Portafolio de Matemtica Discreta

Captulo I

ConjuntosGeneralidades.

Todos tenemos la idea de lo que es un conjunto: es una coleccin, agrupacin, asociacin, reunin, unin de integrantes homogneos o heterogneos, de posibilidades reales o abstractas. Los integrantes pueden ser nmeros, letras, das de la semana, alumnos, pases, astros, continentes, etc. a estos integrantes en general, se les denomina "elementos del conjunto".

Concepto.

Conjunto es una coleccin de objetos bien definidos. Estos objetos se llaman elementos del conjunto.

Elementos.

Elemento es cada uno de los objetos por los cuales est conformado un conjunto.Notacin: Los conjuntos son denotados por letras maysculas A, B, C, Los elementos del conjunto se denotan con letras minsculas a, b, c,Ejemplo:

A = { }

B = { }

C = { a, b, c, d }

Clases de Conjuntos.

La clasificacin de los conjuntos est fundamentada en el anlisis de sus elementos o miembros, por ejemplo si no tiene miembros, el conjunto es vaco, si sus miembros son innumerables infinito, etc.

Conjunto Universal o Referencial:

Se llama as al conjunto conformado por los miembros o elementos de todos los elementos que hacen parte de la caracterizacin.Ejemplo: Dado:A = {1, 3, 5, 7}B={2, 3, 4}C={6, 7, 8, 9} El conjunto universal o referenciales:U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Conjunto Vaco:

Se trata del conjunto que no tiene elementos, o que estos son inexistentes.Se representa por, { }, .Ejemplo:

T = {x/x es un estudiante Universitario de 5 aos de edad}El conjunto T tiene por elementos los x tales que x es un estudiante Universitario de 5 aos de edad; es igual al conjunto vaco; de modo que no existen en la Universidad estudiantes de 5 aos de edad , por lo tanto el conjunto T es un conjunto vaco y se representa por:

T = T = ( )= {Estudiante Universitario de 5 aos de edad}= {ao de 15 meses}= {abuela de 10 aos de edad}= {pas pia}= {da de 28 horas} Conjuntos Finitos e Infinitos.

Finitos:

Cuando los miembros o elementos del conjunto se pueden contar o enumerar.Ejemplo:El conjunto de las letras del alfabeto es un conjunto finito que expresado por comprensin es:A = {x/x son las letras del alfabeto castellano}

Infinitos:

Cuando los elementos o miembros no se pueden enumerar o contar, se considera como conjunto infinito.Ejemplo:Un conjunto infinito son las estrellas del cielo. Los conjuntos infinitos siempre debern determinarse por comprensin; para el ejemplo:B={x/x son las estrellas del universo}

Conjuntos Unitario.

Es el conjunto que tiene un solo miembro o elemento.Ejemplo:C = {luna}Subconjunto

Unconjuntoformado por algunos de los elementos de otro conjuntoes un subconjunto de este ltimo:

Seanydosconjuntostal que cada elemento dees tambin elemento de. Entonces se dice que:es unsubconjuntode, y se denotaes unsuperconjuntode, y se denota

Otras maneras de decirlo son "Aest incluido en", "incluye a", etc.Ejemplo:

El "conjunto de todos loshombres" es un subconjunto del "conjunto de todas laspersonas".

Determinacin o notacin de conjunto

Es cuando un conjunto se puede escribir en 3 formas diferentes con un mismo significado.1.-Por tabulacin.- Cuando escribimos uno a uno los elementos del conjunto.

2.-Por comprensin.- Cuando nombramos los elementos en una forma general.

3.-Por frmula.- Cuando escribimos signos matemticos para comprender el significado del conjunto.IgualNo es igualMayorMayor1 o igual queMenorMenor o igual quePerteneceNo perteneceTal que

4.-Pertenencia.- Cundo es un elemento miembro de un conjunto. Sies un miembro de, se denota por,y si no lo es, se denota por. Ejemplo:

Respecto a los conjuntosA,ByFde la seccin anterior, podemos decir:

, pero

Y se dice entonces que 4perteneceal conjunto, 4 es unmiembrode, 4estenocontiene 4.

5.- Igualdad.- Laigualdad de conjuntosenmatemticas; dados dosconjuntoscualesquieraydiremos que soniguales Ejemplo:

Sea; podremos escribir . Lo mismo es extensible a ms de dos conjuntos.

Ejemplo: Tabule los siguientes conjuntos:Formule:

1)

Tabulacin

2)

Formule:

3)

Formule:

4) 32410-2-1Formule:

5)(-2)Formule:

6)Formule:

7)

Diagramas De Venn-Euler:Es la forma sencilla e instructiva para poder representar los conjuntos y las relaciones que se producen entre ellos. En ellos se representan habitualmente los conjuntos por un rea plana, por lo general delimitada por un crculo.

Operaciones con conjuntos

Unin

La unin de dos conjuntos y es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a o a o a ambos., y se representa por .Ejemplo 1:

Sean los conjuntos y se representa grficamente por el diagrama de Venn

Ejemplo 2:

Dados los siguientes Conjuntos 3 1 7 5 2 8 4

Ejemplo 3:

AB 1 a 2 b 3 c 4

Interseccin

Dados dos conjuntosAyB, la interseccin de ambos,ABes un conjunto que contiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:

U

A BABU

A B

Se pueden dar esto:UU

AB

U

abcdefg

AB

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: 1U

AB2 46 8

1 3 7

3

Ejemplo 3: U

a e b f c g d

Aplicacin de la unin e interseccin de conjuntoLa unin y la interseccin se pueden aplicar por dos o ms conjuntos.1) Dados los siguientes conjuntos encontrara) b)

Analticamente quedar de la siguiente manera: ABU

71 465

2 39

C10 11 12

UBA

57

2 31 469

C10 11 12

2) Dados los siguientes conjuntos, tabularlos y encuentre la unin e interseccin.

. . R0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

U A U B U A B A B A B 2 3 2 3 4 5 4 5 - 9 9 6 7 - 9 9 6 7 8 8

3) Dados los conjuntos Hallar:

a) ) graficar. Para Graficar:1.- 2.- 3.- 4.-

A B A B c g c g a e a e b d f h b d f h i j i j C C

A B

c g a e b d f h b d f h

i j C

b) graficar.

A B A B c g c g a e a e b d f h b d f h

i j i j C C C

U A B c g a e b d f h b d f h i j C

c) graficar.

A B A B c g c g a e a e b d f h b d f h

i j i j C C

A B c g a e b d f h

i j C Diferencia

Ladiferenciaentre dos conjuntosAyBes el conjuntoA\Bque contiene todos los elementos deAque no estn enB o viceversa.

U

U

AB

UU

AB

Viceversa:UU

ABU

AB

U

Ejemplo 1:52U

AB

Dado los conjuntos:1 3 4 76

A - B = {2, 5, 6}

Ejemplo 2:Dados los Conjuntos

La diferencia sera de la siguiente manera: A B 5 2 1 7 3 4 8

6 9

Ejemplo 3: Dados los conjuntos

A B 1 2 5 6 3 4 7 8 Complemento

El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a , pero s pertenecen a l Universo. En otras palabras es la diferencia entre el conjunto Universo y el conjunto . Se representa por y es igual a Se grafica:U

A

Ejemplo 1:

U

A2 3 5 62

4

6

Ejemplo 2:

Leyes del Algebra de conjuntos Son aquellas leyes que se utilizan para simplificar operaciones de conjuntos.Las ms utilizadas son:

1. Ley de la Idempotencia

Ejemplo: AA 1 5 1 5 2 2 3 6 3 6 4 4 7 7

Ejemplo:

A A 1 5 1 5 2 2 3 6 3 6 4 4 7 7

2. Ley Asociativa

Ejemplo: Para Graficar: AB A B 5 2 5 2 3 1 6 3 1 6 7 8 4 97 8 4 910 10 11 11 12 C 13 12 C 13 AB A B 5 2 5 2 1 6 1 6 3 8 4 9 3 8 4 9 7 107 1011 11 12 13 12 13 C C

Ejemplo: AB A B 5 2 5 2 1 6 1 6 3 8 4 9 3 8 4 9 710 7 1011 11 12 13 12 13 C C

AB A B 5 2 5 2 1 6 1 6 3 8 4 9 3 8 4 9 7 107 1011 11 12 1312 13

C C

3. Ley Conmutativa

A B A B 2 3 2 3 - 9 9 4 5 - 9 9 4 5 6 7 6 7 8 8

A B A B 2 3 2 3 - 9 9 4 5 - 9 9 4 5 6 7 6 7 8 8

4. Ley Distributiva Para graficar:} AB A B 5 2 5 2 9 9 10 10 1 6 1 6 3 8 4 3 8 4 7 711 11 12 13 12 13

C C

AB A B 5 2 5 2 9 9 10 10 1 6 1 6 3 8 4 3 8 4 7 711 11 12 13 12 13 C C

A B 5 2 9 10 1 6 3 8 4 7 11 12 13 C

AB A B 5 2 5 2 9 9 10 10 1 6 1 6 3 8 4 3 8 4 7 711 11 12 13 12 13 C C

AB A B 5 2 5 2 9 9 10 10 1 6 1 6 3 8 4 3 8 4 7 711 11 12 13 12 13 C C

A B 5 2 9 10 1 6 3 8 4 7 11 12 13 C

5. Ley de la Identidad

A A 1 5 1 5 2 2 3 6 3 6 4 4

7 7

A A 1 5 1 5 2 2 3 6 3 6 4 4 7 7

AA 1 5 1 5 2 2 3 6 3 6 4 4 7 7

AA 1 5 1 5 2 2 3 6 3 6 4 4 7 7

6. Ley del Complemento

A A 1 5 1 5 2 2 3 6 3 6 4 4 7 7

A 1 5 2 3 6 4 7

A A 1 5 1 5 2 2 3 6 3 6 4 4 7 7

A 1 5 2 3 6 4 7

AA 1 5 1 5 2 2 3 6 3 6 4 4 7 7

A 1 5 2 3 6 4 7

A A 1 5 1 5 2 2 3 6 3 6 4 4 7 7

1 5 2 3 6 4 7

UU

A 1 5 A 1 5 2 2 3 6 3 6 4 4 7 7

A 1 5 A 1 5 2 2 3 6 3 6 4 4 7 7

7. Leyes de Morgan A B A B 1 3 6 1 3 6 24 7 2 4 7 5 5 8 9 8 9

A B A B 1 3 6 1 3 6 24 7 2 4 7 5 5 8 9 8 9

A B 1 3 6 2 4 7 5 8 9

A B A B 1 3 6 1 3 6 24 7 2 4 7

5 5 8 9 8 9 A B A B 1 3 6 1 3 6 24 7 2 4 7 5 5 8 9 8 9

A B 1 3 6 2 4 7 5 8 9

Simplificacin de conjuntos

Ejemplos:Normal:

Simplificado:

Grfica:

U

Diagrama de Conjunto.Realizar Operaciones con los conjuntos pero sin utilizar ningn elemento: Generalmente para realizar estas operaciones se trabaja con un diagrama ya establecido. ENFOQUE: Esto se puede realizar en dos formas.

a) Dando los elementos de cada conjunto y realizando la operacin.b) Dando solamente la proposicin del conjunto y visualizar sin ningn elemento.

Ejemplo:1. Dado el siguiente diagrama

Sombreara) ( A U B )CU U

A U B (A U B) C

b) ( B A )CU U

B A (B A) C

c) AC BCU U

AC BC AC BC

d) (A B )CU U

A B (A B )C

2.- Dado el siguiente grfico. U

Sombrear:U U

1. A ( B U C )

A (B U C) A (B U C)

1. A ( BC C

U U

A (BC U C) A (BC U C)1. A U B ) ( B C ) U U

(A U B) (B C) (A U B) (B C)1. ( AC BC ) U ( B C ) U U

AC BC (AC BC) U U

B C (AC BC) U ( B C)Ejercicios1.- Demostrar las siguientes proposiciones verdaderas o falsas.1) B A = B AC B A U

B A= B AC U U

B AC B AC La proposicin B A = B AC es verdadera1. ( A B ) B = (A B) B U U

(A B) (A B) B

La proposicin (A B) B = es verdadera1. ( A B )C = AC BC (A B)C U U

(A B) (A B) B U U

AC BC AC BC La proposicin (A B)C = AC BC es falsa.4) { [ A ( AC U B ) ] U [ A U ( A BC ) ] } = AC BC U U

AC U B AC U B U

A (AC U B) U U

A BC A BC U

A U (A BC) U U

AC y BC AC BC

La proposicin { [ A ( AC U B ) ] U [ A U ( A BC ) ] } = AC BC es falsa 2.- En los siguientes diagramas de Venn U U

Sombrar:0. B A U U

B A B A0. AC B U U

AC B AC B U U

AC B AC B

0. A U BC U U

A U BC A U BC

4) AC - BC U U

AC BC AC - BC U U

AC BC AC - BC3.- Dados el siguiente diagramaU

Sombrar:a) ( A B )C ` U U

A B A B U

(A B)Cb) AC B U U

AC y B AC B1. AU ( B CC ) U U

B y CC B CC U

A U (B CC)1. ( A B ) U ( B U C )C U

A B U U

B U C (B U C)Ce) (A U B)C (B U C)C U U

A U B (A U B)C U U

B U C (B U C )C U

(A U B)C (B U C)C U

(A U B)C (B U C)C

Ejercicios:Dado el diagrama

AB

Hallar =

0

Hallar =

Dado el diagrama:

Hallar =

PRINCIPIO DE ADICCIN

EJEMPLOS:

De 40 estudiantes entrevistados 15 leen la revista A y B, 27 estudiantes la revista B 3 leen nicamente la revista A.

a) Cuntos estudiantes no leen la revista? 10 estudiantes no leen la revista.

b) Cuntos estudiantes leen la revista A? 18 estudiantes leen la revista A.

c) Cuntos leen nicamente la revista B? 12 estudiantes leen la revista B.

d) Cuntos estudiantes leen nicamente una sola de esta revista? 15 estudiantes leen nicamente una sola revista.

Solucin: U

Ejercicios: Una compaa tiene que contratar 25 programadores maneja trabajos de programacin de sistema 40 trabajadores para programas de aplicacin.

De los que se contrate se espera que 10 realicen trabajos de ambos tipos.Cuntos programadores deben contratarse?

Solucin:A = Programacin de SistemaB = Programa de Aplicacin A= 25

B= 40 A B= 10

A U B= A+ B- A B

A U B= 25 + 40 10

A U B= 65 10 = 55

U

En un colegio de 100 estudiantes se realiza una encuesta:

24 estudiantes siguen el idioma Ingls.31 estudiantes siguen el idioma Francs11 estudiantes siguen el idioma Ingls Francs.4 estudiantes siguen el idioma Ingls Alemn.5 estudiantes siguen el idioma Francs Alemn.3 estudiantes siguen el idioma Ingls Francs Alemn.

a) Cuntos estudiantes no reciben ningn idioma? 32 estudiantes no reciben ningn idioma.

b) Cuntos estudiantes reciben el ingls como nico idioma? 13 estudiantes reciben el reciben el Ingls como nico idioma.

Solucin:

U13719 13223

(100)(97)(95)(94)(87)(64)(45)(32)

CAPITULO IILgica MatemticaDefinicinLa lgica es un mtodo de razonamiento que no acepta conclusiones errneas. Esto se puede lograr definiendo en forma estricta cada uno de los conceptos.Todo debe definirse de tal forma que no d lugar a dudas o impresiones en la veracidad de su significado. Nada puede darse por supuesto, y las definiciones de diccionario no son normalmente suficientes. Por ejemplo, en el lenguaje ordinario, un enunciado u oracin se puede definir como una palabra o grupo de palabras que declara, pregunta, ordena, solicita o exclama algo; unidad convencional del habla o escritura coherente, que normalmente contiene un sujeto y un predicado, que empieza con letra mayscula y termina con un punto.

Sin embargo, en lgica simblica una oracin tiene un significado mucho ms especfico y se llama proposicin.

Definicin de Proposicin.-Una proposicin es una unidad semntica que, o slo es verdadera o slo es falsa.

Los elementos fundamentales de la lgica son las proposiciones. Por ello, las oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, o las que demuestran algn tipo de imprecisin (carecen de sentido), no son objeto de estudio de la lgica.

Ejemplo-Oraciones que son proposiciones5 es un nmero primo.-17+38=21Todos los nmeros enteros son positivos.Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador.

Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas. Todas ellas pueden ser calificadas por el lector con precisin y sin ambigedades o subjetivismo.Usualmente, las primeras letras del alfabeto espaol en minscula se usan para representar proposiciones.

Ejemplo-Representacin simblica de proposiciones5 es un nmero primo puede ser representada por la letra a, de la forma: a: 5 es un nmero primo.

Ejemplo-Oraciones que no son proposicionesLava el auto, por favor.Hola, cmo ests?Aprate!La conceptualizacin cambia lo absurdo en azul.X+5=9.Maana se acabar el mundo!

Las primeras cuatro oraciones no son proposiciones porque no se puede establecer su valor de verdad. Generalmente las oraciones imperativas, exclamativas e interrogativas no son proposiciones.

El quinto enunciado no es una proposicin, ya que valor de x no es preciso y por lo tanto no se puede establecer su valor de verdad.La sexta oracin no es una proposicin porque su valor de verdad no se puede determinar.TERMINOS LGICOSLos trminos lgicos son y, no, ni, o, o, si......., entonces, ...si y slo si...CLASES DE PROPOSICIN Se clasifican en: Proposiciones simples Proposiciones compuestas

PROPOSICIONES SIMPLES Una proposicin es simple si y solo si, no tiene trminos lgicos. Se la representa generalmente por las siguientes letras: P, Q, R, S, T. Siempre estar formado por un sujeto y un predicado.Ejemplo:

a) A la proposicin 5+3=8, la podemos simbolizar por P, as: P: 5+3=8 b) Josefa est estudiando. P: Josefa est estudiando.PROPOSICIN COMPUESTA Una proposicin es compuesta siempre y cuando (si y solo si) est formada por dos o ms proposiciones simples, afectada por trminos lgicos (y, o).Ejemplo:A la proposicin 2+4=6, la podemos simbolizar por P, y la Proposicin 3-2=1, se la simboliza por Q. 2+6=5 y 3-2=1 P y Q

P: Francisco canta en la playa. Q: Julio juega futbol. P y Q: Francisco canta en la playa y v Julio juega futbol.

Definicin de Valor de verdad.-El valor de verdad de una proposicin es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposicin. ste puede ser verdadero o falso.

Usualmente el valor verdadero se lo asocia con: 1, V, T, True; mientras que el valor falso se lo asocia con: 0, F, False. Se podra utilizar cualquiera de ellas, pero la convencin a seguir en el texto ser el uso de 0 y 1, tomando como referencia el sistema de numeracin binario.

En el ejemplo de las oraciones que son proposiciones podemos observar que el valor de verdad de la segunda proposicin es VERDADERO, mientras que el valor d verdad de la tercera proposicin es FALSO.

Verdad y falsedad pueden considerarse simplemente como los valores lgicos de la unidad semntica descriptiva con sentido completo. Ese valor es lo que ms nos interesa sobre una proposicin.

Definicin de Tabla de verdad.-Una tabla de verdad es una representacin de los posibles valores de verdad que podra tomar una proposicin.

Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lgicas.

Ejemplo-Construccin de tablas de verdad

La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresin lgica.

OperadoresLos operadores lgicos son los siguientes:Conjuncin Negacin Conjuncin Negativa Disyuncin Disyuncin Exclusiva Condicional Bicondicional

Conectivos LgicosSon elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada proposicin molecular.

OPERADORREPRESENTALOG. SIMBLICA.LOG. BINARIA.

Negacin.noes falso nunca es imposible que , ~ , , .NOT.

Conjuncin.y, pero, aunque incluso tambin , & , .AND.

Disyuncin dbil o incluyenteo, a memos que, salvo que o tambin excepto que. , +OR

Disyuncin exclusivao A o B, o bien A o bien B, a o B( en sentido excluyente)., , >