Capítulo Incertidumbre 2011 (M) (3)

7/22/2019 Captulo Incertidumbre 2011 (M) (3)

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MICROECONOMAAVANZADA

Notas en Teora de la Incertidumbre

Jos D. Gallardo Ku

Consorcio de Investigacin Econmica y Social

CIESOctubre, 2012


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Dedicatoria

Valery Fry se gradu como la mejor alumna de su clase en la Universidad del Pacifico yposteriormente hizo sus estudios de doctorado en la Universidad de Harvard. La conoc acomienzos de los 90 en el Grupo de Anlisis para el Desarrollo cuando trabajaba con Alberto

Pasco-Font. Posteriormente los tres fuimos coautores en un conocido estudio de demandapara los servicios de telefona, y poco despus Valery pas al sector financiero, donde trabajoen la ltima dcada. Hace un ao nos dej a una edad muy temprana. Este texto est dedicadosu memoria, por los excelentes aos de discusin y amistad en nuestra etapa en el Grupo deAnlisis para el Desarrollo.


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PRLOGO

Este material de enseanza ha sido elaborado como parte de las actividades del Consorcio de

Investigacin Econmica y Social (CIES) y tiene como propsito servir de referencia en el tpico

de incertidumbre a docentes y alumnos de los cursos de microeconoma que se imparten en

las diferentes universidades del pas.

El texto est basado en las notas de clase de diversos cursos de microeconoma dictados en la

PUCP, UPC y USIL, as como en el Curso de Extensin Universitaria y el Curso de Actualizacin

del Banco Central de Reserva del Per, dirigidos a alumnos y docentes respectivamente. El

origen de los desarrollos presentados en el documento son las Notas de Clase del profesor

Carl Shapiro en la Universidad de California en Berkeley, as como los textos de J. Hirschleifer y

J. Riley (1992) y H. Varian (1992).

El material est organizado de la siguiente manera. En la primera parte se presentan los

aspectos conceptuales y metodolgicos para el anlisis de la incertidumbre (secciones 1 y 2),

posteriormente se desarrolla el enfoque de la utilidad esperada, las crticas a este enfoque, la

aversin al riesgo y su manejo (secciones 3, 4, 5 y 6). Posteriormente se analiza el

comportamiento den un contexto de incertidumbre en dos escenarios especiales, el de

dominancia estocstica, cuando la informacin de probabilidades es suficiente, y el enfoque

media varianza, cuando los dos primeros momentos de la distribucin de probabilidades

resumen las preferencias (secciones 7 y 8). Finalmente, teniendo siempre como referencia la

realidad observable que se quiere explicar, se desarrollan cuatro aplicaciones, la eleccin de

esquemas regulatorios, la teora del portafolio y el costo del capital, el costo de la vida y la

paradoja Mehra-Prescott (seccin 9).

El texto ha sido elaborado por iniciativa de Eduardo Jimnez en el CIES y con el aporte de

Janneth Leyva, Milagros Gonzlez, Sandro Huaman y Csar Gil Malca, quienes en diferentes

momentos no slo han transcrito las notas de clase, sino tambin han desarrollado un material

complementario consistente en diapositivas, ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. El

documento se ha beneficiado grandemente de los comentarios y sugerencias de los alumnos

que han utilizado estas notas, no obstante todos los errores y omisiones son responsabilidad

del autor.


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TEORA DE LA INCERTIDUMBRE

Introduccin

El estudio de la incertidumbre puede ser entendido en el contexto de la problemtica

microeconmica estndar, en la cual individuos racionales, utilizando de manera ptima la

informacin disponible, toman decisiones de tal manera que optimizan sus agendas en un

contexto donde enfrentan restricciones1. En los problemas de incertidumbre, los individuos

deben optar entre diferentes alternativas riesgosas, escogiendo exante aquella opcin que le

brinde el mayor bienestar esperado, el cual, a su vez, est determinado por las probabilidades

de los eventos, el grado de aversin al riesgo del individuo, los pagos en cada opcin riesgosa,

entre otros.

Un ejemplo tpico de decisiones bajo incertidumbre puede ser la eleccin de un taxi por parte

de una persona que se retira tarde de su centro de trabajo. El individuo debe optar entre salir

y tomar el taxi que, en ese momento, pasa por la calle donde trabaja, o llamar a una empresa

de taxis acreditada, para que sta enve una unidad a recogerlo. Esta segunda opcin implica

un costo de espera y el pago de un precio mayor que el de la primera opcin, pero tiene la

ventaja de minimizar la probabilidad de un secuestro al paso, modalidad de robo que se ha

hecho ms frecuente en algunas ciudades del pas como Lima.

Tomar un taxi normal supone, naturalmente, pagar un precio menor que el del taxi acreditado

pero tambin estar sujeto a una mayor probabilidad de robo, con una prdida mayor que la

diferencia de precios (considrese el valor del celular, efectivo disponible, valor de prendas de

vestir, reloj, dinero retirado con tarjetas de crdito o dbito, adems de la muy desagradable

experiencia). Implcitamente al tomar la opcin de un taxi acreditado el individuo paga por un

seguro.

La realidad observable, que es finalmente lo que se desea explicar, es bastante variada.

Algunas personas solicitan un taxi acreditado y muchas ms, en cambio, escogen tomar un taxi

normal. Ms aun, algunos individuos toman el taxi acreditado algunas veces y el taxi normal

1. Posiblemente la aplicacin ms difundida en microeconoma sea el problema estndar de un consumidor quemaximiza su nivel de bienestar teniendo como restriccin su presupuesto. En este problema los individuos escogenlas cantidades de bienes que finalmente compran dependiendo de los precios que encuentren y de su ingreso, lo

que permite tener una teora de la demanda de bienes y servicios. En la medida que el consumo de una canastaimplica el sacrificio del consumo de otras cantidades de bienes, surge tambin en la solucin del problema elconcepto de costo de oportunidad.


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otras veces. En la explicacin de estas conductas parece ser claro que la riqueza, la actitud

hacia el riesgo y la percepcin del mismo importan. As, tiende a tomar la opcin menos

riesgosa, pagando el seguro, alguien que tiene mayores ingresos, alguien que lleva una carga

valiosa (servicio hacia o desde los aeropuertos), alguien que percibe una mayor probabilidad

de robo (necesidad del servicio tarde en la noche), alguien que idiosincrticamente es bastante

temeroso de los robos (gran aversin al riesgo).

La teora de la incertidumbre de este documento se refiere a situaciones como estas y es

directamente extensible a numerosas situaciones como al inversionista que debe construir un

portafolio de inversiones en su pas y fuera de l (enfrentando un riesgo cambiario y un riesgo

pas en adicin al riesgo especfico de los activos), al campesino que debe decidir si fertiliza sus

tierras sin saber si tendr agua en cantidades adecuadas, al agricultor de la costa norte que

considera invertir en bienes races en Lima, a los individuos que aseguran sus autos o casas, a

los viajeros que compran un seguro de salud, entre otros.

Como se ha sealado en lneas anteriores, de acuerdo con el desarrollo de la literatura, se

postula que en todos estos casos los individuos escogen, entre las opciones riesgosas que son

disponibles, aquella que optimiza su bienestar que es resumido por la denominada funcin de

utilidad esperada. Como veremos ms adelante, esta funcin se define para cada individuo

como la esperanza matemtica de la utilidad.

Los aspectos incluidos en el anlisis - probabilidades, aversin al riesgo y riqueza - son

relevantes pero no pretenden explicar exhaustivamente la realidad observable. Existen otros

aspectos que son tambin relevantes. Por ejemplo, cuando estudiamos a los campesinos que

deciden no fertilizar sus tierras debido al temor que malas condiciones climticas le hagan

perder su inversin, nos basamos en aspectos sealados previamente como son la aversin al

riesgo y bajsimos niveles de riqueza, tal como ha sugerido Schudtz (1964) y como ha sido

aplicado por Figueroa (1981) en su magnfico estudios para el caso de la sierra sur del pas.

Sin embargo, otros factores pueden explicar tambin este comportamiento de los campesinos,

como por ejemplo la procastinacin. De acuerdo con Rabin (1997) y Odonoghe y Rabin (1999),

los individuos tienen una tendencia hacia laprocastinacin, es decir, a priorizar el consumo y a

postergar el sacrificio (ahorro). En esta perspectiva, Dufflo y Kremer (2009), encuentran

evidencia de campesinos en Zambia que se muestran dispuestos a invertir en fertilizantes en elmomento de la cosecha, pero que no lo hacen llegado el momento de desembolsar el dinero.


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De acuerdo con los autores, los individuos cambian de decisin porque la inversin supone

postergar consumo y en el momento de la siembra el dinero es ms escaso, por lo que estn

menos dispuestos a invertir en fertilizantes a pesar de su convencimiento del impacto de los

fertilizantes en la productividad.

Tambin es necesario sealar que existen conocidas crticas al enfoque, existiendo una lista de

paradojas que muestran resultados inconsistentes con el enfoque de utilidad esperada. La

Paradoja de Allais, usualmente citada para ilustrar este punto, es desarrollada en lneas

siguientes. Asimismo, en la teora financiera, una de las extensiones del enfoque, es bastante

difundida la crtica a la Teora del Portafolio por autores como Eugene Fama. Ms aun en su

anlisis del comportamiento de los individuos, Mc Fadden (1997), seala que los individuos

toman decisiones considerando una diversidad de aspectos. Importante observacin del autor

que tendi el puente entre la microeconoma y la econometra con el desarrollo de los

modelos de eleccin discreta que buscan precisamente capturar el comportamiento de los

individuos.

No obstante, la aversin al riesgo es bastante relevante y de ah la importancia de ensear el

tpico en los cursos de microeconoma. El propio Mc Fadden ha enfatizado la relevancia de las

contribuciones de Tversky y Khaneman, quienes muestran que un rasgo esencial en el

comportamiento de los individuos es su extrema aversin al riesgo.

Aspectos Metodolgicos

La Teora del Consumidor sin incertidumbre bajo el denominado Enfoque de la Preferencia es

metodolgicamente muy til para plantear el problema de incertidumbre. En este enfoque se

estudia la decisin de un individuo que debe escoger una canasta de consumo entre todas sus

posibilidades de consumo. Se asume que las preferencias de un individuo satisfacen los

axiomas de transitividad, completitud, monotonicidad y convexidad, y que estos axiomas son

consistentes con la existencia de una funcin de utilidad que resume las preferencias de los

individuos si estas son continuas. En este contexto el individuo simplemente escoge aquella (s)

canasta (s) que le da una mayor utilidad.

Las decisiones de los individuos no son slo sobre variables contnuas cantidad demanda de

algo- sino sobre opciones de tipo discreto (modalidades). Por ejemplo un trabajador puede

decidir a su centro de trabajo tomando un bus, tomando un taxi o utilizando una movilidad


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propia, si dispone de ella. Lo que determina su eleccin entre estas opciones discretas son el

precio de las opciones, el tiempo, el precio de durables (auto propio), etc. En este contexto, la

importancia de desarrollar un esquema que nos permita modelar el riesgo se hace evidente.

Para ello la herramienta de anlisis ser la utilidad esperada y se asume que los individuos en

un contexto de incertidumbre maximizan esta funcin objetivo. Un aspecto clave en este

enfoque es que los individuos pueden asignar probabilidades de estos eventos, es decir, el

problema de incertidumbre modelado es uno donde esta surge del desconocimiento del

estado por parte de un individuo que conoce la probabilidad de cada uno de ellos. En extremo,

como veremos en el caso de dominancia estocstica, el individuo puede tomar decisiones con

base nicamente en su conocimiento de las probabilidades.

El esquema desarrollado en este primer captulo es el enfoque de la utilidad esperada, el cual

se basa en el enfoque de las preferencias de la teora del consumidor bajo certidumbre. En el

marco de este modelo las alternativas entre las que puede elegir el consumidor toman la

forma de loteras, las cuales consisten en un conjunto de pagos o premios a los que les ha sido

asignada una determinada probabilidad de ocurrencia. Estos premios o pagos pueden adoptar

distintas formas, incluyendo las habituales canastas de consumo de la teora anterior.

La teora de la utilidad esperada nos dice que si el supuesto de continuidad se cumple, es

posible representar las preferencias de los individuos a travs de una funcin de utilidad

anloga a la del enfoque de las preferencias y que bajo algunos supuestos adicionales, en

particular el axioma de independencia, es posible encontrar una transformacin montona

particular de dicha funcin de utilidad que cumple con la propiedad de la utilidad esperada,

tambin conocida como la funcin de utilidad de tipo Von Neumann- Morgenstern, que

constituye la base sobre la que se construye la teora que emplearemos para modelar el riesgo.

2. ELEMENTOS DE DECISIN BAJO INCERTIDUMBRE2

Un individuo que toma una decisin en un contexto de incertidumbre puede elegir entre

distintas opciones que le proporcionan pagos inciertos, pero no puede controlar el valor

efectivo que adoptar dicho pago pues ste depender simultneamente de la eleccin del

individuo y del estado de la naturaleza. A lo largo de este primer apartado emplearemos el

2. En el desarrollo de esta seccin se sigue los textos de Varian (1992) y Hirshleifer y Riley (1992) sobre laTeora de la Incertidumbre.


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ejemplo del taxi seguro para exponer los distintos elementos que se ponen en juego cuando

un individuo decide bajo incertidumbre.

En el problema de un individuo se enfrenta a la disyuntiva de optar entre un taxi seguro o un

taxi normal interactan los siguientes elementos:

I. Un conjunto de a acciones o alternativas entre las que puede elegir elconsumidor: la decisin de tomar un taxi seguro y la decisin de tomar un taxi normal.

Esta decisin depende del individuo modelado.

II. Un conjunto de n estados de la naturaleza . En este caso, los estados sonsufrir un asalto o no sufrir un asalto. Ntese que estos estados no pueden ser

controlados por el individuo que, en nuestro ejemplo, no decide ser vctima de un

asalto.

III. Una funcin de pagos que resultan de la combinacin entre las acciones y losestados. Por ejemplo, en el caso del taxi seguro, si el agente toma un taxi normal y

ocurre el estado asalto, entonces su riqueza o pago final ser cero.

IV. Una funcin de probabilidad que expresa las creencias del individuo sobre larealizacin de un estado que resulta de la naturaleza. En el marco de este modelo, los

consumidores son capaces de construir una distribucin de probabilidades que

efectivamente refleja lo que sucede en la realidad por lo que toda la estrategia pasa

por realizar la accin.

V. Una funcin de utilidad elemental v(c)que refleja las preferencias de los individuosrespecto de la valoracin de los distintos pagos que podra obtener.

En la tabla N 1 se resumen todos los elementos que intervienen en el problema de decisin

del individuo en el contexto del ejemplo antes sealado. Como se mencion, el individuo

modelado tiene dos alternativas definidas en el eje vertical: puede tomar un taxi seguro o uno

normal; y la naturaleza define dos estados mostrados en el eje horizontal: asalto y no asalto. El

individuo le asigna una probabilidad de ocurrencia na cada estado, los que conjuntamente

con las acciones determinan cuatro pagos distintos can. A su vez estos pagos son funcin de su

nivel de riqueza w= 50y del costo del servicio de transporte. En este ejemplo se asume que

los precios de tomar un taxi normal y un taxi seguro son respectivamente PTN= 5y PTS= 153.

3. Recurdese que el precio del taxi normal es menor que el taxi seguro para que nuestro modelo tenga

sentido.


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Tabla N 1

Elementos de Decisin

No robo Robo

Taxi Seguro Taxi Normal

Probabilidades

El ejemplo es bastante ntido en mostrar que no existe una opcin que sea ex-ante mejor que

otra en todos los estados de la naturaleza. As, si el individuo decide tomar un taxi normal y noocurre un asalto entonces su bienestar es el mayor (45), pero si ocurre el asalto su bienestar es

el menor posible (0). En comparacin, la opcin taxi seguro proporciona pagos que no son tan

altos o bajos, es decir, es una opcin menos riesgosa, pero no necesariamente preferible pues

tiene un costo.

Cmo resuelve el individuo este problema? Para la solucin de este problema se requiere de

un criterio de decisin para el individuo. En el siguiente apartado se discutir la conveniencia

de emplear la funcin de utilidad esperada como criterio para la solucin de este tipo de

problema debido a que refleja adecuadamente las preferencias de los individuos.

3. TEORA DE LA UTILIDAD ESPERADA

3.1 Valor esperado versus utilidad esperada

Un criterio de decisin intuitivo es el valor esperado. Es decir, el individuo calcula el valor

esperado de cada opcin riesgosa y a partir de all escoge la opcin con mayor valor:

En nuestro ejemplo si la probabilidad de un robo es de 10% entonces el individuo, si utiliza

como criterio el valor esperado, preferir un taxi normal con valor esperado de 40.50 al taxiseguro con valor esperado de 35. Sin embargo, las crticas al uso del valor esperado han

Estados de laNaturaleza

Acciones


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existido desde hace ms de dos siglos. La denominada paradoja de san Petersburgo

desarrollada por Nicols Bernoulli ilustra este punto.

La Paradoja de San Petersburgo4

La formulacin estndar de esta paradoja es una en la que un individuo es invitado a participar

en un juego que consiste en lanzar sucesivamente una moneda que contiene en un lado una

cara y en el otro un escudo hasta que salga la primera cara. El costo del juego es S/. 100 y el

pago o premio que recibe un individuo que participa es de 2i donde i es el nmero del

lanzamiento en el cual sali la primera cara de acuerdo a la siguiente tabla:

Lanzamiento Pago ( 1 2 2 4 3 8 4 16

Los individuos cuando son invitados al juego optan por no participar. La paradoja consiste en

que el valor esperado del juego es infinito tal como se demuestra en la siguiente expresin:

Es decir, el individuo prefiere una opcin cuyo valor esperado es 0 (que es la de no participa) a

una opcin cuyo valor esperado es infinito (un premio infinito menos el costo de cien).

Entonces hay algo en el concepto de valor esperado que no funciona. La solucin a esta

paradoja la enunci tempranamente Daniel Bernoulli quien seala la diferencia crucial entre el

beneficio del pago (utilidad esperada) y el valor esperado del pago.

Ms modernamente hemos sabido que la paradoja se produce porque el criterio de valor

esperado no considera aspectos centrales en el estudio de la incertidumbre como la aversin

4. En esta seccin seguimos a Machina.


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al riesgo. Ms especficamente, la razn por la que los individuos se rehsan a participar es

porque existe una elevada probabilidad de que salga cara en los primeros intentos por lo que

terminaran obteniendo una prdida si deciden participar del juego.

Para ilustrar el punto consideremos una funcin de utilidad , por lo quehacemos el supuesto razonable de que el individuo no evala directamente el valor esperado

de los pagos que la participacin del juego le provee, sino que se fija en la utilidad que stos le

generan; empleando la propiedad de utilidad esperada observamos que:

Es decir, la utilidad esperada del juego es bastante baja aun cuando el valor esperado es muy

alto. La utilidad esperada es mucho menor que la utilidad de los 100 que cuesta participar en

el juego. En esta perspectiva, el individuo resuelve el problema de tal manera que maximiza la

utilidad esperada de los pagos, esto es, el individuo calcula la utilidad esperada de todas las

acciones y elige la que le reporta mayor utilidad. Por otro lado, la aversin al riesgo es el

elemento distintivo bajo este enfoque.

3.2. Sustento axiomtico de la Utilidad Esperada5

Cuando el individuo toma decisiones en un contexto de incertidumbre elige entre acciones con

un resultado incierto. Varian (1992) define estas acciones como loteras. De acuerdo con su

notacin una lotera puede ser denotada de acuerdo a:

Esta notacin nos dice que el individuo recibe el pago con probabilidad y el pago conprobabilidad . De otro lado, Hirshleifer y Riley (1992) definen la lotera como

, es decir, el individuo recibe c1con probabilidad 1y c2con probabilidad 2. A lo

5. En esta seccin seguimos a Varian (1992).


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largo de este captulo se emplear una combinacin de estas dos notaciones para hacerla ms

amigable al lector. La lotera queda entonces definida de la siguiente manera:

3.2.1. Condiciones de Regularidad

Varian (19992) impone las siguientes restricciones de regularidad sobre la percepcin de los

consumidores respecto de las loteras disponibles para ellos:

La primera restriccin nos dice que recibir un pago con probabilidad unitaria es lo mismoque recibir el pago con total seguridad. La segunda restriccin nos dice que al consumidorno le importa el orden en el que los pagos son presentados. Por ltimo, la tercera restriccinnos dice que la percepcin que los individuos tienen de una lotera compuesta dependesolamente de las probabilidades netas.

3.2.2. Axiomas

I. Axioma de Continuidad: este axioma nos dice que si ocurre que preferimos la lotera a una lotera L, entonces debe ocurrir que si aumenta laprobabilidad del mayor pago entonces las preferencias se mantendrn. Inversamente si

una lotera L es preferida a la lotera

, entonces si disminuye la

probabilidad del mayor pago entonces las preferencias se mantendrn: II. Axioma de Monotonicidad: Sea un conjunto de pagos ,

donde es el mejor pago y el peor. Este axioma nos dice que el individuo siemprepreferir entre dos loteras con los mismos pagos aquella lotera que le asigne una

mayor probabilidad al mayor pago:


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III. Axioma de Independencia: este axioma nos dice que el individuo es neutral a las

combinaciones de pagos, esto es, si el individuo prefiere el pago

al pago

entonces

la presencia de un tercer pago que se obtiene con la misma probabilidad, entoncesno afecta de forma diferenciada a y .

Se pueden encontrar casos en los que el individuo no es neutral a este ordenamiento

por lo que el axioma de independencia suele ser debatido. Esta posible no neutralidad

puede ser ilustrada por el siguiente ejemplo. Supongamos que los pagos , y representan viajes a distintos destinos tursticos en distintas pocas del ao de maneraque: Si el individuo debe escoger en su centro de trabajo, es claro que con estas opciones el

puede terminar prefiriendo la segunda combinacin de probabilidades y pagos (cjy ck)

porque bajo esta lotera ya tiene definido el lugar de destino. Es decir,jy kson opciones

ms complementarias que iy k.

3.2.3. Regla de la Utilidad Esperada

Considrese al conjunto de pagos tal que:

. Estos pagos pueden

escalarse de manera que:

Considerando que cBes el mayor pago y cWel pago ms bajo. Entonces debe existir un ppara

el que se cumpla para todo pago

tal que:


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Entonces este valor debe ser nico porque las preferencias son montonas y continuas. Si este

es nico podemos llamarlo

. La posibilidad de indexar esta probabilidad nos permite

afirmarde manera anloga al enfoque de las preferencias en la teora del consumidorque la

utilidad que proporciona es :

Por lo tanto, puedo esperar cualquier lotera como una combinacin lineal de y .Esta esla base sobre la que se asienta la propiedad de utilidad esperada:

Si deseamos conocer la utilidad que nos reportan este par de loteras basta tener en cuenta las

probabilidades que multiplican a porque por construccin. Entonces:

Por ende, bajo preferencias continuas y montonas, la utilidad de una lotera es igual a la

esperanza matemtica de la utilidad. Es decir, la utilidad de una lotera es la utilidad esperada.

Esto es, operativamente los individuos en un contexto de incertidumbre maximizan su utilidad

esperada.

3.3. Proyecciones de la Utilidad Esperada

La utilidad esperada es una funcin que depende de probabilidades () y preferencias sobre

los consumos (c). Por lo tanto la funcin puede ser proyectada en el espacio de los consumos y

en el espacio de las probabilidades.


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3.3.1. Proyeccin en el Espacio de los Consumos

Si consideramos nicamente dos pagos posibles tenemos la siguiente expresin:

Las curvas de indiferencia en incertidumbre (combinaciones de pagos que nos reportan el

mismo nivel de utilidad esperada) pueden ser halladas igualando la diferencial de la funcin de

utilidad esperada a cero:

La Tasa Marginal de Sustitucin entre y por tanto es:

El signo de la tasa significa que hay una relacin negativa entre los consumos en la curva de

indiferencia. Esto tiene bastante sentido porque un menor consumo en el estado dos es

compensada por un mayor consumo en el estado uno para mantener el mismo nivel de

utilidad. De otro lado, la tasa depende de la forma de la funcin de utilidad elemental v(c). Si la

funcin es cncava entonces la utilidad marginal es decreciente y por lo tanto la TMS es

tambin decreciente. El siguiente grfico muestra la proyeccin en el espacio de consumos:

Figura 3a


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3.3.1. Proyecciones en el Espacio de las Probabilidades

En lo referente a la proyeccin de la funcin de utilidad esperada en el espacio de las

probabilidades podemos utilizar los denominados Tringulos de Machina. Supongamos que

existen tres eventos fijos tal que , cada uno asociado a una probabilidad (1, 2y3), tal que la suma de todas ellas es la unidad: .Despejando se obtiene: En la funcin de utilidad esperada:

Diferenciando la funcin de utilidad esperada respecto a las probabilidades y sabiendo que los

consumos (c1, c2y c3) y la utilidad no cambian (su diferencial es cero), obtenemos la siguiente

expresin:

Despejando obtenemos la pendiente de las curvas de indiferencia sobre las cuales la utilidad

esperada de los pagos permanece constante ante cambios en la distribucin de

probabilidades. Es decir, las proyecciones son lineales, la tasa marginal de sustitucin es

constante y la relacin entre las probabilidades 1y 3es positiva:


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En la figura 3b se muestra que la utilidad esperada puede ser proyectada en el tringulo

formado por las intercepciones en los ejes de 1 y 3. Cada punto en este triangulo es una

combinacin de probabilidades, as el origen Oes la combinacin donde 1= 0, 3= 0 y 2= 1,

cualquier combinacin en el eje horizontal es entre 1y 2, dado que 3es cero en este eje, y

cualquier punto inferior tiene a las tres probabilidades con valores distintos de cero.

Figura 3b

Cada proyeccin o curva de indiferencia (en el grfico hay tres curvas U e1, Ue2 y Ue3) es una

lnea recta (porque la tasa marginal de sustitucin es constante) con pendiente positiva. Esto

tiene bastante sentido, una mayor probabilidad del consumo en el estado uno, que es el ms

bajo, debe ser compensado por una mayor probabilidad del consumo tres, que es el ms alto,

para que se mantenga el nivel de utilidad. Naturalmente la utilidad crece en la direccin de la

probabilidad 3, tal como se muestra en la figura 3b y tiene un mximo valor cuando 3=1.

Ntese que los individuos mas aversos al riesgo tienen curvas de indiferencia ms empinadas.Considerando que , y son valores fijos, los individuos adversos al riesgo tendrnsiempre una pendiente ms alta. En la figura 3c se observa que el diferencial de utilidades v(c2)

v(c1) es siempre menor para un individuo amante al riesgo (en el grafico se considera un C2=

C*), lo cual determina una menor tasa marginal de sustitucin en la figura 3d.

Figura 3c


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Figura 3d

Para un individuo neutral al riesgo, el criterio de valor esperado es exactamente equivalente al

criterio de utilidad esperada porque su funcin de utilidad es lineal.

4. AVERSIN AL RIESGO

La aversin al riesgo es una caracterstica del comportamiento de los individuos en un

contexto de incertidumbre. Definiremos en un contexto de incertidumbre que un individuo es

averso al riesgo si la utilidad del ingreso esperado de un evento riesgoso es mayor para l que


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la utilidad esperada de dicho evento riesgoso6. Es decir un individuo es averso al riesgo cuando

la utilidad esperada de una lotera es menor que la utilidad del ingreso esperado de dicha

lotera.

Supongamos que un empleado de una seccin de ventas tiene ingresos que dependen de la

demanda. Cuando esta es alta sus ingresos son 1,500 US$ y cuando la demanda es baja sus

ingresos son slo 500 US$. Si la probabilidad de que un mes sea de demanda alta es 50% (de

los ltimos 80 meses 40 fueron de demanda alta), entonces el ingreso esperado del trabajador

es 1,000 US$. Entonces, este trabajador es averso al riesgo si prefiere 1,000 US$ de manera

segura (ganar siempre esta cantidad) que ganar 1,500 US$ la mitad de las veces y 500 US$ la

otra mitad. En la figura 4a la utilidad del ingreso esperado (punto D) es mayor que la utilidad

esperada (punto F) para un individuo cuya funcin de utilidad elemental es cncava.

Figura 4a

4.1. Distintas maneras de entender la aversin al riesgo

Existen varias condiciones que son equivalentes para describir o sealar que un individuo es

averso al riesgo.

6. Un individuo es averso al riesgo si prefiere estrictamente una consecuencia con seguridad a cualquier otro

prospecto riesgoso cuya esperanza matemtica iguale dicho pago; sus preferencias van en el sentido contrarioentonces el individuo es amante del riesgo; y si es indiferente entre recibir el pago con seguridad y dicho prospecto

riesgoso entonces es neutral al riesgo(Kreps).


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i. Un individuo adverso al riesgo es un individuo que prefiere la utilidad del valor esperado alvalor esperado de la utilidad o utilidad esperada:

ii. Un individuo averso al riesgo es un individuo cuya funcin e utilidad es cncava. Ms aun,cunto ms cncava sea la funcin de utilidad, mayor ser la aversin al riesgo del

individuo:

u(c) > 0

u(c) < 0

iii. Un individuo averso al riesgo no acepta juegos justos, es decir, no acepta participar enjuegos en los que la esperanza matemtica de las ganancias (prdidas) es igual a cero7.

iv. Ante un juego justo un individuo es adverso al riesgo si un evento riesgoso le causa msprdidas que ganancias de utilidad. Es decir, en trminos de sus preferencias, las

potenciales ganancias de utilidad son menores que las potenciales prdidas de utilidad:

En el caso del trabajador que compara ganar 1,000 US$ siempre con ganar 500 US$ con

probabilidad de 50% y ganar 1,500 US$ con la probabilidad de 50%, el cambio de la utilidad

derivado de la ganancia (v(1,500) v(1,000)) es menor que el cambio de utilidad derivado

de la prdida (v(1,000)v(500)).

v. Un individuo adverso al riesgo est dispuesto a pagar

para no tener riesgo. Es decir, existe

una cantidad que un individuo puede pagar para tener un consumo seguro. Esta cantidad

es denominada el costo de riesgo o el premio del riesgo.

Para ilustrar esta ltima manera de ver la aversin al riesgo tomaremos dos ejemplos:

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. Un juego justo es un juego que me genera la misma ganancia o prdida en valor esperado. Porejemplo, un juego en el que gano 100 con probabilidad 1/2 y pierdo 100 con probabilidad 1/2 o un juegoen el que recibo 100 con probabilidad 2/3 y -200 con probabilidad 1/3.


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Ejemplo 1: Imaginemos que somos parte de una fuerza de venta y que recibimos un pago

mensual que es funcin directa del nmero de ventas que realizamos de manera que con

probabilidad 1/2 generamos muchas ventas y recibimos S/. 1500 y con probabilidad 1/2

tambin realizamos pocas ventas y recibimos S/. 500. El valor esperado de esta funcin de

pagos es:

Si el pago fijo mnimo que estoy dispuesto a aceptar para no tener riesgo es S/.930 entonces

es lo mximo que estoy dispuesto a pagar para no tener riesgo.

Ejemplo 2:Dados las siguientes combinaciones de pagos y probabilidades donde el individuo

puede optar entre asegurar su auto (accin ) o no asegurarlo (accin ) ante un posiblerobo (estado ) que ocurrir con probabilidad 1/2, se pide determinar el valor de sabiendoque la funcin de utilidad del individuo es de la forma .

Probabilidades

Tiene que ocurrir que en el extremo la utilidad esperada de no asegurarse sea igual a la

utilidad con el seguro, esto es:

La prdida esperada es pero estoy dispuesto a pagar por el seguro:el individuo est dispuesto a pagar un poco ms que la prdida esperada. Del lado del

asegurador tenemos que si el nmero de autos asegurados es 1000 el costo esperado de

asegurar ser

, pero la aseguradora recibe

. Digamos que


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22

la diferencia es lo que los individuos estn pagando para no tener riesgo (el ezceso es el costo

del riesgo). Grficamente tenemos que:

Figura 4b

4.2. Medidas de aversin al riesgo

Como se ha sealado, un individuo averso al riesgo es un individuo con funcin de utilidad

elemental cncava. Como la utilidad marginal es decreciente para toda funcin cncava y la

mayor concavidad de la funcin indica mayor aversin al riesgo, se utiliza el cambio de la

utilidad marginal como medida de aversin al riesgo.

Ms especficamente, cuanto ms rpido caiga la utilidad marginal mas averso al riesgo ser el

individuo. A partir de este concepto se pueden definir dos medidas (Arrow-Pratt), una

denominada absoluta y otra denominada relativa:

Matemticamente, una funcin cncava es una funcin cuya primera derivada es positiva y cuya segunda derivada es negativa ; por lo tanto una forma de medir laaversin al riesgo es empleando estas nociones de concavidad. Sin embargo, dado que la

condicin se cumple siempre, pues las preferencias del individuo son montonas, lo


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que realmente nos interesa identificar es el valor de la segunda derivada ya que mientras ms

negativa sea sta mayor aversin al riesgo exhibir el individuo.

Ejemplo: Hallar la aversin al riesgo absoluta

y relativa

de un individuo cuyas

preferencias se encuentran representadas por la siguiente funcin de utilidad:

Para hallar ambas medidas necesitamos calcular la primera y la segunda derivada de la funcin

de utilidad:

Reemplazando estos valores en las medidas de aversin al riesgo se obtiene:

4.3. Derivacin analtica del costo o premio del riesgo

Un individuo adverso al riesgo est dispuesto a pagar para no tener riesgo. Para obtener unaaproximacin de los determinantes de este costo del riesgo se puede aplicar una expansin de

Taylor para dos variables en la ecuacin donde , se obtiene:

Simplificando se obtiene,


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24

Empleando la ecuacin para la medida de aversin al riesgo absoluta, se llega a la siguiente

expresin para el precio del riesgo:

Lo que el individuo est dispuesto a pagar por no tener riesgo cambia con el grado de aversin

al riesgo (que puede depender de su riqueza) y de la varianza del consumo. En este ltimo caso

y considerando el ejemplo del trabajador en ventas, si al trabajador le van a pagar 500 US$ o

1500 US$ estar dispuesto a pagar ms por evitar el riesgo de lo que estara dispuesto a pagar

si los pagos fueran 900 US$ o 1100 US$.

5. CRTICAS AL ENFOQUE DE LA UTILIDAD ESPERADA8

La utilidad esperada ha recibido importantes crticas a lo largo del tiempo. Una de las ms

importantes observaciones es denominada como la Paradoja de Allais. Esta paradoja se

desprende de la observacin de elecciones de individuos que son inconsistentes con el

enfoque. En el ejemplo tpico se consideran dos eventos A y B con los siguientes pagos:

Si elige el evento A recibe S/. 1000,000 con probabilidad

Si elige el evento B recibe:o S/. 5000,000 con probabilidad1= 0.10.o S/. 1000,000 con probabilidad 2= 0.89.o S/. 0 con probabilidad 3= 0.01.

Los individuos tienden a elegir el evento que les proporciona un pago seguro, es decir, el

evento A. Sin embargo si a estos mismos individuos cuando se les ofrece los planes C y D con

los siguientes pagos:

Si elige el evento C recibe:o S/. 1000,000 con probabilidad o S/. 0 con probabilidad

Si elige el evento D recibe:o S/. 5000,000 con probabilidad o S/. 0 con probabilidad

0

8. Ver Machina.


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Entonces lo que se observa es que en este caso los individuos prefieren el evento D a pesar de

que eligiendo este evento aumenten sus probabilidades de quedarse sin nada. Para hacer ms

patente la inconsistencia en el comportamiento de los individuos se puede recurrir a los

Tringulos de Machina.

El Problema del deslizamiento de las curvas de indiferencia (Fanning Out)

Las opciones entre las que escoge el individuo son representadas en trminos de las

probabilidades. Ntese que en este caso los consumos permanecen constantes, es decir, las

cantidades implcitas en las elecciones son las mismas: cero, un milln y cinco millones. En la

opcin A se puede ganar un milln de manera segura, en la opcin B se combinan las tres

cantidades, en la opcin C se combinan un milln y cero, mientras que en la opcin D se

combinan cero y cinco millones. Podemos esquematizar las probabilidades asociadas a cada

pago en cada uno de los cuatro eventos en la siguiente tabla:

Tabla N2

Probabilidades de ocurrencia

Evento A Evento B Evento C Evento D

Podemos observar ms ntidamente la inconsistencia de la eleccin si representamos estas

combinaciones de eventos y probabilidades de ocurrencia en los Tringulos de Machina. El

primer evento (A) es representado por el punto A situado en el origen de la figura 5a, donde c2

= 1 milln ocurre con probabilidad 2= 1 (c1= 0 y c3= 5 millones ocurren con probabilidad

cero, es decir 1 = 3 = 0). El segundo evento es representado por el punto B donde la

probabilidad 2 se reduce a 0.89 y las otras probabilidades se incrementan 1 a 0.01 y 3 =

0.10. Anlogamente los eventos C y D representados por los respectivos puntos muestran las

combinaciones de probabilidades que las definen (1= 0.89, 2= 0.11 y 3 = 0 para C y 1=

0.90, 2= 0.00 y 3 = 0.10 para D).


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Figura 5a

En la Fig. 6b se evidencian las inconsistencias en la eleccin que se derivan de la propiedad de

utilidad esperada, es decir, preferir A a B y D a C simultneamente es inconsistente, pues si A

es preferido a B, entonces debe cumplirse que C sea preferido a D, a menos que las curvas de

indiferencia se deslicen como se muestra en la Figura 5b. Esto, sin embargo, es inconsistente

con la utilidad esperada, la cual, como hemos visto previamente, genera proyecciones

paralelas (tasa marginal de sustitucin constante) en el espacio de las probabilidades:

Figura 5b

Mas formalmente, si A es preferida a B: Este resultado es equivalente a afirmar que:


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Si sumamos a ambos lados para obtener la utilidad esperada asociada al evento Cdel lado izquierdo llegamos a la siguiente expresin:

Esta ltima expresin nos dice que un individuo consistente con la propiedad de la utilidad

esperada preferir las combinaciones de pagos y probabilidades asociadas a C que las

combinaciones de pagos y probabilidades asociadas a D. De ello se concluye que la eleccin de

los individuos es inconsistente con esta propiedad.

No obstante esta crtica, con el objetivo de explicar comportamientos como el manejo de

riesgos, en adelante se asume que la propiedad de utilidad esperada constituye una buena

aproximacin del comportamiento de los individuos en contextos de incertidumbre

6. MANEJO DE RIESGOS9

6.1 Modelo de Manejo de Riesgos con Consumos Contingentes

Aunque en la realidad los agentes econmicos manejan el riesgo a travs de activos, para

presentar los conceptos bsicos del manejo de riesgos se introduce un modelo con consumos

contingentes. Es decir, asumamos que los individuos intercambian consumos contingentes de

tal manera que optimizan su bienestar.

Sean y las dotaciones iniciales de un individuo adverso al riesgo. En el problema se asumeque la varianza asociada a estos pagos es grande y que es mucho menor que , tal como semuestra en la figura 6a. Si incorporamos un mecanismo de precios se puede resolver el

problema de optimizacin del individuo de manera anloga a la de un consumidor debido a

que la existencia de precios permite tener una valorizacin de la riqueza del individuo. Sean y los precios asociados a los consumos contingentes, entonces un individuo resuelve:

9. Ver Hirschleifer y Riley (1992).


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Donde es el precio sombra de la restriccin. De las condiciones de primer orden sedesprende que:

Esta ecuacin es conocida como el Teorema Fundamental de Manejo de Riesgosque nos dice

que en el ptimo la utilidad marginal ser igual en todos los estados considerando precios y

probabilidades. Grficamente tenemos que si existiera un mercado de consumos contingentes

podramos pasar del punto D (que corresponde a la combinacin de dotaciones iniciales) al

punto E bajo los supuestos realizados.

Figura 6a

Sin embargo, en el mundo real el paso de D a E se realiza manejando activos.

Consideraciones a tener en cuenta:

a. En este mundo no existen bienes inferiores: cuando aumenta la riqueza aumenta elconsumo de todos los bienes y todas las utilidades marginales caen (efecto riqueza).

b. Si un precio aumenta, por ejemplo , entonces bsicamente tiene que caer por efectosustitucin y puede aumentar o disminuir por efecto riqueza. Si la riqueza aumenta


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entonces el consumo aumenta pero esto no significa que el bien sea inferior sino que el

individuo es un vendedor neto del consumo contingente 1.

c. Si para cada par de estados el ratio de precios replica las probabilidades entonces elmercado est ofreciendo una oportunidad de transar juegos justos. Si esto ocurre, el

punto E cae sobre la recta de , en otras palabras, los individuos se aseguranperfectamente. Este resultado se deriva del Teorema fundamental del manejo de riesgos

de acuerdo con el cual, en el ptimo debe cumplirse que:

Reacomodando esta expresin de forma conveniente se obtiene:

Pero, si suponemos: , entonces se desprende que:

Cabe resaltar que si bien el resultado habitual de la optimizacin es el suavizamiento del

consumo, existe la posibilidad terica que la optimizacin nos lleve de un punto como D a un

punto como E tal y como se observa en la Fig. 9.


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Este resultado podra deberse a que el precio del bien escaso, en este caso , sea tan altoque prefieren vender el bien a una posicin menos riesgosa.

6.1.2 Esttica Comparativa: relacin entre aversin al riesgo y riqueza

Se puede analizar el efecto sobre los consumos de incrementos en la riqueza. Este ejercicio es

interesante porque si los individuos tienden a asegurarse ms ante incrementos de la riqueza

significa que su aversin al riesgo aumenta con esta variable.

I. Aversin Absoluta al Riesgo

Hirshleifer & Riley (1992) usan una expansin paralela a la recta de 45 desde el punto de

maximizacin inicial porque en esta direccin se cumple que: .Figura 6 b

Sabemos que la TMS es igual a:

Obteniendo el logaritmo natural de esta expresin para simplificar el clculo, llegamos a la

siguiente expresin:

Calculamos


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Sobre la recta con pendiente de 45se cumple que:

En la Figura 6b se muestran los distintos puntos (A, B o C) en las que el individuo maximiza

dependiendo de si presenta aversin al riesgo absoluta decreciente, constante o creciente.

Si , el individuo presenta aversin absoluta al riesgo decreciente(DARA por sus siglas en ingls) y maximiza en A.

Si , el individuo presenta aversin absoluta al riesgo constante(CARA por sus siglas en ingls) y maximiza en B.

Si , el individuo presenta aversin absoluta al riesgo creciente (IARApor sus siglas en ingls) y maximiza en C.

Ejemplo: si las preferencias de un individuo se encuentren resumidas por una funcin

exponencial del tipo tendr aversin absoluta al riesgo constante y ante uncambio en la riqueza optimizar su utilidad aumentando su consumo de y en la mismacantidad, pues:

Es decir, la aversin al riesgo absoluta de este individuo no depende de .II. Aversin Relativa al Riesgo

En el punto de maximizacin inicial se cumple que:


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Diferenciando a ambos lados tenemos que: Empleando la primera ecuacin llegamos a la siguiente igualdad: Del desarrollo anterior tenamos que: Reemplazando y factorizando de manera conveniente llegamos a la siguiente expresin:

En la Figura 6c podemos observar los distintos puntos de maximizacin dependiendo del tipo

de aversin al riesgo relativa que presenta cada individuo:

Si maximiza en F el individuo presenta aversin relativa al riesgo decreciente. Si maximiza en G el individuo presenta aversin relativa al riesgo constante. Si maximiza en H el individuo presenta aversin relativa al riesgo creciente.

Figura 6c


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Ejemplo 1: Si las preferencias de un individuo se encuentren resumidas por una funcin

isoelstica del tipo donde entonces dicho individuo presentar aversinrelativa al riesgo constante (CRRA) pues se comprueba que:

Es decir, la aversin relativa al riesgo de este individuo no depende del nivel de consumo o

riqueza. Ante un cambio en la riqueza, un individuo como este maximizar su utilidad

aumentando su consumo de y proporcionalmente, lo que logra pasando de un puntocomo E a un punto como G.

Ejemplo 2: Si un individuo maximizara su utilidad, ante un cambio en la riqueza, pasando de un

punto como E a un punto como H, dicho individuo exhibira simultneamente aversin al

riesgo relativa creciente y aversin al riesgo absoluta constante pues aumentara su consumo

de y en la misma cantidad absoluta pero su consumo de aumenta ms queproporcionalmente a su consumo de .6.2 Modelo de Manejo de Riesgos con Activos

En el marco del modelo de manejo de riesgos con consumos contingentes el individuo resolva

su problema de optimizacin comprando y vendiendo consumos dependientes del estado, en

funcin de sus preferencias y de los precios de mercado; pero en la realidad no existen

consumos contingentes. Los individuos manejan el riesgo utilizando activos.

Supongamos que un agricultor dispone de un activo

, que en el contexto de este modelo

representa las hectreas de cultivo que dicho agricultor posee, cuyos rendimientos presentan una gran varianza y dependen de un factor exgeno: la presencia de buen clima. Demanera que el rendimiento de sus tierras ser mayor si el clima le es favorable.


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Figura 6d

Lo que el agricultor va a hacer en este contexto es mirar un segundo activo cuyo rendimiento

no est correlacionado con el ciclo del clima que caracteriza a la regin en la que se

encuentran ubicadas sus tierras de cultivo. Supongamos que este activo es el activo bienes

races , que existe y est disponible en el mercado10. Entonces el problema del individuopuede es representado por la figura 6d.

Cuando el individuo elige su consumo ptimo, indirectamente elige el portafolio de activos que

maximiza su funcin de utilidad esperada. En la Figura 6d es necesario notar que dado que el

rendimiento del activo no depende del clima si el individuo decide emplear toda su riquezaen comprar este activo su consumo ser el mismo bajo ambos estados, esto es:

6.2.1 El Problema del consumidor en un contexto con activos

10

Si estos activos no estn disponibles en el mercado o los que existen estn correlacionados con elactivo entonces existe un problema de mercados incompletos y el agente no podr realizar un buenmanejo de riesgos.


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La funcin a maximizar est planteada en funcin de los consumos pero la restriccin

presupuestaria est planteada en los activos. Necesitamos una forma de vincular los consumos

y los activos:

Replanteamos el problema de maximizacin introduciendo estas restricciones con igualdad.

Las cuatro variables de inters son y

De las condiciones de primer orden obtenemos los siguientes resultados:

Como un activo tiene rendimientos en todos los estados de la naturaleza el equilibrio est

determinado por la relacin entre lo que el activo me da y su precio:

Esta ecuacin constituye el Teorema Fundamental de Manejo de Riesgos con Activos.

Ejemplo: En el contexto del problema del agricultor expuesto previamente, se asume que la

dotacin inicial del agricultor -que est compuesta nicamente por el activo tierras- es . Se sabe adems que el rendimiento de este activo es si el clima esfavorable lo que sucede con probabilidad 0.6 y si el clima es adverso, mientras que elrendimiento del activo bienes races es (i.e. no depende del clima). Si losprecios de ambos activos en el mercado son y las preferencias del agricultorpueden ser resumidas por la funcin de utilidad , se pide:

a. Calcular y .


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b. Hallar las cantidades de y que maximizan la utilidad del agricultor.El problema de optimizacin del agricultor consiste en resolver el siguiente problema de

maximizacin:

El problema se simplifica expresando la restriccin presupuestaria en funcin de

y

:

Despejando se obtiene:

Empleando este resultado nuestro problema de maximizacin se convierte en un problema

con una nica restriccin:

De las condiciones de primer orden se desprenden los siguientes resultados:

De ambas ecuaciones se obtiene la siguiente relacin entre y :


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Los valores de equilibrio de y estn dados por las siguientes ecuaciones:

Para obtener los niveles de y que maximizan la utilidad esperada del agricultor slodebemos resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas:

Por lo tanto, los niveles de equilibrio de los activos tierra y bienes races son respectivamente y .Mercados incompletos

7. DOMINANCIA ESTOCSTICA

En algunos casos es posible estudiar la eleccin de los individuos observando nicamente la

distribucin de probabilidades de los consumos asociados a las diferentes opciones inciertas

disponibles para el individuo. Es decir, en algunas circunstancias las caractersticas de la

distribucin de probabilidades de los pagos es suficiente para saber si un individuo prefiere

una opcin a otra. Estas circunstancias se refieren a la dominancia estocstica de primer y

segundo orden.

7.1Dominancia estocstica de primer orden

Se dice que domina estocsticamente a si se cumple que , donde y son funciones de probabilidad acumuladas. Si domina estocsticamente en primerorden a , el individuo va a preferir los consumos bajo que los consumos bajo . Es decir:


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Remplazando de manera que:

Y aplicando integracin por partes obtenemos:

Dado que la probabilidad acumulada en es cero, se obtiene:

Figura 7a

En la medida que F es siempre menor que G, entonces se cumple que el individuo prefiere los

consumos bajo la distribucin F que los consumos bajo la distribucin G. Grficamente esto se

explica claramente debido a que si F es menor que G, entonces los consumos bajos tienen

mayor probabilidad bajo G y los consumos altos mayor probabilidad bajo F. Las figuras 7a y 7b

muestran esta situacin.


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Figura 7b

7.2Dominancia estocstica de segundo orden

En este caso se dice que domina estocsticamente en segundo orden a si se cumple que: Cuando esta condicin se cumple entonces las funciones acumuladas y de densidad pueden

ser graficadas como en la Figura 7c y 7d. Este resultado es consistente con las preferencias de

un individuo adverso al riesgo. Es decir, un individuo adverso al riesgo prefiere una distribucin

comoque le asigna menor probabilidad a las prdidas y las gananciasa una como quele asigna una probabilidad semejante a todos los pagosporque valora ms las prdidas quelas ganancias.

Partiendo del resultado obtenido previamente:

Remplazamos de manera que:

Simultneamente aplicamos la regla de Leibniz, de acuerdo con la cual:


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Para obtener la siguiente expresin:

Basta con que se cumpla que el individuo es adverso al riesgo para que esta desigualdad se

cumpla.

Figura 7c

Figura 7d

8. ENFOQUE MEDIA-VARIANZA

Bajo condiciones especiales de las preferencias o de la distribucin de probabilidades la

funcin de utilidad esperada puede escribirse como funcin de los primeros dos momentos de


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las distribuciones de estas funciones. Bajo este enfoque slo me importa la condicin de media

y varianza11.

Dentro de este enfoque el consumidor es modelado como un individuo que elige en

condiciones de incertidumbre y que es capaz de definir sus preferencias en trminos de las

variables media y varianza.

8.1Preferencias cuadrticasSea:

si es cuadrtica, puede escribirse como una funcin de la media y la varianza

.

Aplicando la serie de Taylor la funcin de utilidad obtenemos la siguiente expresin para

La conveniencia de la funcin cuadrtica es que todos los trminos ms all de se hacencero por lo que:

Donde:

11En Finanzas este enfoque es muy importante porque la media es equivalente al retorno y la varianzaal riesgo y los productos financieros se definen por su retorno y su riesgo.


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Operando obtenemos:

Es necesario notar que en la ecuacin anterior y .De esta manera es posible obtener una expresin para

en funcin de la media y la varianza:

Reemplazando convenientemente obtenemos la siguiente expresin paraen funcin de losparmetros , y .

Las mismas condiciones que aseguran que la pueda ser reescrita como funcin de la mediay la varianza aseguran que la media tenga una contribucin positiva en la y que la varianzatenga una contribucin negativa: los individuos prefieren menos riesgo y mayor rendimiento.

Ntese que la tasa marginal de sustitucin para preferencias cuadrticas es tal que:

Es decir la tasa marginal de sustitucin no solo es positiva sino creciente, es decir la tasa a la

que se intercambia riesgo por retorno crece cuando aumenta el riesgo. Un individuo averso al

riesgo tiende a preferir incrementos marginales en el retorno mayores cuando su riesgo crece.

La curva de indiferencia de la figura 8a resume estas caractersticas.

Figura 8a


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8.2Aversin al riesgo relativa constante y distribucin normal de pagos

Funcin CARA

Sea la funcin de utilidad esperad en tiempo continuo:

Si

(el individuo tiene aversin absoluta constante al riesgo) y

es una

normal entonces puede ser escrita como funcin de la media y la varianza.Demostracin:

Reemplazando ambas condiciones en la funcin de utilidad esperada en tiempo continuo se

obtiene:


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Factorizando de forma conveniente se obtiene:

Completando cuadrados llegamos a la siguiente expresin

Reemplazando esta expresin en se obtiene

Notar que la integral entre parntesis es la integral de una funcin de densidad normal

anloga a la inicialmente presentada pero con una media distinta. Esto es, hemos identificado

una nueva variable cuya media y varianza son:

Por lo tanto, lo que hemos hecho es mover la funcin de densidad hacia la izquierda pues . Regresando a la funcin de utilidad esperada lo que tenemos es finalmente laintegral de una funcin de densidad desde su valor mnimo hasta su valor mximo por lo que

se debe cumplir que

Reemplazando obtenemos:


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Simplificando esta expresin tenemos que:

9. APLICACIONES

9.1. El Problema Regulatorio12

En la Regulacin existen dos grandes grupos de esquemas de incentivos: los esquemas de nivel

(i.e. precios tope, regulacin por comparacin o por costos) y los esquemas de estructura. Enesta aplicacin desarrollaremos un modelo de incertidumbre que nos permita identificar el

esquema de nivel ms conveniente.

Sea una empresa cuya funcin de costos depende del esfuerzo que la empresa realiza enreducir dichos costos. La relacin entre costos y esfuerzo realizado est dado por la siguiente

ecuacin:

Sin embargo, realizar este esfuerzo le genera costos a la empresa por lo que toma la forma de

una desutilidad. En el marco de esta aplicacin se asume que la desutilidad generada por

aplicar cada vez ms esfuerzo en reducir costos es creciente. La siguiente ecuacin expresa

este hecho.

Grficamente:

12. Armstrong, Cowan y Vickers (1995).


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Figura 9a

El gobierno busca proveer incentivos para que la empresa reduzca su estructurad e costos. El

regulador cuenta con la siguiente informacin:

Por otro lado, las preferencias de las empresas (adversas al riesgo) son resumidas por las

siguientes ecuaciones de acuerdo al enfoque media-varianza:

Donde los beneficios de la empresa

estn representados por:

Adems, vamos a asumir por simplificacin que la demanda es fija (i.e. ). Laregulacin va a consistir en un juego en el que, en un primer momento, el regulador determina

una regla regulatoria y la empresa reacciona realizando un esfuerzo determinado.

La regla regulatoria est caracterizada por tres parmetros:


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Parmetro de nivel relevante bajo un esquema de precios tope. Parmetro que mide el grado de pass-trough de los costos al precio. Parmetro relevante bajo un esquema de regulacin por comparacin.El parmetro relevante determinar el esquema de regulacin efectivo:

Si es el parmetro relevante tengo una regulacin por costos ( ) Si es el parmetro relevante tengo una regulacin por comparacin ( ) Si es el parmetro relevante tengo una regulacin por precios tope ( )Necesitamos saber qu es lo que quiere el regulador. Supongamos que el regulador quiere el

mnimo precio esperado a fin de maximizar el excedente del consumidor pero de tal manera

que el empresario participe. Lo que el modelo me dice es que no hay ningn esquema de

precios que sea siempre mejor que otros.

Regresando al modelo, resulta conveniente redefinir para no distraernos con la cantidad

Notar que en la ltima ecuacin slo y son variables aleatorias. Los beneficios esperadosy el riesgo asociado al nivel de estos beneficios estn dados por las siguientes ecuaciones


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Introduciendo estos resultados en la funcin de utilidad esperada se obtiene:

El problema de regulacin se resuelve por induccin hacia atrs. Primero la empresa escoge el

esfuerzo ptimo asumiendo como dados los valores de , y y en un segundo momento laempresa elige el esquema de regulacin ptima.

Primera etapa: eleccin del esfuerzo ptimo

De las condiciones de primer orden se desprende:

De acuerdo con este resultado, la eleccin del esfuerzo ptimo slo depende de (i.e. elpass-troughde costos a precios). Si es grande el esfuerzo en reducir costos tambin ser grande.Por el contrario, si en el lmite

(i.e. el pass-trough es completo), la empresa no tiene

incentivos a esforzarse porque ocurre que cuando los costos bajan tambin lo hacen los

precios.

Segunda etapa: el regulador elige el esquema de regulacin que le permita optimizar su

funcin objetivo

Conociendo la reaccin de la empresa, el regulador va a minimizar el precio esperado sabiendo

que tiene que elegir una combinacin de

y

que garanticen que la empresa participe.

Para que la empresa participe esta combinacin debe ser tal que sea al menos igual a cero.Entonces, el problema de optimizacin del regulador toma la siguiente forma:

La restriccin se cumple con igualdad si:


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Una forma de resolver el problema de optimizacin es despejar

en funcin del resto de

parmetros e introducir este resultado en la funcin objetivo. Despejando y reemplazando por el valor ptimo de esfuerzo (i.e. ) se obtiene la siguiente expresin:

Dado que se obtiene

Simplificando llegamos a la siguiente expresin

Minimizando esta expresin respecto de los parmetros de inters obtenemos las siguientes

condiciones de primer orden

De estas dos ecuaciones se desprenden los siguientes resultados:


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Lo que me dice esta solucin es que en la frmula del precio, el componente del factor

yardstick depende de que tan correlacionada est la informacin en costos (i.e. si es alto, es alto). Es posible identificar dos esquemas:

i. Cuando la correlacin entre los costos de las empresas es perfecta de forma queel regulador puede emplear la informacin de una empresa para regular a otra. Adems,

dadas las condiciones de primer orden se sabe que si entonces y son tambiniguales a la unidad por lo que el precio queda definido por la siguiente expresin:

Este es el caso particular en el que el precio es fijado en relacin con el de otra empresa.es un parmetro dominante.

ii. Cuando , tambin es cero y, por tanto, todo depende de y de . En estecontexto, cmo escojo entre una regulacin por costos o una regulacin por precios

tope? Depende del resto de parmetros.

a.

La regulacin por precios tope es conveniente cuando y son muy pequeos,esto es, cuando la empresa no es adversa al riesgo o tengo poca varianza. Estoimplica que .

b. La regulacin por costos es conveniente cuando y son muy grandes pues bajoeste esquema y tienden a cero y el precio es igual a . Pero si entonces elesfuerzo en la reduccin de costos tambin tiende a cero. La pregunta es por qu al

regulador le puede interesar un esquema en el que la reduccin de costos es

mnima? Porque la empresa es adversa al riesgo. La nica manera que la empresa

participe es haciendo que sea grande: lo que gano en eficiencia lo pierdo enincentivos.Entonces el menor precio puede ser obtenido va cualquier mecanismo regulatorio para una

combinacin determinada de parmetros


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9.2. Teora del Portafolio13

Un inversionista tpico que tiene una riqueza cuenta con activos. La restriccinpresupuestal de este individuo est dada por

donde

es el precio de mercado

del activo . Se define el retorno siendo y los valoresdel retorno esperado y del riesgo asociados al activo .Este individuo construye un portafolio de activos cuyo retorno y riesgo son y respectivamente. Su consumo final depender de la realizacinefectiva de estos activos.

A. Un activo libre de riesgo ( ) y un activo riesgoso ( )Se definen la restriccin presupuestaria y el portafolio del inversionista:

Restriccin presupuestaria: Portafolio:

El rendimiento del activo libre de riesgo es un valor conocido (p.e. tasa de inters de un banco)

El retorno esperado y el riesgo del portafolio de activos son

Despejando de la restriccin presupuestaria se obtiene

13. Hirschleifer y Riley (1992).


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Remplazando esta expresin en la ecuacin del valor esperado del portafolio llegamos a la

siguiente expresin para

Sabemos que . Reemplazando obtenemos:

De la ecuacin para el riesgo del portafolio sabemos que . Reemplazandoencontramos una expresin para el retorno esperado del portafolio como una funcin de laraz cuadrada del riesgo :

Grficamente:

Figura 9b

Conclusiones que se desprenden del grfico:

i. No es posible tener un mayor retorno sin incurrir en un mayor riesgo.ii. Las preferencias del individuo determinarn la composicin final del portafolio:

individuos ms adversos al riesgo preferirn tener en su portafolio una mayor

proporcin de activos libres de riesgo.


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iii. Cuando decimos que hay un activo riesgoso y uno libre de riesgo podemos afirmar queesta situacin es equivalente a una en la que hay ms de un activo riesgoso (como los

activos que generan las combinaciones de media y varianza D, F y G) pero que estos

estn dominados por el

.

iv. Dado que slo se estn considerando las combinaciones relevantes la recta que pasapor el punto de maximizacin puede considerarse como lafrontera eficiente.

B. Dos activos riesgosos

Sea un individuo que invierte su riqueza en la compra de dos activos riesgosos y . Larestriccin presupuestaria y la composicin del portafolio de dicho individuo estn dados por

las siguientes ecuaciones:

Es posible modificar la primera ecuacin para tener de un lado a la unidad

Hirshleifer&Riley (1992) redefinen los valores de los activos como transformaciones lineales de

El rendimiento esperado y el riesgo asociado a los activos transformados pueden ser expresados mediante las siguientes ecuaciones:

Rendimiento esperado yriesgo asociados al


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El cambio de variable es muy conveniente porque me permite realizar la siguiente

simplificacin. Asumamos que:

Entonces es posible reescribir el portafolio de activos as como el rendimiento esperado y el

riesgo asociado a este en funcin de y Donde . Se estudian tres casos:a. Correlacin perfecta:

Se puede asumir que . De este supuesto se desprende que (i.e. no existeactivo relevante que tenga mayor retorno y menos riesgo)De la ecuacin para el rendimiento del portafolio se obtiene

Rendimiento esperado yriesgo asociados al


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De la ecuacin anterior despejamos y reemplazamos convenientemente en la ecuacin parael riesgo de portafolio a fin de hallar una expresin que nos permita escribir el riesgo como una

funcin el rendimiento.

Notar que la correlacin entre y es positiva.Grficamente:

Figura 9c

b. Correlacin negativa: Aprovechando el desarrollo anterior es posible llegar directamente a la siguiente ecuacin

Se tienen dos posibles soluciones:


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1. Si entonces 2. Si entonces

Se puede concluir entonces que la existencia de activos negativamente correlacionados le

permite al inversionista obtener mayores combinaciones de retorno y riesgo.

c. Correlacin nula:

Grfico de las combinaciones de riesgo y activo bajo los tres esquemas de correlacin

estudiados.

Figura 9d

Muchos activos riesgosos y un activo libre de riesgo:

Figura 9e


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Teorema de los Fondos Mutuos

El activo libre de riesgo ms eficiente de todos define un nico portafolio eficiente. El teorema

de los fondos mutuos nos dice que independientemente de las preferencias de los individuos,

todos van a obtener las combinaciones de los activos riesgosos en las mismas proporciones. En

lo que difieren estos individuos, dadas sus preferencias, es en la combinacin entre activos

riesgosos y activos libres de riesgo.

CAPM

Sea un inversionista tpico con un nivel de riqueza y un portafolio de activos denotadospor las siguientes ecuaciones

Donde el subndice denota a la combinacin de activos eficiente (i.e. fondo mutuo). Como secio antes el rendimiento esperado y el riesgo asociado al portafolio pueden ser representados

por las siguientes ecuaciones:


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Despejando de la restriccin presupuestaria y reemplazando en la ecuacin para elrendimiento esperado del portafolio se obtiene:

Factorizando se obtiene

Todos los activos riesgosos del portafolio ya estn incluidos en . Pero me voy a preguntarqu pasa localmente cuando compro un poco ms del

, un activo riesgoso que est

incluido del fondo mutuo. De este experimento se desprende una relacin entre el fondo muto

y el , hallazgo que constituye la base del .

Vamos a asumir que el inversionista realiza esta compra reduciendo la parte de su riqueza que

destinaba al activo libre de riesgo De esta ecuacin se desprenden los siguientes resultados:


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La nueva restriccin presupuestaria es

La nueva composicin del portafolio de activos est dada por:

donde

ya no es el ptimo. Las nuevas ecuaciones para el rendimiento esperado y el riesgo

del portafolio son Diferenciando totalmente ambas ecuaciones se obtiene

Factorizando de manera conveniente ambas ecuaciones se llega a los siguientes resultados

Dado que el anlisis se realiza en la proximidad del , el valor de tiende a cero.Podemos hallar entonces una relacin entre el cambio en el retorno y el riesgo del fondo

mutuo pero expresado como una funcin del fondo mutuo y del .


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Adems se tiene que cuando tiende a cero por lo que . Juntando lasdos ecuaciones para el precio de la aversin al riesgo (i.e. ) llegamos a la siguientecondicin de igualdad

Desarrollando se llega a

Clculo del WACC en industrias reguladas ra es rd (el costo de oportunidad de los fondos

propios).

Donde es la deuda, el patrimonio y; y son las tasas de inters de la deuda (retornoseguro) y del patrimonio (retorno del portafolio).

9.3.Utilidad Dependiente del Estado14

Hemos visto una teora de la incertidumbre en la que la utilidad depende de los pagos. Bajo

este marco terico hay una relacin montona entre los pagos y la utilidad. En algunas

circunstancias, sin embargo, este enfoque puede ser visto de otra manera. En particular, se

observa que las preferencias de los individuos pueden estar representadas por una utilidad

que no slo depende de los pagos sino tambin del estado en el que se hayan recibido dichos

pagos: no es lo mismo para un individuo ganar una apuesta cuando su equipo perdi que

cuando su equipo gan.

14. Hirschleifer y Riley (1992).


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Figura 9f

Figura 9g

Aplicacin: el valor de la vida

Puede ocurrir que exista una probabilidad de que me ocurra un accidente fatal. Cmomodifica esto el anlisis? Dado que slo puedo disfrutar de los pagos si este accidente no

ocurre (i.e.

) , mi funcin de utilidad toma la siguiente forma


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Es posible inferir una relacin entre la probabilidad de que el accidente ocurra, , y el dinero,

. Hay situaciones en las que los agentes estn dispuestos a recibir un poco ms de dinero a

cambio de arriesgarse un poco ms (p.e. la disposicin a mudarse a zonas ms inseguras a

cambio de recibir un mayor salario) Si esto es posible entonces es posible calcular el valor de la

vida

Imaginemos que tenemos una cantidad de dinero

. Puede ocurrir que estemos dispuestos a

tener ms dinero a cambio de una mayor probabilidad de morir. Me puedo preguntar cul es

la cantidad de dinero que me hace independiente entre aceptar el riesgo y no aceptarlo.

Usando una aproximacin de Taylor, podemos aproximar la ecuacin anterior

La tasa marginal de sustitucin entre ingresos y una mayor probabilidad de accidente es:

Donde Entonces si en una sociedad podemos obtener US$ ms a cambio deaceptar un cambio en la probabilidad en entonces se puede aproximar el valor de la vidaen Si diferenciamos la

c


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9.4.Paradoja Mehra Prescott

En esta aplicacin se analiza el grado de aversin al riesgo consistente con la evolucin de

indicadores financieros representativos para renta fija y renta variable. Considrese la

siguiente ecuacin de Euler:

Donde el superndice en puede referirse a bonos o acciones . Si es unafuncin isoelstica:

El individuo tiene aversin al riesgo relativa constante.

Evaluando la funcin de utilidad isoelstica en la ecuacin de Euler:

Donde:


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Trabajamos la siguiente expresin mediante una expansin de Taylor:

Si en el estado estacionario se cumple: Entonces obtenemos:

Utilizando los datos del problema obtenemos:

Tomando valor esperado a la expresin:

Reemplazando en la ecuacin de Euler tenemos:

Si


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Recordando que Por lo tanto,

Si suponemos que tanto como son valores muy pequeos.Entonces:

Para dos los dos activos en la economa, bonos y acciones, podemos obtener una expresin

que nos explique el diferencial de los retornos esperados de ambos activos.

Para acciones:

Para bonos:

El diferencial entre ambos retornos esperados ser:

O equivalentemente:


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Si calibramos la expresin utilizando datos de bonos y acciones de EEUU, se demuestra la

paradoja que identificaron Mehra y Prescott:

Utilizando la frmula obtenemos:

Considerando los valores reportados por S&P y los bonos del tesoro Mehra y Prescott hallaron

que: Segn los datos, el coeficiente de aversin relativa al riesgo tendra un valor de:

Es decir, una aversin al riesgo extremadamente grande.

Capítulo Incertidumbre 2011 (M) (3)

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