capítulo Conjuntos

Click here to load reader

  • date post

    18-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    583
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of capítulo Conjuntos

Libro: De la Lgica a las funciones Autores: Claudia Cardazo, Roco Elejalde y Guillermo Lpez

Captulo 2CONCEPTOS CONJUNTOS2.1 DEFINICIONES: 2.1.1 Conjunto: Trmino bsico no definido. Concepto intuitivo: Lista, coleccin o clase de objetos, bien definidos. Notacin: por letras maysculas. Sus elementos por letras minsculas. Se puede definir : Por extensin (o forma tabular): se enumera cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {-2,1,3,4} Por comprensin (o forma constructiva): cuando se enuncia una propiedad que deben tener sus elementos. Ejemplo: B = {x/x es nmero racional} C = {x/x = 2n-1 + 1, nN} 2.1.2 Relacin de pertenencia: Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto se utiliza los signos y respectivamente. 2.1.3 Conjuntos numerables y no numerables: Un conjunto es numerable si consta de un cierto nmero de elementos distintos donde el proceso de contar puede acabar, si no acaban el conjunto es no numerable. 2.1.4 Conjunto vaco: Carece de elementos. Se denota por el smbolo { } y se representa por A = { x x A x A} 2.1.5 Conjunto unitario: Es el que tiene un solo elemento.

BSICOS

SOBRE

TEORA

DE

2.1.6 Conjunto universal: Es un conjunto que contiene todos los conjuntos que se estn tratando, (tambin se le conoce como Referencial). Smbolo: U y se representa por U = {x/x A x A; siendo A cualquier conjunto} 2.1.7 Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Es decir, A es igual a B si cada elemento que pertenece a A pertenece tambin a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece tambin a A. Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por A = B. 2.1.8 Subconjunto: sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es un subconjunto de B, (A B), si y solo si todo elemento de A es tambin elemento de B.

65

Conceptos bsicos sobre teora de conjuntos

Simblicamente: A B ( x )( x A x B ) A B se lee A es un subconjunto de B o B es un superconjunto de A BA A B se lee A no es un subconjunto de B o B no es un superconjunto de A

: smbolo de subconjunto o contenencia, inclusin.

Propiedades de la inclusin: i) El conjunto vaco, , se considera subconjunto de todo conjunto. ii)Si A no es subconjunto de B, es decir, A B ; entonces hay por lo menos un elemento de A que no es elemento de B. iii)Todo conjunto es subconjunto de si mismo, es decir, si A es cualquier conjunto entonces A A Demostrar las propiedades anteriores. Teorema: si A B y B C implica que A C (Demostrarlo). Notas: 1) Con la definicin de subconjunto se puede dar de otra forma la definicin de la igualdad de conjuntos; as: Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y slo si A B y B A . Simblicamente: A = B A B B A 2) La igualdad de conjuntos es una relacin de equivalencia. (Por qu?)

2.1.9 Subconjunto propio: Ya que todo conjunto A es subconjunto de si mismo, se dice que B es un subconjunto propio de A, si: i) B es un subconjunto de A, y ii) B no es igual a A Es decir, B es subconjunto propio de A si: B A y B A En algunos textos B es subconjunto de A se denota por B A , y B es subconjunto propio de A, se denota por B A 2.1.10 Comparabilidad: Dos conjuntos A y B son comparables si A B o B A , es decir, si uno de los conjuntos es subconjunto del otro. Simblicamente: A y B son comparables A B B A Dos conjuntos A y B se dicen no comparables si A B B A 2.1.11 Familia de conjuntos: Es el conjunto formado por elementos que son conjuntos. Para designar familias o clases de conjuntos se emplean letras inglesas: A, B, C, D, E, .... Ya que las maysculas denotan sus elementos.

66

Libro: De la Lgica a las funciones Autores: Claudia Cardazo, Roco Elejalde y Guillermo Lpez 2.1.12 Conjunto potencia: Se define el conjunto potencia o conjunto de partes de un conjunto dado A como el conjunto de todos los subconjuntos de A. Se representa como P (A). Con: n(A): nmero de elementos de A. n[P (A)]: nmeros de elementos de P (A). 2.1.13 Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos si y slo si no tienen elementos comunes. 2.1.14 Diagramas: Venn-Euler: Se representa un conjunto mediante un rea plana, generalmente crculos.

Ejemplo: A B B A

Lineales: Se establece la representacin mediante lneas donde se identifican rdenes jerrquicos.

Ejemplo: 1) A B Se representa:

67

Conceptos bsicos sobre teora de conjuntos

2) Si A B y B C, entonces se representa:

3) Sean los conjuntos: A = {1}; B = {1, 2}; C = {1, 2, 3}; Su representacin lineal sera: D = {1, 2, 4}

2.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS 2.2.1 Unin: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la funcin proposicional x A v x B, entonces se obtiene un nuevo conjunto llamado la unin de A y B, es decir: A U B = {x/x A v x B}

68

Representacin: A) Simblica: x (A U B) x A v x B B) Grfica: A B AUB

Propiedades: 1. Idempotencia: 2. Identidad: 3. Conmutativa: 4. Asociativa: 5. Adicin:

AUA=A AU=A ; AUU=U AUB=BUA A U (B U C) = (A U B) U C A (A U B) ; B (A U B)

2.2.2 Interseccin: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la funcin proposicional x A x B, se obtiene un nuevo conjunto llamado la interseccin de A con B, es decir: A B = {x/x A x B} Representacin: A) Simblica: x (A B) x A x B B) Grfica: A B AB

Propiedades: 1. Idempotencia: 2. Identidad: 3. Conmutativa: 4. Asociativa: 5. Distributiva:

AA=A A= ; AU=A AB=BA A (B C) = (A B) C a) A (B U C) = (A B) U (A C) b) A U (B C) = (A U B) (A U C) 6. (A B) A ; (A B) B 7. Si A y B son disjuntos entonces A B =

68

Operaciones fundamentales con conjuntos 2.2.3 Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A. El complemento de A se denota por A, o por Ac, o por A = {x/x A} Representacin: A) Simblica: x A x A (x A) B) Grfica:

A

A

Propiedades: 1. (A) = A (Complemento del complemento) 2. A U A = U (Tercer excluido) 3. A A = (Contradiccin) 4. (A U B) = A B(Leyes de De Morgan) (A B) = A U B 5. U = ; = U 2.2.4 Diferencia: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una funcin proposicional x A x B, se obtiene un nuevo conjunto llamado diferencia entre A y B. Notacin: La diferencia entre A y B se designa por A B. A B = {x/x A x B} Representacin: A) Simblica: x (A B) x A x B

B) Grfica: A B A-B

69

Propiedades: 1. A B = A B 2. A A = 3. A - = A 4. - A = , U A = A 5. A B = B - A A = B 6. (A - B) - C A - (B - C) 7. (A - B) A NOTA: A-B B-A (No cumple con la propiedad conmutativa excepto cuando A=B). 2.2.5 Diferencia simtrica: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una funcin proposicional x (AB) x (AB), se obtiene un nuevo conjunto llamado la diferencia simtrica entre A y B. Notacin: Se designa la diferencia simtrica entre los conjuntos A y B por A B. A B={x/x (AB) x (AB)} Representacin: A. Simblica: x(A B) x(AB) x (AB) B. Grfica: A B AB

Propiedades: 1. AB = BA 2. (AB)C = A (BC) 3. A = A 4. AA = 5. (AB)C = (AC) (BC) 6. AB = (A-B)U (B-A) 7. AB = (A U B)-(AB) 2.2.6 Operaciones con conjuntos comparables: Las operaciones de unin, interseccin, diferencia y complemento tienen propiedades sencillas cuando los conjuntos de que se trata son comparables.

70

Operaciones fundamentales con conjuntos Teoremas: 1. A B implica A B = A 2. A B implica A U B = B 3. A B implica B A A B implica A U (B - A) = B Nota: 1. Probar los anteriores teoremas (mediante grficas). 2. Demostrar dichos teoremas (justificando cada paso).

2.2.8 Principio de dualidad en B, U,

:

Toda proposicin o identidad algebraica deducible de los postulados de un lgebra booleana de conjuntos B, U, sigue vlida s todas las operaciones (U) e ( ) y los elementos identidad y U son intercambiados. Si una proposicin o una expresin se obtiene de otra por una sola aplicacin del principio de dualidad, la segunda se llama la DUAL de la primera y viceversa. Ejemplos: 1. (a) A U A = A 2. (a) A U U = U 3. (a) A U (A B) = A

(b) A A = A (Dual de (a)). (b) A = (Dual de (a)). (b) A (A U B) = A (Dual de (a)).

Nota: Hallar expresiones que cumplan con el principio de dualidad.

2.3 NMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Si A es un conjunto, se denota con n(A) el nmero de elementos de A. Sea V = {x/x es vocal} ; n(V) = 5. Sea P = {x/x es # primo par} ; n(P) = 1. Sea N = {x/x es divisor de 5} ; n(N) = 2.

71

Ejercicios resueltos Entonces podemos analizar dos casos: A) Si se dan conjuntos A y B disjuntos, es decir, A B = , entonces el nmero de elementos en la unin de A y B es igual a la suma del nmero de elementos de A y el nmero de elementos de B. Luego: Si A B = entonces Ejemplo: Sea A = {a, b, c, d} y B = {m, n, o, p, q} entonces: n(A) = 4 ; n(B) = 5 ; AB= A U B = {a, b, c, d, m, n, o, p, q} n(A U B) = n(A) + n(B) = 4 +5 = 9. B) Si se dan dos conjuntos A y B tales que A B , es decir, no son disjuntos. Se puede obtener el nmero de elementos de A U B de la siguiente forma: n(A U B) = n(A) + n(B) n(A B) (*) Ejemplo. Sean A = {x/ -3 < x < 4, x Z} Entonces: n(A) = 6 ; n(A B ) = 2 y B = {x/ 2 x 6, x Z} n(B) = 5 y A B = {2, 3} A U B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(A U B) = 9. n(A U B) = n(A) + n(B).

Aplicando (*) tenemos: como A B n(A U B) = n(A) + n(B) n(A B) n(A U B) = 6 + 5 - 2 = 9 . Si A B = entonces n(A B) = 0, puede entonces generalizarse: A, B; n(A U B) = n(A) + n(B) n(A B) Nota: Es posible derivar frmulas para el nmero de elementos de un conjunto formado por la unin de ms de dos conjuntos. Para tres conjuntos: n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) n(AB) n(AC) n(BC) + n(ABC) OBSERVACIN: Las anteriores frmulas tienen demost