Capítulo 4 - Servidor de la Biblioteca de Ingeniería...

Conclusiones

Estructuras de Control Robusto en NCS 46

Capítulo 4

Aplicación al Modelo de la Diabetes

Introducción a la Diabetes Mellitus Tipo 1

Aplicación al Modelo de la Diabetes 47

4. APLICACIÓN AL MODELO DE LA DIABETES

Los estudios sobre los sistemas de control hormonales están implicados en la

regulación del metabolismo de la glucosa, lo cual permite obtener enormes ventajas

potenciales a fisiólogos y científicos. El funcionamiento eficiente de estos procesos

complejos, con su control de niveles múltiples, puede proporcionar un paradigma útil

para el científico. Igualmente, el malfuncionamiento de estos sistemas de control, da

lugar a los estados patológicos que son la preocupación del médico.

La insulina es el factor más importante para el proceso de la digestión, en el

cual se descomponen los alimentos para crear glucosa, la mayor fuente de combustible

para el cuerpo. Esta glucosa pasa a la sangre, donde la insulina favorece su entrada a las

células. Cuando la glucosa eleva su concentración, se estimula la secreción de la

insulina desde el páncreas. Esto conlleva un aumento en el nivel de insulina en sangre,

induciendo el ingreso de la glucosa al interior de las células de todos los tejidos. La

salida creciente de la insulina en la sangre y del líquido intersticial conduce a una

disminución de la concentración de la glucosa, que produce posteriormente una

reducción en la secreción de la insulina.

Este defecto de la insulina provoca que la glucosa se concentre en la sangre, de

forma que el cuerpo se ve privado de su principal fuente de energía. Además, los altos

niveles de glucosa en la sangre pueden dañar los vasos sanguíneos, los riñones y los

nervios. No existe una cura para la diabetes, por lo que el método de atención para

personas afectadas por este trastorno metabólico, es solo controlarlo, es decir, mantener

los niveles de glucosa en la sangre lo más cercanos posibles a los normales, vía

suministro externo de insulina. Un buen control puede ayudar a la prevención de

complicaciones de la diabetes relacionadas al corazón y el sistema circulatorio, los ojos,

riñones y nervios.

Los modelos matemáticos biológicos brindan características del comportamiento

de algunos procesos biológicos estudiados, en este caso de la regulación de glucosa en

el organismo humano (Modelo de Bergman), en las diferentes etapas del consumo diario

para el mantenimiento del equilibrio de concentraciones normales de glucosa e insulina.

4.1. Introducción a la Diabetes Mellitus Tipo 1

La diabetes es una alteración del metabolismo caracterizada por el aumento de

los niveles de glucosa en sangre (hiperglucemia), causada por un defecto (completo o

no) de la secreción o acción, de una hormona: la insulina. La insulina se produce en

unas formaciones especiales que se encuentran en el páncreas: los islotes de

Langerhans.

Los niveles de glucosa en la sangre se mantienen en las personas no diabéticas

dentro de unos límites normales muy estrechos, sobrepasando muy rara vez los 130

mg/dl, incluso cuando se han tomado alimentos muy ricos en azúcares ó grasas.

Esta estabilidad de la glucemia se debe a la existencia de un mecanismo

regulador extraordinariamente fino y sensible. Cuando una persona no diabética ingiere

alimentos, los azúcares que éstos contienen se absorben desde el intestino y pasan a la



sangre, tendiendo a elevar los niveles de glucosa en esta. Tal tendencia a la elevación es

inmediatamente detectada por las células productoras de insulina que responden con una

secreción rápida de esta hormona. La insulina, a su vez, actúa como una llave que abre

las puertas de las células en los músculos, el tejido graso y el hígado, permitiendo la

entrada de glucosa y disminuyendo por tanto su nivel en la sangre. Todo este

mecanismo es muy rápido, no dando tiempo a que la glucemia se eleve. Una vez que la

glucosa ha entrado en los tejidos, es metabolizada y produce energía que es utilizada

para mantener las funciones de los órganos y su estructura.

En una persona con diabetes, la producción de la insulina está tan disminuida

que se altera todo el mecanismo regulador: las elevaciones de la glucosa sanguínea no

son seguidas por un aumento suficiente de la insulina, la glucosa no puede penetrar en

las células y su cantidad continúa elevándose. Como consecuencia, las células, faltas de

combustible, no producen energía suficiente y alteran sus funciones. Esta falta de

energía es la razón de que un diabético mal controlado pueda sentirse débil, sin fuerza

(astenia). Por el mismo motivo, las células se encuentran hambrientas, siendo esta la

razón de que una persona con diabetes no controlada pueda sentir hambre (polifagia).

Puesto que no puede recibirse energía de los azucares, el organismo intenta

obtenerla a partir de las grasas, produciéndose una movilización de las que se

encuentran almacenadas en el tejido adiposo. Esta es una de la razones del posible

adelgazamiento del diabético no controlado.

Debido a los altos niveles de la glucosa en la sangre, el riñón, que actúa como un

filtro para esta, recibe una notable sobrecarga de glucosa. Como la capacidad del riñón

para concentrarla es limitada, se ve obligado a diluirla utilizando agua del organismo.

Esta situación conduce a una cierta deshidratación que se percibe por el diabético como

un aumento de la sensación de sed (polidipsia). Por otra parte, el aumento de la

eliminación de agua hace que las personas con diabetes no controlada puedan orinar

más de lo normal (poliuria).

De este modo, se observa como el aumento de la glucosa en la sangre, debido a

la falta de insulina, conduce a los que se consideran como síntomas cardinales de la

diabetes: poliuria, polidipsia, polifagia, adelgazamiento y astenia.

4.1.1. Tipos de diabetes

Se pueden distinguir dos tipos de diabetes:

· Diabetes Mellitus Tipo 1: Resultante de la destrucción de tipo autoinmunitaria de las células beta del páncreas.

· Diabetes Mellitus Tipo 2: Acompaña a individuos que presentan resistencia a la insulina y usualmente tienen una relativa deficiencia

insulínica.

De forma muy esquemática se puede resumir las "diversas diabetes" en función

de cuántos de los siguientes factores coincidan y en función de en qué medida lo hagan.



Figura 4.1.1-1: Tipos de Diabetes Mellitus

Sabiendo que a la glucosa que circula por la sangre se le llama glucemia, en la

Fig. 4.1.1-2, se puede observar un esquema con los distintos valores de glucosa en

sangre:

Figura 4.1.1-2: Valores típicos de glucosa en sangre

Todas las células del cuerpo necesitan energía para estar en activo, mantener las

funciones vitales (como el latido cardíaco, movimientos digestivos, respiración...) y

además mantener la temperatura corporal y los movimientos musculares. La glucosa es

la principal fuente de energía para el cuerpo humano, como la gasolina lo es para

mantener el motor del automóvil en marcha.



4.1.2. Conceptos fundamentales

Entre los conceptos más importantes de la Diabetes Mellitus, se pueden destacar

los siguientes: hipoglucemia, hiperglucemia e insulina.

Estos conceptos son descritos a continuación.

4.1.2.1. Hipoglucemia

Cuando los niveles de glucosa en sangre están por debajo de la normalidad se

produce una Hipoglucemia:

Hipo = bajo glucemia = glucosa en sangre

En general, se empiezan a sentir las manifestaciones físicas de falta de glucosa

cuando el nivel de glucemia está en 55 mg/dl o menos, cifra por debajo de la cual

empiezan los síntomas o "señales de alerta", aunque la sensibilidad y/o percepción de

los mismos es diferente para cada persona. Las "señales de alerta" más frecuentes son:

§ Sudoración (sin calor)

§ Sensación de hambre de aparición brusca

§ Debilidad

§ Palidez

§ Sensación de mareo

§ Temblores y nerviosismo

§ Palpitaciones

§ Alteraciones del comportamiento

§ Irritabilidad

Si no se corrige rápidamente esta situación pueden aparecer: visión borrosa,

dificultad para hablar, confusión mental y pérdida del conocimiento (coma

hipoglucémico).

Los síntomas de hipoglucemia no aparecen todos por igual, cada persona debe

aprender a identificar sus propias señales de alerta.

Cuando la glucosa escasea, el cerebro y las células del tejido nervioso no pueden

ser nutridas normalmente, entonces el organismo activa una serie de mecanismos para

protegerse de la situación de peligro y para advertir al individuo que debe actuar con

rapidez. Se produce la elevación de una serie de hormonas como la adrenalina, el

glucagón, el cortisol... con la finalidad de movilizar las reservas de glucosa que existen

fundamentalmente en el hígado.

Por ello, el glucagón es la hormona producida en las células alfa, con efecto

opuesto al de la insulina, es decir, actúa sobre el glucógeno del hígado liberando la

glucosa al torrente sanguíneo.



4.1.2.2. Hiperglucemia

Cuando los valores de glucosa en sangre se encuentran elevados se produce una

Hiperglucemia.

Hiper = gran glucemia = glucosa en sangre

La hiperglucemia es indolora, de implantación progresiva y muchas veces pasa

inadvertida en los primeros estadíos.

Pueden darse dos tipos de situaciones:

I. Hiperglucemia brusca o aguda.

II. Hiperglucemia sostenida o crónica.

En la hiperglucemia brusca o aguda, en pocos días la glucemia llega a valores de

250 mg/dl, o más. Después del ayuno y el descanso nocturno, algunas veces a mucho

más. Síntomas o señales de alerta:

· Ganas de orinar con frecuencia y hacer micciones muy largas (poliuria)

· Mucha sed (polidipsia)

· Hambre (polifagia)

· Fatiga

· Aliento con olor a acetona (halitosis cetósica)

· Olor de acetona en la orina

4.1.2.3. Insulina

La insulina es una hormona del aparato digestivo que tiene la misión de facilitar

que la glucosa que circula en la sangre penetre en las células y sea aprovechada como

energía.

La insulina se produce en el páncreas, concretamente en las células beta-

pancreáticas. El páncreas es una glándula situada detrás del estómago, al mismo nivel

que el hígado, pero en la parte izquierda de la cintura. Cuando se empieza a comer

alimentos que contienen hidratos de carbono, se activan unos sensores y el páncreas

empieza a producir insulina que libera directamente a la sangre.

Para que la insulina sea efectiva deben cumplirse dos condiciones:

a) que el páncreas segregue insulina en cantidad suficiente.

b) que las células la identifiquen y permitan su acción.

4.1.3. Datos relevantes

Finalizando con esta breve introducción, cabe destacar dos datos bastante

relevantes:

· Los estudios científicos actuales, permiten predecir el escenario de la diabetes en el próximo siglo:

Modelo de la Diabetes Mellitus Tipo 1


Figura 4.1.3-1: Estimación de la evolución de la Diabetes en España

· La Organización Mundial de la Salud, publicó un informe titulado: "Global Burden of Diabetes 1995-2025: Prevalence, Numerical

Estimates and Projections” (Impacto global de la Diabetes 1995-2025:

Prevalencia, Estimaciones cuantitativas y Previsiones futuras). En este

informe y, basándose en los datos epidemiológicos disponibles en la

actualidad, se estiman una serie de predicciones. De ellas, la notación de

mayor relevancia es: Actualmente hay aproximadamente 143 millones de

personas con Diabetes en todo el mundo. Está previsto que esta cifra se

eleve a 300 millones para el año 2025 debido, sobre todo, al aumento,

envejecimiento y urbanización de la población.

4.2. Modelo de la Diabetes Mellitus Tipo 1

El modelo que se va a utilizar para definir el sistema gluco-regulatorio es el

llamado Modelo de Bergman. En primer lugar se presentará el modelo formado por sus

ecuaciones diferenciales no lineales. Posteriormente, se simplificará dicho modelo

mediante la linealización del mismo entorno a un punto de equilibrio.

4.2.1. Definición del modelo no lineal

El Modelo de Bergman, que se va a emplear en este trabajo, viene descrito por

las siguientes ecuaciones diferenciales no lineales, descritas en Bergman et al. (1981):

Ec. (4.2.1-1)

Ec. (4.2.1-2)

Ec. (4.2.1-3)



donde:

- G(t) es la concentración de glucosa en plasma (mmol/L).

- I(t) es la concentración en plasma de la insulina (mU/L).

- X(t) es proporcional a la concentración de insulina en plasma en el

compartimiento remoto (min-1

).

- D(t) es la perturbación de la glucosa ocasionado por la comida

(mmol/Lmin-1

).

- U(t) es el flujo de infusión de insulina exógena (mU/min).

Un paciente común se puede representar de forma aceptable proporcionando los

siguientes valores a los parámetros del modelo:

Ø P1=0.028 min-1

Ø P2=0.025 min-1

Ø P3=0.000013 L/mU min2

Ø VI=12 L, y n=5/54 min-1

Ø AG=0.8 Adimensional

Ø Tmax,G=40 min

Ø Tmax,I=55 min

Ø VG=13.79 L

Ø Ib=15 mU/L

Ø Gb = 4.5 mmol/L

Para construir este modelo se han empleado las herramientas Matlab y Simulink,

donde se han implementado las ecuaciones del modelo descrito por medio de funciones

y bloques, descritas en Barragán et al. (2010).

El modelo creado en Simulink, llamado Modelo de Bergman No Lineal, está

construido en el siguiente bloque:

Figura 4.2.1-1: Bloque de Simulink que contiene el

Modelo de Bergman no lineal

A su vez, el bloque de la Fig. 4.2.1-1 estará formado por los siguientes

elementos:



Figura 4.2.1-2: Modelo de Bergman no lineal detallado

En el interior del bloque que aquí aparece, se encuentran implementadas las

ecuaciones diferenciales no lineales del Modelo de Bergman vistas al comienzo de este

apartado: Ec. (4.2.1-1), Ec. (4.2.1-2) y Ec. (4.2.1-3).

4.2.2. Linealización del modelo

A partir de las ecuaciones diferenciales que describen al sistema, para el

desarrollo de los controladores se representa el mismo en función de las ecuaciones de

estado:

Procediendo con la linealización de Ec. (4.2.1-1), Ec. (4.2.1-2) y Ec. (4.2.1-3), se

obtienen las siguientes ecuaciones en derivadas parciales:

con



con

con

Agrupando los términos obtenidos mediante las derivadas parciales, el modelo

linealizado en torno al punto de equilibrio (X0, G0) queda definido mediante:

Se pretende realizar un control del mismo en torno a un punto de equilibrio dado

por X0=G0=0, por lo que para obtener los controladores, se debe linealizar el sistema en

torno a dicho punto:



De esta forma, el modelo de la diabetes en el punto de equilibrio dado

anteriormente queda como sigue:

donde:

Siendo Ub = 16.66667 mU/min la insulina necesaria para mantener el equilibrio

en torno a dicho punto de funcionamiento.

El modelo creado en Simulink, llamado Modelo de Bergman Lineal, está

construido en el siguiente bloque:

Figura 4.2.2-1: Bloque de Simulink que contiene el

Modelo de Bergman lineal

Dicho bloque, a su vez, está formado por los siguientes elementos:

Figura 4.2.2-2: Modelo de Bergman lineal detallado

El interior del bloque State-Space, hace referencia a las ecuaciones del Modelo

de Bergman linealizado, las cuales se encuentran definidas en el fichero de Matlab

llamado Modelo de Bergman Lineal.

Aplicación de la estrategia de control robusto para NCS


4.2.3. Comparación Modelo Lineal vs Modelo No Lineal

Mediante la Fig. 4.2.3-1, basada en el fichero de Simulink Comparacion_

Modelo_Lineal_Vs_No_Lineal.mdl, se pretende demostrar como la linealización del

Modelo de Bergman dado por la Fig. 4.2.2-1, y calculado en el punto de equilibrio

descrito previamente, representa de una forma muy fiable al modelo basado en

ecuaciones diferenciales no lineales dado por la Fig. 4.2.1-1 para entradas en escalón

(inyecciones de insulina) en torno a dicho punto de equilibrio.

Figura 4.2.3-1: Comparación Modelo Lineal vs Modelo No Lineal

Es por ello, que por simplicidad de cálculo se trabajará más fácilmente con el

Modelo de Bergman linealizado, pudiéndose diseñar controladores robustos lineales sin

una notable pérdida de eficacia cuando trabajan en torno al punto de equilibrio del

modelo linealizado.

4.3. Aplicación de la estrategia de control robusto para NCS

Una vez identificado el modelo de gluco-regulatorio, se pueden aplicar las

distintas estructuras de control, presentadas en el capítulo anterior, que permiten regular

la cantidad de glucosa en sangre. Para ello se hará uso de un sistema basado en redes de

comunicación como el representado en la Fig. 4.3-1.

Figura 4.3-1: Sistema de control robusto para monitorización y control

de la glucosa en un paciente con Diabetes Mellitus Tipo 1

haciendo uso de redes de comunicación



En el mismo se dispondrá de un paciente, que será nuestra planta dada por las

ecuaciones del Modelo de Bergman, un sensor que dará una lectura de la glucosa en

sangre, una bomba de insulina (actuador), encargada de inyectar insulina vía

intravenosa para regular la glucosa en sangre, y una red de comunicación a través de la

cual se conectará un controlador que proporcionará la cantidad de insulina que es

necesaria inyectar en el paciente gracias a la realimentación obtenida. Por simplicidad,

la dinámica del actuador no será tenida en cuenta.

Debido a la aplicación de monitorización y control de la glucosa que se pretende

implementar, y a la capacidad de autonomía por parte del paciente que transporta la

bomba de insulina, la necesidad de uso de un sistema inalámbrico de comunicaciones se

hace indispensable, tal y como se presenta en la Fig. 4.3-2.

Figura 4.3-2: Aplicación inalámbrica de un sistema de control robusto

para monitorización y control de la glucosa en un

paciente con Diabetes Mellitus Tipo 1

En los siguientes apartados se presentan las distintas estructuras de control

robusto, introducidas en el capítulo anterior, que han sido implementadas para la

monitorización y control, a través de redes de comunicación, de la glucosa en sangre en

pacientes con Diabetes Mellitus Tipo 1. Otros trabajos basados en técnicas de control

H∞ son estudiados en Parker et al. (2000), Kamath et al. (2002) y en Kovacs et al.

(2007). Otro trabajo basado en la técnica de control predictivo basado en modelo es

presentado en Dua et al. (2006). Por último, técnicas de control basadas en PID y

control borroso se presentan en Chen et al. (2007). Todas ellas, con el Modelo de

Bergman como definición del sistema gluco-regulatorio.

Los resultados de las simulaciones realizadas serán mostrados y analizados en el

Capítulo 5.



4.3.1. Implementación con controlador de 2 g.d.l. de síntesis escalonada

En el Apartado 3.1, se presentó una estructura de control basada en el diseño de

un controlador robusto de 2 g.d.l. para NCS mediante una síntesis escalonada del

mismo. Se muestra ahora la implementación de dicha técnica de control en el modelo de

la Diabetes Mellitus Tipo 1.

Se comienza presentando el fichero de Matlab con el diseño de los controladores

de 1 g.d.l. correspondientes a cada fase y posteriormente se muestran los esquemas de

Simulink tanto para las simulaciones del controlador para las incertidumbres del modelo

de la planta (lineal y no lineal), como para el posterior controlador de la red de

comunicación (modelo equivalente y real).

4.3.1.1. Diseño de los controladores

Comenzando con la síntesis del controlador robusto que actúa sobre las

incertidumbres en el modelo de la planta, es necesario proporcionarle a la función

hinfsyn, contenida en el µ-Analysis and Synthesis Toolbox de Matlab, la planta

aumentada definida en el Apartado 3.1, la cual, teniendo en cuenta el esquema de

control de la Fig. 3.1.1-1, se puede calcular mediante la función sysic:

systemnames = 'Planta_sys Ws_sys Wt_sys Wks_sys'; inputvar = '[ref(1); control(1)]'; outputvar = '[Ws_sys; Wt_sys; Wks_sys; ref - Planta_sys]'; input_to_Planta_sys = '[control]'; input_to_Ws_sys = '[ref - Planta_sys]'; input_to_Wt_sys = '[Planta_sys]'; input_to_Wks_sys = '[control]'; sysoutname = 'Planta_aumentada'; cleanupsysic = 'yes'; sysic

Una vez calculado el controlador anterior, se procede con la síntesis del

controlador que actué sobre la red de comunicación haciendo uso de la función h2syn

contenida en el µ-Analysis and Synthesis Toolbox de Matlab, por lo que teniendo en

cuenta el esquema de control presentado en la Fig. 3.1.2-1, se define la función sysic de

la siguiente forma:

systemnames = 'Planta_sys P_sys'; inputvar = '[q{1}; control{1}]'; outputvar = '[P_sys; q - P_sys]'; input_to_Planta_sys = '[control]'; input_to_P_sys = '[Planta_sys]'; sysoutname = 'Planta_aumentada'; cleanupsysic = 'yes'; sysic

Métodos adicionales para el cálculo de la planta aumentada se pueden encontrar

en Allgwer (2009).



4.3.1.2. Simulaciones del NCS

Las simulaciones necesarias para estudiar el comportamiento del sistema

mediante los controladores robustos lineales diseñados son mostradas en este apartado.

Así, introduciendo el Modelo de Bergman No Lineal, basado en ecuaciones

diferenciales no lineales de la Fig. 4.2.1-1, y Modelo Real Red Comunicación dado por

la Fig. 4.3.1.2-3, en las estructuras de control para NCS con controlador de 2 g.d.l. de

síntesis escalonada, representadas en las Fig. 3.1.1-1 y Fig. 3.1.2-1, respectivamente, se

obtienen los diagramas de bloques en Simulink dados por las Fig. 4.3.1.2-1 y Fig.

4.3.1.2-2.

Figura 4.3.1.2-1: Implementación de NCS con controlador de 2 g.d.l. de síntesis

escalonada para el las incertidumbres del modelo de la planta

definido por el Modelo de Bergman no lineal

Figura 4.3.1.2-2: Implementación de NCS con controlador de 2 g.d.l. de síntesis

escalonada para los problemas generados en la red de comunicación real



Los bloques Comida (perturbaciones del sistema en forma de ingesta de

comidas) y Saturacion (referente a la saturación del controlador) que aparecen en el

diagrama de Simulink correspondiente a la Fig. 4.3.1.2-1, y en general en el resto de

simulaciones, serán explicados en el siguiente capítulo.

Figura 4.3.1.2-3: Bloque de Simulink correspondiente al

modelo real de la red de comunicación

Los diagramas de las figuras anteriores pueden ser referidos para el modelo

lineal y la red equivalente sin más que sustituir los bloques Modelo de Bergman No

Lineal y Modelo Real Red Comunicación por los bloques Modelo de Bergman Lineal de

la Fig. 4.2.2-1 y Modelo Equivalente Red Comunicación dado por la Fig. 2.2.2.2-1,

respectivamente.

4.3.2. Implementación con controlador robusto de 2 g.d.l.

En este apartado se presenta la implementación del NCS basado en el diseño de

un controlador robusto de 2 g.d.l., ya estudiado en el Apartado 3.2, en la aplicación

inalámbrica que permite controlar y monitorizar el nivel de glucosa en sangre.

En primer lugar se define el fichero de Matlab en el que se ha diseñado el

controlador robusto lineal de 2 g.d.l. para NCS.

Posteriormente, se presenta el diagrama de bloques de Simulink que permite

probar dicho controlador tanto en el esquema de control basado en el NCS equivalente y

en el Modelo de Bergman lineal, como en el esquema de control basado en el NCS real

y en el Modelo de Bergman no lineal.

4.3.2.1. Diseño del controlador

Para realizar la síntesis del controlador es necesario proporcionarle a la función

hinfmix contenida en el µ-Analysis and Synthesis Toolbox de Matlab, la planta

aumentada, la cual ya fue calculada cuando se presentó esta técnica de control robusto

en el Apartado 3.2. En este caso, la planta será introducida mediante la función sysic, la

cual quedará definida como sigue:



systemnames = 'Planta_sys Ws_sys Wt_sys Wks_sys P_sys'; inputvar = '[ref{1}; q{1}; control{2}]'; outputvar = '[Ws_sys;Wt_sys;Wks_sys;P_sys;ref-control(2);P_sys+q]'; input_to_Planta_sys = '[control(1)]'; input_to_Ws_sys = '[ref - Planta_sys]'; input_to_Wt_sys = '[control(2)]'; input_to_Wks_sys = '[control(1)]'; input_to_P_sys = '[Planta_sys]'; sysoutname = 'Planta_aumentada'; cleanupsysic = 'yes'; sysic

De esta forma, estableciendo las relaciones existentes entre los distintos bloques

y señales del esquema de control de la Fig. 3.2-1, se genera la planta aumentada.

Resulta interesante destacar el método de obtención de los controladores de

1.g.d.l., K1(z) y K2(z), a partir del controlador robusto de 2 g.d.l., K(z), calculado

mediante la función hinfmix. Para ello, una vez obtenido y analizado el controlador K(z),

se observa que tiene la siguiente estructura:

K(z) = [K11(z) K12(z); 0 0]

Por lo que las salidas de los controladores estarán definidas como:

[u1; u2] = [K11(z) K12(z); 0 0] [m1; m2]

De esta ecuación, se tiene obtiene lo siguiente:

u1 = K11(z) m1 + K12(z) m2 Ec. (4.3.2.1-1)

u2 = 0 Ec. (4.3.2.1-2)

Por otra parte, de la estructura de control representada en la Fig. 3.1-1, se tiene

demuestra que:

m1 = r - u2 Ec. (4.3.2.1-3)

Así, de las ecuaciones Ec. (4.3.2.1-1), Ec. (4.3.2.1-2) y Ec. (4.3.2.1-3) se puede

deducir lo siguiente:

u1 = K11(z) r + K12(z) m2

u1 = K11(z) [r + K12(z)/K11(z) m2]

Por lo que para dividir el controlador K(z) en los controladores K1(z) y K2(z), de

forma que sea coherente con la estructura de control del la Fig. 3.1-1, que cumple:

u1 = K1(z) [r - K2(z) m2]

Los siguientes cambios deberán ser realizados:

K1(z) = K11(z)

K2(z) = - K12(z)/K11(z)




Insertando el Modelo de Bergman linealizado de la Fig. 4.2.2-1, junto con el

modelo equivalente de la red de comunicación descrito en la Fig. 2.2.2.2-1, en la

estructura de control para NCS con controlador robusto de 2 g.d.l. representada en la

Fig. 3.2-1, y añadiendo un mantenedor de orden cero para el muestreo del sistema

discreto, se obtiene el diagrama de bloques en Simulink, dado por la Fig. 4.3.2.2-1, que

permite realizar la simulación del sistema.

Figura 4.3.2.2-1: Implementación de NCS con controlador robusto de 2 g.d.l.

mediante un esquema de control basado en NCS equivalente y


El bloque de Simulink llamado Modelo Equivalente Red Comunicación de la

Fig. 4.3.2.2-1 está formado por:

Figura 4.3.2.2-2: Bloque de Simulink correspondiente al

modelo equivalente de la red de comunicación

Por otra parte, sustituyendo en la Fig. 4.3.2.2-1, el bloque Modelo de Bergman

Lineal por el bloque Modelo de Bergman No Lineal, basado en ecuaciones diferenciales

no lineales de la Fig. 4.2.1-1, y el bloque Modelo Equivalente Red Comunicación por el

bloque Modelo Real Red Comunicación dado por la Fig. 4.3.1.2-3 y descrito en la Fig.

2.2.1.2-1, se puede probar la efectividad del controlador lineal diseñado, y probado

previamente en el modelo lineal, en el modelo real (no lineal), tal y como se representa

en la Fig. 4.3.2.2-3.




mediante un esquema de control basado en NCS real y

Modelo de Bergman no lineal

Para mejorar el control del sistema se incluye el término anti-windup, como se

puede ver en la Fig. 4.3.2.2-4, el cual tiene la función de evitar que el término integral

incremente su valor, fuera de determinados límites, cuando hay un error sostenido

debido a la saturación del controlador. Esto puede provocar que la actuación se

produzca con cierto retraso, dado que se tiene que contrarrestar el término integrado.

Mediante esta técnica se consigue mejorar el control, disminuyendo la sobreoscilación o

disminuyendo el tiempo de respuesta. La técnica se basa en la realimentación del error

de saturación con un efecto integral Tt añadiéndolo a la actuación del controlador

calculado.


mediante un esquema de control basado en NCS real y

Modelo de Bergman no lineal con anti-windup



4.3.3. Implementación con compensador para pérdida de datos

Se implementa la última técnica de control robusto aplicada a NCS, vista en el

Apartado 3.3, donde se busca introducir el Modelo de Bergman en el esquema de

control NCS basado en el diseño de un compensador que actúe sobre las pérdidas de

datos que se producen en la red de comunicaciones.

Al igual que se ha realizado con las dos técnicas anteriores, se describirá en

primer lugar como se diseña el compensador usando las funciones contenidas en el µ-

Analysis and Synthesis Toolbox de Matlab, y a continuación, se representan los

esquemas para las distintas simulaciones creados mediante Simulink.

4.3.3.1. Diseño del compensador

La síntesis del compensador se realizará mediante la función hinfmix contenida

en el µ-Analysis and Synthesis Toolbox de Matlab, proporcionándole la planta

aumentada, ya calculada en el Apartado 3.3 a partir de la Fig. 3.3-4, mediante la función

sysic descrita a continuación:

systemnames = 'Planta_sys Wt_sys Ws_sys Wks_sys P_sys z_sys'; inputvar = '[ref{1}; control{2}]'; outputvar = '[Ws_sys; Wt_sys; Wks_sys; P_sys; ref - control(2) -

P_sys; z_sys]'; input_to_Planta_sys = '[control(1)]'; input_to_Ws_sys = '[ref - Planta_sys]'; input_to_Wt_sys = '[control(2) + P_sys]'; input_to_Wks_sys = '[control(1)]'; input_to_P_sys = '[Planta_sys]'; input_to_z_sys = '[Planta_sys]'; sysoutname = 'Planta_aumentada'; cleanupsysic = 'yes'; sysic

Al igual que en el Apartado 4.3.2.1, se comenta aquí el método de obtención de

los controladores, K1(z) y K2(z), a partir del controlador robusto de 2 g.d.l., K(z),

calculado mediante la función hinfmix.

Del esquema de control de la Fig. 3.3-4, se puede obtener la siguiente ecuación:

m1 = r - u2 - q - Py Ec. (4.3.3.1-1)

Por lo que teniendo en cuenta las ecuaciones Ec. (4.3.2.1-1), Ec. (4.3.2.1-2) y

Ec. (4.3.3.1-1) se puede deducir lo siguiente:

u1 = K11(z) (r - q - P y) + K12(z) m2

u1 = K11(z) [r - q - P y + K12(z)/K11(z) m2]

Observando de nuevo la estructura de control de la Fig. 3.3-4, se deduce que la

señal de control u1 debe ser:

u1 = K1(z) [r - q - P y - K2(z) m2]



Por lo que para descomponer el controlador K(z) en los controladores K1(z) y

K2(z), se deben realizar los siguientes cambios:

K1(z) = K11(z)

K2(z) = - K12(z)/K11(z)


El diagrama de bloques en Simulink mostrado en la Fig. 4.3.3.2-1, que permite

realizar la simulación del sistema, se ha creado a partir de la estructura de control

robusto para NCS con compensador para la pérdida de datos en la red representada en la

Fig. 3.3-4, en la cual se ha introducido el Modelo de Bergman linealizado de la Fig.

4.2.2-1, junto con el modelo equivalente de la red de comunicación descrito en la Fig.

4.3.2.2-2.

Figura 4.3.3.2-1: Implementación de NCS con compensador para pérdida de datos

mediante un esquema de control basado en NCS equivalente y


Si se sustituye en la Fig. 4.3.3.2-1, el bloque Modelo de Bergman Lineal por el

bloque Modelo de Bergman No Lineal de la Fig. 4.2.1-1, y el bloque Modelo

Equivalente Red Comunicación por el bloque Modelo Real Red Comunicación de la

Fig. 4.3.1.2-3, se puede comprobar el funcionamiento del compensador lineal diseñado,

y probado previamente en el modelo lineal, en el modelo real basado en ecuaciones

diferenciales no lineales. Si además se incluyen el anti-windup para atenuar los efectos

de la saturación del controlador, se obtiene el siguiente esquema de control de la Fig.

4.3.3.2-2.

Conclusiones


Figura 4.3.3.2-2: Implementación de NCS con compensador para pérdida

de datos mediante un esquema de control basado en NCS real y

Modelo de Bergman no lineal con anti-windup

4.4. Conclusiones

En el capítulo anterior se han presentado una serie de técnicas de control robusto

para NCS, proporcionando las formulaciones necesarias para ser aplicadas a un modelo

generalizado. Es en este capítulo donde se han implementado las técnicas anteriormente

estudiadas, escogiendo para ello el modelo de la Diabetes Mellitus.

Así, se ha proporcionado una visión general del trastorno metabólico conocido

como Diabetes Mellitus, y más concretamente sobre su variante Tipo 1. De esta forma,

conceptos como hipoglucemia, hiperglucemia e insulina, además de los valores típicos

en los que deben moverse los parámetros asociados a este sistema, han sido estudiados

para proporcionar un mayor conocimiento que permita diseñar un control eficiente del

sistema.

Se ha utilizado el Modelo de Bergman, pues permite estudiar y controlar un

sistema de tal complejidad reduciendo las variables implicadas a su mínima expresión,

lo cual reduce la potencia de cálculo necesaria para el controlador. Por tanto, partiendo

de un modelo basado en ecuaciones diferenciales no lineales, se ha conseguido

linealizar el mismo en torno a un punto de equilibrio para aplicar las estructuras de

control robusto sobre NCS vistas en el capítulo anterior.

Conclusiones


Por último, se han comentado los aspectos más destacables de los ficheros

implementados en Matlab para el diseño de los controladores, así como los esquemas

para la ejecución de las simulaciones realizadas mediante Simulink para las distintas

técnicas de control robusto aplicadas a NCS.

Los resultados obtenidos, incluyendo perturbaciones en forma de ingesta de

comidas y saturación de los controladores, en el NCS real y empleando el Modelo de

Bergman, basado en ecuaciones diferenciales no lineales, son presentados y analizados

en el siguiente capítulo.

Capítulo 4 - Servidor de la Biblioteca de Ingeniería...

Documents

Transcript of Capítulo 4 - Servidor de la Biblioteca de Ingeniería...