CAPITULO 5

En el sistema que se muestra en la figura 5.1-1, H (e jω ) es un filtro paso bajo ideal. Determine si para alguna selección de la entrada x [n ] y de la frecuencia de corte ωc, la salida puede ser el pulso

y [n ]= 1 ,0≤n≤10 ,0 , enel resto ,

Que se muestra en la figura 5.1-2

y [n ]

Figura 5.1-2

Considere un sistema lineal, invariante con el tiempo y estable con entrada x [n ] y salida y [n ]. La entrada y salida satisfacen la siguiente ecuación en diferencias

y [n−1 ]−103y [n ]+ y [n+1 ]=x [n ]

a) Dibuje los polos y los ceros en plano z

b) Obtenga la respuesta al impulso h [n ]

y ( z ) z−1−103y ( z )+ y ( z ) z=x ( z )

y ( z )[z−1−103

+z ]=x ( z )

H ( z )= y ( z )x (z )

= 1

z−1−103

+z

H ( z )= z

(z−13 ) ( z−3 )

H ( z )=

−18

z−13

+

98

z−3

H ( z )=

−18z−1

1−13z−1

+

98z−1

1−3 z−1

h [n ]=−18 (13 )

n−1

u [n−1 ]−98

(3 )n−1u [−n ]

Considere un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo en el que la entrada x [n ] y la salida y [n ] están relacionadas mediante la ecuación en diferencias de segundo orden

y [n−1 ]+ 13y [n−2 ]=x [n ]

De la siguiente lista, escoja dos posibles respuestas al impulso de este sistema:

a) (– 13 )n+1

u [n+1 ]

b) 3n+1u [n+1 ]

c) 3 (−3 )n+2u [−n−2 ]

d) 13 ( – 13 )

n

u [−n−2 ]

e) (– 13 )n+1

u [−n−2 ]

f) ( 13 )n+1

u [n+1 ]

g) (–3 )n+1u [n ]

h) n1 /3u [n ]

y ( z ) z−1+ 13y ( z ) z−2=x ( z )

y ( z )[z−1+ 13z−2]=x ( z )

H ( z )= y ( z )x (z )

= 1

z−1+ 13z−2

H ( z )= 1

1+ 13z−1

13>|z|

h [n ]=−(−13 )n+1

u [−n−2 ]

h [n ]=−(−13 )( 13 )n

u [−n−2 ]

h [n ]=13 (−13 )

n

u [−n−2 ]

Cuando la entrada de un sistema lineal e invariante con el tiempo es

x [n ]=( 12 )n

u [n ]+ (2 )nu [−n−1 ]

La salida es

y [n ]=6( 12 )n

u [n ]−6 ( 34 )n

u [n ]

a) Obtenga la función de transferencia H ( z ) del sistema. Dibuje los polos y los ceros de H ( z ) e indique la región de convergencia

b) Calcule la respuesta al impulso del sistema h [n ] para todos los valores de n

c) Escriba la ecuación en diferencias que caracteriza al sistema

d) ¿Es el sistema estable? ¿Es causal?

x [n ]=( 12 )n

u [n ]+ (2 )nu [−n−1 ]

x (z )= 1

1−12z−1

− zz−2

12<|z|<2

y [n ]=6( 12 )n

u [n ]−6 ( 34 )n

u [n ]

y ( z )= 6

1−12z−1

− 6

1−34z−1

34<|z|

H ( z )=y ( z )x (z )

=

−32z−1

(1−12 z−1)(1−34 z−1)x(1−12 z−1) (1−2 z−1 )

−32z−1

H ( z )= 1−2 z−1

1−34z−1

34<|z|

H ( z )= 1−2 z−1

1−34z−1

H ( z )= 1

1−34z−1

− 2 z−1

1−34z−1

h [n ]=( 34 )n

u [n ]−2( 34 )n−1

u [n−1 ]

H ( z )= y ( z )x (z )

= 1−2 z−1

1−34z−1

y ( z )−34y ( z ) z−1=x (z )−2x ( z ) z−1

y [n ]−34y [n−1 ]=x [n ]−2 x [n−1 ]

Como z=34 , esto nos indica que se encuentra dentro del circulo de radio uno, entonces se dice que el sistema si es estable. La h [n ] encontrada en la parte b nos indica que el sistema es causal.

Considere un sistema descrito por una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes con condiciones de reposo inicial. La respuesta al escalón de este sistema es

y [n ]=( 13 )n

u [n ]+( 14 )n

u [n ]+u [n ]

a) Determine la ecuación en diferencias

b) Determine la respuesta al impulso del sistema

c) Determine si el sistema es estable o no

y ( z )= 1

1−13z−1

+ 1

1−14z−1

+ 11−z−1

x [n ]=u[n]

x (z )= 11−z−1

H ( z )= y ( z )x (z )

=3−19

6z−1+ 2

3z−2

1− 712

z−1+ 112

z−2

y ( z )− 712

y (z) z−1+ 112

y (z )z−2=3 x ( z )−196x (z) z−1+ 2

3x (z) z−2

y [n ]− 712

y [n−1 ]+ 112

y [n−2 ]=3 x [n ]−196x [n−1 ]+2

3x [n−2 ]

H ( z )= 1

1−13z−1

− z−1

1−13z−1

+ 1

1−14z−1

− z−1

1−14z−1

+1

h [n ]=( 13 )n

u [n ]−( 13 )n−1

u [n−1 ]+( 14 )n

u [n ]−( 14 )n−1

u [n−1 ]+δ [n]

h [n ]=[( 13 )n

+( 14 )n]u [n ]−[( 13 )

n−1

+( 14 )n−1]u [n−1 ]+δ [n]

La ROC de H ( z ) esta dentro del circulo de radio uno, entonces el sistema es estable.

De un sistema lineal e invariante con el tiempo se conoce la siguiente información:

a) El sistema es causal

b) Cuando la entrada es

x [n ]=−13 ( 12 )

n

u [n ]− 43

(2 )nu [−n−1 ]

La transformada Z de la salida es

y ( z )= 1−z−2

(1−12 z−1)(1−2 z−1)

c) Calcule la transformada Z de x [n ]

d) ¿Cuáles son las posibles opciones para la región de convergencia de y ( z )?

e) ¿Cuáles son las posibles opciones para la respuesta al impulso del sistema?

x (z )=

−13

1−12z−1

+

43

1−2 z−1

x (z )= 1

(1−12 z−1) (1−2 z−1 )

y ( z )= 1−z−2

(1−12 z−1)(1−2 z−1)

La posible condición es 12<|z|<2 , ya que tanto la entrada como la salida tienen los mismos polos.

H ( z )= y ( z )x (z )

=1−z−2

h [n ]=δ [n ]−δ [n−2 ]

Cuando la entrada a un sistema lineal e invariante con el tiempo es

x [n ]=5u [n ]

La salida es

y [n ]=[2( 12 )n

+3 (−34 )n]u [n ]

a) Obtenga la función de transferencia H ( z ) del sistema. Dibuje sus polos y ceros e indique la región de convergencia

b) Obtenga la respuesta al impulso del sistema para todos los valores de n

c) Escriba la ecuación en diferencias que caracteriza al sistema

x (z )= 51−z−1

y ( z )= 2

1−12z−1

+ 3

1+ 34z−1

H ( z )=y (z)x (z)

= 1−z−1

(1−12 z−1)(1+ 34 z−1)|z|> 3

4

H ( z )= 1−z−1

(1−12 z−1)(1+ 34 z−1)

H ( z )=

−25

1−12z−1

+

75

1+ 34z−1

h [n ]=−25 (12 )

n

u [n ]+ 75 (−34 )

n

u[n]

H ( z )= y ( z )x (z )

= 1−z−1

1+ 14z−1−3

8z−2

y ( z )+ 14y (z )z−1−3

8y (z )z−2=x ( z )−x (z) z−1

y [n ]+ 14y [n−1 ]−3

8y [n−2 ]=x [n ]−x [n−1 ]

Un sistema causal lineal e invariante con el tiempo esta descrito por la siguiente ecuación en diferencias

y [n ]=32y [n−1 ]+ y [n−2 ]+x [n−1 ]

a) Obtenga la función de transferencia H ( z ) del sistema. Dibuje sus polos y ceros e indique la región de convergencia

b) Obtenga la respuesta al impulso del sistema

c) Debe haber obtenido que el sistema es inestable. Obtenga la respuesta al impulso de un sistema estable (no causal) que cumpla la ecuación en diferencias

y ( z )=32y (z ) z−1+ y (z ) z−2+x ( z ) z−1

y ( z )−32y (z ) z−1− y ( z ) z−2=x ( z ) z−1

H ( z )= y ( z )x (z )

= z−1

1−32z−1−z−2

H ( z )= z−1

(1−2 z−1 )(1+12 z−1)|z|>2

H ( z )= z−1

(1−2 z−1 )(1+12 z−1)H ( z )= A

1−2 z−1+B

1+ 12z−1

A= z−1

1+ 12z−1

|z−1=12

A=25

B= z−1

1−2 z−1|z−1=−2

B=−25

H ( z )=

25

1−2 z−1−

25

1+12z−1

h [n ]=25 [ (2 )n−(−12 )

n]u [n]

h [n ]=−25

(2 )nu [−n−1 ]−25 (−12 )

n

u[n]

Considere un sistema lineal e invariante en el tiempo con entrada x [n] y salida y [n] que cumplen

y [n−1 ]−52y [n ]+ y [n+1 ]=x [n ]

El sistema puede ser o no ser estable o causal.

Considerando el diagrama polo-cero asociado con la anterior ecuación en diferencias, determine tres posibles elecciones de la respuesta al impulso del sistema. Demuestre que cada una de las elecciones satisface la ecuación en diferencias. Indique cuál de ellas corresponde a un sistema estable y cual a un sistema causal.

y ( z ) z−1−52y ( z )+ y (z ) z=x (z )

y ( z )[z−1−52+z ]=x (z )

H ( z )= y ( z )x (z )

= z−1

1−52z−1+ z−2

H ( z )= z−1

(1−2 z−1 )(1−12 z−1)

H ( z )=

23

1−2 z−1−

23

1−12z−1

Región de convergencia:

|z|< 12

h [n ]=−23

(2 )nu [−n−1 ]+ 23 (12 )

n

u [−n−1 ]

12<|z|<2

h [n ]=−23

(2 )nu [−n−1 ]+ 23 (12 )

n

u [n ]

|z|>2

h [n ]=23

(2 )nu [n ]−23 (12 )

n

u [n ]

Obtenga la realización en paralelo para el siguiente sistema

H ( z )=(1+32 z−1+3425 z−2−1825 z−3)(1−z−1+3

4z−2−1

4z−3−1

8z−4) (8 )

Z−4−2Z−3+6Z−2−8+8 ;±1 ,±2 ,±4 ,±8

Solución:

1 -2 6 -8 8

6 2 0 12 -8

2

1 0 6 -4 0

(Z−1−2 ) Z−1 (Z−1−0 ,765 ) (Z−1−5 .24 )

(Z−1−2 ) (Z−3+6 Z−2−4 Z−1)(Z−1−2 ) (Z−2+6 Z−1−4 )

Z−1=−6±√36−162

Z−1=−6±4 .472

Z−1=−0.765Z−1=−5 .24

−1825

−3425321

0,36 0,5 -1-0,5

−1825 -1 2 0

H (Z )=(Z−1+6 .5 ) (Z−1−0 .69+1.6 i ) (Z−1+0.69−1.6 i )

Z−1 (Z−1−2 ) (Z−1+0 ,765 ) (Z−1+5.24 )

−1825

Z−3−3425

Z−2+32Z−1=(Z−1+0,5 )(−1825 Z−2−Z−1+2)

¿ (Z−1+0,5 ) (Z−1−0 ,69+1 .61i ) (Z−1+0 .69−1 ,61 i )

Z−1=1±√324625 −5 .76

−1 .44

Z−1=1±√5 .24 i−1 .44

Z−1=−0 ,69−1.6 iZ−1=−0 .69+1 .6 i

CAPITULO 6

Determine la respuesta al impulso de cada uno de los sistemas que se muestran en la figura.

Sea x [n ] e y [n ] secuencias de N puntos (N>3 ) relacionadas por la siguiente ecuación en diferencias:

y [n ]−14y [n−2 ]=x [n−2 ]−1

4x [n ]

Dibuje un grafo de flujo de señales en forma directa II del sistema LTI causal correspondiente a esta ecuación en diferencias.

y ( z )−14y ( z ) z−2=x (z ) z−2−1

4x ( z )

y ( z ) [1−14 z−2]=x (z )[ z−2− 14 ]

H ( z )= y ( z )x (z )

=z−2−1

4

1−14z−2

El grafo de flujo de señales de la figura, representa un sistema LTI. Determine la ecuación en diferencias que expresa la relación entre la entrada x [n ] y la salida y [n ] de este sistema. Como es habitual, todos los arcos del grafo de flujo de señales tienen ganancia unidad a menos que se indique específicamente lo contrario.

Caminos directos

P1=z−2

P2=3 z−1

Lazos

L1=2 z−2

Determinante

∆=1−2 z−2

Función de transferencia

H ( z )= y ( z )x (z )

= z−2+3 z−1

1−2 z−2

y ( z )−2 y ( z ) z−2=x ( z ) z−2+3x ( z ) z−1

y [n ]−2 y [n−2 ]=x [n−2 ]+3 x [n−1 ]

La siguiente figura muestra el grafo de señales de un sistema LTI en tiempo discreto causal. Los arcos que no tienen explícitamente indicado un valor de ganancia tienen ganancia unidad.

a) Determine h [1 ] , la respuesta al impulso en n=1

b) Determine la ecuación en diferencias que relaciona x [n ] e y [n ]

a) Caminos directos

P1=z−1

P2=1

P3=2 z−1

Lazos

L1=−z−1

L2=8 z−2

Determinante

∆=1+z−1−8 z−2

Cofactores

∆1=1−8 z−2

Función de Transferencia

H ( z )= y ( z )x (z )

= z−2−8 z−3+1+3 z−1

1+z−1−8 z−2

y [n ]+ y [n−1 ]−8 y [n−2 ]=x [n−2 ]−8x [n−3 ]+x [n ]+3x [n−1 ]

h [n ]+h [n−1 ]−8h [n−2 ]=δ [n−2 ]−8 δ [n−3 ]+δ [n ]+3δ [n−1 ]

Cuando n=0

h [0 ]=1

Cuando n=1

h [1 ]=3−h [0 ]

h [1 ]=2

b)y [n ]+ y [n−1 ]−8 y [n−2 ]=x [n−2 ]−8x [n−3 ]+x [n ]+3x [n−1 ]

Considere el grafo de flujo de señales que se muestra en la figura.

a) Utilizando las variables de nodo indicadas, escriba el conjunto de ecuaciones en diferencias que representa esta red.

b) Dibuje el grafo de flujo de un sistema equivalente que sea la cascada de dos sistemas de primer orden.

c) ¿Es estable el sistema?

w [n ]=12y [n ]+x [n ]

v [n ]=12y [n ]+2x [n ]+w [n−1 ]

y [n ]=v [n−1 ]+x [n ]

b) Usando la transformada Z

H ( z )= y ( z )x (z )

= 1+2 z−1+z−2

1−12z−1−1

2z−2

H ( z )=(1+ z−1 ) (1+z−1 )

(1+ 12 z−1) (1−z−1)

c) Los polos del sistema son z=−12 y z=1.

El sistema no es estable porque el segundo polo no esta dentro del circulo de radio 1.

Considere un sistema LTI causal S con respuesta al impulso h [n ] y función de transferencia

H ( z )=(1−2 z−1 ) (1−4 z−1)

z(1−12 z−1)a) Dibuje el grafo del flujo en forma directa II del Sistema S

b) Dibuje la forma traspuesta del grafo de flujo del apartado a

H ( z )= z−1−6 z−2+8 z−3

1−12z−1

b)

Dado el sistema lineal e invariante con el tiempo cuyo grafo de flujo se muestra en la figura, determine la ecuación en diferencias que relaciona la entrada x [n ] y la salida y [n ]

w1 [n ]=−x [n ]+w2 [n ]+w3 [n ]

w2 [n ]=x [n−1 ]+2w3 [n ]

w3 [n ]=w2 [n−1 ]+ y [n−1 ]

y [n ]=2w1 [n ]

H ( z )= y ( z )x (z )

=−2+6 z−1+2 z−2

1−8 z−1

y ( z )−8 y (z ) z−1=−2 x ( z )+6 x (z ) z−1+2x ( z ) z−2

y [n ]−8 y [n−1 ]=−2 x [n ]+6 x [n−1 ]+2 x [n−2 ]

Repita el ejercicio 4.40 para la siguiente realización de espacio de estados

u (n+1 )=¿ [01 ¿ ] ¿¿

¿¿

¿¿

Analice la estabilidad del sistema

det (F−λI )=det ¿¿¿

¿

u1=¿ [1/8¿ ]¿¿

¿¿

¿¿

F̂=PFP−1=u−1Fu=¿ [10¿ ]¿¿

¿¿

q̂=pq=u−1q=¿ [1¿ ]¿¿

¿¿

¿¿

Obtenga la realización en cascada del sistema y (cn) = x(n) – x(n - 1) + 0.9y (n - 1) – 0.8y (n-2) + 0.79y (n -3)

Solución:

y [z ]=x [ z ]−z−1x ( z )+0 .9 z−1 y ( z )−0 .8 z−2 y ( z )+0 .79 z−3 y ( z )

-0.79 -0.8 -0.9 1

1 +0,79 -0.01 -0.91

1

-0,79 -0.01 -0.91 0

(−0 ,79 z−2−0 .01 z−1−0.91 )

z−1=+0 .01±√1∗10−4−2.87−1.58

z−1=0 .01±√2.86 i−1.58

1 . 69i

z−1=−6 .32∗10−3−1 .06 iz−1=−6 .32∗10−3+1.06 i

H ( z )= 1−z−1

( z−1+6 .32 x10−3+1 .06 i ) ( z−1+6 .32 x 10−3−1 .06 i )= Az−1+6 .32 x 10−3+1 . 06 i

+ Bz−1+6 .32 x10−3−1 .06 i

A=1−z−1

z−1+6 .32x10−3−1.06 i|z−1=−6 .32∗10−3−1 .03i

A=1+6 .32 x10−3+1. 06 i

−6 .32 x10−3−1 .06 i+6 .32 x10−3−1 .06i=1+1.06 i

−2 .12 i∗i1

=i−1 .062 .12

=0 ,47 i−0 .5