Capitulo 6 de Proba

8/15/2019 Capitulo 6 de Proba

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6OBJETIVOSAl concluir el capítulo, será capaz de: 1. Definir los términos distribución de probabilidad y variable aleatoria. 2. Distinguir entre distribuciones de probabilidad continua y discreta. 3. Calcular la media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta. 4. Describir las características de la distribuciónde probabilidad binomial y su aplicación en el cálculo de probabilidades. 5. Describir las características de la distribución de probabilidad hipergeométrica y su aplicación en el cálculo de probabilidades. 6. Describir las características de la distribución de probabilidad de Poisson y su aplicación en el cálculo de probabilidades.

Distribuciones discretas de probabilidad

Croissant Bakery, Inc., ofrece pasteles decorados para cumpleaños, bodas y ocasiones especiales. La pastelería también cuenta con pasteles normales. De acuerdo con los datos de la tabla, calcule la media, la varianza y la desviación estándar de la cantidad de pasteles que venden al día. (Véase el ejercicio 44, objetivo 3.)


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IntroducciónLos capítulos 2 a 4 se consagraron al estudio de la estadística descriptiva: datos en bruto organizados en una distribución de frecuencias, la cual se representa en tablas, grá cas y diagramas. Asimismo, se calculó una medida de ubicación Ðcomo la media aritmética, la mediana o la modaÐ para localizar un valor típico cercano al centro de la distribución. Mediante el rango y la desviación estándar se describió la dispersión de los datos. Estos capítulos se centran en describir algo que sucedió. A partir del capítulo 5, el tema cambia: ahora el análisis es sobre algo que posiblemente suceda. Esta faceta de la estadística recibe el nombre de inferencia estadística. El objetivo consiste en hacer inferencias (a rmaciones) sobre una población con base en determinada cantidad de observaciones, denominadas muestra, que se selecciona de la población. En el capítulo 5 se estableció que una probabilidad es un valor entre 0 y 1, inclusive, y se analizó la forma en que las probabilidades pueden combinarse de acuerdo con las reglas de la adición y la multiplicación. Este capítulo inicia el estudio de las distribuciones de probabilidad. Una distribución de probabilidad proporciona toda la gama de valores que se pueden presentar en un experimento. Es similar a una distribución de frecuencias relativas; sin embargo, en lugar de describir elpasado, describe la probabilidad de que un evento se presente en el futuro. Porejemplo, si un fabricante de medicamentos a rma que cierto tratamiento permitirá que 80% de la población baje de peso, la agencia de protección al consumidor quizá someta

a prueba el tratamiento con una muestra de seis personas. Si la a rmación del fabricante es cierta, es casi imposible tener un resultado en el que nadie en la muestra pierda peso y es muy probable que 5 de cada 6 pierdan peso. En este capítulo se examinan la media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad, así como tres distribuciones de probabilidad que se presentan con frecuencia: binomial, hipergeométrica y de Poisson.

¿Qué es una distribución de probabilidad?Una distribución de probabilidad muestra los posibles resultados de un experimento y la probabilidad de que cada uno se presente. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Listado de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada con cadaresultado. ¿Cómo generar una distribución de probabilidad?

Ejemplo SoluciónSuponga que le interesa el número de caras que aparecen en tres lanzamientos de una moneda. Tal es el experimento. Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras y tres caras. ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de caras? Hay ocho posibles resultados. En el primer lanzamiento puede aparecer una cara, una cruz en el segundo lanzamiento y otra cruz en el tercer lanzamiento de lamoneda. O puede obtener cruz, cruz y cara, en ese orden. Para obtener los resultados del conteo (5.8), aplique la fórmula de la multiplicación: (2)(2)(2), es decir, 8 posibles resultados. Estos resultados se listan enseguida.

Lanzamiento de la moneda Resultadoposible Primero Segundo Tercero 1

2 3 4 5 6

7 8 C C C C Cr Cr Cr Cr C C Cr Cr C C Cr Cr C Cr C Cr C Cr C Cr Número de caras 0 1 1 2 1 2 2 3


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Capítulo 6

Observe que el resultado cero caras ocurre sólo una vez; una cara ocurre tres veces; dos caras, tres veces, y el resultado tres caras ocurre una sola vez. Es decir, cero caras se presentó una de ocho veces. Por consiguiente, la probabilidad decero caras es de un octavo; la probabilidad de una cara es de tres octavos, etc. La distribución de probabilidad se muestra en la tabla 6.1. Como uno de estos resultados debe suceder, el total de probabilidades de todos los eventos posibles es 1.000. Esto siempre se cumple. La grá ca 6.1 contiene la misma información. TablA 6.1 Distribución de probabilidad de los eventos relativos a cero, una, dos y trescaras en tres lanzamientos de una moneda

úmero de N caras, x 0 1 2 3 Total

Probabilidad del resultado, P (x) 1 = .125 8 3 = .375 8 3 = .375 8 1 = .125 8 8= 1.000 8

P( x ) 3 8 Probabilidad 2 8 1 8 0 0 1 2 3

Número de caras

GRÁFICA 6.1 Presentación gráfica del número de caras que resultan de tres lanzamientos

de una moneda y la probabilidad correspondienteAntes de continuar, observe las características importantes de una distribución de probabilidad. CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 1. La probabilidadde un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1, inclusive. 2. Los resultados son eventos mutuamente excluyentes. 3. La lista es exhaustiva. Así, la suma de las probabilidades de los diversos eventos es igual a 1.


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Repase el ejemplo del lanzamiento de una moneda de la tabla 6.1. La probabilidad de x se representa P(x). De esta manera, la probabilidad de cero caras es P(0 caras) = 0.125, y la probabilidad de una cara es P(1 cara) = 0.375, etc. La sumade estas probabilidades mutuamente excluyentes es de 1; es decir, de acuerdo con la tabla 6.1, 0.125 + 0.375 + 0.375 + 0.125 = 1.00.

Autoevaluación 6.1

Los posibles resultados de un experimento que implica el lanzamiento de un dadoson: uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis. a) Elabore una distribución de probabilidad para el número de posibles resultados. b) Represente gráficamente la distribución de probabilidad. c) ¿Cuál es la suma de las probabilidades?

Variables aleatoriasEn cualquier experimento aleatorio, los resultados se presentan al azar; así, a éste se le denomina variable aleatoria. Por ejemplo, lanzar un dado constituye un experimento: puede ocurrir cualquiera de los seis posibles resultados. Algunos experimentos dan origen a resultados de índole cuantitativa (como dólares, peso o númerode niños); otros dan origen a resultados de naturaleza cualitativa (como el coloro la a liación religiosa). Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una

probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado. Unos cuantos ejemplos aclararán el concepto de variable aleatoria. · Si cuenta el número de empleados ausentes en el turno matutino del lunes, el número puede ser 0, 1,2, 3,¼ El número de ausencias es una variable aleatoria. · Si pesa cuatro lingotes de acero, los pesos pueden ser de 2 492 libras, 2 497 libras, 2 506 libras, etc. El peso es una variable aleatoria. · Si lanza dos monedas y cuenta el número de caras, puede caer cero, una o dos caras. Como el número de carasque resulta de este experimento se debe al azar, el número de caras que caen es una variable aleatoria. · Otras variables aleatorias pueden ser el número de focos defectuosos producidos por hora en Cleveland Company, Inc.; la calidad (9, 10, 11 o 12) de los miembros del equipo de basquetbol femenil de St. James; el número de corredores del maratón de Boston en la carrera de 2006 y la cantidad diaria de conductores multados por conducir bajo la in uencia del alcohol en Texas. VA

RIABLE ALEATORIA Cantidad que resulta de un experimento que, por azar, puede adoptar diferentes valores. El siguiente diagrama ilustra los términos experimento, resultado, evento y variable aleatoria. Primero, en el caso del experimento en elque se lanza una moneda tres veces, hay ocho posibles resultados. En este experimento, interesa el evento de que se presenta una cara en tres lanzamientos. La variable aleatoria es el número de caras. En términos de probabilidad, desea saber la probabilidad del evento que tiene una variable aleatoria igual a 1. El resultado es P(1 cara en 3 lanzamientos) = 0.375.Posibles resultados de tres lanzamientos de moneda CCCr CCrC CrCC CCrCr CrCCr CrCrC

CCC

CrCrCrOcurre el evento {una cara}, y la variable aleatoria x = 1.

Una variable aleatoria puede ser discreta o continua.


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Capítulo 6

Variable aleatoria discretaUna variable aleatoria discreta adopta sólo cierto número de valores separados. Si hay 100 empleados, el recuento de la cantidad de ausentes el lunes sólo puede ser 0, 1, 2, 3, ¼, 100. Una variable discreta suele ser resultado de contar algo. Por de nición:

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Variable aleatoria que adopta sólo valores claramente separados.

A veces, una variable aleatoria discreta asume valores fraccionarios o decimales. Estos valores deben estar separados: debe haber cierta distancia entre ellos.Por ejemplo, las cali caciones de los jueces por destreza técnica y formas artísticasen una competencia de patinaje artístico son valores decimales, como 7.2, 8.9 y 9.7. Dichos valores son discretos, pues hay una distancia entre cali caciones de 8.3 y 8.4. Una cali cación no puede tener un valor de 8.34 o de 8.347, por ejemplo.

Variable aleatoria continuaPor otra parte, si la variable aleatoria es continua, es una distribución de probabilidad continua. Si mide algo, como la anchura de una recámara, la estatura de una persona o la presión de la llanta de un automóvil, se trata de una variable aleato

ria continua. Se puede suponer una in nidad de valores, con ciertas limitaciones.Por ejemplo: · Los tiempos de los vuelos comerciales entre Atlanta y Los Ángeles son de 4.67 horas, 5.13 horas, etc. La variable aleatoria es la cantidad de horas. · La presión, medida en libras por pulgada cuadrada (psi), en un nuevo neumático Chevy Trail-blazer puede ser de 32.78 psi, 31.62 psi, 33.07 psi, etc. En otras palabras, es razonable que se presente cualquier valor entre 28 y 35. La variable aleatoria es la presión de la llanta. Por lógica, si organiza un conjunto de posibles valores de una variable aleatoria en una distribución de probabilidad, el resultado es una distribución de probabilidad. Así, ¿cuál es la diferencia entre una distribución de probabilidad y una variable aleatoria? Una variable aleatoria representa el resultado particular de un experimento. Una distribución de probabilidad representa todos los posibles resultados, así como la correspondienteprobabilidad. Las herramientas que se utilizan, así como las interpretaciones prob

abilísticas, son diferentes en el caso de distribuciones de probabilidades discretas y continuas. Este capítulo se limita al análisis e interpretación de distribuciones discretas. En el siguiente capítulo estudiará las distribuciones continuas. ¿Cuál diría que es la diferencia entre los dos tipos de distribuciones? Por lo general, una distribución discreta es el resultado de contar algo, como:

· El número de caras que se presentan en tres lanzamientos de una moneda. · El número de estudiantes que obtienen A en clase. · El número de empados de producción que se ausentaron hoy en el segundo turno. · El número de comerciales de 30 segundos que pasan en la NBC de las 8 a las 11 de la noche.

Las distribuciones continuas son el resultado de algún tipo de medición, como: · La duración de cada canción en el último álbum de Tim McGraw.· El peso de cada estudiante de esta clase.


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· La temperatura ambiente en el momento en que lee este libro.· La suma de dinero que gana cada uno de los 750 jugadores actuales en la

lista de los equipos de la Liga Mayor de Béisbol.

Media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidadEn el capítulo 3 estudió medidas de ubicación y variación de una distribución de frecuencias. La media indica la localización central de los datos, y la varianza describe la dispersión de los datos. De forma similar, una distribución de probabilidad quedaresumida por su media y su varianza. La media de una distribución de frecuencias se identi ca mediante la letra minúscula griega mu (μ), y la desviación estándar, con sigma ( s).

MediaLa media con tituye un valor típico para repre entar la localización central de unadi tribución de probabilidad. También e el valor promedio de larga duración de la variable aleatoria. La media de una di tribución de probabilidad también recibe el nombre de valor e perado. Se trata de un promedio ponderado en el que lo po ible valore de una variable aleatoria e ponderan con u corre pondiente probabilidade de ocurrir. La media de una di tribución de probabilidad di creta e calculacon la fórmula:

MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

μ = S[xP(x)]

[6.1]

Aquí P(x) es la probabilidad de un valor particular x. En otras palabras, se multiplica cada valor x por la probabilidad de que ocurra y enseguida se suman los productos.

Varianza y desviación estándarComo se observó, la media constituye un valor típico para resumir una distribución de

probabilidad discreta.

in embargo, ésta no describe el grado de dispersión (variación) en una distribución. La varianza sí lo hace. La fórmula para la varianza de una distribución de probabilidad es:

VARIANZA DE UNA DI TRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

s2 = S[(x ± μ)2P(x)]

[6.2]

Los pasos para el cálculo son los siguientes: 1. La media se resta de cada valor y la diferencia se eleva al cuadrado. 2. Cada diferencia al cuadrado semultiplica por su probabilidad. 3. Se suman los productos que resultan par

a obtener la varianza.2 La desviación _ estándar, s, e determina al extraer la raíz cuadrada po itiva de s ; 2e decir, s = Ö s . Un ejemplo ayudará a explicar lo detalle del cálculo e interpretaciónde la media y la de viación e tándar de una di tribución de probabilidad.


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Capítulo 6

Ejemplo

John Rag dale vende automóvile nuevo en Pelican Ford. Por lo general, John vende la mayor cantidad de automóvile el ábado. Ideó la iguiente di tribución de probabilidade de la cantidad de automóvile que e pera vender un ábado determinado.

antidad de C automóvile vendido , x0 1 2 3 4

Total Probabilidad, P (x) .10 .20 .30 .30 .10 1.00

1. ¿De qué tipo de di tribución e trata? 2. ¿Cuánto automóvile e pera vender John unrmal? 3. ¿Cuál e la varianza de la di tribución?

Solución

1. Se trata de una di tribución de probabilidad di creta para la variable aleatoria denominada número de automóvile vendido . Ob erve que John ólo e pera vendercierto margen de automóvile ; no e pera vender 5 automóvile ni 50. Ademá , no puede vender medio automóvil. Sólo puede vender 0, 1, 2, 3 o 4 automóvile . A imi mo, lo re ultado on mutuamente excluyente : no puede vender un total de 3 y 4 automóvile el mi mo ábado. 2. La media de la cantidad de automóvile vendido e calcula

al multiplicar el número de automóvile

vendido

por la probabilidad de vender dicho número, y umar lo producto de acuerdo con la fórmula (6.1): µ = [ SxP (x )] = 0(.10) + 1(.20) + 2(.30) + 3(.30) + 4(.10 0) = 2.1 Estos cálculos se resumen en la siguiente tabla.

Número de automóviles vendidos, x

Probabilidad P (x )

x · P (x ) 0.00 0.20 0.60 0.90 0.40 μ = 2.10

0 .10 1 .20 2 .303 .30 4 .10 Total1.00

¿Cómo interpretar una media de 2.1? Este valor indica que, a lo largo de una gran cantidad de sábados, John Ragsdale espera vender un promedio de 2.1 automóviles por día. Por supuesto, no es posible vender exactamente 2.1 automóviles un sábado en particular. Sin embargo, el valor esperado se utiliza para predecir la media aritmética de la cantidad de automóviles vendidos a la larga. Por ejemplo, si John trabaja 50 sábados en un año, puede esperar vender (50)(2.1) o 105 automóviles sólo los sábados. Por consiguiente, a veces la media recibe el nombre de valor esperado.


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3. De nuevo, una tabla resulta útil para sistematizar los cálculos de la varianza, que es de 1.290.

úmero de auto- N móviles vendidos, Probabilidad x P (x )

(x ± )

(x ± )2

(x ± )2P (x ) 0.441 0.242 0.003 0.243 0.361 s2 = 1.290

0 .10 0 ± 2.1 4.41 1 .20 1 ± 2.1 1.21 2 .30 2 ± 2.1 0.01 3 .30 3 ± 2.1 0.81 4 .10 4 ± 2.1 3.61

Recuerde que la de viación e tándar, s, e la raíz cuadrada po itiva de la varianza. Ene te ejemplo e s2 = 1.290 = 1.136 automóvile . ¿Cómo interpretar una de viación e tánd 1.136 automóvile ? Si la vendedora Rita Kir ch también vendió un promedio de 2.1 automóvile lo ábado y la de viación e tándar en u venta fue de 1.91 automóvile , conciría que hay má variabilidad en la venta abatina de Kir ch que en la de Rag da

le (pue

1.91 > 1.136).Autoevaluación 6.2

Pizza Palace ofrece tre tamaño de refre co de cola Ðchico, mediano y grandeÐ para acompañar u pizza. Lo refre co cue tan $0.80, $0.90 y $1.20, re pectivamente. Treinta por ciento de lo pedido corre ponde al tamaño chico; 50%, al mediano, y 20%, al grande. Organice el tamaño de lo refre co y la probabilidad de venta en una di tribución de frecuencia . a) ¿Se trata de una di tribución de probabilidad dieta? Indique por qué. b) Calcule la uma promedio que e cobra por refre co de cola. c) ¿Cuál e la varianza de la cantidad que e cobra por un refre co de cola? ¿Cuále la de viación e tándar?

Ejercicio

1. Calcule la media y la varianza de la iguiente di tribución de probabilidad di creta. x 2. 0 1 2 3 P (x) .2 .4 .3 .1

Calcule la media y la varianza de la iguiente di tribución de probabilidad di creta. x 2 8 10 P (x) .5 .3 .2

3. La tre tabla que aparecen en la parte uperior de la página 188 mue tran variable aleatoria y u probabilidade . Sin embargo, ólo una con tituye en realidad una di tribución de probabilidad.


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Capítulo 6

a) ¿Cuál de ella e ? x 5 10 15 20 P (x) x P (x) x P (x) .5 .3 ±.2 .4

.3 5 .3 10 .2 15 .4 20

.1 5 .3 10 .2 15 .4 20

b) Con la di tribución de probabilidad correcta, calcule la probabilidad de que x ea: 1) Exactamente 15. 2) No mayor que 10. 3) Mayor que 5. 4. ¿Cuále de la iguiente variable aleatoria on di creta y cuále continua ? a) El número de cuenta abierta por un vendedor en 1 año. b) El tiempo que tran curre entre el turno de cada cliente en un cajero automático. c) El número de cliente en la e tética Big Nick. d) La cantidad de combu tible que contiene el tanque de ga olina de u automóvil. e) La cantidad de miembro del jurado perteneciente a una minoría. f ) La temperatura ambiente el día de hoy. 5. La información que igue repre enta el número de llamada diaria al ervicio de emergencia por el ervicio voluntario de ambulancia de Walterboro, Carolina del Su

r, durante lo

último

50 día

. En otra

palabra

, hubo 22 día

en lo

que

e realizaron 2 llamada de emergencia, y 9 día en lo que e realizaron 3 llamada de emergencia. Número de llamada Frecuencia 8 10 22 9 1 50

0 1 2 3 4 Total

a) Convierta e ta información obre el número de llamada en una di tribución de probabilidad. b) ¿Con tituye un ejemplo de di tribución de probabilidad di creta o continua? c) ¿Cuál e la media de la cantidad de llamada de emergencia al día? d) ¿Cuál e la de viación e tándar de la cantidad de llamadaia ? 6. El director de admi ione de Kinzua Univer ity en Nova Scotia calculó la di tribución de admi ione de e tudiante para el egundo eme tre con ba e en la e

xperiencia pa

ada. ¿Cuál e

el número de admi

ione

e

perado para el

egundo

eme

tre? Calcule la varianza y la de viación e tándar del número de admi ione .

Admi ione 1 000 1 200 1 500

Probabilidad .6 .3 .1

7. Belk Department Store tiene una venta e pecial e te n de emana. Lo cliente que regi tren cargo por compra de má de $50 en u tarjeta de crédito de Belk recibirán una tarjeta e pecial de la lotería de Belk. El cliente ra pará la tarjeta,la cual indica la cantidad que e retendrá del total de compra . A continuación apar

ecen la

uma de precio

y el porcentaje del tiempo que

e deducirá del total de la compra . Suma de premio $ 10 25 50 100 Probabilidad .50 .40 .08 .02


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Di tribucione di creta de probabilidad

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a) ¿Cuál e la cantidad media deducida de la compra total? b) ¿Cuál e la de viación e tándar de la cantidad deducida del total de la compra ? 8. La Downtown Parking Authority de Tampa, Florida, informó lo iguiente dato de una mue tra de 250 cliente relacionada con la cantidad de hora que e e tacionan lo automóvile y la cantidade que pagan. Número de hora Frecuencia 20 38 53 45 40 13 5 36 250 Pago $ 3.00 6.00 9.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00

1 2 3 4 5 6 7 8

a) Convierta la información relacionada con la cantidad de hora de e tacionamiento en una di tribución de probabilidad. ¿E una di tribución de probabilidad di creta o continua? b) Determine la media y la de viación e tándar del número de hora de e tacionamiento. ¿Qué re pondería i e le pregunta por la cantidad de tiempo que e e taciona un cliente normal? c) Calcule la media y la de viación e tándar del pago.

Di tribución de probabilidad binomial

La di

tribución de probabilidad binomial e

una di

tribución de probabilidad di

creta que e pre enta con mucha frecuencia. Una caracterí tica de una di tribución binomial con i te en que ólo hay do po ible re ultado en determinado intento de unexperimento. Por ejemplo, el enunciado en una pregunta de cierto o fal o e o cierto o fal o. Lo re ultado on mutuamente excluyente , lo cual igni ca que la re pue ta a una pregunta de cierto o fal o no puede er al mi mo tiempo cierta ofal a. En otro ejemplo, un producto e cla i ca como aceptable o inaceptable por el departamento de control de calidad; un trabajador e cla i ca como empleado o de empleado, y una llamada da como re ultado que el cliente compre el producto o no lo compre. Con frecuencia, e cla i can lo do po ible re ultado como éxito y fraca o. Sin embargo, e ta cla i cación no implica que un re ultado ea bueno y el otro malo. Otra caracterí tica de la di tribución binomial e el hecho de que la variable aleatoria e el re ultado de conteo . E decir, e cuenta el número de éxito en

el número total de prueba

. Lance una moneda equilibrada cinco vece

y cuente elnúmero de vece que aparece una cara; eleccione 10 trabajadore y li te cuánto tienen má de 50 año , o eleccione 20 caja de Rai in Bran de Kellog y cuente el númerode caja que pe an má de lo que indica el paquete. Una tercera caracterí tica de una di tribución binomial con i te en que la probabilidad de éxito e la mi ma de unaprueba a otra. Do ejemplo on: · La probabilidad de que adivine la primera pregunta de una prueba de verdadero o fal o (éxito) e de un medio. É ta con tituye la primera prueba. La probabilidad de que adivine la egunda pregunta( egunda prueba) también e de un medio; la probabilidad de éxito en la tercera prueba e de otro medio, y a í uce ivamente.


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Capítulo 6

· Si la experiencia reveló que el puente giratorio obre Intercoa tal Waterway, en Soca tee, e elevó una de cada 20 vece que u ted e aproximó a él, entonce la probabilidad de una vigé ima (un éxito) de que e eleve la próxima oca ión que e acerque a él e de un veinteavo, etcétera. La última caracterí tica de una di tribució de probabilidad binomial con i te en que cada prueba e independiente de cualquiera otra. Que ean independiente igni ca que no exi ten patrone en la prueba . El re ultado de una prueba en particular no in uye en el re ultado de otra prueba.Caracterí tica binomiale

EXPERIMENTO DE PROBABILIDAD BINOMIAL 1. El re ultado de cada prueba de un experimento e cla ifica en una de do categoría mutuamente excluyente : éxito o fraca o. 2. La variable aleatoria permite contar el número de éxito en una cantidad fija de prueba . 3. La probabilidad de éxito y fraca o e la mi ma para cada prueba. 4. La prueba on independiente , lo cual ignifica que el re ultado de una prueba no influye en el re ultado de otra prueba.

¿Cómo e calcula una probabilidad binomial?Para con truir una probabilidad binomial en particular e nece ita: 1) el número de prueba ; 2) la probabilidad de éxito de cada prueba. Por ejemplo, i un examen a

l término de un

eminario de admini

tración incluye 20 pregunta

de opción múltiple, elnúmero de prueba e de 20. Si cada pregunta contiene cinco eleccione y ólo una de ella e correcta, la probabilidad de éxito en cada prueba e de 0.20. Por con iguiente, la probabilidad de que una per ona in conocimiento del tema dé con la re pue ta a una pregunta e de 0.20. De modo que e cumplen la condicione de ladi tribución binomial recién indicada . Una probabilidad binomial e calcula mediante la fórmula: FÓRMULA DE LA PROBABILIDAD BINOMIAL En é ta: C repre enta una combinción. n e el número de prueba . x e la variable aleatoria de nida como el número de éxito . p es la robabilidad de un éxito en cada rueba. Em leamos la letra griega p ( i)

ara re resentar un arámetro de oblación binomial. No se confunda con la constante matemática 3.1416. P(x) = nCx px(1 ± p)n ± x [6.3]

Ejem lo Solución

US Airways tiene cinco vuelos diarios de Pittsburgh al Aero uerto Regional de Bradford, Pennsylvania. Su onga que la robabilidad de que cualquier vuelo lleguetarde sea de 0.20. ¿Cuál es la robabilidad de que ninguno de los vuelos llegue tarde hoy? ¿Cuál es la robabilidad de que exactamente uno de los vuelos llegue tarde hoy? A lique la fórmula (6.3). La robabilidad de que un vuelo llegue tarde es de 0.20, así, p = 0.20. Hay cinco vuelos, así, n = 5, y x, la variable aleatoria, se re ere al número de éxitos. En este caso un éxito consiste en que un avión llegue tarde. Como no hay demoras en las llegadas, x = 0. P (0) = nCx (p)x (1 - p)n - x = 5C0 (.20)0 (1 - .20)5 - 0 = (1)(1)(.3277) = .3277


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Distribuciones discretas de robabilidad

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La robabilidad de que exactamente uno de los cinco vuelos llegue tarde hoy es de 0.4096, que se calcula de la siguiente manera: P (1) = nCx (p)x (1 - p)n - x = 5C1(.20)1(1 - .20)5 - 1 = (5)(.20)(.4096) = .4096 La distribución de robabilidad binomial com leta con p = 0.20 y n = 5 a arece a la izquierda de la siguiente hoja de cálculo de Excel. También se muestra un diagrama de barras de la distribución de robabilidad. Observe que la robabilidad de que exactamente 3 vuelos lleguen tarde es de 0.0512, y, del diagrama de barras, que la distribución del número de llegadas demoradas tiene un sesgo ositivo. Las instrucciones de Excel ara calcular estas robabilidades son las mismas que las de la salida de Excel de la ágina 219.

La media ( μ) y la varianza ( s2) de una di tribución binomial e calculan con la iguiente fórmula, fácil y rápida: MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL μ = n p [6.4]

VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

s2 = n p(1 ± p)

[6.5]

Por ejem lo, res ecto del número de vuelos retrasados, recuerde que p = 0.20 y n = 5

. Por tanto, μ = n p = (5)(.20) = 1.0 s2 = n p(1 ± p) = (5)(.20)(1 ± .20) = .80


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Ca ítulo 6

La media de 1.0 y la varianza de 0.80 se veri can con las fórmulas (6.1) y (6.2). La distribución de robabilidad del resultado de Excel de la ágina anterior, así como los detalles de los cálculos, a arecen a continuación.

Número de vuelos retrasados, x

P(x)

xP(x)

x ±

(x ± )2

(x ± )2P(x) 0.3277 0 0.2048 0.2048 0.0576 0.0048 s2 = 0.7997

0 0.3277 1 0.4096 2 0.20483 0.0512 4 0.0064 5 0.0003

0.0000 ±1 1 0.4096 0 0 0.4096 1 1 0.1536 2 4 0.0256 3 9 0.0015 4 16 μ = 1.0000

Tablas de probabilidad binomialCon la fórmula (6.3) se construye una distribución de probabilidad binomial para cualesquiera valores de n y p. Sin embargo, si n es grande, los cálculos consumen más tiem o. Por conveniencia, las tablas del a éndice B.9 muestran el resultado de la a licación de la fórmula en el caso de varios valores de n y p. La tabla 6.2 muestra arte del a éndice B.9 ara n = 6 y diversos valores de p. TablA 6.2 Probabilidades binomiales ara n = 6 y valores selectos de pn·6 Probabilidad x \ p 0 1 23 4 5 6 .05 .735 .232

.031 .002 .000 .000 .000 .1 .531 .354 .098 .015 .001 .000 .000 .2 .262 .393 .246 .082 .015 .002 .000 .3 .118 .303 .324 .185 .060 .010 .001 .4

.047 .187 .311 .276 .138 .037 .004 .5 .016 .094 .234 .313 .234 .094 .016 .6 .004 .037 .138 .276 .311 .187 .047 .7 .001 .010 .060 .185 .324 .303 .118 .8 .000 .002 .015 .082 .246 .393 .262 .9 .000 .000 .001 .015 .098 .354 .531 .95 .000 .000 .000 .002 .031 .232 .735

Ejem lo

Cinco or ciento de los engranajes de tornillo roducidos en una fresadora automática de alta velocidad Carter Bell se encuentra defectuoso. ¿Cuál es la robabilidadde que, en seis engranajes seleccionados, ninguno se encuentre defectuoso? ¿Exactamente uno? ¿Exactamente dos? ¿Exactamente tres? ¿Exactamente cuatro? ¿Exactamente cinco?

¿Exactamente seis de seis? Las condiciones binomiales se cum

len: a) hay sólo dos

osibles resultados (un engranaje determinado está defectuoso o es ace table); b) existe una cantidad ja de ruebas (6); c) hay una robabilidad constante de éxito (0.05); d) las ruebas son inde endientes. Consulte la tabla 6.2 y localice la robabilidad de que exactamente cero engranajes se encuentren defectuosos. Descienda or el margen izquierdo hasta llegar al valor 0 de x. Ahora siga or la horizontal hasta la columna con un encabezado p de 0.05 ara determinar la robabilidad. Ésta es de 0.735. La robabilidad de que haya exactamente un engranaje defectuoso en una muestra de seis engranajes de tornillo es de 0.232. La distribución de robabilidad com leta de n = 6 y p = 0.05 es la siguiente:


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Solución


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193

Número de engranajes Probabilidaddefectuosos, de que ocurra, x P (x )

0 1 2 3 .735 .232 .031 .002

Número de engranajes defectuosos, x 4 5 6

Probabilidad de que ocurra, P (x ) .000 .000 .000

Por su uesto, existe una ligera osibilidad de que salgan cinco engranajes defectuosos de seis selecciones aleatorias. Ésta es de 0.00000178, que se determina alsustituir los valores adecuados en la fórmula binomial: P(5) = 6C5(.05)5(.95)1 = (6)(.05)5(.95) = .00000178 En el caso de seis de seis, la robabilidad exacta esde 0.000000016. Por consiguiente, la robabilidad de seleccionar cinco o seis engranajes defectuosos de una muestra de seis es muy equeña. Es osible calcular la media o valor es erado de la distribución del número de engranajes defectuosos: μ = n p = (6)(.05) = 0.30 s2 = n p(1 ± p) = 6(.05)(.95) = 0.285

El software MegaStat también calcula las robabilidades de una distribución binomial. A continuación a arece la salida del ejem lo anterior. En MegaStat, se utiliza ara re resentar el éxito en lugar de p. También se incluyen la robabilidad acumulat

iva, valor es

erado, varianza y desviación estándar.


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194

Ca ítulo 6

Autoevaluación 6.3

Ocho or ciento de los em leados de la lanta de General Mills en Laskey Road recibe su sueldo bimestral or medio de transferencias de fondos electrónicos. Estemecanismo también recibe el nombre de de ósito directo. Su onga que selecciona una muestra aleatoria de siete em leados. a) ¿Esta situación cum le los su uestos de ladistribución binomial? b) ¿Cuál es la robabilidad de que a los siete em leados ss haga un de ósito directo? c) A lique la fórmula (6.3) ara determinar la robabilidad exacta de que a cuatro de los siete em leados de la muestra se les haga un de ósito directo. d) De acuerdo con el a éndice B.9, verifique sus res uestasa los incisos b y c.

El a éndice B.9 es limitado; ofrece robabilidades ara n valores de 1 a 15, y ara valores p de 0.05, 0.10, ¼, 0.90 y 0.95. Un rograma de software uede generar las robabilidades de un número de es ecí co de éxitos, dados n y p. La salida Excel que aece a continuación muestra la robabilidad cuando n = 40 y p = 0.09. Observe que elnúmero de éxitos se detiene en 15, ues las robabilidades de 16 a 40 se a roximan mucho a 0.

Se deben mencionar otras cuestiones adicionales relacionadas con la distribución d

e

robabilidad binomial. 1. Si n

ermanece igual y p se incrementa de 0.05 a 0.95, la forma de la distribución cambia. Observe la tabla 6.3 y la grá ca 6.2. Las robabilidades de que p sea 0.05 TablA 6.3 Probabilidad de 0, 1, 2, ¼ éxitos ara valores de p de 0.05, 0.10, 0.20, 0.50 y0.70 y una n de 10.1 .349 .387 .194 .057 .011 .001 .000 .000 .000 .000 .000 x \p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .05 .599 .315 .075 .010 .001 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .2 .107 .268 .302 .201 .088 .026 .006 .001 .000 .000 .000 .3 .028 .121 .233 .267 .200 .103 .037 .009 .001 .000 .000 .4 .006 .040 .121 .215 .251 .201 .111 .042 .011 .002 .000 .5 .001 .010 .044 .117 .205 .246 .205

.117 .044 .010 .001 .6 .000 .002 .011 .042 .111 .201 .251 .215 .121 .040 .006 .7 .000 .000 .001 .009 .037 .103 .200 .267 .233 .121 .028 .8 .000 .000 .000 .001 .006 .026 .088 .201 .302 .268 .107 .9 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .011 .057 .194 .387 .349 .95 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .010 .075 .315 .599


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195

resentan un sesgo ositivo. Conforme p se a roxima a 0.50, la distribución se torna más simétrica. Conforme p su ere el 0.50 y se a roxime a 0.95, la distribución de robbilidad adquiere un sesgo negativo. La tabla 6.3 destaca las robabilidades de n = 10 y valores de p de 0.05, 0.10, 0.20, 0.50 y 0.70. Las grá cas de estas distribuciones de robabilidad se muestran en la grá ca 6.2.

P( x ) .60 .50 .40 .30 .20 .10 .00 p = .05 n = 10 p = .10 n = 10 p = .20 n = 10 p = .50n = 10 p = .70 n = 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Éxitos

x

Éxitos

x

Éxitos

x

Éxitos

xÉxitos

x

GRÁFICA 6.2 Re resentación gráfica de la distribución de robabilidad binomial ara valsde p de 0.05, 0.10, 0.20, 0.50 y 0.70 y una n de 10

2. Si p, la robabilidad de éxito, conserva el mismo valor, ero n aumenta, laforma de la distribución binomial se torna más simétrica. La grá ca 6.3 muestra el caso en el que p ermanece constante en 0.10, ero n se incrementa de 7 a 40.

P(x) .50 n=7 .40 .30 .20 .10 .00 n = 12 n = 20 n = 40

01234

01234567

012345678

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


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Número de éxitos (x)

GRÁFICA 6.3 Re resentación gráfica de la distribución de robabilidad binomial ara valores de p de 0.10 y una n de 7, 12, 20 y 40


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196

Ca ítulo 6

Ejercicios 9. En una situación binomial, n = 4 y p = 0.25. Determine las robabilidades de

los siguientes eventos con la fórmula binomial. a) x = 2 b) x = 3 10. En una situación binomial, n = 5 y p = 0.40. Determine las robabilidades de los siguientes eventos con la fórmula binomial. a) x = 1 b) x = 2 11. Su onga una distribución binomial en la que n = 3 y p = 0.60. a) Consulte el a éndice B.9 y elabore una lista de robabilidades de x de 0 a 3.b) Determine la media y la desviación estándar de la distribución a artir de las

de niciones generales de las fórmulas (6.1) y (6.2). 12. Su onga que existe unadistribución binomial en la que n = 5 y p = 0.30. a) Consulte el a éndice B.y elabore una lista de robabilidades de x de 0 a 3. b) Determine la media y la desviación estándar de la distribución a artir de las de niciones generales delas fórmulas (6.1) y (6.2). 13. Un estudio de la American Society of Investors descubrió que 30% de inversionistas articulares había utilizado un agente de descuentos. En una muestra aleatoria de nueve ersonas, ¿cuál es la robabilidad de que:a) exactamente dos ersonas hayan utilizado un agente de descuentos?b) exactamente cuatro ersonas hayan utilizado un agente de descuentos?c) ninguna ersona haya utilizado un agente de descuentos? 14. El Servi

cio Postal de Estados Unidos informa que 95% de la corres ondencia de rimera clase dentro de la misma ciudad se entrega en un eriodo de dos días a artir del mo

mento en que se envía. Se enviaron seis cartas de forma aleatoria a diferentes lugares. a) ¿Cuál es la robabilidad de que las seis lleguen en un lazo de dos días? b) ¿Cuál es la robabilidad de que exactamente cinco lleguen en un lazo de dos días? c) Determine la media del número de cartas que llegarán en un

lazo de dos días. d) Calcule la varianza y la desviación estándar del número de cartas que llegarán en un lazo de dos días. 15. Las normas de la industria sugieren que 10% de los vehículos nuevos requiere un servicio de garantía durante el rimer año. El día de ayer, Jones Nissan, en Sumter, Carolina del Sur, vendió 12 automóviles marca Nissan. a) ¿Cuál es la robabilidad de que ninguno de estos vehulos requiera servicio de garantía? b) ¿Cuál es la robabilidad de que exactamente uno de estos vehículos requiera servicio de garantía? c) Determine la robabilidad de que exactamente dos de estos vehículos requiera servicio de garantía. d) Calcule la media y la desviación estándar de esta distribución de

babilidad. 16. Un agente de telemarketing hace seis llamadas

or hora y es ca

az de hacer una venta con 30% de estos contactos. Para las siguientes dos horas,determine: a) la robabilidad de realizar exactamente cuatro ventas;b) la robabilidad de no realizar ninguna venta; c) la robabilidad

de hacer exactamente dos ventas; d) la media de la cantidad de ventas durante el eriodo de dos horas. 17. Una encuesta reciente de la American Accounting Association reveló que 23% de los estudiantes graduados en contabilidad elige la contaduría ública. Su onga que elige una muestra de 15 recién graduados.a) ¿Cuál es la robabilidad de que dos hayan elegido contaduría ública? b)

¿Cuál es la robabilidad de que cinco hayan elegido contaduría ública? c) ¿Cuántos graduados es eraría que eligieran contaduría ública? 18. ¿Puede señalar la ferencia entre Coca Cola y Pe si en una rueba de degustación a ciegas? La mayoría a rma que uede hacerlo y se inclina or una u otra marca. Sin embargo, las investi

gaciones sugieren que la gente identi ca correctamente una muestra de uno de estos roductos sólo 60% de las veces. Su onga que decide investigar esta cuestión y selecciona una muestra de 15 estudiantes universitarios. a) ¿Cuántos de los 15 estudiantes es eraría que identi caran correctamente la Coca Cola o la Pe si?b) ¿Cuál es la robabilidad de que exactamente 10 de los estudiantes que artic

i aron en la encuesta identi quen correctamente la Coca Cola o la Pe si? c) uál es la robabilidad de que or lo menos 10 estudiantes identi quen correctamentela Coca Cola o la Pe si?


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Distribuciones de robabilidad binomial acumuladaTal vez desee conocer la robabilidad de adivinar la res uesta a 6 o más reguntas de verdadero o falso de un total de 10. O quizás esté interesado en la robabilidad de seleccionar, en forma aleatoria, menos de dos artículos defectuosos en la roducción de la hora anterior. En estos casos necesita distribuciones de frecuencia acumulada similares a las del ca ítulo 2 (véase la . 41). El siguiente ejem lo ilustra este hecho. Un estudio del De artamento de Trans orte de Illinois concluyó que76.2% de quienes ocu aban la arte anterior en los vehículos utilizaba cinturón de seguridad. Esto signi ca que los dos ocu antes de la arte delantera utilizaban cinturones de seguridad. Su onga que decide com arar la información con el uso actual que se da al cinturón de seguridad. Seleccione una muestra de 12 vehículos. 1. ¿Cuál es la robabilidad de que los ocu antes de la arte delantera de exactamente 7 de 12 vehículos seleccionados utilicen cinturones de seguridad? 2. ¿Cuál es la

robabilidad de que los ocu antes de la arte delantera de or lo menos 7 de 12vehículos utilicen cinturón de seguridad?

Ejem lo

Solución

Esta situación satisface los requisitos binomiales. · En un vehículo en articular, ambos ocu antes de la arte delantera utilizan cinturón de seguridad o no lo hacen. Sólo hay dos osibles resultados. · Existe una cantidad j ruebas, 12 en este caso, ues se veri can 12 vehículos. · La robabilidadde un éxito (los ocu antes utilizan cinturón de seguridad) es la misma de un vehículoal siguiente: 76.2%. · Las ruebas son inde endientes. Si, en el cuarto vehículo seleccionado en la muestra, todos los ocu antes utilizan cinturón de seguridad, esto no in uye en los resultados del quinto o décimo vehículos. Para determinarla robabilidad de que los ocu antes de exactamente 7 vehículos de la muestra utilicen cinturón de seguridad, a lique la fórmula (6.3). En este caso, n = 12 y p = 0.762. P (x = 7|n = 12 y p = .762) =7 12 - 7 12C7 (.762) (1 - .762)

= 792(.149171)(.000764) = .0902De esta manera, concluye que la robabilidad de que los ocu antes de exactamente 7 de los 12 vehículos de la muestra utilicen cinturones de seguridad es de a roximadamente 9%. Como se hizo en esta ecuación, con frecuencia se em lea una barra |

ara dar a entender dado que. Así, en esta ecuación busca saber la robabilidad de que x sea igual a 7 dado que el número de ruebas es de 12 y la robabilidad de un éxito es de 0.762. Para determinar la robabilidad de que los ocu antes en 7 o más de los vehículos utilicen su cinturón de seguridad, a lique la fórmula (6.3) de este ca

ítulo, así como la regla es ecial de la adición del ca ítulo anterior [véase fórmula (5.2), . 147]. Como los eventos son mutuamente excluyentes (lo cual signi ca que una muestra de 12 vehículos no uede tener un total de 7 ni, al mismo tiem o, un total de 8 vehículos en que los ocu antes utilizan cinturón de seguridad), se determina la

robabilidad de que en 7 de los vehículos los ocu

antes utilizan cinturón de seguridad; la robabilidad de que en 8 de los vehículos los ocu antes utilicen cinturones de seguridad y, así sucesivamente, la robabilidad de que en los 12 vehículos de la muestra los ocu antes están utilizando cinturón de seguridad. La robabilidad de cada uno de estos resultados se suma enseguida. P (x ³ 7|n = 12 y p = .762) = P (x = 7) + P (x = 8) + P (x = 9) + P (x = 10) + P (x = 11) + P (x = 12) = .0902 + .1805 + .2569 + .2467 + .1436 + .0383 = .9562


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Ca ítulo 6

De esta manera, la robabilidad de seleccionar 12 automóviles y hallar que los ocu antes de 7 o más vehículos utilizaban cinturón de seguridad es de 0.9562. Esta información se muestra en la siguiente hoja de cálculo de Excel. Existe una equeña diferencia en la res uesta con software como consecuencia del redondeo. Los comandos deExcel son similares a los que se indican en la ágina 210, unto 2.

Autoevaluación 6.4

Si n = 4 y p = 0.60, determine la robabilidad de que: a) x = 2. b) x £ 2. c) x ³ 2.

Ejercicios19. En una distribución binomial, n = 8 y p = 0.30. Determine las robabilidades de los siguientes eventos. a) x = 2. b) x £ 2 (la robabilidad de que x sea igual o menor que 2). c) x ³ 3 (la robabilidad de que x sea igual o mayor que 3). 20. En una distribución binomial, n = 12 y p = 0.60. Determine las robabilidades de los siguientes eventos. a) x = 5.b) x £ 5. c) x ³ 6. 21. En un estudio reciente se descubrió que 90

% de las familias de Estados Unidos tiene televisores de antalla grande. En una muestra de nueve familias, ¿cuál es la robabilidad de que: a) las nue

ve tengan televisores de

antalla grande? b) menos de cinco tengan televisores de antalla grande? c) más de cinco tengan televisores de antalla grande? d) al menos siete familias tengan televisores de antallagrande? 22. Un fabricante de marcos ara ventanas sabe, or ex eriencia, que 5% de la roducción tendrá algún ti o de defecto menor, que requerirá re aración. ¿Cuál e robabilidad de que en una muestra de 20 marcos:


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a) ninguno requiera re aración? b) or lo menos uno requiera re aración? c) más que dos requieran re aración? 23. La ra idez con la que las com añías de servicios resuelven roblemas es de suma im ortancia. Georgetown Tele hone Com any a rma que es ca az de resolver 70% de los roblemas de los clientes el mismo día en que se re ortan. Su onga que los 15 casos que se re ortaron el día de hoy son re resentativos de todas las quejas. a) ¿Cuántos robles eraría que se resolvieran el día de hoy? ¿Cuál es la desviación estándar? b) ¿Cuál es la robabilidad de que 10 roblemas se resuelvan el día de hoy? c) ¿De que 10 u 11 roblemas se resuelvan el día de hoy? d) ¿Y de que más de 10 roblemas se resuelvan el día de hoy? 24. Backyard Retreats, Inc., vende una línea exclusiva de iscinas, jacuzzis y s as. La com añía se localiza a la salida del Bee Line Ex ressway, en Orlando, Florida. El ro ietario informa que 20% de los clientes que visitan la tienda hará una com ra de or lo menos $50. Su onga que 15 clientes entran en la tienda antes de las 10 de la mañana cierto sábado.a) ¿Cuántos de estos clientes es eraría que hiciera una com ra de or lo menos $

50? b) ¿Cuál es la robabilidad de que exactamente cinco clientes hagan una com ra de or lo menos $50? c) ¿Cuál es la robabilidad de que or lo menos cinco clientes hagan una com ra de or lo menos $50? d) ¿Cuál es la robabilidad de que or lo menos un cliente haga una com ra de or lo menos $50?

Distribución de

robabilidad hi

ergeométricaPara a licar una distribución binomial, la robabilidad de que ocurra un éxito debe ermanecer igual en cada rueba. Por ejem lo, la robabilidad de adivinar la res uesta correcta a una regunta de verdadero o falso es de 0.50. Esta robabilidad es igual ara cada regunta de un examen. Asimismo, su onga que 40% de los electores registrados en un distrito electoral es re ublicano. Si se seleccionan al azar 27 de los votantes registrados, la robabilidad de elegir a un re ublicano en la rimera elección es de 0.40. La osibilidad de elegir a un re ublicano en la siguiente elección es de 0.40, tomando en cuenta que el muestreo incluye reem lazos, lo cual signi ca que la ersona elegida vuelve a la oblación antes de elegir a la que sigue. No obstante, la mayor arte del muestreo se realiza sin reem lazos. Por tanto, si la oblación es reducida, la robabilidad de cada observación cambiará. Por ejem lo, si la oblación consta de 20 elementos, la robabilidad de selecci

onar un elemento de dicha

oblación es de 1/20. Si el muestreo se realiza sin reem lazos, sólo quedan 19 elementos des ués de la rimera selección; la robabilidad de seleccionar un elemento en la segunda selección es de 1/19 solamente. En la tercera selección, la robabilidad es de 1/18, etc. Esto su one que la oblación es finita; es decir, se conoce el número de elementos de la oblación, que es relativamente reducido. Ejem los de oblaciones nitas son los 2 842 re ublicanos de un distrito electoral, las 9 421 solicitudes ara la escuela de medicina y los 18 Pontiac Vibes actualmente en existencia en North Charleston Pontiac. Recuerde que uno de los criterios relacionados con la distribución binomial estriba en que la robabilidad de éxito debe ermanecer igual en todas las ruebas. Como la robabilidad de éxito no es la misma en todas las ruebas cuando se realiza un muestreo sin reem lazos en una oblación relativamente equeña, no debe a licarse la distribución binomial. En lugar de ésta se a lica la distribución hi ergeométrica. Por tanto, 1) si se selec

ciona una muestra de una

oblación nita sin reem

lazos y 2) si el tamaño de la muestra n es mayor que 5% del tamaño de la oblación, se a lica la distribución hi ergeométrica ara determinar la robabilidad de un número es ecí co de éxitos o fracasos. Esto resulta es ecialmente a ro iado cuando el tamaño de la oblación es equeño.


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200

Ca ítulo 6

La fórmula de la distribución de robabilidad hi ergeométrica es la siguiente:

P (x ) = DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

(S Cx )(N -S Cn - x )N Cn

[6.6]

Aquí, N re resenta el tamaño de la oblación. S es el número de éxitos en la oblación. x el número de éxitos en la muestra; éste uede asumir los valores 0, 1, 2, 3¼ n es el tamaño de la muestra o el número de ruebas. C es el símbolo de combinación. En resumen, una distribución de robabilidad hi ergeométrica tiene las siguientes características:DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA 1. Los resultados de cada rueba de un ex erimento se clasifican en dos categorías exclusivas: éxito o fracaso. 2.La variable aleatoria es el número de éxitos de un número fijo de ruebas. 3. Las rubas no son inde endientes. 4. Los muestreos se realizan con una oblación finita sin reem lazos y n/N > 0.05. Por tanto, la robabilidad de éxito cambia en cada rueba. El siguiente ejem lo ilustra los detalles ara determinar una robabilidad con la distribución de robabilidad hi ergeométrica.

Ejem lo

Play Time Toys, Inc., tiene 50 em leados en el de artamento de ensamble. Cuarenta em leados ertenecen a un sindicato, y diez, no. Se eligen al azar cinco em leados ara formar un comité que hablará con la em resa sobre los horarios de inicio de los turnos. ¿Cuál es la robabilidad de que cuatro de los cinco em leados elegidos ara formar arte del comité ertenezcan a un sindicato? En este caso, la oblación consiste en los 50 em leados del de artamento de ensamble. Sólo se uede elegir una vez a un em leado ara formar arte del comité. De ahí que el muestreo se lleve a cabo sin reem lazos. Por tanto, en cada rueba cambia la robabilidad de elegir a un em leado sindicalizado. La distribución hi ergeométrica es adecuada ara determinar la robabilidad. En este roblema, N es igual a 50, el número de em leados.

S tiene un valor de 40, el número de em

leados sindicalizados. x es igual a 4, elnúmero de em leados sindicalizados elegidos. n vale 5, el número de em leados elegidos. Se desea calcular la robabilidad de que 4 de los 5 miembros del comité sean sindicalizados. Al sustituir estos valores en la fórmula (6.6), se obtiene:

Solución


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201

P (4) =

(40 C4 )(50 - 40 C5 - 4 )50 C5

40! 10! 1!9! (91 390)(10) 4!36! = = .431 = 50! 2 118 760 5!45!

Por consiguiente, la robabilidad de elegir al azar a 5 trabajadores de ensamble de los 50 trabajadores y encontrar que 4 de 5 son sindicalizados es de 0.431. La tabla 6.4 muestra las robabilidades hi ergeométricas de encontrar 0, 1, 2, 3, 4 y 5 em leados sindicalizados en el comité. TablA 6.4 Probabilidades hi ergeométricas(n = 5, N = 50 y S = 40) del númerode em leados sindicalizados en el comitéMiembros de un sindicato

0 1 2 3 4 5 Probabilidad .000 .004 .044 .210 .431 .311 1.000

Con el n de com arar las dos distribuciones de robabilidad, la tabla 6.5 muestra las robabilidades hi ergeométricas y binomiales del ejem lo de Play Time Toys, Inc. Como 40 de los 50 em leados del de artamento de ensamble son sindicalizados,

establecemos que p = 0.80

ara la distribución binomial. Las

robabilidades binomiales de la tabla 6.5 rovienen de la distribución binomial con n = 5 y p = 0.80. TablA 6.5 Probabilidades hi ergeométricas y binomial ara el de artamentode ensamble de PlayTime Toys, Inc.

Número de miembros sindicalizados en el comité0 1 2 3 4 5

Probabilidad hi ergeométrica, P(x) .000 .004 .044 .210 .431 .311 1.000 Probabilidad binomial (n · 5 y · .80) .000 .006 .051 .205 .410 .3281.000

Cuando no es osible satisfacer alguno de los requisitos binomiales de una roba

bilidad constante de éxito, se debe recurrir a la distribución de

robabilidad hi

ergeométrica. No obstante, según lo indica la tabla 6.5, es osible, en ciertas condiciones, em lear los resultados de la distribución binomial ara calcular la distribución hi ergeométrica. Esto conduce a la siguiente regla em írica: i los elementos seleccionados no se regresan a la oblación, se uede a licar S la distribución binomial ara calcular la distribución hi ergeométrica cuando n < 0.05N. Es decir, basta la distribución binomial si el tamaño de la muestra es menor que 5% de la oblación. EnExcel es osible generar una distribución hi ergeométrica. Observe la siguiente salida. En la sección Comandos de software se incluyen los asos ertinentes.


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Ca ítulo 6

Autoevaluación 6.5

Horwege Discount Brokers hace lanes ara contratar este año a 5 analistas financieros. Hay un gru o de 12 candidatos a robados, y George Horwege, el ro ietario, decide elegir al azar a quiénes va a contratar. De los solicitantes a robados, 8son hombres y 4 mujeres. ¿Cuál es la robabilidad de que 3 de los 5 contratados sean hombres?

Ejercicios25. Una oblación consta de 10 elementos, 6 de los cuales se encuentran defectuosos. En una muestra de 3 elementos, ¿cuál es la robabilidad de que exactamente 2sean defectuosos? Su onga que las muestras se toman sin reem lazo. 26. Una oblación consta de 15 elementos, 4 de los cuales son ace tables. En una muestra de 4elementos, ¿cuál es la robabilidad de que exactamente 3 sean ace tables? Su onga que las muestras se toman sin reem lazo. 27. Kolzak A liance Outlet acaba de recibir un cargamento de 10 re roductores de DVD. Poco des ués de recibirlo, el fabricante se comunicó ara re ortar un envío de tres unidades defectuosas. La señorita Kolzac, ro ietaria de la tienda, decidió robar 2 de los 10 re roductores de DVD que recibió. ¿Cuál es la robabilidad de que ninguno de los 2 re roductores de DVD que se robaron esté defectuoso? Su onga que las muestras no tienen reem lazo. 28.

El de

artamento de sistemas de com

utación cuenta con ocho

rofesores, de los cuales seis son titulares. La doctora Vonder, residenta, desea formar un comité de tres rofesores del de artamento con el n de que revisen el lan de estudios. Si selecciona el comité al azar: a) ¿Cuál es la robabilidad de que todos los miembros del comité sean titulares? b) ¿Cuál es la robabilidad de que orlo menos un miembro del comité no sea titular? (Sugerencia: a lique la regla del com lemento ara res onder esta regunta.)


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203

29. Keith's Florists tiene 15 camiones de entrega, que em lea sobre todo araentregar ores y arreglos orales en la zona de Greenville, Carolina del Sur. De estos 15 camiones, 6 resentan roblemas con los frenos. En forma aleatoria se seleccionó una muestra de 5 camiones. ¿Cuál es la robabilidad de que 2 de los camiones robados resenten frenos defectuosos? 30. El juego de Lotto, atrocinado or la Comisión de la Lotería de Louisiana, otorga el remio mayor a un concursante que hace coincidir 6 de los osibles números. Su onga que hay 40 elotas de ing ong numeradas del 1 al 40. Cada número a arece una sola vez y las elotas ganadoras se seleccionan sin reem lazo. a) La comisión informa que la robabilidad de que coincidan todos los números es de 1 en 3 838 380. ¿Qué signi ca esto en términos derobabilidad? b) A lique la fórmula de la distribución de robabilidad hi ergeométrica ara determinar esta robabilidad. La comisión de la lotería también otorga un remio si un concursante hace coincidir 4 o 5 de los 6 números ganadores. Sugerencia: divida los 40 números en dos gru os: números ganadores y no ganadores.c) Calcule la robabilidad, de nuevo con la fórmula de la distribución de roba

bilidad hi ergeométrica, ara hacer coincidir 4 de los 6 números ganadores.d) Calcule la robabilidad de que coincidan 5 de los 6 números ganadores.

Distribución de robabilidad de PoissonLa distribución de robabilidad de Poisson describe el número de veces que se resen

ta un evento durante un intervalo es

ecí co. El intervalo

uede ser de tiem

o, distancia, área o volumen. La distribución se basa en dos su uestos. El rimero consisteen que la robabilidad es ro orcional a la longitud del intervalo. El segundo su uesto consiste en que los intervalos son inde endientes. En otras alabras, cuanto más grande sea el intervalo, mayor será la robabilidad, y el número de veces que se resenta un evento en un intervalo no in uye en los demás intervalos. La distribución también constituye una forma restrictiva de la distribución binomial cuando la robabilidad de un éxito es muy equeña y n es grande. A ésta se le conoce or lo general con el nombre de ley de eventos im robables, lo cual signi ca que la robabilidad, p, de que ocurra un evento en articular es muy equeña. La distribución de Poisson es una distribución de robabilidad discreta orque se genera contando. En resumen, una distribución de robabilidad de Poisson osee tres características: EXPERIMENTO DE PROBABILIDAD DE POISSON 1. La variable aleatoria es el número de vece

s que ocurre un evento durante un intervalo definido. 2. La

robabilidadde que ocurra el evento es ro orcional al tamaño del intervalo. 3. Los intervalos no se su er onen y son inde endientes.

Estadística en acciónCerca del final de la Segunda Guerra Mundial, los alemanes crearon bombas ro ulsadas or cohete, que lanzaron hacia la ciudad de Londres. El comando militar aliado no sabía si estas bombas se lanzaban de forma aleatoria o si tenían un objetivo. Con el fin de averiguarlo, se dividió la ciudad de Londres en 576 regiones cuadradas. Se registró la distribución de los bombarderos en cada región cuadrada de la siguiente manera:Bombardeos 0 1 2 3 4 5 Regiones 229 221 93 35 7 1

Con el fin de inter retar estos datos, la tabla anterior señala que 229 regiones no fueron bombardeadas. Siete regiones fueron atacadas cuatro veces. (continúa)

La distribución osee diversas a licaciones. Se le utiliza como modelo ara describir la distribución de errores en una entrada de datos, el número de rayones y otras im erfecciones en las cabinas de automóviles recién intados, el número de artes defectuosas en envíos, el número de clientes que es eran mesa en un restaurante o que es eran entrar en una de las atracciones de Disney World y el número de accidentesen la carretera federal 75 en un eriodo de tres meses. La distribución de Poisson


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se describe matemáticamente or medio de la siguiente fórmula:

DISTRIBUCIÓN DE POISSON P (x ) =

µ x e -µ x!

[6.7]


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204

Ca ítulo 6

De acuerdo con la distribución de Poisson, con una media de 0.93 bombardeos or región, se obtiene la siguiente cantidad es erada de bombardeos:

Bombardeos 0 1 2 3 4 5 o

donde: μ (mu) es la media de la cantidad de veces (éxitos) que se presenta un evento en un intervalo particular. e es la constante 2.71828 (base del sistema de logaritmos naperianos). x es el número de veces que se presenta un evento. P(x) es la probabilidad para un valor especí co de x. La media de número de éxitos, µ, puede determinarse con n p; en este caso, n es el número total de ruebas, y p, la robabilidad de éxito. MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE POISSON μ = n p [6.8]

más Regiones 231.2 215.0 100.0 31.0 7.2 1.6

Puesto que la cantidad real de bombardeos se a roxima a la cantidad es erada, el comando militar llegó a la conclusión de que las bombas caían de forma aleatoria. Los alemanes no habían creado una bomba con un dis ositivo ara dar en el blanco.

La varianza de Poisson también es igual a su media. Si, or ejem lo, la robabilid

ad de que un cheque cobrado en un banco rebote es de 0.0003 y se cobran 10 000 cheques, la media y la varianza del número de cheques rebotados es de 3.0, que se determina mediante la o eración μ = n p = 10 000(.0003) = 3.0. Recuerde que, en el caso de una distribución binomial, existe una cantidad ja de ruebas. Por ejem lo, en una rueba de selección múlti le de cuatro reguntas, sólo uede haber cero, uno, dos,tres o cuatro éxitos (res uestas correctas). Sin embargo, la variable aleatoria, x, ara una distribución de Poisson uede ado tar una in nidad de valores; es decir,0, 1, 2, 3, 4, 5, ¼. Sin embargo, las robabilidades se tornan muy bajas des ués delas rimeras veces que se resenta un evento (éxitos). Para ejem li car el cálculo dela distribución de Poisson, su onga que ocas veces se ierde equi aje en Northwest Airlines. En la mayoría de los vuelos no se ierden maletas; en algunos se ierde una; en unos cuantos se ierden dos; ocas veces se ierden tres, etc. Su onga que una muestra aleatoria de 1 000 vuelos arroja un total de 300 maletas erdid

as. De esta manera, la media aritmética del número de maletas

erdidas

or vuelo esde 0.3, que se calcula al dividir 300/1 000. Si el número de maletas erdidas orvuelo se rige or una distribución de Poisson con μ = 0.3, las diversas probabilidades se calculan con la fórmula (6.7): P (x ) = µ x e -µ x!

Por ejem lo, la robabilidad de que no se ierda ninguna maleta es la siguiente: P (0) = (0.3)0 (e -0.3 ) = 0.7408 0!

En otras alabras, en 74% de los vuelos no habrá maletas erdidas. La robabilidad de que se ierda exactamente una maleta es: P (1) = (0.3)1(e -0.3 ) = 0.2222 1!

Por consiguiente, se es era que se ierda exactamente una maleta en 22% de los vuelos. Las robabilidades de Poisson también se ueden consultar en el a éndice B.5.

Ejem lo

De acuerdo con el ejem lo anterior, el número de maletas se rige or una distribución de Poisson con una media de 0.3. Consulte el a éndice B.5 ara determinar la robabilidad de que ninguna maleta se ierda en un vuelo. ¿Cuál es la robabilidad de que se ierda exactamente una maleta en un vuelo? ¿En qué momento debe sos echar el su ervisor de que en un vuelo se están erdiendo demasiadas maletas?


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205

Solución

Parte del a éndice B.5 se re roduce en la tabla 6.6. Para determinar la robabilidad de que ninguna maleta se ierda, se localiza la columna con el encabezado ª0.3º y se desciende or dicha columna hasta el renglón señalado con ª0º. La robabilidad es de 0.7408. Ésta es la robabilidad de que no haya maletas erdidas. La robabilidadde que se ierda una maleta es 0.2222, y está en el siguiente renglón de la tabla, en la misma columna. La robabilidad de que se ierdan dos maletas es de 0.0333,renglón inferior; en el caso de tres maletas erdidas, la robabilidad es de 0.0033; y ara cuatro maletas erdidas es de 0.0003. Por consiguiente, un su ervisorno debería sor renderse de que se ierda una maleta, ero debería es erar ver con menos frecuencia más de una maleta erdida. TablA 6.6 Tabla de Poisson ara diversos valores de μ (del apéndice B.5)μ x 0 1 2 3 4 5 6 7 0.1 0.9048 0.0905 0.0045 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2 0.8187 0.1637 0.0164 0.0011 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.3 0.7408 0.2222 0.0333 0.0033 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.4 0.6703 0.2681 0.0536 0.0072 0.0007 0.0001 0.0000 0.0000 0.5 0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.0002 0.0000 0.0000 0.6 0.5488 0.3293 0.0988 0.0198 0.0030 0.0004 0.0000 0.0000 0.7 0.4966 0.3476 0.1217 0.0284 0.0050 0.0007

0.0001 0.0000 0.8 0.4493 0.3595 0.1438 0.0383 0.0077 0.0012 0.0002 0.0000 0.9 0.4066 0.3659 0.1647 0.0494 0.0111 0.0020 0.0003 0.0000

Estas probabilidades también se determinan con el sistema MINITAB. Los comandos que se requieren se incluyen al nal del capítulo.

Ya se mencionó que la distribución de probabilidad de Poisson constituye una forma restrictiva de la distribución binomial. Es decir, se puede calcular una probabilidad binomial con la de Poisson. La distribución de probabilidad de Poisson se caracteriza por el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo o continuo. Algunos ejemplos son: · El número de palabras mal escritas por página en un periódico. · El número de llamadas por hora que recibe Dyson Vacuum Cleaner Company. · El número de vehículos vendidos por día en Hyatt Buick

GMC, en Durham, Carolina del Norte. · El número de anotaciones en un encuentro de fútbol colegial.


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206

Capítulo 6

En cada uno de estos ejemplos existe algún tipo de continuo: palabras mal escritas por página, llamadas por hora, vehículos vendidos por día o anotaciones por partido.En el ejemplo anterior, el número de maletas perdidas en cada vuelo, el continuo es un vuelo. Se conocía la media del número de maletas perdidas por vuelo, pero no el número de pasajeros ni la probabilidad de que se perdiera una maleta. Se sospechó que el número de pasajeros era lo bastante grande y que era baja la probabilidad de que un pasajero perdiera su maleta. En el ejemplo siguiente se aplicó la distribución de Poisson para calcular una probabilidad binomial cuando n, el número de pruebas, es grande, y p, la robabilidad de un éxito, equeña.

Ejem lo

Coastal Insurance Com any asegura ro iedades frente a la laya a lo largo de Virginia, Carolina del Norte y del Sur, y las costas de Georgia; el cálculo a roximado es que, cualquier año, la robabilidad de que un huracán de categoría III (vientossostenidos de más de 110 millas or hora) o más intenso azote una región de la costa (la isla de St. Simons, Georgia, or ejem lo) es de 0.05. Si un dueño de casa obtiene un crédito hi otecario de 30 años or una ro iedad recién com rada en St. Simons, ¿cuáles son las osibilidades de que el ro ietario ex erimente or lo menos un huracán durante el eriodo del crédito? Para a licar la distribución de robabilidad de Po

isson, se comienza

or determinar la media o número es

erado de tormentas que se ajustan al criterio y que azotan St. Simons durante el eriodo de 30 años. Es decir, µ = n p = 30(.05) = 1.5 Aquí, n es el número de años, 30 en este caso. p es la robabd de que toque tierra un huracán que se ajuste al criterio. μ es la media o número esperado de tormentas en un periodo de 30 años. Para determinar la probabilidad de que por lo menos una tormenta azote la isla de St. Simons, Georgia, primero calcule la probabilidad de que ninguna tormenta azote la costa y reste dicho valor de1. P (x ³ 1) = 1 - P (x = 0) = 1 - µ 0e -1.5 = 1 - .2231 = .7769 0!

Solución

Así, se concluye que las osibilidades de que un huracán de ese ti o azote la ro iedad frente a la laya en St. Simons, durante el eriodo de 30 años, mientras el créd

ito se encuentra vigente, son de 0.7769. En otras

alabras, la

robabilidad de que St. Simons sufra el azote de un huracán categoría III o más alta durante el eriodo de 30 años es de un oco más de 75%. Se debe insistir en que el continuo, como antes se ex licó, aún existe. Es decir, se es era que haya 1.5 tormentas que azotan la costa cada eriodo de 30 años. El continuo es el eriodo de 30 años. En el caso anterior utilizó la distribución de Poisson como a roximación de la binomial. Note que cum lió con las condiciones binomiales anotadas en la ágina 190. · Sólo hay dos osibles resultados: un huracán azota el área de St. Simons o no lo hace.· Hay una cantidad ja de ruebas, en este caso, 30 años. · Existe u

na robabilidad constante de éxito; es decir, la robabilidad de que un huracán azote la zona es de 0.05 cada año. · Los años son inde endientes. Esto signi ca que si una tormenta im ortante azota en el quinto año, esto no in uye en ningún otro año.


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Para calcular la robabilidad de que or lo menos una tormenta azote el área en un eriodo de 30 años a lique la distribución binomial: P (x ³ 1) = 1 - P (x - 0) = 1 -0 30 30C0 (.05) (.95)

= 1 - (1)(1)(.2146) = .7854

La robabilidad de que or lo menos un huracán azote el área de St. Simons durante el eriodo de 30 años con la distribución binomial es de 0.7854. ¿Qué res uesta es correcta? ¿Por qué considerar el roblema desde ambos untos de vista? La res uesta obtenida con la distribución binomial es la más ªcorrecta técnicamenteº. La que se obtuvo con la distribución de Poisson uede tomarse como una a roximación de la binomial, cuandon, el número de ruebas, es grande, y p, la robabilidad de un éxito, equeña. Considere el roblema desde las dos distribuciones ara destacar la convergencia de las dos distribuciones discretas. En ocasiones, la a licación de la distribución de Poisson ermite una solución más rá ida y, como se ve, hay oca diferencia entre las res uestas. De hecho, conforme n se torna más grande y p más equeña, se reducen las diferencias entre ambas distribuciones.

La distribución de robabilidad de Poisson siem re tiene un sesgo ositivo, y la variable aleatoria no osee límite su erior es ecí co. La distribución de Poisson ara el

caso de las maletas

erdidas, en que μ = 0.3, está muy sesgada. Conforme μ se incrementa, la distribución de Poisson se vuelve más simétrica. Por ejemplo, la grá ca 6.4 muesa las distribuciones del número de servicios de transmisión, reemplazos de silenciadores y cambios de aceite al día en Avellino's Auto Shop. Éstas se ajustan a las distribuciones de Poisson con medias de 0.7, 2.0 y 6.0, respectivamente.Probabilidad de que ocurra un suceso

P( x ) .50 .40 .30 .20 .10 .00

μ = 0.7

μ = 2.0

μ = 6.00 1 2 3 4 Servicios de transmisión

0 1 2 3 45 6 7 Reemplazo de silenciadores

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Cambios de aceite

Número de veces que se presenta el evento

GRÁFICA 6.4 Distribuciones de probabilidad de Poisson con medias de 0.7, 2.0 y 6.0Sólo se necesita μ para construir la distribución de Poisson

En resumen, la distribución de Poisson es en realidad una familia discreta de distribuciones. Todo lo que se requiere para construir una distribución de probabilidad de Poisson es la media del número de defectos, errores, etc., que se designan con μ.

Autoevaluación 6.6

A partir de las tablas de actuaría, Washington Insurance Company determinó que la probabilidad de que un hombre de 25 años de edad muera en el transcurso del próximo añoes de 0.0002. Si Washington Insurance vende 4 000 pólizas a hombres de 25 años duran


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te este año, ¿cuál es la probabilidad de que éstos paguen exactamente una póliza?


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Capítulo 6

Ejercicios31. En una distribución de Poisson, μ = 0.4. a) ¿Cuál es la probabilidad de que x = 0? b) ¿Cuál es la probabilidad de que x > 0? 32. En una distribución de Poisson, μ = 4. a) ¿Cuál es la probabilidad de que x = 2? b) ¿Cuál es la probabilidad de que x £ 2? c) ¿Cuál es la probabilidad de que x > 2? 33. La señorita Bergen es ejecutiva del Coastal Bank and Trust. A partir de sus años de experiencia, calcula que la probabilidad de que un solicitante no pagueun préstamo inicial es de 0.025. El mes pasado realizó 40 préstamos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se paguen 3 préstamos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos no se paguen 3 préstamos? 34. Un promedio de 2 automóviles por minuto ingresan a la salida de Elkhart de la autopista de Indiana. La distribuciónde ingresos se aproxima a una distribución de Poisson. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún automóvil ingrese en un minuto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos ingrese un automóvil en un minuto? 35. Se calcula que 0.5% de quienes se comunican al departamento de servicio al cliente de Dell, Inc., escuchará un tono de línea ocupada. ¿Cuál es la probabilidad de que de las 1 200 personas que se comunicaron hoy, por lo menos 5 hayan escuchado un tono de línea ocupada? 36. Los autores y editores de libros trabajan mucho para reducir al mínimo lacantidad de errores en un libro. Sin embargo, algunos errores son inevitables. El señor J. A. Carmen, editor de libros de estadística, informa que el promedio de er

rores por capítulo es de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que se cometan menos de 2 errores en determinado capítulo?

Covarianza (opcional)Ya se describió la forma de calcular e interpretar la media, también llamada valor esperado, de una variable aleatoria. Recuerde que la media es el promedio de larga duración de una distribución de probabilidad discreta. Se demostró que, a la larga,John Ragsdale, representante de ventas de Pelican Ford, tenía una expectativa sólida de vender 2.10 automóviles cada sábado. A continuación calculó la varianza y la desviación estándar de la distribución de la cantidad de automóviles vendidos. La varianza y la desviación estándar mostraron la variación que Ragsdale podía esperar en la cantidad de automóviles vendidos. Suponga que Pelican Ford emplea a otro representante de ventas. A continuación se muestra la distribución del número de automóviles vendidos cada sáb

ado por Bill Valiton, el otro representante.Número de automóviles vendidos X 0 1 2 Probabilidad P (X ) .10 .50 .40

Como gerente de ventas, a usted le interesa el número total de vehículos vendidos un sábado. Es decir, usted se encuentra interesado en la distribución del total de vehículos vendidos, en lugar de las distribuciones individuales de Ragsdale y Valiton. Encontrará una combinación lineal de las dos variables mediante la siguiente ecuación: COMBINACIÓN LINEAL DE DOS VARIABLES ALEATORIAS En esta ecuación: X y Y son dariables aleatorias. a y b son constantes o ponderaciones. Z es la suma de los productos de dos variables aleatorias. Z = aX + bY


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Si busca el valor esperado de la suma de dos variables aleatorias y a = b = 1, la ecuación anterior se simpli ca: E(Z) = E(X) + E(Y). En otras palabras, la media de la distribución de la suma de dos variables aleatorias es la suma de los dos valores esperados o medias. En el ejemplo de Pelican Ford, la media del número de vehículos vendidos por Valiton es de 1.30: µ = E (Y ) = SY (P (Y )) = 0(.10) + 1(.50) + 2(.40) = 1.30 La media, o valor esperado, del total de vehículos vendidos por los dos representantes es: E (Z ) = E (X ) + E (Y ) = 2.10 + 1.30 = 3.40 Es una solución parcial del problema. Puede vislumbrar, por lógica, lo que sucederá con la media, o valor esperado, de la suma de dos variables aleatorias. No obstante, también está interesado en la variación de la suma de estas dos variables. Un factor que puede confundir es la posibilidad de que haya una interrelación entre ambas variables. En el ejemplo de Pelican Ford, resulta razonable que exista una interrelación entrelas ventas de Ragsdale y las de Valiton. Por ejemplo, en un sábado de verano muy caluroso, los posibles clientes no se quedarán parados al sol, así que, por lógica, esposible que bajen las ventas de ambos representantes. La covarianza es una medida de la relación entre dos variables aleatorias.

COVARIANZA

s xy = S(X - E (X ))(Y - E (Y ))P (X ,Y )

En este caso: sxy e el ímbolo de la covarianza. X y Y on lo re ultado de la variable aleatoria di creta . E(X) y E(Y) on lo valore e perado , o media , de la do variable aleatoria di creta . P(X,Y) e la probabilidad conjunta de do variable aleatoria . La tabla que aparece a continuación mue tra la relación entre la venta de Rag dale y la de Valiton. Ob erve que la probabilidad de que Rag dale venda 2 automóvile e de 0.30. E te valor e halla en la última lade la columna encabezada con un 2. La probabilidad de que Valiton venda exactamente 2 automóvile e de 0.40. E te valor e encuentra en la columna de la derecha, en la la encabezada con un 2. La probabilidad de que cada uno venda do automóvile e de 0.20, que e encuentra en la inter ección de la y columna. Como e ta venta no on independiente (recuerde que i hay un día caluro o, lo e para lo do repre entante ), no e e pera que ea aplicable la regla e pecial de la multiplic

ación. E

decir, P(X,Y) no e

igual a P(X)P(Y). Valiton Automóvile vendido (Y )

0 1 2 P (X )

Automóvile vendido por Rag dale (X ) 0 .05 .05 .00 .10 1 .02 .15 .03 .20 2 .03 .07 .20 .30 3 .00 .20 .10 .30 4 .00 .03 .07 .10 P (Y ).10 .50 .40 1.00

Para determinar la covarianza utilice la expre ión s xy = S(X - E (X ))(Y - E (Y ))P (X ,Y )


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Capítulo 6

En este caso, s xy = (0 - 2.1)(0 - 1.3).05 + (1 - 2.1)(0 - 1.3).02 + ¼ + (4 - 2.1)(2 - 1.3).0 0.95 La covarianza indica la forma en que la do variable e mueven junta . El valor de 0.95 indica que la do variable e encuentran directamente relacionada . E decir, cuando Rag dale vende má de la cantidad media de automóvile , Valiton tiende a vender má de la media también. El principal inconveniente de la covarianza con i te en que aporta poco acerca de la magnitud de la diferencia. La unidade on ªautomóvile cuadrado º. ¿Con tituye 0.9500 mucho o poco? No lo abe. Si la covarianza tuviera un valor negativo, e to indicaría que la do di tribucione e tarían inver a o directamente relacionada . Si tuviera un valor de 0, la di tribucione no e tendrían relación o erían independiente . Como ahora tiene información obrela relación entre la do variable , le e po ible pen ar re pecto de la varianzade la uma de é ta . La varianza de la uma de do variable aleatoria e determina mediante la expre ión

2 2 2 2 2 VARIANZA DE LA SUMA DE DOS VARIABLES ALEATORIAS s x + y = a s x + b s y + 2absxy

Lo valore de a y b, como ante , repre entan lo valore o ponderacione a ignado . Si a = b = 1, la ecuación e impli ca:2 2 s2 x + y = s x + s y + 2 s xy

En otra palabra , la ecuación anterior indica que la varianza de la uma de do variable aleatoria e igual a la uma de la varianza de amba variable aleatoria má do vece la covarianza. E to igni ca que, cuando de ea con iderar la uma de do variable , nece ita tomar en cuenta la variación en cada una de la variable má la interrelación entre ella . Para completar la cue tión obre la variabilidad del número total de automóvile vendido lo ábado , nece ita determinar la varianza de la di tribución de la venta de Valiton. De acuerdo con la fórmula (6.2),2 2 2 2 s2 y = S(Y - µ) P (Y ) = (0 - 1.3) (.10) + (1 - 1.3) (.50) + (2 - 1.3) (.40) = 0.41

Recuerde que en la página 187 calculó que la varianza de la distribución del número de vehículos vendidos por Ragsdale era de 1.29. Así, la varianza de la suma de dos variables aleatorias es:

2 2 s2 x + y = s x + s y + 2 s xy = 1.29 + 0.41 + 2(0.95) = 3.60Para re umir, la media del número de vehículo vendido cada ábado en Pelican Ford e de 3.40 vehículo , y la varianza, de 3.60. La de viación e tándar e de 1.8974 vehículo , que e determina al extraer la raíz cuadrada de 3.60. Una de la aplicacione má útile de la expre ione anteriore tiene lugar en el campo del análi i nanciero.Lo inver ioni ta e tán intere ado en obtener la máxima ta a de rendimiento, aunque también en reducir el rie go. En término e tadí tico , reducir el rie go implica reducir la varianza de la de viación e tándar. El iguiente ejemplo ayudará a explicar lo detalle .

Ejemplo

Ernie DuBrul acaba de heredar $200 000 y lo

dividirá en una cartera de do

inver

ione . De pué de inve tigar, Ernie decide invertir 25% en American Fund World Cap y el re to en Burger International Fund . En el ca o de American Fund World Cap, la ta a media de rendimiento e de 12%, y la de viación e tándar, de 3%. En el ca o de Burger International Fund , la ta a media de rendimiento e de 20%, con una de


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Di tribucione di creta de probabilidad

211

viación e tándar de 8%. De pué de alguno cálculo , el inver ioni ta puede determinar que la covarianza entre la do inver ione e 12. ¿Cuál e el valor e perado de la ta a de rendimiento de la cartera de inver ione ? ¿Qué debe concluir obre la relaciónentre amba inver ione ? ¿Cuál e la de viación e tándar de la cartera de inver ione ?

Solución

Ernie puede con iderar la do inver ione como variable aleatoria con media de 12% y 20%, re pectivamente. El valor de la primera inver ión e de 0.25 (a = 0.25), y de 0.75 (b = 0.75) en el ca o de la egunda. El valor e perado de la ta a de rendimiento de la cartera de inver ione e de 18%, la cual e determina dela iguiente manera: E (Z ) = E (X + Y ) = a(E (X )) + b(E (Y )) = .25(12) + .75(20) = 18.0 La covarianza de 12 ugiere una relación po itiva entre la do inver ione , pue e trata de un número po itivo. Sin embargo, el valor de 12 no dice mucho obre la fuerza de la relación. Determine la varianza de la cartera de inver ione de la iguiente manera:2 2 2 2 2 2 2 s2 8)2 + 2(.25)(.75)(12) = 41.0625 x + y = a s x + b s y + 2abs xy = (.25) (3) + (.75) (8

La raíz cuadrada de 41.0625 e 6.4%, que e la de viación e tándar de la uma ponderad

a de la

do

variable

. ¿Cómo interpreta Ernie e

ta información? Suponga que tenía la oportunidad de invertir lo $200 000 en accione en internet, donde la ta a de rendimiento era la mi ma, 18%, aunque la de viación e tándar de e ta di tribución era de8.0%. La de viación e tándar de 8.0% indica un mayor rie go en la inver ión de accione en internet. La mayoría de lo inver ioni ta de ea reducir lo rie go ; de ahí que el mejor camino ea hacer la inver ión que había planeado. En lo anteriore ejemplo había una relación entre la do di tribucione ; e decir, la covarianza no eraigual que 0. Con idere el iguiente ejemplo en el que no exi te relación entre la do di tribucione .

Ejemplo

Suponga que participa en un juego con 2 moneda comune . La moneda e lanzan y

cuenta el número de cara

. Por cada cara que

alga recibe $1.00 de la ca

a; por cada cruz debe pagar a la ca a la mi ma cantidad. La iguiente tabla re ume lo re ultado del juego.

Moneda 2 Cara $1 Cruz ±$1 Total Cara $1 .25 .25 .50 Moneda 1 Cruz ±$1 .25 .25 .50 Total .50 .50 1.00

La media de la do variable aleatoria on: E (X ) = $1(.50) + ($ - 1)(.50) =$0.00 E (Y ) = $1(.50) + ($ - 1)(.50) = $0.00 La varianza de la do variable aleatoria on:2 2 s2 x = (1 - 0) .50 + (-1 - 0) (.50) = 1 2 2 s2 y = (1 - 0) .50 + (-1 - 0) (.50) = 1


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Capítulo 6

La covarianza de la do variable aleatoria e : s xy = (1 - 0)(1 - 0).25 + (-1 - 0)(1 - 0).25 + (-1 - 0)(1 - 0) ).25 + (-1 - 0)(-1 - 0).25 s xy = (1).25 + (-1).25 + (-1).25 + (1).25 =echo de que la covarianza ea 0 indica que no hay relación en

Capitulo 6 de Proba

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