37

CAPÍTULO 4

DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN

En este capítulo se aplicarán los métodos seleccionados a la información. Primero se

describirá la teoría necesaria para cada uno de los métodos y enseguida se citará cómo se

adaptó cada uno de los mismos a los datos. El orden que se escogió para su aplicación es de

acuerdo a la dificultad que presentan, empezando con el más fácil que es el de Suavización

de Holt y terminando con el de Box-Jenkins, que es el que presenta mayor dificultad.

4.1 Metodología de la Doble Suavización Exponencial Lineal o de Holt

Este tipo de suavización considera una tendencia en los datos para hacer pronósticos. Sin

embargo, no puede tratar la estacionalidad en aquellos, por lo tanto, si la serie de datos es

estacional se deben desestacionalizar. El principio es el mismo que el del suavizamiento

exponencial único, sólo que ahora las ecuaciones toman en cuenta las tendencias recientes y

no recientes de la información.

El primer paso es tener información que no presente la estacionalidad. La forma de eliminar

la estacionalidad de los datos es la usada en el Método de Descomposición de Series de

Tiempo. Los pasos están dados en el apéndice A.

El método de Suavización Exponencial de Holt utiliza las dos siguientes fórmulas:

• Tt = β(St –St-1) + (1-β)Tt-1 (Fórmula de tendencia)

En donde

38

St = equivalente del valor suavizado exponencial lineal. β = coeficiente de suavizamiento, análogo a α. Tt-1 = tendencia suavizada en la serie de datos.

• St = αX t+ (1-α)( St-1 + Tt-1) (Fórmula estándar de suavización)

En primer lugar se calcula la fórmula estándar y enseguida la de la tendencia. La fórmula

general de la suavización es

Ft+m = St+ Tt

Este método toma en cuenta una tendencia lineal, por lo que si una serie no tiene

aleatoriedad el error del pronóstico es 0. En cambio, si hay aleatoriedad, será más difícil

predecir los valores y los errores no serán 0.

Para determinar los valores óptimos de α y β, se deben tratar todas las combinaciones de

valores entre 0.0 y 1.0 para ambos parámetros, con el fin de que la ecuación general registre

un error cuadrático mínimo. Se definen error, error absoluto y error cuadrático como

sigue:

et = error = observación – pronóstico

te = error absoluto = valor absoluto del error.

2te = error cuadrático = valor absoluto al cuadrado.

39

4.2 Implementación del método a la serie de créditos ejercidos.

Como primer paso, se desestacionalizan los datos. Se sigue el procedimiento del apéndice

A en la hoja de cálculo Excel y el resultado se muestra a continuación:

Periodo Observaciónno estacional

X1 172522 198393 193834 103715 259266 96537 134238 219469 705010 1604311 1399412 1635313 2018214 2050715 877216 1419817 2115618 1615519 1872720 2282421 2248622 2232023 2808824 3605025 4195726 3935027 3968328 4550229 4147530 4698931 4192932 3639033 4537434 4231935 3524136 3502637 3795838 2050339 8147340 5001341 3967042 4814343 3885544 3538945 6391846 5326947 4748648 4881149 4541150 48015

Luego, se establecen los valores iniciales para las ecuaciones. Sean S1 = X1 = 17252 y T1 =

X2 – X1 = 2587. Después fijamos valores arbitrarios entre 0.0 y 1.0 a los parámetros α y β

y desarrollamos las tres fórmulas con sus valores respectivos. Enseguida, calculamos los

40

errores, errores absolutos y errores cuadráticos para cada pronóstico y se obtienen la suma

y el promedio de cada uno. Se calculan los valores óptimos de los parámetros α y β que

minimizan la suma de los errores cuadráticos. De acuerdo a estos valores iniciales y al

método de optimización no lineal, los valores óptimos son α = 0.473766343 y β =

0.066485541. Sin embargo, estos valores sólo son ilustrativos, pues la hoja de cálculo

Excel no es muy bueno para calcular con precisión los parámetros. Para lograr con mayor

precisión este fin se utiliza el programa Minitab. Entonces, se introducen los valores

desestacionalizados en este programa. Así, los valores de los parámetros son α = 0.633919

y β = 0.01481. Cabe aclarar que aunque los valores de los parámetros obtenidos con Excel

difieren de los obtenidos con Minitab, el pronóstico obtenido es muy similar. A partir de

este punto es posible realizar pronósticos para los siguientes periodos.

4.3 Metodología Box-Jenkins 4.3.1. Introducción

El enfoque de Box-Jenkins fue creado desde los años 70 y fue dado a conocer por sus

creadores, George Box y Gwilym Jenkins. Sin embargo, no alcanzó gran popularidad

debido a las dificultades que existían para ponerlo en práctica. Actualmente, con el

desarrollo de las computadoras este enfoque ha alcanzado gran popularidad.

El enfoque de Box-Jenkins consiste en proponer un conjunto de procedimientos para

escoger entre varios modelos, agrupados en tres clases distintas, que se ajusten a los datos

de una serie de tiempo observada, para después pronosticar valores futuros de la misma.

Estos modelos están basados en funciones lineales de las observaciones. El objetivo es

41

doble: encontrar el modelo más simple que proporcione la mejor descripción de los datos

de la serie.

Las tres clases de modelos son:

• Autorregresivos y de promedios móviles.

• Autorregresivos integrados de promedios móviles.

• Autorregresivos integrados de promedios móviles estacionales.

La metodología Box-Jenkins se resume en los siguientes pasos:

1. Selección de una clase y modelo apropiados para ajustarlo a la serie de tiempo

observada.

2. Ajuste del modelo apropiado de la clase seleccionada a la serie de tiempo observada.

3. Empleo del modelo ajustado para hacer pronósticos de valores futuros de la serie de

tiempo.

Para la selección de la clase de modelos, el factor determinante es el análisis de la función

de autocorrelación muestral y de la función de autocorrelación parcial muestral. Éstas son

las herramientas fundamentales de este enfoque. Claro que primero se empieza por un

análisis visual de la serie, para ver en la medida de lo posible el comportamiento de la

media, la varianza y la estacionalidad.

Una vez seleccionada la clase y el modelo a la que pertenece la serie de tiempo, se procede

a encontrar el número de parámetros y su valor estimado. El modelo propuesto debe seguir

42

el principio de parsimonía. A continuación se procede a hacer pruebas de diagnóstico para

comprobar que realmente se ha llegado al modelo óptimo. Finalmente se utiliza el modelo

estimado para realizar pronósticos. En los apéndices D al K se proporcionan varias tablas

que resumen las principales características de los modelos a tratar en la metodología Box-

Jenkins.

4.3.2. Examinación visual de la serie de tiempo

El primer paso que se debe realizar es examinar la gráfica de la serie de tiempo. Esto nos

puede dar mucha información acerca del comportamiento de la misma. Sin embargo, no es

posible analizar completamente una serie a partir de su gráfica. Para un análisis completo,

se requiere examinar otras características de la serie, de las cuales se hablará en las

siguientes secciones.

Al examinar una gráfica de una serie, se pueden identificar la presencia o la ausencia de las

siguientes características: tendencia, estacionalidad y cambio en la varianza. La tendencia

es un cambio en la media y se manifiesta gráficamente cuando la serie presenta una patrón

a la alza o a la baja. La estacionalidad es la repetición de valores altos o bajos en la serie en

un periodo de tiempo determinado y se manifiesta gráficamente con picos o fondos en la

serie. El cambio en la varianza significa que la magnitud en que la serie se acerca o se aleja

de la media tiene un patrón que cambia constantemente.

Cabe hacer notar que existe una cuarta característica, la presencia de outliers o

intervenciones, que son valores de la serie completamente fuera del patrón que ésta

presenta. Ocurren de forma esporádica e impredecible. Este fenómeno se trata con una

43

técnica llamada análisis de intervención. Una de las acciones que se toman con esta técnica

es eliminar el outlier sustituyéndolo por el promedio de la serie, para hacer a ésta más

estable. Sin embargo, por ser una técnica compleja, no se desarrollará en el presente

trabajo. De la misma manera, los outliers no serán considerados aquí como una

característica de las series de tiempo.

Cuando una serie de tiempo presenta la ausencia de estas tres características, se dice que es

una serie de tiempo estacionaria. La estacionariedad es la ausencia de tendencia,

estacionalidad y cambio en la varianza de la serie a través del tiempo y se manifiesta

gráficamente con un patrón horizontal. Esto no implica que no haya variaciones alrededor

de la media, lo que implica es que estas variaciones tienen una magnitud constante. En el

apéndice B se muestran algunas gráficas de series que presentan las características aquí

citadas.

La examinación visual de una serie de tiempo no es suficiente para determinar si es

estacionaria o no. Una tendencia aparente a la alza o a la baja en los datos puede ser una

fluctuación aleatoria lejos del promedio, asimismo algunos máximos o mínimos

estacionales no se pueden distinguir de otras fluctuaciones y podemos suponer que hay

variaciones marcadas en la serie cuando en realidad es más o menos constante. Aquí es

donde entran en juego otras medidas para determinar.

4.3.3. Importancia de la media y la desviación estándar de una serie de tiempo Si una serie de tiempo es generada por una función matemática, entonces se pueden

determinar perfectamente los valores futuros de aquélla. Se dice entonces que es generada

44

por un proceso determinístico. En cambio, si una serie de tiempo es generada por un

proceso que nos permite conocer una variable aleatoria y su función de distribución, se dice

que es generada por un proceso estocástico o aleatorio. Esto implica que se manejarán

probabilidades en el comportamiento de la serie.

Sean Zt las variables aleatorias del proceso en el tiempo t. Existen N variables en todo

proceso y en toda serie, es decir, Z1, Z2, Z3, … , ZN, donde N es un número finito. Entonces

z1, z2, z3, … , zN son las realizaciones o valores observados de Z1, Z2 y Z3, … , ZN. Para

cada variable aleatoria existe un número infinito de realizaciones. Una serie de tiempo es el

conjunto de los valores observados de un grupo de N variables aleatorias y es sólo una de

las infinitas realizaciones de las mismas. Cada una de las variables aleatorias Zt tiene su

distribución de probabilidad y su función de probabilidad f(zt). Asimismo, tiene una media

µt= E(Zt) y una varianza σ2 = σ2(Zt). En general el proceso probabilístico va cambiando con

el tiempo y por lo tanto las distribuciones de probabilidad, medias y varianzas también. Si

asumimos que el proceso no varía con el tiempo, entonces todas las variables tendrán la

misma media y misma varianza y se dice que el proceso estocástico es estacionario en

media y varianza. Se pueden estimar la media, la varianza y la desviación estándar del

proceso a través de la media, la varianza y la desviación estándar de la serie, las cuales se

calculan con las siguientes ecuaciones respectivamente:

∑=

=≈N

ttz

Nz

1

1µ 2

1=

22 )(1

=≈ ∑∧ N

ttzz zz

Nσσ 2

1)(1 ∑

=

∧

−=≈N

ttzz zz

Nσσ

La importancia de tener series de tiempo estacionarias es que la metodología Box-Jenkins

proporciona modelos para procesos estocásticos estacionarios. Para revisar que el proceso

45

estocástico que generó la serie es estacionario en media y varianza se puede dividir la serie

de tiempo en subgrupos y calcular la media y la desviación estándar de cada uno. Un

número adecuado de observaciones en cada subgrupo es entre 4 y 12, de acuerdo a las

observaciones de la serie (O'Donovan, 1983, p. 26). Si el proceso es estacionario entonces

todas las medias tienen aproximadamente el mismo valor y lo mismo sucede con las

desviaciones estándar. La no estacionariedad en la media y en la varianza se ve a través de

una tendencia a la baja o a la alza en las medias y desviaciones de los subgrupos, de forma

individual o conjunta. Al graficar conjuntamente la media contra la desviación estándar, si

ambas se incrementan proporcionalmente se observa que los puntos forman una línea con

pendiente positiva. Entonces la serie es no estacionaria en varianza. La importancia de esta

prueba radica en que ésta es la única forma de saber que la serie es o no estacionaria en

varianza. Para que una serie que no es estacionaria en media, varianza o que presenta

patrón estacional sea convierta a estacionaria, se requiere de algunas técnicas que se

explican en las siguientes secciones.

4.3.4. Función de Autocorrelación Muestral Las variables en una serie de tiempo son dependientes entre sí. Es importante analizar cómo

es esta dependencia para lograr hacer pronósticos de valores futuros. La medida para esta

dependencia es la autocorrelación y no la covarianza, pues la primera no es sensible al

cambio de unidad de medida (es una medida estándar) y la segunda sí. La autocorrelación

en series de tiempo es la correlación entre dos variables del mismo proceso separadas por k

rezagos de tiempo. El coeficiente de correlación entre las variables Zt y Zt+k se define como

46

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ktt

kttkttktt ZZ

ZEZEZZEZZ

+

+++

−=

σσρ ,

Un proceso estocástico se dice que es estacionario si además de que la media y la varianza

no cambian a través del tiempo y no hay patrón estacional, los coeficientes de correlación

entre dos valores dependen sólo de la distancia entre ellos y no del tiempo en sí mismo. En

un proceso estacionario, la autocorrelación del rezago k se denota como ρk y su fórmula es

2

2)(

z

kttk

ZZEσ

µρ

−= +

pues E(Zt) = E(Zt+k) = µ y σ(Zt) = σ(Zt+k) = σz La gráfica de las autocorrelaciones ρk contra los rezagos k = 1, 2,…, N se denomina

función de autocorrelación (FAC) teórica o correlograma teórico. La FAC teórica es la

característica más importante del proceso estocástico subyacente. Es simétrica con respecto

al origen k = 0, ya que las diferencias de tiempo entre Zt y Zt+k y Zt y Z-t-k son las mismas y

por lo tanto ρk = ρ-k.

Cuando dos variables separadas por k rezagos tienen un valor grande y similar, se esperaría

encontrar un valor de ρk cercano a +1. En cambio, si una variable tiene un valor grande y la

otra uno pequeño, se esperaría que el valor de ρk sea cercano a -1. Cuando existe poca

relación entre ambas, se esperaría un valor de ρk cercano a 0. Por lo anterior, en un proceso

estacionario las autocorrelaciones son cercanas a 0 y lejanas a ± 1. La importancia de la

FAC muestral radica en que con ella podemos determinar si el proceso subyacente es

estacionario o no.

47

Las autocorrelaciones de la serie de tiempo observada se estiman mediante la siguiente

fórmula:

( )( )

( )∑

∑

=

+

−

=∧

−

−−= N

tt

kt

kN

tt

k

ZZ

ZZZZ

1

2

1ρ

Se necesitan al menos 50 observaciones para obtener valores de autocorrelaciones

muestrales válidas y se recomienda hacer a lo más N/4 autocorrelaciones (O'Donovan,

1983, p.32) para observar el comportamiento de la función de autocorrelación. Se inferieren

muchas de las propiedades del proceso estocástico a partir del estudio de la función de

autocorrelación muestral, ya que aunque ésta es sólo una estimación de la FAC teórica,

tiende a seguir los mismos patrones de la misma y por eso es imprescindible para la

selección de un modelo.

La estacionariedad o no estacionariedad de un proceso estocástico puede ser determinada

por el análisis de la FAC muestral. La función de autocorrelación teórica de un proceso

estacionario tiende a caer rápidamente a cero conforme el rezago k crece o a cortarse

después de un determinado rezago k = q, es decir que después de cierto retraso las

autocorrelaciones serán cero. En el caso en que la FAC teórica se corta, las

autocorrelaciones de la función de autocorrelación muestral serán muy cercanas a cero. En

el caso en que la FAC teórica sea decreciente, las autocorrelaciones muestrales también lo

serán pero no de la misma forma. El decremento en la FAC de un proceso estacionario se

debe a que solamente unas cuantas variables adyacentes están relacionadas linealmente.

48

Cuando el proceso estocástico no es estacionario en la media, es decir cuando hay

tendencia creciente o decreciente, las autocorrelaciones muestrales caerán muy lentamente.

Esto es porque las observaciones tenderán a estar del mismo lado de la media de la serie

por muchos periodos y por lo tanto se producen autocorrelaciones muestrales grandes aún

en retrasos lejanos.

La estacionalidad se puede reconocer visualmente, aunque algunas veces es muy alta la

variabilidad de los datos o existe una tendencia muy fuerte en ellos que no hace tan fácil

reconocer este patrón. Para estos casos la FAC muestral facilita el reconocimiento de la

estacionalidad ya que se presenta alta correlación positiva o negativa entre observaciones,

por ejemplo, 12 periodos aparte si el patrón es anual para datos mensuales. La

autocorrelación muestral en el retraso 12 sería muy alta, en el 24 también pero no tan alta

como la del 12, y así. La función de autocorrelación muestral mostrará picos decrecientes

en los retrasos 12, 24, 36, 48, etc.

Con la FAC muestral se identifica la no estacionariedad debido a la tendencia en la media o

a la estacionalidad, pero no la no estacionariedad debido a cambios en la varianza del

proceso estocástico, que sólo se puede identificar por examinación visual de la serie o por

la relación de la media con la desviación estándar.

La FAC muestral se comporta distinto dependiendo del tipo de serie. La FAC muestral de

una serie estacionaria puede tender rápidamente a cero por el lado positivo, por el lado

negativo o alternando en ambos con distintos números de retrasos, lo que significa que las

observaciones crecen y decrecen alrededor de la media. La FAC muestral de una serie con

49

tendencia decaerá extremadamente lento y la FAC muestral de una serie con patrón

estacional presentará picos en los retrasos estacionales. La FAC de un proceso

autorregresivo tiende a 0 después de un retraso k = q y la FAC de un proceso de promedio

móvil se corta después de un retraso k = q.

4.3.5. Función de Autocorrelación Parcial Muestral La función de autocorrelación parcial (FACP) muestral nos sirve para identificar un modelo

adecuado para una serie, mediante su comparación con la FACP teórica. La autocorrelación

parcial teórica ρkk es la autocorrelación entre dos variables Zt y Zt+k separadas por un

rezago de k unidades de tiempo, no afectada por las variables Zt+1, Zt+2 , … , Zt+k-1 que

están entre ellas. Se define como ρkk = ( )1-k+t1+tk+tt Z,,...ZZ ,ZCorr y se obtiene con la

división de los determinantes de la fórmula

1

1

1

1

1

=

1321

2311

1221

1321

23

11

12

21

ρρρρ

ρρρρ

ρρρρ

ρρρρρ

ρρρρ

ρρρρ

ρ

kkk

kk

kk

kkkk

k

k

kk

L

MMMMM

L

L

L

MMMMM

L

L

Las autocorrelaciones parciales maestrales kkρ∧

son calculadas reemplazando las

autocorrelaciones teóricas por kρ las muestrales kρ∧

.

50

Como la FAC muestral, la FACP muestral tiende a seguir el mismo patrón que la FACP

teórica y es útil para identificar un modelo apropiado para el proceso estocástico

subyacente de una serie. La FACP de un proceso autorregresivo se corta después de un

retraso k = q y la FACP de un proceso de promedio móvil tiende a 0 después de un retraso

k = q. Vale la pena mencionar que mientras más corta en observaciones es una serie, más

difieren las autocorrelaciones muestrales y parciales maestrales de las autocorrelaciones

teóricas.

4.3.6. Identificación de un modelo Para la identificación de un modelo, lo básico es la comparación de la FAC y FACP

muestrales con la FAC y FACP teóricas de los modelos de la clase seleccionada. Las

funciones muestrales no coincidirán con las funciones teóricas, especialmente es series

cortas, ya que las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales muestrales son sólo

estimaciones de las teóricas, pero se espera que exhiban los mismos patrones generales que

las teóricas. Se deben tomar en cuenta las características más generales en las funciones

muestrales y no dar importancia a cada detalle para evitar ambigüedades en la selección de

un modelo.

Asimismo, de acuerdo al principio de parsimonía de Box y Jenkins, cuando se tiene que

escoger entre dos modelos en el paso de identificación, es mejor seleccionar el modelo con

menos parámetros. Lo anterior porque mientras más parámetros hay es más difícil

estimarlos todos y porque mientras más complicado es un modelo es más probable que no

se puedan detectar parámetros inútiles.

51

En los procesos se recurre a pruebas de significación de las autocorrelaciones muestrales

para decidir si son igual a cero o no. Las autocorrelaciones muestrales aproximadamente se

distribuyen normalmente con media 0 y varianza estimada:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∑

1

∧2211 q

kNρ

La cual se obtiene se de la fórmula de Bartlett:

si

K

sKiskk N

Cov∧∧ ∑1

≈, ρρρρ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑∑

1

∧22

∧∧∧211

≈1

≈,⇒0q

k

K

K

ikkk NNVarCovsSi ρρρρρ

La probabilidad de que una variable que se distribuye normalmente con media y varianza

conocidas caiga entre los límites µ ± (1.96)σ es 0.95. Entonces ρk debe caer fuera de los

límites

2/1

1

∧2

2/1 ∑2196.1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±

q

kNρ

para que sea significativamente distinta de 0. Si cae dentro, entonces la autocorrelación es

igual a 0. Asimismo, la prueba de significación de las autocorrelaciones parciales

maestrales es que caigan dentro o fuera de los límites definidos por

2/1

96.1±

N

52

Si caen dentro entonces no son distintas de 0 y si caen afuera entonces sí lo son. Finalmente

debe tenerse en cuenta que si dos variables son independientes entonces ρk = 0 pero lo

contrario no es cierto.

Cuando se ha comprobado que un proceso es estacionario, enseguida se comparan las

autocorrelaciones parciales muestrales con las teóricas de los modelos ya existentes para

determinar cuál de éstos es apropiado para la serie de tiempo.

53

4.3.7. Modelos para series de tiempo estacionarias Estos modelos son aplicables cuando la serie de datos es una serie estacionaria y se

conocen de forma general como modelos autorregresivos y de promedios móviles

(ARMA). Los modelos ARMA tienen casos especiales y son el modelo de ruido blanco, los

modelos autorregresivos y los modelos de promedios móviles. Estos dos últimos tipos de

modelos tienen distinto número de términos en su ecuación, lo cual determina un grado

determinado en ellos.

Los modelos más comunes y que se presentan con frecuencia en la práctica son aquellos de

primer grado, pues los de mayor grado rara vez o nunca son encontrados en series reales.

En esta sección se describen los modelos más usuales de casos particulares y los modelos

generales, dando para cada uno de ellos la definición de su ecuación y estableciendo sólo

sus características principales.

Modelo de ruido blanco Este es el caso más simple de los modelos ARMA. Las variables Zt son independientes y

tienen la la misma distribución de probabilidad: Zt ~ N(µ,σz2). La ecuación del modelo es

Zt = θ0 + At

donde

θ0 = término constante de la ecuación

At ~ N(0,σΑ2) y es el error aleatorio en el tiempo t.

54

Las variables At son errores aleatorios e independientes en el tiempo t y el parámetro θ0 es

el término constante del modelo. Como todas las variables son independientes, la FAC

teórica y la FACP teórica son ambas cero.

Modelos Autorregresivos En los modelos autorregresivos, el valor observado de la variable de la serie de tiempo está

relacionado con sus propios valores pasados y el valor de un disturbio aleatorio, es decir,

cada observación es función de anteriores observaciones. Se les denomina como modelos

autorregresivos de orden p o como modelos AR(p). La ecuación general de los modelos

AR(p) es

Zt = θ0 + φ1Zt-1 + φ2Zt-2 +…+ φpZt-p +At

donde

θ0 = término constante que es igual a µ(1-φ1-…-φp)

φj = coeficiente autorregresivo de j-ésimo orden

At ~ N(0, σA2)

Esta ecuación también se escribe como

tptptt ZZZ Α+ ++ + =⋅

−

•⋅

−

•

1−

••

φφφ L221 tZ

o como

ttp Z Α = )Β(•

φ

donde

φp(B)= (1- φ1B-…- φpBp)

55

Los modelos AR(p) tienen una FAC teórica que decae rápidamente hacia 0, pero con

distintos patrones. La FACP teórica se corta después de un determinado rezago k = p.

En el modelo autorregresivo de primer orden AR(1), la variable Zt depende de una sola

observación, la variable Zt-1 que le precede. Entonces la variable Zt es una función lineal de

la variable Zt-1 mas un shock aleatorio y la ecuación del modelo es

Zt = θ0 + φ1Zt-1 +At

donde

θ0 = término constante que es igual a µ(1-φ1)

φ1 = coeficiente autorregresivo de primer orden

At ~ N(0, σA2)

El error At es independiente de la variable Zt-1, por lo tanto de la ecuación del modelo se

deduce que

σz2 = φ1

2σz2 + σA

2

y entonces

σz2 =

12

2

1 φ

σ A

56

Para que σz2 sea finita y no negativa, se necesita que -1 < φ1 < 1, la cual es la condición de

estacionariedad para un proceso AR(1). Las covarianzas entre dos variables separadas por k

rezagos está dada por

Cov (Zt, Zt-k) = φ1k σZ

2

En consecuencia, dado que las medias, varianzas y covarianzas son las mismas para todas

la variables en cualquier periodo de tiempo, las autocorrelaciones para este modelo están

dadas por

ρk = φ1k

Lo cual implica que la función de autorrelación decae geométricamente hacia 0 conforme

aumenta k. Si φ es positivo, las autocorrelaciones decaerán por arriba. Si φ es negativo,

entonces las autocorrelaciones serán positivas cuando k sea par y negativas cuando sea

impar, lo cual hará que la FAC teórica disminuya alternándose los valores positivos y

negativos. Si φ es cercano a ± 1, las autocorrelaciones decaerán lentamente, pero si φ es

cercano a 0 decaerán rápidamente.

Las autocorrelaciones parciales teóricas son

ρ11 = φ1, ρkk = 0 (k>1)

Por lo tanto, se cortan después de k=1.

57

Modelos de Promedios Móviles En los modelos de promedio móvil, la variable de la serie de tiempo es una combinación

lineal de errores aleatorios pasados. Se les denomina como modelos de promedio móvil de

orden q o modelos MA(q). La ecuación general de estos modelos es

Zt = θ0 +At -θ1At-1-…-θqΑt-q

donde

θ0 = término constante igual a la media del proceso µ.

θj = coeficiente de promedio móvil de j-ésimo orden

At ~ N(0, σA2)

Esta ecuación también se escribe como

qtqttt AAAZ −−

•

−−= θθ L11

o como

tZ•

=θq(B)At

donde

θq(B)= (1- θ1B-…- θqBq)

Como ∞<+++ 2211 qθθ L , un proceso de promedio móvil finito siempre es estacionario.

Los modelos MA(q) tienen una FAC teórica se corta después de un determinado rezago k =

p. La FACP teórica que decae rápidamente hacia 0, pero con distintos patrones.

58

En el modelo de promedios móviles de primer orden MA(1), la variable Zt depende de un

solo error previo, la variable At-1 que le precede. Entonces la variable Zt es una función

lineal del error actual y del error anterior y la ecuación del modelo es

Zt = θ0 +At-θ1At-1

donde

θ0 = término constante que es igual a µ

θ1 = coeficiente de promedio móvil de primer orden

At ~ N(0, σA2)

Las función de autocorrelación para este modelo es

ρk = ,1,0

1,1 2

1

1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

=+−

k

kθθ

Por lo tanto, se corta después de k=1.

Las autocorrelaciones parciales teóricas están dadas por

1,1

)1()1(2

1

211 ≥

−−−

==+

kk

k

kkkk θθθ

φρ

59

Lo cual implica que la función de autorrelación parcial decae geométricamente hacia 0

conforme aumenta k. Si θ1 es positivo, las autocorrelaciones decaerán por abajo. Si θ1 es

negativo, entonces las autocorrelaciones serán positivas cuando k sea impar y negativas

cuando sea par, lo cual hará que la FACP teórica disminuya alternándose los valores

positivos y negativos. Si θ1 es cercano a ± 1, las autocorrelaciones decaerán lentamente,

pero si θ1 es cercano a 0, decaerán rápidamente.

Modelos autorregresivos y de promedios móviles Existe una relación entre los procesos AR(p) Y MA(q) que es la siguiente: Un proceso AR

estacionario de orden finito puede escribirse en la forma de un proceso MA de orden

infinito y un proceso MA invertible de orden finito puede escribirse en la forma de un

proceso AR de orden infinito. Esta relación entre los procesos también existe entre las

funciones de autocorrelación y de autocorrelación parcial.

También existen modelos que combinan ambos procesos y son llamados modelos

autorregresivos y de promedios móviles de orden (p,q), o simplemente modelos

ARMA(p,q). La ecuación general de estos modelos es la siguiente:

Zt = θ0 + φ1Zt-1 +…+ φpZt-p +At -θ1At-1-…-θqΑt-q

donde θ0 = término constante relacionado con la media del proceso At ~ N(0, σ2

A)

60

La ecuación es una combinación de las dos ecuaciones anteriores y tiene p términos

autorregresivos y q términos de promedio móvil. Estos modelos son la forma general de los

dos anteriores, por lo que los modelos AR(p) y MA(q), que también se escriben

ARMA(p,0) y ARMA(0,q), son casos especiales de éste. La gran mayoría de las series que

se presentan en práctica son modelos ARMA con 2≤+ qp .

En el modelo ARMA(1,1), la variable Zt depende de la observación Zt-1 que le precede y

del error anterior At-1. En otras palabras, la variable Zt es una función lineal de estos dos

más un shock aleatorio y la ecuación del modelo es

Zt = θ0 + φ1Zt-1 +At-θ1At-1

donde

θ0 = término constante que es igual a µ(1-φ1)

φ1 = coeficiente autorregresivo de primer orden

θ1 = coeficiente de promedio móvil de primer orden

At ~ N(0, σA2)

Cuando φ1 es igual a cero, el modelo ARMA(1,1) se reduce a un modelo MA(1). Cuando θ1

es igual a cero, el modelo ARMA(1,1) se reduce a un modelo AR(1). Para que el proceso

sea estacionario, es necesario que 1φ <1. Las funciones de autocorrelación y

autocorrelación parcial tienen las características de los dos modelos antes citados.

61

Las autocorrelaciones para este modelo están dadas por

( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

=−+

−−=

=

− 2

,121

1,01

11

112

1

1111

k

k

k

k

k

ρφθφθθφθφ

ρ

En el cálculo de ρ1 interviene tanto el término autorregresivo como el de promedio móvil,

pero las siguientes autocorrelaciones sólo contienen el término autorregresivo. La fórmula

para determinar las autocorrelaciones parciales es muy complicada y no es necesaria. En

general, tanto la FAC como la FACP decaen exponencialmente hacia 0, pero toman

distintos patrones dependiendo de los signos y el valor de θ1 y φ1.

. 4.3.8. Modelos para series de tiempo no estacionarias en media y en varianza

En la práctica, la mayoría de las series de tiempo son no estacionarias, especialmente las

series de variables económicas. Como ya se mencionó, la no estacionariedad en una serie

puede deberse a que no hay estabilidad en la varianza, a que no hay estabilidad en la media,

a la presencia un patrón estacional o a alguna combinación de los tres. Este hecho dificulta

la labor de los pronósticos, pero este obstáculo es superable. Las medidas que se toman

para tratar estos problemas se llaman transformaciones y diferenciaciones.

Caso 1: No estabilidad en la varianza

Antes de trabajar con una serie, es necesario probar si ésta es estable en la varianza y en la

media. La estabilidad en varianza siempre es muy difícil de determinar analizando la

gráfica de la serie observada. En cambio, la estabilidad en la media es más fácil de observar

62

a simple vista. Sin embargo, para comprobar la presencia o ausencia de ambas, se realiza un

método muy sencillo.

Se divide la serie observada en grupos de 4 a 12 datos, de cada uno de estos grupos se

obtienen su media y su desviación estándar y se grafican estos valores. Entonces se puede

ver si ambas siguen una tendencia o se mantienen más o menos estables. Asimismo, se

grafican los datos de la media contra los de las varianza y se observa qué gráfica resulta. Si

los datos presentan un patrón similar a una línea recta horizontal o una recta vertical,

significa que una de las dos se mantiene más o menos constante, siendo estacionaria en

ésta, mientras que la otra está creciendo conforme avanza el tiempo. Si los datos presentan

un patrón similar a una línea recta creciente o decreciente, significa que tanto la media

como la varianza están creciendo o disminuyendo conforme avanza el tiempo y la serie no

es estacionaria en ninguna de las dos. Si los datos aparecen dispersos y no presentan ningún

patrón, significa que la serie es estacionaria en varianza. Ésta es la única forma de

comprobar la estacionariedad en varianza. En cambio, la estacionariedad en la media se

comprueba también con la FAC muestral.

Si se detecta no estacionariedad en varianza, se recurre a acciones denominadas

transformaciones. Las transformaciones se realizan a través de una función llamada

transformación de potencia cuya ecuación es

λ

λλ 1)( −

= tt

ZZ

63

donde λ es el parámetro de transformación. Esta función fue propuesta por Box y Cox

(1964) (Wei, 1990, p.83). Dependiendo del valor que se le dé a λ es la transformación

resultante. Los valores y transformaciones más comunes son

t

t

t

t

t

Z

Z

Z

Z

Z

ciónTransformadeValores

1

5.0

)ln(0

15.0

11

−

−

λ

De estas transformaciones, la más común es la logarítmica, seguida por la aplicación de raíz

cuadrada. Es necesario probar con cuál de estas transformaciones se alcanza una mejor

estabilidad en la varianza.

Caso 2: No estabilidad en la media

Si se detecta no estacionariedad en la media, se recurre a acciones denominadas

diferenciaciones regulares. Las diferenciaciones regulares (d) se aplican a la serie original y

se obtiene una serie diferenciada regularmente. Pueden ser de varios grados, pero en la

práctica usualmente sólo es necesaria la de primer grado (d = 1). En una diferenciación

regular de k grado, se pierden k términos de la serie original.

La diferencia regular de primer grado se denota por

64

1−−= ttt zzw , para 2≥t

o también puede denotarse usando un operador de retraso B, que retrasa a una observación

un periodo: Bz = zt-1. Entonces la diferencia regular de primer grado también se denota por

wt = (1 - B)zt

ya que (1 - B)zt = zt - Bzt= zt - zt-1

La diferencia de segundo grado se denota por

wt = zt -2zt-1 + zt-2 , para 3≥t

o también puede denotarse usando un operador de retraso B, pero elevándolo al cuadrado

para que retrase la observación en dos periodos: B2z = zt-2. Entonces la diferencia regular de

segundo grado también se denota por

wt = (1 - B)2zt ya que (1 - B)2zt = (1 - B) (1 - B)zt =(1 - B)( zt - zt-1 ) = zt -2zt-1 + zt-2 Con esto llegamos a las siguientes relaciones:

Bkzt = zt-k y wt = (1 - B)dzt

La primer relación nos indica un retraso de k periodos en las observaciones. La segunda

define una nueva serie de valores observados wt resultante de d diferencias posibles

65

aplicadas a la serie original. Cabe hacer notar que cada vez que se aplica una diferenciación

se debe revisar si se ha alcanzado estacionariedad en la media, pues la sobrediferenciación

sólo complica la estimación del modelo.

Al alcanzar estacionariedad en la media, se selecciona alguno de los modelos ARMA para

la nueva serie estacionaria. Este nuevo modelo es llamado modelo autorregresivo integrado

de promedios móviles de grado (p,d,q) o más sencillamente modelo ARIMA(p,d,q). Por

ejemplo, si al realizar la primer diferencia el modelo que se ajusta a la serie diferenciada es

un modelo AR(1) o equivalentemente un ARMA(1,0), el modelo sería un ARIMA(1,1,0)

con ecuación

Wt = θ0 + φ1Wt-1 + At

donde Wt = Zt – Zt-1 , lo cual resulta en

Zt = θ0 + (1+ φ1)Zt-1 - φ1Zt-2 + At donde At ~N(0,σ2

A)

En los modelos ARIMA, existen p términos autorregresivos, d número de diferencias

regulares aplicadas a la serie original y q términos de promedio móvil. De esto, se deduce

que se pueden obtener diferentes modelos ARIMA a partir de los modelos ARMA. Las

FAC’s y las FACP’s de algunos de los modelos ARIMA con primeras diferencias regulares

se citan en una tabla al final de este capítulo.

66

4.3.9. Modelos para series de tiempo estacionales

Las series de tiempo que presentan patrón estacional tienen un patrón que se repite después

de un número de intervalos de tiempo. Este patrón puede verse en ocasiones en la gráfica

de la serie observada, a menos que exista una tendencia muy fuerte o la varianza no sea

estable. Asimismo, este patrón se presenta siempre de forma inconfundible en las

autocorrelaciones de la serie, manifestándose en forma de picos en ciertos intervalos de

tiempo.

El caso más común de patrón estacional es cuando los datos están divididos por meses y

existe un patrón cada 12 meses. Entonces existen picos en los rezagos 12, 24, 36, etc. de la

función de autocorrelación. A estos picos se les llama rezagos estacionales. Cabe

mencionar que si estos rezagos son muy parecidos en valor y van decreciendo muy

lentamente, entonces existe el patrón estacional. Si solamente el rezago 12 o el 12 y el 24

tienen valores altos y los siguientes rezagos estacionales se van rápidamente a 0, entonces

hay estacionariedad en el patrón estacional. Por supuesto, existen muchos tipos de patrón

estacional, como bimestral, trimestral, cuatrimestral, semestral o anual.

La no estacionariedad en la serie debido a un patrón estacional puede ser eliminada a través

de lo que denomina diferencia estacional (D) y se define como

wt = zt – zt-s , 1+≥ st

donde s toma distintos valores dependiendo del patrón estacional. Por ejemplo, si el patrón

es anual y los datos son mensuales, s toma el valor 12; si el patrón es bimestral y los datos

67

son mensuales, s toma el valor de 2. En esta diferencia, la nueva serie tiene s términos

menos que la original.

La diferencia estacional también puede denotarse usando un operador de retraso B, que

retrasa a una observación s periodos: Bszt = zt-s. Entonces se tiene que

wt = (1 - Bs)zt = zt - zt-s , 1+≥ st

En general, se pueden aplicar D diferencias estacionales como sean necesarias, quedando la

siguiente relación:

wt = (1 - Bs)Dzt

Ésta define una nueva serie de valores observados wt resultante de D diferencias

estacionales posibles aplicadas a la serie original. Cabe hacer notar que cada vez que se

aplica una diferenciación estacional se debe revisar si se ha alcanzado estacionariedad en el

patrón estacional, pues la sobrediferenciación sólo complica la estimación del modelo.

Como ya se mencionó, la función de autocorrelación nos indica la presencia o ausencia de

la tendencia y la estacionalidad. Si una serie presenta tendencia y patrón estacional

combinados, el análisis de la FAC nos indica la presencia de ambas al mismo tiempo. En

esta situación, se puede proceder de dos formas.

68

El primer caso es aplicar una diferencia regular para lograr estacionariedad en la media.

Analizando la nueva FAC, si los rezagos estacionales continúan mostrando un patrón se

procede a realizar una diferencia estacional. Entonces la nueva serie observada queda

wt = wt – wt-1 = (1-Bs) (1-B) zt = (1-Bs) (zt – zt-1) = zt – zt-1 - zt-s + zt-(s+1) , 1+≥ st

El segundo caso es aplicar una diferencia estacional para lograr estacionariedad en el patrón

estacional. Analizando la nueva FAC, si las autocorrelaciones muestran un patrón de

tendencia, se procede a realizar una diferencia regular. Entonces la nueva serie observada

queda

wt = wt – wt-1 = (1-B) (1-Bs) zt = (1-B) (zt – zt-s) = zt – zt-s - zt-1 + zt-(s+1) , 1+≥ st

Por lo tanto, en la aplicación de los dos tipos de diferencias es irrelevante el orden en que se

realizan, pues la serie obtenida es la misma.

Para el caso de estacionalidad en la serie, existen modelos para tratar estos patrones. Los

modelos autorregresivos estacionales de grado P y periodo S son análogos a los modelos

autorregresivos y están en función de p observaciones estacionales anteriores. Se denotan

por modelos SAR(P)S. Los modelos de promedio móvil estacionales de grado Q y periodo

S están en función de q disturbios estacionales anteriores. Se denotan por modelos

SMA(Q)S. Los más comunes son los modelos de primer orden y periodo 12.

69

El modelo autorregresivo estacional de primer orden y periodo 12, también denotado por

SAR(1)12, es análogo a un autorregresivo de primer orden. Está en función de la

observación estacional anterior. La ecuación del modelo es

Zt = θ0 + φ12Zt-12 + At

donde

φ12 = coeficiente autorregresivo estacional de periodo 12

At ~N(0,σ2A)

El coeficiente φ12 debe presentar la condición -1 < φ12 < 1 para que el proceso alcance

estacionariedad. Las autocorrelaciones están dadas por

ksks

s

ks

12,012,12

≠=

==

ρφρ

con lo cual, sólo son distintas de cero en los periodos estacionales y se van rápidamente a

cero. Las autocorrelaciones parciales están dadas por

ρ12,12 = φ12 , ρss = 0 para cualquier otro caso

con lo cual, sólo el rezago 12 es distinto de cero.

70

El modelo de promedio móvil estacional de primer orden y periodo 12, también denotado

por SMA(1)12, es análogo a uno de promedio móvil de primer orden. Está en función del

disturbio estacional anterior. La ecuación del modelo es

Zt = θ0 + At - θ12At-12

donde

θ12 = coeficiente de promedio móvil estacional de periodo 12

At ~N(0,σ2A)

Las autocorrelaciones están dadas por

casootrocualquierparak 01 2

12

1212

=+−

=

ρθ

θρ

con lo cual, sólo el rezago 12 es distinto de cero. Las autocorrelaciones parciales sólo son

distintas de cero en los periodos estacionales y se van rápidamente a cero.

El modelo que generaliza ambos casos se llama modelo autorregresivo y de promedio

móvil estacional de orden (P,Q) y periodo s, también denotado por SARMA(P,Q)s, es

análogo a uno ARMA(p,q). La ecuación del modelo es

Zt = φsZt-s + … +φsPZt-sP +At - θsAt-s - … - θsQAt-sQ

donde

At ~N(0,σ2A)

71

Las autocorrelaciones y las autocorrelaciones parciales están definidas de acuerdo al caso

que presente el modelo.

El modelo que considera D diferencias estacionales para alcanzar estacionariedad en una

serie con patrón estacional es el modelo autorregresivo y de promedio móvil estacional

integrado de orden (P, D, Q) y periodo s, también denotado por SARIMA(P,D,Q)s, es

análogo a uno ARIMA(p, d, q). La ecuación del modelo es

Zt = φsWt-s + … +φsPWt-sP +At - θsAt-s - … - θsQAt-sQ

donde

At ~N(0,σ2A)

Wt = (1-Bs)DZt

Las autocorrelaciones y las autocorrelaciones parciales están definidas de acuerdo al caso

que presente el modelo.

Finalmente, el modelo multiplicativo estacional de orden (p, d, q) x (P, D, Q) y periodo s es

el que toma en cuenta la no estacionariedad tanto en media como en el patrón estacional. El

modelo contiene operadores regulares de orden p o q y estacionales de orden P o Q. Las

series observadas requieren de un operador regular, ya sea autorregresivo o de promedio

móvil, pero no ambos. Asimismo, requieren de un operador estacional, ya sea

autorregresivo o de promedio móvil, pero no ambos. Cabe notar que éste es el modelo

general del enfoque Box-Jenkins. La ecuación del modelo es

(1-φ1B-…-φpBp)(1-φsBs-…-φsPBsP)Wt = θ0 + (1-θ1B-…-θqBq)(1-θsBs-…-θsQBsQ)At

72

donde Wt = (1- B)d(1- Bs)DZt θ0 = (1-φ1-…-φp)( 1-φs-…-φsP)µ (1-φ1B-…-φpBp) operador autorregresivo regular de orden p (1-φsBs-…-φsPBsP) operador autorregresivo estacional de orden P (1-θ1B-…-θqBq) operador de promedios móviles regular de orden q (1-θsBs-…-θsQBsQ) operador de promedios móviles estacional de orden Q s = periodo estacional Los casos más comunes en la práctica son

(1, d, 0) x (1, D, 0)12 (1, d, 0) x (0, D, 1)12 (0, d, 1) x (1, D, 0)12 (0, d, 1) x (0, D, 1)12

Para saber qué operadores se deben incluir en el modelo, se siguen los siguientes dos pasos

al analizar la FAC y la FACP maestrales de la serie diferenciada. El primero es tomar en

cuenta sólo las autocorrelaciones no estacionales y fijarnos en el patrón que presentan.

Utilizando la FAC y la FACP de los modelos AR(p) y MA(q), si la FAC muestral tiende a

0 y la FACP se corta después del rezago p, entonces un operador autorregresivo regular de

orden p debe incluirse en el modelo. Asimismo, si la FAC muestral se corta después del

rezago q y la FACP tiende a 0, entonces un operador de promedio móvil regular de orden q

debe incluirse en el modelo.

73

El segundo es tomar en cuenta sólo las autocorrelaciones estacionales y fijarnos en el

patrón que presentan. Utilizando la FAC y la FACP de los modelos SAR(P)s y SMA(Q)s,

si la FAC muestral tiende a 0 y la FACP se corta después del rezago sP, entonces un

operador autorregresivo estacional de orden P debe incluirse en el modelo. Asimismo, si la

FAC muestral se corta después del rezago sQ y la FACP tiende a 0, entonces un operador

de promedio móvil estacional de orden Q debe incluirse en el modelo.

El término constante θ0 en el modelo se deberá incluir sólo si la media muestral de la serie

diferenciada es grande comparada con la desviación estándar muestral.

4.3.10. Principios del cálculo del pronóstico Para el cálculo del pronóstico, primero debemos conocer cuál es el modelo apropiado para

la serie de tiempo observada y enseguida extrapolarlo hacia el futuro. El valor de la serie de

tiempo l periodos en el futuro se denota por zt+l y es un valor aleatorio de la variable Zt+l. El

pronóstico de zt+l basado en los valores observados z1, z2,…, zt se denota por )(lz t

∧

, con

origen en t y horizonte de tiempo l.

Sea f cualquier pronóstico de zt+l. Se define como error de pronóstico a la expresión: (Zt+l –

f). El error cuadrado medio del pronóstico se define como la expresión: E(Zt+l – f)2.

El pronóstico de zt+l con el error cuadrado medio más pequeño condicionado a la

información al origen t es:

E(Zt+l | Z1 = z1, Z2 = z2, ... , Zt = zt)

o de forma más corta

74

][ lttZE +

El error de pronóstico para el pronóstico )(lz t

∧

, condicional a la información al origen t se

denota por

et(l) = Zt+l - )(lzt

∧

cuya media es 0. La varianza del error del pronóstico condicional en información al origen t

se denota por

)]([2 letσ

La varianza se incrementará conforme se incrementa el horizonte de tiempo l. Entonces

conforme avanza el tiempo, la amplitud de los intervalos de predicción se incrementará

también. Entre mayor sea el horizonte de tiempo del pronóstico, éste será menos exacto. En

la practica, el error del pronóstico y la varianza del error del pronóstico dependerán de los

parámetros desconocidos del modelo de series de tiempo y tendrán que ser estimados de los

valores observados de la serie.

4.3.11. Estimación de los parámetros, significación y diagnóstico.

Antes de comenzar la estimación de los parámetros, se debe tener muy presente que

siempre se deben incluir el menor número de parámetros tal que nos den el pronóstico más

adecuado. Éste es el principio de parsimonía. Su razón de ser es que mientras más

parámetros hay en un modelo ajustado, más difícil es su estimación y menos acertados son

los pronósticos. Teniendo este principio presente, se procede a la estimación de los

parámetros.

75

Los valores estimados de los parámetros están en función de los valores observados en la

serie y algunos se estiman con las autocorrelaciones. De acuerdo al principio de mínimos

cuadrados, los parámetros deben tener valores que hagan que la suma de cuadrados de los

errores o suma residual de cuadrados sea mínima:

2

1

21

1)())1(( ∑∑

∧

−

∧

=

=−N

tt

N

tt azz

Los valores de los parámetros se estiman utilizando esta fórmula. Cuando se presentan

problemas de valores iniciales, se solucionan dando estimadores adecuados de estos

valores. El cálculo anterior es una estimación no lineal de mínimos cuadrados. Los

parámetros de un modelo pueden ser calculados también por el método de momentos, el

método de máxima verosimilitud o el método de mínimos cuadrados ordinarios. Ninguno

de éstos se contempla en el presente trabajo.

Una vez que se han estimado los parámetros, el modelo ajustado debe revisarse para ver

que las estimaciones de los parámetros satisfagan las condiciones de estacionariedad e

invertibilidad y que sean significativamente diferentes de cero. Para comprobar esto último,

se recurre a la siguiente regla: Un parámetro es significativamente de cero si cae fuera de

los límites ± l.96*(error estándar estimado).

Los errores estándar estimados dependen del modelo ajustado. Si el parámetro estimado es

significativo, entonces debe ser incluido en el modelo y si no lo es, no se debe incluir. Sin

76

embargo, si el hecho de no ser significativo se debe a pocas observaciones en la serie,

entonces se debería dejar en el modelo. Si los parámetros son cercanos a 1, es mejor usar un

modelo no estacionario para la serie. Pero las pruebas principales de adecuación de modelo

se basan en un estudio de los residuales del modelo ajustado. Si el modelo que hemos

ajustado es el modelo correcto, entonces los valores observados del error del pronóstico son

ta∧∧

== )1(z - z (1)e 1-tt1-t

Como at se calcula con las estimaciones de los parámetros se le llama residual. Si el modelo

ajustado es de la forma correcta y si los estimadores de mínimos cuadrados son iguales o

muy aproximados a los valores reales de los parámetros del modelo, los residuales ta∧

deberían ser la realización de un proceso de ruido blanco. Lo anterior porque los disturbios

aleatorios At forman un proceso de ruido blanco si son independientes y se distribuyen

normalmente con media cero y desviación estándar σ2A.

Entonces, al revisar la FAC y la FACP de los residuales, ambas deben ser cero. Pero si al

revisar la FAC encontramos que la primera autocorrelación muestral es significativamente

diferente de cero, entonces un término de promedios móviles debe ser incluido en el

modelo. Si al revisar la FACP la primera autocorrelación parcial muestral fuera

significativamente diferente de cero, entonces un término autorregresivo debe ser incluido

en el modelo. Finalmente, si la FAC mostrara picos en los retrasos estacionales y las

autocorrelaciones fueran significativas, entonces un modelo estacional debe ser utilizado.

Esto es lo mismo que utilizar la FAC y la FACP con la serie original directamente.

77

Existe una prueba a través del estadístico Q para determinar si el modelo es adecuado o no.

Sea rl(∧

a ) la autocorrelación del rezago l para los residuales y sea

2

1

))((∑=

∧

=k

ll arNQ

donde N es el número de residuales de la serie de tiempo observada y k el número de las

autocorrelaciones rl(∧

a ). El estadístico Q tendrá una distribución de probabilidad ji-

cuadrada con (k-r) grados de libertad, donde r es el número de parámetros en el modelo. La

regla es: Si Q es muy grande y excede el valor crítico cuya probabilidad de pasarlo es 0.05,

entonces el modelo es inadecuado. Finalmente, el estadístico L-Jung Box, que es una

modificación del estadístico Q, se utiliza en la mayoría de los paquetes de pronóstico

actuales.

4.3.12. Medición de la capacidad de ajuste y de predicción de un modelo

Cuando se estiman parámetros y se prueban los modelos ajustados, es común que varios

puedan ser adecuados para estimar una serie. Para tener una última forma de decisión al

respecto, existen medidas que están basadas en el error del pronóstico. Se pueden utilizar

este tipo de estadísticos que comparan la precisión entre dos modelos diferentes, es decir,

miden su bondad de ajuste. Existen muchas medidas para decidir si un modelo es el óptimo.

En las siguientes, M es el número de errores porcentuales utilizados en la sumatoria y n es

el periodo origen del pronóstico.

78

Error porcentual medio (Mean percentage error). Se le conoce como sesgo pues mide los

sesgos del pronóstico.

MPE = 100*11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑

= +

M

l ln

l

Ze

M

Error cuadrado medio (Mean square error)

MSE = ∑=

M

lle

M 1

21

Error absoluto medio (Mean absolute error)

MAE = ∑=

M

lle

M 1

1

Error porcentual absoluto medio (Mean absolute percentage error)

MAPE = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑

= +

M

l ln

l

Ze

M 1

1 *100

El MAPE es la medida que se tomará como referencia en este trabajo para la selección del

modelo Box-Jenkins óptimo. Es un valor promedio de los valores absolutos de los residuos

o errores de pronóstico medidos como porcentaje del valor observado. Esta medida no

79

depende del tamaño o magnitud de la variable para la evaluación de la precisión del

pronóstico. El MAPE compara qué tan grandes son los errores de pronóstico con los

valores reales de la serie. Entre más pequeño es su valor, el modelo es más adecuado.

Akaike’s Information Criterion (AIC)

Este estadístico es una buena medida para elegir un modelo óptimo entre varios que

cumplan con distintas condiciones para ser modelos adecuados. Toma en cuenta el número

de parámetros usados en el modelo y la verosimilitud. La fórmula es

mLAIC 2log2 +−=

donde

m = p+q+P+Q

L = verosimilitud del modelo

Debido a que no todos los programas estadísticos computacionales calculan el AIC o la

verosimilitud L, es posible aproximarlo mediante la siguiente fórmula:

mnnAIC 2log))2log(1( 2 +++≈ σπ

donde

n = número de observaciones en la serie

σ2 = varianza de los residuales

80

Ésta medida sólo es útil para comparar modelos ajustados de una misma serie de datos. El

primer término puede eliminarse pues es igual para todos lo modelos. Mientras más

pequeño es el AIC, mejor es el modelo ajustado. Sin embargo, en este trabajo no se

utilizará como la medida primordial.

4.4. Implementación del método a la serie de créditos ejercidos.

Para empezar con el método Box-Jenkins se debe determinar si la serie de tiempo es

estacionaria en la varianza. Para ello, se dividen los datos en 10 grupos de 5 datos cada

uno. Se obtienen las medias y las desviaciones estándar de cada grupo y se grafican

separadamente, quedando el siguiente cuadro:

Grupo Media Desv. Est.1 18,773 8871.342 14,455 9881.6273 17,501 8498.5054 20,493 7677.8985 28,708 12540.46 42,241 11865.047 38,896 8646.5078 39,379 8189.0559 44,777 5373.943

10 51,880 9530.386

81

Comportamiento de media y varianza

0

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

0 5 10

Grupos

Valo

res

VarianzaMedia

De la gráfica del comportamiento, se ve claramente que la media se incrementa con el paso

del tiempo. En cambio, la varianza parece no cambiar y se mantiene más o menos

constante. Sin embargo, es necesario también graficar una contra otra.

Relación entre media y varianza

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

11,000

12,000

13,000

10,000 20,000 30,000 40,000 50,000 60,000

Media

Des

v. E

stán

dar

Relación

82

De la gráfica de relación se ve claramente que entre las medias y las varianzas de los

grupos no existe relación alguna, pues los puntos aparecen dispersos. Por lo tanto, la serie

es estacionaria en varianza y no es necesario realizar ninguna transformación a la serie.

A través de un análisis visual de la serie, por medio de su gráfica, se puede establecer la

presencia o ausencia de la estacionariedad en la media y del patrón estacional de la serie de

tiempo observada. Esta es una forma sencilla, intuitiva y a priori, pero no muy efectiva para

lograr este fin.

Créditos ejercidos

0

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

80,000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Observaciones

Núm

eros

de

créd

itos

Créditos

Como puede verse a simple vista, existe una tendencia a la alza y un posible patrón

estacional. Para comprobar la no estacionariedad en estos dos factores, recurrimos al

análisis de la Función de Autocorrelación Muestral.

83

453525155

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0A

utoc

orre

latio

n

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

401.56400.38393.31382.62377.72366.61355.47350.50334.89322.42309.90292.77

282.25272.58256.87246.50233.37221.47210.85202.60190.55178.64170.00162.00

156.34154.73150.05147.34145.97145.16144.97143.82143.82143.58142.89142.36

140.94136.58132.84129.57123.46116.39108.02 88.07 73.48 61.09 39.97 20.16

-0.07-0.21-0.31-0.23-0.38-0.41-0.30-0.56-0.53-0.56-0.69-0.57

-0.57-0.76-0.64-0.76-0.75-0.73-0.67-0.84-0.87-0.77-0.76-0.66

-0.36-0.63-0.49-0.36-0.28-0.14 0.34 0.01 0.16 0.28 0.25 0.41

0.74 0.70 0.67 0.95 1.05 1.19 2.01 1.85 1.84 2.77 3.22 4.36

-0.03-0.09-0.13-0.10-0.16-0.17-0.12-0.23-0.22-0.23-0.28-0.23

-0.23-0.30-0.25-0.29-0.29-0.28-0.25-0.31-0.32-0.28-0.27-0.23

-0.13-0.22-0.17-0.12-0.10-0.05 0.12 0.00 0.06 0.10 0.09 0.14

0.25 0.24 0.22 0.31 0.34 0.37 0.58 0.50 0.47 0.62 0.60 0.62

484746454443424140393837

363534333231302928272625

242322212019181716151413

121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Autocorrelaciones de observaciones

Vemos que las autocorrelaciones decaen muy lentamente hacia 0, por lo tanto la serie no es

estacionaria en la media. En cuanto al patrón estacional no es muy clara su presencia, por

lo que se considera momentáneamente sólo la no estacionariedad en la media.

Por lo anterior, una de las clases de modelos adecuada para esta serie es la clase

ARIMA(p,d,q). Lo primero es eliminar la tendencia. Para ello se aplica una primera

diferencia regular (d=1) definida como

2,1 ≥−= − tparazzw ttt

Entonces la gráfica de la nueva serie nos queda

84

Créditos ejercidos con d = 1

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

0 10 20 30 40 50

Periodos

Valo

res

Primera diferencia regular

En esta ocasión la serie ha perdido tendencia y puede representarse por una línea

horizontal. El paso que sigue es comprobar la estacionariedad de la media con la FAC

muestral.

453525155

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0A

utoc

orre

latio

n

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

108.55106.96103.35103.35100.91 97.59 97.58 94.52 88.96 88.22 87.57 85.18

83.24 83.24 78.43 71.65 70.29 70.06 69.71 69.57 69.17 69.17 67.59 66.63

66.57 63.67 61.31 60.96 60.63 59.55 58.26 49.52 44.59 44.39 43.84 42.26

41.20 34.45 34.17 32.81 31.44 30.49 28.18 18.42 17.87 15.28 11.90 11.35

0.10-0.20 0.00 0.24-0.31 0.02 0.35-0.51 0.20 0.20-0.40 0.37

0.01-0.64 0.80-0.37-0.16 0.20 0.13-0.22 0.00 0.47-0.38-0.10

0.69-0.64 0.25 0.25-0.46-0.51 1.42-1.11 0.23 0.38-0.66-0.56

1.48-0.30-0.69 0.71-0.60-0.97 2.20-0.54-1.20 1.45-0.59-3.27

0.03-0.05 0.00 0.06-0.08 0.00 0.09-0.13 0.05 0.05-0.10 0.10

0.00-0.16 0.20-0.09-0.04 0.05 0.03-0.06 0.00 0.12-0.09-0.02

0.17-0.16 0.06 0.06-0.11-0.12 0.33-0.25 0.05 0.09-0.15-0.12

0.32-0.06-0.15 0.15-0.12-0.20 0.41-0.10-0.22 0.25-0.10-0.47

484746454443424140393837

363534333231302928272625

242322212019181716151413

121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Autocorrelaciones de la primera diferencia regular

85

Las autocorrelaciones ahora no son significativas, únicamente la primera, cuyo valor es

negativo. Entonces, esta serie es estacional en la media. Una siguiente diferenciación es

inútil, pues la varianza de la serie aumenta. Por lo tanto, la serie original sólo debe tener

una diferenciación regular. El modelo sugerido para empezar es uno ARIMA(0,1,1). Esto

se corroborará o descartará con la FACP muestral. Asimismo, existe un patrón estacional

que pudiera ser descrito por un modelo estacional autorregesivo, pero esto también se

confirmará con la FACP.

453525155

1.00.80.60.40.20.0

-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0

Par

tial A

utoc

orre

latio

n

TPACLagTPACLagTPACLagTPACLag

-0.12-0.20 0.26-0.00-0.02 0.38 0.53-0.84-0.43 0.71-0.95 0.08

0.15 0.12-0.24-0.84 0.61 0.27 0.10 1.16 0.38 0.97 0.16-0.77

-0.58 0.09 0.17-0.76-0.01-1.12-0.70-1.17 0.89-1.10-0.01 0.93

0.28-1.28-0.89-0.77-0.05 1.46 1.32-2.25-1.05-0.08-2.86-3.27

-0.02-0.03 0.04-0.00-0.00 0.05 0.08-0.12-0.06 0.10-0.14 0.01

0.02 0.02-0.03-0.12 0.09 0.04 0.01 0.17 0.05 0.14 0.02-0.11

-0.08 0.01 0.02-0.11-0.00-0.16-0.10-0.17 0.13-0.16-0.00 0.13

0.04-0.18-0.13-0.11-0.01 0.21 0.19-0.32-0.15-0.01-0.41-0.47

484746454443424140393837

363534333231302928272625

242322212019181716151413

121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Autocorrelación parcial de la primera diferencia regular

La FACP muestral es significativa en las primeras dos autocorrelaciones y luego en la

cuarta, pero tiende hacia cero en valores negativos. Por lo tanto, corroborando lo

anteriormente citado, en cuanto a la estacionariedad en la media un modelo adecuado a

utilizar es un modelo ARIMA(0,1,1) con θ1>1.

86

Por otro lado, en el patrón estacional parece haber un pico cada 6 ó 12 periodos, pero la

FACP no parece indicar claramente el patrón de éste. Es recomendable considerar un

modelo estacional multiplicativo y hacer distintas pruebas con él para comprobar si es un

modelo factible. Debido a lo anterior, se pueden considerar tanto estacionalidades de 6

como de 12 periodos, pero ambas tienen que probarse también con alguna diferencia

estacional. Asimismo, se pueden considerar términos estacionales tanto autorregresivos

como de promedios móviles.

Siguiendo el principio de parsimonía y tomando en cuenta el hecho de que las diferencias

estacionales de orden 2 y ambos tipos de términos de orden 2 son casos extremos en la

práctica, el modelo multiplicativo a considerar debe tener sus parámetros en alguna

combinación de órdenes 0 y 1. Además, para todos los casos del modelo (0,1,1)x(P,1,Q)s la

media de la serie en proceso siempre es pequeña en comparación a su varianza, por lo que

no es necesario incluir un término constante para ninguna combinación del modelo. Los

valores de medias y varianzas resultantes de las series se muestran en la tabla 4.1.

Tabla 4.1. Medias y desviaciones estándar de las series para los modelos posibles.

Diferencia d=1 D=1, s=6 D=1, s=12 d=1 y D=1, s=6 d=1 y D=1, s=12Aplicada a Serie original Serie original Serie original Cualquier orden Cualquier orden

Media 1,018.12 4,451.14 9,908.84 504.95 965.70Desv. Est. 12,304.07 10,401.57 12,802.30 12,827.09 13,156.77

Fuente: Elaboración propia.

Entonces, se recurrirá a comparar todas estas combinaciones de los modelos

multiplicativos, obteniendo los principales valores para cada una de ellas. Los valores

utilizados como referencias para la comparación y selección del mejor modelo son la

87

significación de los parámetros, la suma de los errores cuadrados, el valor Q, el

comportamiento de los residuales, el MAPE y el AIC. En la tabla 4.2 se muestran todos

estos valores para cada uno de los modelos posibles. Los valores de los parámetros, su

valor T, la suma de los errores cuadráticos y el análisis de los residuales se obtienen

mediante el programa Minitab.

Tabla 4.2. Comparación de modelos

Tipo Valor Valor de T FAC FACPgl 30

MA(1) 0.6824 6.04 Valor Q 32.13843Valor Ji 43.77

MA(1) 0.6704 5.91 gl 30SAR(1) 0.5457 4.14 Valor Q 11.95725

Valor Ji 43.77MA(1) 0.605 4.75 gl 30

SAR(1) 0.5227 3.69 Valor Q 17.94335Valor Ji 43.77

MA(1) 0.5991 4.32 gl 30SAR(1) -0.4611 -2.88 Valor Q 14.5084

Valor Ji 43.77MA(1) 0.9302 7.76 gl 30

SAR(1) -0.9731 -8.33 Valor Q 9.908323Valor Ji 43.77

gl 30Valor Q 16.94931Valor Ji 43.77

gl 30Valor Q 15.18059Valor Ji 43.77

MA(1) 0.6731 5.84 gl 30SMA(1) 0.7686 5.36 Valor Q 12.76775

Valor Ji 43.77MA(1) 0.6649 5.35 gl 30

SMA(1) 0.7524 3.06 Valor Q 11.57381Valor Ji 43.77

MA(1) 0.7007 6.32 gl 30SMA(1) -0.5216 -3.55 Valor Q 13.60011

Valor Ji 43.77MA(1) 0.6283 4.84 gl 30

SMA(1) -0.3238 -1.74 Valor Q 19.58022Valor Ji 43.77

SAR(1) 1.0011 62.61 gl 30MA(1) 0.6764 6.05 Valor Q 18.96352

SMA(1) 0.9298 8.42 Valor Ji 43.77SAR(1) 1.0006 17.3 gl 30MA(1) 0.6929 6.45 Valor Q 21.7976

SMA(1) 0.7208 3.4 Valor Ji 43.77SAR(1) -0.0274 -0.12 gl 30MA(1) 0.6736 5.7 Valor Q 13.07551

SMA(1) 0.7666 3.58 Valor Ji 43.77SAR(1) -0.5836 -2.79 gl 30MA(1) 0.6925 5.71 Valor Q 17.50592

SMA(1) 0.7654 3.48 Valor Ji 43.77

905.3426

900.1154

Ruido blanco 0.201982

(0,1,1)x(1,1,1) 12 2,176,229,045 Ruido blanco Ruido blanco 0.197364

(0,1,1)x(1,1,1) 6 2,758,334,772 Ruido blanco

Ruido blanco Ruido blanco

904.8969

911.2043

910.9501

917.6413

898.4902Ruido blanco Ruido blanco

Ruido blanco

2,834,998,048

0.286689

Ruido blanco Ruido blanco

Ruido blanco Ruido blanco

Ruido blanco Ruido blanco

2,762,775,783

0.291805

Ruido blanco

Ruido blanco Ruido blanco

0.396872

0.278867

0.252291

0.217316

0.193256

Ruido blanco Ruido blanco

Parámetros

(0,1,1)

(0,1,1)x(1,0,0)

-

6

Modelo s

(0,1,1)x(1,0,0)

(0,1,1)x(1,1,0)

(0,1,1)x(1,1,0)

(0,1,1)x(0,1,1)

3.43

12

6

6

12

12

6

12

(0,1,1)x(0,1,1)

(0,1,1)x(0,0,1)

(0,1,1)x(0,0,1)

AICResiduales

Suma de errores cuadráticos

4,447,935,971

4,796,608,605

3,571,568,207

3,886,497,042

3,695,544,594

2,496,163,402

Una significación

Q MAPE

Una significación

Ruido blanco Ruido blanco

Ruido blanco

5.46

4,683,985,208

0.304099

3,750,392,330

4,315,104,880

Ruido blanco Ruido blanco

Ruido blanco Ruido blanco

12 3,092,265,084

2,721,865,224(0,1,1)x(1,0,1) 6

Ruido blanco

(0,1,1)x(0,1,0)

(0,1,1)x(0,1,0)

6

12

MA(1)

MA(1)

0.6524

0.5352

(0,1,1)x(1,0,1)

920.2578

908.984

912.976

918.0727

0.260255

0.266432

0.318772

906.6479

925.6092

935.5802

903.39660.272303

0.259567

Fuente: Elaboración propia.

88

De acuerdo a los valores obtenidos, sólo dos modelos no cumplen con la significación de

sus parámetros y otro tiene una significación en la correlación de sus residuales. En

cambio, todos cumplen con el estadístico Q. Sin embargo, el modelo más apropiado de

todos es el modelo (0,1,1)x(1,1,0) con periodo 12, ya que es el que tiene el menor MAPE.

En adición a esto, sus dos parámetros son significativos, sus residuales forman un proceso

de ruido blanco, es el que tiene la segunda menor suma de errores cuadráticos, la menor Q

y un AIC de valor intermedio entre los modelos. Con esto se corrobora la sugerencia de

usar un modelo estacional multiplicativo con término autorregresivo.

En base al modelo estacional multiplicativo general, la ecuación del modelo seleccionado

es

(1-φ12B12)Wt = (1 - θ1B)At

donde Wt =(1-B) (1-B12)Zt Por lo tanto, la ecuación desarrollada queda

Zt = Zt-12 + Zt-1 - Zt-13 -0.9731 Zt-12 + 0.9731 Zt-24 + 0.9731 Zt-13 - 0.9731 Zt-25 +At

-0.9302At-1

A continuación se diagnostica el modelo propuesto. Como ya se mencionó, la prueba T

indica que ambos parámetros son significativos y por lo tanto se quedan en el modelo. Los

residuales obtenidos con este modelo forman un proceso de ruido blanco, por lo que el

modelo es adecuado. Empleando el estadístico Q, sean N = 37, k = 32 y r =2. Se tiene que

89

el valor crítico de una ji-cuadrada de 30 grados de libertad al 95% de confianza es 43.77 y

el valor de Q es

232

1))((37∑

=

∧

=l

l arQ = 9.908323434

Como el valor de Q es menor al de la ji-cuadrada, el modelo es adecuado. Sin embargo, ya

que varios de los modelos considerados también cumplen con el diagnóstico, el criterio de

selección del modelo óptimo es el MAPE, cuyo valor más pequeño lo posee este modelo.

En este punto ya es posible realizar pronósticos con el modelo seleccionado.