CAPITULO 2. PROPIEDADES DE TRANSPORTE. 27

CAPITULO 2. PROPIEDADES DE TRANSPORTE. 27

Habrá pues un flujo neto de A en la dirección y. Para calcular este flujo difusivo suponemos que las moléculas que llegan desde abajo tienen su última colisión en y las que llegan desde arriba la

1 Y t \ Y ——

i \

Y-X X

x FIGURA 2.1

tienen en y-M-. Se supone en este modelo simplificado que la tercera parte de las moléculas totales se mueven a lo largo de cada uno de los tres ejes coordenados, o sea que en la dirección positiva del eje y se mueven 1/6. Si n es el número de moléculas por unidad de volúmen, el número de moléculas de A y B que pasan hacia arriba por unidad de tiempo a través de un plano de área S es (l/6)nvS, y de estas XA(1/6)(HVS) son moléculas de A.

Entonces, si no hay flujo convectivo de A o B en la dirección y, el flujo neto de las moléculas de A es la diferencia entre el flujo debido a las moléculas de A que se mueven hacia arriba y hacia abajo:

(moles de A)/(unidad de tiempo) = [(S/6)(nVxA)|y-J- - (S/6)(nVxA)(y^

Para obtener el flujo difusivo de A debemos dividir por S y por el número de Avogadro para convertir de moléculas a moles pues n = cN, N es el número de Avogadro

JAY = - /MnVxA)/6N = - (1/6)VCAXA = - (l/6)Vc(2-L)(dxA/dy)

J A y = - (1/3)V-L(dcA/dy) por lo que DAB = (1/3)J-V

Utilizando la teoria cinética simplificada de los gases, que asume la no existencia de gradientes de concentración, las moléculas A y B como esferas rígidas sin fuerzas atractivas, de aproximadamente la misma masa y tamaño, y gas ideal:

H -H V = (8kBT/rtm) J- = (2nd2n)

donde kB = Constante de Boltzman = 1.38062*10-23 J/K = R/N m = Masa de la molécula = M/N M = Peso molecular n = Moléculas por unidad de volumen = n = P A B T = CN R - Constante de los gases. N = Número de Avogadro d = Diámetro molecular.

lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE

Asi el coeficiente de autodifusión,DAA*: H

DAA* = (2/3d2)(kB3TA3m)

Si tienen A y B diferente masa y tamaño,

d = (1/2)(cU + DB) 1/M = 1/MA + 1/MB M = Masa reducida

Dab = ( 2 / 3 ) (KB/TT)1 • 6 (L/2MA + L / 2 M B ) M T 3 / 2 / P ) ( 2 / ( D A + D B ) ) 2

TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

Supongamos ahora que el fluido está en movimiento y que hay un gradiente de velocidad dvx/dy mientras que vy=v«=0. Entonces las moléculas que atraviesan el plano ubicado en y originándose deede abajo tendrán una velocidad mayor que aquellas que se originan por encima. También como el impulso es masa por velocidad, tendrán un mayor impulso x. Por lo tanto cuando colisionan las moléculas de abajo con mayor impulso tenderán a acelerar las moléculas más lentas de arriba y similarmente las moléculas más lentas de arriba tenderán a frenar las moléculas más rápidas del lado inferior. Habrá entonces un transporte neto de impulso x desde un y menor hasta un y mayor (o en la dirección y positiva). La aceleración del fluido superior por el fluido inferior tiene el efecto de una fuerza actuando tangencialmente a el área Sy (perpendicular al eje y); esta es la fuerza cortante TyxSy. Similarmente, el frenado del fluido inferior equivale al efecto de una fuerza cortante igual y opuesta, frecuentemente llamada fuerza de arrastre o sea una fuerza de fricción. La fuerza cortante se relaciona a través de la ley de Newton del movimiento con la velocidad de la cantidad de movimiento. Así el resultado del movimiento aleatorio de las moléculas es simultáneamente una fuerza cortante y un flujo de cantidad de movimiento.

Si m es la masa de una molécula, su cantidad de movimiento será mv*. Entonces la velocidad de flujo del impulso x hacia arriba de (y--1-) será:

(moléculas/tiempo) (impulso/molécula) = (Sy/6)(nV)(mv*) |y—i-

y la velocidad neta de flujo será

(Sy/6) (nV) (mvx) | y--1- - (Sy/6)(nV)(mvx)|y-¿-

Para obtener la densidad de flujo del impulso x en la dirección y, dividimos por Sy para obtener:

- Tyx = (nVmvx/6)|y—i- - (nVmvx/6)|y*~L = (l/6)(nVm)Ayx Asumiendo un gradiente de velocidad lineal sobre la distancia 2-L y usando nm = f, obtenemos:

Tyx — — (1/3) fV-K dvx/dy)


Al coaparar con la ley de Newton de la viscocidad

M = (l/3)fV¿ r = (1/3)VX

que ea la misma expresión para DAB cuando Se = 1. Substituyendo y V de la teoría cinética de los gases obtenemos:

U = (2/3)(mksTA3)

Nótese que u aumenta con la temperatura y es independiente de la presión o, equivalentemente, es independiente de la densidad a temperatura constante. La teoría cinética rigurosa da la siguiente expresión para la viscosidad de un gas compuesto de esferas rígidas de diámetro d:

»í (MT)

M - 2.6683 x 10-» ( 2.1 ) d2

donde u está en Pa.s, T en K, d en nanómetros y M es el peso molecular del gas.

TRANSPORTE DE ENERGIA.

Supongamos ahora que existe un gradiente negativo de temperatura en el plano ubicado en y. Asumiendo que el gas es monoatómico y despreciando las contribuciones vibracionales y rotacionales a la energía, cada molécula tendrá una energía interna de

e = (1/2) m V2 = (3/2) ks T

Como antes, las moléculas se encuentran en movimiento aleatorio, pero las que se originan en y - J- tienen más energía (mayor temperatura) que las que se originan en y + Siguiendo el anterior procedimiento dividimos el flujo neto de energía por el área para obtener la densidad de flujo de calor o flujo neto de energía

<br = (Vne/6)|y—l - (Vne/6)|ynJ- = - (l/6)nVAe = - (l/6)nV/M3ks T/2)

Ahora, suponiendo dT/dy lineal y n constante sobre el intervalo 21-

qy = - (l/6)V[d/dy](3nkB T/2)(2-L) = - (l/3)VJ-[d/dy]( fCvT)

dado que (3/2)nksT = (3/2)(fN/M)(R/N)T = fCvT pues Cv = 3R/2M para un gas monoatómico. Aquí, Cv es el calor específico a volumen constante (energía/masa.temperatura). Las unidades de [CvT son energía por unidad de volumen y V-J- es longitud al cuadrado sobre tiempo, que podría denominarse difusividad térmica. Tomando a = k/fCp


d(fCpT) 1 Cv d(fCpT ) qy= - a = V-L

dy 3 Cp dy

1 VJ-o sea: a =

3 T para un gas monoatómico

T (1/3)V -L 5

a (l/3)Wf T 3

En la realidad Prandtl tiende más a 2/3.

De la ley de Fourier y del desarrollo anterior obtenemos la siguiente expresión para la conductividad térmica de un gas monoatómico.

>á k = (l/d^XkBST/TtSm)

En consecuencia, el modelo simplificado nos predice que k varía aproximadamente con T* y debería ser independiente de la presión. Estas predicciones son nuevamente confirmadas cualitativamente por la teoría cinética rigurosa la cual nos da:

Jé k = 8.333 x 10-4(T/M) /(o^Ck)

donde k está en W/m.K y o en nanómetros.

2.3 TEORIA RIGUROSA DE CHAPMAN - ENSKOG PARA GASES DILUIDOS.

Las ecuaciones anteriores dan solo una vaga estimación de las propiedades de transporte. La principal fuente de error surge en la suposición de que las moléculas se comportan como esferas rígidas sin interacción. Realmente las moléculas son compresibles, y existen fuerzas entre ellas.

Esta fuerza de acción intermolecular varia con su separación r y se relaciona a la energía potencial de interacción $ por F = - d$/dr.

La forma de la energía potencial $ es una función de la separación: para pequeños valores de r, las moléculas se repelen y la energía es grande y positiva; para valores mayores las moléculas se atraen, y a valores aún mayores de r, las fuerzas intermoleculares tienden a cero.

Para tener en cuenta tanto las fuerzas repulsivas como las atractivas entre moléculas no polares, se acostumbra a asumir que la energía potencial total es la suma de dos potenciales separados:

CP donde y =

Cv


A B ítot«l = $r*pul«ivo + J » t P » o t i v o = - ( 2.1 a)

Donde A, B, n y m son constantes positivas y n > m. Esta ecuación fué

propuesta inicialmente por Mié e investigada extensivamente por

FIGURA 2.2 Energía potencial de interacción intermolecular

Lennard-Jones, y ha sido usada especialmente para calcular propiedades termodinámicas y de transporte en gases diluidos no polares.

A analizar la ecuación (2.1.a) se hace evidente distancia r mínima, $ es un mínimo. Reorganizando:

que para alguna

$ = €(nn/m°)1/1n_m>

(n - m) [o/r]» - [o/r]®

Donde e = - íminimo y o es la distancia intermolecular cuando $ = 0. London demostró a aprtir de la teoría de las fuerzas de dispersión que m= 6, pero no se dispone de un valor teórico para n. Un resultado acorde con los experimentos se obtiene dejando n como un parámetro ajustable:

«/Cn-e> &(r) = (n/6) .(n/n-6).€([o/r]12- [o/r]®)

Se halla conveniente para los cálculos hacer n = 12 obteniendo

$(r) = 4€ [ (o/r)12 - (o/r)6 ] Esta expresión se denomina potencial 6-12 de Lennard-Jones. Ella relaciona la energía potencial de dos molécuals a su distancia de separación en términos de dos parámetros característicos de la molécula estudiada: un parámetro energético e, el cual es el negativo


de la energía mínima correspondiente a la separación de equilibrio; y un parámetro de distancia a, el que es igual a la separación intermolecular cuando la energía potencial es cero (ver figura 2.2.).

En una mezcla de moléculas A y B habrá interacción entre ellas

$AB(T) = 4€AB.C(oAB/r)12- (oAs/r)®]

Los parámetros €AB y OAB característicos de la mezcla pueden estimarse a partir de los parámetros para los componentes puros por las ecuaciones aproximadas:

H OAB = (l/2)(OAB + OAB) y €AB = ( € A . € B )

Chapman y Enskog desarrollaron ecuaciones para gases a baja presión no polares:

(MT) Viscosidad u = 2.669x10-8

o2Q, u ( 2 . 2 )

Esta ecuación es válida para gases no polares. Aquí M es peso molecular; |¿ está en Pa.s; T en K; o en nanómetros y Qu es la integral de colisión.

La integral de colisión puede aproximarse por H

Q» » 1.604/(T*) con 0.4 < T* < 1.4

donde T* = ksT/e es una temperatura adimensional.

Una forma más exacta de calcular la integral de colisión es:

1.16145 0.52487 2.16178 fiu = "T'Sth + + (2.3) (T*)»./*»«* exp(0.7732T*) exp(2.43787T)

Para moléculas polares un potencial diferente deberé usarse. Brokaw recomienda modificar (2.3) usando

Qm p o i « r = Qp no p o n * . + (0.2 62/ T*) ¡ ó = U2/2€o3 (2.4)(2.5)

U es el momento dipolar en Debyes; ó momento dipolar adimensional 1 debye = 3.162 x 10-26 - i®-i8 esu.cm = 3.333 x 10-se C.m. Coulomb = 3.0 x 10e esu. 6 está en N.m y o en m.

Para mezclas gaseosas se usan ecuaciones semiempiricas

= (2ixim)(£¡jx1j®id) (2.6)

siendo FIIJ = [ I + WW W M Í / M J ) * ] 2 / [8( 1+Mi/Mj )]*

Donde


n = Numero de especies en la mezcla, xi, x¿ = Fracciones molares de i, j. Mi, mj = Vieccocidades de i,j puros a la tempertura y presión de la mezcla. Mi, Mj = Pesos moleculares.

B1 cálculo de la viscosidad de una mezcla gaseosa de composición conocida se puede hacer también con la expresión siguiente, que es simple y suficientemente exacta, en especial para gases naturales:

2 yi Mi J

Uowiol* -

\[ yiM;

( 2.6 a )

Los momentos dipolares de algunas substancias gaseosas son:

SUBSTANCIA. U (debye) SUBSTANCIA. U (debye)

HF 1.91 HC1 1.00 HBr 0.80 HI 0.40-CO 0.10 H20 . 1.84 NH3 1.47 CH3C1 1.90 CH2C12 1.60 CHC13 1.05 HCN 3.00 CH3CN 3.94 CH3N02 3.50 (C2H5)20 1.16 CH30H 1.70 CsCl 10.50 CsF 7.90 KF 7.30 KC1 10.40 KBr 9.07 C3H6 0.35 C6H5CH3 0.37 PH3 0.55 C6H5NH2 1.48 C6H5C1 1.55 C2H5SH 1.56 S02 1.63 CH3I 1.64 CH3C00CH3 1.67 C2H50H 1.70 C2H5F 1.92 (CH3)2C0 2.88 C2H5C0CH3 3.00 C2H5N02 3.70 C0(NH2)2 4.60 H T &ñt

Una extensa compilación de momentos dipolres es dada por Nelson 1967.

Los valores de o y € se encuentran tabulados (Reid y Sherwood: Propiedades de gases y Líquidos; Handbook de Perry; Bird; Skelland; etc.). Si no se conocen los valores de o y e , pueden calcularse a partir de las propiedades del fluido en el punto crítico (c), de la temperatura normal de ebullición del liquido (b) o del punto de fusión del sólido (m), mediante la siguientes ecuaciones empíricas:

€/k = 0.77 Te = 1.15 Tb = 1.92 Tm ( 2.7 )

o = 0.841 Vci/3 = 2.44 (Tc/Pc)i/3 = 1.166 V b = 1.222Vm l l q . a to l

34 FENOMENOS DE TRANSPORTE - ; • " 1 " • •• 1 " ' —

Donde €/k y T están en Kelvin, o en unidades Amstrong (1A°=10-I,a m), V en cm3/molg y Pe en atm. Utilizando estos parámetros, el coeficiente de viscosidad de un gas monoatómico de peso molecular M a la temperatura T viene dado por

<MT) M = 2.6693 x 10-b ( 2.8 )

Esta ecuación se diferencia de la (2.2 ) solo en las unidades a saber: u [g/cm.s], T [K], o [A°] y Qu se puede leer de tablas o calcularse de la ecuación (2.3).

Conductividad Térmica.

Para gases monoatómicos: k = 8.322xl0~4(T/M)

o2Qk ( 2.9 )

donde k es la conductividad térmica en W/m.K y Ck. = fiu (ver 2.3) También r x

(T/M) k = 1.9891 x 10-4

o2Qk ( 2.10 )

k en (cal/cm.s.K), y o en unidades Amstrong.

15 R 5 3 k = . u - Cv u - Cp u ( 2.11 )

4 M 2 2

donde Cv, la capacidad calorífica a volumen constante es (3/2)(R/M) para gases monoatómicos.

El factor de Eucken se define como el grupo

k k Cp y

(iCv (iCp Cv Pr

Eu es 2.5 segn ( 2.11 ). Entonces

5/2 Cp 5 f 5/3 2 T 3/2 Cv 3 Eu 5/2 3

Este valor coincide con los hallados experimentalmente para gases monoatómicos. La ecuaciones ( 2.9 ) y (2.10) no se aplican a gases poliatómicos, los cuales pueden transferir energía en las colisiones como anergia vibracional. Este hecho puede tenerse en cuenta por medio de la correlación de Eucken :


Bu = (k/nCv) = [(9/4)T - 5/4] = [1+ 4.47/uCv] (2.12)

entonces Pr = (f/Eu) = [4^ / (%= - 5)] (2.13)

Esta ecuación se reduce a la (2.11) para un gas monoatómico (Q= 5/3). La ecuación modificada de Bucken

k 3.52 Eu = = 1.32 + ( 2.14 )

uCv Cv M

da valores de k muy altos mientras que ( 2.12 ) predice valores muy pequeños excepto para gases polares, para los cuales ambas son altas.

La ecuación para estimar k en mezclas es la misma (2.6) cambiando u por k.

Difusividad Básica. H [T(1/Ma + 1/Mb)]

CDAB = 2.2646x10-® ( 2.15 ) O A B 2 • D A B

Para la difusión del gas A en el gas B a bajas densidades, suponiendo que se cumple la ley de los gases perfectos, c=p/RT, la difusividad gg • — - ~~ • •

[T® (1/MA + 1/Mb)] DAB = 0.0018583 2.16 )

P . O A B 2 - Q D

En lais ecuaciones anteriores DAB está en cm2/s, P en atm, T en K, o en A°, y QD es una función de kBT/cab = T* dada por (2.18) para moléculas no polares. Para moléculas polares Brokaw recomienda (2.19) y (2.20) donde, dado que QD es función decreciente de la temperatura, DAB varia aproximadamente con T a la 1.823

También H [T®(1/MA+ 1/Mb)/2]

DAB = 2.663x10-4 . (2.17) P . O A B 2 - Q D

donde DAB está en m2/s, P en N/m2 y o en nm.

1.06036 0.19300 1.03587 1.76474 Qv= + + + * (2.18) T*e.ieei e(e.47e36T*) e(i.e2eeeT*) e(3.se4iiT») • V I N C c

si la molécula es no polar. Para moléculas polares :

Qd p o l » = QD no polair + 0.196AB2/T -1 (2.19)

1.94xl0®U2 6 = = (l/2)(U2/€o3) (2.20)

Vfc.Tb


ü en debyes (10-*-® esu); Vb en cm®/molg ;Tb en kelvin.Vt es el volumen molar del líquido en su punto de ebullición normal, y TB es el punto de ebullición normal. Los parámetros son :

€ A e = 1 . 1 8 ( 1 + 1 . 3 Ô 2 )TB

o = 1.585 VT,

1+1.3 Ó2

1 / 3

(2.22) 0AB = ( O A . O B )

\ h €AB/kg= C(€A/XB)(6B/IB)3 ( 2.24 ) ÓAB = [6A.ÓB]

Para vapor de agua en aire se tiene :

0.000146 PDAB = T 2- 6

^ T + 441

T en grados Rankine, P en atmósferas y DAB en pie2/h.

(2.21)

(2.23)

(2.25)

(2.26)

EJEMPLO 2.1.

Calcule la viscosidad del amoniáco a 0°C. El punto de ebullición normal del amoniáco es -33.4 °C (240 K).La densidad en su punto de ebullición es 0.682 g/cm3, es decir Vt> = 17.03/0.682 = 25 cm®/molg. El momento dipolar es 1.47 debyes.

Solución: por ecuación (2.20)

(1.94x10-®)(1.47)2 6 s (l/2)(U2/€o®) « 1.94x10-®*(U2/VbTb)= -— = 0-7

(240)(25)

de la ecuación (2.22)

o2 = 1.585 x 25

1 + 1.3 x 0.702

2 / 3

= 8.36 A°2

de la ecuación (2.21)

€ = 1.18(1 + 1.3ó2)Tb = 1.18(1 + 1.3x0.702)240 = 464 K

es decir que a 0°C (273 K), T*= 273/464 = 0.589 = IBT/€.

de lu ecuación (2.3) Qu = 2.10 y de la ecuación (2.4)


(0.2M0.72) Qu.p - 2.10 + = 2.27

(0.589)

finalmente, de la ecuación (2.8) H

(17.03 x 273) U = 2.8693x10-6 = 9.59 x 10-6 [poise]

(8.36)(2.27)

El valor experimental dado en la literatura es 9.20 xl0-6 poises (error de +4.2 % ).

El error promedio hallado al aplicar estas expresiones es de 5.8% y el máximo es del orden del 14% . Esto nos da una buena indicación sobre el tipo de predicción que podemos hacer sin información experimental.

Ahora, se puede lograr una mucho mejor predicción si se dispone de un solo dato experimental. Tomemos por ejemplo el metano1 gaseoso. Experimentalmente se ha determinado una viscosidad de 10.13x10-® poises a 308 K. Las ecuaciones (2.20), (2.22) y (2.21) nos predicen

ó = 0.39 ; o = 3.84 A° y 6/IB = 477 K

Teniendo disponible un dato experimental, la ecuación (2.8) podría utilizarse en lugar de una de las ecuaciones (2.21) o (2.22). Normalmente la ecuación (2.22) deberá descartarse dado que la viscosidad depende más fuertemente del parámetro de tamaño o, que del parámetro de energía e. Sin embargo, el vapor de metanol está parcialmete asociado en el punto de ebullición (existe una concentración apreciable de tetrámeros). Por esta razón en este caso se puede suponer que el punto de ebullición no da un valor correcto de €/IB y descartamos la ecuación ( 2 . 2 1 ) .En su lugar suponemos un valor de 6, calculamos o 3 y €/IB de la siguiente expresión obtenida de (2.20)

€/Ib = (1/2)(U2/IBÓO3)

Estos valores se usan en la ecuación (2.8) para calcular una viscosidad. El procedimiento se repite escogiendo otros valores de IB, hasta que las viscosidades calculada y experimental coincidan. De esta manera se obtuvieron las siguientes constantes de fuerza revisadas

ó = 0.51 ; o = 3.7A°; e/lB = 406 K

Con estos nuevos valores se predice la viscosidad a 585 K como 19.4x10-6 poises. Si no se hubiera tenido en cuenta el valor experimental, a 308 K, se habría obtenido 16.9x10-6 poises. El valor experimentral para T = 585 K es 19.2x10-6 poises, muy buena aproximación al obtenido basándonos en el dato experimental.

Una forma más sencilla de predecir el cambio de la viscosidad con la temperatura es observar que, a partir de la ecuación (2.2) o (2.8), u es directamente proporcional a (T**/Qu) o sea:


M2/U1 = [Tz/Tl 3*[Qnl/2jo2 ]

Por ser molécula polar €/IB se calcula de (2.21)

Tb = 64.7 = 337.85 K y €/1B = 477 K T2* = 585/477 = 1.226 . Qu2 = 1.439 Ti* = 308/477 = 0.6457 Qmi = 2.006 H2 = (10.13x10-*)(585/308)**(2.006/1.439) = 19.46x10-* poise

EJEMPLO 2.2.

Calcular el coeficiente de difusión entre el cloruro de metilo y dióxido de azufre a 50 °C y 1 atm.

Solución. Llamemos el cloruro de metilo A y el dióxido de azufre B. A partir de las propiedades en el punto de ebullición y los momentos dipolares calculemos las constantes de fuerza para cada sustancia (ecuaciones (2.20), (2.22), (2.21).Estos son:

THA= - 2 4 *C; TBB= - 1 0 ° C ; VA= 4 7 . 5 cm^/molg; VB= 4 4 . 8 cm^/molg; UA= 1 . 9 0 debye; UB=1.61 debye;

oa = 3.833 A°; €A/Ib = 404 K ; Óa = 0.54 OB = 3.818 A°; €B/Ib = 387 K ; Ób = 0.435

de (2.23) OAB = (OAOB) = (3.833x3.818)* = 3.85 A°

€AB/IB = C(€A/LB)(€B/K8)]H = (404x387)* = 395 K

ÓAB = (ÓAÓB)* = (0.54 x 0.435 ) = 0.485

a 50 °C= 323 K , T*= 232/395 = 0.818

A partir de la ecuación (2.18) QD = 1.595 ; y de (2.19)

( 0 . 1 9 ) ( 0 . 4 8 5 ) 2 Qd.p = 1.595 + = 1.650

0 .818

Los pesos moleculares del CH3C1 y S02 son 50.2 y 64.1 respectivamente, o sea, a partir de la ecuación (2.16)

% [3233-(1/50.5 + 1/64.1)]

DAB = 0.0018583 = 0.083 cm^/s (1)(3.85)2(1.650)

El valor experimental reportado es 0 . 0 7 6 9 cm2/s (error + 7 . 9 %). En general los errores son ligeramente mayores que para los cálculos de viscosidad y algo menores que para las estimaciones de conductividad térmica.

as


EJEMPLO 2.3.

Calcular la difusividad Argón-Oxígeno a 293 K y 1 atm. los que tienen temperaturas criticas 151.2 K y 154.4 K respectivamente y presiones criticas 48 y 49.7 atm. Experimentalmente se ha encontrado un valor de 0.2 cnP/e.

Solución: usando la ecuación (2.16) y las tablas B-l y B-2 del apéndice del Bird:

Ma = 39.944 ; oa = 3.418 A°; €a/Ib = 124 K Mb = 32 ; ob = 3.433 A°; €b/ib = 113 K OAB= 3.426 A°; €ab/ib = 118.5 K ; £bT/€ab = 2.47 ; Qd = 1.003

H [(293.2)3(1/39.944 + 1/32)]

DAB = 0.0018583 = 0.188 cm2/s (1.0)(3.426)2(1.003)

Usando la ecución (2.18) QD = 1.0015

EJEMPLO 2.4.

Si conocemos la difusividad a TI, la difusividad para el mismo sistema a T2 puede estimarse:

DAB2 = ÜABl [T2/TI]3/2 [o^/otc]

Para el sistema aire - vapor de agua entre 14.62 °C (hueva) y 25.9 °C (conocida = 0.258 cm2/s)

kTi 299.1 = = 1.068 QDI = 1.395

€AB [(809.1)(97) y*

kT2 287.8 = = Í.027 Qd2 = 1.421

€AB [(809.1)(97)]*í

Estos valores se obtuvieron por interpolación lineal. La difusividad buscada será entonces :

DAB = (0.258)(287.8/299.1)3/2(1.395/1.421) = 0.239 cm2/s

ECUACIONES RECOMENDADAS PARA PREDECIR PROPIEDADES DE TRANPORTE EN LIQUIDOS.

VISCOSIDAD.

La ecuación de Eyring es

U = (NA/V) ecs.s Tb/T)


donde N = Número de Avogadro. V = Volumen molar, h - Constante de Planck, Tb = Temperatura de ebullición normal.

Esta ecuación se limita a líquidos Newtonianos y no se comporta bien para moléculas largas o cerca al punto critico. Generalmente predice valores dentro de un margen del 40 % .

El cálulo de la viscosidad de una mezcla de composición conocida, en la cual las moléculas no están asociadas se hace:

n r

Ul/3 r l U 1l/3xi

xi : Fracción molar de los componentes en la mezcla.

CONDUCTIVIDAD TERMICA. Para predecir la conductividad térmica de los líquidos Robbins y Kingrea recomiendan la ecuación

CPC^/S k = (88.0 - 4.94H)xl0"3 [0.55/Tr]N ( 2.27 ) AS*

ABvb ¿v g* = + R ln(237/Tb) Tt

donde k = Conductividad térmica W/m.K.; Tr = Temperatura reducida T/Tc Cp = Capacidad calorífica molar, J/molg.K. c = Concentración molar total, molg/cm3 AHvb = Calor molar de vaporización a Tb, J/molg.

Los parámetros H y N están tabulados en el libro de Reid y Sherwood. Sato recomienda :

11.05xl0-3Cp Tb k = [c/cb]*/® (2.28)

Vh CpbT

donde b se refiere a condiciones en el punto normal de ebullición y las unidades son como en (2.27).

DIFUSIVIDAD.

Para la difusión de moléculas grandes y esféricas o partículas en líquidos, como decir moléculas de polímeros o partículas coloidales, la ecuación de Stokes-Einstein da buenos resultados

Dabmb/IBT = 1/6tcRA


donde Ra es el radio de la molécula difundente A. Para la difusión de moléculas de tamaño normal no existe teoría que provea una concordancia razonable con la experimetación.

Hay relaciones empíricas que dan buenas predicciones. La más conocida es la de Wilke Chang

( « B M B ) * T DAB = 7.40x10-8 <(V2.29 )

H6Va®-S DAB = Difusividad, cm^/s. |j = Viscosidad de la solución cp.

unidades de m3/gmol. Vale 75.6 para agua como soluto. $B = parámetro de asociación para el solvente. MB = peso molecular del solvente. T = Temperatura en erados kelvin.

El parámetro" $b toma el valor de 1 para solventes no asociados como benceno, eter etilíco, heptano, octano, etc.; 1.5 para etanol; 1.9 para metanol, y 2.6 para agua como solvente.

La ecuación de Wilke Chang provee estimaciones que generalmente están dentro del 10 al 20 % de los valores experimentales.

La ecuación (2.29) da valores de DAB cuando A está presente en bajas concentraciones. Para la mayoría de las soluciones DAB varía con la concentración y no existen ecuaciones que predigan esta variación satisfactoriamente. Sin embargo, nos permite predecir la variación con la temperatura el notar que para los mismos componentes

[DABU / T ] I = [Dabu / T ] Z

DIFUSIVIDAD EN SOLIDOS.

Un componente en una mezcla sólida puede difundirse a través de otro a una velocidad medible, si hay un gradiente de concentración conveniente y la temperatura es suficientemente alta. Los efectos de difusión en sólidos son muy importantes en metalurgia asi:

La profundidad a la cual el carbón puede penetrar en un tiempo dado desde la superficie de un acero sometido a endurecimiento es gobernado por las leyes de difusión. La velocidad de reacción en algunos procesos químicos está determinada por la difusión en sólidos, pero el número de aplicaciones de importancia en Ingeniería Química es menor que las relacionadas a la difusión en líquidos y gases.

El orden de magnitud está entre 10~e cm2/s y 10-1 cm2/s según el sistema.

Los coeficientes de difusión para una pareja de sólidos no puede ser predicha exactamente por la teoría, se puede hacer una estimación cualitativa usando la teoría de Eyring, en la cual se postula que la difusión es un proceso activado. Un intercambio de átomos ocurre en


la estructura de un sólido cuando los átomos de un plano dado vibran al rededor de sus posiciones de equilibrio. Una fracción estadística de éstos vibra con energías mayores que la de activación y saltan a nuevas posiciones de equilibrio, a "agujervs" adyacentes en la red estructural; la velocidad de transferencia de masa es directamente proporcional a

R A U DAB = De exp I

L RT -I

que es una forma típica de describir un proceso activado y que nos indica que la difusividad aumenta rápidamente con la temperatura.

CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION. 57 Kl tema de fenómenos de transporte está intimamente ligado con la predicción de variaciones de temperatura, concentración y/o velocidad dentro de un medio. Para obtener estos perfiles se utilizan dos conjuntos de ecuaciones: (1) Ecuaciones de balance o conservación y (2) Ecuaciones de velocidades o de densidades de flujo.

Recordemos que el balance general para \in sistema es:

Velocidad - Velocidad + Velocidad de = Velocidad de de salida de entrada acumulación generación

o abreviadamente:

Salida - Entrada + Acumulación = Generación. (3.1)

El sistema se define como la porción de universo bajo estudio. El resto del universo son los alrededores. El sistema puede ser una cantidad especifica de materia o de volumen (frecuentemente llamado volumen de control). La velocidad de entrada se refiere a todo el flujo dentro del sistema (de la cantidad involucrada) a través de los limites del sistema, y la velocidad de salida se refiere a todo flujo que deje el sistema a través de sus limites. La diferencia de la segunda menos la primera es la velocidad neta de salida. La velocidad de generación se refiere a toda producción dentro del sistema, y la velocidad de acumulación se refiere a la velocidad de cambio con el tiempo de la cantidad total de masa, energía o cantidad de movimiento en el sistema y puede ser positivo o negativo.

Las ecuaciones de balance pueden aplicarse al sistema como un todo (balances globales o macroscópicos), a un incremento (balance incremental), o a un elemento diferencial (balance diferencial). Las ecuaciones como la (3.1) son también denominadas leyes de conservación.

Podemos apreciar mejor el significado de los términos de la ecuación (3.1) analizando el siguiente caso:

EJEMPLO 3.1.

Se está llenando un tanque con un líquido que fluye con un caudal máBico mi', kg/s. Al mismo tiempo el liquido sale a razón de ¡m', kg/s. El área transversal del tanque es S y la altura del nivel del liquido en el tanque en cualquier momento t es z (ver figura 3.1). Al aplicar la ecuación de balance al liquido dentro del tanque observamos que la velocidad de generación es cero puesto que no se produce masa dentro del tanque; pero la velocidad de acumulación no será cero a menos que mi' = mz' o sea que la magnitud de los caudales hacia y desde el tanque sean iguales. Si tal fuera el caso tendríamos


una situación de estado estable puesto que no hay cambio en la cantidad de liquido en el tanque con el tiempo.

FIGURA 3.1

Sin embargo, si suponemos que la cantidad entrando mi' es mayor que la cantidad que sale mz', el nivel del liquido en el tanque cambiará con el tiempo a medida que el tanque se llena y la velocidad de acumulación será mayor que cero. Si la masa total del sistema es M y la densidad de liquido es [, la velocidad de acumulación es:

dM d(fSz) dz

dt dt ^ dt

y el balance global es entonces:

dM m2' - mi' + = 0

dt

EJEMPLO 3.2.

Supongamos ahora que ocurre una reacción química homogénea dentro del tanque el cual permanece bien agitado, de tal manera que puede considerarse velocidad de reacción uniforme dentro del mismo.

Denominemos A la especie producida en la reacción, y su velocidad de producción por unidad de volumen es TA (masa de A por unidad de volumen y unidad de tiempo). Entonces la velocidad de generación será rA-V, donde V es el volumen de fluido en el tanque. Supongamos que la corriente que entra contiene una pequeña cantidad de A de tal manera que la velocidad másica de entrada de A es MAI'. Si MA2' representa la velocidad de salida de la especie A, la ley de conservación para la especie A será:

CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO- LEYES DE CONSERVACION. 45

dhU IBAS* - MAL' + = TA.V

dt

salida - entrada + acumulación = generación.

En el ejemplo 3.1 no podía haber generación puesto que la masa total debe conservarse; pero si una reacción química está ocurriendo dentro del liquido y produciendo la especie A la generación no es cero y la masa de A no se conserva. En este último caso debemos distinguir entre el término de generación y el término de entrada siendo éste la cantidad que atraviesa los limites del sistema y el otro la generación de A ocurriendo en cada punto dentro del sistema.

EJEMPLO 3.3.

Fluye agua dentro de un tanque bien agitado a 156 lb/hr, se agrega cloruro de sodio a 30 lb/hr. La solución resultante deja el tanque a 120 lb/hr; debido a la agitación la concentración de la solución de salida es igual a la del tanque. Hay 100 Ib de agua pura en el tanque al comenzar la operación, y los caudales de entrada y salida se mantienen constantes posteriormente. Calcule la concentración de salida (fracción másica de sal) después de una hora.

Solución :

NaCl = A; 1= entrada; 2= salida. Un balance para el componente A:

CÍMA mA2' - mAi* + = 0 (i)

dt

Donde MA = MWA siendo M la masa total dentro del tanque en cualquier momento t.

dMwA IDA' = nü^WA ; M2'WA2 - MI 'WAI + = 0

dt

dwA dM 120WA - 30 + M + wa = 0

dt dt

usando un balance total:

dM dM mz' - mi* + = 0 120 - (150+30) + = 0

dt dt

dM = 60 lb/hr (tasa de acumulación)

dt

de donde M = 60t + Me ; Me = 100 Ib remplazando en (i) y separando variables se obtiene:


* dt

0 60t + 100

W A 2 d W A 2

0 180WA2 - 30

1 60t + 100 1 30

60 100 180 30 - 180.WAS

despejando y simplificando :

W A 2 = — [ i - [ - - - — ] * 1 6 L L 6t + 10 j -I

para t = 1 hr, WAZ = 0.126 = 12.6 % en peso de NaCl.

para t b e WA2 1/6

E J E M P L O 3 . 4 .

TRATAMIENTO DE UNA CORRIENTE RESIDUAL.

Una corrriente fluida de velocidad volumétrica de flujo constante Q se vierte en un rio. La corriente contiene un material residual A de concentración CA©, que es inestable y se descompone con una velocicidad proporcional a la concentración, de acuerdo con la expresión - RA = k v C A

Con el fin de reducir la contaminación, se ha decidido hacer pasar el fluido a través de un tanque de retención, de volumen V, antes de verterlo al río. En el instante cero, el fluido entra en el tanque vacio, que puede considerarse que esté perfectamente agitado, y no sale de él hasta que el tanque está totalmente lleno. Deduzca una expresión para la concentración de A en el tanque, y en la corriente que sale de él en función del tiempo.

Solución: En el periódo 0 < t < V/Q durante en el cual el tanque se está llenando, un balance molar macroscópico de la especie A da:

dÜA mA2 - mAi + = RA

dt

MA = QtCA: cantidad total de A en el tanque en cualquier instante.

CIMA = O C A S - k v C A Q t = Q C A © - k v M A dt

CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION. 57

r "A <3MA F* OCA® - kvÜA - dt = t = - ( l A v ) ln

LO QCA0 - KVMFT. J E Qca©

de donde MA = (QcAe / kv) [1 - exp (-kvt)]

y (CA/CAO) = [1 - exp (-kvt)]/(kvt) para t < V/Q

Cuando t = V/Q, CA = CAÍ que es la concentración para el instante en que el tanque se llena.

( C A Í / C A©) = [1 - exp (-kvV/Q)]/(kvV/Q)

Luego de que el tanque se llena tendremos:

d(cAV) - Q C A 0 - QCA -kvC AV ; V(dcA/dt) = OCA© - (QfkvV)cA

dt

o sea : °A VdCA

°AT OCA0 - (Q + kvV)CA

rt dt

V/Q

Ct - (V/Q)] = - [V / (Q + kvV)]ln QcAe - (Q + kvV)cA

Oca© - (Q + KVV)CAF

Cuando t - œ CA = CA» y [QCAÔ - (Q + KVV)CA]

En el limite CA- = [OCA© / (Q + k V V ) ]

CA - CA»

- 0

= exp {-[(Q + kvV) / V]*[t - V/Q]} CAF - CA=>

3 . 1 APLICACION DE LOS BALANCES DIFERENCIALES A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR OGNDUCCION.

Consideremos el sistema unidimensional mostrado en la figura 3.2. En el caso general la temperatura puede estar cambiando con el tiempo y puede haber fuentes de calor dentro del cuerpo. Es posible hacer el siguiente balance de energía en el elemento con espesor dz:

[Energía calorífica conducida en la dirección positiva de z por la cara derecha] - [Energía calorífica conducida por la cara izquierda] + [Cambio de energía interna (acumulación de energía calorífica)] = [Calor generado dentro del elemento]. (3.2)

Estas cantidades de energía están dadas como sigue


Calor saliendo por la cara ubicada en z + dz :

ÓT r 8T 6 r 6T = -kS = -S k + k —

z+dz 6z z+dz L 5Z ö2 L sz Q

dz '

FIGURA 3.2

Calor entrando por la cara ubicada en z :

Q ÓT

= - kS Óz

La energía generada dentro del elemento es $ H S D Z donde $H es la generación de energía por unidad de volumen y unidad de tiempo por fuentes de calor distribuidas.

Cambio de energía interna : 6T

fCpS dz ót

(en el caso de sólidos y líquidos los calores específicos a presión y volumen constantes son iguales y la velocidad de incremento de la energía interna se refleja en la velocidad de almacenamiento de energía en el elemento de volumen).

Combinando las relaciones anteriores:

6T ó r ÓT n i óT [V>J. V r Oi -i -i OI 6T + k dz + kS + fCpS dz = 6z óz L 6z -1 J 6z Ót

$HSdz


Eliminando términos semejantes y dividiendo por el volumen del elemento Sdz :

ó r 6T , ÓT [UX -I U 1

k + fCp = óz J ót Esta es la ecuación de calor unidimensional. Para tratar el flujo de

calor en más de una dimensión basta con tener en cuenta el flujo de calor en un volumen diferencial de aristas dx dy dz:

ÓQx ÓQy ÓQas ÓT + + + fCpS = $HS (3.3)

óx óy Óz Ót

El resultado, para conductividad térmica constante es, recordando que a = k/fCp

62T 62T Ó2T

óx2 óy2 Óz2 k ÓT

Ót ( 3.3a )

Entre mayor sea el valor de a más rápidamente se propagará el calor a través del material. Un valor grande de a se originará ya en un valor grande de k lo que indica una rápida razón de transferencia de energia o debido a un valor pequeño de la capacidad calorífica térmica fCp lo que implica que poca cantidad de la energia que se mueve a través del material se absorberá calentando el material.

La ecuación (3.3a) puede abreviarse usando la nomenclatura vectorial:

(3.3b) $ H 1 ÓT

div2 T + = * k a Ót

Esta expresión puede modificarse a coordenadas cilindricas o esféricas solo conociendo la expresión para el operador laplaciano en tales sistemas coordenados:

coordenadas cilindricas

div2 r Ór

coordenadas esféricas

1 Ó r ÓT -, 1 Ó2T T = r +

r Ór L ór -1 r2 Ó©2 62T

óz2 (3.4)

1 Ó div^T =

r2 Ór

ÓT r2

Ór

1 Ó

r2sen9 68

ÓT sen6

06

Ó2T

r2sen29 Ó02 (3.5)


Estas ecuaciones pueden simplificarse adecuadamente para los diferentes problemas corrientes de la Ingeniería, como tendremos oportunidad de observar más adelante.

FIGURA 3.3

FIGURA 3.4

TRANSPORTE DS ENERGIA CON GENERACION INTERNA GEOMETRIA CILINDRICA

Consideremos un elemento cilindrico de combustible nuclear dentro de un reactor. Éste elemento genera calor debido a la reacción nuclear a velocidad $H [energía/volumen*tiempo]. Aunque en la práctica, $H varia con la posición, suponemos que tiene el mismo valor en todos los puntos de la barra. Este calor debe removerse rodeando el elemento de combustible con un medio refrigerante que mantiene la temperatura de la superficie a alguna temperatura constante To. Se desea conocer la velocidad de flujo de calor hacia el refrigerante por unidad de longitud del cilindro y la máxima temperatura en el mismo.

En estado estable, la ecuación de balance de energía (3.1) se reduce a: [ Velocidad de salida de calor ] - [ velocidad de entrada de calor ]

= [velocidad de generación de calor ].


Apliquemos esta expresión a un elemento de volumen de forma anular dentro del cilindro de combustible, tal como se ilustra en la figura 3.5. La longitud del elemento es L y su espesor Ar- El volumen de este elemento

FIGURA 3.5. Envoltura cilindrica sobre la que se aplica el balance de energía para obtener la distribución de temperatura con generación interna.

de volumen ubicado entre r y r+Ar podría calcularse como la diferencia entre el volumen del cilindro exterior de radio r+Ar y el volumen del cilindro interior ubicado en r, o sea:

A V = Tt(r+AR)2L - nr2L = 2nrAcL + ti(AZL>2L

Seleccionando A r suficientemente pequeo, (Ar)2 lo será an más y

A V = 2nrArL El calor entra a través del área cilindrica 2itrL y sale a través del área concéntrica 2rc(r+Ar)L, de manera que el balance de energía se puede escribir como:

2ltrLqr - 2TtrLqr r+Ar

= 2rcrArL$H r

Dividiendo por 2rtrLAr y tomando el limite cuando A r tiende a cero, y simplificando obtenemos


d(q*>r)

r dr $H

Aquí podemos resolver directamente por integración entre r=0 y r=r para obtener la distribución de la densidad de flujo de calor. Como esperamos que la temperatura alcance un máximo en r=0, el gradiente dT/dr, y por tanto la densidad de flujo serán cero en r=0. Sin embargo, y como la ecuación (3.5) contiene d(q^r) como la diferencial en lugar de qr>, es preferible visar como condición límite el que

qrr I = 0 I r~ O

q*> diferente de ® en r = 0.

Entonces:

d(q^r) = $ H . r d r

RQR = («HT2)/2 ; de donde q*. = ($H.r)/2

Introduciendo la ley de Fourier

dT - k

dr = (*H.r)/2

Integrando sabiendo que T = To para r = R

FR

r dT = ($H/2k) r dr

La expresión para la distribución de temperaturas en la barra de combustible es entonces:

(T - To) = (fc/4k) R2 r2

1 R 2

(3.6)

Este perfil de temperaturas es parabólico, con el máximo de temperaturas ocurriendo en el centro del cilindro. La máxima diferencia de temperaturas es $h.R2/4k y aumenta con el cuadrado del radio del cilindro.

FLUJO TOTAL DE CALOR EN LA PARED.

Es útil calcular la pérdida total de calor a través de la superficie del cilindro. Esta se puede calcular como el producto de la densidad de flujo por el área de transferencia:

Qto«*I = (qr/R)(2ITRL) = ( & H . R / 2 ) ( 2 * R L )


3omo es de esperarse es igual al calor total generado en el volumen:

Qtot»x = $H (ít R2 L)

3.2 MANANTIALES CALORIFICOS.

MANANTIAL CALORIFICO DE ORIGEN ELECTRICO

Consideremos un alambre de sección circular con radio R y ;onductividad eléctrica K» (ohm.cm)-1=l/[«,donde [« es resistividad íléctrica. Por el alambre circula una corriente eléctrica, cuya iensidad de corriente es I amp/cm2. La transmisión de la coriente íléctrica es un proceso irreversible, y parte de la energía eléctrica 3e transforma en calor .

la velocidad de producción de calor debido a la disipación eléctrica ?or unidad de volumen viene dada por la expresión:

I2

= = I2.f. [W/cm3] K.

3i se supone que el aumento de temperatura en el alambre no es grande, no es preciso tener en cuenta la variación de las conductividades eléctrica y calorífica con la temperatura.

MANANTIAL CALORIFICO DE ORIGEN VISCOSO.

Consideremos el flujo de un fluido Newtoniano incompresible a través iel espacio comprendido entre dos cilindros coaxiales.

M girar el cilindro exterior, las capas cilindricas del fluido rozan con las capas de fluido adyacentes dando lugar a una producción de calor, es decir que la energía mecánica se degrada a energía calorífica. La magnitud de la intensidad de manatial calorífico depende del gradiente local de velocidad; cuanto más rápidamente se nueva una capa de fluido respecto de otra adyacente, mayor será el calentamiento producido por disipación viscosa. T será función solo de r.

Si el espesor b de la rendija es pequeño comparado con el radio R del cilindro exterior, el problema puede resolverse aproximadamente utilizando un sistema simplificado, es decir, despreciando los efectos de la curvatura y resolver el problema en coordenadas cartesianas. En este caso el manatial calorífico de origen viscoso viene dado por:

= " Txa¡ (ÓVss / Ó X ) = li(ÓV»/ÓX) 2

En el caso más general: - [T : div v ] = $u


$u/U = 2 Ô V x

ôx

Ô V * Ô V y

ôy Ôz

Ecuación (3.7).

r Ô V y - 2

ôy

Ô V x ÔVB

Ô Z Ô X

ÔV* . 2 p i L ÔZ J

Ô V y Ô V x

ôx ôy

2

3

Ô V x Ô V y Ô V *

Ôx ôy ôz

El perfil de velocidad para el flujo laminar estacionario de un fluido de viscosidad constante en una rendija, es lineal:

u ( V/b )2

Al calcular el perfil de temperatura aparece espontáneamente la expresión:

Br = u V2

k(T¿> - To)

o número de Brinkman, que es una medida de la importancia del calentamiento viscoso con relación al flujo de calor que resulta de la diferencia de temperatura comunicada (Tb - To). Para Br>2, existe una temperatura máxima en un punto comprendido entre las dos paredes.

MANANTIAL CALORIFICO DE ORIGEN QUIMICO.

En una reacción química se produce o consume energía calorífica debido a la reordenación de los átomos de las moléculas reaccionantes para dar lugar a los productos de reacción. La velocidad de producción de energía , calorífica por unidad de volumen en las reacciones químicas es generalmente una función compleja de la presión, temperatura, composición y actividad del catalizador.

Si consideramos como una función exclusiva de la temperatura, y suponemos variación lineal con esta variable

$ o = $ o l T - To

Ti - To

donde T es la temperatura local del lecho catalítico, supuesta igual para el catalizador y el fluido (aunque la diferencia de temperatura entre el catalizador y el fluido no siempre es despreciable), y $oi y To son constantes empíricas para unas determinadas condiciones de


entrada al reactor. Usando métodos de cálculo adecuadas pueden obtenerse expresiones más realistas para $o.

MANATIAL CALORIFICO DE ORIGEN NUCLEAR.

Consideremos un elemento combustible nuclear de forma esférica de radio Rf, revestido con una vaina esférica de aluminio, cuyo radio externo ee Ro- La principal fuente de energía calorífica en el reactor se debe a las colisiones entre loe fragmentos de fisión producidos, que poseen energías cinéticas elevadas, y los átomos del material fisionable. Este manantial volumétrico de energía calorífica no será uniforme en el interior de la esfera del material fisionable, sino máximo en el centro de la misma. Podríamos representar este manantial mediante una función parabólica:

ín = $ne [ 1 - m(r/Rf)2 ]

fcne es la velocidad volumétrica de producción de calor en el centro de la esfera, y m es una constante adimensional comprendida entre cero y uno.

3.3 BALANCES DE MASA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO GENERALIZADOS.

LA ECUACION DE CONTINUIDAD:

Esta ecuación se deduce aplicando un balance incrementa1 sobre un volumen estacionario de aristas A k » A y , A f c . Luego tomando el límite cuando z tiende a cero se obtiene una ecuación diferencial para el flujo de materia. Recordando la expresión (3.1), según la figura (3.2), tomando el par de caras perpendiculares al eje x:

Velocidad de salida de materia a través de la cara en (x+Ax):

( f V x )

Velocidad de entrada de materia a través de la cara en x es:

(fv*)

Velocidad de acumulación de ma A y A z

X

eria en el elemento de volumen:

(ó(Vót)Ax A y A i

Escribiendo expresiones para salida y entrada de materia en las direcciones y e z, encuadrándolas en la expresión (3.1), dividiendo por el volumen A x A y A z . y haciendo tender a cero las dimensiones de las aristas obtenemos:


Ô f r Ô

Ôt L Ôx

o usando notación vectorial:

ô f r Ó Ô 6 l = _ fVx + [Vy + fv»

Ôt L ÔX Óy Ôz J

6

6z

6r = - ( div. fv ) Ót

El vector fv es la densidad de flujo de materia.

Podemos escribir (3.9) como: Ô f Ô f Ô f Ô f

+ V X + V y — + v a = - f ôt ôx ôy ôz

(3.9)

(3.10)

Ô V x Ô V y Ô V »

ôx ôy Ôz (3.11)

o abreviadamente: OL Dt

- f ( div.v ) ( 3.12 )

donde (Df/Dt) es la derivada substancial de la densidad, que es la derivada total con respecto al tiempo para un recorrido que sigue el movimiento del fluido, es decir cuando

dx dy dz

dt ' dt dt

son simultáneamente v* ; vy ; v* , las componentes de la velocidad del observador y, respectivamente, del fluido.

Recordemos que estas expresiones ( 3.9 ) a ( 3.12) son sencillamente una formulación de la ley de conservación de la materia.

Si el fluido es de densidad constante ( incompresible )

div.v = 0 ( 3.13 )

ECUACION DS MOVIMIENTO.

Para un elemento de volumen como el de la figura 3.6, se puede escribir una expresión modificada de la ecuación ( 3.1) como balance de cantidad de movimiento: Ecuación (3.14)

Velocidad de salida de

cantidad de movimiento

Velocidad de entrada de cantidad de movimiento

Velocidad de acumulación cantidad de movimiento

Suma de fuerzas que actúan sobre el sistema


FIGURA 3.6

Consideremos inicialmente las velocidades de flujo de cantidad de movimiento en la dirección z ( figura 3.6 ). La cantidad de movimiento entra y sale del elemento de volumen en virtud de dos mecanismos : por convección (es decir, debido al flujo global del fluido) y por transporte molecular (o sea a causa de los gradientes de velocidad).

La velocidad con la que entra por convección el componente z de la cantidad de movimiento por la cara ubicada en z es

Z

X

f va¡ v« A y A x

y la velocidad con la que sale por z + A z es

[ Va V« A y A x

La velocidad a la que entra por y es

f V y V » A x A z y

Para las demás caras se pueden escribir expresiones similares.


De igual forma, la velocidad con la que el componente z de la cantidad de movimiento entra por transporte molecular por la cara ubicada en z es

T« « A x A y

y la que sale por z + A z es

Ta« A x A y z->-/\a¡

La velocidad con la que entra por y es

T Y * A x A z

para las otras tres caras se pueden obtener expresiones similares (figura 3.7).

Tengase presente que Tym es la densidad de flujo de cantidad de movimiento z a través de una cara perpendicular al eje y.

FIGURA 3.7. Dirección de transporte del componente z de la cantidad de movimiento a través de las caras de un elemento de volumen A x A y A z . -

Obsérvese que, como antes, estas densidades de flujo de cantidad de movimiento pueden considerarse como esfuerzos. Por tanto T*X es el esfuerzo normal que actúa sobre la cara z, T m es el esfuerzo tangencial (o cortante) que actúa sobre la cara x en la dirección z, y que resulta como consecuencia de las fuerzas viscosas.


Ahora, hablando de las fuerzas que actúan sobre el elemento, las más usuales e Importantes son las originadas en la presión P del fluido y la fuerza gravitacional por unidad de masa. La resultante de estas fuerzas en la dirección z será

( P . - P « + ¿ X * ) A S Ax. + fg»AzL A X _ A Z L _

Finalmente la velocidad de acumulación de cantidad de movimiento z en el elemento es

Ófv» A x A y Az.

ót

Substituyendo todas estas expresiones en la ecuación (3.10) dividimos por el volumen y hacemos tender a cero. La componente z de la ecuación de movimiento aparecerá:

f v« = Ót

6 6 6 [VxV«+ fVyVa + [ VgsVm

6x óy óz

Ó Ó ó T x z + T-yx + Taas

óx Óy óz

óp + fgae

Óz (3.15)

Las componentes x e y que pueden obtenerse de una manera análoga son:

Ó( fVx)

ót

Ó ( fVxVx ) ó ( (VyVx ) ó ( ("ViVx ) + +

Óx óy óz

Ó Ó Ó T x x + T y x + T * x

ÓX Óy ÓZ

Ó p + fgx

óx (3.16)

f V y = ót

Ó Ó Ó |~VxVy+ fVyVy + V « V y

óx óy óz

ó Ó Ó T x y + T y y + Txry

Óx Óy óz

óp + fgy

óy (3.17)


Las magnitudes [vx, fvy, fvB son las componentes del vector (V; de igual forma gx, g y , g» son las componentes de la aceleración gravitacional g. Por otra parte

ÓP ÓP — — f _ _ _ _

óx óy

son las componentes del vector

Los términos [vxvx, fv*vy, fv*v«, f vyv», etc. son las nueve componentes de la densidad de flujo convectivo de cantidad de movimiento f w que es el producto diádico de fv y v (diadas son los tensores que resultan de multiplicar entre si dos vectores). Análogamente, Txx, Txy, Tx», rym , etc., son las nueve componentes de T que es el " tensor esfuerzo". Combinando las ecuaciones (3.15) a (3.17) en forma de ecuación vectorial:

6 | V = _ [ div. f w ] - div p - [div.T ] + fg (3.18)

6t - 1 - - 2 - - 3 - - 4 - - 5 -

Cada términode la expresión anteriorsignifica: - 1 - Velocidad de aumento de cantidad de movimiento por unidad de volumen.

- 2 - Velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por convección, por unidad de volumen.

- 3 - Fuerza de presión que actúa sobre el elemento por unidad de volumen.

- 4- Velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por transporte viscoso por unidad de volumen.

- 5- Fuerza de gravitación que actúa sobre el elemento por unidad de volumen.

Lasexpresiones [ div.fv v 3 y [ div.T 3 no son divergencias simples debido a la naturaleza tensorial de f w y T pero indican velocidad de pérdida de cantidad de movimiento por unidad de volumen debido al flujo del fluido.

Las ecuaciones (3.15) a (3.17) pueden reescribirse en términos de derivadas substanciales y, sumadas vectorialmente, dan:

Dv r = - div p - [ div.T 3 + fg (3.19)

Dt - 1 - - 2 - - 3 - - 4 -

ÓP

divp


dasa por unidad de volumen multiplicada por aceleración.

- 2 -Fuerza de presión sobre el elemento por unidad de volumen.

- 3 - Fuerza viscosa sobre el elemento por unidad de volumen.

- 4 -Fuerza gravitacional sobre el elemento por unidad de volumen.

Vemos por lo tanto que el balance de cantidad de movimiento es totalmente equivalente a la segunda ley del movimiento de Newton.

Con el fin de utilizar estas ecuaciones para determinar las distribuciones de velocidad hay que expresar los distintos esfuerzos en función de los gradientes de velocidad y las propiedades del fluido:

Ó V x r

T x * = - 2m + Ô X

Ô V y T y y = - 2(J +

ôy

(2/3)M - k

(2/3)m - k

(div.v)

(div.v)

(3.20)

(3.20 a)

ÔVa = - 2m

6z (2/3) - k (div.v) (3.20 b)

k es en estas ecuaciones la viscosidad de conjunto que es cero para los gases monoatómicos a baja densidad y tiende a cero para gases densos y líquidos (Hirschfeider)

T x y = T y x = ~ M

Tym = T xy - ~ M

Ô V x Ô V y

ôy ÔX

Ô V y ÔVa

ÔZ ôy

(3.21)

(3.21 a)

TJSX = Txas = - M ÔVss Ô V x

Ô X Ô Z (3.21 b)

Estas seis ecuaciones constituyen un planteamiento más general de la ley de Newton de la viscosidad y se aplican a casos complejos de flujo, en los cuales el fluido circula en todas direcciones. Cuando el fluido circula en la dirección x entre dos láminas perpendiculares a la dirección z (como se presenta en la figura 1.4a) de forma que vx es función exclusiva de z, de esta serie de ecuaciones se obtiene


que es idéntica a la ecuación (1.8). Por tanto la definición de viscosidad que se dió en el capitulo 1 está de acuerdo con esta definición más general.

Reemplazando estas ecuaciones en las de movimineto hacen, junto con las de continuidad, la de estado para la presión, la de variación de la viscosidad con la densidad, y las condiciones iniciales y limite, el conjunto de expresiones que determinan completamente la presión, densidad y las componentes de velocidad para el flujo isotérmico de un fluido.

Rara vez se utilizan estas ecuaciones en su forma completa para el planteamiento de problemas de flujo, sino que generalmente resulta más conveniente emplear formas restringidas de las mismas.

i) Para u y f constantes:

Dv r = _ ¿tivp + (i div2 v + fg (3.22)

Dt

Conocida como ecuación de Navier - S totee.

En esta expresión se resumen 27 términos ( ver apendice A.5.2 )

ii) para C div . T ] = 0 o sea efectos viscosos despreciables:

Dv f = - div f + fg (3.23)

Dt

llamada ecuación de Euler.

BALANCE DB ENERGIA MECANICA.

Deducimos a continuación una ecuación de variación para la energia por unidad de masa ífiv2 para obtener una descripción de las interconvereiones de energía mecánica que tienen lugar en un fluido en movimiento. Se comienza por formar el producto escalar de la velocidad v con la ecuación de movimiento ( 3.19 )

D f (Jj v2) = -(v.divp) - (v.[dlv.T]) + f(v.g) (3.24)

Dt

Esta ecuación escalar describe la velocidad de variación de la enersía cinética por unidad de masa, Hv2, para un elemento de fluido que se mueve con la corriente. Usando la ecuación de continuidad


<3.9) y separando en dos términos cada contribución viscosa y de presión:

6 ( H fv* ) = -( div H f"v2v ) - ( dlv.pv ) - p( -div.v ) -

6t - 1 - - 2 - - 3 - - 4 -

- ( div.Cr.v] ) - ( -T : divv ) + f( v.g ) (3.25) - 5 - - 6 - - 7 -

- 1 - Velocidad de incremento de energía cinética por unidad de volumen.

- 2 - Velocidad neta de entrada de energía cinética debida al flujo global.

-3 - Velocidad de trabajo producido por la presión de los alrededores sobre el elemento de volumen.

- A - Velocidad de conversión reversible en energía interna.

- 5 - Velocidad de trabajo producido por las fuerzas viscosas que actúan sobre el elemento de volumen.

- 6 - Velocidad de conversión irreversible en energía interna.

- 7 - Velocidad de trabajo producido por la fuerza de gravedad que actúa sobre el elemento de volumen.

ECUACIONES CB ENERGIA.

Partiendo como antes de un elemento estacionario de volumen a través del cual fluye un liquido puro, escribimos la ley de la conservación de la energía para el fluido contenido en el interior de este elemento de volumen en un determinado instante.

[Velocidad de salida de energía cinética e interna por convección] -[Velocidad de mitrada de energía cinética e interna por convección] + [Velocidad de salida de calor por conducción] - [Velocidad de entrada de calor por conducción] + [Velocidad de acumulación de energía cinética e interna] = - [Velocidad neta de trabajo comunicado por el sistema a los alrededores]. Ecuación (3.26)

Este es el primer principio de la termodinámica expresado para un sistema abierto no estacionario ( no se incluyen otras formas de energía y transporte de energía, tales como nuclear, radiactiva y electromagnética ). Esta ecuación representa una generalización con respecto a la ecuación (3.1 ) ya que se incluyen los efectos del trabajo y la energía cinética sirviendo también para el estado no estacionario. Aquí, la energía cinética corresponde a la energía relacionada con el movimiento observable del fluido (H)fv2 tomando como base la unidad de volumen.


La energía interna corresponde a la energía relacionada con los movimientos fortuitos de traslación e internos de las moléculas más, la energía de interacción entre las moléculas; o sea que depende de la temperatura local y de la densidad del fluido. La energía potencial del fluido se incluye en el término de trabajo.

Aplicando la ecuación ( 3.26 ) a un elemento de volumen como el de la figura 3.6 o 3.7, la velocidad de acumulación de energía cinética e interna es:

Ó A Í A y A a (fU + HfV2)

ót

donde U es la energía interna por unidad de masa del fluido y v es velocidad local del mismo.

La velocidad neta de entrada de energía cinética e interna por convección en la dirección x es :

A y A Z [vx( fU + Jífv») - v*( fU + Jjfv») * L x x-h/\x.

La velocidad neta de entrada de energía por conducción en la dirección x es:

A y A z <1* - qx x+/\x J

Las expresiones para las otras dos direcciones son análogas.

B1 trabajo realizado por el elemento de fluido contra los alrededores consta de dos partes: El trabajo contra las fuerzas de volumen (gravedad) y el trabajo contra las fuerzas de superficie (fuerzas de viscosidad y de presión).

Recordando que Trabajo = Fuerza x Distancia en la dirección de la fuerza y que Velocidad de producción de trabajo = Fuerza x Velocidad en la dirección de la fuerza, la velocidad de producción de trabajo contra los tres componentes de la fuerza de gravitación por unidad de masa, g será:

- fAxAyAzí v*gx + vygy + v.g» )

donde el signo menos indica que el trabajo se realiza contra la gravedad, siendo • y g opuestos.

La velocidad de producción de trabajo contra la presión estática P en las dos caras A y A z es :

A y A z I (pvx) - (PVx) x-*-/\x X J

CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES DE CONSERVACION. 65 am

Análogamente la velocidad de producción de trabajo contra laa fuerzas viscosas es:

AyAZl (TxxVx + TxyVy + TXJBV* )| 1

-Z yAZl (TJKVX + TxjrVy + Tx»Vz)

Completando las expresiones faitantee en la ecuación (3.26), dividiendo por el elemento de volumen y haciéndolo tender a cero, obtenemos la siguiente forma de la ecuación de la energía:

f (U + H v2) = -Ót

6 Ó

Vx( fU + H fv2) + Vy( fU + h fv2) + ó x Óy

+ v«(fU + H f v 2 ) ó z

6 q * 6qy 6 q «

Sx óy ó z

+ f( Vxgx + Vygy + v«g« ) -ó Ó Ó

pVx + pvy + pv« ó x óy ó z

6 ó ( TxxVx + TxyVy + TXBVS ) + ( TyxVx + TyyVy + TyeVü ) +

ó x ó y

+ ( T«xVX + TjeyVy TzzVz ) ÓZ

( 3 . 2 7 )

En forma abreviada :

Ó f(U + H v2) = -

Ót

- 1 -

div.fv(U + *ÍV2)

- 2 -

- (div.q) +

- 3 -

+ f(v.g) - (div.pv) - (div.CT.v]) - 4 - - 5 - - 6 -


- 1 - Velocidad de ganada de energía por unidad de volumen.

- 2 -Velocidad de entrada de energía por unidad de volumen debido a la convección.

- 3 - Velocidad de entrada de energía por unidad de volumen debido a la conducción.

- 4 -Velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas de gravitación.

- 5 -Velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas de presión.

- 6 -Velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas viscosas.

Realizando la diferenciación indicada en el primer miembro y recordando que la ecuación de continuidad

6f + (div.fv) = 0 (3.10) 6t

D r (U + *v2) = -(div.q) + f(v.g) - (div.pv) - (div.CT.v]) (3.28) Dt

Reescribiendo la ecuación (3.24), como:

D - T (* v2) = p(div.v) - (div.pv) +

Dt + f(v-g) - (div.Cr.v]) + (T:div v) (3.29)

Restando (3.29) de (3.28) se obtiene una ecuación de variación para U:

DU r _ ( div.q ) - p( div.v ) - ( T:div v ) (3.30)

Dt - 1 - - 2 - - 3 - - 4 -

Denominada también ecuación de energía calorífica. Los diferentes términos tienen el siguiente significado:

- 1 - Velocidad de ganancia de energía interna por unidad de volumen.

- 2-Velocidad de entrada de energía interna por unidad de volumen debido a la conducción.

- 3- Velocidad reversible ds aumento de energía interna por unidad de volumen debido a la compresión.

CAPITULO 2. PROPIEDADES DE TRANSPORTE. 27

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