Capitulo 2. Relajación mecánica en polímeros · 2015. 3. 7. · Relajación mecánica...

Relajación mecánica en polímeros

3

Capitulo 2. Relajación mecánica en polímeros

2.1 Mecánica básica del medio continuo

La mecánica del medio continuo, estudia los esfuerzos que se manifiestan en el

interior de sólidos, líquidos y gases, así como las deformaciones de dichos materiales para

descubrir las relaciones mutuas entre los esfuerzos, por un lado, y las deformaciones por el

otro. Esta materia, idealiza el comportamiento de los cuerpos sin tomar en cuenta su

estructura, por lo cual es necesario revisar los conceptos de esfuerzo y deformación.

Introducción.

. Objeto y propósito de la física de polímeros

En la actualidad los materiales poliméricos han sustituido en diversas aplicaciones a

los materiales comunes tales como el vidrio, los metales, madera, etc. Al continuar con

este proceso de sustitución se desarrollan cada día los nuevos materiales poliméricos de alta

tecnología. Lo más relevante del desarrollo de estos materiales es que, dichos avances se

llevaron a cabo sin tener plenamente los conocimientos de física de materiales.

Uno de los problemas más importantes que involucra a la física de polímeros está

relacionado con la investigación de la estructura, el movimiento y deformación, así como

las transiciones de fase e interacciones que sufren estos materiales desde el punto de vista

molecular. Dicho entendimiento repercute en las propiedades físicas, químicas y

tecnológicas del material polimérico estudiado. El desarrollo de estos materiales requiere de

una continua colaboración entre físicos, químicos, tecnólogos de procesos, constructores,

diseñadores de plásticos y muchos otros.

Hasta ahora todas las bases teóricas han sido desarrolladas para todas las

propiedades físicas de los materiales poliméricos en términos de la estructura química de

moléculas individuales. Sin embargo, dichas teorías se pueden aplicar cuantitativamente

para aproximar algunos fenómenos poliméricos específicos, tales como, entropía,

elasticidad, viscosidad, deformación, fractura, cristalización, comportamiento bajo


4

mezclado y fundición. La estandarización de estos fenómenos en una teoría, requiere del

conocimiento de los campos de fuerzas y de los potenciales de rotación a los cuales están

sometidas las moléculas que constituyen el material polimérico. Todos estos datos se

vuelven más viables gracias al aumento de la cantidad de nuevas técnicas de medición y a

la optimización de técnicas computacionales, sin embargo, la dificultad fundamental es que

no se a encontrado una teoría que coincida con las propiedades de los sólidos y fundidos

poliméricos desde un punto de vista molecular.

Las macromoléculas que componen al material polimérico, en suma hacen que el

material sea representado como un sistema de multipartículas que interactúan una con otra,

además de presentar enlaces covalentes entre sus unidades monoméricas y rotaciones

limitadas alrededor del enlace, indudablemente para este caso el modelo más viable es el

desarrollado para las soluciones diluidas de cadenas enrolladas estáticamente y se aplica a

sólidos en estado amorfos.

El desarrollo de enfoques cuantitativos para este tipo de macromoléculas

(estadísticamente desordenadas) envuelve aproximaciones y cálculos computacionales

(simulación) debido a la naturaleza de los modelos propuestos, que solo pueden aproximar

más que describir cuantitativamente las propiedades de los materiales poliméricos en

términos de sus estructuras moleculares. En la actualidad dichos enfoques semiempiricos

son de gran ayuda para determinar las propiedades de procesamiento de los materiales

poliméricos.

2.1.1 Tensores de esfuerzo y de deformación

Las fuerzas que actúan en un medio continuo se clasifican en: fuerzas de cuerpo las

cuales están distribuidas de manera continua en todo el medio, y en fuerzas de superficie,

distribuidas solo en ciertas superficies. Suponiendo que una fuerza F actúa sobre una

superficie ,S estando distribuida sobre la superficie de manera continua, de modo que a

una pequeña área parcial S∆ corresponda una pequeña parte F∆ de la fuerza total, se

entiende por “esfuerzo” en un punto P de la superficie al límite:


5

dS

dFS

=∆∆

→∆ S

Flim

0 (1)

Los esfuerzos de manera general son fuerzas superficiales. Si consideramos un

punto en el interior de un medio continuo, no tiene sentido hablar de esfuerzo en dicho

punto si no se relaciona con un plano ideal que pase por él. Si imaginamos que se corta el

cuerpo en un plano (véase figura 1), pero que el equilibrio se conserva, hay que imaginar

también distribuida uniformemente sobre todo el corte una fuerza de superficie sF cuya

resultante es igual y contraria a oF . El esfuerzo correspondiente será dS

dFs=T y será

normal a la superficie AB .

Figura 1. El esfuerzo correspondiente a la sección AB es normal a la sección misma.

Si el corte fuese oblicuo (véase figura 2), la fuerza superficial daría lugar a un

esfuerzo 'T menor, porque el área CD es mayor que el área AB . Además, el esfuerzo

resulta ahora oblicuo con respecto a la nueva superficie de corte, por lo que puede

descomponerse en una componente normal σ y una tangencial τ .


6

Figura 2. El esfuerzo correspondiente a la sección CD es oblicuo, y puede descomponerse

en una componente normal σ y una componente tangencial τ .

Los esfuerzos sobre cualquier plano que pase a través de un punto P puede ser

determinado de una cantidad llamada el tensor de esfuerzo. El tensor de esfuerzo es un

operador matemático especial que puede ser usado para describir el estado de esfuerzo a

cualquier punto de un cuerpo. Para ayudar a visualizar el concepto de tensor de esfuerzo,

imaginemos ahora que de nuestro continuo tomaremos un cubo de dimensiones

infinitesimales, sometido a la influencia de una fuerza, y que mostramos en la siguiente

figura 3:

Figura 3. Estado de esfuerzos a un punto.

Los esfuerzos superficiales relativos a cada cara de este cubo, los podremos expresar como

vectores para cada dirección unitaria:

y

z

x

σ yy

τ xy

τ zy τ yx

σ xx

τ zx

τ yz

τ xz σ zz


7

( )( )( ) kσjτiτkT

kjσiτjT

kτjτiσiT

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

t

++=

++=

++=

(2)

Utilizando la notación de matricial para escribir las componentes del tensor de esfuerzo

tenemos que (aquí hemos cambiado la representación, σ por T):

=

333231

232221

131211

στττστττσ

σ (3)

Donde el primer subíndice indica la dirección del esfuerzo, mientras que el segundo la

dirección del vector normal a la superficie donde éste se aplica. Las componentes de la

diagonal, con subíndices iguales iiσ , están relacionadas con los esfuerzos normales. Desde

el punto de vista físico, estas componentes están asociadas con extensiones o compresiones

(según su sentido) en el material. Las componentes fuera de la diagonal ijτ , son las

componentes tangenciales del esfuerzo y están asociadas con los esfuerzos de corte. Una

propiedad del tensor de esfuerzos es su simetría, es decir, que con solo seis componentes

independientes puede totalmente descrito, es decir:

322331132112 ,, ττττττ === (4)

En notación de Gibas, mostramos que el tensor de esfuerzos es simétrico escribiendolo

como:

T

=

σσ (5)

donde T

σ es llamada la transpuesta del tensor de esfuerzo.

Como se vio arriba, para un cuerpo cualquiera es posible tomar un corte de manera

tal, que solo un esfuerzo normal actúe sobre dicho plano que pasa por el punto P. Éste es

llamado el plano principal y los esfuerzos normales que actúan sobre él, son conocidos

como los esfuerzos principales. Se puede demostrar que para cada punto del cuerpo existen

tres planos principales y tres esfuerzos principales. Podemos visualizar los esfuerzos

principales en términos del elipsoide de esfuerzos (véase figura 4), también conocido como

elipsoide de Lamé.


8

Figura 4. Elipsoide de esfuerzos.

En la figura 4, σ1, σ2 y σ3 son los tres ejes del elipsoide y representan los esfuerzos

principales y 1

→σ , 2

→σ y 3

→σ son las respectivas direcciones principales. Si se representa al

tensor de esfuerzos, σ , en este nuevo sistema de coordenadas formado por los esfuerzos

principales, las componentes de los esfuerzos de corte se anulan, por lo tanto, el tensor de

esfuerzos en esta representación se escribe como:

[ ]

=

3

2

1

,,00

00

00

321 σσ

σσ

σσσ (6)

Donde, los subíndices 1→σ , 2

→σ y 3

→σ que aparecen en la expresión 4 son las direcciones

principales del tensor de esfuerzos. A la expresión (4) se le conoce como la forma

diagonalizada del tensor de esfuerzos.

Un caso particular del tensor de esfuerzos es de la presión uniforme. Así, los

esfuerzos normales son llamados la presión hidrostática p. Esto es, para un fluido en repóso

el tensor de esfuerzo se escribe como:

−=

−−

−=

100

010

001

00

00

00

p

p

p

p

σ (7)

Después de haber obtenido una forma de determinar el estado de esfuerzos a

cualquier punto en un material mediante el tensor de esfuerzos, necesitamos medir ahora de

manera similar las deformaciones presentes en el material por la acción del estado de

esfuerzos. Una clasificación importante de las deformaciones es la que las subdivide en

“isotrópicas” y “distorsiónales”. Se dice que una deformación sufrida por un medio en la

σ1

σ2

σ3

1

→σ

2

→σ

3

→σ


9

proximidad de cierto punto es isotrópica siempre que sea la misma en todas las direcciones

trazadas por el punto. El resultado de una deformación isotrópica es un cambio de volumen,

no de forma. La deformación distorsional, es una deformación que no ocasiona cambios de

volumen, solo de forma. Por lo tanto, una deformación cualquiera puede siempre suponerse

que se obtiene, idealmente, debido a la sucesión de una deformación isotrópica y de una

distorsional.

Imaginemos que se traza idealmente, dentro de un medio continuo, un vector

unitario n. Este vector se irá modificando a medida que el medio se deforma. Se define

como tensor de las deformaciones (unitarias) L la homografía vectorial que, aplicada al

vector unitario n, da la deformación sufrida por él. Si el tensor L se escribe bajo la forma

análoga a la (3):

( )( )( ) kεjγiγkL

kγjεiγjL

kγjγiεiL

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

++=

++=

++=

(8)

lo cual puede ser escrito mediante notación matricial de la siguiente manera:

[ ]

=

333231

232221

131211

εγγγεγγγε

ε (9)

Los coeficientes zzyyxx εεε ,, , representan las magnitudes de las deformaciones unitarias

longitudinales (o elongaciones) sufridas por los vectores i, j, k , respectivamente ijγ

representan las magnitudes de las deformaciones unitarias angulares sufridas por dichos

vectores, en sentido normal al eje correspondiente al primer subíndice y paralelo al eje

correspondiente al segundo. Al igual que el tensor de esfuerzos, el tensor de deformación es

un tensor simétrico, que describe el estado de deformación y rotación a cualquier punto.

Una diferencia con el tensor de esfuerzos, el cual solo depende del estado actual, el tensor

de deformación depende sobre el estado actual y pasado de deformación.

2.1.2 Leyes básicas de la mecánica del medio continúo


10

El problema fundamental de la mecánica de los medios deformables, es la

predicción de las deformaciones que resultarán en el medio, cuando éste se sujete a un

estado de esfuerzos determinado, o bien de los esfuerzos que aparecerán bajo cierto estado

de deformaciones. Un primer paso en la comprensión de este problema lo damos cuando

comparamos el comportamiento tan distinto del sólido y del fluido, cuando ambos se

sujetan a esfuerzos distorsiónales de pequeña intensidad. El sólido empieza deformándose

con relativa rapidez hasta alcanzar una deformación total. Por el contrario, en el caso de un

fluido, un esfuerzo distorsional mínimo es suficiente para ponerlo en movimiento. Estos

dos efectos están íntimamente relacionados con las propiedades conocidas como elasticidad

y viscosidad, y con el hecho de que la primera predomina en los sólidos y en los fluidos la

segunda. Ahora, dicha relación entre una cantidad dinámica (esfuerzo) y una cinemática

(deformación o rapidez de deformación) a través de una propiedad intrínseca del material

es conocida como la ecuación constitutiva del material y es la determinación de estas

ecuaciones constitutivas el objetivo primordial de la mecánica del medio continuo.

Se dice que un material se comporta elásticamente cuando sus deformaciones son

proporcionales a los esfuerzos locales, pero es independiente a la velocidad de

deformación. Esta relación es conocida como la ley de Hooke; y se llama cuerpo de Hooke

al material ideal de comportamiento perfectamente elástico. Además, la deformación es

llamada elástica si el cambio de forma o volumen inducido por el esfuerzo es

completamente recuperado cuando la acción del esfuerzo se elimina. En la región elástica la

relación entre el esfuerzo y la deformación es típicamente lineal.

La ley de Hooke describe la relación entre los tensores de esfuerzo y de

deformación. Cada una de las componentes de la matriz de deformación (expresión 1) tiene

seis componentes asociadas de manera que en el caso más general, cada componente del

tensor de esfuerzos será una función de las seis componentes del tensor de deformación.

Asumiendo la relación lineal, obtenemos una ecuación con 36 constantes. Por lo que la

forma generalizada de la ley de Hooke se podría escribir como sigue:

∑=nm

nmiknmik C εσ (10)

donde iknmC representa un tensor (matriz de transformación) de cuarto orden con 21

coeficientes independientes. Sin embargo, dependiendo de la simetría del material bajo


11

estudio la complejidad de la ecuación puede ser considerablemente reducida. Por ejemplo,

para describir la relación lineal entre el esfuerzo y la deformación para un cristal hexagonal

solamente se requieren cinco constantes elásticas, así para un cristal cúbico solo se

requieren tres coeficientes y para un sólido isotrópico únicamente dos.

Diferentes constantes elásticas de proporcionalidad son comúnmente usadas, y ellas

difieren solo en el tipo de esfuerzos y deformaciones a las cuales están relacionadas, por

ejemplo:

εσ=E Módulo de Young (11a)

γτ=G Módulo de corte (11b)

VVB HIDRO

/∆=

σ Módulo volumétrico (11c)

En las ecuaciones de arriba, σ es la tensión o compresión uniaxial, τ es el esfuerzo de corte,

HIDROσ es el esfuerzo de tensión o compresión hidrostático, ε es la deformación uniaxial, γ

es la deformación en corte y ∆V/V es la fracción del volumen en compresión o expansión.

La razón de Poisson, ν, es otra constante elástica, y es la razón de las deformaciones

transversales y axiales.

x

y

εε

υ−

= (11d)

Para el caso de una elongación uniaxial o corte simple de un material isotrópico

(véase figura 5 y 6), la ley de Hooke se reescribe de la siguiente forma:

xx Eεσ = (12)

xyxy Gγτ = (13)

donde E es el módulo de Young, G es el módulo de elasticidad de y J es la complianza de

corte.

l ∆l

σx

εx= ∆l/l = (1/E)σx


12

Figura 5. Elongación uniaxial.

Figura 6. Corte simple.

Nota: Si los módulos son la medida de dureza de un objeto su complianza es la medida de su

suavidad. En regiones lejanas de las de transición la complianza de elongación J se define como 1/

E. Para regiones cercanas a las de transición la relación es mucho más compleja. Por otra parte, la

complianza da una medida de la elasticidad máxima que un sistema polimérico puede almacenar.

Para líquidos ideales bajo corte la relación de proporcionalidad existente entre el

esfuerzo y la deformación está dada por la ley de fricción de Newton. El flujo de corte

simple se genera en un fluido que se encuentra contenido entre dos placas sólidas, infinitas,

planas y paralelas, una fija y la otra en movimiento con una velocidad xv (véase figura 5).

Se puede suponer que el fluido entre las placas está compuesto por una serie de láminas

paralelas a éstas. Si la placa superior súbitamente se pusiera en movimiento, las láminas

adyacentes se deslizarían sin mezclarse. Si la distancia entre las placas es suficientemente

pequeña, se forma un perfil de velocidades lineal como el mostrado en la figura 7.

Figura 7. Representación esquemática de un flujo de corte simple.

y

x

z

v

ϕ

τxy

γxy=tg ϕ = (1/G)τxy = Jτxy

τyx


13

Entonces, es de esperar que con la aplicación del flujo se desarrolle un gradiente de

la velocidad dy

dvx entre cada una de las capas que conforman el fluido. Como se mencionó

en la sección 2.1.1, la matriz que representa al tensor de esfuerzos es simétrica, entonces

tenemos que yxxy ττ = . Así, al utilizar la ley de Newton para los fluidos viscosos podemos

escribir la relación del esfuerzo y la rapidez de deformación de la siguiente forma:

dy

dvxxy ητ = (14)

donde η es la viscosidad de corte del fluido. Por otro lado, podemos definir el tensor

gradiente de velocidad ij

v

∇→

como sigue:

j

i

ij x

vv

∂∂

=

∇→

(15)

donde zyxxk ,,= . Retomando el ejemplo de flujo de corte simple tenemos que la única

componente que es diferente de cero en el tensor gradiente de velocidad es

dy

dv

y

vv xx

ij

=∂∂

=

∇→

. Luego, definamos el tensor rapidez de deformación como la parte

simétrica del tensor gradiente de velocidad.

i

j

j

i

ij x

v

x

v

∂∂

+∂∂

=

•γ (16)

Así, la única componente del tensor rapidez de deformación no nula es xy

•γ y se escribe

como:

dy

dvxxy =

•γ (17)

Regresando a la expresión (10), encontramos que la relación de esfuerzo y rapidez de

deformación se reescribe como:

xyxy

•= γητ (18)

Flujo viscoso (corregir los números en las ecuaciones y figuras, a partir de esta sección en

adelante)


14

Para un flujo extensional unidireccional, tenemos que la relación del esfuerzo y la rapidez

de deformación se escribe como:

•= xx εµσ (16)

donde µ es la viscosidad extensional y •

xε es la rapidez de deformación extensional.

Además:

GE 3= (17)

ηµ 3= (18)

son relaciones que se satisfacen para sólidos y fluidos incompresibles de acuerdo con la ley

de Trouton*) .

*) Trouton (1906) a partir de experimentos de corte y tensión uniaxial encontró que la relación entre esfuerzo

y gradiente de velocidad era tres veces mayor en flujo uniaxial que en corte.

En elasticidad isotrópica, si dos de las cuatro constantes elásticas son conocidas, E,

G, B, y ν, para un material el cual es homogéneo (en el cual las propiedades no varían de

punto a punto) e isotrópico (en el cual todas las propiedades a cualquier punto son idénticas

en todas las direcciones), las otras dos pueden ser obtenidas mediante las siguientes

relaciones:

12

)21(3

)21(3

−=

+=

−=

G

E

EG

EB

ν

ν

ν

(19)

Para el caso de fluidos y sólidos elásticos ideales, el módulo y la viscosidad son

constante materiales reales que son independientes del curso de la deformación (véase

figura 6).


15

Figura 6. Comportamiento de la deformación para un sólido elástico ideal o para un fluido ideal con un

incremento instantáneo del esfuerzo.

Tales casos de sólidos elásticos y líquidos ideales representan los extremos en el

comportamiento de los sólidos y líquidos reales. Una clase de materiales que poseen ambas

propiedades, viscosidad y elasticidad, son conocidos como materiales viscoelásticos y

existen una gran variedad de éstos, como son los materiales poliméricos. Para un material

que presenta viscoelasticidad tenemos que los esfuerzos no dependen únicamente de la

deformación, rapidez de deformación, etc., sino también sobre la historia de la deformación

(esfuerzos) del material.

Por esta razón, los fluidos viscoelásticos son llamados fluidos con memoria, porque

tiene una influencia en el presente estado de esfuerzos. Para los materiales reales, es más

importante la historia de deformación reciente que la historia más distante, por lo tanto,

podemos decir que estos materiales presentan pérdida de memoria. Así, podemos esperar

diferencias en el comportamiento mecánico entre los materiales viscosos, elásticos y

viscoelásticos en situaciones dependientes del tiempo.

2.2 Experimentos de relajación y fluencia en polímeros

En el limite de deformaciones infinitesimales, la respuesta de los materiales

viscoelásticos a perturbaciones mecánicas es de gran interés. Dos tipos de experimentos

que comúnmente son empleados para determinar el comportamiento viscoelástico de los

materiales son fluencia y relajación. Una respuesta típica de un material viscoelástico

durante la aplicación de un esfuerzo constante se ilustra en la figura 7.

γ

t

γ = (1/G0)τ0 =J0

γ = (1/η0) t τ0

τ

τ0


16

Figura 7. Diferentes efectos durante los experimentos de fluencia y relajación a esfuerzo constante.

2.2.1 Experimento de fluencia

Un experimento de fluencia consiste en aplicar al material un esfuerzo constante de

manera instantánea a un cierto tiempo (t = 0) y registrar la evolución temporal de la

deformación de corte.

Figura 8. Fluencia de un material polimérico después de aplicarse un esfuerzo instantáneo.

>

<==

0

00)()(

0

00t

ttet

σσσ (14)

En la ecuación (14), e(t) es conocida como la función escalón. Así, este esfuerzo genera una

fluencia instantánea dependiente del tiempo en el material (véase figura 8)

00 )()(

1)( σσε tJ

tMt == (15)

ε

t

σ0 σ

0

ε3

ε2

ε1

ε

t

σ0 σ

0

Viscoelástico

Fluencia Relajación

Elástico

Viscoso

Viscoso

Viscoelástico

t0


17

donde M(t) es la función que describe el módulo asociado al esfuerzo aplicado y J(t) es la

fluencia o función de retardación, también conocida como complianza. La función de

complianza, por otra parte, nos proporciona una medida de la elasticidad máxima que un

sistema polimérico deformado puede almacenar. En experimentos de fluencia, la

complianza no depende del esfuerzo como se observa en la ecuación (15).

Ahora, las ecuaciones para las deformaciones mostradas en la figura 8, pueden escribirse

como:

001 σε J= Deformación de Hooke (16a)

02 )1( σε στ∑

−−∆=

k

t

kkeJ Deformación altamente elástica (relajación) (16b)

03 ση

ε t= Flujo Newtoniano (16c)

La suma en la ecuación (16b) toma en cuenta la naturaleza del proceso real de la

fluencia, ya que no sucede con una simple constante de tiempo. De manera general, el

proceso de fluencia toma en cuenta los espectros de tiempos de relajación del sistema. Si

tenemos un espectro de tiempos de relajación continuo, la suma de la ecuación (16b) se

puede reemplazar por una integral de la siguiente forma:

00 ln)1)(((ln)(

ηττ τ t

deLJtJt

+−+= ∫+∞

∞−

− (17)

donde el termino de la integral contiene la información de la historia reciente de la

deformación del material.

Ejemplo (Ernesto Rianda et al., Polymer viscoelasticity: stress and strain in practice,

Marcel Decker, 2000).

1) Un material viscoelástico bajo torsión entre dos placas paralelas separadas por una

distancia h de 0.5 mm, rota en un ángulo de 1° a 10 s. Determine la complianza a t =10 s, si

la torca es de 200 Nm y el radio R del plato es 2 cm. Véase la figura A.


18

Figura A.

Solución.

Si las fuerzas son despreciadas y las deformaciones son infinitesimales, las

relaciones de esfuerzo y deformación pueden ser expresadas como relaciones entre fuerzas

y desplazamientos a través de las características geométricas del sistema. Para pequeños

desplazamientos el esfuerzo deberá estar relacionado a la torca M por:

θσ

drdr

dM2

= (A.1)

Por otro lado, de la relación entre esfuerzo y deformación, la deformación está dada por

)()()( tH

rtJt ϕσε == (A.2)

donde )(tϕ es el ángulo de rotación del plato en movimiento. Entonces de las ecuaciones

A.1 y A.2 tenemos que

)()(2

tH

r

drdr

dMtJ ϕ

θ= (A.3)

Integrando la expresión A.3, obtenemos

)(2

)(4

tH

R

MtJ ϕπ

= (A.4)

Por lo tanto, para R= 0.02 m, H = 0.0005 m y 360

2πϕ = , tenemos que la complianza es de

18104.4)( −−≅ PaxtJ .

2.2.2 Experimento de relajación

R H dθ

dr r

dS = rdrdθ


19

En el caso anterior, se estudio la fluencia de un material manteniendo constante el

esfuerzo, ahora consideremos el siguiente experimento: fijemos un escalón de la

deformación como en la figura 9. En esta figura se muestra de manera esquemática la forma

en la cual relaja el sistema y la forma en la cual se recupera después de retirar de forma

repentina la deformación constante.

Figura 9. Efectos durante un experimento de relajación de esfuerzo. En la escala derecha se aplica un escalón

en la deformación y el escala de la izquierda se registra la relajación del esfuerzo con el tiempo.

En el momento que se aplica la deformación al sistema, éste experimenta una

deformación instantánea, como en la figura 10. De la ley de Hooke, tenemos que la

relajación del esfuerzo en el sistema se escribe como:

0)()( εσ tMt = (19)

Luego, podemos escribir el módulo de relajación del sistema utilizando como apoyo la

figura 10, que es la manera en la cual el sistema relaja en presencia del siguiente escalón de

deformación:

>

<==

0

00)()(

0

00t

ttet

εεε (18)

t 0 t0

ε ε0 σ

Relajación Viscoelástica

Elástico

Viscoso

Recuperación Viscoelástica

Elástico


20

Figura 10. Relajación de esfuerzos. Cuando ∞→t el sistema relaja y el esfuerzo alcanzado en este limite

es )()()( ∞∞=∞ εσ M .

∑−

∆++= ∞k

kk

t

eMMtMtMστ

δ )()( 0 (20)

donde al igual que en el caso anterior el termino de la sumatoria establece la historia

reciente de deformación del sistema.

Ejemplo (Ernesto Rianda et al., Polymer viscoelasticity: stress and strain in practice,

Marcel Decker, 2000).

1) Considere una barra cilindrica de 10 cm de longitud y 2 mm de radio. El módulo de corte

para esta barra está dado por

GPattM )3.1exp(6812.0)( −+= (B.1)

a) Encuentre los esfuerzos a t =1 s, 10 min, 1001 s. 30 mim y 1 hora, tomando en cuenta la

siguiente historia de deformación:

0,0 =< θt

1.0,10000 =<≤ θst

04.0,1000 =∞<≤ θts

donde θ es el ángulo de torsión en radianes.

b) ¿A que tiempo el esfuerzo deberá ser cero?

t 0

ε ε0 σ

σ(∞)= M(∞)ε∞


21

Solución

a) Grafiquemos las diferentes respuestas del sistema

De la ecuación (19) tenemos que

∑ ′∆′−= )()()( tttMl

rt θσ (B.2)

donde hemos considerado que

l

rφε =

Entonces, el esfuerzo para los diferentes tiempos se calcula de la siguiente forma

Para t = 1 s

[ ] Paxxxxx

x 692

3

10907.11.010)13.1exp(6812.01010

102 =−+= −

−

σ

θ(t)

t 103 s

0.04

0.1

σ(t) Pa

t 103 s

3362 x 106

1362 x 106

5458 x 105

-6550 x 105


22

Para t = 600 s

[ ] Paxxxxx

x 692

3

10362.11.010)6003.1exp(6812.01010

102 =−+= −

−

σ

Para t = 1001 s

[ ][ ]

Paxxxx

xxx

x

x 5

9

9

2

3

1018.2)1.004.0(10)13.1exp(6812.0

1.010)10013.1exp(6812.0

1010

102 =

−−++−+

= −

−

σ

Para t = 1800 s

[ ][ ]

Paxxxx

xxx

x

x 5

9

9

2

3

10458.5)1.004.0(10)8003.1exp(6812.0

1.010)18003.1exp(6812.0

1010

102 =

−−++−+

= −

−

σ

El incremento en el esfuerzo revela el efecto de memoria producido por la historia de

deformación del material.

b) El tiempo en el cual el esfuerzo es cero puede ser obtenido mediante la siguiente

expresión

[ ][ ]

0)1.004.0(10))1000(3.1exp(6812.0

1.010)3.1exp(6812.0

1010

1029

9

2

3

=

−−−++−+

= −

−

xxt

xxt

x

xσ

consiguiendo un valor aproximado de st 6.1000≅ . En este tiempo, el paso positivo del

esfuerzo es compensado por uno negativo, dando como resultado un esfuerzo cero.

2.2.3 La ley básica para la fluencia y la relajación

Si los procesos de los fluidos puramente viscosos se anulan, entonces, la base

dependiente del tiempo de las funciones retiene únicamente una componente elástica y una

de relajación. Así, cuando ∞→t , tenemos que el esfuerzo y la deformación se vuelven

proporcionales entre sí.

∞∞

∞ = Mεσ

(21)

En este caso, el comportamiento del esfuerzo y la deformación puede escribirse de

manera simple:


23

( )εετ

εε

−= ∞

• 1 (22a)

( )σστ

σσ

−= ∞

• 1 (22b)

Sustituyendo los términos ∞ε y ∞σ en la ecuación (21), obtenemos la ecuación fundamental

para un cuerpo en una relajación simple.

)(•

∞

•+=+ ετεστσ εσ M (23)

2.3 Experimentos de relajación dinámica

Además de los experimento s de fluencia y relajación, otro tipo de experimentos son

los dinámicos. En las pruebas dinámicas el esfuerzo y la deformación, modulados por una

función escalón, se encuentran oscilando con una frecuencia ω y pueden o no estar en fase.

El desfasamiento entre el esfuerzo y la deformación se establece por el ángulo δ. A muy

altas frecuencias, 0→δ , el material se comporta como un sólido puramente elástico. A

muy bajas frecuencias, 2πδ → , el material se comporta como un fluido viscoso. En

general, conforme la frecuencia disminuye la amplitud del esfuerzo se reduce y el δ

aumenta.

Si establecemos que el esfuerzo y la deformación varían senosoidalmente con respecto al

tiempo (véase figura), entonces

)()( 0 δωσσ += tsent (24a)

)()( 0 tsent ωεε = (24b)


24

Figura 11. Ondas senosoidales del esfuerzo y deformación con una diferencia de fase δ. Descomponiendo la

onda de esfuerzo en dos ondas con una diferencia de fase de 90 °.

Ahora podemos escribir la onda de esfuerzo a partir de su descomposición de la siguiente

forma

ttsen ϖσϖσσ cos(t) 00 ′′+′= (25)

Al desarrollar la ecuación 24b), tenemos:

tsentsen ϖδσϖδσσ coscos(t) 00 += (26)

Al igualar las anteriores expresiones, encontramos que:

δσσ cos00 =′ y δσσ sen00 =′′ (27)

Sabemos que el esfuerzo al igual que la deformación tiene una representación en el plano

complejo, entonces definamos el módulo complejo de la siguiente forma:

MiMM ′′+′=* (28)

que en general, estas son funciones de la frecuencia que del tiempo. Donde M ′ es el

módulo de almacenamiento proporcional a la parte elástica del material, mientras que

M ′′ es el módulo de perdida y está asociado con la parte viscosa del material. Entoces

podemos definir las siguientes relaciones:

δεσ

εσ

cos0

0

0

0 =′

=′M (29a)

δεσ

εσ

senM0

0

0

0 =′′

=′′ (29b)

δtan=′′′

M

M (29c)

γ

σ

δ

γ0

σ0

σ’0

σ’ ’0


25

donde tanδ representa un factor de perdida indicativa del desfasamiento entre el esfuerzo y

la deformación. Y es una medida de la fricción interna en el material.

Al aplicar una transformada de Fourier y pasando el esfuerzo y la deformación en

función de ω, se obtienen las siguientes relaciones:

tiet

ϖεε 0)( = (30a)

)(0)( δϖσσ −= tiet (30b)

Representando en el plano complejo el esfuerzo y la deformación tenemos que:

Figura12. Representación compleja.

Tomando las ecuaciones (30a) y (30b) y sustituyéndolas en la ecuación (23) y tomando el

límite de ∞→t , que es mayor o igual al límite de 0→ϖ , encontramos la siguiente

relación:

)1()1( 0 ϖτετϖσ εσ iMi +=+ (31)

σ

ε

ττ

ϖεϖσ

0)(

)(MM =

∞→∞→=∞ (32)

en la expresión (31) tenemos ετ es siempre mayor que στ , debido a que 0MM >∞ .

Definamos la magnitud de la relajación como ∆M = M∞- M0. Luego, para cualquier

frecuencia la ecuación (31) puede ser usada para obtener el módulo dinámico complejo.

Aquí podemos reescribir en términos de la frecuencia los módulos de perdida y

almacenamiento como sigue:

22

22

01

)(τϖ

τϖϖ+

∆+=′ MMM (33a)

22

22

1)(

τϖτϖϖ

+∆=′′ MM (33b)

σ

ε δ

M´´= (σ0/ ε0)sinδ

M´= (σ0/ ε0)cosδ

│M*│= (σ0/ ε0)


26

En la figura 13 presentamos las componentes del módulo complejo como una función de la

frecuencia (ecuaciones 33a y 33b) para proceso de relajación simple.

Figura 13. Componentes del módulo complejo como función de la frecuencia para un proceso de relajación

simple.

2.4. Mediciones técnicas para el amortiguamiento.

La dependencia de la deformación elástica con el esfuerzo y el tiempo, es conocido

como el efecto anelástico. En materiales sujetos a esfuerzos cíclicos, el efecto inelástico

causa un amortiguamiento interno, es decir una decaimiento en la amplitud de vibración y

por lo tanto, una disipación de energía. La aproximación asintótica de la deformación

elástica a su punto de equilibrio con el paso del tiempo después de la aplicación de una

carga es conocida como el efecto tardío elástico (elastic aftereffect). En estructuras sujetas a

un proceso cíclico de carga o de vibración, se produce una disipación de energía o

amortiguamiento (camping), debido principalmente a procesos de fricción internos. La

energía de igual manera es disipada durante un proceso de carga isotérmico por

deformaciones plásticas.

La curva de esfuerzo y deformación de un material bajo condiciones de carga y

descarga cíclicas se puede observar en la siguiente figura.

M´= Módulo de almacenamiento

M´´= Módulo de perdida

M0+∆M

0 -1

-2 -3 -4

-5 1 2 3 4 5

ω= 1/τ

M0

log(ωτ)


27

Figura a) Trabajo elástico realizado en el proceso de carga, b) energía elástica recuperada durante el proceso

de descarga y c) energía disipada en el ciclo de carga y descarga, representada por el ciclo de histéresis.

En la figura anterior, la energía almacenada durante el ciclo de carga (figura ) es

representado por el área bajo la curva ( ∫= εσ dárea y tiene unidades de energía por

unidad de volumen). La energía recuperada durante el proceso de descarga está

representada por el área bajo la curva de la figura… La diferencia entre el trabajo realizado

en el proceso de carga y la energía recuperada en el ciclo de descarga, es igual a la energía

disipada durante todo el proceso. Esto puede ser fácilmente representado por el ciclo de

histéresis presentado en la figura….y matemáticamente de la siguiente forma:

∫=∆C

dW εσ ()

El área que encierra el ciclo de histéresis es una función de la frecuencia del ciclo de carga

y descarga. Si la frecuencia es muy baja, el ciclo de histéresis debe ser completamente

isotérmico, en cuyo caso el área encerrada por el ciclo es extremadamente pequeña. Ahora,

si la frecuencia del ciclo es muy alta, las trayectorias de carga y descarga serán

completamente adiabáticas y otra vez el área encerrada por el ciclo de histéresis es muy

pequeña. Pero para frecuencia intermedias, el área encerrada por el ciclo es máxima, como

se muestra en la figura …

σ

ε

σ

σ

ε ε

σ

ε ε

σ

σ

ε

a) b) c)

Trabajo elástico

Trabajo elástico

recuperado Ciclo de

histéresis


28

El pico de la curva de energía disipada ocurre para frecuencias en la cual el tiempo

por ciclo es comparable al tiempo de relajación para el proceso responsable de la disipación

de energía. Este es el promedio del tiempo requerido para que se lleven a cabo rearreglos

internos, los cuales tienden a ocurrir durante ciclos de esfuerzos.

El termino de (camping capacity) capacidad de amortiguamiento refiere a la capacidad de

un material, bajo un ciclo de esfuerzos, para disipar energía a través de fricción interna.

2.4.1 Disipación de energía ante condiciones de peso definidas.

Como ya se mencionó arriba, que un material cuando se encuentra de carga este

inevitablemente, una cantidad de energía ∆W será convertida irreversiblemente en calor.

Esa pérdida de energía se puede representar como el área que esta encerrada en una elipse

ε ε

σ

σ

ε ε

σ

σ1

ε

σ

σ

ε ε

σ σ

ε

σ1 σ1

ε ε ε ε ε ε ε

Frecuencias

f

f

f

f

f

∆W


29

producida cuando σ y ε se grafican en un sistema de coordenados de ángulos rectos (véase

figura 14).

Figura 14. Perdida de energía durante un ciclo de esfuerzos dinámico.

El área encerrada en esta elipse esta dada por

δεσπεσ sendW 00==∆ ∫ (34)

que es la energía disipada durante el proceso. Dependiendo de la naturaleza de la carga

aplicada, se pueden obtener diferentes expresiones para la energía disipada. A continuación

se presentan tres procesos de carga característicos.

a) Experimento a deformación constante: ε01 =ε02 =ε03. (Véase figura 15)

Figura 15. Energía disipada manteniendo la deformación constante.

Así para el proceso de aplicar diferentes cargas para obtener la misma deformación, el

módulo de perdida es de gran utilidad para la cuantificación.

∆ W= π M0 ε02 senδ= π M´´ε0

2 (35)

ε

σ0

σ

ε

ε0

σ01

σ

ε

σ02


30

∆ W1/∆ W2 = M´´1 /M´2 (36)

b) A esfuerzo constante: σ01 = σ02 = σ03 . (Véase figura 16)

Figura 16. Energía disipada manteniendo el esfuerzo(carga) constante.

∆ W= π σ02 (senδ/M0) = π J´ σ0

2 (37)

La energía disipada durante el proceso de carga dinámico con un esfuerzo constante es

determinada por la perdida de complianza:

∆ W1/∆ W2 = J´´1 /J 2 (38)

c) A energía constante: (σ0 ε0)1= (σ0 ε0)2 =(σ0 ε0)3. (Véase figura 17)

Figura 17. Energía disipada manteniendo la energía constante.

∆ W= π σ0 ε0 senδ (39)

σ

σ0

ε01 ε

ε02

ε

σ

σ01

ε01 ε02

σ02

∆W1

∆W2


31

Durante el proceso de carga dinámica, manteniendo una energía constante, la perdida de

energía estará determinado por el factor de perdida tanδ.

La resistencia a la rodadura de las llantas de los vehículos se debe primordialmente

a los procesos envueltos de disipación de energía de la red polimérica de la huella del

neumático. A partir de la resistencia a la rodadura tiene influencia en la cantidad de

combustible consumido, habiendo un considerable interés en minimizar tal pérdida de

histéresis. Por otro lado, el mismo procedimiento resulta en una mejora a la tracción en piso

mojado, por lo que el desarrollo de la huella optima en las llantas envuelve inherentemente

incrementa el mejor compromiso.

La resistencia a la rodadura (fuerza) puede ser establecida mediante el siguiente esquema

como:

Figura Resistencia a la rodadura.

M = eN

donde e es el coeficiente de resistencia a la rodadura, N es la componente normal de la

reacción y Fsf es la componente tangente de la reacción.

Existen diferentes equipos para medir la resistencia al rodamiento, un equipo nuevo

es el que se muestra en la siguiente figura:


32

Figura Prueba mecánica para medir la resistencia al rodamiento de las llantas.

Evalúa la posibilidad de incluir las graficas que se encuentran en el libro, de resistencia

relativa a la rodadura y tracción de mojado.

2.4.2 Elasticidad de rebote

La elasticidad de rebote como se determina con el péndulo oscilatorio es

particularmente una medición útil para la capacidad de amortiguamiento de los materiales,

el cual es empleado en la industria de los plásticos. De la diferencia ∆W en la energía

cinética del péndulo donde W0 es la energía inicial y W1 final, la elasticidad de rebote R

esta dada por

R= 1-∆W/W0 (40)

La prueba involucra oscilaciones de amortiguamiento libres:

R = h1/h2 = h2 /h1 =h3 /h2… (41a)

R= W1 /W0 = W2 /W1 = W3 /W2 =… (41b)

La amplitud de estas oscilaciones disminuye exponencialmente de la siguiente forma

Prueba de resistencia al rodamiento


33

R = hn+1/hn = 1-∆W/W0 = e-Λ (42a)

Λ = ln(1/(1-∆W/W0) ≈ ln(1+∆W/W0) (42b)

Expandiendo la última ecuación (expansión de Taylor de la función de logaritmo natural)

se obtiene:

Λ = ∆ W/W0 +½(∆ W/W0)2 + ⅓ (W/W0)

3 (43)

Sabiendo que

Λ=π tanδ (44)

La primera aproximación de la elasticidad de rebote sería que la función tangencial esta en

el intervalo de –1 a 1 , por lo que ∆W/W0< 1 y se puede escribir:

R = 1- π tanδ (45)

Bibliografía

1. Ulrich Eisele, Introduction to polymer physics, Edit. Springer-Verlag, Nueva York,

1990.

2. C. W. Macosko, Rheology: Principles, Measurements and Applications, Edit. Wiley-

VCH, Nueva York, 1994.

3. Ernesto Riande et al., Polymer viscoelasticity: stress and strain in practice, Marcel

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6. W. Birley et al., Physics of plastics: Processing, properties and materials engineering,

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7. D.W. Clegg y A. Collyer, The structure and properties of polymer materials, The

Institute of Materials (Inglaterra), 1993.

8. Hayden, Moffatt, Wullff, The structure and properties of materials, Volumen III, John

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Capitulo 2. Relajación mecánica en polímeros · 2015. 3. 7. · Relajación mecánica...

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