Capítulo 3: EL CAMPO ELÉCTRICO EN LA MATERIA

1. Los conductores, los semiconductores y los dieléctricos

2. Los sólidos cristalinos, los policristalinos y los amorfos

3. El dipolo eléctrico

4. La polarización

5. La generalización de la ley de Gauss

6. Los dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos

7. La densidad de energía del campo eléctrico

8. Las condiciones de frontera para D y E

9. Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática en medios

materiales

0

0

E

E

•Las cargas eléctricas son “libres”. Las podemos poner y quitar; tenemos control sobre ellas.

•Los conductores son sencillos. Sus propiedades hacen que solo aparezcan como condiciones a la frontera.

q q

2

Coul Coul CoulFaradio

JouleVolt JouleCoul

qq q C C

C

0

AC

l

l

• No polares– Las moléculas que forman el sólido no no

tienentienen un momento dipolar permanente

• Polares– Las moléculas que forman el sólido tienentienen

un momento dipolar permanente

La capacitancia de un condensador de placas paralelas aumenta cuando se introduce un dieléctrico.La cantidad que aumenta depende del dieléctrico que se introduzca.

Dieléctrico

0

0

>1C C

C C

0

0 00

0

0

0

0 0

1 10

( )

( )

1

1

l

y y b l

y y b

E dl

dx dx dx

y l y b

l b

q AC

l b

AC C

bll

b

l

La polarización es el campo vectorial

que resulta de los momentos dipolares

eléctricos permanentes o inducidos en

un material dieléctrico.

El Vector de Polarización P se define

como el momento dipolar eléctrico por

unidad de volumen.

Molecula

SUPONEMOS:

1) El momento dipolar que adquiere cada átomo o molécula es

directamente proporcional al campo eléctrico externo aplicado

d E

2) Si es la distancia que se desplaza la carga

a

d qa

3) Si es el numero de moléculas por unidad de volumenN

Definimos el por unidad de volumen

Momento Dipolar

P Nqa

3 3

El Momento dipolar por unidad de volumen

El vector de polarización es un campo

vectorial:

: ( )

( ) , ( ) Suposición

P

P P P r

P r P r E r

P Nqa

R R

Capacitor de placas paralelas con un dieléctrico uniforme y lineal en su interior.

Uniforme: 0P P r P

Lineal: P E

P es uniforme

P es uniforme

En el interior del dieléctrico no se produce ninguna carga neta

P es uniforme

P

P es uniforme

El numero de cargas que se salen del dieléctrico es

aA N

Por tanto, la carga que se sale del dieléctrico es

Q q aA N

pol

La densidad superficial de carga es

QNqa

A

Por tanto,

pol P

P es uniforme

Total0

libre pol0

La ley de Gauss

Flujo= area + 0 + 0

1area area

1

E

E

E

Metal

DieléctricoE

l

+

+

+

+++

+

-

-

-

---

-

libre0

librelibre 0

libre pol0

libr

0

e0

0

Suponiendo qu

1

1 1

e

1

4

1

1

P E

E

E

E

E

P

E

E

P es uniforme

libre

0

libre 0 0 0

libre

0

Calculemos ahora como cambia la capacitancia

1

1 4

(1 4 )

1 4

1 4 1

Asi que la capacitancia aumenta

El l

Q A A AC

l l l

C C

P es uniforme

5 30

03

1 3( )

4

1

4

( )

( )

( )

ext ext

ext

r d dE r r

r r

W d E r

N d E r

r dr

r

, ,x y z

V

, ,r x y z

r r

P

0

0

3

3

1

4

1

4

( )

( )

d P r V

r r

r r

r dr

r

P r Vr

, ,x y z

V

, ,x y z

r r

P

3

0

1( )

4 V

P r rr dV

r r

Usando el principio de superposición:

3

0

1( )

4 V

P r rr dV

r r

0lim (límite físico, no matemático)V

pP

V

molecula

1

m

P pV

molecula

molecula

p rdq

3

0

3

1( )

4

1

V

P r rr dV

r r

r r

r rr r

30

0

1( )

4

1 1

4

V

V

P r rr dV

r r

P dVr r

fA f A f A

3

0

0

0 0

1( )

4

1 1

4

1 1 =

4 4

V

V

V V

P r rr dV

r r

P dVr r

P PdV dV

r r r r

0 0

1 1( )

4 4S V V

PPr dS dV

r r r r

0 0

1 1( )

4 4S V V

PP dSr dV

r r r r

0 0( )

P P

P P

0 0( )

ˆ1 1( )

4 4

ˆ

1 ( ) 1 ( )( )

4 4

S V V

S V V

PP nr dS dV

r r r r

P n P

r rr dS dV

r r r r

•Campos altamente variables

•Campos macroscópicos promedios

0E

0E dl

vacio Dielectrico 0E l E l

vacio, tang Dielectrico, tangE E

E

vacio DielectricoE E

0 1 00 0

, , , ,1 1

4 4P P

V V S S

x y z x y zr dV dS

r r r r

1V

0V

0S

S

0 0( )

P P

P P

0 0( )

ˆ1 1( )

4 4

ˆ

1 ( ) 1 ( )( )

4 4

S V V

S V V

PP nr dS dV

r r r r

P n P

r rr dS dV

r r r r

P P2 2

0 0( )

( )

1 ( ) 1 ( )( )

4 4S V V

E r r

r r r r r rE r dS dV

r r r rr r r r

P P P

( )

P

( )

ˆ

ˆ

S V V

P P

S V V

Q dS dV

P n P

Q P ndS P dV

( )

P

( ) ( )

Usando el teorema de la divergencia (Toerema de Gauss)

ˆ

Por tanto

ˆ ˆ 0

P 0

V S V

S V S V

P dV P ndS

Q P ndS P ndS

Q

E

ˆP P n

n̂ P

Caso general ( )P P r

ˆpol

S

pol

Q P ndS

P

xy

z , ,x y z

1P R

P P

1

1

representa el numero de cargas desplazables

por unidad de volumen

es la medida de los desplazamientos de

r

R r

1

1

1

1

1

Cara izquierda , , , ,

Cara derecha= , , , ,

, , , ,, , , ,

, , , ,Total en Y=

y

y

y

y

y

x y z R x y z x z

x y y z R x y y z x z

x y z R x y zx y z R x y z y x z

y

x y z R x y zx y z

y

1

1

1

1

, , , ,Total en X=

, , , ,Total en Y=

, , , ,Total en Z=

Total=

Total

x

y

z

P

P

x y z R x y zx y z

x

x y z R x y zx y z

y

x y z R x y zx y z

z

R x y z

V

P

( )0 0

( )

1 1´ ´

E S V

S V V

E dS Q r dV

El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie dividida entre ε0

0

( )

0

1´ ´

S V V

E dS r dV

E

1q1S

2q2S

iqiS

S

Dieléctrico

libre P0

1

S

E dS Q Q

libre1

N

ii

Q q

1

P ˆN

ii

V SS

Q P ndS P dV

1 1

N N

i ii i

V S SS S S

P dV P dS P dS P dS

libre P0

1

S

E dS Q Q

libre0

1

S S

E dS Q P dS

P

S

Q P dS

libre0 0

1 1

S S

E dS P dS Q

0 libre

S

E P dS Q

0D E P

libre

S

D dS Q

libre

S

D dS Q

libre

S V S

D dS r dV

S V S

D dS DdV

libre

V S V S

DdV r dV

libre

V S V S

DdV r dV

libreD r r

libre 0V S

D r r dV

libreD r r

libre

S

D dS Q

0D E P

0D E P

Total

0

E

0

1l pE

0

1lE P

0 0

1 1lE P

libre

libre

( )

libre

( )

libre

ˆ

ˆ

V V

V S V

S V V

D S

D

DdV

DdV D ndS

D ndS

Q

libre

0

0

Relaciones constitutivas

( )

D E

D E P P P E

•FerroeléctricosSon los materiales que tienen una polarización neta (Electretos) o que cuando los pones en un campo mantienen la polarización, una vez retirado el campo

•No-ferroeléctricosCuando se retira el campo la polarización vuelve a cero

0

0

( )

1. Materiales No-ferroelectricos

(En los material

( , ) en general es una ma

es fer

; tri

r

z

( ) ( , )

P

E

P E

r

D E P

P E E r E

χχ

��

��

oelectricos 0 cuando 0)P E

Sólidos cristalinos

Alótropos del Carbono

E

E

0

0

( )

2. Materiales isotrópicos

( , ) es un escalar

No hay una dirección prefe

rencial.

El cam

po

;

( ) ( , )

P P E

E r

D E P

P E E r E

establece unaE

0

0

( )

3. Materiales lineales

( ) es un escal r a

( ) ( )

P P E

r

D E P

P E r E

0

libre

0 0

Ecuaciones de Maxwell para medios materiales

0

Relaciones constitutivas

( )

( )

D E

D E P P r E

P r E

0 0 0

0

0

0

Por tanto

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

es la permitividad de

) 1 ( ) ( )

( ) 1 ( )

( ) ( ) ( )

l material

( )

D r E r P r E r r E r

D r r E r

r r

D r r E r

P r E

0

0 1 ( ) ; es constante

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

l

l

l

r

D r E r

D r

E r E r

E r

P E

libre

( )

1 1 2 2 libre 1 2

2 1 2 libre

ˆ

1ˆ ˆ volumen

2

ˆ

S V V

D ndS

D n D n S S

D D n

2n̂

1̂nlibre

1

2

2 1 2 libre

2 2 1 1 2 libre

libre 1 1, 2 2,

1, 2

12,

ˆ

ˆ

Si 0 como 0

n n

n

n

D D n

E E n

E E

E

E

1 2

2 1

1,T 2,T

0

0

0

E dl

E l E l

E E l

E E

libre

2

1

libre

0

0

D

E

D E P

q

2 libre

1ˆ

qr r

r

Zq

12

dd

2 ( ) 0r 2 ( ) 0r

1

2

1 2

0 0

Hay que resolver las ecuaciones

0

0 0

con las condiciones a la frontera en 0 :

lim limz z

x xz z

y y

E z

E z

z

E E

E E

E E

q

d

q

d

2 22 2 2 2

1 1

, , 04 4

q qx y z z

x y z d x y z d

( , , )P x y z

q

d

22 2

2

, , 04

qx y z z

x y z d

( , , )P x y z

E

3 / 22 22 2 2 2

3 / 22 22 2 2 2

3 / 22 22 2 2 2

1

1

1

x

x x y z d x y z d

y

y x y z d x y z d

z d

z x y z d x y z d

3 / 22 22 2 2 2

3 / 22 22 2 2 2

3 / 22 22 2 2 2

1

1

1

x

x x y z d x y z d

y

y x y z d x y z d

z d

z x y z d x y z d

E

3 / 2 3 / 22 22 2 2 2

1 1

, , , , 0q q

E x y z d x y z d zx y z d x y z d

3 / 222 2

2

, , 0q

E x y z d zx y z d

3 / 22 2 2

2

, ,0

q x y dE z

x y d

3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 21 1

0 , , , ,q q

E z x y d x y dx y d x y d

3 / 22 2 2

1

0x

x q qE z

x y d

3 / 22 2 2

1

0y

y q qE z

x y d

3 / 22 2 2

1

0z

d q qE z

x y d

3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 21 1

0 , , , ,q q

E z x y d x y dx y d x y d

3 / 22 2 2

2

, ,0

q x y dE z

x y d

3 / 22 2 22

0x

xqE z

x y d

3 / 22 2 22

0x

yqE z

x y d

3 / 22 2 22

0x

dqE z

x y d

1 2

0 0

Condiciones a la frontera en 0 :

lim limz z

x xz z

y y

z

E E

E E

E E

0 0

Condiciones a la frontera en 0 :

lim limx xz z

z

E E

3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2

1 2

1 2

x q q xq

x y d x y d

q q q

0 0

Condiciones a la frontera en 0 :

lim limy yz z

z

E E

3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2

1 2

y q q yq

x y d x y d

q q q

10 0

Condiciones a la frontera en 0 :

lim limz zz z

z

E E

3 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2

q q d q d

x y d x y d

q q q

1 2

q q q

q q q

2

1 2

2q q

q q q

1 2

1 2

q q

1 2

1 2

2

1 2

2

q q

q q

1 21 2 22 2 2 2

1 1 2

22 22 2

2 1 2

1 1, , 0

4

2 1, , 0

4

qx y z z

x y z d x y z d

qx y z z

x y z d

2 1

1 2 22 2 2

1 21 2 22 2 2 2

1 1 2

22 22 2

2 1 2

21

2

1 1, , 0

4

2 1, ,

Si

1 1, , 0

4

, , 0

04

0

qx y z z

x y z d x y z d

qx y z z

x y z d

qx y z z

x y z d x y z d

x y z z

0

0 1 ( )

( ) ( )

( )

( )

l

l

r

D r E r

D r

E r

P E

P

0

P 0

0

excepto en el punto donde está la carga

P 0

P

P E

E

E

P 2 21 1 12

21 12

P 2 1 12

ˆ ˆ

Como

ˆ ˆ

y

ˆ

P n P n

n n

P P n

0

0

0 0

Además

y como el dieléctrico es LIH

Así quei i i

i i i i i

D E P

P D E

D E

P E

0

P

12

P 2 1 2 0 2 1 0 1

12

0 0

2 1

Pero como

ˆˆ

tenemos

ˆ

ˆ

i i

z

i

z zz

n k

P P

P

P P n

k

0 2 1P

P 2 0 2 1 0 10

3 / 22 2

0

21 2 12

z zz z

q d

x y d

0 2 1P 3 / 22 2 2

1 2 12

q d

x y d