Capítulo 7 (Parte 3)

5/16/2018 Cap tulo 7 (Parte 3) - slidepdf.com

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348 PARTE TRES D iseRo de e lementos rneconicos

7 - 1 Introducci6n

Una flecha es un elemento rotatorio, pot 10 general de seccion transversal circular, que se

emplea para transmitir potencia 0 movimiento. Ella constituye el eje de rotacion u oscilacion

de elementos como engranes, poleas, volantes de inercia, manivelas, catarinas y miembros

similares 'j,ademas, controla la geometria de su movimiento, Un eje es un elemento no gira-

torio que no transmite par de torsion que se utilizapara soportar ruedas rotatorias, poleas y

elementos parecidos. El eje de un automovil no es un eje verdadero. El termino es un rema-

nente de la era de caballo y la calesa, cuando las ruedas giraban sobre elementos no rotatorios.

Un eje no giratorio puede disefiarse con facilidad y analizarse como una viga estatica, pero

no justifica la atencion especial que se le da en este capitulo a los ejes giratorios que estan

sometidos a carga por fatiga.

En realidad no existe nada iinico acerca de un eje que requiera algiin tratamiento especial

mas alla de los metodos basicos que ya se desarrollaron en capftulos anteriores. Sin embar-

go, debido a la ubicuidad de las flechas en muchas aplicaciones de disefio de maquinas, es

conveniente realizar un estudio mas a fondo de la flecha y su disefio. El disefio de una flecha

completa tiene mucha interdependencia con el de los componentes. El disefio de la propia

maquina dictara que ciertos engranes, poleas.: cojinetes y otros elementos se tendran que

analizar, al menos parcialmente, y determinar en forma tentativa su tamafioy espaciamiento.

EI capitulo 18 proporciona un caso de estudio completo de una transmisi6n de potencia, can

enfoque en el proceso de disefio global. En este capitulo se estudiaran los detalles referentes

ala flecha, incluyendo los siguientes temas:

• Selecci6n del material

• Configuraci6n geometrica

• Esfuerzo y resistencia

• Resistencia estatica• Resistencia por fatiga

• Deflexion y rigidez

• Deflexion por flexion

• Deflexion por torsion

• Pendiente en los cojinetes y elementos soportados por el eje

• Deflexion por cortante debida a cargas transversales sobre ejes cortos

• Vibracion debida a la frecuencia natural

Cuando se deciden los divers os aspectos de un enfoque de disefio, es necesario tamar en

cuenta que un analisis de esfuerzos en un punta especffico de un eje se hace solo mediante

la geometna del eje en la proximidad de ese punto. De esta forma, no se necesita conocer la

geometrfa de todo el eje. En disefio, por 10 general, se localizan las areas cnticas, se dimen-

sionan para cumplir los requisitos de resistencia y despues se dimensiona el resto del eje para

satisfacer las necesidades de los elementos soportados por este.

Los analisis de deflexi6n y de pendiente no pueden hacerse hasta que se haya definido

la geometna de todo el eje. De esta manera, la deflexion es una funcion de la geometna de

todas partes, mientras que el esfuerzo en una seccion de interes es una funcion de la geome-

tria local. Por esta razon, el disefio de ejes permite primero una consideracion de esfuerzo y

resistencia. Una vez que se hayan establecido valores tentativos para las dimensiones del eje,

se pueden determinar las deflexiones y las inclinaciones.

7-2 Materiales para fabricar eies

La deflexion no se ve afectada por la resistencia sino por la rigidez, representada por el modulo

de elasticidad, que es esencialmente constante en todos los aceros. Por esa razon, la rigidez no

puede controlarse mediante decisiones sobre el material, sino s610 por decisiones geometricas.



CAP iTULO 7 E ies , fle chas y s u s c omponen te s 349

La resistencia necesaria para soportar esfuerzos de carga afecta la eleccion de los mate-

riales y sus tratamientos. Muchos ejes estan hechos de acero de bajo carbona, acero estirado

en frio 0acero laminado en caliente, como 10 son los aceros ANSI 1020-1050.

A menudo no esta garantizado el incremento significative de la resistencia proveniente

del tratamiento termico ni el contenido de alta aleacion. La falla por fatiga se reduce mode-

radamente mediante el incremento de la resistencia, y despues s610 a cierto nivel antes de

que los efectos adversos en el limite de resistencia a la fatiga y la sensibilidad a la muescacomience a contrarrestar los beneficios de una resistencia mayor. Una buena practica consiste

en iniciar can un acero de bajo 0medio carbono de bajo costo, como primer paso en los calcu-

los del disefio. Si las consideraciones de resistencia resultan dominar sobre las de deflexion,

entonces debe probarse un material con mayor resistencia, 10 que permite que los tamafios del

eje se reduzcan hasta que el exceso de deflexion adquiera importancia. El costa del material

y su procesamiento debe ponderarse en relacion con la neeesidad de contar con diametros de

eje mas pequefios. Cuando estan garantizadas, lasaleaciones de acero tipicas para tratamiento

termico incluyenANSI 1340-50,3140-50,4140,4340,5140 Y8650.

Por 10 general, los ejes no requieren endurecimiento superficial a menos que sirvan como

un recubrimiento real en una superficie de contacto. Las elecciones tipicas para el material

para el endurecimiento superficial incluyen los grados de carburizacion ANSI 1020, 4340,

4820 Y 8620 .

..Por 10 general, el acero estirado en frio se usa para diametros menores de 3 pulgadas. El

diametro nominal de la barra puede dejarse sin maquinar en areas que no requieren el ajuste

de los componentes. El acero laminado en caliente debe maquinarse par completo. En el caso

de ejes grandes que requieren la remocion de mucho material, los esfuerzos residuales pueden

tender a causar alabeo. Si la concentricidad es importante, puede ser necesario maquinar las

rugosidades, despues tratar termicamente para remover los esfuerzos residuales e incrementar

la resistencia, luego maquinar para el terminado y llegar a las dimensiones.finales.

Cuando se debe seleecionar el material, la cantidad que se producira es un factor sobre-

saliente. Para pequefias producciones, el tomeado es el proceso de formado mas cormin. Un

punto de vista economico puede requerir la eliminacion de una eantidad minima de material.

La alta produccion puede permitir un metodo de conformado conservador de volumen (for-

mado en caliente 0 en frio, fundicion) y un mfnimo de material en el eje puede convertirse

en una meta de diseiio, Se puede especificar el hierro fundido si la cantidad de produccion es

alta, y los engranes deberan fundirse de manera integral con el eje.

Las propiedades del eje dependen localmente de su historia: trabajo en frio, formadoen

frfo, laminado de los rasgos del filete, tratamiento termico, incluyendo el medio de temple,

agitacion y regimen de templado.'

El aeero inoxidable puede resultar apropiado para algunos entomos.

7-3 Configuracion del eie

La configuracion general de un eje para acomodar los elementos que 10 conforman, por ejem-plo, engranes, cojinetes y poleas, debe especificarse en los primeros pasos del proceso de

disefio para poder realizar un analisis de fuerzas de cuerpo libre y para obtener diagramas de

momenta cortante. Por 10 general, la geometna de un eje es 1a de un cilindro escalonado. El

uso de hornbros 0 resaltos constituye un medio excelente para localizar en forma axial los

elementos del eje y para ejeeutar cualquier carga de empuje necesaria. En la figura 7-1 se

muestra un ejemplo de un ejeescalonado que soporta el engrane de un reductor de velocidad

de corona sinffn. Cada hombro del eje sirve para un proposito especffico, por 1 0 eual se reco-

mienda que ellector 10 determine mediante observaci6n.

1Yea Joseph E. Shigley, Charles R. Mischke y Thomas H. Brown, Jr. (editor en jefe), Standard Handbook of

Machine Design, 3a. ed., McGraw-Hlll, Nueva York, 2004. Para predecirla propiedad trabajada en frio, vea el capi-

tulo 29, y para la propiedad trabajada en caliente, yea los capftulos 29 y 33.



350 PARTETRES Diseno de elementos meconicos

Figura 7-1

Reduc!or vertical de velocidad

de tornillo stnlin. (Cortesia de

Cleveland Gear Company.)

Figura 7..2

0) Elqa 10 c o n hqu r cc lo n de

un eje para soportar y ubicar

los dos engranes y los dos

cojinetes. b ) Enla solucion se

emplea un pinon integral, tres

hombros de eje, cufio, cufiero~

y un manguih EIalojamiento

ubica los cojinetes en sus

anillos exteriores y reeibe las

cargos de empuje. c ) Eli ja la

configuracion del eje de un

ventilcdor, d) En 10 solucion 5e

utilizon cojinetes de casquillo,

un eje integral a f roves de

las piezas, collarines de ubi-

cocion y tornillos de fqaeion

para los collarines, 10 polea

del ventilador y el rotor del

ventilador. EIalojamienlo del

ventilador soporta los cojinetes

de casquillo.

a) b)

Ventilador

c)

Por 1 0 general, la configuracion geometric a del eje que se diseiiara se determina con base

en una revision de los modelos existentes, en los que se debe hacer un ntimero limitado de

cambios. Si no se cuenta con un disefio para emplearlo como punto de partida, entonces la

determinacion de la geometria del eje puede tener muchas soluciones. El problema se ilustra

mediante los dos ejemplos de la figura 7-2. En la figura 7-2a se muestra un contraeje con

engranes que debe ser soportado por dos cojinetes. En la figura 7-2c se debe configurar una

flecha de ventilador. Las soluciones que se muestran en las figuras 7-2b y 7-2d no son nece-

sariamente las mejores, pero ilustran como se fijan los dispositivos montados en la flecha y suubicacion en la direccionaxial y la forma en que se toma en cuenta la transferencia de par de

torsion de un elemento a otro. No existen reglas absolutas para especificar la configuracion

general, pero las siguientes directrices pueden ser de utilidad.



CAP iTULO 7 E ies , fle chas y s u s c omponen te s 351

Configuradon axial de componentes

A menudo, el posicionamiento axial de los componentes esta determinado por la configura-

cion de la maza y otros componentesdel engranaje. En general, resulta mejor apoyar los com-

ponentes que soportan carga entre cojinetes, como en la figura 7-2a, en lugar de colocar los

cojinetes en voladizo como en la figura 7~2c.Con frecuencia, las poleas y coronas dentadas

necesitan montarse por fuera para facilitar la instalaci6n de la banda 0 cadena. La longitud del

voladizo debe mantenerse corta para minimizar la deflexion,En la mayoria de los casos solo debenan usarse dos cojinetes. Para ejes extremadamente

largos que soportan varios componentes de carga, puede ser necesario proporcionar mas de

dos apoyos de cojinete. En este caso, debe tenerse cuidado especial en el alineamiento de los

cojinetes.

Los ejes deben mantenerse cortos para minimizar los momentos flexionantes y las de-

flexiones. Es deseable cierto espacio axial entre los componentes para permitir el flujo de

lubricante y proporcionar espacio de acceso para el desensamble de componentes con un ja-

lador. Los componentes de carga deben colocarse cerca de los cojinetes, de nuevo para mini-

mizar el momenta flexionante en las ubicaciones que probablemente tendran concentraciones

de esfuerzo, y para minimizar la deflexion en los componentes sometidos a carga.

Los componentes deben localizarse de manera exacta sobreel eje para alinearse con losotros componentes correspondientes, y debe tenerse la precaucion de sostener los componen-

tes en posicion. El medio principal para ubicar los componentes es posicionarlos contra un

hombro del eje.Unhombro tambien propqrciona un soporte s6lido para minimizar la deflexi6n

y vibraci6n del componente. En ocasiones, cuando las magnitudes de las fuerzas son razona-

blemente bajas, los hombros pueden constniirse con anillos de retenci6n en ranuras, manguitos

entre componentes 0 collarines de sujectqn. En los casos donde las cargas axiales son muy

pequefias, puede ser factible hacerlo sin los hombros, y confiar en ajustes de presion, pasadores

o collarines con tornillesde sujeci6n paramantener una ubicaci6n axial. En las figuras 7-2b y

7-2d pueden observarse ejemplos de algunos de estos.medios de localizacion axial.

Soporte de·cargos axiales

En los casos donde las cargas axiales no son triviales, es necesario proporcionar un medio

para transferir las cargas axiales al eje, y .despues,mediante un cojinete, al suelo. Esto sera

particularmente necesario con engranes helicoidales 0 conicos, 0 cojinetes ahusados de ro-

dillo, puesto que cada uno de ellos produce componentes de fuerza axial. Con frecuencia, el

mismo medio por el que se proporciona localizacion axial, por ejemplo, hombros, anillos de

retenci6n y pasadores, tambien se usara para transmitir la carga axial en el eje.

Por 10 general, es mejor tener s610un cojinete para soportar la carga axial, 10 que permite

tolerancias mas grandes en las dimensiones de la longitud del eje, y evita que se apriete si el

eje se expande debido a los cambios de temperatura. Esto es particularmente importante en el

caso de ejes largos. En las figuras 7-3 y 7-4 se presentan ejemplos de ejes con s610un cojinete

que soporta la carga axial contra un hombro, mientras que el otro cojinete tiene simplemente

un ajuste a presi6n sobre el eje sin hombro.

Transmision de par de torsion

Muchas flechas sirven para transmitir un par de torsi6n de un engrane 0polea de entrada, a

traves del eje, a un engrane 0 polea de salida. Por supuesto, el eje debe tener el tamafio ade-

cuado para soportar el esfuerzo y la deflexi6n por torsion. Tambien es necesario proporcionar

un medio para transmitir el par de torsi6n entre el eje y los engranes. Los elementos comunes

para transmitirel par de torsi6n son:

• Cufias

• Ejes estriados

• Tornillos de fijaci6n



352 PARTETRES Disef io de elementos meconicos

Figura 7-3

Cojinetes conicos de rcdil los

que 5e ufillzcn en el husillo de

una podcdcrcrneconlco. Estediseno representa una buena

proctico para 1 0 situccion en

1 0 que se debe montar por

fuera uno 0mas elementos

de transferencia de par de

torsion: (Fuent e : Figura d ibu,

iadade nuevo con base eil

u n m a te ria l p ro po rc io na do p ar

T h e T im k en Compa ny .)

Figura 7-4

Tionsmisi6n ehgranes

concos en 1 0 cud! el y

81engrane estonmontodos en

mensulo. (Fuen te : Figura d ibu-

iada de nuevo,con base en

u n mq te ria l p ro po rc ;: io na do p or '

I Gleason AI \a ch1ne D i v is io n .)

• Pas adores

• Ajustes a presion 0 por contraccion

• Ajustes ahusados

Ademas de transmitir el par de torsion, muchos de estos dispositivos estan disefiados para

fallar si el par de torsion excede ciertos Iimites de operacion aceptab1es, con 10 que se protege

a los componentes mas caros.

Los aspectos especfficos de los componentes del equipo, como cuiias, pasadores y tor-

nillos de fijacion se analizan con detalle en 1a seccion 7-7. Uno de los medios mas eficaces

y economicos para transmitir pares de torsion con niveles de moderados a altos es una cufia

que se ajusta en una ranura en el eje y e1 engrane. Por 10 general, los componentes con cufia

tienen un ajuste deslizante en el eje, por 10 que el ens amble y el desensamble son sencillos.

La curia proporciona una orientacion angular positiva del componente, 10 cua1 es util en los

casos donde la sincronizacion del angulo de fase es importante.



CAPITULO 7 Ejes, flee has y sus eomponentes 353

Los ejes estriados se asemejan a dientes de engranes cortados 0formados en la superficie

del eje y en la parte interior de la maza del componente sobre el que se transmite la carga. Por

10 general, los ejes estriados son mucho mas caros de fabricar que las cufias, y normalmente

no son necesarios para la transmision de pares de torsion simples. De manera tfpica, se em-

plean cuando se transfieren pares de torsion considerables. Una caractenstica del eje estriado

es que puede hacerse con un ajuste deslizante bastante holgado para permitir un gran movi-

miento axial entre el eje y el componente al mismo tiempo que se transmite el par de torsion.Esto resulta titil para conectar dos ejes donde el movimiento relativo entre enos es cormin,

como en la conexion de un eje liberador de potencia (PTO) de un tractor con un implemento.

SAE y ANSI publican normas para los ejes estriados. Los factores de concentracion del es-

fuerzo son mayores en los extremos del eje estriado y en los puntos donde este se dobla, pero

por 10 general son bastante moderados.

Para los casos de transmision de pares de torsion bajos, existen varios medios disponibles

para transmitir el par de torsion, entre ellos, pasadores, tomillos de fijacion en mazas, ajustes

ahusados y ajustes a presion.

Los ajustes a presion y por contraccion para asegurar mazas a ejes se utilizan para trans-

ferir el par torsion y preservar la ubicacidn axial. El factor resultante de concentracion de

esfuerzo.es, por 10 general, muy pequefio. Yea la secciorrl-8 donde encontrara directrices enrelacion con el dimensionarniento apropiado y Ias tolerancias adecuadas para transmitir el par

de torsion con ajustes a presion y par contracci6n. Un .metodo similar consiste en usaf una

maza dividida con tornillos para sujetarla al eje. En estemetodo se permite el desensamble y

los ajustes laterales. En otro metodo similar se usa una maza de dos partes, que consta de un

elemento interior dividido que cabe en un agujero ahusado. Luego, el ensamble aprieta al

eje mediante tomillos que fuerzan la parte interior hacia la rueda y sujetan t9do eI ensamble

contra el eje.

Los ajustes ahusados entre el eje y el dispositivo montado en el se usan con frecuencia

en el extremo sobresaliente de un eje. Las roscas de tornillo del extremo del eje permiten el

empleo de una tuerca para sujetar con firmeza la rueda al eje. Este enfoque resulta util porque

se puede desensamblar, pero no proporciona buena ubicaci6n axial de la rueda enel eje.

En las primeras etapas de la configuracion del eje, 10 importante es seleccionar un medio

apropiado para transmitir el par de torsion y determinar como afecta este. a la configuracion

global del eje. Es necesario saber donde estaran las discontinuidades del eje, como cufieros,

orificios y estrias, con el proposito de determinar ubicaciones critic as ypoder analizarlas.

Figura 7-5

Ensam&le y desensam&le

Es necesario tener en corisideracion el metodo de ensamblado de los componentes en el eje, y

el ensamblado del eje en el marco. Por 10 general, esto requiere el diametro mas grande en el

centro del eje, y diametros progresivamente mas pequefios hacia los extremos, para permitir

que los componentes se deslicen hacia las puntas. Si se necesita un hombro en ambos lados

de un componente, debe crearse uno de ellos mediante algo como un anillo de retencion 0me-

diante un manguito entre los dos componentes, La misma caja de engranes necesitara medios

para posicionar ffsicamente el eje en sus cojinetes y estos en el marco. Esta tarea se logra, de

manera tipica,proporcionando accesoa traves del alojamiento al cojinete que se encuentra en

un extremo del eje. En las figuras 7-5 a 7-8 se ilustran algunos ejemplos.Disposieion que muestra los

onillos interiores de los eojine-

tes ojustodos a presion al eje,

en tanto que los anillos exte-

rioresfiotan en el a[ojamienlo.

La holgura radial debe ser

sufieiente solo para permitir

vibrociones de maquinario.

Observe el sello de laber into

a Ia dereeha.




Figura 7-6

Disposicion similar a la de la

figure 7-5, excepto que los

anillos de los cojinetes exterlo-res estcn precargados.

Figura 7-8Esta disposicion essimi lar a

la de Ia figure 7-7 en 1 0 que

respecta a que el coj inete

de la izquierda ubica todo

el ensamble del eie. En este

coso el ani llo inter ior esta

asegurado al eje mediante

un anil lo elcstico de cierre.

Observe el ernpleode on

escudo para evitar la entrada

de suciedad y palvo que se

produce dentro de 1 0 moqoino

hocia el cojinete.

Figura 7-7

En esto disposicion, el oni llo inter ior del cojinete delo Izquierdo eslo fijodo al eje entre

una tuerco y un hombre del eje. , La tuerca de segur idod y 1 0 arondelo son estondores de

AFBMA. EIonillo elostico de derre en 1 0 pisto exterior se emplea para ubicar de monera

I definitiva el eje en 1 0 direcci6n axial . Ob~e[ve el coj inete f lotante de la derecho y las

ronuros rebojodos para esmerilodo del eje.

Cuando los componentes deben ajustarse por presi6n al eje, este debe disefiarse de mane-

ra que no sea.necesario presionarel componente contra una Iongitud larga del eje. Esto puede

requerir un cambio adicional del diametro, pero reducira el costo de fabricaci6n y ensamble

pues necesita s610la tolerancia estrecha para una longitud corta.

Tambien debe tomarse en cuenta la necesidad de desensamblar los componentes del eje.

Esto requiere tener en consideraci6n aspectos como la accesibilidad a los anillos de retencion,

espacio para que los jaladores lleguen a los cojinetes, aberturas en la maza para permitir la

presi6n del eje 0 los cojinetes, etcetera.

Diseno de eies para el esfuerzo

Ubicaciones criticas

No es necesario evaluar los esfuerzos en todos los puntos de un eje; es suficiente hacerlo en

unas cuantas ubicaciones potencialmente criticas. Por 10general, estas ubicaciones se loca-

lizan en la superficie exterior, en ubicaciones axiales donde el momento flexionante es gran-

de, donde elpar de torsi6n esta presente y donde existen concentraciones de esfuerzo. Porcomparaci6n directa de diferentes puntos a 10largo del eje, pueden identificarse unas cuantas

ubicaciones criticas sobre las cuales puede basarse el disefio, Tambien puede resultar titil una

evaluaci6n de situaciones de esfuerzo tfpicas.



C AP iT ULO 7 E je s, fle e has y sus e om po ne nte s 355

La mayorfa de los ejes transmiten el par de torsion solo a traves de una parte de enos. De

manera tipica, el par de torsion entra al eje por un engrane y sale del eje por otro engrane. Un

diagrama de cuerpo libre del eje permite determinar el par de torsion en cualquier seccion,

Con frecuencia, el par de torsion es relativamente constante en un estado de operacion esta-

ble. El esfuerzo cortante debido a la torsion sera mayor en superficies exteriores.

Los momentos flexionantes sobre un eje pueden determinarse mediante diagramas de

cortante y momenta flexionante. Como la mayorfa de los problemas de ejes incorporan engra-

nes 0 poleas que introducen fuerzas en dos planos, por 10 general los diagramas de momenta

cortante y flexionante deberan ser en dos planos. Los momentos resultantes se obtienen al

sumar momentos como vectores en los puntos de interes a 10 l argo del eje. El angulo de fase

de los momentos no es importante puesto que el eje gira. Un momenta flexionante constante

producira un momenta completamente reversible sobre un eje giratorio, como un elemento de

esfuerzo especffico alternara de compresion a tension en cada revolucion del eje. El esfuerzo

normal debido a los momentos flexionantes sera mayor sobre las superficies exteriores. En

situaciones donde un cojinete se localiza en el extremo del eje, con frecuencia los esfuerzos

cerca del cojinete no son crfticos puesto que el momenta flexionante es pequefio.

Los esfuerzos axiales sobre los ejes, debidos a componentes axiales transmitidos a traves

de engranes helicoidales 0 cojinetes ahusaclos de rodillo, casi siempre son despreciables en

comparacion con el esfuerzo de momenta flexionante. A menudo son constantes, por 10 que

contribuyen poco a 1afatiga. En consecuencia, por 10 general resulta aceptable despreciar los

esfuerzos axiales inducidos por los engranes y cojinetes cuando hay flexion presente en un

eje. Si se aplica una carga axial a1 eje de alguna otra manera, no es segura suponer que es

despreciable sin verificar las magnitudes.

Esluerzos en e;es

Los esfuerzos de flexion, torsion 0 axiales pueden estar presentes tanto en componentes me-

dios como en alternantes. Para el analisis, es suficientemente simple combinar los diferentes

tipos de esfuerzos en esfuerzos de von Mises alternantes y medios, como se muestra en laseccion 6-14, p. 309. Algunas veces es conveniente adaptar las ecuaciones especfficamente

para aplicaciones de ejes. En general, las cargas axia1es son comparativamente muy pequefias

en ubicaciones crfticas donde dominan 1aflexion y la torsion, por 10 que pueden dejarse fuera

de las siguientes ecuaciones. Los esfuerzos fluctuantes debidos a la flexion y la torsion estan

dados por

(7 -1 )

(7 -2 )

donde Mm YM; son los momentos flexionantes medio y alternante, Tm Y Ta son los pares de

torsion medio y alternante, y Kf YKfs son los factores de concentracion del esfuerzo por fatiga

de la flexion y la torsion, respectivamente.

Si se supone un eje solido con seccion transversal redonda, pueden introducirse terminos

geometricos apropiados para c, Iy J, 10 que resulta en

(7-3)

(7-4)



356 PARTETRES Diser io de elementos mec6nicos

Cuando se combinan estosesfuerzos deacuerdo con la teoria de falIa por energfa de

distorsion, los esfuerzos de von Misespara ejes giratorios, redondos y s6lidos, sin tomar en

cuenta las cargas axiales, estan dados por

1=(' 2,2)1/2= · [ ( 3 2 K fM a ) 2 . ' ( 1 6 K f s T a ) 2 ] 1/2( f a ( f a + 3 i a ' 3 + 3 3'.. itd ' nd

(7-5)

r 2 ? ] 1 / 2I = ( 2 + 2 )1 /2 = ( 3 2 K fM m ) , , . ( 1 6 K f s T m ) -«; ( f m ' 3 i m ' l . 3 + 3 d3

nd , n(7-6)

Observe que, en ocasiones, los factores de concentraci6n del esfuerzo se consideran opciona-

Ies para los componentes medios con materiales diictiles, debido a la capacidad de estes de

fluir Iocalmente en la discontinuidad.

Estos esfuerzos medios y alternantes equivalentes pueden evaluarse usando una curva de

falla apropiada sobre el diagrallla de Goodman modificada (vea la seccion 6-12, p. 295, y fig.

6-27).Por ejemplo, elcriterio de falla por fatiga de la lfnea de Goodman tal como se expres6

antes en la ecuacion (6-46) es

La sustitncion de ( f ~ Y ( f ; n en las ecuaciones (7-5) y (7-6) resulta en

Para propositos de disefio, .tambien es deseable resolver la ecuacion para el diametro.

Esto resulta en

Se pueden obtener expresiones similares para cualquiera de los criterios de falla comunes

mediante la sustituci6n de los esfuerzos de von Mises de las ecuaciones (7-5) y (7-6) en cual-

quiera de los eriterios de falIa expresados por las ecuaciones de la (6-45) ala (6-48), p. 298.

Las ecuaciones resultantes para varias de las eurvas de falla usadas comunmente se resumen

a continuaci6n. Los nombres que se dan a cada eonjunto de ecuaciones identifiean la teona

de falla signifieativa, segnida por el nombre de un lugar geometrico de falla par fatiga. Por

ejemplo, ED-Gerber indica que los esfuerzos se combinan mediante la teona de dis t orsion

(ED), y que para la falIa par fatiga se usa el criterio de Gerber.

ED-Goodman

(7-8)



C AP IT ULO 7 E ie s, fle chas y sus co mpo ne nte s 357

ED-Gerber

I [ ]l i Z }8A 2BSe Z

---- 1+ 1+ --n - rrd3Se· . (ASia)

(7-9)

d ~ ( ~ s ~I + [ 1 + ( z : s ~ : ) ' r }r(7 -10 )

donde

A = = J4CKJMa)Z + 3(KJsTa)Z

B = J4(K JM m)Z + 3(KJsTm)Z

ED~ASME eliptica

~ = ~ [ 4(K/Ma)Z

+ 3(KJsTa)Z

+4 ( ..fflvlm)Z

+ 3 (KJsTm)Z]1/

Z

n rr d s, s, s, s,(7-11 J

(7-12)

ED-Soderberg

(7-13)

(7-141

En el caso de un eje giratorio con flexion y torsion constantes, el esfuerzo flexionante

es completamente reversible y la torsion es.constante. Las ecuaciones de la (7-7) ala (7-14)

pueden simplificarse al igualar Mm Y 'F a a 0,10 eual simplemente elimina algunos de los ter-

minos.

Observe que en una situacion de analisis en la que se conoce el diametro y se desea en-

contrar el factor de seguridad, como una altemativa al uso de las ecuaciones especializadas

anteriores, siempre es valido calcular los esfuerzos altemantes y medios mediante las ecua-

ciones (7.5) y (7.6), y sustituirlos en una de las ecuaciones del criterio de falla, las ecuaciones

de la (6-45) ala (6-48), y despejar n de manera directa. Sin embargo, en unasituacion de

disefio resulta bastante util resolver con anterioridad las ecuaciones de diametro.

Siempre es necesario considerar la posibilidad de falla estatica en el primer cicIo de falla.

El criterio de Soderberg evita de manera inherente la fluencia, como puede observarse en su

curva de falla que se mantiene eonservadoramente dentro de Ia linea de fluencia (Langer) en

la figura 6-27, p. 297. EI criterio ASME eliptico tambien toma en cuenta Ia fluencia, pero no



358 PARTETRES Disei io de elementos rneccnicos

es completamente conservador a 10 largo de todo su rango. Esto es evidente al observar que

cruza la linea de fluencia de la figura 6-27. Los criterios de Gerber y Goodman modificado no

protegen contra la fluencia, por 10 que requieren una verificacion adicional de este aspecto.

Para tal proposito, se calcula el esfuerzo maximo de von Mises.

(7-15)

Para verificar la fluencia, este esfuerzo maximo de von Mises se compara como siempre

con la resistencia a la fluencia.

(7-16)

Para una verificacion rapida y conservadora, se puede obtener una estimacion de ( J ' : n a x

simplemente al sumar ( J ' ~ y ( J ' ~ . El valor de ( ( J ' ~ + ( J ' : n ) siempre sera mayor 0igual que ( J ' : n ; l x , por

10 cual sera conservador.

Kf = 1+ 0.85(1.68 - 1)=1.58

Kfs = 1+ 0.92(1.42-1) =1.39

S ; = 0.5(105) = 52.5 kpsi

ka =2.70(105)-0.265=0.787

(1.100)-0;107

kb = 0.30 =0.870

kc =kd =kf = 1



Respuesto

Respuesto

Respuesto

Respuesto

Respues to

CA PIT ULO 7 E le s , fle chas y sus cornponenles 359

Tabla 6-6: k; = 0.814

S,=0.787(0.870)0.814(52.5) = 29.3 kpsi

En el caso de un eje giratorio, el momenta fiexionante constante creara un esfuerzo flexionan-

te completamente reversible.

M a =1260 Ibf - pulg Tm = 1100 Ibf· puIg

Al aplicar la ecuacion (7-7) para el criterio ED-Goodman se obtiene

1~' 16 { [4 (1.58, 1 260)2f/2 [3 (1.39 ' 11OO)2f! 2 j _- - + - 0.615n n(l.l)3 29300 105000

n =1.62 ED-Goodman

De manera similar, al aplicar las ecuaciones (7-9), (7-11) y (7-13) para los otros criterios de

falla,

n =1.87 .ED-Gerber

n =1.88 ED-ASME eliptico

n=1.56 ED-Gerber

Con propositos de comparacion, considere un enfoque equivalente en el que se calculen los

esfuerzos y se aplique en forma directa el criterio de falla por fatiga. De las ecuaciones (7-5)

y (7-6),

a'. = [(32. 1.58, 1260)2]1/2 =15235 si

a it (1.1)3 p

[ ]

1/ 2, 16, 1.39· 1100 2

«; = 3 ( 3 ) =10 134 psin (1.1)

Por ejemplo, si se toma el criterio de falla de Goodman, la aplicacion de la ecuacion (6-46)

resulta en

1 (j~ (j~ 15235 10134 6

;; = Se + Sut =29300 + 105000 =0.61

n = 1.62

que es identico al resultado previo. Este mismo proceso podrfa usarse para e1o tro criterio de

falla.

b) Para el factor de seguridad contra la fiuencia, determine un esfuerzo maximo de von Mises

equivalente usando la ecuacion (7-15),

, ~(32(1.58) (1 260»)2 + 3 (16(1.39) (1 100) )2] 1/2=18 300 si

(jmax = L it (1.1)3 n (1.1)3 p

n =_ ! z _ =82000 =4.48y (j~ 18300

Con propositos de comparacion, puede obtenerse una verificacion rapida y muy conservadora

de la fluencia al reemplazar ( j m a x con (j~+ (j~. Este paso solo ahorra el tiempo extra al calcular

( j : " a x si ya se han determinado (j~ y (j~. Para este ejemplo,



Estimacion de c:oncentraciones de esfuerzo

El proceso de analisis del esfuerzo de la fatiga depende en gran medida de las concentraciones

del esfuerzo. En el caso de los hombros y los cufieros, las concentraciones del esfuerzo depen-

den de las especificaciones de tamafio que no se conocen en el primer paso del proceso. Por

fortuna, como casi siempre estos elementos tienen proporciones estandar, es posible estimar

los factores de concentracion del esfuerzo para el disefio inicial del eje. Estas concentraciones

del esfuerzo se afinaran en iteraciones sucesivas, una vez que se conozcan los detalles.

Los hombros para el apoyo de cojinetes y engranes deben obedecer la recomendacion

de catalogo para el cojinete 0 engrane especffico, Una mirada a los catalogos de cojinetes

muestra que un cojinete tfpico necesita que la relacion Did este entre 1.2 y 1.5. Para una

primera aproximacion, puede suponerse el peor de los casos con 1.5. De manera similar, el

radio del filete del hombro debe dimensionarse para evitar la interferencia con el radio del

filete del componente correspondiente. Existe una variacion significativa entre los cojinetes

tfpicos en larelacion del radio del filete con el diametro de perforacion, donde rId tiene

valores tfpicos que van de alrededor de 0.02 a 0.06. Una mirada rapida a los diagramas de

concentracion del esfuerzo (figuras A-15-8 y A-15-9) muestra que las concentraciones del

esfuerzo de la flexion y la torsion se incrementan de manera significativa en este intervalo.Por ejemplo, con Did =1.5 para la flexion, K, = 2.7 en rid = 0.02, Y se reduce a K, = 2.1

en rid = 0.05, y aunmas abajo K, =1.7 en rid = 0.1. Esto indica que esta es un area donde

la atencion a los detalles puede crear una diferencia significativa. Por fortuna, en la mayorfa

de los casos los diagramas de momento cortante y flexionante muestran que los momentos

flexionantes son bastante bajos cerca de los cojinetes, puesto que los momentos flexionantes

de las fuerzas de reaccion en el suelo son pequefios.

En los casos donde el hombro del cojinete resulta critico, el disefiador debe planear la

seleccion de un cojinete con un radio de filete generoso, 0 considerar la utilizacion de un

radio de filete mas grande sobre el eje al rebajarlo en la base del hombro como se muestra en

la figura 7 -9a. Esto crea de manera efectiva una zona muerta en el area del hombro que no

Ranura rebajada

enelhombro

Ranura rebajada con

radio mas grande

a)b) c)

Figura 7-9

Tecnicas para reducir la concentraci6n del esfuerzo en un hombro que sirve de apoyo a un cojinete con radio agudo. 0 ) Corte de radio

grande en el hombro. b) Ronura rebcjcdo de radio grande detr6s del hombro. c ) Ranura reboicdo de radio grande en el di6metro

pequefio.



Tabla 7-1

Eslimaciones de primera

iterccion de los factores

de concentrccion del

esfuerzo K t .

Advertencia: E sto s fa cto re s

s610 son es tim acio nes que

pueden usarse cuando las

dim en s ion e s rea les oun no

se de te rm in an . No utilice

es to s va lo re s cuondo ya se

cue nte can las dim en sio ne s

rea les .

CA PIT ULO 7 E je s , fle chas y s u s c omponen te s 361

esta sometida a los esfuerzos de flexion, como 10 muestran las lineas de flujo del esfuerzo.

Una ranura rebajada en el hombro, como la que se muestra en la figura 7-9b, puede satisfacer

un proposito similar. Otra opcion consiste en cortar una ranura rebajada de radio grande

en el diametro pequefio del eje, como se muestra en la figura 7-9c. Esto. tiene la desventaja

de reducir el area de la seccion transversal, pero a menudo se usa en cas os donde es r i t i l

proporcionar una ranura rebajada antes del hombro para evitar que la operaci6n de esmerilado

o tomeado tenga que realizarse a 10 largo de todo el hombro.En el caso del filete hombro estandar, para estimar los valores K, en la primera iteracion,

debe seleccionarse una relacion rid de manera que puedan obtenerse los valores de K; Para

el peor extremo del espectro, con rid = 0.02 y Did = 1.S, los valores de K, a partir de los

diagramas de concentracion del esfuerzo en hombros indican 2.7 para la flexion, 2.2 para la

torsion y 3.0 para el esfuerzo axial.

Un cuiiero producira una concentracion del esfuerzo cercana al punto crftico donde se

localiza elcomponente que trans mite carga. La concentracion del esfuerzo en un cufiero fre-

sado es una funcion de la relacion del radio r en la parte baja de la ranuray el diametro del

eje d. Para las primeras etapas del proceso de disefio, es posible estimar la. concentracion del

esfuerzo en los cufieros sin importar las dimensiones reales del eje, suponiendo una relacion

tipica de rid=

0.02. Esto da K, = 2.2 para la flexi6fl-yKis =3.0 para la torsion-sise consideraque la cufia esta en su lugar.

En las figuras A-IS-I6 y A-IS-I7 se dan los valores de las concentraciones del esfuerzo

en ranuras con base plana como las que se emplean en los anillos de retencion. Cuando se

examinan las especificaciones ttpicas de los anillos de retencion en los catalogos de los ven-

dedores, se puede ver que normalmente el grosor de Ia ranura es un poco mas grande que su

profundidad, y que el radio en la parte baja de la ranura es de alrededor de III 0 de su grosor.

De las figurasA-IS-16 y A-IS-17, los factores de concentracion del esfuerzo para la.s dimen-

siones tfpicas de los aniIlos de retencion, sondealrededor de S para el esfuerzo de flexion

y axial, y de 3 para la torsion. Por fortuna, un radio pequefio casi siempre conducira a una

menor sensibilidad a la muesca, 10 que reduce Kf'

En la tabla 7-1 se resumen algunos factores de la concentraci6n del esfuerzo tipicos de

la primera iteracion en el disefio de un eje. Se pueden hacer estimaciones similares para otras

caractensticas. El punto es darse cuenta de que las concentraciones del esfuerzo se.•normali-

zan esencialmente, de manera que dependen de relaciones entre caractensticasgeometricas,

no de dimensiones especificas. En consecuencia, al estimarlasrelaciones apropiadas, pueden

obtenerse.los valores de la.primera iteracion de las concentracionesdel esfuerzo. Estos valo-

res pt\eden usarse parael diseiio inicial y despues insertar los valores reales una vez que los

diametros hayan sido determinados.

Flexion Torsion Axial

F ile te de hom bro : agudo [ r / d = 0 . 0 2 ) 2 . 7 2 . 2 3 . 0

F ile te de hom bro : b ien re dondeado lr / d = 0 . 1 ) 1 . 7 1 . 5 1 . 9

C ufie ro fre sa do [ r / d = 0 . 0 2 ) 2 . 2 3 . 0

Cune ro de patin 0 t rapezoida l 1 . 7

R anura para an illo de re te nc i6n 5 . 0 3 . 0 5 . 0

Losvoloresaltantesen 1 0 tablano puede nobten erseconfaci l idad.



362 PARTETRES Diseiio de elementos rneconicos



CAP ITULO 7 E ie s , fle cho s y s u s c omponen t e s 363



364 PARTETRES Disefio de elementos meconicos



CA PiTULO 7 E je s , fle chas y su s c ompo n e n t es 365



366 PARTETRES Diseiio de elementos mec6nicos



Tabla 7-2

Intervalos moximos

tipicos de pendientes

y deflexiones transver-

sales

CA PjT ULO 7 E je s , fle chas y su s c ompo n e n te s 367

Pendientes

Rod il lo o hu s ado

Rodi l lo cillndrico

B ola c on ra nu ra p ro fu nd a

Bo la e s fe r ic a

Bo la au to a li ne an te

E n gra ne re cto s in c oro n a

0 .0 0 0 5-0 .0 0 12 rod

0 .0 0 0 8-0 .0 0 12 rod

0 .0 01-0 .0 0 3 rod

0 .0 26-0 .0 52 rod

0 .0 26-0 .0 52 rod

< 0 .0 0 0 5 ro d

De.flexiones transversales

E n g ra n e s r ec to s c o n P < 1 0 d ie n t e s/p u lg

E ng ra ne s re cto s co n 1 1 < P < 19

E ng ra ne s re cto s co n 2 0 < P < 50

0 .0 10 pu lg

0 .0 05 pu lg

0 .0 03 pu lg

7-5 Consideraciones sobre deflexion

El analisis de deflexion incluso en un solo punto de interes requiere informacion completa de

la geometria de todo el eje. Por esta razon es deseable disefiar las dimensiones de las ubicacio-

nes criticas para manejar los esfuerzos, y encontrar estimaciones razonables de todas las otras

dimensiones, antes de realizar un analisis de dimension. La deflexion del eje, tanto lineal

como angular, debe verificarse en los engranes y cojinetes. Las deflexiones permisibles de-

penderan de muchos factores, y los catalogos de cojinetes y engranes deben usarse como gufa

para considerar la desalineacion permisible para cojinetes y engranes especificos. Como una

directriz general, en la tabla 7-2 se presentan los intervalos tipicos de las pendientes maximas

y deflexiones transversales de la linea de centro del eje. Las deflexiones transversales permi-

sibles de los engranes rectos dependen del tamafio del diente, por 10 que estan representadaspor el paso diametral P = mimero de dientes/diametro de paso.

En la seccion 4-4 se describen varios metodos de deflexion de vigas. En el caso de los

ejes, donde las deflexiones pueden verse en cierto mimero de puntos diferentes, resulta prac-

tica la integracion empleando funciones de singularidad 0 integracion numerica, En un eje

escalonado, las propiedades de la seccion transversal cambian a 10 largo del eje en cada es-

calon, 10 que aumenta la complejidad de la integracion, debido a que tanto M como I varian.

Por fortuna, solo es necesario incluir las dimensiones geometricas gruesas, mientras que los

factores locales como filetes, ranuras y cufieros no tienen mucho efecto en la deflexion. En el

ejemplo 4-7 se demostro el uso de funciones de singularidad de un eje escalonado. Muchos

ejes incluyen fuerzas en multiples planos, 10que necesitara de un analisis tridimensional, 0

el uso de la superposicion para obtener deflexiones en dos planos que puedan sumarse como

vectores.

El analisis de deflexion es directo, pero es largo y tedioso para realizarlo de manera ma-

nual, en particular cuando se consideran muchos puntos de interes. En consecuencia, practi-

camente todos los analisis de deflexion de ejes deben ser evaluados con la ayuda de software.

Cualquier programa de elemento finito de proposito general puede manejar con facilidad un

problema de ejes (vea el capitulo 19). Este recurso es practice si el disefiador ya esta familiari-

zado con el uso del software y con la forma de modelar apropiadamente el eje. Tambien exis-

ten soluciones de software de proposito general para el analisis de ejes en tres dimensiones,

pero es algo caro si solo se usa de manera ocasional. Tambien existe software que requiere

muy poco entrenamiento para el analisis de vigas planas, el cual puede bajarse de internet. En

el ejemplo 7-3se demuestra como incorporar este tipo de programas para analizar un eje con

fuerzas en pIanos multiples.



368 PARTETRES Diseno de elementos mec6nicos



CA PjTULO 7 E jes , fle chas y su s c ompo n e n te s 369

Una vez que se ha determinado la deflexi6n en varios puntos, si cualquier valor es mayor que

la deflexi6n permisible en alguno de ellos, se puede encontrar un nuevo diametro a partir de

1 1

1/4ndYanterior

dnuevo= danteriorYpenn

(7-17)

donde Ypermepresenta la deflexi6n permisible en esa estaci6n y nd es el factor de disefio. De

manera similar, si alguna inclinaci6n es mas grande que la pendiente permisible e perm'se pue-de determinar un nuevo diametro a partir de

d -d . IndCdY /dX )anteriorI1/4nuevo- antenor ( di te) (7-18)

pen len e perm

donde (pendiente)perm es la pendiente permisible. Como resultado de estos calculos, determi-

ne la relacion mas grande dnuevjdanteriof>uego multiplique todos los diametros por esta rela-

ci6n. La restriccion estricta s6lo sera estricta, y todas las otras seran holgadas. No se preocupe

demasiado acerca de los tamafios de los mufiones de extremos, ya que su influencia suele ser

despreciable. El atractivo del metodo es que necesitan completarse las deflexiones s6lo una

vez y que todas las restricciones, menos una, pueden hacerse holgadas; ademas, todos los

diametros se identifican sin volver a trabajar cada deflexi6n.



370 PARTETRES Disef io de elementos mec6nicos

El cortante transversal V, en una seccion de una viga sometida a flexion, impone una

dis torsion cortante que se superpone a la distorsion flexionante. Por 10 general, la deflexion

porcortante es 1% menor que la deflexion flexionante transversal y rara vez se evahia. Sin

embargo, cuando la relacion longitud a diametro de una flecha es menor que 10, la compo-

nente cortante de la deflexion transversal merece atencion. Hay muchos ejes cortos. Existe un

metodo tabular que se explica en detalle en otros textos.? los cuales incluyen ejemplos.

En el caso de ejes cilfndricos circulares rectos en torsion, la deflexion angular e esta dadaen la ecuacion (4-5). Para un eje escalonado, con longitud individual de cilindro I i y par de

torsion T ;, la deflexion angular puede estimarse mediante

(7-19)

o para un par de torsion constante en todo el material homogeneo, mediante

(7 -20 )

Esto debe tratarse solo como una estimacion, puesto que la evidencia experimental muestra

que la e real es mayor que aquella que presentan las ecuaciones (7-19) y (7-20).3

2C. R. Mischke, "Tabular Method for Transverse Shear Deflection", sec. 17.3, en Joseph E. Shigley, Charles R.

Mischke y Thomas H: Brown, Jr. (eds.), en Standard Handbook of Machine Design, 3a. ed., McGraw-Hill , Nueva

York,2004.

3R. Bruce Hopkins, Design Analysis of Shafts and Beams, McGraw-Hill , Nueva York, 1970, pp. 93-99.



CAP1TULO 7 Ejes, flechas y sus componentes 371

Si la rigidez torsional se define como k, = T;lei y, como e; = T;lki Y e = Lei = L(T/k;),

para el par de torsi6n con stante e = T L(llk;), se deduce que la rigidez del eje ken terminos

de rigideces en segmentos es

(7-21)

7-6 Velocidades criticas de eies

Figura 7-12

0) Eje de di6metro uniforme

de 1 0 ecuaci6n (7-22). b) Eje

de di6metro uniforme segmen-todode 1 0 ecuoci6n (7-23).

Cuando un eje gira, la excentricidad ocasiona una deflexi6n debida a la fuerza centrifuga que

se resiste por la rigidez a flexi6n del eje E1. Siempre y cuando las deflexiones sean pequefias,

no se ocasiona ningun dafio. Sin embargo, otro problema potencial se llama velocidades cri-

ticas: a ciertas velocidades el eje es inestable, y las deflexiones se incrementan sin un limite

superior. Por fortuna, aunque la forma de la deflexi6n dinamica se desconoce, mediante una

curva de deflexi6n estatica se obtiene una estimaci6n excelente de la velocidad critica. Esa

curva cumple con la condici6n de frontera de la ecuacion diferencial (momento y deflexi6n

cero en ambos cojinetes) y la energfa del eje no es en particular sensible ala anatomia de

la curva de deflexion.. En primer lugar, los disefiadores tratan de determinar las velocidades

crfticas deal menos el doble de la velocidaddeoperaciori.El eje, debido a su propia mas a, tiene una velocidad critica. De igual forma, el ensamble

de elementos a un eje tiene una velocidad crftica que es mucho menor que la velocidad crftica

intrinseca del eje. La estimaci6n de estas velocidades criticas (y sus arm6nicas) es una tarea

del disefiador, Cuando la geometria es simple, como la de un eje de diametro uniforme, sim-

plemente apoyado, la tarea es facil. Puede expresarse" como

(7 -22)

. -. "

donde m es la masa por unidadqelongitttd,4ielareade la secci6n transversal y yel peso

especifico. En el caso de un ens amble de elementos, el metodo de Rayleigh para masas con-

centradas establece

gLWiYi

LWiY;(7-23)

donde Wi es el peso de la z-es ima ubicaci6n y Yi es la deflexi6n en la ubicaci6n del z-es imo

cuerpo. Se puede usar la ecuaci6n (7-23) en el caso de la ecuaci6n (7-22) dividiendo el eje en

segmentos y colocando su fuerza del peso en el centroide del segmento como se muestra en la

a)

b)

4William T.Thompson y Marie Dillon Dahleh, Theory of vibrationwithApplications, Prentice Hall, Sa. ed., 1998,

p.273.

sThompson,op. cit.,p. 357.



372 PARTETRES Diseno de elementos meccnicos

Figura 7-13

EI coeficientede influencio O il

es 10 deflexi6n en i, debido 0

uno cargo unitario en (

Carga unitaria

x

figura 7~12. Con frecuencia se recurre ala ayuda de una computadora para aminorar la difi-

cultad al calcular las deflexiones transversales de un eje escalonado. La ecuacion de Rayleigh

sobrestima la velocidad crftica .

. Para contrarrestar lacomplejidad mayor del detalle, se adopta un punto de vista titil.

Puesto que el eje es un cuerpo elastico, se utilizan coeficientes de influencia, que son las de~

flexiones transversales en laubicacion i de un eje, debida.a una carga unitaria en la ubicacion

j del eje. De la tablaA~9~6 se obtiene, para una viga simplemente apoyada con una sola carga

unitaria, como.Ia que se muestra en la figura 7~13,

Xi:::; ai

(7~241

Xi> ai

Para tres cargas los coeficientes de influencia se presentarian como

ii 1 2 3

2

3

El teorema de reciprocidadde Maxwell" establece que hay una simetria respecto de la diago-

nal principal compuesta por 011,022 Y033, deIa forma oi j= ji. Esta relacion reduce el trabajo

de encontrar los coeficientes de influencia, A partir de los coeficientes de influencia anterio-

res, se pueden determinar las deflexiones Y l, Y 2 YY 3' para 10 cual se emplea la ecuacion (7~23)

de la manera siguiente:

Y 1 = F 1011 + F2012 + F3 013

Y 2 =1( 1021 + F2 022 + F3023

Y 3 = Fl03l + F2032 + F3033

Las fuerzas F , pueden surgir del peso sujeto io, 0de las fuerzas centrifugas m / JJ2Y i' El conjun-

to de ecuaciones (7~25), escrito con las fuerzas de inercia, se representa como

Yl = mlu}Ylo11 + m2ui2012 +m3uiY3013

Y 2 = mlw2Y l021 + m2w 2Y2022 + m3w 2Y3023

Y 3 =mlw 2Y 1031 + m2w 2Y2032 + m3w 2Y3033

6Thompson,op. cit., p. 167.



CA PIT ULO 7 E ie s , fle chas y s u s c omponen t e s 373

que pueden reescribirse como

(m 1811 - 1/(2)Y l + (m28dY2 + (m3813)Y3 = 0

(m 182 t )Y l + (m 2822 - 1/(2)Y 2 + (m3823)Y3 = 0

(m1831 )Y l+ (m2832)Y2 + (m3833 - 1)w 2)Y 3 = 0

(a l

EI conjunto de ecuaciones (a) tiene tres ecuaciones simultaneas en terminos de Y I, Y 2 Y Y 3 '

Para evitar la solucion trivial Yl = Y 2 = Y3 = 0, el determinante de los coeficientes de Y j, Y 2 Y

Y 3 debe ser cero (problema de valor caracteristico). Asf,

(m 18u - l/(2)

m182 1

mI831

m2812

(m 28 22 - 1/(2)

m2832

m3813

m3823 =0

(m 3833 - 1/(2)

(7-26)

10 que significa que una deflexi6n distinta de cero s6lo existe en los val o res definidos de w,

en las velocidades criticas. Expandiendo el determinante se obtiene

( ~2 Y -(m 1 81 l+m2 82 2 +m 38 33) (~ 2 Y +··-·=0 (7 -27)

Las tres rafces de la ecuaci6n (7-27) pueden expresarse como lIwf, 1/W5Y lIwl. En conse-

cuencia, la ecuaci6n (7-27) puede escribirse en la forma

o bien

(7-28)

Comparando las ecuaciones (7-27) Y (7-28) se observa que

(7-29)

Si solo estuviera presente la masa mj, la velocidad critica estaria dada por lIw 2 =mI8Il.De-

note esta velocidad critic a como W11 (que considera que ml aetna sola). Asimismo, parara, 0

m3 actuando solas, se definen de manera similar los terminos l /W~2 =m2822 0 1/w~3= m 3833 ,

respectivamente. Asi, la ecuaci6n (7-29) puede reescribirse como

(7 -30)

Si se ordenan las velocidades crfticas de manera que w ] < W2 < W3, entonces l /wr » l /w~ y

l/wl. Entonces, la primera velocidad critic a, 0velocidad fundamental, WI puede aproximarse

mediante

( 7- 31 )

Esta idea puede ampliarse a un eje con n cuerpos:

1 n 1

2~I>2WI 1=1 Wii

(7-32)



374 PARTETRES Disei io de elementos mec6nicos

Esta expresi6n se llama ecuacion de Dunkerley. Si se desprecia el termino 0 los terminos de

modo superior, la estimaci6n de la primera velocidad cntica es menor de 10 que en realidad

sucede.

Como en la ecuaci6n (7-32) no aparecen cargas, se deduce que si cada carga se pudiera

colocar en una ubicaci6n convenientemente transformada en una carga equivalente, entonces la

velocidad crftica de una serie de cargas se podrfa determinar sumando las cargas equivalentes,

todas colocadas en una sola ubicaci6n conveniente. Para la carga de la estaci6n 1, colocada en el

centro del claro y denotada con el subfndice c, la carga equivalente se determina mediante

o bien,

(7-33)



CA PITULO 7 E je s , fle chas y su s c ompo n e n t es 375

Del conjunto deecuaciones (7-24)

a =24(7)(312 - 242 - 72) =2.061(10-4) ul /lbf

11 0.2739(109) p g

o = 11(20)(312 - 112 - 202) =3. 34(10-4) 19J1bf

·22 0.2739(109) 5 pu

11(7)(312 - 112_72) 4

012=021= 0.2739(109) =2.224(10- ) pulg/lhf

. , . c c , c ; ' ~ i:',,F ',,~ ".,

i. 'I," " 2,,'' " < ~ " , ~ } , ~

1 ,,1 1 5

ail = = ~ w? = 231.42 + 140.92 = 6.905(10- )II

Respuesta 6.905(10-5) = = 120.3 rad/s, 0

1149rev/min

que es un poco menor que la del indio v), como seespera6a.

e) Deia ecuaci6n(7-24),

V c c X c c ( 1 2 - v Z c - x ; c ) 15.5(15.5)(312 - 15.52 - 15.52)

a c e = .6EIl = = ' .0.2739(109)

=' 4.215(10-4) pulgllbf



7-7 Componentes diversos de 105 eies

Tornillos de I;;oc;on

A diferencia de los pernos y de los tornillos de cabeza que dependen de la tensi6n para desa-

rrollar una fuerza de sujeci6n, los tornillos de fijaci6n se basan en la compresi6n para desa-

rrollar tal fuerza. La resistencia almovimiento axial de un collarfn 0de una masa con relaci6nal eje se llama capacidad de sujeci6n. Dicha capacidad de sujeci6n, que en realidad es una

fuerza de resistencia, se debe a la resistencia de fricci6n de las partes en contacto del collarfn

y del eje, as f como a cualquier penetraci6n ligera del tornillo de fijaci6n en el eje.



Figura 7·15

Tornillos de sujecion de

ccbezo huecc; 01punta

plano; bl punta ohueccdo: .

cl punia ovalada; c I ) punta

c6nica; e] punta de macho

corte.

Tabla 7-4

Polencia (fuerza) de su-

[ecion tipico de tomillos

de presion de cabeza

hueca*

( Fu en te : U n br ak o D iv is io n, S P S

Te chnol og ie s, J en k in town , Po .]

CAPITULO 7 Ejes, flechas y sus componentes 377

En la figura 7-15 se presentanIos tipos de punta disponibles con los tomillos de fijacion

de cabeza hueca, los cuales tambien se fabrican con ranuras para desarmador y con cabeza

cuadrada.

En la tabla 7-4 se listan los valores del par de torsion de asentamiento y la capacidad de

sujecion correspondiente para tomillos de sujecion de series de pulgada. Los valores indi-

cados se aplican tanto a la capacidad de sujecion axial, para resistir el empuje, as! como la

a) b) c)

d) e)

Par de torsion Potencia de

Tamano, del asiento, sujecion,

pulg Ibf . pulg Ibf

#0 1.0 50

#1 1.8 65

#2 1.8 85

#3 5 120

#4 5 160

#5 10 200.#6 10 250

#8 20 385

#1 36 540

1 87 100045 165 150016

3 290 20008

7 430 250016

5 1 325 40008

3 2400 500047 5200 60008

7200 7000

* (o n b o s e e n u n t o rn i l l o d e a c er o a l e a d o c o n t r a u n e i e d e o ce r o , d e r o sc a

g r u e s a 0 f i n o c lo s e 3 A e n a gu ie r os c lo se 2 B y t o r ni ll o s d e p r e si O n d e p u nt ao h u ec ad a .y c ab a za h u ec o .



378 PARTETRES Disei io de elementos rneconicos

Figura 7-16

0 ) Curio cuadrada; b ) cufio

redonda; c) y d ) pasadores

redondos; e) pasador ahu-

sado; f) pasador elostico

tubular hendido. Los pasado-

res e) y f) se muestran mas

largos de 1 0 normal para

i lustror el b iselado en los

extremos; sus longitudes se

deben mantener menores que

los diornetros de las mazas

para prevenir lesiones debi-das a los salientes en partes

rotatorios.

Tabla 7-5

Dimensiones del

extremo grande de

algunos pasodores ohu-

sodos estondor: serie en

pulgodos

capacidad de sujeci6n tangencial, para resistir la torsi6n. Los factores usuales de seguridad

son de 1.5 a 2.0 para cargas estaticas y de 4 a 8 para cargas dinamicas diversas.

Los tornillos de sujeci6n deben tener una longitud de casi la mitad del diametro del eje.

Observe que la recomendacion .tambien proporciona una regla aproximada para el espesorradial de una masa 0de un collarfn.

Cunos yposodores

Las cufias y los pasadores se utilizan sobre ejes para fijar elementos rotatorios, como engra-

nes, poleas 0ruedas. Las cufias se emplean para permitir la transmisi6n del par de torsi6n del

eje al elemento que soporta.Los pasadores se usan para posicionar axialmente y para transfe-

rir el par de torsi6n 0 empuje, 0 ambos.

En lafigura7-16semuestra una variedad decufiasy pasadores. Los pasadores resul-

tan titiles cuando la carg~ principal es de cortallte y cuando existen rotaci6n 0 torsi6n y empu-

je. Los pasadores ahusados se dimensionan de acuerdo con su diametro del extreme mayor.

Algunos de los tamafios mas utilizados se listan en la tabla 7-5. EI diametro del extremomenores

d =D - 0.0208L (7-30 )

donde d=diametro en el extremomenor, pulg

D = diametro en el extremo mayor, pulg

L=longitud, pulg

a) b)

d) e)

c)

Comercial Precision

ramano Maximo Minimo Maximo Minimo

4/0 0.1103 0.1083 0.1100 0.1090

2/0 0.1423 0.1403 0.1420 0.1410

0 0.1573 0.1553 0.1570 0.1560

2 0.1943 0.1923 0.1940 0.1930

4 0.2513 0.2493 0.2510 0.2500

6 0.3423 0.3403 0.3420 0.3410

8 0.4933 0.4913 0.4930 0.4920



Tabla 7-6

Dimensiones en pulga-

das de algunos cplico-

ciones de curios cue-

dradas y rectangulares

estandar

[Fuente:Joseph E . Shigley

"Unthreaded Fas tener s ",

capitulo 24, e n J o se ph E .

S hig le y C ha rle s R . M is ch ke

y T homa s H . B ro wn J r. led s.] ,

Standard Handbook o f

Machine Design, 30. ea.,

M c Gra w-H ili, N ueva Y ork,

2004. J

CAPITULO 7 Ejes, flechas y sus componentes 379

Diametro del eie romano de 10 (Una Profundidad

Mas de Hasta (inclusive) w h del cufiero

5 7 3 3 3

16 16 32 32 64

7 9 1 3 3

16 16 " 8 32 64

1 1 1

" 8 " 8 169 7 3 1 1

16 " 8 16 " 8 16

3 3 316 16 32

7 11 1 3 3

" 8 4 4 " 16 32

1 1 1

4 " 4 " " 8

11 II 5 1 1

4 8 16 4 " " 8

5 5 516 16 32

II II 3 1 1

8 4 " 8 4 " " 8

3 3 3" 8 " 8 16

II 21 1 3 34 4 2 " " 8 161 1 12 " 2 " 4 "

21 2l 5 7 7

4 4 " 8 16 32

5 5 5" 8 " 8 16

2l 313 1 1

4 4 4 " 2 " 4 "

3 3 3

4 " 4 " " 8

Para aplicaciones menos importantes, se puede usar un pasador de montaje 0un pasador

de arrastre. Una granvariedad de ellos se listan en los catalogos de los fabricantes."

La cuiia cuadrada, como la de la figura 7-l6a, tambien se encuentra disponible en tama-

fios rectangulares. Sus tamaiios estandares, junto con el intervalo de diametros de eje apli-

cables, se listan erila tabla 7-6. El diametrodel eje determina los tamafios estandar para el

grosor, la altura y faprofundidad de la cufia. Eldiseiiador elige una longitud de cuiia apropia-

da para soportar la carga de torsi6n. La falla de la cuiia puede ser por cortante directo, 0por

esfuerzo de' apoyo. En el ejemplo 7-6 sedemuestra el proceso para dimensionar la longitud

de una cufia. La longitud maxima de.una cufia esta limitada por la longitud de la maza del ele-

mento agregado,ypor 10 general nodebe exceder 1.5 veces el diametro del eje, para evitar la

torcedura excesiva co n la deflexi6n an,gulardel eje. Para soportar cargas mas grandes puedenusarse cufias multiples, de manera tipica orientadas a 90° una de la otra. Deben evitarse los

factores de seguridad excesivos en eldisefio de cufias, puesto que es deseable que la cufia falle

en una situaci6n de sobrecarga, en lugar de que 1 0 hagan componentes mas costosos.

El material usual de la cufia es acero laminado en frio de bajo carbono, y se fabrica de

manera que sus dimensiones nunca excedan la dimensi6n nominal. Esto perrnite usar cortado-

res detamafio estandar en la fabricaci6n de cufias. En ocasiones se usa un tornillo de presi6n

junto con una cufia para sostener la maza de manera axial, y para minimizar el impacto de

rotaci6n cuando el eje gira en ambas direcciones.

7Veatambien Joseph E. Shigley, "Unthreaded Fasteners", cap. 24 en Joseph E. Shigley, Charles R. Mischke y Tho-

mas H. Brown Jr. (eds.), Standard Handbook of Machine Design, 3a. ed., McGraw-Hill, Nueva York, 2004.



380 P AR TET RE S D ise no de e le me nto s rneconicos

Figura 7-17

0 ) Curio co n cabeza; b ) cufio

Woodru f f .

Conicidad ren 12"

- - + l w J - + -

Ih

a)

b)

La cufiacori cabeza deIa figura 7-17desta ahusada de t31manera que, cuando se instala

con firmeza, previene el movimiento axial relativo. Tambien proporciona la ventaja de que la

posicion de la masa se ajusta para la mejor ubicaci6n axial. La cabeza hace pos ible la extrac-

ci6n sin tener que acceder al otro extremo, pero su saliente puede ser peligrosa.

La cuiia Woodruff, que se muestra en la figura 7-17 b, es de utilidad general, en especial

cuando se debe posicionar una rueda contra un hombro de un eje, puesto que la guia ranurada

no necesita maquinarse en la regi6n de concentraci6n de esfuerzo en el hombro. El uso de este

tipo de cufia tambien produce una mejorconcentricidad despues del ens amble de la rueda y su

eje, 10 cual resulta especialmente importante a velocidades elevadas, como por ejemplo, con

un rodefede turbina y sueje. Ademas, son particularmente ritiles en ejes mas pequefios donde

su penetracion mas profunda ayuda a evitar la rotaci6n de la cufia. En la tabla 7-7 se dan las

climensiones de algunos tamafiosestandar de cufias Woodruff y en la 7-8 se proporcionan los

diametros delos ejes para los que son apropiados los distintos anchos de cuiiero.Pilkey" proporciona los valoresde las concentraciones del esfuerzo en un cufiero fresado,

como una funcion de la relaci6n del radio r en el fondo de la ranura y el diametro d del eje.

Para filetes cortados con fresas mecanicas, con una relacion de rid = 0.02, las graficas de

Peterson dan K,= 2. 14para flexi6n y K ts = 2.62 para la torsion sin la cufia en su Iugar, 0K ts

=3.0 para la torsi6n con la cufia en su lugar, La concentracion del esfuerzo en el extremo del

cufiero puede reducirse si se utiliza un asiento con forma de trineo que eliminara el extreme

abrupto del cufiero, como se muestra en la figura 7-17. Sin embargo, aiin tiene el radio agudo

en el fondo de la ranura a los lados. El cufiero en forma de trineo puede usarse solo cuando

no es necesario el posicionamiento longitudinal definido de la cufia, Tampoco es muy reco-

mendable cerca de un hombro. AI mantener el extremo de un cufiero al menos a una distancia

8W. D. Pilkey, Peterson's Stress Concentration Factors, 2a. ed., John Wiley & Sons, Nueva York, 1997, pp. 408-

409.



I Tabla 7-7

Dimensiones de curios

Woodruff: serie en pul-

gadas

Tabla 7·8

Iomofios de.cufics

Wooddruff adecuados

para varios di6metros

de eje

CA PIT ULO 7 E ie s , fle chas y sus com pon en te s 381

Tamano de la cuna Altura Corrimiento Pl"ofundidad de la I"anul"a

w D b e Eie Maza

1 1 0.109 1 0.0728 0.037216 4' 64

1 3 0.172 1 0.1358 0.037216 8' 64

3 3 0.172 1 0.1202 0.052932 '8 643 1 0.203 3 0.1511 0.052932 '2 64

3 5 0.250 1 0.1981 0.052932 '8 16

1 1 0.203 3 0.1355 0.0685'8 '2 64

1 5 0.250 1 0.1825 0.0685'8 '8 16

1 3 0.313 1 0.2455 0.06858' 4' 16

5 5 0.250 1 0.1669 0.084132 '8 16

5 3 0.313 1 0.2299 0.084132 4' 16

5 7 0.375 1 0:2919 0.084132 '8 16

3 3

0.3131

0.2143 0.099716 4 ' 16

3 7 0.375 1 0.2763 0.099716 '8 16

3 0.438 1 0.3393 0.099716 16

1 7 0.375 1 0,2450 0.13104' '8 1 6

1 0.438 1 0.3080 0.13104 ' 16

1 11 0.547 5 0.4170 0.13104 ' 4 .64

5 1 0.438 0.2768 0.162216

5 11 0.547 5 0.3858 0.162216 4 64

5 11 0.641 7 0.4798 0.162216 : 2 64

3 11 0.547 5 0.3545 0.1935'8 4 643 11 0.641 7 0.4485 0.1935'8 2 64

Anchode la Diamefl"o del eie, pulg

ranura, pulg De Hasta (inclusive)

1 5 1

16 16 '2

3 3 732 '8 '8

1 3 11'8 '8 2

5 1 1:2:32 '2 8

(3 9 216 16

1 1 1 214' 16 4

5 3 2.:3.16 4' 8

3 1 2:2:'8 8



382 PARTETRES Disef io de elementos meconicos

Anillo de retenci6n

Anillo de retenci6n

Usos comunes de los anillos

de retencion: 0 ) anillo externo

y b) su opl icocion: c) ani llointerno y d ) su oplicocion.

a) b) c) d)

de dll ° desde el inicio del filete del hombro evitara que las dos concentraciones del esfuerzo

se combinen entre sf.9

Anillos de If'etencion

Con frecuencia se emplea un anillo de retencion, en lugar de un hombro de eje 0un mangui-

to, para posicionar axialmente un componente sobre un eje 0 en un agujero de alojamiento.

Como se ve en la figura 7-18, se corta una ranura en el eje 0 en el agujero de alojamiento

para hacer que penetre el retenedor de resorte. Para determinar los tamafios, dimensiones y

capacidades, se deben consultar los catalogos de los fabricantes.

En las tablas A-lS-16 y A-IS-17 del apendice se dan los valores de los factores de concen-

tracion del esfuerzo para ranuras co n fo ndo plan o en ejes, apropiados para anillos de retencion.

A fin de que los anillos se asienten adecuadamente en el fondo de la ranura, y soporten las

cargas axiales que se ejercen en contra de los lados de la ranura, el radio del fondo de la ranura

debe ser razonablemente agudo, usualmente, alrededor de un decimo del ancho de la ranura.Esto es causa, comparativamente, de valores altos de los factores de concentracion del esfuerzo,

alrededor de S para el esfuerzo de flexion y axial y 3 para la torsion. Debe tenerse cuidado al

usar anillos de retencion, en particular en ubicaciones con esfuerzos de flexion altos.

9Ibid., p. 381.

T = 630:5H = (630:(40) =4200 Ibf . pulg

A parti.r de la figura 7-19, la fuerza F en la superficie del eje es

T 4200F = - = = =5 8S0 Ibf

r 1.4375/2

Mediante la teOlia de la energfa de distorsi6n, la resistencia al cortante es

Iigura 7-19 S sy =0.S77S y =(0.577)(65);:':: 37.S kpsi



C AP IT ULO7 tie s, fle chas y sus componen !es 383

La falia por cortante a 10 lar:godeI ari~a1b creara :unesfilerzoder = = F

la resistencia dividida entre ,,,If,,,..tnr " 1 , , , se:gU1id~ld,se tiene

7-8 limites y aiustes

El disefiador tiene libertad para adoptar cualquier configuraci6n geometrica de ajuste para

ejes y agujeros que garantice la funci6n propuesta. Se ha acumulado una experiencia sufi-

ciente con situaciones corminmente recurrentes para hacer normas utiles. En Estados Unidos

existen dos normas de lfmites y ajustes: una se basa en unidades del sistema ingles y la otra

en unidades del sistema metrico.!" Las normas difieren en nomenclatura, definiciones y or-

ganizaci6n. N? servirfa de nada estudiar por separado cada uno de los sistemas. La versi6n

metrica es la mas reciente de las dos y esta bien organizada, por 10que aquf s6lo se presenta

esta versi6n, pero se incluye un conjunto de conversiones al sistema ingles para permitir que

se utilice el mismo sistema con cualquier tipo de unidades.

Al utilizar la norma, las tetras mayusculas siempre se refieren al agujero; las minusculasse usan para el eje.

Las definiciones que se dan en la figura 7-20 se explican de la manera siguiente:

" Tamaiio bdsico es el tamafio al cual se asignan Ifrnites 0 desviaciones y es el mismo para

ambos elementos del ajuste.

" Desviaci6n es la diferencia algebraic a entre un tamafio y el tamafio basico correspondiente.

" Desviaci6n superior es la diferencia algebraic a entre el limite maximo y el tamafio basico

correspondiente.

" Desviaci6n inferior es la diferencia algebraic a entre el Iimite mmimo y el tamafio basico

correspondiente.

.. Desviaci6n fundamental es la desviaci6n superior 0 inferior, en funci6n de cual se aproxi-

me mas al tamafio basico,

.. Tolerancia es la diferencia entre los lfmites de tamafio maximo y minimo de una parte.

e Grado de tolerancia internacional es el conjunto de mimeros IT (siglas en ingles de la

tolerancia internacional) que designan grupos de tolerancia tales que las tolerancias de un

mimero IT en particular tengan el mismo nivel relativo de exactitud, pero varfen segiin el

tamafio basico.

.. Agujero base representa un sistema de ajustes correspondientes a un tamafio de agujero

basico. La desviacion fundamental es H.

10Preferred Limits and Fitsfor Cylindrical Parts,ANSI B4.1-1967. Preferred Metric Limits and Fits, ANSI B4.2-1978.



384 PARTETRES Diserio de elementos meconicos

Figura 7-20

Definiciones apl icodas a un

ojuste cilindrico.

Desviaci6n superior, O u - lDesviaci6n inferior, O I l

Grado de tolerancia internacional,

6. d (mimero IT)

~:~~~~~~6nfundamental,l

Desviaci6n superior, 0u

internacional,

6.D (mimero IT)

max. ,

• Arbol base representa un sistema de ajustes correspondiente a un tamafio de eje basico, La

desviaci6n fundamental es h. .Aquf no se incluye al sistema de eje base.

La magnitud de la zona de tolerancia es la variaci6n de tamafio de la parte y es igualpara las dimensiones internas y externas. Las zonas de tolerancia se especifican en mimeros

de grado de tolerancia internacional, llamados mimeros IT. Los mimeros de grado menores

especifican una zona de tolerancia menor, y.vanan de IT 0 a ITI6, pero para los ajustes prefe-

rentes s610 se necesitan los grados IT6 a ITl L En las tablas de la A-II ala A-13 se presentan

los ajustes para tamaiios basicos de hasta 16 pulg 0 400 mm.

En la norma se emplean letras de posicion-de tolerancia, donde las letras mayiisculas

representan dimensiones internas (agujeros) y las minusculas denotan dimensiones externas

(ejes). Como. se muestra en la figura 7-20, la desviaci6n fundamentallocaliza la zona de tole-

rancia con relaci6n al tamafio basico.

En la tabla 7-9 se muestra la forma en que se combirian las letras con los grados de tole-

rancia para establecer un ajuste preferente. El simbolo de la ISO que corresponde al agujeropara un ajuste deslizante, con untamafio basico de 32 mm, es 32H7. Las unidades de pulgadas

no constituyen una parte de la norma. Sin embargo, la designaci6n (li pulg) H7 contiene la

misma informacion y en este caso se recomienda su uso. En ambos casos, la letra maytiscula

H establece la desviacion fundamental y el numero 7 define un grado de tolerancia de IT7.

Para un ajuste deslizante, las dimensiones correspondientes del eje se definen por el

simbolo 32g6 [(li pulg)g6].

Las desviaciones fundamentales para ejes se dan en las tablas A-II y A-13. En el caso de

los c6digos de letras c, d, f, g Yh,

Desviaci6n superior = desviacion fundamental

Desviaci6n inferior = desviaci6n superior - grado de tolerancia

Para los c6digos de letra k, n, p, s y u, las desviaciones de ejes son:

Desviacion superior = desviaci6n fundamental

Desviacion superior =desviaci6n inferior + grado de tolerancia



Tabla 7-9

Descripciones de ojus-

tes recomendables

mediante el sistema del

aguiero base

(Fuente:PreferredMetric limits

and Fits,A N S I B 4 .2 -1 9 7 8 .

Vea tambifm BS 450 0 . )

C AP IT ULO 7 Eies,flechasy suscomponentes 385

Tipo de ajuste Descripcion Simbolo

Holgura A iu ste s ue lto e n o pe ra cio n: para tolerancias comerciales H 11 / c 11

amplias 0 rncrqenes en elementos externos

A ju ste lib re e n opetocion: no se debe emplear cuando H9 / d9

10 exac;titud es esenc lc l , pero resulta adecuado para

grandes variaciones de temperatura, altos velocidades

de operaci6n 0 grandes presiones en el coj inete

A iu ste e stre ch o e n opetocion: para operaci6n en H8/f7

moquinos de precisi6n y para 10 ubicaci6n exacta

a velocidades y presiones moderadas en el cojinete

A i u st e d e sl iz ant e: donde los partes no ;e von a operar H7/ g6

libremente, pero se deben mover y girar con libertod

y tener uno ubicaci6n precise

Aius te de ho /gu r a l oca li zada : proporciona un ojuste firme H7/h6

para 10 ubicaci6n de partes estacionarias, pero se puede

ensamblar y desensamblar libremente

A ju ste d e tr an sic io n lo ca li~ a da : para ubicaci6n precisa; H7/k6

un para metro intermedio entre holgura e interferencia

Aius te de t ransi c ion loca ii zada: para uno ubicocion mas H7/n6

precisa, donde es permisible uno mayor interferencia

A iu st e d e i nt er fe re n ci a l oc a/ iz ad a : para partes que H7/p6

requieren rigidez y olineccion con 1 0 m e jo r precision

de ubicccion, pero sin requisitos especiales de presion

en el diornetro interior

A iu ste d e im pu lso m ed io: para partes de acero ordinarias H7/ s6

o ojustes par controccion en secciones liqeras; el ojuste

mas' firme' que se puede realizar con ele~entos de 'hierro

fundido

A i u st e f o rz ado :adecuado para partes que se puedan

someter a esfuerzos elevados, 0 para ojus tes par

contrcccion donde resulten improctlcoslos fuerzas

de alto presi6n requeridos

I rons lc lon

Interferencia

H7/u6

La desviaci6n inferior H(para agujeros) es cero. Para estos, la desviacion superior es igual al

grade de tolerancia.

Como se muestra en lafigura 7-20, se utiliza la siguiente notacion:

D = tamafio basico del agujero

d = tamafio basico del eje

8 u = desviaci6n superior

81= desviaci6n inferior8p = desviaci6n fundamental

! : : : . D = grado de tolerancia del agujero

! : : : . d = grado de tolerancia del eje

Observe que todas estas cantidades son determinfsticas. Por 10 que, para el agujero,

D m a x =D + ! : : : . D

Para ejes con ajustes de holgura c, d, f, g Yh,

Dmin =D

Para ejes con ajustes por interferencia k, n, p, SYu,

(7-36)

(7-37)

(7-38)



386 P A R TET R ES D is erio d e e le m en to s rn eco nico s

Esluerzo y capacidad de par de torsion en a;ustes por interlerencia

En ocasiones, los ajustes por interferencia entre un eje y sus componentes pueden usarse para

minimizar la necesidad de hombros y cufieros. Los esfuerzos debidos a un ajuste por interfe-

rencia pueden obtenerse si se considera al eje como un cilindro con presion externa uniforme,

y la maza como un cilindro hueco con una presion interna uniforme. Las ecuaciones de es-

fuerzo de estas situaciones se desarrollaron en la seccion 3-16, y aquf se convertira de termi-

nos de radio a terminos de diametro para que coincida con la terminologfa de esta seccion,



CA PiT ULO 7 E je s , flechas y s u s c omponen te s 387

La presi6n p generada en la interfase del ajuste por interferencia, de la ecuaci6n (3-56)

convertida a terminos de diametro, esta dada por

8(7-39)

0, en el caso donde ambos elementos son del mismo material,

(7-40)

donde des el diametro nominal del eje, d, es el diametro interno (si hay alguno) del eje, do es

el diametro externo de la maza, E es el m6dulo de Young yves la relaci6n de Poisson, con

subindices 0e i para el elemento externo (maza) e interno (eje), respectivamente. Por su parte,

8 es la interferencia diametral entre el eje y la maza, esto es, la diferencia entre el diametro

externo del eje y el diametro interno de la maza.

(7-41)

Como habra tolerancias en ambos diametros, las presiones maxima y minima pueden

encontrarse mediante la aplicaci6n de las interferencias maxima y minima. Adoptando la

notaci6n de la figura 7-20, se escribe

(7-42)

(7-43)

donde los terminos del diametro se definen en las ecuaciol}!,<s(7-36)y (7-38). La interferencia

maxima debe usarse en la ecuacion (7-39) 0 (7-40)' para determinar la presion maxima en

busca del esfuerzo excesivo.

De las ecuaciones (3-58) y (3-59), con los radios convertidos a diametros, los esfuerzos

tangenciales en la interfase del eje y la maza son

d2+d?(h, eje=-P d2- di2

d/+d2(f - P ----:-- - :: -t,maza - . do2 ~ d2

(7-44)

(7-45)

Los esfuerzos radiales en la interfase son simplemente

(fr,eje = -p (7-46)

(7-47)fr, maza = -p

Los esfuerzos tangenciales y radiales son ortogonales, y deben combinarse mediante

una teorfa de falla para compararcon la resistencia a la fluencia. Si el eje 0 la maza fluyen

durante el ensamble, no se lograra la presion completa, 10 que disminuye el par de torsi6n que

se puede transmitir. La interacci6n de los esfuerzos debidos al ajuste por interferencia con los

otros esfuerzos debidos a las cargas sobre el eje no es trivial. El analisis de elemento finito

para la interfase sera iitil siempre que este garantizado. Un elemento de esfuerzo sobre la su-

perficie de un eje rotatorio experimentara un esfuerzo flexionante completamente reversible

en la direcci6n longitudinal, asf como los esfuerzos de compresi6n estables enlas direcciones

tangencial y radial. Este es un elemento de esfuerzo en tresdimensiones. Tambien puede es-

tar presente el esfuerzo cortante debido a la torsi6n en el eje. Como los esfuerzos debidos al

ajuste por presi6n son de conipresion, por 10 generalla situaci6n de fatiga realmente mejora.

Por esta raz6n, puede ser aceptable simplificar el analisis del eje sin tomar encuenta los es-



388 PARTE TRES D isefio de elementos rneccnicos

fuerzos de compresi6n estables debidos al ajuste porpresi6n. Sin embargo, existe un efecto

de concentracion del esfuerzo en el esfuerzo de flexion en e1eje, cercano a los extremos de

la geometria de la maza, y por eonsiguiente en su uniformidad y rigidez, que puede tener un

efectosignificativo en e1valor especffico del factor de la coneentraci6n del esfuerzo, 10 quehace diffcil reportar valores generalizados. Para las primeras estimaciones, los valores tipicos

no son mayores que 2.

La cantidad de par de torsion que puede transmitirse a traves de un ajuste de interferencia

puede estimarse medianteun analisissimple de fricci6n en1ainterfase. La fuerza de frieci6n es

el producto del coeficiente de fricci6nfy la fuerza normal que acnia en la interfase. La fuerza

normal puede representarse mediante el producto de la presi6n p y el area de la superficie A

de interfase. Por 10tanto, la fuerza de friccion.F, es

Ff= N = (PA) =[p2n(d/2)IJ = pit dl (7-48)

donde I es la longitud de la maza. Estafuerza de friccion acnia con un brazo de palanca de dl2

para proporcionar la capacidad de.par de torsion de la junta; en consecuencia,

T = Ffdl2 =fpndl(dI2)

T=(n/2)fpld2 (7-49)

La interfereneia minima, de la ecuaci6n (7-42), debe usarse para deterrninar la presi6n

minima para verificar la cantidad maxima de par de torsi6n de manera que lajunta este dise-

fiada para transmitir sin deslizamiento.

PROBLEMAS

7~1 Un eje esta sometido a cargas de. flexion y torsion, de manera que M; = 600 Ibf· pulg, T ; = 400

Ibf· pulg, Mm = 500 lbf ·pulg y Tm = 300 lbf· pulg. Para el eje, Su = 100 kpsi YSy= 80 kpsi, y se

supone un limite de resistencia a la fatiga completamente corregido de S; = 30 kpsi.Sean Kf=2.2 Y

Kfs = 1.8. Con un factor de diseiio de 2.0, determine el diametro mfnimo aceptable del eje usando el

a) Criterio de ED-Gerber.

b) Criterio de ED-eliptico.

c) Criterio de ED-Soderberg.

d) Criterio deED-Goodman.

Analice y compare los resultados.

7..2 La seccion de un eje, que se presenta en la figura, sedisefiara con tamaiios relativos aproximados de

d = 0.75D Y r = D120 con el diametro d conformandose al tamafio de los diametros interiores de los

rodamientos metricos estandares. El eje se hara de acero SAE 2340, tratado termicamente para obtener

resistencias mfnimas en el area del hombro de resistencia ultima a la tension de 1 226 MPa y resistencia

ala fluencia de 1 130 MPa con una dureza Brinell no menor que 368. En el hombro, e1 eje se sometera

a un momento flexionante cornpletamente reversible de 70 N . m, acompafiado de una torsion uniforme

de 45 N . m. Use un factor de diseiio de25 y dimensione el eje para vida infinita.

P ro bl em a 7 -2

Secci6n de un eie que contiene una

ranuro de oli via rectiiiccdo. A menos

que se especiiique 1 0 contrario, el

di6metro en 1 0 raiz de 1 0 ranura d ,=

d - 2r y aunque la secci6n de d i 6-

metro d este rectilicodo, la raiz de la

ranura es una superficie maquinada.

r



CA PIT ULO 7 E ie s , fle chas y s u s c omponen t e s 389

7-3 El eje giratorio de acero s6lido simplemente apoyado en los puntos Bye esta impulsado por un engrane

(que no se muestra) el cual se une con el engrane recto en D, que tiene un diametro de paso de 6 pulg.

La fuerza F del engrane impulsor acnia a un angulo de presi6n de 20°. El eje transmite un par de torsi6n

al punto A de T A = 3 000 lbf . pulg. El eje de acero esta maquinado con Sy = 60 kpsi y Su t = 80 kpsi.

Usando un factor de seguridad de 2.5, determine el diametro minima permisible de la secci6n de 10pulg

del eje con base en a) un analisis estatico de la fluencia con base en la teona de la energia de distorsi6n y

b) un analisis de falla por fatiga. Para estimar los factores de concentraci6n del esfuerzo suponga radios

de filete agudos en los hombros del cojinete.

P r ob lem a 7 -3

7-4 Un rodillo industrial con engranes, que se muestra.en la figura, se impulsa a 300 rpmpor una fuerza F

nne :1~hl:1 en 11n cfrcnlo de n:1SOde ': l nnlo de diamerro. Rl rodillo eierce una fuerza normal de 30 lbf/nulz.1-~-.--------------------- --r---- ~--r---o---~---------------.-,------:-J---- ----------------- _ -- -. ~ '-

de longitud del rodillo sobre el material que se jala a traves de 61.El material pasa debajo del rodillo,

El coeficiente de fricci6n es 0.40. Desarrolle los diagramas de momenta flexionante y fuerza cortante

del eje modelando la fuerza del rodillocomo: a) una fuerza concentrada en el centro del rodillo, y b)una fuerza uniformemente distribuida a 10 largo delrodillo. Estos diagramas apareceran en dos pIanos

ortogonales.

P ro bl em a 7 -4

EImaterial se mueve debo]odel rodamiento.

Dimensiones en pulgadas.

y

z~ ;4

xEngrane4

3 diam,

7-5 Disefie un eje para la situaci6n del rodillo industrial del problema 7-4, con un factor de disefio de 2 y una

meta de confiabilidad de 0.999 contra fallapor fatiga. Planee para un cojinete de bolas ala izquierda y

un rodamiento cilindrico a la derecha. Para deformaci6n emplee un factor de seguridad de 2.



390 PARTETRES Diseiio de elementos rneconicos

7-6 En la figura se muestra el disefio propuesto para el rodillo industrial del problema 7-4. Se propone usar

cojinetes de lubricaci6n de pelicula hidrodinamica, Todas las superficies estan maquinadas, excepto

los mufiones, que son esmerilados y pulidos. El material es acero 1035 HR. Realice una evaluacion del

disefio. i,Es satisfactorio el disefio?

P r ob le m a 7 -6

Radios de los hombros

de los co jinetes 0.030 pu lg,

los otros ~ pulg . EI curiero tipo

trineo tiene una long itud de 3~ pu lg.

7-7 En el tren de engranes con doble reducci6n que se muestra en la figura, el eje a esta impulsado por un

motor unido mediante un cople flexible conectado a la saliente. El motor proporciona un par de torsion

de 2 500 lbf . pulg a una velocidad de 1200 rpm. Los engranes tienen un angulo de presi6n de 20°, can

los diametros que se muestran en la figura. Use un aceroestirado en frfo AISI 1020. Disefie uno de los

ejes (segun 10 especifique su profesor) con un factor de disefio de 1.5, realizando las siguientes tareas.

a) Bosqueje una configuraci6n general del eje; incluya medias para localizar los engranes y cojinetes

y para transmitir el par de torsion.

b) Realice un analisis de fuerzas para encontrar las fuerzas de reaccion del cojinete y genere diagramas

de corte y memento flexionante,

c) Determine las ubicaciones cnticas potenciales para el disefio por esfuerzo.

d) Determine los diametros crfticos del eje con base en la fatiga y los esfuerzos estaticos en las ubica-

ciones crfticas.

e) Tome algunas otras decisiones dimensionales necesarias para especificar todos los diametros y di-

mensiones axiales. Bosqueje el eje a esc ala, y muestre en un dibujo a escala, todas las dimensiones

-propuestas,

1) Verifique la deflexi6n en el engrane y las pendientes en el engrane y los cojinetes para satisfacer los

lfmites que se recomiendanen la tabla 7-2.

g) Si alguna de las deflexiones supera los lfmites que se recomiendan, haga los cambios apropiados

para ubicarlas dentro de los lfmites.

P r ob le m a 7 -7Dimensiones en pulgadas.

7-8 En la figura se muestra el disefio propuesto de un eje que se usara como eje de entrada a en el problema

7-7. Se plane6 usar un cojinete de bolas a la izquierda y un cojinete de rodillos cilfndricos a la derecha.

a) Determine el factor de seguridad de la fatiga minima mediante la evaluacion de algunas ubicacionescrfticas. Use un criterio de falla por fatiga que se considere tfpico de los datos de falla, en lugar

de uno que se considere conservador. Tambien ase$urese de que el eje no alcanzara fluencia en el

primer ciclo de carga.



P rob lema 7 -8

Radios de los fi letes de los hombros

en asientos de eoj inetes 0.030 pulg,

los otros ~ pulg, exeepto transiei6n

de asiento de coj inete dereeho,

~ pu lg. EI materia l es aeero

1030 HR. Cur ios iulg de aneho

por - f t pulg de profundidod.


CA PITULO 7 E je s , fle chas y su s c ompo n e n te s 391

b) Verifique el disefio para su adecuaci6n, respecto de la defonnaci6n, de acuerdo con las recomenda-

ciones de la tabla 7-2.

~----------11----------~~------6------~

7·9 El eje que se muestra en la figura, impulsado por u~ engrane en el cufiero de la derecha, impulsa a un

ventilador en el cufiero izquierdo, y esta soportado por dos cojinetes de bola con ranura profunda. El ejeesta hecho de acero estirado en frio AISI 1020. A una velocidad de estado constante, el engrane trans-

mite una carga radial de 230 lbf Yuna carga tangencial de 633 lbf con un diametro de paso de 8 pulg.

a) Determine los factores de seguridad a la fatiga en algunas ubicacionespotencialmente criticas.

b) Verifique que las deflexiones satisfagan los minimos sugeridos para los cojinetes y engranes.

P rob lema 7 -9Dimensiones en pulgados.

7-10

Problema 7-1 Q

Dimensiones en milirnetros.

~------------------,---------- 12.87 ----------------------------+1

~------------- 8.50 ------------------1

i x i cufieroik cufiero

Un eje de acero AISI 1020 estirado en frio con la geometria que se muestra en la figura, soporta una

carga transversal de 7 kN y transmite un par de torsi6n de 107 N . m. Examine el eje por resistencia y

deflexi6n. Si la mayor inclinaci6n permisible de los cojinetes es de 0.001 rad yen el acoplarniento del

7kN

Todos los filetes 2 mm




7-11

Problema 7-7 7


7·12

P ro bl ema 7 -1 2


7·13

engrane 0.0005 rad, i,cmiles el factor de seguridad que protege contra el dafio por distorsion? i,Cmiles

el factor de seguridad que protege contra la fallapor fatiga? S i el eje resulta insatisfactorio, i,que reco-

mendaria para corregir el problema?

Se debe disefiar un eje para soportar el pinon recto y el engrane helicoidal que se muestran en la figurasobre dos cojinetes espaciados 28 pulg entre centros. EI cojinete A es cilfndrico de rodillos y s610tomara

carga radial; el cojinete B tomara una carga de empuje de 220 lbf producida por el engrane helicoidal y

su parte de la carga radial. El cojinete en B puede ser de bolas. Las cargas radiales de ambos engranes

estan en el mismo plano y son de 660 lbf para el pinon yde 220 lbf para el engrane. La velocidad del eje

es I 150 rpm. Disefie y haga un bosquejo a escala del eje, donde se indiquen todos los tamafios de los

filetes, cufieros,hombros y diametros. Especifique el materialy su tratamiento.

< L brg < L brg

- A 1~7~--

Se debe disefiar un eje de acero tratado termicamente para soportar el engrane recto y el sinffn en voladi-

zo que se muestran en la figura. Un cojinete en 1 4 toma c ar ga r ad ia l p ur a. E l cojinete en B toma la carga

de empuje del sinffn para cualquier direcci6n de rotacion. Las dimensiones y las cargas se presentan en

la figura; note que las cargas radiales estan en el mismo plano. Raga un disefio completo del eje, inclu-

yendo un bosquejo del eje que muestre todas las dimensiones, Identifique el material y su tratamientotermico (si es necesario). Proporcione una evaluaci6n de adecuaci6n de su disefio final. La velocidad del

eje es de 310 rpm.

Un eje con engrane conico montado en dos cojinetes de bolas de 40 rom serie 02 es impulsado a 1 720

rpm por un motor conectado a traves de un acoplamiento flexible. En la figura se presenta el eje, e1

engrane y los cojinetes. El eje ha tenido problemas (en realidad, dos ejes ya han fallado), y el tiempo de

parada de la maquina es tan costoso que se ha decidido que usted redisefie el eje. Una verificacion dedureza de los ejes en la proximidad de la fractura de los ejes mostr6 un promedio de 198 Bhn de uno y

204 Bhn del otro. Con tanta exactitud como fue posible se estimo que los ejes fallaron a vidas medidas

entre 600 000 y 1 200 000 ciclos de operaci6n. Las superficies de los ejes estaban maquinadas, pero no



P ro bl ema 7 - 13


7-14

7-15

7-16

7-17

7-18

P r ob le m a 7 -1 8

Dimensianes en pulgadas.

7-19

CA PIT ULO 7 E je s , fle chas y s u s c omponen t e s 393

esmeriladas. Los tamaiios de los filetes no se midieron, pero corresponden a las recomendaciones para

los cojinetes de bolas que se colocaron. Usted sabe que la carga es del tipo pulsante 0de impacto, pero

no tiene idea de la magnitud, porque el eje impulsa un mecanismo de posicionarniento y las fuerzas son

de inercia. Los cufieros tienen un ancho de ~pulg por f t pulg de profundidad. El pinon conico de dientesrectos impulsa un engrane conico de 48 dientes. Especifique un nuevo eje con suficientes detalles para

asegurar una vida larga y sin problemas.

El eje fall6 aquf

Un eje con diametro uniforme de 1 pulg tiene una longitud de 24 pulg entre cojinetes.

a) Encuentre la velocidad cntica minima del eje.

b) Si la meta es incrementar aldoble la velocidad critica, determine el nuevo-diametro.

c) l,Culli es la velocidad critica de un modelo del eje a la mitad del tamafio?

Demuestre que tan rapido converge el metodo de Rayleigh para un eje solido de diametro uniforme

dividiendo el eje primero en uno, luego en dos y finalinente en tres elementos.

Compare la ecuacion (7"27) de la frecuencia angular de un eje de dos discos con la ecuacion (7-28) y

observe que las constantes en las dos ecuaciones son iguales.

a) Desarrolle una expresion para la segunda velocidad critica.

b) Estime la segunda velocidad critica del eje del ejemplo 7-5, incisos a) y b).

Si se ahueca un eje de diametro uniforme, i,seincrementa 0 disminuye la velocidad crftica?

EI eje que se muestra en la figura soporta un engrane de 20 Ibf a la izquierda y uno de 35 lbf ala derecha.

Estime la primera velocidad crftica debida a las cargas, la velocidad critica del eje sin las cargas y la

velocidad critica de la combinacion,

20lbf 351bf

~-----------------16------------------~

Un agujero transversal taladrado y escariado se emplea en un eje solido para sujetar un pasador que

coloca y retiene un elemento mecanico, como la maza de un engrane, en posicion axial y permite la

transmision del par de torsion. Como un agujero de diametro pequefio introduce alta concentracion de

esfuerzo, y un diametro mayor debilita el area que resiste flexion y torsion, investigue la existencia del

diametro de un pasador con efecto adverso mfnimo en el eje. Luego formule una regIa de disefio. (Suge-

rencia: Utilice la tablaA-16.)



394 PARTETRES DisePio de elementos mec6nicos

7·20

7-21

7-22

7-23

7-24

Se necesita un pasador gufa para alinear el ensamble de un accesorio de dos piezas. El tamafio nominal

del pasador es de 15 mm. Tome las decisiones dimensionales para realizar un ajuste con un juego de

ubicacion de tamafio basico de 15mm.

Se requiere un ajuste de interferencia para una maza de hierro fundido de un engrane, el cual semontarasobre un eje de acero. Tome las decisiones dimensionales para realizar un ajuste de interferencia medio

con tamafio basico de 45 mm.

Se necesita un perno para formar un pivote de una articulacion, Encuentre las dimensiones que se re-

quieren para un pasador y una horquilla de tamafio basico de 50 mm, con ajuste de deslizamiento.

Es necesario describir una chumacera y su casquillo. El tamafio nominal es de 1 pulg. LQue dimensio-

nes se necesitan para un tamafio basico de·1pulg con un ajuste estrecho de operacion, si se trata de un

ensamble de chumacera ycasquillo ligeramentecargado?

Un engrane y un eje con diametro nominal de 1.5 pulg deben ensamblarse con un ajuste de interferencia

medio, como se especifica en la tabla 7-9. El engrane tiene una maza, con un diametro externo de 2.5

pulg, y una longitud total de 2 pulg. El eje esta hecho de acero AISI 1020 CD, Yel engrane de acerocompletamente endurecido para proporcionar Su = 100 kpsi YSy = 85 kpsi.

a) Especifique las dimensiones con tolerancias para lograr el ajuste deseado entre el eje y orificio del

engrane.

b) Determine las presiones minima y maxima que podrian experimentarse en la interfase con las tole-

rancias especificadas.

c) Determine los peores factores de seguridad estaticos que protegen contra la fluencia en el ensamble

del eje y el engrane, con base en la teoria de falla por energfa de distorsion,

d) Determine el par de torsion maximo que se espera transmita la junta sin deslizamiento, es decir,

cuando el valor de la presion de interferencia es mfnimo para las tolerancias especificadas.

Capítulo 7 (Parte 3)

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