Capitulo 6 - Flujo en Canales y Tuberías 1(teoría 1-3)

Capítulo 6

Flujo Incompresible en Tuberías y Canales

En los capítulos anteriores se estudiaron las herramientas básicas para análisis de flujo, tanto desde el punto de vista analítico como experimental. En este capítulo se estudiaran dos clases particulares de flujo muy utilizadas en las ciudades modernas e industria en general; como son los flujos internos en tuberías y flujos en canales abiertos. Los flujos internos en tubería son aquellos que se transportan por tubería que se encuentran completamente llenas del fluidos y cuya sección transversal son básicamente circulares (en algunas aplicaciones, como la del aire acondicionado†, se utilizan conductos de sección cuadrada, rectangular, etc.). Los flujos internos tienen muchas aplicaciones en las plantas químicas, refinerías de petróleo, plantas eléctricas de vapor, sistemas de distribución de agua potable en las ciudades e industrias, etc. Por otra parte, los flujos en canales (o canales abiertos) se diferencia de los flujos internos en tuberías porque tiene una superficie libre, como por ejemplo: Los sistema de aguas negras de las casas y urbanismos, canales de desagües o colectores de aguas servidas en las ciudades, ríos, etc. Se debe aclarar que los sistemas de aguas negras de las casas o urbanismos, a pesar que los conductos son tuberías circulares, se estudian como canales abiertos ya que el flujo no llena totalmente las tuberías y por tanto tienen una superficie libre.

6.1. CLASIFICACIÓ� DEL FLUJOS I�COMPRESIBLES E� TUBERÍAS

Los flujos incompresibles en tuberías se caracterizan por que el número de Mach es muy pequeño ( 1<<M ), por lo que generalmente aplica a los líquidos (sin embargo, una excepción es el flujo no estacionario que resulta del cierre rápido de una válvula en un tubería que transporta un líquido, en cuyo caso el líquido muestra un comportamiento compresible) y en los gases cuya velocidades son menores a 100 m/s.

Según lo anterior los flujos incompresibles se pueden clasificar en estacionario o no estacionario, en laminar o turbulento y en desarrollo o totalmente desarrollado.

† Los flujos de aire en los sistemas de aire acondicionados se pueden analizar como flujo incompresible, dado que las caídas de presión en éstos sistemas son pequeñas y por tanto la densidad no cambia significativamente.

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Capítulo 6: Flujo Incompresible en Tuberías y Canales 325

6.1.1. FLUJO LAMI�AR Y TURBULE�TO

La Figura 6.1 muestra las fotografías para un instante determinado del comportamiento del un flujo incompresible dentro de una tubería (se utiliza colorante para visualizar los efectos del flujo, tal como se explicó en la sección 4.2.2 del capítulo 4). La Figura 6.1.a muestra un flujo laminar, la Figura 6.1.b muestra el flujo turbulento y la Figura 6.1.c muestra un flujo que tiene comportamiento laminar y turbulento simultáneamente, el cual se conoce como flujo en transición.

La diferencia entre el flujo laminar y turbulento en una tubería fue esclarecida en primera instancia por Osborne Reynolds en 1883, mediante experimen-tación. Los experimentos consistían es hacer circular agua por una tubería de vidrio y luego inyectar colorante, donde observó que a medida que se aumentaba el caudal el colorante se mezclaba más rápido con el agua.

Los experimentos de Reynolds demostraron que la naturaleza del flujo en tuberías dependía del parámetro:

νµρ VDVD ==Re (6.1)

Donde ρ es la densidad del fluido, V la velocidad promedio, D es el diámetro interno de la tubería, µ es la viscosidad absoluta del fluido y ν es la viscosidad cinemática.

El parámetro de la ecuación (6.1) se llama en la actualidad número de Reynolds en honor a éste importante investigador.

Con los métodos modernos se ha logrado demostrar, de forma experimental, que se obtiene un flujo laminar en tuberías si 2300Re ≤ y un flujo turbulento si 4000Re ≥ . Cuando

4000Re2300 << se dice que el flujo esta en la región de transición (Flujo de transición).

6.1.2. FLUJO E� DESARROLLO Y DESARROLLADO

Se dice que el flujo está totalmente desarrollado en un a tubería de sección transversal constante si el perfil de velocidad no cambia a lo largo de ella (ver Figura 6.2). Pero si el perfil

(a) (b)

(c)

Figura 6.1: Fografías de los flujos en tuberías con un

comportamiento (a) laminar, (b) turbulento y (c) en

transición. (G.M. Homsy, et al. (2000). “Multi-Media

Fluid Mechanics”. Cambridge University Press)





de velocidad varía a lo largo de la tubería, entonces se está en presencia de un flujo en

desarrollo (o flujo de entrada).

En la región de flujo en desarrollo (región de entrada) se identifican dos tipos de flujo que se estudiarán en el capítulo 7 (ver Figura 6.2); los cuales se conocen como flujo de potencia, correspondiente a la parte central de la tubería, y el flujo de capa límite, que se encuentra muy cercano a las paredes de las tuberías. En el flujo de potencia los efectos de la viscosidad del fluido son despreciables, mientras que en el flujo de capa límite la viscosidad tiene un efecto significativo.

La longitud de entrada (o longitud donde en flujo se desarrolla) Le, para el caso de flujo laminar y turbulento fue obtenida experimentalmente por Langhaar en 1942 y se calcula por la las siguientes fórmulas:

Re058,0=D

Le , Flujo Laminar (6.2)

61

Re4,4=D

Le Flujo turbulento (6.3)

6.2. FLUJO TOTALME�TE DESARROLLADO E� TUBERÍAS

En los sistemas de tuberías utilizados para transportar fluidos incompresibles, normalmente la región de estrada es muy pequeña en comparación con las longitudes de tuberías utilizadas, es decir,

tuberíase LL << . Por ésta razón, se puede considerar despreciable el efecto de entrada en la

tubería y se asume que en toda la tubería el flujo es desarrollado.

6.2.1. A�ÁLISIS DEL FLUJO MEDIA�TE U� VOLUME� DE CO�TROL

La Figura 6.3 muestra el esquema de una tubería con flujo incompresible totalmente desarrollada en estado estacionario. La sección transversal de la tubería tiene una forma arbitraria y es constante a lo largo del tramo de tubería, por otra parte, no hay bombas ni

Figura 6.2: Flujo en la entrada de una tubería

Capa límite

1 2 3 4 5

Flujo de potencia

Tanque

Le

Flujo en desarrollo Flujo desarrollo

D





turbinas dentro del tramo de tubería, y los coeficientes de corrección de la energía cinética permanecen constantes‡ a lo largo de la tubería, al igual que el factor de corrección de la energía cinética.

Luego, bajo las consideraciones anteriores, la ecuación de continuidad y de energía mecánica a lo largo de una línea de corriente se reducen respectivamente a:

2211 VAVAQ == (6.4)

212

22

22

1

21

11

22 −+++=++ fhy

g

Vpy

g

Vp αγ

αγ

(6.5)

Pero como 21 AA = , se obtiene de (6.4) que 21 VV = . También se tiene que 21 αα = , por lo que la ecuación (6.5) se simplifica:

( )2121

22

11

2121yy

pphhy

py

pff −+−=⇒++=+

−− γγγ (6.6)

Donde 21−fh es la pérdida de energía mecánica (o pérdida de carga) entre el punto 1 y 2 de la

tubería, expresada en longitud de columna del líquido transportado por la tubería.

De la ecuación (6.6) se puede concluir que la fricción no causa una disminución de la velocidad del fluido o de la energía cinética a lo largo de la tubería.

‡ El coeficiente de corrección de la energía cinética es constante, dado que el perfil de velocidad a lo largo de la tubería tampoco cambia.

Figura 6.3: Volumen de control en una tubería con flujo totalmente desarrollado.

A

p2

Sección

Transversal A-A

D

p1

A

y2

y1

SC

A1p1

A2p2

LPmwτ

Pm

θ

L





Por otra parte, la pérdida de energía mecánica se puede expresar en términos de pérdida de presión (o pérdida de presión de estancamiento) a lo largo de la tubería, es decir:

( ) ( )212121yypphp fL −+−==∆

−γγ (6.7)

Si la tubería está horizontal se tiene que 21 yy = , por lo que la ecuación (6.7) se simplifica:

( )2121pphp fL −==∆

−γ (6.8)

Para calcular las perdidas de energía mecánica se utiliza la ecuación de cantidad de movimiento para flujo uniforme estacionario en la dirección axial, luego:

∑∑∑ −=ent

axial

sal

axialaxial QVQVF βρβρ (6.9)

Donde

LPApApF mwaxial τ−−=∑ 2211

mP es el perímetro de la sección transversal de flujo:

2222 VAQV

sal

axial ρββρ =∑

2111 VAQV

ent

axial ρββρ =∑

Como 21 VV = , AAA == 21 y 21 ββ = , la ecuación (6.9) se simplifica de la siguiente manera:

212211 0 ppA

LPLPApAp mw

mw −=⇒=−− ττ (6.10)

Al sustituir (6.10) en (6.8) se tiene:

21−=∆= fL

mw hpA

LP γτ (6.11)

Luego se obtiene que:

LA

Pp m

wL τ=∆ (6.12)

LA

Ph mw

f γτ=

− 21 (6.13)

Para el caso de una tubería circular, DPm π= y 24 DA π= . Luego la ecuación (6.13) se

transforma en:





D

Lh w

f γτ

421

=−

(6.14)

6.2.2. CÁLCULO DE LAS PÉRDIDAS E� TUBERÍA CIRCULARES

En el ejemplo 5.5, del capítulo 5, se demostró, mediante análisis dimensional, que la caída de presión en un tramo de tubería recta dependía de:

===∆

DD

l

g

DVVDh

V

gh

V

p fL ερµ

ρρ

,,,K2

2212

21

(6.15)

Como no existe interfase de fluidos se puede despreciar el efecto de número de Weber

g

DV 2

Wρ= , por lo que el coeficiente de fricción de la tubería se reduce a:

=DD

lVDh

εµ

ρ,,K (6.16)

ó

=DD

lh

ε,Re,K (6.17)

Donde µ

ρVD=Re

De la ecuación (6.8) se pueden despejar las pérdidas en término del coeficiente de fricción de la tubería y la energía cinética:

g

Vh f 2

K2

= (6.18)

De la ecuación (6.14) se destaca que la perdida de energía mecánica depende en forma lineal

del parámetro D

L , por lo que el coeficiente de fricción se escribe como sigue:

D

lf

D

l

DF =

= εRe,K (6.19)

Donde el parámetro funcional adimensional

DF

εRe, se le denomina factor de fricción de

Darcy (o factor de rugosidad), y se denota por la letra f. Es decir, el factor de fricción depende

del número de Reynolds y la rugosidad relativa D

ε. Es decir





=D

Ffε

Re, (6.20)

Luego al sustituir (6.19) en (6.18) se obtiene la ecuación de Darcy-Weisbach.

g

V

D

Lfh f 2

2

= (6.21)

El factor de fricción de Darcy se relaciona con el coeficiente de fricción. Ésta relación se obtiene al sustituir (6.21) en (6.14) y al reordenar se tiene:

⇒=g

V

D

Lf

D

Lw

24

2

γτ

4C f2

21

f

V

w ==ρτ (6.22)

Factor de fricción para flujo laminar desarrollado e incompresible en tuberías circulares

En el ejemplo 6.1, se presenta el análisis completo para obtener el factor de fricción de Darcy para el flujo laminar desarrollado en una tubería recta, cuya relación esta dada por la siguiente ecuación:

Re

64=f (6.23)

La ecuación (6.23) se le conoce como Fórmula de Hagen-Poiseuille, en honor a éstos dos grandes investigadores que desarrollaron dicha ecuación.

De la ecuación (6.22) se obtiene que el factor de fricción es:

Re

16C f = (6.24)

Donde νµ

ρ VDVD ==Re

Por otro lado, se demostró en el ejemplo 4.12, que los factores de corrección de la energía cinética y el factor de corrección de la cantidad de movimiento son respectivamente:

3

4y2 == βα

Factor de fricción para flujo turbulento desarrollado e incompresible en tuberías circulares

El perfil de velocidad promedio temporal para una tubería es muy sensible a la magnitud de la rugosidad media (ε ). Si se observa con un microscopio la superficie de un material (Figura 6.4) se notará que todas ellas son ásperas, aunque se consideran el vidrio y el plástico como superficies no rugosas (no ásperas, 0=ε ). Desde el punto de vista hidráulico una superficie





se puede considerar lisa (hidráulicamente lisa) si el espesor de la capa viscosa (capa de pared viscosa) es mayor que la rugosidad promedio de la superficie, tal como se muestra en la Figura 6.4.a, y se considera rugosa o áspera si la rugosidad promedio es mayor que la capa de pared viscosa (ver Figura 6.4.b).

En el Meler Potter (1998) se presenta el perfil de velocidad medio obtenido en forma analítica-experimental para el caso de flujo viscoso desarrollado y estacionario en tuberías circulares (ver Figura 6.5), el cual está dado por las siguientes relaciones:

Para el caso de flujo en tuberías lisas:

50 ≤≤=υυττ

τ

yusi

yu

u

u , Capa de pared viscosa (6.25)

15,0,309,4ln44,2 <≥+

=R

yyusi

yu

u

u

υυττ

τ

, Región turbulenta (6.26)

Donde τu es la velocidad de corte y τ

υu

es la longitud viscosa.

En el intervalo 300 <<υτ yu

, denominada zona de amortiguación, los datos experimentales

no se ajustan a ninguna de las dos curvas anteriores.

Para flujo en tuberías rugosas o ásperas:

15,05,8ln44,2 <+

=R

ysi

e

y

u

u

τ

, Capa de pared viscosa (6.27)

Ley de potencia para el perfil de velocidad:

Para analizar el flujo viscoso en tuberías circulares es muy común utilizar una relación más sencilla para presentar el perfil de velocidad en forma experimental, el cual se le llama perfil

de ley de potencia, y cuya relación matemática es:

Figura 6.4: Rugosidad de una superficie. (a) pared lisa y (b) pared aspera.

(a) (b)

Figura 6.5: Perfiles de velocidad en flujo turbulento

Capa viscosa de pared





n

máx R

y

u

u1

= (6.28)

Donde n es un número entero que varía entre 5 a 10. Normalmente se utiliza n = 7.

El exponente n se relaciona con el factor de fricción mediante la relación empírica siguiente (Potter, 1998):

fn

1= (6.29)

La determinación del perfil de velocidad en flujo turbulento, sentó las bases para determinar el factor de fricción de Darcy y fue a partir de los trabajos experimentales de J. Nikuradse (1933) que se desarro-llaron formulas para calcular dicho factor de fricción. Nikuradse cuantificó el factor de fricción en tuberías rugosas de forma experimental, utilizando tuberías con rugosidades creadas artificialmente mediante arena de diferente granulometría que fueron adheridas a las paredes de los tubos. Algunos de los resultados de Nikuradse se presentan en la Figura 6.6.

En la gráfica de la Figura 6.6, se tiene que la línea recta H-P se corresponde a la ecuación de Hagen-Poiseuille. La línea recta marcada por B representa el trabajo experimental de H. Blasius para el factor de fricción en tuberías lisas, cuya correlación experimental es:

541

10Re4000Re3164,0 ≤≤≈ −sif (6.30)

Finalmente las curvas marcadas por C representan los factores de fricción de tuberías comerciales.

Para 1935, L. Prandtl establece una correlación para el factor de fricción en flujo turbulento

para tuberías lisas, la cual tiene mejor precisión que la correlación Blasius. La correlación de Prandtl es:

( ) 4000Re8,0Reln86,01 ≥−= siff

(6.31)

Figura 6.6: Factor de fricción para tuberías circulares,

según los trabajos experimentales de <ikuradse (<ikuradse

J. (1933). “Stomungsgesetze in Rauhen Rohren”. VDI –

Forschungsch, <° 361)





Por otro lado, casi al mismo tiempo, T. Von Karman desarrolló la correlación siguiente para flujo completamente turbulento en tuberías muy rugosas:

4000Re7,3

ln86,01 ≥

−= siD

f

ε (6.32)

Finalmente para 1939, C.F. Colebrook desarrolló una correlación que agrupa los límites lisos y rugosos y la zona de transición. La fórmula de Colebrook es:

4000ReRe

51,2

7,3ln86,0

1 ≥

+−= si

f

D

f

ε (6.33)

La ecuación (6.33) representa todas las situaciones de flujo turbulento en tubería con cualquier rugosidad, por lo tanto, se recomienda su uso para el análisis de flujo turbulento en tuberías circulares. Sin embargo, la ecuación de Colebrook tiene la dificultad de que el factor de fricción se encuentra en forma implícita, por lo que se debe resolver ésta, utilizando métodos numéricos.

En 1944, L.F. Moody presenta un trabajo donde resolvió la ecuación de Colebrook y construyó el diagrama mostrado en la Figura 6.7, el cual se conoce como Diagrama de Moody.

Figura 6.7: Diagrama de Moody (Moody, L.F. (1944). “Friction Factors for Pipe

Flow”. Transactions of the ASME, Vol. 66.)





El diagrama de Moody en la actualidad no es muy usado dado a lo simple que implica resolver la ecuación de Colebrook mediante computadoras o calculadoras programables; pero ante de la época de la computación y calculadoras, éste diagrama resultaba ser una fuente primaria que usaban los ingenieros para calcular los factores de fricción de las tuberías. El diagrama de Moody tiene un error aproximado con respecto a la ecuación de Colebrook de 10%, por lo que al momento de usar dicho diagrama no se justifica usas más de dos cifras significativas para evaluar el factor de fricción.

La Tabla 6.1 presenta las rugosidades absolutas equivalentes para diversos materiales para fabricación de tuberías (tuberías nuevas). Se debe aclarar que estas rugosidades no tienen una relación directa con la rugosidad geométrica real de la superficie, solo son valores que hacen que la ecuación de Colebrook funcione.

Para 1976 Swamee y Jain proponen una fórmula explicita para determinar el factor de fricción; que según Millar (1985) tiene un error del 1% respecto a la ecuación de Colebrook. La formula de Swamee-Jain es la siguiente

26

8

2

9,0

1010

10Re5000

Re

74,5

7,3ln

325,1−− ≤≤

≤≤

+

=D

si

D

f εε (6.34)

La ecuación (6.34) es muy conveniente utilizarla en calculadoras para cálculos de ingeniería.

Ecuaciones Exponenciales para Determinar las Pérdidas en Tuberías

Las Ecuación de Darcy-Weisbach es muy valiosa para evaluar las pérdidas de tuberías para cualquier flujo de fluido Newtoniano, si se tienen datos confiables de la rugosidad de las tuberías comerciales, sin embargo hay mucha incertidumbre cuando se evalúan estos parámetros. Por ésta razón, a nivel industrial se usa mucho las formulas empíricas para realizar los diseños de las tuberías. La forma de ésta ecuación se obtiene a partir de la ecuación de Darcy-Weisbach, con la excepción de que, en vez de utilizar la velocidad, se usa el Caudal, es decir:

m

nf

D

RQ

L

h= (6.35)

Tabla 6.1: Rugosidades equivalentes para materiales

de tubería nuevas (Moody, L.F. (1944). “Friction

Factors for Pipe Flow”. Transactions of the ASME,

Vol. 66)

Material ε [mm] ε [ft]

Acero remachado Hormigón Duela de Madera Hierro Fundido Hierro Galvanizado Hierro Fundido asfaltado Acero comercial Tuberías estiradas Vidrio y plásticos

0,9-9,0 0,3-3,0 0,18-0,9 0,26 0,15 0,12 0,046 0,0015 Liso

0,003–0,03 0,001–0,01

0,0006–0,003 0,00085 0,005 0,004 0,00015 0,000005 Liso

los i





Donde fh es la perdida de carga, L la longitud de la tubería, Q el caudal, D el diámetro y R

una constante que representa en coeficiente de resistencia, y que depende la rugosidad de la tubería.

Hazen-Williams (Brater, et al, 1996) presenta una ecuación para determinar las pérdidas de carga en tuberías con flujo de agua a temperatura ambiente. Ésta ecuación es muy utilizada para el diseño de sistemas hidráulicos por ser más simple de usar, y se le conoce como ecuación de Hazen-Williams.

En el sistema internacional (SI) la ecuación de Hazen Williams es como sigue:

8704,4

852,1

852,1

675,10

D

Q

CL

h f = (6.36)

Donde fh se expresan en [mH2O], L y D en [m] y Q en [m3/s].

En el sistema ingles la ecuación de Hazen Williams es:

8704,4

852,1

852,1

727,4

D

Q

CL

h f = (6.37)

Donde fh se expresan en [ftH2O], L y D en [ft] y Q en [ft3/seg].

C es el coeficiente de Hazen-Williams que depende de la rugosidad de la tubería y se puede obtener en la Tabla 6.2.

La ecuación de Darcy-Weisbach y la Ecuación de Hazen-Williams pueden dar resultados diferentes en el cálculo de las pérdidas en tuberías. Es probable que la ecuación de Darcy-Weisbach tenga mayor aceptación por su base analítica y validad experimentalmente; sin embargo, cuando se tienen datos experimentales confiables es preferible utilizar las ecuaciones exponenciales.

6.2.3. CÁLCULO DE LAS PÉRDIDAS E� TUBERÍAS �O CIRCULARES

Las ecuaciones desarrolladas en la sección 6.2.2 pueden ser utilizadas para analizar las tuberías no circulares si se utiliza el concepto de Diámetro Hidráulico, el cual se define como

m

hP

AD

4= (6.38)

Tabla 6.2: Coeficiente de Hazen-Williams (Brater E.F., King H.W., Lindell J.E. y Wei C.Y. (1996). Handbook of

Hydraulics. <ew York, Séptima edición, pp. 6-28)

Condición de Uso C

Tubos rectos; muy lisos de asbesto -cemento Tubos lisos de concreto, acero o hierro fundido nuevos Formaleta de madera y acero soldado nuevo Arcilla vitrificada y acero remachado nuevo Hierro forjado después de varios años Acero remachado después de varios años Tuberías antiguas después de varios años de uso

140 130 120 110 100 95

60-80 Losi60-80





Donde hD es el diámetro hidráulico, A es el área se de la

sección transversal de flujo, mP es el perímetro mojado (ver

Figura 6.8). En el ejemplo 6.2 se presenta el cálculo del diámetro hidráulico para algunas configuraciones geométricas no circulares.

Luego el número de Reynolds (número de Reynolds hidráulico) es:

νµρ hh

h

VDVD ==Re (6.39)

La ecuación de Darcy-Weisbach queda de la siguiente manera:

g

V

D

Lfh

h

f 2

2

= (6.40)

Y la ecuación de Hazen-Williams es

8704,4

852,1

852,1

675,10

h

f

D

Q

CL

h= (6.41)

Las ecuaciones (6.40) y (6.41) se pueden utilizar para flujo turbulento y flujo laminar de cualquier configuración con cierto porcentaje de error. Sin embargo, White (1974) presenta un trabajo para determinar de manera más precisa el factor de fricción para flujo laminar para ciertas configuraciones geométricas. En la Tabla 6.3 se presentan los resultados de White.

Tabla 6.3: Coeficientes de fricción para flujo laminar en diferentes formas de ducto

Forma Geométrica Dh hf Re

22

22

ba

ab

+≈ 64

dD −=

( )

D

drdonde

r

rr

r

=

−++

−

ln

11

164

22

2

y

x

D

Cilindro

Concéntrico

d

c

y

x

b

Elipse

a

Figura 6.8: Sección transvesal

de una tubería no circular

Pm

A





Continuación Tabla 6.3

Forma Geométrica Dh hf Re

a3

3= 53,33

ba

ab

+= 2

ab

hf Re

0,000 0,050 0,100 0,125 0,167 0,250 0,400 0,500 0,750 1,000

96,00 86,91 84,68 82,34 78,81 72,93 65,47 62,19 57,89 56,91

6.2.4. CÁLCULO DE LAS PÉRDIDAS E� ACCESORIOS

En los sistemas de tuberías se utilizan una variedad de componentes auxiliares que se le llaman accesorios y que permiten:

• Cambiar los diámetros de la tuberías: Reducciones y expansiones

• Cambiar la dirección del flujo: codos y curvas

• Dividir y mezclar corrientes de flujo: Uniones “T”, “Y” y cruz

• Controlar flujos: Válvulas

• Adaptadores para conexión de tanques, tales como: entradas y salidas de tuberías.

Todos éstos accesorios generan caída de presión (también llamadas pérdidas menores) cuando están presentes en una tubería, y se determinan por la siguiente relación:

g

VKh f 2

2

= (6.42)

Donde K es el coeficiente de pérdida del accesorio (coeficiente de resistencia) ó constante del accesorio.

a

Triángulo

Equilátero

a

x

x

a

xc

yc c

b

Rectángulo





Una alternativa a la ecuación (6.42),es utilizar la ecuación de Darcy-Weisbach y calcular la longitud equivalente del accesorio, es decir:

⇒==g

V

D

Lf

g

VKh e

f 22

22

Df

KLe = (6.43)

Donde f es el factor de fricción de la tubería donde está instalado el accesorio.

En el apéndice D se presentan algunos valores para la constante del accesorio y longitudes equivalentes de los mismos, las cuales se obtuvieron de las referencias [29, 30, 31, 32, 33, 34].

6.2.5. E�VEJECIMIE�TO DE LAS TUBERÍAS

Las rugosidades presentadas en las Tabla 6.1 corresponden a tuberías nuevas y limpias, pero con el tiempo de uso las tuberías sufren un incremento de la rugosidad como consecuencia de la corrosión, incrustaciones y la deposición de material en las paredes de las tuberías. Colebrook y White (1937) establecen que la velocidad a la cual la rugosidad aumenta depende del fluido empleado y que el incremento se puede determinar mediante la siguiente relación:

to αεε += (6.44)

Donde oε es la rugosidad de la superficie nueva, α es una constante que se determina en

forma experimental y t el tiempo de uso de la tubería.

6.3. A�ÁLISIS DE SISTEMAS DE TUBERÍAS SIMPLES

Antes de inicial el análisis de los sistemas de tuberías para transportar fluidos de un punto a otro, se debe tener en cuenta que la ecuación de pérdidas de energía mecánica (o pérdida de carga) se puede escribir de la siguiente forma:

n

Tf QRh = (6.45)

Donde Q es el caudal que circula a través de la tubería y RT se define como la resistencia por fricción de la tubería.

Según la ecuación de Darcy-Weisbach RT para una tubería circular se tiene que:

⇒

==g

D

Q

D

Lf

g

V

D

Lfh f 22

2

24

2 π2

52

8Q

gD

fLh f π

= (6.46)

Donde se obtiene de (6.46) que:

28

52== ny

gD

fLRT π

(6.47)





Y las unidades de cada variable son:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5

23

2 ,,,,m

sRs

mQs

mgmDmLT

EL número de Reynolds como función del caudal para una tubería circular es:

⇒

==νν

πD

D

Q

VD2

4ReD

Q

πυ4

Re = (6.48)

Para la ecuación de Hazen-Williams en el sistema internacional se tiene que

852,1675,10

8704,4852,1== ny

DC

LRT (6.49)

Las unidades de cada variable son:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5

23

2 ,,,,m

sRs

mQs

mgmDmLT

Para la ecuación de pérdida en los accesorios se tiene que:

28

42== ny

gD

KRT π

(6.50)

Las unidades de cada variable son:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5

23

2 ,,,,m

sRs

mQs

mgmDmLT

Para el cálculo de sistemas hidráulicos pequeños, expresar el caudal en [m3/s] resultaría

obtener una magnitud muy pequeña en el mismo; por lo que normalmente es conveniente utilizar otras unidades como: Litro por segundo [L/s], litro por minuto [L/min], metro cúbico por hora [m3/h] ó [mch], litro por hora [L/h], centímetro cúbico por segundo [cm3/s], etc. Para expresar el caudal:

La Tabla 6.4 presenta la forma que adopta la ecuación de resistencia de las tuberías según las ecuaciones de Darcy-Weisbach, Hazen-Williams y de los accesorios para diferentes unidades que tome el caudal:





Tabla 6.4: Resistencia de los accesorios para diferentes unidades del caudal Unidades de

Q, L, D, hf Darcy - Weisbach WDR − Hazen - Williams WHR − Ec. para Accesorio AR

[ ] [ ][ ] [ ],,

,,

mhmD

mLmchQ

f

( )2

3600

852

=

=

n

gD

fLRT π ( )

852,1

3600

675,108704,4852,1

=

=

n

DC

LRT ( )

2

3600

842

=

=

n

gD

KRT π

[ ] [ ][ ] [ ],,

,,/

mhmD

mLsLQ

f

( )2

1000

852

=

=

n

gD

fLRT π ( )

852,1

1000

675,108704,4852,1

=

=

n

DC

LRT ( )

2

1000

842

=

=

n

gD

KRT π

[ ] [ ][ ] [ ],,

,,min/

mhmD

mLLQ

f

( )2

60000

852

=

=

n

gD

fLRT π ( )

852,1

60000

675,108704,4852,1

=

=

n

DC

LRT ( )

2

60000

842

=

=

n

gD

KRT π

[ ] [ ][ ] [ ],,

,,/3

mhmD

mLscmQ

f

( )2

10

8526

=

=

n

gD

fLRT

π ( )852,1

10

675,108704,4852,16

=

=

n

DC

LRT ( )

2

10

8426

=

=

n

gD

KRT

π

6.3.1. LÍ�EAS DE E�ERGÍA Y DE ALTURAS PIEZOMÉTRICAS

Según la ecuación de Bernoulli se tiene que:

ctteg

VPzE =++=

2

2

γ (6.51)

Figura 6.9: Esquema de las líneas piezométricas y energía.

Válvula Bomba

Depósito

z

γp

fh

g

V

2

2

Líneas de

energía total

Líneas de alturas piezométricas

Altura de bombeo, HB





Donde E es la energía total que tiene el fluido en un punto determinado de la tubería que

transporta el fluido, la cantidad g

V

2

2

representa la carga dinámica (energía cinética) y γP

z +

representa la carga estática (energía potencial más la energía de presión).

Luego, las líneas de nivel de energía esta dada por E (Ec. 6.51), mientras que las líneas de alturas piezométricas (líneas de carga estática) están representadas por la carga estática. La Figura 6.9 muestra la forma esquemática de las líneas de energía total y líneas de alturas piezométricas sobre un sistema hidráulico formado por depósito, una bomba y algunos accesorios.

6.3.2. PROBLEMAS SIMPLES DE TUBERÍAS

Un problema simple de flujo incomprensible en tuberías es aquel donde la fricción del tubo (o tuberías) es la única pérdida importante; tal como se muestra en la Figura 6.10.

Cuando se aplica la ecuación de energía mecánica entre los puntos 1 y 2, y considerando que: el problema es en estado estacionario, que el nivel del líquido en 1 no cambia significativamente, que la energía cinética es pequeña en comparación con la carga H (se desprecia la energía cinética) y que solamente intervienen las pérdidas de las tuberías, se tiene:

2122

222

2

211

1 −+++=++ fh

g

VPy

g

VPy

γγ

Donde 022

,2

222

211

1 ======g

VPy

g

VPHy

γγ. Entonces

21−= fhH (6.52)

Cuando se usa la ecuación de Darcy-Weisbach para resolver el problema (Ec. 6.52) se tiene que:

Figura 6.10: Esquema de un problema simple

1

2

ε , D

H

L

υ





252

8Q

gD

fLH

π= (6.53)

Donde las variables que intervienen en el problema son: longitud L, el caudal Q, el diámetro D, la viscosidad cinemática υ , la rugosidad ε y la carga estática H disponible en el sistema (es igual a la pérdida de carga de la tubería

fh ).

Si se usa la ecuación de Hazen-Williams, la ecuación (6.52) se transforma en:

8704,4852,1

852,1675,10

DC

LQH = (6.54)

Donde las variables que intervienen son: L, Q, D, el coeficiente de fricción de Hazen-Williams C y la carga estática H disponible en el sistema.

De acuerdo a lo anterior se pueden presentar tres problemas de flujo en tuberías, los cuales se presentan en la Tabla 6.5

Tabla 6.5: Tipos de problemas en sistemas simples de tuberías

Tipo Dato para la Ec.

Darcy – Weisbach

Datos para la Ec.

Hazen - Williams Se pide Determinar

I.- Solución para la carga ευ,,,, DQL CDQL ,,, H

II- Solución para el caudal HDL ,,,, ευ HCDL ,,, Q

III.- Solución para el diámetro HQL ,,,, ευ HCQL ,,, D

Los algoritmos genéricos que se deben utilizar para resolver los tres tipos de problemas se presentan en la Tabla 6.6.

Tabla 6.6: Algoritmos genéricos para resolver los problemas en sistemas simples de tuberías

Tipo Algoritmo para la Ec. Darcy–Weisbach Algoritmo para la Ec. Hazen-Williams

I.- Solución para la carga

1. Se calcula el número de Reynolds 2. Se calcula el factor de fricción mediante

la formula de Colebrook (Ec. 6.33) si el flujo es turbulento, y si el flujo es laminar se usa la ec. de Hagen-Poiseuille (Ec. 6.23). Se puede usar para flujo turbulento la formula de Swamee-Jain (Ec. 6.34) o el diagrama de Moody.

3. Se calcula H con la ec. (6.53), es decir:

252

8Q

gD

fLH

π=

1. Se calcula H con la ec. (6.54), es decir:

8704,4852,1

852,1675,10

DC

LQH =







II- Solución para

el caudal (o

descarga)

1. Con D

ε se va al diagrama de Moody y

se supone por inspección un valor del facto de fricción, f’. Se puede calcular un valor inicial de f’ con la formula de

Swamee-Jain para 510Re = . 2. Se despeja Q de la ec. (6.53) y se

calcula, es decir:

fL

gDHQ

8

52π=

3. Se calcula el número de Reynolds. 4. Se calcula el factor de fricción, f. 5. Se calcula el error, definido por:

100' ×−=

f

fferror

6. Si el δ<error§, el caudal calculado en

(2) es el resultado; de lo contrario se emplea el último valor calculado del factor de fricción ( ff =' ) y se repiten

los pasos desde el (2) hasta el (6)

1. Se despeja Q de la ec. (6.54) y se calcula, es decir:

852,1

18704,4852,1

675,10

=

L

HDCQ

III.- Solución

para el diámetro

1. Se supone un valor arbitrario. Se puede partir con f’ = 0,03.

2. Se despeja D de la ec. (6.53) y se calcula, es decir:

5

1

2

28

=

gH

fLQD

π

3. Se calcula el número de Reynolds. 4. Se calcula el factor de fricción, f. 5. Se calcula el error, definido por:

100' ×−=

f

fferror

6. Si el δ<error , el diámetro calculado en (2) es el resultado; de lo contrario se emplea el último valor calculado del facto de fricción ( ff =' ) y se repiten los

pasos desde el (2) hasta (6)

1. Se despeja D de la ec. (6.54) y se calcula, es decir:

8704,4

1

852,1

852,1675,10

=

HC

LQD

En los ejemplos 6.3, 6.4 y 6.5 se presentan la aplicación de los algoritmos de la Tabla 6.6, utilizando Mat-Lab y una hoja de cálculo.

§ δ es un valor muy pequeño de parada, que para el caso de computadoras digitales se puede utilizar %01,0=δ ,

y para cálculos manuales se puede utilizar %1=δ





6.3.3. TUBERÍAS E� SERIE Y E� PARALELO

Tuberías en series

Cuando dos tuberías de tamaño y rugosidades diferentes de conectan de tal forma que el fluido fluya a través de una tuberías y luego a través de otra, se dice que la tuberías están conectadas en serie; tal como se muestra en la Figura 6.11.

En las tuberías en serie el caudal que pasa por cada una es el mismo, mientras que las pérdidas se suman. Es decir:

QQQQQQ kki ======= −121 LL (6.55)

y

∑=

=++++=−

k

i

fffff iihhhhh

12121

LL (6.56)

Por lo que la resistencia equivalente será

⇒== ∑∑==

k

i

n

i

k

i

n

ii

n

e QRQRQR11

∑=

=k

i

ie RR1

(6.57)

En conclusión, en las tuberías en serie, la resistencia equivalente es igual a la suma de las resistencias de cada

tubería.

Para las tuberías en serie se pueden presentar dos tipos de problema:

• Tipo I: Cálculo de carga (Diferencia de presión)

• Tipo II: Cálculo del caudal (o descarga)

En la Tabla 6.7, se presentan los algoritmos genéricos para cada tipo de problema según la ecuación de pérdida que se utilice (ver ejemplos 6.6 y 6.7 la aplicación de los algoritmos).

Tuberías en paralelo

Cuando dos o más tuberías se conectan, de tal forma, que el caudal se divide entre las tuberías y luego se vuelve a unir, se dice que las tuberías están conectadas en paralelos (ver Figura 6.12).

Figura 6.11: Tuberías conectadas

en serie y su equivalente

R1 R2 Ri

Rk-1

Rk, Qk

Q1

Re

Q

Tubería equivalente

1

2

1 2

Disposición en serie

Figura 6.12: Tuberías conectadas en

paralelo y su equivalente

Re

Q

Tubería equivalente

1 2

Disposición en paralelo

Q

Rk, Qk

Q

1 2

R1, Q1

R2, Q2

Ri, Qi





Tabla 6.7: Algoritmos genéricos para resolver los problemas de tuberías en series


I.- Solución para

la carga

1. Se calcula el número de Reynolds para cada tubería

i

iD

Q

πυ4

Re =

2. Se calcula el factor de fricción para cada tubería y se determinan los valores de K de cada accesorio (o longitud equivalente)

3. Se calcula la resistencia de cada tubería y accesorios

52

8

i

ii

igD

LfR

π= y

42

8

i

i

igD

kRa

π=

4. Se calcula la resistencia equivalente del sistema

∑=

=k

i

ie RR1

5. Se aplica la ecuación de energía mecánica y se calcula la caída de presión o carga

1. Se calcula la resistencia de cada tubería y accesorios. Para los accesorios se recomienda utilizar longitud equivalente.

8704,4852,1

675,10

ii

ii

DC

LR =


∑=

=k

i

ie RR1

3. Se aplica la ecuación de energía mecánica y se calcula la caída de presión o carga

II- Solución para

el caudal (o

descarga)

1. Se determinan las constante de todos los

accesorios y i

i

Dε se va al diagrama de

Moody y se supone el factor de fricción, fi’ para cada tubería.

2. Se calcula la resistencia de cada tubería y accesorios

52

8

i

ii

igD

LfR

π= y

42

8

i

i

igD

kRa

π=


4. Se aplica la ecuación de energía mecánica y se calcula el caudal que pasa por el sistema de tubería

5. Se calcula el número de Reynolds de cada tubería.

6. Se calcula el factor de fricción, f, para cada tubería,

7. Se calcula el error cometido en la suposición del factor de fricción, de cada tubería:

100'

×−

=i

ii

if

fferror

Donde: ( )ierrormáxerror =

8. Si el δ<error , el caudal calculado en (4) es el resultado; de lo contrario se emplea el último valor calculado del facto de fricción ( ff =' ) y se repiten los

pasos desde el (2) hasta (6)


8704,4852,1

675,10

ii

i

iDC

LR =


∑=

=k

i

ie RR1

3. Se aplica la ecuación de energía mecánica y se calcula el caudal o descarga





En las tuberías en paralelo las pérdidas por cada tramo, entre los puntos de unión del grupo de tubería (puntos 1 y 2 de la Figura 6.12), son iguales, ya que la caída de presión entre dichos punto es igual. Por otra parte, el caudal neto es la suma de los caudales que pasan por cada tramo de tubería. Matemáticamente es:

ki fffff hhhhh ======−

LL2121

(6.58)

y

∑=

− =++++++=k

i

ikki QQóQQQQQQ1

121 LL (6.59)

Como la pérdida por cada tubería es n

iif QRhi

= , se tiene que la resistencia equivalente será:

⇒

=

∑

=

−k

i

n

i

fn

e

f

R

h

R

hi

1

11

21

n

k

i ni

e

R

R

=

∑=1

1

1

1 (6.60)

En conclusión, en las tuberías en paralelo, se tiene que el inverso de la resistencia equivalente elevada a la potencia n es igual a la suma de los inversos elevado a la potencia n de las

resistencia de cada tubería.

En la Tabla 6.8 se presentan los algoritmos genéricos para resolver problemas con tuberías en paralelo usando la ecuación de Darcy-Weisbach y Hazen-Williams (ver ejemplos 6.8 y 6.9 la aplicación de los algoritmos).

Tabla 6.8: Algoritmos genéricos para resolver los problemas de tuberías en paralelo


I.- Solución para

el caudal (o

descarga)

1. Se aplica el procedimiento de tubería simple para calcular el caudal o descarga (problema tipo II) a cada tubería en paralelo.

2. Se suman los caudales para calcular el caudal total.

∑=

=k

i

iQQ1

1. Se calcula la resistencia de cada tubería. Para los accesorios se recomienda utilizar longitud equivalente.

8704,4852,1

675,10

ii

ii

DC

LR =

2. Se calcula el caudal para cada tubería

n

i

f

iR

hQ i

1

=

3. Se calcula el caudal total

∑=

=k

i

iQQ1







II- Solución para

la carga

1. Se supone un caudal por la tubería 1,

1'Q

2. Se calcula el factor de fricción de la tubería 1, f1’.

3. Se calcula la perdida por la tubería 1,

1' fh

4. Utilizando 1' fh , se calcula el caudal por

la otras tuberías iQ'

n

i

f

iR

hQ

1

21'

= −

Se puede usar el valor del factor de fricción calculado en (2) para la primera iteración, y después de la segunda, se calcula el factor de fricción con los caudales calculados en (5).

5. Se corrigen los caudales mediante la ecuación:

kiparaQ

Q

QQ

k

j

j

ii ,...,2,1,

'

'

1

==∑

=

6. Con los caudales calculados en (5) se calculan las pérdidas por cada tramo

ifh .

7. Se calcula el error

kih

hhmáxerror

i

i

f

ff,...,2,1100

'1 =

×

−=

8. Si el δ<error , los caudales calculados en (5) es el resultado; de lo contrario se hace

11' QQ = y se repiten los pasos

desde el (2) hasta (8).


8704,4852,1

675,10

ii

i

iDC

LR =


n

k

i ni

e

R

R

=

∑=1

1

1

1

3. Se calcula la perdida total, 21−fh .

4. Se calcula el caudal por cada tubería n

i

f

iR

hQ

1

21

= −

Finalmente se puede comentar que en los sistemas de tuberías simples, cuando se utiliza la ecuación de Hazen-Williams, el método de cálculo es más sencillo y en algunos casos no requiere computadora. La ecuación de Hazen-William (o en general las ecuaciones exponenciales) arroja resultados muy cercanos a la ecuación de Darcy-Weisbach siempre y cuando se utilice la constante C adecuada.

6.4. A�ÁLISIS DE REDES DE TUBERÍAS COMPLEJAS

Las redes de tuberías, como la mostrada en la Figura 6.13, está formada por múltiples tramos de tuberías, accesorios, bomba, tanques de suministros, consumidores, etc. Como ejemplo de una red compleja están los sistemas de suministro de agua potable en las ciudades y los grandes sistemas de aire acondicionado utilizados en edificios industriales o comerciales.





Antes de iniciar la discusión del análisis de redes de tuberías complejas, se definen los siguientes términos, los cuales se muestran en la Figura 6.14:

Red de tubería: Es la interconexión de un conjunto de tuberías mediante accesorios, las cuales forman más de un circuito cerrado o abierto. En una red tubería se consiguen diferentes tipos de accesorios, bombas, etc.

<odo: Es la unión de más de dos tuberías. Por ejemplo; un nodo se puede considerar la unión de tres tuberías mediante una “T” o “Y”, o también la unión de cuatro tunerías mediante una unión cruz.

Malla: Es un circuito cerrado formado por varias tuberías. Los circuitos que son abiertos se pueden considerar cerrados al suponer una tubería imaginaria cuyo caudal circulante es nulo y la caída de presión es equivalente a la diferencia de altura piezométrica entre los puntos donde se conecta ésta tubería imaginaria.

Consumidores: Son aquellos puntos en una red de tubería donde hay un consumo de caudal. Por ejemplo: Para efecto de una red de tubería para una urbanización, los puntos de conexión de las tuberías que alimentan cada casa se considera un consumidor. Por otro lado, para una casa; las duchas, lavamanos, fregadero, etc., son consumidores.

Tanques de suministros: Son tanques de almacenamiento y bombeo de un fluido a una red de tubería.

Bombas: Son máquinas que se utilizan para incrementar la presión en la línea.

Para resolver las redes de tuberías se deben de tener en cuanta las siguientes consideraciones:

• La energía cinética en los nodos, consumidores y tanques de suministros se pueden despreciar.

• La suma algebraica de la caída de presión en un circuito cerrado debe ser nula.

• El caudal que entra a un nodo debe ser igual al que sale. Es decir se debe satisfacer continuidad.

Figura 6.13: Esquema de una red hidráulica

Figura 6.14: Elementos que se encuentran en

una red de tubería

Malla

<odo

Consumidor

Tanque de

suministro

Bomba

Válvulas

Válvulas

anti-retorno





∑∑ =salida

i

entrada

i QQ (6.61)

• Cada tubería debe satisfacer la ecuación de Darcy-Weisbach o las formulas exponencial correspondiente. La forma de escribir la ecuación de pérdida, para que siempre satisfaga la condición física, sin importar la dirección del caudal, es la siguiente:

1−= n

f QRQh (6.62)

O si lo que se desea es calcular el caudal al despejar (6.62) se obtiene:

−

=1

1

nff

R

h

R

hQ (6.63)

• La ecuación de energía se debe aplicar en la dirección del caudal ya que en ésta dirección es que ocurren las pérdidas.

• Las bombas siempre beben trabajar en un punto en su curva característica. El caudal en la bomba siempre debe ir en la dirección establecida para bombeo, es decir, la bomba siempre envía caudal y nunca recibe.

Entre los métodos más comunes utilizados para resolver las redes de tuberías, se pueden mencionar: El método iterativo, método de Hardy Cross, método lineal, método de Newton-Raphson, entre otros. En éste texto se analizan los tres primeros métodos.

6.4.1. MÉTODOS DE A�ÁLISIS DE REDES DE TUBERÍAS SI� BOMBAS

Figura 6.15: Isométrico de una red de tubería que alimenta por graveda a una casa rural

Lavandero

Zb=10m

h=2m

Z1=5m

Z3= Z4=5m

φ=1,2m

Z5=7,5m

Z6=4m

Z9=4m

Z7=7,5m

Ducha

Ducha

Lava

mano

Lava

mano

Poseta

Poseta

Lavaplatos





Antes de aplicar algunos de los métodos de análisis de redes de tuberías se deben construir esquemas planos de los sistemas hidráulicos que se desean analizar o diseñar. Para detallar lo anterior, considere el isométrico del sistema de distribución de agua potable por gravedad de una casa rural mostrado en la Figura 6.15. El sistema consiste en un tanque de suministro que alimenta dos (2) duchas, dos (2) lavamanos, dos (2) posetas, un lavaplatos y un lavandero.

El esquema hidráulico que permite visualizar con más detalles la red de tuberías se muestra en la Figura 6.16; donde se destaca que las duchas, lavaplatos, lavamanos, posetas y lavandero se han representado por consumidores y el tanque de suministro se ha esquematizado también. Por otra parte, se destaca que los dobles en las líneas no significan que existe codo. Solo se representan las válvulas en el circuito.

6.4.1.1. Método Iterativo

El método iterativo no es un método sistemático que se puede programar en forma genérica, dado que el procedimiento iterativo puede variar de un problema a otro. Éste método puede resultar muy sencillo cuando se utiliza la ecuación de Hazen-Williams para estimar las pérdidas de las tuberías y accesorios; pero cuando se utiliza la ecuación de Darcy-Weisbach el método se complica, dado la dependencia que tiene el factor de fricción del caudal que pasa por cada tubería.

El método iterativo se puede simplificar mediante los procedimientos presentados en la tabla 6.9 y se aplica en el ejemplo 6.10.

6.4.1.2. Método de Hardy-Cross.

El método iterativo es un método que no es fácil de programar por lo que dificulta su implementación; por ésta razón es conveniente utilizar métodos de aproximación sucesiva. El método de Hardy Cross (Hardy Cross, 1936) supone que los caudales en cada tubería deben satisfacer la ecuación de continuidad en cada nodo. Luego se calcula una corrección de caudal en cada circuito (cerrado o abierto) haciendo cumplir que la caída de presión en un circuito cerrado sea nula.

Figura 6.16: Esquema plano de la red de tubería que alimenta por graveda una casa rural.

Lavandero Lava mano

Poseta Poseta

Lavaplatos

Ducha

Ducha

Lava mano

Tanque de

Suministro





Tabla 6.9: Procedimientos generales para aplicar el método iterativo

Procedimiento para la Ec. Darcy–Weisbach Procedimiento para la Ec. Hazen-Williams

1. Se numeran los nodos, consumidores o tanques de suministros y las tuberías equivalentes existentes entre dos nodos consecutivos. También se debe representa la dirección y sentidos de los caudales a lo largo de cada tubería.

2. Plantear el sistema de ecuaciones de acuerdo a la red de tubería. En cada nodo se debe cumplir la ecuación continuidad, y cada tramo de tubería equivalente debe satisfacer la ecuación de energía mecánica. El total de ecuaciones para la red de tubería es igual al número de nodos más el número de tuberías equivalentes en el sistema

∑∑ =salida

j

entrada

i QQ , ecuación de continuidad

n

rrkl QRHH ±= , ecuación de energía mecánica

Donde l

ll y

pH +=

γ es la altura piezométrica en

el nodo l.

3. Se supone una altura piezométrica en uno de los nodos que tenga conectada una tubería que descargue a un consumidor o provenga de un tanque de suministro. La altura piezométrica supuesta no puede ser mayor que la del tanque más alto ni menor que la del tanque más bajo.

4. Se calculan los caudales, utilizando el procedimiento solución para el caudal (problemas tipo II) de una tubería simple, en las tuberías que están conectada al nodo y que llevan a un consumidor o tanque de suministro.

5. Mediante la ecuación de continuidad se calcula el caudal de la tubería que comunica el resto del sistema.

6. Se utiliza los pasos (4) y (5) para el resto del sistema, siguiendo una estructura lógica hasta llegar al último nodo del sistema donde se debe cumplir la ecuación de continuidad. Es decir, en éste paso se resuelve el sistema de ecuaciones. hasta que se satisfaga la ecuación de continuidad en forma secuencial.

7. Se repiten los pasos (3), (4), (5) y (6) hasta que se satisfaga la ecuación de continuidad en el último nodo.

1. Se numeran los nodos, consumidores o tanque de suministros y las tuberías equivalentes existentes entre dos nodos consecutivos. También se debe representar la dirección y sentidos de los caudales a lo largo de cada tubería.

2. Plantear el sistema de ecuaciones de acuerdo a la red de tubería. En cada nodo se debe cumplir la ecuación continuidad, y cada tramo de tubería equivalente debe satisfacer la ecuación de energía mecánica. El total de ecuaciones para la red de tubería es igual al número de nodos más el número de tuberías equivalentes en el sistema.

∑∑ =salida

j

entrada

i QQ , ecuación de continuidad

n

rrkl QRHH ±= , ecuación de energía mecánica

Donde: l

ll y

pH +=

γ

3. Se calcula la resistencia equivalente de cada tramo de tubería.

4. Se supone una altura piezométrica en uno de los nodos que tenga conectada una tubería que descargue a un consumidor o provenga de un tanque de suministro. La altura piezométrica supuesta no puede ser mayor que la del tanque más alto ni menor que la del tanque más bajo.

5. Con la altura piezométrica se calculan los caudales, mediante la ecuación de energía mecánica, en las tuberías que están conectadas al nodo y que llegan a un consumidor o tanque de suministro.

6. Mediante la ecuación de continuidad se calcula el caudal de la tubería que comunica el resto del sistema.

7. Se utiliza los pasos (5) y (6) para el resto del sistema, siguiendo una estructura lógica hasta llegar al último nodo del sistema donde se debe cumplir la ecuación de continuidad. Es decir, en éste paso se resuelve el sistema de ecuaciones. hasta que se satisfaga la ecuación de continuidad en forma secuencial.

8. Se repiten los pasos (4), (5), (6) y (7) hasta que se satisfaga la ecuación de continuidad en el último nodo.

Para determinar la ecuación de corrección de caudal, considere el circuito cerrado de la red de tubería de la Figura 6.17. El caudal que pasa por cada tubería es

QQQ ii ∆+= ' (6.64)





Donde iQ es el caudal corregido en la tubería i,

iQ' es el

caudal supuesto inicialmente en la tubería i y Q∆ es la corrección del caudal de la malla respectiva.

La perdida en la tubería i es:

( )n

ii

n

iif QQRQRhi

∆+== ´

Cuando se aplica el polinomio del Binomio de Newton a la ecuación anterior, se tiene

∆

++∆

−++∆

+∆+= −−− nn

i

n

i

n

i

n

iif Qn

nQQ

n

nQQ

nQnQQRh

i

1221 ´1

´2

´´ L

Como Q∆ es una cantidad muy pequeña, la pérdida en la tubería i es se puede expresar de la siguiente forma:

[ ]QnQQRh n

i

n

iifi∆+≈ −1´´

Luego, en una malla cerrada, la caída de presión es igual a las pérdidas de cada tubería; y como en un circuito cerrado las pérdidas son nulas, se tiene:

0´´´1

1

1

1

1

1

1

=∆+== ∑∑∑∑=

−

=

−

=

−

=

k

i

n

ii

k

i

n

iii

k

i

n

iii

k

i

f QnRQQQRQQRhi

Finalmente la corrección para un circuito cerrado es:

∑

∑

=

−

=

−

−=∆k

i

n

ii

k

i

n

iii

QnR

QQR

Q

1

1

1

1

´

´´

(6.65)

La corrección de caudal para un circuito abierto, como el mostrado en la Figura 6.18, es

∑

∑

=

−

=

−+−−=∆

k

i

n

ii

k

i

n

iiiBA

QnR

QQRZZ

Q

1

1

1

1

´

´´

(6.66)

Donde ZA-ZB es la caída de presión entre el tanque A y el tanque B en el sentido de la corrección de caudal Q∆ .

Figura 6.17: Circuito cerrado

R1

R2

R3

Ri Rk

Q1

Q2

Q3

Qi Qk Rk-1

Qk -1

Q∆

Figura 6.18: Circuito abierto

R2

ZA

R1

Ri

Rk

Q2

ZB

Q1

Qi

Qk

Rk-1

Qk-1

Q∆





El algoritmo genérico para aplicar el método de Hardy Cross se presenta en la Tabla 6.10, tanto para la ecuación de pérdida de de Darcy-Weisbach como para la ecuación de Hazen-Williams.

Tabla 6.10: Algoritmos genéricos para implementar el método de Hardy Cross

Algoritmo para la Ec. Darcy–Weisbach Algoritmo para la Ec. Hazen-Williams

1. Trace un línea imaginaria que una todos los tanques (o consumidores) que contenga el circuito, esto con la finalidad de formar mallas imaginarias para aquellos circuitos abiertos existentes en la red.

2. Se supone una distribución inicial de caudal en todas las tuberías; verificando que cumplan con continuidad en cada nodo.

3. Calcule las resistencias equivalentes para cada tramo de tubería.

4. Calcule las correcciones de caudal para cada malla formada según el paso (1). Las ecuaciones a utilizar son (6.65) y (6.66), según sea el caso.

5. Se corrigen los caudales en cada tubería según la ecuación genérica (6.64)

6. Se calcula el error, el cual se define como: ( )MQQQmáxerror ∆∆∆= ,,, 21 L

Donde M es el número de mallas de la red

7. Se repiten los pasos desde (3) a (6) hasta que δ≤error . δ es un valor muy pequeño que para

efectos computacionales se utiliza 1x10-6 y para

cálculos manuales se puede utilizar 1x10-2. 8. Después de calcular los caudales en cada tramo

de tubería se calculan las alturas piezométricas en cada nodo si es necesario.

1. Trace un línea imaginaria que una todos los tanques (o consumidores) que contenga el circuito, esto con la finalidad de formar mallas imaginarias para aquellos circuitos abiertos existentes en la red.

2. Calcule las resistencias equivalentes para cada tramo de tubería.

3. Se supone una distribución inicial de caudal en todas las tuberías; verificando que cumplan con continuidad en cada nodo.

4. Calcule las correcciones de caudal para cada malla formada según el paso (1). Las ecuaciones a utilizar son (6.65) y (6.66), según sea el caso.

5. Se corrigen los caudales en cada tubería según la ecuación genérica (6.64)

6. Se calcula el error, el cual se define como: ( )MQQQmáxerror ∆∆∆= ,,, 21 L

Donde M es el número de mallas de la red

7. Se repiten los pasos desde (4) a (6) hasta que δ≤error . δ es un valor muy pequeño que para

efectos computacionales se utiliza 1x10-6 y para

cálculos manuales se puede utilizar 1x10-2. 8. Después de calcular los caudales en cada tramo de

tubería se calculan las alturas piezométricas en cada nodo si es necesario.

El ejemplo 6.11 muestra la aplicación del método de Hardy Cross usando la ecuación de Hazen-Williams y Darcy-Weisbach para estimar las pérdidas en las tuberías.

6.4.1.3. Método Lineal

El método lineal es el más eficiente de los métodos mencionados anteriormente y es más simple de programar.

El método consiste en linealizar la ecuación de perdida, para luego resolver el sistema lineal de ecuación que se forma mediante sustitución sucesiva. La ecuación de pérdida cuando se linealiza, queda de la siguiente forma:

i

n

ii

n

iif QQRQRh1−== (6.67)

Haciendo:





1

,

−= n

iiiL QRR Resistencia lineal de la tubería

Se tiene que la ecuación de pérdida se expresa en forma lineal mediante la siguiente relación

iiLf QRh ,= (6.68)

Luego, la ecuación de energía aplicada entre dos (2) nodo consecutivos en una tubería i se expresa de la siguiente forma:

iiLkj QRHH ,+= (6.69)

Y la ecuación de continuidad aplica en un nodo determinado es:

0=− ∑∑salida

i

entrada

i QQ (6.70)

Luego cuando se aplica la ecuación (6.69) en todos los tramos de tuberías y (6.70) en todos los nodos de la red, se obtiene un sistema lineal de ecuación, que se puede expresar de la siguiente forma:

[ ] { } { }iiji

bxA =, (6.71)

Donde:

[ ]ji

A , Es la matriz que almacena la resistencia lineal de las tuberías y los coeficientes

de las variables del sistema de ecuación planteado

{ }ib Es el vector de carga

{ }ix Es el vector solución que almacena los M caudales que pasa por cada tubería y N

alturas piezométricas de cada nodo.

El vector tiene la siguiente estructura:

{ }

=

M

<

i

H

H

H

Q

Q

Q

x

M

M

2

1

2

1

(6.72)

Para ilustrar como se plantea el sistema de ecuación lineal que se debe resolver, considere la red hidráulica de la Figura 6.19.





Cuando se aplica la ecuación de energía al tramo de tubería entre Z1 y el nodo 1 se tiene:

2122

211

1

211

1 −+++=++

ZfZZ

Z hg

VPy

g

VPy

γγ

Luego como, n

fZZ

Z QRhP

yHg

V

g

VPZy

Z 111

11

21

211

11 21,,0

22,0, =+=====

−γγ, se tiene:

111

1

111111 ZHQQRQRHZnn =+⇒+= −

Haciendo 9,...,2,11

, == −iparaQRR

n

iiiL

1111, ZHQRL =+ (6.73.i)

Similarmente para todos los tramos de tubería se tiene:

2122,22,21 ZHQRQRZH LL −=−⇒+= (Tubería 2) (6.73.ii)

02133,33,21 =+−⇒+= HHQRQRHH LL (Tubería 3) (6.73.iii)

3244,44,32 ZHQRQRZH LL −=−⇒+= (Tubería 4) (6.73.iv)

03255,55,32 =+−⇒+= HHQRQRHH LL (Tubería 5) (6.73.v)

4366,66,43 ZHQRQRZH LL −=−⇒+= (Tubería 6) (6.73.vi)

04377,77,43 =+−⇒+= HHQRQRHH LL (Tubería 7) (6.73.vii)

5488,88,54 ZHQRQRZH LL −=−⇒+= (Tubería 8) (6.73.viii)

6499,99,64 ZHQRQRZH LL −=−⇒+= (Tubería 9) (6.73.ix)

Figura 6.19: Esquema de una red hidráulica

Z1

Z2

Z3 Z4

Z5

Q1

R1 Q2

R2

R3

Q3

Q6

R6 R8

Q8 Q9 R9

Q4

R4

Q5

R5

Q7

R7

2 1 4 3

Z6





Aplicando la ecuación de continuidad en todos los nodos se tiene:

0321 =−− QQQ (<odo 1) (6.73.x)

0543 =−− QQQ (<odo 3) (6.73.xi)

0765 =−− QQQ (<odo 4) (6.73.xii)

0987 =−− QQQ (<odo 5) (6.73.xiii)

Se ha planteado un sistema de trece (13) ecuaciones con trece (13) incógnitas, las cuales son: nueve (9) caudales y cuatro (4) alturas piezométricas. El sistema de ecuaciones (6.73.i) hasta (6.73.xiii) se puede expresar por la siguiente relación matricial.

−−

−

−

−

=

−−−−

−−−−

−−

−−

−−

−−

0

0

0

0

0

0

0

0000111000000

0000001110000

0000000011100

0000000000111

100000000000

100000000000

110000000000

010000000000

011000000000

001000000000

001100000000

000100000000

000100000000

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

13121110987654321

6

5

4

3

2

1

4

3

2

1

9

8

7

6

5

4

3

2

1

9,

8,

7,

6,

5,

4,

3,

2,

1,

Z

Z

Z

Z

Z

Z

H

H

H

H

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

R

R

R

R

R

R

R

R

R

L

L

L

L

L

L

L

L

L

(6.74)

Donde se destaca que:

13,,10,9

9,,3,2,1

9 L

L

====

+ isiHx

isiQx

ii

ii

En forma general si se tienen un total de J tramos de tubería y M nodos, se tendrá un total de (J+M) ecuaciones con (J+M) incógnitas. Donde se recomienda plantear primero las ecuaciones de energía en cada tramo de tubería y luego las ecuaciones de continuidad.

El sistema de ecuación (6.74) se puede escribir en forma matricial:

[ ]{ } { }BxA = (6.75)

Donde al seguir el esquema anterior para plantear el sistema de ecuación, se puede generalizar el vector solución mediante la siguiente relación:

( ) ( ) ( )MJJJisiQx

JisiQx

Kii

ii

+++====

+ ,,2,1

,,3,2,1

L

L (6.76)





Para ensamblar los coeficientes no nulos del sistema de ecuación en la matriz [A], vea la Figura 6.20; donde se nota que el primer subíndice (número de la fila) de cada elemento de la matriz [A] corresponde al número de la ecuación, y el segundo subíndice (número de columna) corresponde al subíndice de la variable Q para el caso de los coeficientes que multiplican al caudal; y para el caso de los coeficientes que multiplican la variable H (altura piezométrica) el segundo subíndice de la matriz [A] es igual al número del subíndice de H, más el número de tramos de tuberías J.

Para el caso del ensamble del vector de carga {B}, el subíndice de cada elemento es igual al número de la ecuación dentro del sistema.

Para implementar el método lineal, tanto para la ecuación de Darcy-Weisbach como para la ecuación de Hazen-Williams se puede seguir el algoritmo propuesto en la Tabla 6.11.

Tabla 6.11: Algoritmos genéricos para implementar el método lineal

Algoritmo para el método lineal utilizando la Ec. Darcy–Weisbach o Hazen-Williams

1. Se plantea el sistema de ecuación siguiendo la secuencia siguiente: Primero se aplica la ecuación de energía en cada tramo de tubería y luego las ecuaciones de continuidad en todos los nodos.

2. Se supone una distribución de caudal inicial Q’i en todos los tramos de tubería que satisfaga continuidad en todos los nodos. Aunque no importa si no se cumple con continuidad en todos los nodos ya que al resolver el sistema de ecuación la primera vez, se garantizaría en todos los nodos y en las siguientes iteraciones.

3. Se calcula la resistencia lineal de cada tubería usando la relación:

JiparaQRRn

iiiL ,...,3,2,11

, == −

Donde: Ri es la resistencia de cada tubería según la ecuación de pérdida que se utilice y J es el

número de tramos de tuberías equivalentes.

4. Se ensambla los coeficientes del sistema de ecuación en la matriz [A] y en el vector de carga {B}, según el procedimiento descrito anteriormente.

5. Se resuelve el sistema de ecuación

{ } [ ] { }BAx1−=

6. Se calcula el error

JiparaxQ

QQerror

i

ii ,...,3,2,1100'

=−

=

7. Si el δ≤error se ha alcanzado la convergencia, de lo contrario se repiten los pasos (3) hasta (7). Antes de repetir (3) se debe usar la última distribución de caudal calculada, es decir:

ii QQ ='

El ejemplo 6.12 presenta la aplicación del método Lineal para resolver redes hidráulicas.

110111 543 EcuaciónQQQ LLL=−−

1)3,11( =A 1)5,11( −=A

1)4,11( −=A

61 4366, EcuaciónZHQR L LLL−=−

6,)6,6(L

RA =

<ro. de la Ecuación Subíndice de H +

<ro. de tuberías

1)3,6( −=+ JA

<ro. de la Ecuación

Subíndice del caudal

4)6( ZB −=

<ro. de la Ecuación

Figura 6.20: Esquema de la posición de los coeficientes de las variables dentro de

la matriz [A] y vector {B}





CAPÍTULO 6 .............................................................................................................................................................. 324

FLUJO I�COMPRESIBLE E� TUBERÍAS Y CA�ALES .............................................................................. 324

6.1. CLASIFICACIÓ� DEL FLUJOS I�COMPRESIBLES E� TUBERÍAS ............................................... 324

6.1.1. FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO ................................................................................................................. 325 6.1.2. FLUJO EN DESARROLLO Y DESARROLLADO ................................................................................................. 325

6.2. FLUJO TOTALME�TE DESARROLLADO E� TUBERÍAS.................................................................. 326

6.2.1. ANÁLISIS DEL FLUJO MEDIANTE UN VOLUMEN DE CONTROL ..................................................................... 326 6.2.2. CÁLCULO DE LAS PÉRDIDAS EN TUBERÍA CIRCULARES ....................................................................... 329 6.2.3. CÁLCULO DE LAS PÉRDIDAS EN TUBERÍA NO CIRCULARES .................................................................. 335 6.2.4. CÁLCULO DE LAS PÉRDIDAS EN ACCESORIOS .......................................................................................... 337 6.2.5. ENVEJECIMIENTO DE LAS TUBERÍAS ............................................................................................................. 338

6.3. A�ÁLISIS DE SISTEMAS DE TUBERÍAS SIMPLES .............................................................................. 338

6.3.1. LÍNEAS DE ENERGÍA Y DE ALTURAS PIEZOMÉTRICAS .................................................................................. 340 6.3.2. PROBLEMAS SIMPLES DE TUBERÍAS ............................................................................................................. 341 6.3.3. TUBERÍAS EN SERIE Y EN PARALELO ......................................................................................................... 344

6.4. A�ÁLISIS DE REDES DE TUBERÍAS COMPLEJAS .............................................................................. 347

6.4.1. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE REDES DE TUBERÍAS SIN BOMBAS ................................................................... 349




Capitulo 6 - Flujo en Canales y Tuberías 1(teoría 1-3)

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