CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE 187

CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE 187

Dependiendo de las expresiones que se usen para v* y T«, nos permitirán encontrar el espesor de la capa límite, ya sea turbulenta o laminar y los esfuerzos sobre la misma.

Perfil sinusoidal de velocidades flujo laminar:

En este caso, si el fluido es newtoniano, el balance de cantidad de movimiento puede escribirse como:

d dx .

v (v - v ) dy = r (dv /dy) g X ® X X

( 7.4 ) y = 0

suponemos vx = a sen ay , donde a y a son constantes a determinar. (7.5

Las condiciones límite:

y = 0 Vx = 0 en la superficie sólida,

y = 6 dvx/dy = 0

y = ó Vx - Veo ; y = 0 d2vx/dy2 = 0 (por Navier-Stokes)

dv dy y=Ó

= a cos(ay) = a eos aÓ = 0 y-à

entonces aó = TI/2

en y = Ó, v® = a sen(aÓ) = a sen(it/2), entonces a = v<*>

vx = va, sen (yrc/26) ( 7.6 )

es el perfil de velocidades que además satisface las otras dos condiciones límite.

Reemplazando en ( 7.4 ) y desarrollando: re

0 6

[v»2 een(ync/2Ô)][l - sen(yTt/2Ô)] dy = F vm (TI/26) d

dx .

d

dx J

Ahora: ra i sen2ay dy = (ay - Hsen2ay) e 2a

T TI {sen(yrc/2Ô) - sen2(yit/26)} dy = e Va, 26

( 7.7 )

= (ay - senay-cosay) e 2a

Ó/2

lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE

6 1 , 6 senay dy = - cosay e a

Entonces ( 7.7 ) se transforma en:

26 it

d

dx 26 it

6

2

r TI.

v=» 26

ô dô = Tt2 r

4 - TI V <30

dx

haciendo 6 = 0 para x = 0:

62

2

Re* = Vcpx/r : Ô

TI 2 Ix

4-ir V CD

4.80

(Rex)* i 7.8 )

Observamos que el espesor de la capa limite, 6, crece con la potencia ( 0.5 ) de la distancia desde el borde de incidencia.

fVc = f

* 2

FUERZA VISCOSA EN LA SUPERFICIE.

dvx

dy y=e

itu (Re*)*

fvcox 4.60

0.655

(Rex)H

UVCDK

26

( 7.9 )

Gamo 6 varía con x, f x es un valor local y sólo nos da un esfuerzo local. Al promediarlo para toda la longitud de la placa nos da un valor más práctico:


1 fL =

L 1.310

fxdx = ( 7.10 ) (Reí,)*4

ReL = [ Va, L

u Esta expresión es válida para L < xc.

Recuerde al calcular la fuerza de arrastre que, si se trata de una placa plana, está siendo afectada por el flujo por las dos caras y esto influye en el cálculo de la superficie.

Otras aproximaciones corrientes al perfil de velocidad son hechas con polinomios de segundo tercero y cuarto orden.

ANALISIS EXACTO DE LA CAPA LIMITE LAMINAR.

La ecuación de Navier Stokes para un sistema bidimensional, laminar, incompresible, en estado estacionario:

ÔVx ÔVx Vx + Vy —

ôx ôy ôp

+ u Ôx

02Vx Ô2Vx

ÔX2 ôy2 ( 7.11 )

ÔVy ÔVy Vx + Vy

Ôx ôy ôp

+ u ôy

ô2Vy Ô2Vy

ôx2 Ôy2 ( 7.12 )

Como fué sugerido por Prandtl desde 1904, desde que la capa es delgada y cae sobre una superficie sólida, vy es muy pequeña comparada con vx, y óvx/óy es grande comparada con <ivx/dx. Esto significa que vxdvx/dx y vydvx/dy son de aproximadamente el mismo orden de magnitud, comparables a su vez con:

y f

Ô2Vx ôy2

; de otra parte: u

í

Ô2Vx Ôx2

es despreciable en comparación con los otros términos de la ecuación ( 7.11 )

En la ecuación ( 7.12), un análisis similar demuestra que todos los términos que contengan Vy y sus derivadas son pequeños. Esto lleva a la conclusión de que óp/óy es pequeño; en otras palabras, la presión cambia muy poco desde la superficie hasta el borde de la capa limite. Este resultado es importante pues la variación de la presión con x


puede considerarse independiente de y en la capa limite. El problema se redujo entonces a la solución simultánea de la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección x y la ecuación de continuidad. En las ecuaciones (7.11) y (7.12), si se quiere tener en cuenta la gravedad, basta considerar p como la presión dinámica):

ÓVx ÓVx V x + V y

Sx Ôy

dp Ô£vx + u dx Ôy2

(7.13)

ÓVx ÓVy + = 0 ( 7.14 )

Óx Óy

Conocemos además que en y = 0, vx = vv = 0 y en y = ó, vx = v®. Para superficies curvas, x puede medirse a lo largo de la superficie, e y normal a lamiema, siempre que el radio de curvatura sea grande comparado con ó.

FLUJO SOBRE UNA PLACA PLANA.

Para el flujo sobre una placa plana la ecuación (7.13) puede simplificarse adicionaImente pues dp/dx es cero ya que v= es constante. La solución de este problema para flujo laminar, dando vx y vy como funciones de x e y, fué obtenida por Blasius en 1908 y refinada por Howarth en 1938.

Para ello hicieron uso de la transformación de similitud fl = y/(Ft)** para obtener una solución por el método de combinación de variables.

Se busca entonces una solución de la forma:

Vx Vx< n ) . Vx = Vx/Vro

y y

( Fx/Vao )H 6

df — - f- - Vx(n) dn

ÓVx ÓVy Ó 2Vx

ox óy Óx2

pueden transformarse en derivadas de f con respecto a n. La velocidad en la dirección y se puede hallar a partir de la ecuación de continuidad como:

n

Se hace:

Entonces:


Íy dvx

0 dx Vv = - | dy

sustituyendo y organizando:

ff"+ 2f = 0 ( 7.15 )

llamada la ecuación de Blassius.

Las condiciones limite son asi: en la pared donde y = 0 y 0 = 0, no hay resbalamiento y por tanto f'( 0 ) = 0. Como definimos f' como la velocidad, f( 0 ) es arbitraria y podemos dejar f( 0 ) =0. En el borde de acceso, donde x = 0, tenemos vx = v®. Pero x = 0 hace 0=® e y = ®. 0 sea que para ser consistentes f'( ® ) = 1. Asi v* tiende a v» como y tiende a ® . Como esta aproximación es asintótica, se define el espesor efectivo de la capa limite, ó, como la distancia a la cual vx = 0.99 v® ó V - 0.99.

La ecuación ( 7.15 ) ha sido resuelta en forma de serie:

f = 0.16603 O2 - 4.5943x10-40* + 2.4972x10-60« - 1.4277x10-80"- + ... (7.16)

1 r V x = v-f' ; V y = — rv-/x (Of- - f)

2 L

estas tres expresiones se usan para graficar f'( fl ) = v x / v ® como función de 0 = y (v-/Tx)*-

Esta gráfica muestra que para f' =0.99 0=4.96= ó(v»/Tx) ;de donde

4.96 x Ó = ( 7.17 )

(Rex)* %

También es interesante el gráfico de (vy/v») (v®x/F) como función de 0 para observar la variación de vy con la posición en la capa limite.

El esfuerzo cortante en la pared en cualquier posición x es:

Ó V x = + U

óy = y=0

Usando

ÓV

60 = f " (0) = 0.332 ;

n=0

ÓVx

Ó0

00

óy

Ó0

n=0 Óy y = 0 Veo

y = 0

V«D

L Tx

obtenemos


H 2 TS|x — 0.332nv. (v-/rx) = fx(1/2)(v®

El coeficiente local de fricción superficial ( similar al factor de fricción de Fanning, f, pero aplicable a flujo externo ):

H 0.332uv-(Vm/Tx) H

fx = = 0.664 (T/xv-) H fv-2

0.664 fx = ( 7.18 )

Rex*

TABLA 7.1 PROPIEDADES DE LA CAPA LIMITE LAMINAR SOBRE UNA CAPA PLANA DETERMINADOS POR DIFERENTES METODOS.

Forma de la

curva del perfil

de velocidad

Espesor de

la capa

limite

Coeficiente Porcentaje

de fricción de error.*

total.

Solución de Blas8ius y Howarth

4.96

(Rex)*

1.328 fL =

(ReO* 0.0*

Perfil

Sinusoidal

4.80

(Rex)*

1.310 f L =

(ReL)* •1.36

Polinomio de

tercer grado.

6

x

4.64

(Rex)* f L

1.296

(ReL)* -2.41

Polinomio de

segundo grado.

Ó

x

5.50

(Rex)*

1.454 fL = 7

( R e L ) * +9.49

Polinomio de

cuarto grado.

5.83

(Rex)* fL =

1.372

( R e L ) * +3.31

* Este valor se toma como referencia.


Este ( como en la ecuación ( 7.9 ) ) es un coeficiente local. Para calcular la resistencia total resultante del flujo viscoso sobre una superficie de tamaño finito es necesario conocer el factor de fricción promedio para toda la longitud, L, de la placa.

f L = L

L 1 f x dx = — e L J

PL 34 0.664(r/v«)*x-* dx = 1.328 (F/Lv«,) 0

f L 1.328

(Ret,)* ( 7.19 )

Nuevamente es válida sólo mientras Ren, sea menor o igual a Reo. A modo de información y como base de comparación se dan en la tabla 7.1 algunos valores obtenidos para el mismo problema a partir de diferentes perfiles de velocidad.

Los resultados experimentales concuerdan bien con la ecuación (7.19). Sin embargo, para bajos números de Reynolds, Janour, recomienda:

fi = 2.90(Reu)-®-6® 10 < Ret, < 3000 ( 7.20 )

CAPA LIMITE TURBULENTA : VELOCIDADES.

El análisis de la capa límite turbulenta presenta problemas similares a los encontrados en flujo turbulento desarrollado en tuberías; en especial se puede confiar en los datos empíricos de perfil de velocidad. Afortunadamente, las medidas de perfil de la velocidad media en una capa límite turbulenta indican un perfil universal muy similar al medido en flujo en tuberías; en consecuencia cualquiera de las correlaciones universales usadas en tuberías puede usarse. La utilización de perfiles de velocidad empíricos sugiere que métodos integrales, y en especial la ecuación integral de cantidad de movimiento, serán las principales herramientas del análisis.

Una solución particularmente simple puede obtenerse si una forma potencial del perfil universal de velocidades se emplea en lugar de la más satisfactoria forma logarítmica. La ecuación.

1/7 v- = 8.7(y-)

(ver ejemplo 6.1) se ajusta a los datos experimantales prácticamente tan bien como la expresión logarítmica peira y* entre 30 y 500 siendo una alternativa más simple en este rango. Substituyendo las definiciones de v* y y*,

1/7

(vx/v*) = 8.7 (yv*/n ( 7.21 )

Haciendo y = ó, el espesor de la capa limite en el lugar donde vx=v«°:


= 8.7 ITS/f)*

6( r./f )H i/-7

r Resolviendo para rm

r. v- r r ^ 8.7 l 6

t 7.21 a )

Veo i 7/4 r r i.. 4

• 8.7 . • Ó

Tm « 0227 |v.

1/4 r VCDÓ

1 r>rj ' ¿¿ I

Esta expresión fue confirmada experimentalmente hasta para ReL - 107 para placas planas

En la capa límite turbulenta la forma del perfil de velocidades es más curva que en la capa laminar El perfil medido coincide satisfactoriamente con la ecuación que obtenemos dividiendo la ecuación i 7 21 entre la i 7 21 a >, a saber

Vx/V»« (y/ó)!"7 7 23

Esta expresión pierde sin embargo validez en la inmediata proximidad a la pared, pues al calcular el esfuerzo cortante en la pared

Ó V x

hallamos y=6

dvx dy

óy Va.

(61/7 ) { y e / 7 ,

que se hace infinito en y = 0. Esto nos daría un valor infinito del esfuerzo cortante lo que físicamente no es aceptable. Por esta razón utilizaremos la ecuación ( 7.22 ) para r.. Reemplazando (7.23) en la parte izquierda de la ecuación (7.3), obtenemos:

ra v*( Voo - vx) dy - fv®2

& 1/7 1/7 7 (y/6) [1 iy/Ó) ] dy = fv.2Ó > 72

0 sea que ( 7.3 t se transforma en :


7 d6 1 4 fv®2 -- - 0.0227 fv-2 <r/v~í>)

72 dx

Separando variables 4

6 d6 : 0 235(T'v® dx integrando

1'6 4 '6 0 376( T/Voo X (7.24)

Surge alguna dificultad en la determinación de ia constante de integración Según ia tigura 7 ¿ ia capa iímite 'urbulenta comienza a la distancia crítica >u medida desde el borde de ataque. Allí ya tiene cierto espesor det>id< a ta rapa Laminar Algunos suponen que ei espesor de las -apaP amuar v turbulenta son iguales alli Según Prandtl la expresmi <4 coincide satista doriamente con mediciones si e, espesor de la capa turbulenta se determina como si comenzara en e >< .rde de ataque -on espesor cero Otras mediciones indican que est no es muy correcto Por sencillez mantendremos esta suposición La costam- -n ta ecuación 7 24 es entonces cero y x indica la distant 1 * desde et borde de ataque En forma adimensionai la ecuación queda

6 W 376 ' = _ - i ¿b i

x Re*•1

5 x 10® Re« W>

Si se calculan ías capas límite laminar y turbulenta para 1a distancia critica, se puede observar que ia capa iímite turbulenta es más gruesa. En realidad, un aumento instantáneo del espesor de 1a capa límite no es admisible por lo que debe aparecer una zona de transición como se insinúa en ia figura ¿ La restricción de la ecuación ( 7 25 > surge del rango de validez de ia expresión para ei perfil de velocidad Para números de Reynolds locales mayores a 6.5x10®, Falkner recomienda

6 i 0 1285 1 Rex 7 26 >

x

También Falkner propone que se utilice el perfil de velocidades

i /e>

i vjt/v= ) = (y/6 )

que esta de acuerdo con gran número de valores experimentales. Sustituyendo ( 7 25 ) en ( 7.22 ):


Ta = 0.0227tVœ2

1 / 6

(v»x/r) r

0.376xv®

1/4

i 1/2 )fx. 0 029 fv®2

Te -< Rex)

fx = 0.058 Rex-»-2

Esta expresión nos da el coeficiente local de arrastre para la capa limite turbulenta. Si suponemos que ésta comienza desde el mismo borde de aproximación { x = 0 ). el coeficiente total se obtiene como:

fL 1

L

fL - 0.2 fx dx = 0.072 ReL

En la realidad existirá una zona en la cual el flujo es laminar en la parte inicial de la placa ( x < Xo ). Para tenerlo en cuenta podríamos considerar que la fuerza total sobre la placa es el efecto de la zona laminar y la zona turbulenta combinadas así:

r 1 fL 1/Li fxi dx + I fxt dx

J e> i

donde fxi es el factor de fricción local para la zona laminar y fxt es el factor de fricción local para la zona turbulenta.

Obtenemos :

0.072

ReL0-2 0.072

Rec®-2 1.328

Reo® Reo

ReL i 7.27 )

donde ReL es Reynolds para toda la placa y Reo es el Reynolds critico.

Esta expresión es sin embargo válida sólo hasta valores de ReL del orden de 107.

Schlichting derivó una expresión a partir de la ecuación integral de Von Karmán y la distribución logarítmica de velocidad para el núcleo turbulento (ecuaciones (7.3) y (6.22) respectivamente) obteniendo:

fL = 0745!f C

(log ReL)2-58 Re ( 7.28 )


La cantidad que se resta en el lado derecho de la ecuación tiene en cuenta la capa limite laminar en la primera porción de la placa, y fue sugerida por Prandtl. Aqui C es una función del número de Reynolds critico o de transición:

Reo C

3 x 106 1050 5 X 106 1700 1 X 106 3300 3 x 106 8700

l 7.28. a )

Para ESL entre 106 y 10® / se recomienda la expresión de Schultz -Gruncm : —•- '

0.427 fL = ( 7.29 )

( 0 407 + log ReL)2-©4

Comparando los resultados para las capas límite laminar y turbulenta se evidencia que Ó para flujo laminar aumenta con x*< en cuanto que lo hace con x®-8 para flujo turbulento, es decir, la capa limite turbulenta es mas gruesa y está asociada con un factor de fricción pelicular mayor Aunque de acá se colige que es deseable mantener una capa limite laminar, parece que en general no es cierto.

En la mayoría de los casos de Ínteres ingenieril es deseable una capa limite turbulenta debido a aug esta resiste la_separación mejor que la capa 1imite laminar. La capa límite turbulenta- tiene mayor velocidad media y por" lo tanto mayor- ¿uu Uiari de .movimiento y una mayor energía que la capa límite laminar. Esto permite a la capa límite turbulenta permanecer sin separarse por mayor distancia en la presencia de gradientes de presión adversos que lo haría la capa límite laminar

COEFICIENTE DE ARRASTRE

Hasta ahora anlizamos la capa límite sobre una placa plana, pero esta puede también existir sobre la superficie de un cilindro o en cualquiera otra superficie. En la figura 7.3 las capas de fluido cercanas a la superficie del cilindro ( de diámetro D ) son retardadas por la fricción viscosa y luego de sobrepasar el punto B, el fluido es retardado además por un gradiente de presión desfavorable. Estos dos factores son suficientes para que a casi todos los números de Reynolds (¡Vo.D/u), el fluido vecino a la superficie se detenga e inclusive comience a fluir en dirección opuesta. La capa limite abandona la superficie, ha ocurrido la separación.

Si el caudal de flujo sobre el cilindro { transversalmente ) se incrementa para__Reynolds del orden de 1.0 la separación comienza en el punto de estancamiento en Ta parte posterior del cilindro. Esto


ocasiona un cambio en los campos de presión y de flujo, y el punto de separación avanza hacia adelante. La posición de separación más delantera ocurre a un ángulo de 85° del punto de estancamiento delantero y sucede para flujo laminar en la capa límite.

Si la velocidad de paso sobre el cilindro se incrementa lo suficiente para causar la transición a una subeapa turbulenta, el punto de separación se desplaza hacia atrae del cilindro ( 140° del punto de estancamiento delantero ). Debido a la mejor transferencia de cantidad de movimiento en el flujo turbulento, la velocidad de las capas cerca a la superficie aumenta. La mayor energía cinética del fluido cerca a la superficie hace que penetre más atras alrededor del cilindro y establezca una zona de mayor presión. Para este flujo la mayor resistencia se debe a la diferencia de presiónes entre la superficie delantera y la trasera, o sea que este arrastre disminuye al aumentar la velocidad causando el cambio de capa limite laminar a turbulenta. Aumentos posteriores en el número de Reynolds pueden sin embargo aumentar la fuerza resistente. Este tipo de resistencia de arrastre experimentada por formas redondeadas ( no aerodinámicas ), y que es causada principalmente por diferencias de presión, se denomina resistencia o arrastre de forma. El arrastre causado por esfuerzos viscosos en la capa limite se denomina fricción de superficie o pelicular; este es el único arrastre que se presenta en el flujo sobre una placa plana.

COEFICIENTE DE FORMA.

Este se define análogamente al coeficiente de fricción pelicular (interno o externo) como un coeficiente de proporcionalidad entre la fuerza resistente y la energía cinética media del fluido:

FD = fv(H fv-2A) ( 7.30 )

FD : Fuerza resistente por unidad de área frontal? A : Area frontal ( proyección perpendicular al sentido de flujo del fluido )

ECUACIONES PARA EL MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL DE UNA PARTICULA ' A TRAVES DE UN FLUIDO.

Consideremos una partícula de masa m moviéndose a través de un fluido bajo la acción de una fuerza externa Fe. La velocidad de la partícula con respecto al fluido es v. La fuerza boyante o de flotación en la partícula es Ffe_. La fuerza resistente es FD. La fuerza resultante sobre la partícula es :

m = F® -dt

La fuerza boyante es, por el principio de Arquimedes, el producto de la masa del fluido desplazado por la partícula y la aceleración

FTE - FD ( 7.31 )


debida_a^la_fuerza ^exteraa. El volumen de la partícula será m/fp, siendo (V la densidad de la misma, y éste es el volumen de fluido desplazado por la partícula. La masa de fluido desplazada será (m/fp)[, donde [ es la densidad del fluido. Reemplazando en (7.30):

(7.32)

( 7 . 3 3 )

Si se tratara de un campo centrífugo a' = rw2. r : radio de la trayectoria de la partícula

w : Velocidad angular

VELOCIDAD TERMINAL.

Cuando ocurre sedimentación por gravedad, g es constante. Además la fuerza resistente aumenta con la velocidad, dv/dt disminuirá con ei tiempo tendiendo a cero en ( 7 . 3 3 ) . La partícula, rápidamente alcanzará una velocidad constante, la cual es la máxima obtenible bago las circunstancias, y que se denomina la velocidad terminal.

Para sedimentación gravitacional, haciendo dv/dt = 0 en ( 7 . 3 3 ) tenemos:

vt = 2g( fp - f fm) —

Atrfp fo ( 7 . 3 4 )

Para usar cuantitativamente las ecuaciones { 7.32 ) a ( 7.34 ) se requieren los valores numéricos del coeficiente de arrastre ÍD.

Para esferas se obtienen curvas de fD contra Re, que pueden aproximarse por las siguientes expresiones:

Re < 1 . 9 f D = 24/Re FD = 3RCMV*DP ( 7 . 3 5 )

Se denomina rango de la ley de Stokes y corresponde al -flujo reptante sobre la esfera: no hay separación de la capa límite.

El rango siguiente o intermedio, válido para 1.9 < Re í 500

FD = 18.5/Re0•6 FD = 2 . 3 1 rc(vtDp)i-4 U*>-6 F®- 4 ( 7 . 3 6 )


El último rango está comprendido entre: 500 < Re < 200000, allí :

Es denominado rango de Newton.

Si la velocidad terminal de lá partícula se requiere, se desconoce Re y no es posible relacionar el rango de la ley. Para identificarlo, la siguiente ecuación-provee un criterio:

Si el tamaño de las partículas es conocido, K se calcula de ( 7.38 ). Si es menor de 3.3 se aplica la ley de Stokes. Si K cae entre 3.3 y 44.0 deberá usarse la ley intermedia^ y7si está entre 44.0 y 2360 deberá escogerse la ley de Newton.

Otras formas que aparecen frecuentemente son los discos y los cilindros. Para valores de Re mayores que 80, se puede considerar su factor de forma constante en aproximadamente 2.0. Para Re'menores los "discos se_ comportan prácticamente igual a las esferas, mientras que los cilindros presentan factores de arrastre menoresT Las ecuaciones (7.35) a (7.38) se aplican a esferas sólidas, no siendo impedidas en su movimiento por otras partículas o las paredes del recipiente, moviéndose a velocidad constante, no deben ser demasiado pequeñas y moverse a través de liquido estancado. Cuando la partícula se encuentra a suficiente distancia de los límites del contenedor y de otras partículas, de tal manera que su caída no es afectada por ellas, el proceso se denomina sedimentación libre. Si el movimiento de la partícula es influido por otras partícüTHB, lo cual puede ocurrir cuando las partículas están cerca unas de otras aunque no colisionen, el proceso se denomina sedimentación impedida. En e6te caso el coeficiente de arrastre es mayor que en~T.a sedimentación libre. Si la partícula está acelerada (velocidad variable), la resistencia se ve influenciada por los cambios en los gradientes de velocidad cerca a la superficie de la partícula, aumentándose. También, si las partículas son gotas líquidas (o burbujas), se generan corrientes circulantes, y oscilaciones o cambios de forma. Fuerza resistente adicional será necesaria para suministrar la energía requerida para mantener estos movimientos de la gota (burbuja) misma.

Si las partículas son muy pequeñas, aparece el movimiento browniano. Este es un movimiento aleatorio impartido a la partícula por colisiones entre la partícula y las moléculas del fluido que la rodea. Este efecto se vuelve apreciable para partículas de dos a tres micrómetros, y predomina sobre las fuerzas gravitacionales para partículas de 0.1 micrómetros o menos. El movimiento al asar de la

fD = 0.44; FD = 0 . 0 5 5 U(vtDp)2f (7.37)

K = Dp (7.38)


partícula, tiende a suprimir el efecto de la fuerza gravitacional y la sedimentación no ocurre. La aplicación de fuerza centrífuga, reduce el efecto relativo del movimiento browniano.

FLUJO EN LA REGION DE ENTRADA A UN CONDUCTO.

Hasta ahora hemos considerado que el flujo de fluidos newtonianos en tubos, anillos, y otros conductos depende sólo de las propiedades del fluido y de los limites del sistema, y es independiente de la historia anterior del fluido.

Cuando un fluido entra a un conducto, la capa límite comienza a formarse a la entrada. El perfil de velocidad completamente desarrollado existe sólo después de que el borde de la capa límite coincide con el eje del conducto. Las condiciones dinámicas del fluido a la entrada del conducto, influyen grandemente en la longitud requeridapara que un perfil de velocidad completamente desarrollado se forme. La entrada a un conducto implica un cambio súbito de área transversal de flujo y por esto es importante la configuración de la entrada para analizar el flujo aguas abajo.

Cuando el caudal es tal que el flujo completamente desarrollado puede ser laminar, la configuración de la entrada del conducto tiene poco efecto en el flujo subsiguiente. En este caso, el flujo en la capa limite será laminar aunque el flujo entrante sea turbulento. Cuando el flujo completamente desarrollado en el conducto es turbulento, la configuración de la entrada es de primordial importancia para

" " \ »7 Y

0. CAPA LIMITE COMPLETAMENTE LAMINAR

b. CAPA LIMITE COMPLETAMENTE TURBULENTA

/ < c CAPA LIMITE PARCIALMENTE LAMINAR Y PARCIALMENTE TURBULENTA

FIGURA7.5. Formación de capas limite a la entrada de tubos circulares lieos.


determinar la dinámica del fluido aguas abajo. Si la entrada es abrupta, es probable que la capa límite sea turbulenta desde el principio. Si la entrada es redondeada, la capa límite puede ser laminar inmediatamente después de la entrada y luego volverse turbulenta alguna distancia más lejos. La figura 7.5 ilustra esquemáticamente la forma de la capa límite en la entrada de un conducto circular. En el caso ( a ) el flujo es laminar en la capa limite y en el tubo, en el ( b ) el flujo es turbulento en el tubo y en toda la capa limite, en el ( c ), con entrada redondeada, el flujo es turbulento en el tubo, pero primero es laminar y luego turbulento en la capa límite

EJEMPLO 7.1.

FLUJO EN LA REGION DE ENTRADA ENTRE PLACAS PARALELAS.

FIGURA 7.6.Flujo en la región de entrada de una hendija (ranura) mostrando la distribución de velocidades en z = 0 , z = z y z = Le. Consideremos el flujo estable de un fluido incompresible newtoniano en la región de entrada entre placas paralelas separadas una distancia 2H, H es pequeña comparada con el ancho W y la longitud L (figura 7.6). Tomemos la dirección principal de flujo como z, y x, la distancia desde la placa inferior.Supongamos que no hay flujo en la dirección y, o sea no hay variación con y.

Hallar la longixud de la región de entrada Le.

Solución:


Suponemos que el fluido entra con un perfil de velocidad plano v»=vm. Como la velocidad cae repentinamente desde vB hasta cero en la pared, habrá reducción de la velocidad v«¡ cerca a la pared. Sin embargo, cerca al centro, el fluido puede suponerse con perfil de velocidad plano. A su velocidad la llamamos VF ( y no v- ) pues el fluido está confinado. Como estamos en estado estable, el caudal másico que atraviesa el área seccional es el mismo en cualquier posición z:

Ahora, como el fluido es incompresible, t es constante; y desde que A« es también constante, la velocidad promedio vm, debe ser idéntica para cualquier posición z.

Además, como el fluido avanza, VF debe aumentar para compensar el decrecimiento de la velocidad axial cerca a la pared, ocasionado por el transporte de cantidad de movimiento. Esto significa (i) que v*>0, como se puede comprobar a partir de la ecuación de continuidad pues cerca a la pared v» decrece con z, y (ii) vx = 0 en la pared. Así a medida que avanzamos, la región en la cual la velocidad puede considerarse uniforme decrece hasta que desaparece en x = Le.

Llamaremos la región central, en la que el perfil de velocidad es aproximadamente plano, como la región del núcleo, y la región cercana a la pared como la capa limite. Como el gradiente de velocidad en el núcleo es plano, podemos asumirlo como fluido no viscoso. Las placas se toman horizontales y el efecto de la gravedad es despreciable También se desprecia la difusión axial de la cantidad de movimiento.

El espesor de la capa limite es Ó(z). Ó = 0 en z = 0; Ó = H para z=Le. Para z > Le el flujo se torna completamente desarrollado, es decir, vz se hace independiente de z. En la región de flujo completamente desarrollado, el perfil de velocidad resulta ser parabólico ( ver apéndice A.7.1 ):

= fv A m z

Po - PL r 2x X 2

( 7.39 ) 2mL H H2 J

Donde x es la distancia desde la placa inferior.

Po - PL Po - PL + [gzL

L L

Integrando para el área transversal

Po - PL 2 Vm Vmix (7.40)

3uL 3


ECUACION DE MOVIMIENTO PARA LA ZONA DE ENTRADA. La componente z de la ecuación de Navier Stokes:

ÔV« ÓVa Vx + VSB

ôx ôz 02Va¡ 6p 6x2 ÔZ

( 7.41 )

En la región del núcleo como no hay transporte viscoso, t m = 0,

dvz dx

- 0 ; Vz = VF(Z).

La ecuación ( 7.41 ) se transforma

f VF dVF

- - [-?-] LdzJ ( 7.42

dz L dz -i F

Para la capa límite, la ecuación de Navier Stokes se reduce a

ÔVJS ÔVx

Vx + Va ÔX ÔZ

Ô^Vz U 0X2

dp dz

(7.43:

Aquí hemos supuesto que el gradiente de presión es igual en la capa limite y en el núcleo.

PERFIL DE VELOCIDAD EN LA CAPA LIMITE. Dado que el perfil de velocidad para la zona completamente desarrollada es parabólico, suponemos que en la capa límite también lo es.

Hacemos vz = ax2 + bx + c Donde a, b y c son constantes. Las condiciones límite nos dan: x = 0, Vz - 0 , entonces c = 0. y = ó, Vi = VF , dvx dx

= 2ax + b x=6

= 0, entonces : b = -2aô x=ô


VF = aô2 + bô = aô2 - 2aô2 = - aô2

a = - VF/Ô 2; b = 2VF/Ô

VZ = 2VF - VF X 1

I- 6 ( 7.44 )

BALANCE DE MATERIA

Podemos relacionar la variación de VF con z a la variación de Ó con z por medio de un balance de materia. La masa total que entra en z = 0, es igual a la que pasa por z = zi, asi:

m = fvn»W2H = PH

IVadAz = 2 fvzWdx = 2f J e

~Ö( ¡Z I

vzWdx + FH

vFWdx Jó ( z )

Substituyendo el perfil de velocidad y reorganizando

V m H =

r«> X L2VF —- - VF (x/ô)2]dx +

e ó

tVaH/VF) - H - (6/3)

(Ô/H ) = 3 l 1 - VM/VF I

SH VFCBC

1 7.45 I

ECUACION INTERGRAL DE VON KARMAN.

La expresión ( 7.3 ) puede también obenerse integrando las ecuaciones ( 7.13 ) y ( 7.14 ) directamente entre los limites cero y ó, donde ó es suficientemente grande para incluir la capa limite

FIGURA7.7 Condiciones límite para la derivación de la ecuación integral de cantidad de movimiento.

Modificando ( 7.13 ) y ( 7.14 ) al caso que nos interesa:


f [

6vz 6vz VX + V z

óx 62 ÓVa

Ó Z

ÓV»

Ó X

Ó p Ó 2 V z

Ó Z Ó X 2

( 7.47 )

( 7.46 )

Se convierte en : 6 Ó V z vx dx +

0 óx

6 Ó V z Vz dx = 0 óz

6 1 óp dx + r

0 [ Ó Z

6 Ó 2 V z dx (7.46)

0 Óx2

6 Ó V z dx +

Ja óz

6 Ó V x dx = 0

0 Óx ( 7.49 )

de esto último :

vx S ÓVa

dx V6 ( 7.50 ) 0 Ó Z

Ahora, el primer término de la ecuación ( 7.48 ) haciendo u = vx dv = dvz, v = vz. Sabiendo que

u dv = uv - v du

obtenemos :

ró dvz 1 ó V x dx = V x V z

0 dx © "ó dvx vz dx

0 dx De las condiciones limite y el balance de materia ( 7.47 ):

6 dvz V x d x = V 6 V F +

0 dx

Reemplazando ( 7.50 ) en ( 7.51 )

dvz f& dvz dx = - v

dx F

6 dvz vz dx

0 dz (7.51)

dx + 0 dz

ó dvz vz dx 0 dz

Como VF es función de z solamente, la podemos introducir en la integral teniendo presente que :


d(VFVz) dVz dVF r VF + Va

dz dz dz

También notando que

2 & dvz vz dx e dz

P dvz2

dz dx

La ecuación ( 7.48 ) se transforma en :

d(VFVz) dVF dx +

e dz dz

ra Vz dx +

a dvz2

dz dx

* 1 dp

e [ dz dx + r

civz

dx 0

( 7.52 )

de las ecuaciones ( 7.42 ) y ( 7.43 )

dx a 1 dp

0 [ dz

Entonces ( 7.52 ):

d P6 dv? Vz(VF - Vz)dx +

dz J 0 dz

0 dVF VF dx e dz

6 dvz (VF - VZ)dx = T

e dx ( 7.53 )

JC=0

Para una placa plana, VF sería constante y (7.53) se reduce a (7.4)

ECUACION PARA vF:

Substituimos ahora la ecuación de la distribución de velocidades, (7.44) en (7.53); calculamos cada término separadamente y usando la ecuación ( 7.45 ), obtenemos :

dVF 1 0 . 3 H 2 ( 9 V F - 7v m)

dz •(VF - Vm) = 0

VF 2 U definiendo:

1 6 ( Z / I W ) FVMIUQ a = ; (Re)oq: =

(Re)eq u

Deq = 4H ; v* = (v /v ) ; 6* = F F m H


Sigue : * * 1 *

0.3(9v - 7)(v - 1) dv = da F F F

F

Al integrar con a = 0 para V*F = 1, se obtiene:

a = 0.3 * * *

9(v - 1) - 16 ln(v ) - 7(l/v - 1) F F F

Para hallar a® hacemos énfasis en que para z = Le el flujo está completamente desarrollado y VF será la velocidad máxima para el perfil completamente desarrollado. Entonces a® = 0.104 para v*f = 3/2. Entonces, de la definición de a,

Le

Deq 0.0065(Re) •i

«e = 0.104

FIGURA7.8. Determinación de la longitud de entrada como el punto donde el espesor de la capa límite es igual a la mitad de la separación entre las dos placas.

Para la determinación de la caída de presión partimos de

FVF dVF

áz

además

En z = Le

z = 0

dp

dz ( V F 2 ) =

z dz dp

ds

- CP - P ) = (f/2)(v2 - v2 ); o F m

P = p© y VF - (3/2)VM

P = Po y VF - vœ

Substituyendo se obtiene la caída de presión en la región de entrada:


f —(9/4 -l)v2 2

S --- fv2 8 «

LONGITUD DE ENTRADA EN TUBOS.

Langhaar resolvió la ecuación de cantidad de movimiento, la linearizó suponiendo que la aceleración del fluido a lo largo del conducto es sólo función de z ( la dirección axial ) y obtuvo :

Le = 0.0575 Re

d

Donde Le es la longitud requerida para que la velocidad en el centro alcance el 99 % de su valor completamente desarrollado. Experimentalmente se acepta:

Le = 0.055 Re ( 7.54 )

D

Para un tubo la caída de presión en la entrada es :

3 p - p = f V2 ( 7.55 ) O 6 2 m

CONVECCION NATURAL.

TRANSFERENCIA SIMULTANEA DE CALOR Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

La convección libre es producida por cambios de densidad debidos a gradientes de temperatura en el fluido.Cuando la diferencia de temperatura entre la superficie del cuerpo y el fluido no es grande, se puede asumir que se trata de un fluido incompresible, de propiedades constantes, mientras que el efecto de la variación de la densidad producida por los gradientes de temperatura se incorpora en la ecuación de cantidad de movimiento en el término de la fuerza corporal.

Para ilustrar el análisis consideremos una placa vertical caliente que tiene temperatura uniforme Ts y está sumergida en un fluido en reposo ( Vcd = 0 ) con temperatura constante T=> (Ta > Ta.). Las fuerzas corporales debidas al empuje dan lugar a corrientes de convección libre que se dirigen hacia arriba sobre la superficie de la placa; por lo tanto se establece una capa límite de velocidad y una capa limite térmica como se ilustra en la figura 7.9. En el análisis de la convección libre el flujo se comporta como incompresible, o sea que en las ecuaciones se considera la densidad como constante excepto en el término de fuerza corporal resultante del empuje. Aplicando las


ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento simplificadas para el sistema bidimensional descrito :

y energía

Continuidad: Ô V x

Ôx

Ô V y

ôy + = 0 < 7.56 )

FIGURA 7.9

Impulso en x :

CAPA LIMITE TERMICA

CAPA LIMITE DE VELOCIDAD

Y

PARED A

Ô V x Ö V x V x + V y

ôx Ôy ôp O'Vx

"(g + M Ôx ôy2

< 7.57 )

Energía :

M

ôT ôT V x + V y

Ôx ôy ô2T

à ( 7.58 ) ôy2

El término -fgx = [g, del lado derecho en la ecuación de impulso, representa la fuerza de cuerpo ejercida sobre el elemento de fluido ejercida en la dirección negativa x (si la placa está más fría que el medio, el gráfico se gira 180°). El gradiente de presión en dirección x. - Óp/Óx, se debe al cambio de altura y no es cero. Para determinarlo se calcula la ecuación de impulso en el borde de la capa límite donde [" tiende a [<= y vx tiende a cero :


óp = - f®g ( 7.59 )

6x entonces

óp - fg = (f- - f)g ( 7.60 )

óx Si 0 es el coeficiente volumétrico de expansión térmica del fluido, se puede relacionar la variación de la densidad con la temperatura por medio de:

1 r 6t -, 1 A i = q « ( 7.61 )

C L 6T -1» f A I

(f- - f) = -i3fCT- - T) ( 7.62 )

( 7.60 ) se transforma en :

óp - fg = - i3f(T® - T)g ( 7.63 ) Óx

Si se considera que el fluido es un gas ideal :

foo/f - 1 T/T® - 1 1 f = pM/RT ; 0 = = = ( 7.64 ) T - T® T - T® T®

La ecuación ( 7.57 ) se modifica a :

ÓVx ÓVx ó2vx vx + vy = g0(T - T®) + r ( 7.57 a ) óx Óy Óy2

Examinando las ecuaciones ( 7.57 a ) y ( 7.58 ), se observa que en la convección libre las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento no se pueden resolver independientemente de la ecuación de energía debido a que el término del empuje g0(T - T®) asocia la ecuación de cantidad de movimiento con la ecuación de la energía. Luego las tres ecuaciones deben resolverse simultáneamente. Salvo el término del empuje estas expresiones son idénticas a las ecuaciones de la capa límite de convección forzada 3obre una placa plana horizontal.

Las condiciones límite son :

v x = 0 ; v y = 0 ; T = T s ; y = 0

Vx = 0 ; T = T® ; y -> o> (fuera de la capa limite)

La ecuación integral de cantidad de movimiento es :


d

dx .

re» v2 dy

6vx

6y

P6 +

y = 0 gí3 (T - T-) dy i 7.65 )

La ecuación integral de energía

d f6 | T - T~)dy

dx J 0 ÓT

- a óy

7 66 y = 0

Aquí se ha supuesto que el espesor de las dos capas limite t térmica e hidrodinámica ) es igual. Parece lógico ya que una origina la otra. Las ecuaciones i 7.65 ) y ( 7.66 ) deben resolverse simultáneamente pues la temperatura aparece en ambas.

Para resolverlas se deben escoger perfiles apropiados que representen las distribuciones de velocidad y de tamperatura en la capa límite.

El perfil de temperatura se representa por un polinomio de segundo grado de la forma

T = a + by + cy2

a, b, c, se determinan de las condiciones siguientes:

T = Ts en y = 0 ; T = Tm en y = ó : (óT/byi = 0 en y -

El perfil de temperatura resultante es

T - T-

Te - Ta, (1 - y/Ó)2 7 67 i

Las condiciones de la capa límite de velocidad implican que se debe alcanzar un valor máximo dentro de la capa límite siendo sus valores sobre la superficie y en el borde, cero

FIGURA 7.10 Perfiles de temperatura y velocidad en convección libre desde una placa vertical caliente


Seleccionamos un polinomio cúbico de la forma :

v* = Vo ( ai + biy + ciy2 + diy3 )

Los coeficientes ai, bi, ci y di y la velocidad de referencia Vo son funciones de x y deben determinarse a partir de las condiciones limite:

vx = 0 en y = 0 ; vx = 0 en y = 6 ; óvx/óx = 0 en y = 6 , donde 6 es el borde de la capa limite de velocidad. La cuarta condición se obtiene al calcular ( 7.57 a ) en y = 0, observando que allí:

vx = vy = 0 y T = Ts

Ó 2 V x

Óy2

Con estas cuatro condiciones límite, el perfil de velocidades es :

- (Ta - Ta.) r

V x = £ó2g(Ts - T®)

4 r (1 - y/6)-

Ó ( 7.69 )

que se puede expresar como :

vx = V (1 - y/Ó)2 Ó

7.70 )

Siendo V una función arbitraria de x con dimensiones de velocidad. Su valor máximo se halla para 6vx/6y = 0 en y = 6/3.

Reemplazando ( 7.70 ) y ( 7.67 ) en ( 7.65 ) y ( 7.66 )

I d 1 V (V2 g) = g0(Ts - T-)Ó - r i 7.71 )

150 dx 3 ó

1 d Ta - T= (Ta - Ta.) (Vó) = 2a

30 dx ó ( 7.72 )

Estas son ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas de las dos incógnitas y se resuelven por similaridad. Debemos buscar formas funcionales de V y ó tales que cuando se sustituyan en las ecuaciones anteriores, las expresiones resultantes sean independientes de x :

V^r Ax ; 6n— Bx ( 7.73 )


A, B, m y n son constantes. Reemplazando :

(2m +n)A2B 2m+n-l 1 n TA m-n x = g|3(Ts - T®)Bx x ( 7.74 )

105 3 B

(m + n)AB m+n-i 2a -n x = x

30 B ( 7.75 )

Si existen relaciones de similaridad ambos lados de las ecuaciones deberán ser independientes de x; esto es posible si los exponentes de x tienen el mismo valor en cualquier parte de estas ecuaciones. Igualando los exponentes de x :

2m + n - 1 = m - n m + n - 1 = - n

m = 1/2 n = 1/4

Para determinar A y B, se introducen en (7.74) y (7.75) los valores numéricos de m y n obtenidos. Desaparece la variable x obteniendo :

1 5 1 TA A2B = g0(Te - T-)B

105 4 3 B

1 3 2a

30 4 B

Resolviendo simultáneamente :

A = 5.17 r 20 a ,-Jsj- g¡3( Ta - Ta» )

L 21 r J l

r 20 B = 3.93

r n L 21 a •

r gí3(Ts - T») -, r J i- a

Reemplazando en ( 7.73 ) B y n :

H à = 3.93(0.952 + Pr)

r** gCXTs -T®) h p2

Pr x ( 7.76 )

6 -H H -H = 3.93Pr (0.952 + Pr) Ür* ( 7.77 )

x

donde se define el número local de Grashof, Gr*, como:


Gr, gß(Ts - Tœ)x3

r2 ( 7.78 )

El coeficiente local hx de transferencia de calor en la superficie de la placa está definido por q. = h(T» - T=) , es decir

hx = de ( 7.67 ):

de donde:

h x =

dT

dy

2 k

qo Ts - Tœ

-k(dT/dy)|y=0

Ts - T®

y=0 2( Ts - Tœ j

Ô

de ( 7.76 )

hx = 0.508 Pr (0.952 + Pr) -H g0(Ts - Tœ)

rs

hx es inversamente proporcional a x**

kx-* ( 7.79

En las aplicaciones ingenieriles, en forma semejante a lo que ocurre con el coeficiente de fricción, es necesario el coeficiente medio de transferencia de calor hm para la distancia desde x = 0 hasta x = L :

hm 1

L

PL 4 h dx = hx

© 3 x=L

( 7.80 ) hmL í

Num = = 0.677 Pr (0.952 + Pr) GrL k

Gr.Pr < 10»

Estos valores, calculados por el método integral aproximado, difieren de los valores reales en menos de 10 % por encima para 0.01 < Pr < 1000.

Debemos tener presente que son válidas para capa limite laminar. En una placa vertical la transición de flujo laminar a turbulento empieza cuando los valores del parámetro ür.Pr son superiores a 10®.


TRANSFERENCIA DE MASA POR CONVECCION NATURAL TURBULENTA SOBRE UNA PLACA VERTICAL.

Las variaciones de concentración entre un punto y otro de un fluido puede conllevar diferencias de densidad. Aparecen entonces fuerzas boyantes ( o de flotación ) que producen flujos de convección libre o natural. La influencia de esta convección en transferencia de masa puede ser considerada particularmente en ausencia de convección forzada. Analizaremos la convección natural originada en la gravitación, aunque puede ocurrir también bajo efectos centrífugos o en un fluido conductor de la electricidad expuesto a un campo magnético. Se asume que las concentraciones de soluto son bajas y la distribución de concentraciones es tal que los cambios de densidad son pequeños en relación a la densidad misma. Esto permite considerar la densidad como constante cuando no se introduce como diferencia.

FIGURA 7.11. Volumen de control para convección natural.

Consideremos una pared vertical ( figura 7.11 ). La concentración de soluto ( componente A ) es constante, |"AS, en toda la superficie de la pared, y es [A<*> en puntos alejados de la misma. Observemos que la situación ( así como en la figura 7.9 ) se asemeja a la figura 7.4, rotada, en dirección contraria a las manecillas del reloj, por 90°, haciendo v® = 0, e introduciendo un término para la fuerza gravitacional en la ecuación ( 7.3 ).

Aunque podemos utilizar la misma teoría desarrollada en los dos últimos casos, también es posible hacerlo en forma similar a la empleada para desarrollar la ecuación ( 7.3 ).

Ix+dx tx

CAPA LIMITE DE CONCENTRACION E HIDRODINAMICA DE ESPESOR ^

Y

De hecho como v® = 0, salida menos entrada de cantidad de movimiento convectivo igual a suma de fuerzas nos da


d b — dx

H (Vx2dy

0

dp dx = - T0(b dx) dx(bH) + bdxgx

dx

H f dy (7.81)

además dp/dy = 0 gx = -g ; dp/dx = -fcog

y a bajas concentraciones puede definirse un coeficiente de expansión volumétrica como :

Se considera así mismo que las capas límite de concentración y de cantidad de movimiento tienen igualespesor en un x dado, ya que las diferencias en densidad ( que originan el movimiento convectivo ) existen donde hay diferencias de concentración. 0 sea y > ó, [A = fA®, vx = 0 y f/f® ~ 1. La ecuación ( 7.81 ) se transforma en :

d

dx

P6 Te Vx2 dy = + 0eg

r Je (fA - [A-)dy (7.82)

(comparar con ( 7.65 ))

Para el balance de la especie A dentro del elemento de volumen, para estado estacionario y en usencia de reacción química homogénea:

W - W - W - W A2 Al A3 A4

= 0 ( 7.83 )

w - w A2 Al

d

dx

rH

0 fH

bf v dy ' A x

w = (b dx) A3 dx 0

f v dy A® x

w = n (b dx) A4 As

fv (b dx) k <r i' Ae

[ )(b dx)

k|~ es un coeficiente convectivo de transferencia de masa para A difundiendo en B que no difunde y opera con diferencias de concentración expresadas en concentraciones másicas volumétricas.

Reemplazando en (7.83) y reorganizando :

d

dx

fí>c ( f - f )V dy ( 7.84 ) A<= A x Ae

(comparar con ( 7.66 )).


6o ea el espesor de la capa límite de concentraciones. Como en este caso 6o = 6 podemos olvidarnos del subíndice.

Nuevamente estas expresiones ( 7.82 ) y ( 7.84 ) deben resolverse paralelamente j*ies son interdependientes. Dependiendo de los perfiles de velocidad y concentración seleccionados así como de los valores para T« y HA» podemos resolver el problema para flujo laminar o turbulento. El caso para flujo laminar es análogo al ya resuelto para transferencia de calor y la técnica seguida aquí para flujo turbulento puede aplicarse a transferencia de calor:

Seleccionamos perfiles de velocidad promediada en el tiempo y concentración ya probados:

<r - r ) Aa A<*>

1/7-1 - (y/ó) ( 7.85 )

1/7 4 v = V(y/Ó) (1 - y/Ó) ( 7.86

Para TS y nA» deben tomarse valores experimentales. V es un parámetro a determinar con dimensiones de velocidad.

Utilizando la expresión ( 7.22 ) con V en lugar de v®:

u iH 0.0227[V2

ÔVI J$ffV2 ( 7.87 )

Usando la analogía de Chilton y Colburn:

f 2/3 J D = = St Se

2 ;k [ / v p.Sc

j- BLM ®

2/3

n = 0.0227 Aa í " í L As A» J

h -2/3 Se

u L 6 V [

pues para soluciones diluidas |~ELM -> [, donde :

7.88 )

f = (f - f )/[ln(f /( )] BLW Be Bco Ee B®

Substituyendo los perfiles de velocidad y concentración así como los valores de TS y TÍA« en ( 7.82 ) y ( 7.84 ) e integrando:


0.523 (V26) = - 0.228V2 dx ôVf -I

+ 0.125ß®g([ - f )ô As A<c

( 7.89 )

0.0366 ( Vô ) = 0.0228 V dx

u ÔV[

H - 2 / 3 Se ( 7.90 )

Asumimos las siguientes formas funcionales:

p <a V = C x ; 6 = C x

1 2

Estas expresiones se incorporan en las ecuaciones ( 7.89 ) y ( 7.90 ) y se resuelven para Ci, C2, p y q en forma similar a como se hizo para el caso de flujo laminar libre.

Se obtiene : p = 1/2 ; q = 7/10

U - 5 - 8 / 3 Ci = 0.0689 C2 Se

10 U^ 2 / 3 - 1 6 / 3 C2 = 0.00338 [1 + 0.494 Sc ] Se

ß gf2(f - f ) e Ab A<= Definimos:

Grü g x® T2 (f-/f. - 1) ( 7.91 )

Es el número de Grashof para transferencia de masa.

- h U H V = 1.185 G m

r* 2 / 3 -

1 + 0.494 Se ( 7.92 )

- 0 . 1 - 8 / 1 5 (6/x) = 0.565 GrD Se

2/3-1 + 0.494 Se

0.1 ( 7.93 )

Sabiendo que

n = k ( f - f ) ABX J'X Aa A°>

podemos hallar el coeficiente de transferencia de masa local, k[x, a partir de las ecuaciones ( 7.88 ), ( 7.92 ) y ( 7.93 ) :

2 / 6 7 / 1 6 k = 0.0299(D /x) Gr Sc px AB D

2/3-1 - 2 / 6 1 + 0.494 Sc I ( 7.94 )


Se observa que kf* varía con x0-2, tomando x al comienzo de la placa. Si suponemos que la capa límite es turbulenta desde el comienzo el coeficiente promedio sobre el rango de x entre 0 y L es:

1 k = — fm L

El correspondiente Sherwood promedio es :

i k dx = k

e f 1.2 f X = L

2/5 7/16 Sito = k L/D = 0.0249 Gr Se

FŒ AE D

2/3n 1 + 0.494 Se

-2/5 i 7.95 )

De la ecuación ( 7.86 ) encontramos que la máxima velocidad en la capa límite es:

2/3-1 1 + 0.494 Se

-*í H GrD

En realidad la capa limite turbulenta está precedida por una sección en la cual el flujo es laminar, para GrD.Se menor que 10e o 1010. Las ecuaciones anteriores son aplicables sólo para números de Grashof suficientemente grandes para que la capa límite laminar ocupe apenas una pequeña fracción de la longitud total L. esto se cumple para Gr>1010.

Estas ecuaciones son aplicables a transferencia de calor ( y las de transferencia de calor en la película laminar a la transferencia de masa ) intercambiando Sh por Nu, GrD por Gr y Se por Pr.

TRANSFERENCIA DE CALOR - FLUJO CONVECTIVO SOBREPLACA PLANA.

Consideremos una placa plana horizontal paralela a la cual fluye un fluido con velocidad uniforme v®. Como ya vimos, debido al arrastre viscoso se formará una capa límite hidrodinámica de espesor ó. Si la placa está a una temperatura Ts diferente de T®, la temperatura del fluido, podremos identificar una zona donde existen gradientes de temperatura. El borde de esta zona o capa limite térmica será el lugar goeométrico de los puntos donde

T - Ts - 0.99

T® - Ts y se espera sea ÓT ( ver figura 7.12 )


FIGURA 7.12. Capa límite térmica e hidrodinámica.

Utilizando un volúmen de control similar al de la figura 7.4 y notando que la energía térmica que entra o sale del elemento de volúmen por convección es el caudal másico multiplicado por CpT; q _ q _ q _ q 2 1 3 4 0 Balance de Energía.

q - q = (w - w )CpT = fbCp 2 1 3 2 dx

H q = w CpT = fbCp 3 1 dx

rH Tvjsdy dx

T vx dy dx

pues, del balance de materia

VH = dx

Vx dy ( 7.2 )

q = h (Ts - Too) = q 4 X £

Reemplazando en el simplificando :

balance de energía, reeorganizando

d Cpf

dx

òfp VX(T<D - T) dy = - q. ( 7.96 )

El limite superior se cambia a ÓT pues para y > ÓT, T = T®.

La ecuación ( 7.96 ) debe resolverse simultáneamente con la ecuación intergral de cantidad de movimiento para la placa plana horizontal;

222 FENOMENOS DE TRANSPORTE

d ra v (v - v ) dy

© * « x = - T ( 7.3

6. Too CAPA LMtTE TERMICA

8 *T

" 7~ A . <r<¡

^ CAPA LIMITE DE VELOCCAD

7 FIGURA 7.13. Capas límite de velocidad y térmica para la transferencia de calor a metales líquidos. Para ello debemos conocer o suponer los perfiles de velocidad, de temperatura, T», qe y las condiciones límite.

Suponiendo un perfil sinusoidal de velocidades encontramos para flujo laminar

v = v sen(ity/2S) 7.6 ) X CD

2it2 r Ô 62 = x ; (4 - Ti) Veo x

4.80/(Rex) ( 7.9 )

Supongamos que en la capa límite térmica el perfil de temperatura obedece una ley similar, es decir, en flujo laminar, T-Ts = a sen(by) Condiciones límite: T - Ts = Tco - Ts T - Ts = 0

Paira y = ÔT

Para y = 0.

(T - Ts) = 0 dy d2

Para y = ÔT

(T - Ts) = 0 dy2

Para y = 0

Aplicando estas condiciones obtenemos:


T - Ts r Tty = sen

Tœ - Ts L 2ÔT J

Reescribimos la ecuación ( 7.96 ) :

d

dx .

Reemplazandò ( 7.6 ) y ( 7.97 ):

= e = sen by ( 7.97 )

d

dx J

d

dx

®T de Vx( 1 - 6) dy = a

0 dy

dO

( 7.98 ) y=0

(vxsen ay)(1 - sen by) dy = a e dy y=Ö

Òrp (8en(ay) - sen(ay) sen(by)) dy =

donde

Ii =

dy (sen by ) ( 7.99 )

y=0

a = k/26 ; b = TC/2ÔT

fÔT 1 sen(ay) dy = - cos(ay)

0 a = - cos(AÔT) +

© a a

la = PÔT TÔT sen(ay)sen(by)dy = e 2 .

[co8(a-b)y - cos(a+b)y] dy (7.99a)

12 = sen(a-b)y - sen(a+b)y (a-b) (a+b)

&T

12 = (a-b)

•[sen(ay)cos(by) - cos(ay)sen(by)]

1 - [sen(ay)cos(by) + cos(ay)sen(by)]

(a+b) Teniendo presente que bÔT = (IT/2ÔT)ÔT = TI/2 , y que, coa(it/2) = 0, y sen(0) =0, la ecuación anterior se reduce a:

.2 - 1

cos(aÔT) - cos(aÔT) L (a-b) (a+b)


Entonces:

II

1 r 1 1 = cos(aÔT) +

2 1- (a-b) (a+b)

r 1 1 - 1 , =

L a a a

a (sen by) dy

eos(aÔT) - cos(aÔT) a b2-a2

an = ab eos b(0) =

y=e 2ÔTV® En este momento la ecuación ( 7.99 ) se ha transformado en :

d d p 1 1

dx L a a cos(aÔT) cosiaÔT)

a t^-a2 an

2ÓTV-( 7.106 )

Debe anotarse que se llega al mismo resultado si en la ecuación (7.99a) se hace el reemplazo de a y b, sabiendo que :

sen(9 ± n/2) = ± eos 9

La ecuación ( 7.100 ) se transforma a :

d

dx 1 a

a b2 - a2 eos aÓT

A TI

2 Ó v T »

pero

l a 26

a b2 - a2 TT

re

26

TT2

4 Ô2 T

rc2

4 Ó2

-i

26

TI

Tt Ó

2 Ó2 T

It

26

-1 2 6 Ô 2

26 t

TI TT( Ó 2 - Ó 2 ) T

26 r 1 , 26 r 1 -,

TI L P R 2 / 3 - 1 J L I - P r ~ 2 / 3 -

Hemos hecho 6/6T = Pr1/3 como sugiere Polhausen.

La ecuación ( 7.100 ) cambia a :


2 dô a TT ( ß ) =

Tt dx 2 òtvod

Sabemos que 6 =

4.80 x

Re** X

por tanto :

Reemplazando

dô 1 6 dx 2 x

H

a Tt2 Rex

(2.40)(4) ß v»

2.40

Rex*

H 1.028 a Rex

ß v== donde

ß = 1 eos (Tt/2Pr1/3)

1 - Pr-2/3

En este momento conocemos la distribución de temperaturas (7.97).

El coeficiente de transferencia de calor entre el fluido y la superficie de la placa se obtiene así:

= h T - T dT

k dy

Tt 6

Nu* = hxx/k Tt X

2ÔT

yr=(d 2 ÔT Tt X ß Van

(2)( 1.028) a Rex4*

T - T . Ö a

1.528 ß x Vo= a Nux = Pr

a Rex* r

Nux = 1.528 ß Rex Pr ( 7.102 )

TRANSFERENCIA DE CALOR EN LA CAPA LIMITE LAMINAR. ANALISIS EXACTO.

Las ecuaciones a aplicarse a este flujo estable, incompresible, isobàrico, bidimensional son:


Energía. 6T 8T S2T

V x + vy = a 6x 6y 6y2

Cantidad de movimiento

6vx 6vx ó2vx V x + V y = r

6x óy 6y2

Continuidad

6 V x 6 v y + 3 0 6x 6y

Las dos últimas fueron resueltas por Blasius para dar los resultados del factor de fricción ( ecuación 7.18 ). Al ver la similitud existente entre las ecuaciones de energía y cantidad de movimiento se hace razonable pensar en aplicar la solución de Blasius a la ecuación de energía.

Debe cumplirse T = a o sea Pr = 1.

Las condiciones límite deben ser compatibles.

En y = 0 T - Ts

Vx/Va, = Vy/VoD = = 0 T® - Ts

En y = ® T - Ts

V x / V » = = 1 T® - Ts

Aplicando los resultados de Blasius obtenemos:

T - Ts h r = Vx/Va, = ; n = y/ (Tx/vco)

Ta, - Ts

0 sea que el perfil de velocidad adimensional en la capa límite laminar es idéntico con el perfil adimensional de temperaturas. Es consecuencia de Pr = 1.

Como consecuencia lógica, las capas límite hidrodinámica y térmica son iguales.

Aplicando los resultados de Blasius

CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE 187

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