

µ * b

)Fφ

=W

− (

µ * b

)*ta

g φ

Fc =

C'

* bFc

+ F

φTa

n α

* Ta

n φ

η(F

c+Fφ

)/ηT

= W

* Se

n α

KN

/mK

N/m

²K

N/m

KN

/mK

N/m

KN

/mK

N/m

KN

/m20

2122

2324

2526

2728

2930

264.

480.

000

264.

4827

.77

256.

0428

3.81

0.24

40.

533

532.

4824

3.06

1892

.10

0.00

018

92.1

019

8.67

588.

6078

7.27

0.17

0.65

412

03.7

816

10.1

837

39.7

362

.20

622

3117

.73

548.

7234

3.40

892.

120.

205

0.84

210

59.5

228

38.4

652

55.3

112

9.50

1295

3960

.31

697.

0134

3.40

1040

.41

0.15

70.

913

1139

.55

3494

.78

6330

.29

169.

8016

9846

32.2

981

5.28

343.

4011

58.6

80.

122

0.96

412

01.9

536

08.2

772

41.7

619

2.30

1923

5318

.76

936.

1034

3.40

1279

.50

0.09

50.

999

1280

.78

3447

.08

7911

.99

200.

5020

0559

06.9

910

39.6

334

3.40

1383

.03

0.07

31.

021

1354

.58

3014

.47

7525

.91

192.

8019

2855

97.9

198

5.23

343.

4013

28.6

30.

053

1.03

112

88.6

821

59.9

466

96.4

817

4.20

1742

4954

.48

871.

9934

3.40

1215

.39

0.03

41.

029

1181

.14

1285

.72

4447

.73

112.

6011

2633

21.7

358

4.62

343.

4092

8.02

0.01

71.

019

910.

7243

1.43

4215

.24

95.4

095

432

61.2

457

3.98

343.

4091

7.38

0.00

01.

000

917.

388.

4333

75.2

141

.10

411

2964

.21

521.

7034

3.40

865.

10-0

.017

0.97

289

0.02

-313

.89

2137

.20

0.00

021

37.2

037

6.15

343.

4071

9.55

-0.0

340.

934

770.

40-3

99.6

618

96.5

50.

000

1896

.55

333.

7941

5.51

749.

30-0

.051

0.89

841.

91-5

29.1

4Su

mat

oria

1457

2.89

2089

9.13

TOTA

LES

+=

FsT

anφ

a*

Tan

α1

*co

sαη

83

19. Calcular el factor de seguridad FS con la fórmula:

( ) ( )[ ]( )

( )

70.013.2089989.14572.

/.

*/'tan**'*.

==

+=

−+=

∑∑

∑ ∑

SF

TFFc

SF

senWbWbCSF

ηφ

αηφµ

Comparamos: FSCalculado = FSimpuesto. 0.70 ≠ 1

20. Repetir el procedimiento los pasos 14 y 15 para un nuevo FS = 0.72 y comprobar su Factor de seguridad calculado, de ser el caso repetir la tabla las columnas 28, 29 y 30. En caso de no igualarse el valor del factor de seguridad calculado con el impuesto repetir los pasos 14 y 15 para el último factor calculado hasta que se iguale sus valores.

Supuesto FS = 0.76

η (Fc+Fφ)/η

T = W * Sen α (KN/m)

28 29 30 0.522 536.36 209.51 0.644 1068.23 805.09 0.827 872.74 2103.80

0.9 1011.91 3004.75 0.953 1124.76 3327.20 0.99 1235.46 3294.56

1.014 1348.42 2980.42 1.025 1296.22 2159.94 1.025 1185.75 1285.72 1.017 912.51 431.43 1.000 917.38 8.43 0.974 888.19 -313.89 0.938 767.11 -399.66 0.896 685.73 -315.30

Sumatoria 13850.77 18582.00

21. El factor de seguridad calculado es:

FS = (13850.77/18582.00) = 0.75

FSCalculado = FSimpuesto.

0.70 ≠ 0.75

∴ Realizar un nuevo cálculo para el último FS.

22. Si FS = 0.70:

84

Supuesto Fs = 0.70 η

(Fc+Fφ)/η

T = W * Sen α (KN/m)

28 29 30 0.533 532.48 243.06 0.654 1203.78 1610.18 0.842 1059.52 2838.46 0.913 1139.55 3494.78 0.964 1201.95 3608.27 0.999 1280.78 3447.08 1.021 1354.58 3014.47 1.031 1288.68 2159.94 1.029 1181.14 1285.72 1.019 910.72 431.43 1.000 917.38 8.43 0.972 890.02 -313.89 0.934 770.40 -399.66 0.89 841.91 -529.14

Sumatoria 14572.89 20899.13 El factor de seguridad calculado es. FS = (14572.89/20899.13) = 0.70

FSCalculado = FSimpuesto.

0.70 = 0.70

∴ Respuesta: FS = 0.70

5.5 Método de Janbú Janbú (1973) presenta un método de dovelas para superficies de fallas curvas, no necesariamente circulares. Cuando las propiedades del suelo o masa de roca deslizada varían a lo largo del talud o cuando la forma de la superficie de falla no es circular (Fig. 5.8), como el resultado de alguna falla estructural de la interfaz del suelo/roca se puede aplicar este método. El método de análisis de Janbú para superficies de falla curvas en taludes es uno de los métodos más versátil disponibles, presenta facilidad para la solución de problemas en el cálculo manual. Al igual que Bishop este método asume que no hay fuerza de cortante entre dovelas, y su solución no satisface completamente las condiciones de equilibrio de momentos. Sin embargo, Janbú utiliza un factor de corrección fo (Fig. 5.7) para tener en cuenta este posible error. Los valores de factores de seguridad obtenidos mediante este método son bajos.

85

Fig.5.7 Interpretación gráfica del Método de Janbú. Fuente: www.aimecuador.org/capacitacion/archivos_pdf/Estabilidad_de_taludes.pdf

Su deducción matemática esta representada por la siguiente fórmula:

( )[ ]

( )∑ +

−+

=QW

mabWbCfo

SFα

αφµ

tan**cos

1*tan**'**.

ò

( )[ ]{ }( )∑ +

−+=

QWbWbCfoSF

αηφµ

tan**tan**'**.

Donde ma*cos

1α

η =

+=

FsTanTanma '*1*cos φαα

fo = depende de la curvatura de la superficie de falla.

−+=

2

4.11Ld

Ldkfo Para c’ = 0 ⇒ k = 0.31

Para c’ > 0, φ’>0 ⇒ k = 0.50

Q = fuerza horizontal de agua debido a una grieta de tensión.

=

RaZwQ W ***

21 2γ

Si Q = 0, entonces: ( )[ ]{ }( )∑

−+=

αηφµ

tan**tan**'**.

WbWbCfoSF

86

d

L

Superficie curvo no circular

C = f

C = 0

0.40.30.20.101.0

Suelos granulares

Suelos Mixtos

f = 0Suelos Cohesivos

1.1

1.2

f o

d / L

Fig. 5.8 Diagrama para determinar el factor fo para el método de Janbú.

Generalmente el método de Janbú con respecto a métodos más precisos como Spencer y Morgenstern – Price difieren en FS, es así que en ocasiones subestima el factor de seguridad en un 30 % y en algunos casos sobreestima hasta en un 5 % (Suárez Días – 1998). Procedimiento de Cálculo manual de FS según el método de Janbú

A. Realizar el análisis gráfico: El análisis gráfico a realizar, es el mismo procedimiento descrito para el Método de Fellenius.

B. Realizar el análisis matemático: 1. Definir las propiedades de los suelos (peso específico del suelo natural y saturado,




87


(columna 3).

4,35

8,62

1,45

W


Dovela 10

3. Calcular el ángulo α formado entre la horizontal y el arco de dovela semejante a una línea (columna 4). A continuación calculamos Sen α (columna 5), Cos α (columna 6), Sec α (columna 7) y Tan α (columna 8).

º718.66105

45.9611

=

=

= −−

α

α SenRXsen

( )

( )

( ) 324.2718.66

532.2395.01

cos1

395.0718.66cos

919.0718.66

==

=

==

==

==

TanTan

Sec

Cos

senSen

α

αα

α

α

4. Calcular la longitud de la dovela (columna 9) L = b * Sec α. .01.11532.2*35.4 mL ==

5. Se determina las alturas en la dovela correspondientes a la división entre estratos de

suelo seco Z1 (columna 10), Z3 (columna 15) y saturado Z2 (columna 12), Z4 (columna 17) definido por el nivel freático. Z1 = 8.62 m. Z2 = 0.00 m. Z3 = 0.00 m. Z4 = 0.00 m.

∑∑+=

AXA

XX*

10

( ) ( )( )2/35.4*62.8

3/35.4*2/35.4*62.89510 +=X

X10 = 95+1.45 = 96.45 m.

88

6. Calcular el peso de la dovela W (20) como la sumatoria de pesos W1 (11), W2 (columna 13), W3 (columna 16) y W4 (columna 18) para sus respectivas alturas Z1 a Z4 y su correspondiente peso específico, con la fórmula.

BZW **1 γ= 4321 WWWWW +++= W = (12.16 * (4.35 * 8.62 / 2)) + (16.48 * 4.35 * 0.0) + (18.44 *4.35 * 0.0) + (20.70 * 4.35 * 0.00) = 227.98 KN/m

7. Calcular la presión de poros µ (columna 21) como la sumatoria de presión de poros para cada estrato µ1 (columna 14) y µ2 (columna 19) afectados por el nivel freático y por su correspondiente altura Z, así: ww Z*γµ =

21 µµµ += µ= (10 * 0.00)+ (10* 0.00) = 0

8. Calcular la fuerza Fu (columna 22) debido a la presión de poros con la fórmula.

mKNFub

/00.035.4*00.0*Fu

=== µ

9. Calcular la resultante de las fuerzas correspondientes al peso menos presión de poros

(columna 23) con la fórmula: ( )bW *µ− ( ) ./98.22700.099.227* mKNbW =−=− µ

10. Calcular la fuerza estabilizadora Fφ (columna 24) debido a la fricción con la fórmula:

( )( )./94.23105.0*98.227

tan**mKNF

bWF==

−=φ

φµφ

11. Calcular la fuerza estabilizadora Fc (columna 25) debido a la cohesión del suelo con la

fórmula:

./04.25635.4*86.58'*

mKNFcbCFc

===

12. Calcular la fuerza total estabilizadora (columna 26) debido a las propiedades de resistencia del suelo con la fórmula.

./98.27994.2304.256 mKNFFc =+=+ φ

13. Calcular el producto de la tangente entre el ángulo de fricción del suelo y el ángulo α (columna 27).

244.0105.0*324.2tan*tan ==φα

14. Calcular ma (columna 28) para un factor de seguridad inicial Fs = 1 con la fórmula.

+=

FsTanTanma '*1*cos φαα 491.0

1244.01*395.0 =

+=ma

15. Calcular η (columna 29) con la fórmula.

ma*cos1

αη = 17.5

491.0*395.01

==η

89

16. Calcular (Fc + Fφ) * η (columna 30) con la fórmula. ( ) 50.144717.5*98.279* ==+ ηφFFc

17. Calcular la fuerza tangencial desestabilizadora debida al peso T (columna 31) con la

fórmula.

2/83.529324.2*98.227*

mKNTTanWT

=== α


pasos anteriores del 1 a 17 con la única diferencia, de considerar la forma de la figura geométrica para calcular el brazo de momento x.


W


2,49

5,43

Z4 = hw

Z3

Z2 = 0


19,1

914

,21

5,25

37,0

5

39,9

8

10

T = W* sen α

S

DOVELA 5

Ejemplo.

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

49.94m. 94.445 X5

2/10*43.510*55.342/10*49.23/10*2/10*43.52/10*10*55.343/2*10*2/10*49.245

*

5

5

=+=

++++

+=

+=∑

∑

X

AXA

XX

90

Para calcular el brazo de momento X de las dovelas B H X AREA A * X m. m. m. m2.

10.00 2.49 6.67 24.90 166.00 10.00 34.55 5.00 345.50 1727.50 10.00 5.43 3.33 54.30 181.00 Suma: 424.70 2074.50 X = 4.88 m.


19. Elaborar con todos los datos calculados en los pasos 1 a 18 una tabla (Tabla 5.4).

91

TAB

LA 4

.4 C

ÁLC

ULO

PO

R E

L M

ETO

DO

DE

JAN

BÚ

DA

TOS:

Suel

o 1

Suel

o 2

RES

ULT

AD

O:

OH

SC -

SMF.

S. J

ambu

=0.

67R

adio

r =10

5m

Den

sida

dγ

=12

.16

KN/m

²18

.44

KN/m

²D

ensi

dad

sat

γs =

16.4

8KN

/m²

20.7

0KN

/m²

Coh

esió

nC

=58

.86

Kpa

34.3

4Kp

aA

ng. F

ric. I

ntφ

=6

º10

ºTa

n <

fric

Tan

φ =

0.10

50.

176

YmYm

=10

KN/m

²

Nº D

atos

Nº D

ovel

ab

xα

= a

rsen

(x/r)

Cos

αSe

c α

Tan

αl =

b/c

os α

Z1W

1 =

γ * Z

1 * b

Z2W

2 =

γs* Z

2 * b

µ 1 =

Yw

* Z2

Z3W

3 =

γ * Z

3 * b

Z4W

4= γ

s* Z

4 * b

µ 2 =

Yw

* Z4

(m)

(m)

grad

os(m

)K

N/m

(m)

KN

/mK

N/m

²(m

)K

N/m

(m)

KN

/mK

N/m

²1

23

46

78

910

1112

1314

1516

1718

191

104.

3596

.45

66.7

20.

395

2.53

22.

324

11.0

15.

0026

4.48

0.00

0.00

00.

000.

000.

000.

000

29

1089

.31

58.2

70.

526

1.90

11.

617

19.0

115

.56

1892

.10

0.00

0.00

00.

000.

000.

000.

000

38

1079

.74

49.4

10.

651

1.53

61.

167

15.3

615

.92

1935

.87

0.00

0.00

02.

8051

6.32

6.22

1287

.54

62.2

47

1069

.87

41.7

20.

746

1.34

00.

892

13.4

012

.12

1473

.79

0.00

0.00

05.

9711

00.8

712

.95

2680

.65

129.

55

610

59.9

034

.78

0.82

11.

218

0.69

512

.18

8.11

986.

180.

000.

000

9.92

1829

.25

16.9

835

14.8

616

9.8

65

1049

.94

28.4

00.

880

1.13

60.

541

11.3

65.

2764

0.83

0.00

0.00

014

.21

2620

.32

19.2

339

80.6

119

2.3

74

1039

.97

22.3

70.

925

1.08

10.

412

10.8

11.

4717

8.75

0.00

0.00

019

.43

3582

.89

20.0

541

50.3

520

0.5

83

1030

.11

16.6

60.

958

1.04

40.

299

10.4

40.

000.

000.

000.

000

19.1

735

34.9

519

.28

3990

.96

192.

89

210

20.1

311

.05

0.98

11.

019

0.19

510

.19

0.00

0.00

0.00

0.00

016

.76

3090

.54

17.4

236

05.9

417

4.2

101

1010

.19

5.57

0.99

51.

005

0.09

810

.05

0.00

0.00

0.00

0.00

011

.48

2116

.91

11.2

623

30.8

211

2.6

110

100.

190.

101.

000

1.00

00.

002

10.0

00.

000.

000.

000.

000

12.1

522

40.4

69.

5419

74.7

895

.412

-110

-9.7

9-5

.35

0.99

61.

004

-0.0

9410

.04

0.00

0.00

0.00

0.00

013

.69

2524

.44

4.11

850.

7741

.113

-210

-19.

65-1

0.79

0.98

21.

018

-0.1

9110

.18

0.00

0.00

0.00

0.00

011

.59

2137

.20

0.00

0.00

014

-312

.1-2

9.26

-16.

180.

960

1.04

2-0

.290

12.6

00.

000.

000.

000.

000

8.50

1896

.55

0.00

0.00

0

SUEL

O 1

: OH

SUEL

O 2

: SC

- SM

()

[]

{}

()

∑+

−+

=Q

tanα

*W

η*

tanφ

*b

*μ

WC

'*b

*fo

F.S

92

Para

c’ =

0 ⇒

k =

0.3

1Pa

ra c

’ > 0

, φ’>

0 ⇒

k =

0.5

0

K =

0.50

d =

13.0

0m

.L

=16

4.56

m.

fo =

1.03

5F.

S Fi

nal =

0.69

Supu

esto

Fs

=0.

68W

= W

1+W

2+W

3+W

4µ

= µ1

* µ2

Fu =

µ *

bW

− (

µ * b

)Fφ

= [W

− (

µ * b

)]*ta

g φ

Fc =

C'

* b(F

c +

Fφ)

Tan

α *

Tan

φm

aη

(Fc

+ Fφ

) ∗ η

T =

W *

Tan

α

KN

/mK

N/m

²K

N/m

KN

/mK

N/m

KN

/mK

N/m

KN

/m20

2122

2324

2526

2728

2930

3126

4.48

0.00

026

4.48

27.7

725

6.04

283.

810.

244

0.54

4.69

1331

.07

614.

6518

92.1

00.

000

1892

.10

198.

6758

8.60

787.

270.

170

0.66

2.88

2267

.34

3059

.53

3739

.73

62.2

062

231

17.7

354

8.72

343.

4089

2.12

0.20

50.

851.

8116

14.7

443

64.2

652

55.3

112

9.50

1295

3960

.31

697.

0134

3.40

1040

.41

0.15

70.

921.

4615

19.0

046

87.7

463

30.2

916

9.80

1698

4632

.29

815.

2834

3.40

1158

.68

0.12

20.

971.

2614

59.9

443

99.5

572

41.7

619

2.30

1923

5318

.76

936.

1034

3.40

1279

.50

0.09

51.

001.

1414

58.6

339

17.7

979

11.9

920

0.50

2005

5906

.99

1039

.63

343.

4013

83.0

30.

073

1.02

1.06

1466

.01

3259

.74

7525

.91

192.

8019

2855

97.9

198

5.23

343.

4013

28.6

30.

053

1.03

1.01

1341

.92

2250

.25

6696

.48

174.

2017

4249

54.4

887

1.99

343.

4012

15.3

90.

034

1.03

0.99

1203

.24

1305

.81

4447

.73

112.

6011

2633

21.7

358

4.62

343.

4092

8.02

0.01

71.

020.

9991

8.74

435.

8842

15.2

495

.40

954

3261

.24

573.

9834

3.40

917.

380.

000

1.00

1.00

917.

388.

4333

75.2

141

.10

411

2964

.21

521.

7034

3.40

865.

10-0

.017

0.97

1.04

899.

70-3

17.2

721

37.2

00.

000

2137

.20

376.

1534

3.40

719.

55-0

.034

0.93

1.09

784.

31-4

08.2

118

96.5

50.

000

1896

.55

333.

7941

5.51

749.

30-0

.051

0.89

1.17

876.

68-5

50.0

0Su

mat

oria

1805

8.70

2702

8.15

TOTA

LES

+=

FsT

anφ

*T

anα

1*

Cos

αm

a

ma*Co

sα1η

=

−

+=

2

oLd

1.4

Ldk

1f

93

Calcular el factor de seguridad Fs con la fórmula: ( ) ( )[ ]

( )

( )

67.015.2702808.18032.

*.

**'tan**'*.

==

+=

−+=

∑∑

∑ ∑

SF

TFFc

SF

TanWbWbCSF

ηφ

αηφµ

Comparamos: FSCalculado = FSimpuesto.

0.66 ≠ 1

20. Repetir el procedimiento los pasos 14 a 17 para un nuevo FS = 0.68 y comprobar su Factor de seguridad calculado, de ser el caso repetir la tabla las columnas 28, 29 y 30. En caso de no igualarse el valor del factor de seguridad calculado con el impuesto repetir los pasos 14 y 15 para el último factor calculado hasta que se iguale sus valores.

Supuesto Fs = 0.68

ma η (Fc + Fφ) ∗ η T = W * Tan α KN/m

28 29 30 26 0.540 4.69 1313.11 529.83 0.650 2.98 2346.06 3150.35 0.850 1.82 1623.66 4401.66 0.920 1.46 1519.00 4703.50 0.970 1.26 1459.94 4412.21 1.000 1.14 1458.63 3917.79 1.020 1.06 1466.01 3267.65 1.030 1.01 1341.92 2250.25 1.030 0.99 1203.24 1305.81 1.020 0.98 909.46 426.98 1.000 1.00 917.38 0.00 0.970 1.04 899.70 -324.02 0.930 1.09 784.31 -416.75 0.890 1.17 718.86 -325.47 Sumatoria 17961.28 27299.79

21. El factor de seguridad calculado es. FS = (17961.28 / 27299.79) = 0.66

FSCalculado = FSimpuesto. 0.66 ≠ 0.68.

∴ Realizar un nuevo cálculo para el último FS.

94

22. Si FS = 0.67

Supuesto Fs = 0.66 ma η (Fc + Fφ) ∗ η T = W * Tan α

KN/m 28 29 30 26

0.540 4.69 1313.11 529.83

0.650 2.98 2346.06 3150.35 0.850 1.82 1623.66 4401.66 0.920 1.46 1519.00 4703.50 0.970 1.26 1459.94 4412.21 1.010 1.13 1445.84 3917.79 1.030 1.05 1452.18 3267.65 1.040 1.00 1328.63 2250.25 1.030 0.99 1203.24 1305.81 1.020 0.98 909.46 426.98 1.000 1.00 917.38 0.00 0.970 1.04 899.70 -324.02 0.930 1.09 784.31 -416.75 0.890 1.17 718.86 -325.47 Sumatoria 17921.37 27299.79

El factor de seguridad calculado es. FS = (17921.37/27299.79) = 0.66

FSCalculado = FSimpuesto. 0.66 = 0.66

Entonces: FS = 0.66.

23. Finalmente se aplica un factor de corrección fo igual a la siguiente fórmula para las condiciones descritas:

−+=

2

4.11Ld

Ldkfo Para c’ = 0 ⇒ k = 0.31

Para c’ > 0, φ’>0 ⇒ k = 0.50

Donde: K = 0.50 d = 13.00 m L = 164.56 m

035.156.16400.134.1

56.16400.1350.01

2

=

−+=of

69.067.0*035.1.*. === SFfSF o ∴ FS Final = 0.69

5.6 COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS ESTUDIADOS Para iniciar el análisis de comparación entre los métodos propuestos es necesario conocer los parámetros geotécnicos resultantes de los ensayos de laboratorio. Así mismo es necesario identificar el tipo de ensayo que se utilizó para la determinación de los parámetros

95

geotécnicos, pues este simple hecho de selección puede ser una de las causas más comunes de error y de variación de resultados. Una vez realizados los cálculos por los diferentes métodos empleados, los resultados obtenidos al aplicar las hojas de cálculo. Los resultados de valores de factor de seguridad calculados se presentan en la Tabla 5.5.

Tabla 5.5 Presentación de resultados mediante el cálculo manual.

FACTORES DE SEGURIDAD Métodos

Casos

VALORES FS

Fellenius Bishop simplificado Janbú

Caso 1 R = 95 m C (100,125)

0.77 0.80 0.81

Caso 2 R = 100 m C (100,125)

0.70 0.74 0.76

Caso 3 R = 105 m C (100,125)

0.65 0.70 0.70

Caso 4 R = 85 m C (105,115)

0.72 0.74 0.76

Caso 5 R = 90 m C (105,115)

0.69 0.74 0.72

Caso 6 R = 95 m C (105,115)

0.64 0.69 0.71

Caso 7 R = 95 m C (120,125)

0.74 0.78 0.79

Caso 8 R = 100 m C (120,125)

0.69 0.74 0.73

Caso 9 R = 105 m C (120,125)

0.65 0.70 0.72

Caso 10 R = 95 m C (100,120)

0.70 0.75 0.78

Caso 11 R = 95 m C (110,120)

0.70 0.75 0.76

Caso 12 R = 85 m C (100,110)

0.71 0.75 0.76

Caso 13 R = 85 m C (110,110)

0.69 0.74 0.73

Los métodos de estabilización de taludes aproximados son los más utilizados y dentro de ellos se destaca el método de Bishop como el más confiable y el más difundido entre los profesionales

96

Por tanto, en la tabla anterior se representan los casos más probables escogidos para el análisis de taludes y en particular para la evaluación de los métodos en nuestro proyecto respecto al método de Bishop. De esta tabla podemos apreciar: 1. La variación de los valores de FS dentro de un mismo método depende de la exactitud y

de que tan dispersos estén los puntos de prueba para la inmensa gama de superficies de falla.

2. Como se puede observar en la misma tabla, cuando se incrementa el radio desde un mismo centro de la superficie de falla, el valor de FS disminuye, por cuanto se aumenta las fuerzas desestabilizadoras representadas por la masa del suelo.

Con la ayuda del Internet encontramos el programa aplicable al cálculo de Factores de seguridad, como el caso de SLOPE/W. Los valores se presentan en la Tabla 5.6.

Tabla 5.6 Presentación de resultados mediante el programa SLOPE/W

Factores mínimos de Seguridad Momentos Fuerzas

Fellenius 0.640 - Bishop 0.706 - Janbú - 0.670

Los factores de seguridad obtenidos por los métodos manual y por el programa SLOPE/W se verifica que se obtiene valores menores a uno (1). El factor de seguridad mínimo contra la falla por capacidad de carga de un terraplén, talud o muro sobre un suelo blando, a corto plazo, debe ser mayor que uno (FS ≥ 1). El sistema de equilibrio límite supone que en el caso de una falla, las fuerzas actuantes y resistentes son iguales a lo largo de una superficie de falla equivalentes a un factor de seguridad de 1.0

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