CAPTULO 2............................................................................................................................................... 44 ELEMENTOS DE LGEBRA LINEAL....................................................................................................... 44 2.1 INTERPRETACIN GEOMTRICA DE VECTORES ...................................................................................... 47 2.2 VECTORES ESPECIALES ....................................................................................................................... 48 2.2.1 Vector Unidad ............................................................................................................................. 48 2.2.2 Vector Nulo ................................................................................................................................. 49 2.2.3 Vector Suma ............................................................................................................................... 49 2.2.4 Escalares .................................................................................................................................... 49 2.3 OPERACIONES DE VECTORES ............................................................................................................... 50 2.3.1 Igualdad de Vectores.................................................................................................................. 50 2.3.2 Suma de Vectores ...................................................................................................................... 50 2.3.3 Multiplicacin por un Escalar ...................................................................................................... 52 2.3.4 Producto Escalar de Vectores (Producto Interno)...................................................................... 53 2.4 DISTANCIA ENTRE VECTORES ............................................................................................................... 54 2.5 MAGNITUD DE UN VECTOR .................................................................................................................... 55 2.6 NGULO ENTRE VECTORES .................................................................................................................. 56 2.7 INDEPENDENCIA (DEPENDENCIA) LINEAL DE VECTORES ......................................................................... 57 2.8 ESPACIO VECTORIAL ............................................................................................................................ 59 2.9 OPERACIONES DE MATRICES ................................................................................................................ 59 2.9.1 Igualdad de Matrices .................................................................................................................. 59 2.9.2 Suma de Matrices ....................................................................................................................... 60 2.9.3 Multiplicacin por un Escalar ...................................................................................................... 61 2.9.4 Multiplicacin de Matrices........................................................................................................... 61 2.9.5 Transposicin de Matrices.......................................................................................................... 64 2.10 MATRICES ESPECIALES ...................................................................................................................... 66 2.10.1 Matriz Cuadrada ....................................................................................................................... 66 2.10.2 Matriz Diagonal......................................................................................................................... 66 2.10.3 Matriz Identidad ........................................................................................................................ 66 2.10.4 Matriz Nula................................................................................................................................ 67 2.10.5 Matriz Idempotente ................................................................................................................... 68 2.11 DETERMINANTES................................................................................................................................ 68 2.12 RANGO .............................................................................................................................................. 75 2.14 TRAZA (TR) ....................................................................................................................................... 80 2.14 PRODUCTO KRONECKER .................................................................................................................... 80 2.15 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................................. 81

43

CAPTULO 2

Elementos de lgebra Lineal

El lgebra lineal corresponde a una notacin compacta que permite representar un sistema de ecuaciones en forma simple, facilitando su solucin. As por ejemplo, el siguiente sistema de m ecuaciones lineales en n incgnitas,

a11x1 + a12 x2 +...+a1n xn = b1 a 21x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2(2.1)

a 31x1 + a32 x2 +...+ a3n xn = b3 am1x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bm

puede ser escrito en forma compacta de la siguiente forma:

(2.2)

Ax = b ,

donde

(2.2a)

a 11 a 21 A = a m1

a 12 a 22 am2

a 1n a 2n 3 , a mn

3. Por convencin, los subndices de cada elemento de la matriz expresan el nmero de la fila y de la columna a la cual pertenece el elemento. As, el elemento aij, es aqul ubicado en la i-sima fila y en la j-sima columna. 44

(2.2b)

x1 x 2 x= xn b1 b 2 b = . b m

y

(2.2c)

Las expresiones (2.2a) - (2.2c) representan matrices de diferente orden o dimensin.

El orden o dimensin de una matriz corresponde al nmero de filas y columnas de la matriz. Por ejemplo, la matriz A definida en (2. 2a), es de orden (m x n), es decir, m filas y n columnas, mientras que las matrices x y b son de orden (n x 1) y (m x 1), respectivamente.

Las matrices que contienen solamente una columna, como x y b en (2.2b) y (2.2c), se denominan vector columna. Anlogamente, aquellas matrices que contienen slo una fila, comoz = z1 z2 zp ,

(2.3)

se denominan vector fila1 . En ciertas ocasiones es conveniente representar a la matriz A de orden (m x n) como un vector fila o como un vector columna:

45

(2.4)

A = [ a 1

a 2

a n ]

a 1 a 2 = a m

donde el vector fila queda definido por los elementos a j , que corresponden a aqulloscontenidos por la j'sima columna de la matriz A, representada por

(2.4a)

a1j a 2j a j = , a mj

mientras que el vector columna, queda definido por los elementos de la isima fila, ai , de la matriz A, que se representan de la siguiente formaai = ai1 ai2 ain

(2.4b)

1. En lo que resta de este texto, a menos que se indique lo contrario, se trabajar con vectores columna. 46

2.1 Interpretacin Geomtrica de Vectores Un vector es un segmento lineal direccional caracterizado completamente por su x1 magnitud y direccin. En la Figura 2.1.1, el vector x = , de orden (2 x 1) tiene, una x 2 magnitud, l, definida por (2.1.1)

l = ( b1 a1 ) + ( b 2 a 2 )2

(

2 12

)

x

2

b2 x

a

2

a

1

b

1

x1

Figura 2.1.1 . Representacin geomtrica de un vector

y una direccin determinada por el ngulo , que puede expresarse implcitamente en trminos deb2 a2 b 1 a1

(2.1.2)

tan( ) =

y en trminos explcitos por (2.1.3)

b2 a2 = tan 1 . b 1 a1 47

Cabe resaltar que un vector de orden (n x 1) puede tener un punto inicial y terminal libre, en otras palabras, el vector es independiente de su ubicacin en el sistema de coordenadas de dimensin n y depende, exclusivamente, de su direccin () y magnitud (l) (Hadley, 1973). Como cualquier vector tiene su origen y punto terminal libre, por conveniencia se establece que el punto de inicio del vector ser siempre el origen del sistema de coordenadas. La conveniencia de esto radica en que se

establece una correspondencia uno a uno entre los puntos en el espacio y los vectores que emanan del origen. Por ejemplo, para un punto terminal ( x 1, x 2 ) , elemento delplano de nmeros reales (i.e. ( x1, x2 ) 2 ), existe un vector nico, x, que puede ser dibujado desde el origen hasta ( x1, x2 ) . Alternativamente, para cualquier vector, x,

existe un punto nico en el sistema de coordenadas de orden n, que representa el punto terminal del vector.

2.2 Vectores Especiales 2.2.1 Vector Unidad El vector unidad, e i , es un vector columna de orden (n x 1) que contiene el nmero 1 enla i'sima posicin y ceros en las dems posiciones. Por ejemplo, e1 3 est dado por

(2.2.1a)

1 e 1 = 0 , 0

mientras que e 3 5 es

48

(2.2.1b)

0 0 e 3 = 1 . 0 0

2.2.2 Vector Nulo El vector nulo, 0n , es un vector de dimensin (n x 1) con un cero en cada posicin. Es decir,0 0 04 = . 0 0

(2.2.2)

2.2.3 Vector Suma El vector suma, 1n , es un vector de orden (1 x n) con unos en cada posicin. Por ejemplo, 13 = [1 1 1].

(2.2.3)

2.2.4 Escalares El escalar es un vector de orden (1 x 1), es decir, una matriz con un solo elemento (i.e.,

[ 6] ).

49

2.3 Operaciones de Vectores 2.3.1 Igualdad de Vectores Dos vectores, x y z, del mismo orden son iguales s y solo s (ssi)

(2.3.1)

xi = zi , i.

Si x y z no son iguales entoncesxz xz

(2.3.1a) (2.3.1b) (2.3.1c)

ssi ssi

xi zi i, xi zi i,

x > ( ( 0 y 1, provoca un cambio en la magnitud, pero no en la direccin del vector original (Figura 2.3.2). En cambio, cuando el escalar sea negativo (i.e. < 0 1), la multiplicacin produce un cambio en la magnitud y una reversin de la direccin.

52

x2

x

x

x1

Figura 2.3.2 . Interpretacin geomtrica de la operacin de multiplicacin por un escalar

2.3.4 Producto Escalar de Vectores (Producto Interno) El producto escalar entre un vector x n y z n se define como el siguiente escalarn

(2.3.5)

x z = x i zi = x zi= 1

Donde, x es un vector columna transpuesto, vale decir, la columna se intercambia por una fila.

Las propiedades del producto escalar son:P.2.5: Conmutativa: x z = z x P.2.6: Distributiva: ( x + z) y = x y + z y P.2.7: x x 0 para cualquier x n , y xx = 0 ssi xi = 0 i.

Es importante destacar que no es posible formar el producto escalar de tres o ms vectores.

53

Ejemplo 2.3.3: El producto interno entre un vector x n y el vector suma 1n esta

dado por

1n x =

xi=1

n

i

Ejemplo 2.3.4: El producto interno entre 1 x = 2 3 2 y = 4 6

e

es

2 xy = [1 2 3] 4 = 2 + 8 + 18 = 28 6 1 yx = [ 2 4 6] 2 = 2 + 8 + 18 = 28 3

2.4 Distancia entre Vectores La funcin de distancia entre x n y z n est dada porn 1 2 2 d( x,z) = ( xi zi ) . i=1

(2.4.1)

Esta funcin tambin se conoce como la funcin de distancia euclidiana, y sus propiedades son:54

P.4.1: d( x,z) =0 si x=z. P.4.2: Desigualdad Triangular; es decir: d( x,z) + d( z,y) d( x,y) P.4.3: d( x,z) 0

x,z n

P.4.4: d( x,z) = d( z,x) .

2.5 Magnitud de un Vector La magnitud de un vector, x n , representada por x se define por

(2.5.1)

x = [ x x]

12

n 1 2 = xi2 . i =1

La magnitud de un vector es, entonces, un caso especial de la distancia de un vector al origen. Es decir,

(2.5.2)

x = d( x,0) .

Las propiedades de x son: P.5.1 x 0 . P.5.2 x = 0 ssi x = 0. P.5.3 x + y x + y . P.5.4 x = x . P.5.5 x y x y (Desigualdad de Schwartz).

55

2.6 ngulo entre Vectores El ngulo, , entre dos vectores x n y z n , donde x 0 y z 0 est dado por

(2.6.1)

cos( ) =

x z i =1 . = x z n 1 2 n 1 2 xi z i i =1 i =1

xi z i

n

Definicin 2.6.1: Dos vectores x, y ( x, y 0) son ortogonales si el ngulo entre ellos

es /2. Dado que la funcin de coseno establece que:

(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix)

cos (0)

= 1

0 < cos() < 1, (0,/2) cos (/2) = 0 -1 < cos() < 0, (/2,) cos () = -1 -1 < cos() < 0, (,3/2) cos (3/2) = 0 0 < cos() < 1, (3/2,2) cos (2) = 1,

y que (2.6.) puede reescribirse como

(2.6.2)

x y cos( ) = xy ,

la definicin de ortogonalidad entre vectores puede replantearse como

Definicin 2.6.2: Dos vectores x, y ( x, y 0) son ortogonales si xy= 0.56

Adems, puede inferirse del signo del producto escalar. Por ejemplo, (a) si xy < 0 entonces es un ngulo obtuso; (b) si xy = 0 entonces es un ngulo recto; y (c) si xy > 0 entonces es un ngulo agudo.

2.7 Independencia (Dependencia) Lineal de Vectores Cuando un vector, elemento de un conjunto de vectores V , puede representarse comouna combinacin lineal de algunos de los otros vectores del conjunto, entonces se dice que el vector es linealmente dependiente de los dems y por tanto el conjunto de vectores es linealmente dependiente (LD) (Hadley, 1973). Intuitivamente, un conjunto de vectores linealmente dependientes contiene un vector redundante ya que al menos un vector est determinado por los dems vectores del conjunto.

En caso contrario, si ninguno de los vectores elementos del conjunto V , pueden ser representado como una combinacin lineal de los dems vectores, entonces se dice que el conjunto de vectores es linealmente independiente (LI) (Hadley, 1973). En un conjunto de vectores linealmente independientes no existe informacin redundante ya que cada vector es diferente de otro.

Formalmente estos conceptos se definen a continuacin:Definicin 2.7.1: Un conjunto de vectores a1, a2, ..., an n es linealmente

dependiente si algn i 0 n

(2.7.1)

i=1

iai = 0 .

57

Definicin 2.7.2: Un conjunto de vectores a1, a2, ..., an n es linealmente

independiente ssi no es linealmente dependiente.

Es decir, es

linealmente independiente si no algn i 0 n

(2.7.2)

i=1

iai = 0 .

Ejemplo 2.7.1: El conjunto de vectores

2 4 x = 1, y = 2 3 6 es LD ya que 1 = 1 y 2 = -(1/2) implica que

i=1

iai = 0 .

n

Ejemplo 2.7.2: Los vectores

3 0 x = 0 e y = 1 1 0

son LI ya que

i=1

iai = 0 se cumple ssi

n

1 = 2 = 0.

Teorema 2.7.1: Un conjunto de vectores a1, a2, ..., an n es linealmente dependiente ssi uno de los vectores del conjunto es una

combinacin lineal de los dems vectores del conjunto.Teorema 2.7.2: Si un conjunto de vectores a1, a2, ..., an n es linealmente independiente, entonces cualquier subconjunto ser linealmente

independiente.58

De lo anterior se desprende los siguientes resultados: R1. Un conjunto de vectores que contiene solo el vector x n es LI six 0n .

R2. Un conjunto de vectores que contenga el vector nulo, 0n, es LD. R3. Un conjunto de vectores que contenga un subconjunto LD es LD.2.8 Espacio VectorialDefinicin 2.8.1: Un conjunto X sobre el cual estn definidas las operaciones de suma

y multiplicacin, es un Espacio Vectorial si se cumplen los siguientes axiomas (Leon, 1980; Caballero et al, 1992 y Takayama, 1985,1993)2:A.1 x + y = y + x, para cualquier x, y X. A.2 (x + y) + z = x + (y + z), para cualquier x, y, z X. A.3 0 X x + 0 = x, x X. A.4 x X -x X x + (-x) = 0. A.5 Para cualquier y x,y X, (x + y) = x + y. A.6 Para cualquier , y x X, ( + )x = x + x. A.7 Para cualquier , y x X, ()x = (x). A.8 x X, 1x = x.

Por ende, un espacio vectorial X es un conjunto de puntos, denominados vectores, para los cuales las operaciones de suma y multiplicacin estn definidas.

2.9 Operaciones de Matrices 2.9.1 Igualdad de Matrices

Dos matrices A = aij de orden (m x n) y B = bij de orden (p x q) son iguales ssi

{ }

{ }

2 Los axiomas A.2 y A.7 representan las leyes asociativas; el axioma A.4 es la ley conmutativa; y los axiomas A.5 y A.6 se denominan leyes distributivas. 59

(2.9.1a)

m = p y n = q, (tienen la misma dimensin)

(2.9.1b)

aij = bij

i,j

Es decir, A y B son iguales si todos sus elementos correspondientes son iguales.

2.9.2 Suma de Matrices

La suma de dos matrices A = aij y B = bij , cuando son conformables para la suma, Dos matrices son conformables para la

{ } { } se define como la matriz C = {cij } = {aij + bij } .

suma ssi ambas tienen el mismo orden.

La suma de matrices satisface las siguientes propiedades:P.9.1 Conmutativa: A + B = B + A P.9.2 Asociativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)

Ejemplo 2.9.1: Determine el resultado de (A+B), donde A =

2 1 1 3 y B = 4 5 . 0 3

(A+B) = = 4 8 (0 + 4) (3 + 5) Ejemplo 2.9.2: Determine el resultado de (A-B), donde A = 4 5 2 5 y B = 3 0 1 2

( 2 + 1)

(1 + 3)

3 4

(A-B) (A + (-B))= = 2 2 . (1 3) (2 0)

( 4 2) (5 5)

2

0

60

2.9.3 Multiplicacin por un Escalar

El producto de la multiplicacin de un escalar, , y de una matriz A = aij se definecomo una matriz B = bij , cuyos elementos estn dados por bij = aij i, j . Es decir, cada elemento de la matriz A = aij es multiplicado por el escalar.

{ }

{ }

{ }

Las propiedades de la multiplicacin de una matriz por un escalar son: P.9.3 Asociativa: ( A ) = ( ) A , donde , y A = a ij .

P.9.4 Distributiva: ( A + B) = A + B, donde , con A y B conformables para la suma.

{ } A = {aij } ,

B = bij ,

{ }

Adems, esta propiedad

implica que ( + ) A = A + A, donde , y A = aij .

{ }

2.9.4 Multiplicacin de Matrices

Si dos matrices A = aij y B = bij son conformables para la multiplicacin, entonces el producto C = AB se define como sigue: (2.9.2) n C = AB = c ij = aik bkj . k =1

{ }

{ }

{ }

Las matrices A = aij y B = bij son conformables para la multiplicacin ssi el nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B. El orden del producto C = AB est dado por el nmero de filas de la matriz A y por el nmero de columnas de B.

{ }

{ }

Ejemplo 2.9.3: Sea

61

1 2 11 8 A = 4 7 y B = . 5 1 10 9

Las matrices A y B son conformables para la multiplicacin C = AB dado que el nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B. As, el producto AB est determinado por a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 (11+10 ) (8+2) 21 10 C = AB = a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 = (44+35 ) (32+7) = 79 39 . a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 (110+ 45) (80+ 9) 155 89

Ejemplo 2.9.4: Considere A = aij de orden (m x n) y x m , entonces el producto

{ }

xA est dado por a 11 a 21 x m ] a m1

C = x A = [ x1

x2

a 12 a 22 a m2 a 1 a 2 a m

a 1n a 2n a mn

C = x1

[

x2

xm

]

C=

x ai i=1

m

i

Por lo tanto, al premultiplicar una matriz por un vector fila, se genera un vector fila que es el resultado de una combinacin lineal de los vectores filas de la matriz.62

Ejemplo 2.9.5: Considere A = aij de orden (m x n) y z n , entonces el producto Az

{ }

est dado por a1n z1 a 2n z 2 a mn z n

a11 a12 a 21 a 22 D=A= a m1 a m2

D = [a1 a 2

z1 z 2 an ] zn n i =1 i i

D=

za

Por lo tanto, al postmultiplicar una matriz por un vector columna se genera un vector columna, que es el resultado de una combinacin lineal de los vectores columnas de la matriz.

La multiplicacin de matrices satisface las propiedades:

P.9.5 Asociativa: Si A, B y C son conformables para la multiplicacin, entonces ABC = (AB)C = A(BC), P.9.6 Distributiva: Si A, B y C son conformables para la multiplicacin, entonces A (B + C) = AB + AC.

63

Es importante destacar que la multiplicacin de matrices no es conmutativa; es decir,

AB BA. Ms an, si A y B son conformables para la multiplicacin AB, en general nosern conformables para la multiplicacin BA; vale decir, que el producto AB exista no implica que el producto BA est definido.

2.9.5 Transposicin de Matrices

La matriz transpuesta de A = aij de orden (m x n), designada por A , se obtiene al intercambiar las filas y las columnas de la matriz original. Es decir, A = a ji es de orden (n x m).

{ }

{ }

Ejemplo 2.9.6: La matriz transpuesta de

1 2 A= 10 11 es 1 7 A = 5 2

7 5 2 4 6 9 1 3 4 7 8 4

2 10 11 4 1 7 . 6 3 8 9 4 4

Las propiedades de las transpuestas son: P.9.7 ( A ) = A P.9.8 ( A + B) = A + B P.9.10 ( AB) = BA 64

Definicin 2.9.1: La matriz A = aij de orden (m x n), es simtrica si A = A, es decir,

{ }

si {aij} = {aji}.

Definicin 2.9.2: La matriz A = aij de orden (m x n), es skew-simtrica si A = - A,

{ }

es decir, si {aij} = {-aji}.

Ejemplo 2.9.7: La matriz

1 2 3 A = 2 3 4 3 4 5

es simtrica ya que 1 2 3 A = 2 3 4 = A 3 4 5

Ejemplo 2.9.8: La matriz

0 2 3 A = 2 0 4 3 4 0

es skew-simtrica.

65

2.10 Matrices Especiales 2.10.1 Matriz Cuadrada Una matriz cuadrada es aqulla que contiene el mismo nmero de filas y columnas. 2.10.2 Matriz Diagonal La matriz diagonal, A = diag {ai}n, es una matriz cuadrada de orden (n x n) que puede representarse como a1 0 0 0 a 0 2 0 0 a3 A= 0 0 0 0 0 0 0 0 an

(2.10.1)

4 0 Ejemplo 2.10.1: La matriz es una matriz diagonal que puede ser representada 0 4 1 0 por 4 . 0 1escalar. 1 0 0 Ejemplo 2.10.2: La matriz 0 2 0 es una matriz diagonal. 0 0 3

Este tipo de matriz diagonal se denomina matriz

2.10.3 Matriz Identidad La matriz identidad, designada por In, es una matriz escalar en que los elementos de ladiagonal son unos, y fuera de la diagonal ceros. Por ejemplo I3 est dada por

66

(2.10.2)

1 0 0 I3 = 0 1 0 . 0 0 1

La matriz identidad cumple el mismo rol del nmero 1 en la operacin de multiplicacin. Es decir, para una matriz cuadrada A de orden (n x n), se tiene

(2.10.3)

AIn = InA = A.

2.10.4 Matriz Nula La matriz nula es una matriz, no necesariamente cuadrada, cuyos elementos son 0.Por ejemplo. La matriz nula 02 es 0 0 02 = . 0 0

(2.10.4)

La matriz nula cumple con las mismas funciones del nmero 0 en aritmtica. Es decir,

(2.10.5a) (2.10.5b)

A+0=A A0 = 0

Ejemplo 2.10.3: a11 a12 A+0= a21 a22 a13 0 0 0 a11 a12 = + a23 0 0 0 a21 a22 a13 = A a23

Ejemplo 2.10.4:a A0 = 11 a 21 a 12 a 22 0 0 a 13 0 0 = 0 * 0 0 = a 23 0 0 0 0 67

2.10.5 Matriz Idempotente Una matriz idempotente es una matriz M que cumple con la siguiente propiedad M2 = M

(2.10.6)

Si la matriz idempotente M es simtrica entonces se tiene que

(2.10.7)

M 2 = M M = M

2.11 Determinantes

Definicin 2.11.1:

El determinante de una matriz A = a11 de orden (1 x 1),

representado por A det A = a11. Es decir, el determinante de un escalar es el escalar.

Definicin 2.11.2: El determinante de una matriz cuadrada A de orden 2 es

(2.11.1)

A =

a11 a 21

a12 a 22

= a11a 22 a12 a 21.

Para calcular el determinante de matrices cuadradas de orden mayor que 2 es necesario emplear los conceptos de menor y cofactor.

Definicin 2.11.3: El menor, Mij, asociado al elemento aij de la matriz cuadrada An, esel determinante de la matriz cuadrada de orden ((n-1) x (n-1)), que resulta al borrar la isima fila y jsima columna de la matriz original An.

68

Ejemplo 2.11.1: El menor M22 de la siguiente matriz cuadrada de orden (n x n), a11 a 21 An = a n1 a1n a 2n a nn

a12 a 22 a n2

(2.11.2)

es el determinante de la matriz que resulta al borrar la segunda fila y segunda columna. Es decir, M22 est dado por a1n a 3n .

a11 a 31 (2.11.3) M 22 = a n1

a13 a 33 a n3

a nn

Ejemplo 2.11.2: El menor M32 de la matriz a b c A = d e f g h i es

M 32 =

a c d f

= af - cd.

69

Definicin 2.11.4: El cofactor4 Cij asociado al elemento aij de la matriz cuadrada An sedefine como sigue

(2.11.4)

C ij = ( 1)

( i+ j)

M ij .

Ejemplo 2.11.3: El cofactor C32 de la matriz

a b c A = d e f g h i

es

C 32 = ( 1)

( 3 + 2)

M 32 = ( 1)

a c = - af + cd. d f

Finalmente, el determinante de una matriz cuadrada de orden mayor a 2 se calcula empleando la expansin de cofactores, la cual es un caso especial de la expansin de Laplace.

Definicin 2.11.5: El determinante de una matriz cuadrada de orden n, se calcula al

realizar la expansin de cofactores en una fila p:n

(2.11.5a)

det A = A =

aj =1

pj

C pj

o en una columna q: (2.11.5b)det A = A =

ai =1

n

iq

C iq .

4. El algunos textos el cofactor tambin se ha denominado adjunto. 70

Ejemplo 2.11.4: Calculando el determinante de

a11 A = a 21

a12 a 22

empleando la expansin de cofactores en la segunda columna implica que2 2

A = a i2 C i2 = a i2 ( 1)i=1 i=1 3

( i+ 2 )

Mi2

= a12 ( 1) a 21 + a 22 ( 1) a114

= a11a 22 a12 a 22

y empleando la expansin de cofactores en la primera fila genera un resultado similar

A =

a1j C 1j =j=1 2

2

aj=1

2

1j

( 1) ( j+1) M1j3

= a 11 ( 1) a 22 + a 12 ( 1) a 21 . = a 11a 22 a 12 a 22

Ejemplo 2.11.5: El determinante de a b c A = d e f g h i

expandiendo la primera fila es

71

A =a

e f d f d e b +c h i g i g h

= a ( ei fh) b ( di fg) + c ( dh eg) . = aei afh bdi + bfg + cdh ceg

Expandiendo por la tercera columna, por otro lado, nos da un determinante igual a

A =c

d e g h

f

a b g h

+i

a b d e

= c ( dh eg) f ( ah bg) + i ( ae bd) = aei afh bdi + bfg + cdh ceg

Ejemplo 2.11.6: Se desea calcular el determinante de la matriz

3 2 1 B = 2 0 6 4 1 7

Como el resultado es independiente de la fila o columna que se elige para la expansin de cofactores, se elige el ms conveniente que es la segunda columna ya que contiene un cero. El determinante de B es, por ende,

B = 2

2 6 4 7

1

3 1 2 6

= 2( 14 24) ( 18 2) = 20 16 = 4

Los determinantes satisfacen las siguiente propiedades:

P.11.1 det In = 1. P.11.2 A + B A + B , en general.72

P.11.3 AB = A B . P.11.4 El intercambiar cualquier columna (fila) de la matriz An cambia el signo de A .

Ejemplo 2.11.7: El determinante de la matriz

3 2 1 A = 2 0 6 4 1 7

es 4 (ver Ejemplo 2.11.6). El determinante de la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda columnas es

2 3 1 0 2 6 =2 1 4 7

2 6 4 7

+1

3 1 2 6

= 2( 14 24) ( 18 2) = 20 + 16 = 4

P.11.5 Si los elementos de una fila (columna) de una matriz A son multiplicadospor una constante , el determinante resultante ser veces el determinante de la matriz original.

Ejemplo 2.11.8: Para mostrar la propiedad 2.11.4 se calcular el determinante de A3

a b c

A = d e f g h i= aei afg bdi + bfg + cdh ceg y el de B, que es la matriz resultante de multiplicar la primera columna de A por ,73

a b c B = d e f g h = A i = aei afg bdi + bfg + cdh ceg

P.11.6 Si cada elemento de una fila (columna) es multiplicado por una constante, y estos productos son sumados a los elementos correspondientes de otra fila (columna), entonces el determinante resultante es igual al original.

Ejemplo 2.11.9: El determinante de la matriz

1 2 A= 3 4 es A = -2. Al multiplicar la primera fila por y sumar el resultado a la segunda fila genera una matriz 1 2 B= , 3 + 4 + 2

cuyo determinante es B = (4+2) - 2 (3+) = (4 - 6) = - 2.P.11.7 El determinante de una matriz vale cero ssi dicha matriz tiene una

combinacin lineal de columnas (filas) paralelas.P.11.8

akjC ij = 0,j=1

n

k i y

ai=1

n

ik

Cij = 0,

k i.

Ejemplo 2.11.10: Para la matriz

1 2 A= , 3 4 74

aj=1

2

1j

C 2 j = 1 (2) + 2 ( 1) = 0 .

2.12 Rango Definicin 2.12.1: El Rango Columna de una matriz A = {aij} de orden (m x n) es elnmero mximo de columnas linealmente independientes.

Definicin 2.12.2: El Rango Fila de una matriz A = {aij} de orden (m x n) es el nmeromximo de filas linealmente independientes.

Teorema 2.12.1: Para cualquier matriz A = {aij} de orden (m x n), el mximo nmero decolumnas linealmente independientes es igual al nmero mximo de filas linealmente independientes. O sea el rango fila de A = rango columna de A.

En base a lo anterior, el rango de una matriz se define como sigue:

Definicin 2.12.3: El rango de la matriz A = {aij} de orden (m x n), se define como elmximo nmero de filas o columnas que son linealmente independientes; es decir,

Rango A = R (A) = rango columna A = rango fila A Por el teorema anterior tenemos que para una matriz A = {aij} de orden (m x n), el rango de A ser:

(2.12.1)

R( A ) min{m, n}

75

Empleando este concepto de rangos y la propiedad P.11.7 de determinantes, el concepto de una matriz no singular puede redefinirse como:

Definicin 2.12.4: Una matriz cuadrada A de orden n es no-singular ssi

(2.12.2)

R( A ) = n

Esta relacin entre rango y no-singularidad de las matrices permite definir el rango de las matrices de una forma ms simple:

Definicin 2.12.5: Dada una matriz A = {aij} de orden (m x n), el rango de A es el ordende la mayor submatriz cuadrada contenida en dicha matriz que posea determinante no nulo.

Ejemplo 2.12.1: Calcule el rango de la siguiente matriz: 3 1 2 B= . 6 2 4

El primer paso es encontrar el determinante de la submatriz cuadrada de orden 1, B1, la cual est dada por

B1 = 3 = 3 0 .

Dado que esta submatriz es no-singular, se calcula el determinante de la submatriz B2; es decir,

B2 =

3 1 6 2

= 0.

El resultado anterior implica que esta submatriz es singular. Sin embargo, la matriz B contiene otra submatriz cuadrada de orden 2 que podra ser no-singular. Por lo tanto,76

es necesario calcular el determinante de la submatriz cuadrada de orden 2 que resulta de intercambiar la segunda y tercera columna de la matriz B; es decir,

B1 = 2

3 2 6 4

= 0.

Como el determinante resultante es 0, el R(B) = 1 ya que el orden de la mayor submatriz cuadrada contenida en la matriz B que posea determinante no nulo es 1.

Ejemplo 2.12.2: Considere la matriz

a 11 a 21 A= a m1

a 12 a 22

a m2

a 1n a 2n a mn

Para determinar el rango de la matriz A, se siguen los siguientes pasos:

R.12.1. Se calcula el determinante de A1 = {a11}.a) b) Si A 1 0 entonces el R(A) 1 y se calcula el determinante de A2. Si A 1 = 0 entonces se intercambia la fila o columna a la cual pertenece elj elemento a11 por otra fila o columna de tal forma que A 1 = a ij 0 .

c)

Si no existe una submatriz A1 cuyo determinante es no-nulo, entonces el R(A) = 0.

R.12.3. Se calcula el determinante de A2, donde la submatriz A2 debe contener lasubmatriz A1. a) b) Si A 2 0 entonces el R(A) 2 y se calcula el determinante de A3. Si A 2 = 0 entonces se intercambia una de las filas o columnas de la submatriz A2 por otra fila o columna y se calcula A j2 ; es importante77

destacar que an con estos intercambios de filas o columnas, se mantiene la restriccin que la nueva submatriz cuadrada de orden 2 debe contener la submatriz A1. c) d) Si A j2 0 entonces el R(A) 2 y se calcula el determinante de A3. Si A j2 = 0 entonces se intercambia una de las filas o columnas de la submatriz A2 por otra fila o columna y se calcula A k ; nuevamente esta 2 nueva submatriz de orden 2 debe contener la submatriz A1. e) Este proceso se continua hasta que se agotan las posibilidades de intercambio. f) Si no existe una submatriz A2 cuyo determinante es no-nulo, entonces el R(A) = 1.

R.12.4. Se calcula el determinante de A3, donde la submatriz A3 debe contener lasubmatriz A2. a) b) Si A 3 0 entonces el R(A) 3 y se calcula el determinante de A4. Si A 3 = 0 entonces se intercambia una de las filas o columnas de laj submatriz A3 por otra fila o columna y se calcula A 3 ; es importante

destacar que an con estos intercambios de filas o columnas, se mantiene la restriccin que la nueva submatriz cuadrada de orden 3 debe contener la submatriz A2. c) d)j Si A 3 0 entonces el R(A) 3 y se calcula el determinante de A4. j Si A 3 = 0 entonces se intercambia una de las filas o columnas de la

submatriz A3 por otra fila o columna y se calcula A k ; nuevamente esta 3 nueva submatriz de orden 3 debe contener la submatriz A2. e) Este proceso se continua hasta que se agotan las posibilidades de intercambio. f) Si no existe una submatriz A3 cuyo determinante es no-nulo, entonces el R(A) = 2.

R.12.5. Este procedimiento se repite hasta encontrar la submatriz de mayor orden quetenga determinante no-nulo.78

Ejemplo 2.12.3: Determine el rango de la siguiente matriz de orden (4 x 3):

0 2 A= 2 2

5 3 1 . 4 4 2 6 1

Es importante destacar que dado que R(A) min (4,3), R(A) 3. Para estimar el rango exacto, se sigue el procedimiento establecido anteriormente. 1. A 1 = 0 . Por ende, se intercambia la primera y segunda columnas. Este intercambio genera la siguiente matriz modificada:

1 3 A1 = 4 2

0

5 2 1 2 4 2 6

2.

A 1 = 1. Se procede entonces a calcular el determinante de la submatriz 1cuadrada de orden 2.

3. A 1 = 2

1 0 3 2

= 2 . Se procede entonces a calcular el determinante de la

submatriz cuadrada de orden 3. 1 0 5 4. A = 3 2 1 = 10 10 = 0 . Para dejar el menor anterior sin cambio,1 3

4 2

4

intercambiamos las filas 3 y 4, lo que genera la siguiente matriz:

79

1 3 A2 = 2 4

0 5 2 1 . 2 6 2 4

1 0 5 5. A = 3 2 1 = 14 + 10 = 24 . Como no existe otra submatriz cuadrada de2 3

2 2

6

orden mayor a 3, el rango de la matriz A es 3.

2.14 Traza (Tr) La traza de una matriz cuadrada, A, es la suma de los elementos diagonales de lamatriz. Formalmente, Tr (A ) =

(2.13.1)

ai

ii

La traza de una matriz satisface las siguiente propiedades:

P.13.1 P.13.2 P.13.3 P.13.4 P.13.5 P.13.6

Tr(cA) = c(Tr(A)) Tr(A) = Tr(A)

c

Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B) Tr(AB) = Tr(BA) Tr(aa) = Tr(aa) = aa Tr(In) = n

2.14 Producto Kronecker Para cualquier matriz A y B el producto kronecker se define como

80

(2.14.1)

a 11B a B 21 A B = a 31B M a n1B

a 12B L a 1k B a 22B L a 2k B a 32 B L a 3k B M M M a n2 B L a nk B

Es importante destacar que el producto kronecker no requiere de conformabilidad ya que puede ser calculado para cualquier par de matrices. Por ejemplo, si la matriz A es de orden (k x l) y la matriz B es de orden (m x n), entonces el producto kronecker

A B es de orden (km x ln).

2.15 Ejercicios propuestos

2.15.1. Determine (i) e j A, e j n y A = a ij(ii) Ae j , e j n ij

{ } y A = {a }

(n x n )

(n x n )

2.15.2. Dados dos vectores no nulos, x1 y x2, el ngulo (0 180) que ellos forman, esta relacionado con el producto escalar x1x2 (=x2x1) como sigue: agudo es un ngulo recto ssi el producto x1x2 (=x2x1) es obtuso > = 0.