Capítulo 10: Incertidumbre y utilidad esperada

Referencia: H. Scott Bierman & Luis Fernández, Game Theory with Economic ApplicationsHal Varian, Intermediate Microeconomics , Capítulo 12

I. IntroducciónDiariamente enfrentamos situaciones donde desconocemos totalmente el resultado del un evento. Es por tal razón que se hace necesario realizar un análisis probabilístico de los posibles eventos, para entonces, maximizar la utilidad. Existe incertidumbre con respecto a lo que eventualmente pasa. Las empresas desconocen si venderán o no la cantidad proyectada, los negociadores de un contrato laboral desconocen si el contrato será aceptado por la membresía de la unión. En este capítulo incorporamos el elemento de incertidumbre en la teoría de juego

Algunas situaciones donde desconocemos totalmente el resultado del un evento.

a. Estar enfermo vs. Estar saludable

b. Estar vivo vs. Muerto

c. Tener un accidente automovilístico vs. Estar libre de accidentes

d. Tener fuego en la casa, versus tener la casa libre de fuego

e. Ganar la lotería, perder en la lotería

f. Estar empleado vs. Quedar desempleado

g. Tener el portafolio financiero subiendo de valor vs. Perdiendo valor

 

II. Funciones de utilidad y probabilidades

El problema que enfrenta en consumidor es maximizar su utilidad, sujeto a que existe la probabilidad de que enfrente un periodo “bueno” o un periodo “malo”. Es decir;

E(C1,C2, p1,p2) = p1 C1 +p2 C2

Donde

C1 = Consumo en el periodo “bueno”

C2 = Consumo en el periodo “malo”

p1 = probabilidad que ocurra el periodo “bueno”.

p2 = probabilidad que ocurra el periodo “malo”.

En el contexto de incertidumbre, esta expresión se le conoce como el valor esperado.

II. Funciones de utilidad y probabilidades

Observar que la suma de las probabilidades de los eventos posibles tiene que sumar a 1.

Es decir p1 + p2 = 1. Por lo tanto, p2 = 1- p1.

Para integrar la maximización de utilidad dentro del contexto de la incertidumbre, usamos la siguiente forma para expresar la función:

EU(C1,C2, p1,p2) = p1 U(C1) + p2 U(C2)

  

II. Funciones de utilidad y probabilidades

EU(C1,C2, p1,p2) = p1 U(C1) + p2 U(C2) Es decir, que la utilidad es ahora la suma de la

función de utilidad en cada estado U(C1), U(C2), ponderado según la probabilidad de que ocurra cada estado.

En el contexto de incertidumbre, esta expresión se le conoce como la utilidad esperada.

Esta función de utilidad esperada es también conocida como una función de utilidad tipo Neumann-Morgenstern.

Análisis gráfico de la decisión bajo incertidumbre

Supongamos que la función de utilidad esperada es dada por la siguiente expresión:

EU(C1, C2) = p1 [C1 ]1/2 + p2 [C2 ]1/2

Donde

C1 = 25 , representa la riqueza en el periodo malo

C2 = 100, representa la riqueza en el periodo bueno

p1 = 0.5 y p2= 0.5

Entonces, la utilidad esperada es igual a

EU(C1, C2) = 0.5[25]1/2 + 0.5[100]1/2 = 0.5[5] + 0.5[10]

=2.5 + 5 = 7.5

Análisis gráfico de la decisión bajo incertidumbre

Riqueza

Utilidad

25 100

5

10

7.5

El consumidor tiene un 50% probabilidad de disfrutar de un

periodo bueno, donde su riqueza es igual a $100 y un

50% de experimentar un periodo malo, donde su riqueza es igual a $25

Asuma que una compañia de seguros le ofrece pagarle $31.25, ¿Cuanto estaría dispuesto a pagar por evitar el periodo malo?

Riqueza

Utilidad

25 100

5

10

7.5

Respuesta: Una cantidad menor a $43.75

Si tuviera que pagar exactamente $43.75 estaría

indiferente.

56.25

$31.25

$43.75

Análisis gráfico de la decisión bajo incertidumbre

Riqueza

Utilidad

25 100

5

10

7.5

Este tipo de consumidor odia el riesgo. Su función de

utilidad es cóncava, reflejando una utilidad

decreciente con respecto a tener riqueza adicional. Un

amante al riesgo tendría una función de utilidad convexa.

56.25

$43.75

$31.25

Análisis gráfico de la decisión bajo incertidumbre

Riqueza

Utilidad

25 100

625

10,000

5,312.5

El consumidor, amante al riesgo tiene una función de

utilidad convexa. Por ejemplo,

EU(C1, C2) = p1 [C1 ]2 + p2 [C2 ]2

0.5[25]2 +0.5[100]2

0.5[625] + 0.5-[10,000]312.5 + 5,000 = 5,312.5

Análisis gráfico de la decisión bajo incertidumbre

Riqueza

Utilidad

25 100

625

10,000

5,312.5

El consumidor, amante al riesgo prefiere jugar el juego de las probabilidades, donde la utilidad esperada le genera una mayor satisfacción. Solo estaría dispuesto a pagar una

cantidad menor a $27.11 a cambio de recibir $52.89 en caso de caer en el periodo

malo.

72.89

$52.89

$27.11

Análisis gráfico de la decisión bajo incertidumbre

Riqueza

Utilidad

25 100

25

100

62.5

El consumidor, neutral al riesgo tiene una función de utilidad linear. Por ejemplo,

EU(C1, C2) = p1 [C1 ] + p2 [C2 ]0.5[25] +0.5[100]12.5 + 50 = 62.5

La utilidad esperada coincide con el valor esperado

62.5

Análisis gráfico de la decisión bajo incertidumbre

Riqueza

Utilidad

25 100

25

100

62.5

El consumidor, neutral al riesgo estaría dispuesto a

pagar hasta $37.5 con tal de recibir $37.5 en caso de caer

en el periodo malo

62.5

$37.5.

$37.5.

III. La presencia de Incertidumbre en juegos estáticos, cuando son de origen exógeno.

La presencia de Incertidumbre en juegos estáticos, cuando son de origen exógeno, se refiere a eventos que están fuera del control de los jugadores. Por lo tanto, las consecuencias de las acciones que toman los jugadores, dependen en factores que están más allá de su conocimiento y control. Asumiremos que existe un jugador que controla el “estado del mundo” y que es indiferente a lo que le pasen a los demás jugadores. Llamaremos a este jugador “La Naturaleza”. A los demás jugadores, le llamaremos “jugadores estratégicos”.

Ejemplo: La extracción de petróleo

Anteriormente asumimos que existen unos yacimientos de petróleo en las profundidades de unos terrenos.

Ejemplo: La extracción de petróleo

La empresa Boricua Oil Co. ha arrendado los terrenos, donde puede haber petróleo.

Ejemplo: La extracción de petróleo

La probabilidad de que encuentre petróleo es de un 60 por ciento. Hay un 40 % de probabilidad que sea un pozo seco.

Ejemplo: La extracción de petróleo

Hay un 40 % de probabilidad que sea un pozo seco.

Ejemplo: Dos compañía petroleras buscan extraer petróleo.

Dos compañía petroleras han arrendado terrenos adyacentes, donde existe un 60 % de que haya petróleo.

Ejemplo de Incertidumbre en juegos estáticos, cuando son de origen exógeno.

Cada compañía petrolera quiere maximizar la ganancia esperada, donde el resultado depende de:

Si la empresa competidora decide extraer petróleo o no*

El tubo que selecciona cada empresa (ancho o delgado)*

Si hay petróleo o no ∆

* = Cada jugador estratégico lo selecciona∆ = Lo selecciona la Naturaleza

Ejemplo de Incertidumbre en juegos estáticos, cuando son de origen exógeno.

(0,31)

(-1,16)

(1,1)

(0,44)

(14,14)

(16,-1)(31,0)

(44.0)

(0,0)

Ejemplo de Incertidumbre en juegos estáticos, cuando son de origen exógeno.

(0,-29)

(-16,-29)

(-29,-29)

(0,-16)

(-16,-16)

(-29,-16)(-29,0)

(-16.0)

(0,0)

Ejemplo de Incertidumbre en juegos estáticos, cuando son de origen exógeno.

A continuación buscamos el valor esperado de cada estrategia, multiplicando la probabilidad de cada posible evento por el pago resultante de cada estrategia. Por ejemplo, si ambas seleccionan una extracción con tubo delgado, el pago si hay petróleo, es de $14 millones para ambas empresas. Si hay un pozo seco, la pérdida para ambas empresas es de $16 millones. Multiplicamos estos valores por la probabilidad y obtenemos lo siguiente:

Valor esperado = .6(14) + .4(-16) = 8.4 + (-6.4) = 2

Ejemplo de Incertidumbre en juegos estáticos, cuando son de origen exógeno.

Calculamos todos los valores esperados en cada posible estrategia y obtenemos la siguiente tabla

Ejemplo de Incertidumbre en juegos estáticos, cuando son de origen exógeno.

(0,7)

(-7,-2)

(-11,-11)

(0,20)

(2,2)

(-2,-7)(7,0)

(20.0)

(0,0)

Ejemplo de Incertidumbre en juegos estáticos, cuando son de origen exógeno.

(0,7)

(-7,-2)

(-11,-11)

(0,20)

(2,2)

(-2,-7)(7,0)

(20.0)

(0,0)