Capitulo 1. Introducción Al Diseño (Parte 3. Esfuerzos))

7/25/2019 Capitulo 1. Introduccin Al Diseo (Parte 3. Esfuerzos))

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Equilibrio y diagramas de cuerpo libre

La palabra sistema se usar para denotar cualquier parte aislada de una mquina oestructura-incluyendo su totalidad si as se quiere-que se desee estudiar. Un

sistema, de acuerdo con esta definicin, puede consistir en una partcula, varias

partculas, una parte de un cuerpo rgido o cuerpo rgido completo.

Si se supone que el sistema que se va ha estudiar no tiene movimiento o, cuandomucho, tiene velocidad constante, entonces el sistema tiene aceleracin cero. Bajo

esta condicin se dice que el sistema est en equilibrio. La frase equilibrio esttico

tambin se usa para implicar que el sistema est en reposos. En caso de equilibrio,

las fuerzas y los momentos que actan sobre el sistema son cero


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Esfuerzos combinados

Frecuentemente sobre los materiales actan simultneamente varios tipos de

solicitaciones, tales como flexin y torsin, y hay que determinar el estado de

tensiones en estas condiciones.

Tensin bidimensional. En general, si se separa de un cuerpo un elemento

plano estar sometido a las tensiones normales y , as como a la tensin

cortante

x

x

x


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Esfuerzo.

La distribucin de fuerza que acta en un punto sobre la superficie es nica ytendr componentes en la direccin normal y tangencial llamados esfuerzo

normal y esfuerzo tangencial, respectivamente.

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Criterio de signos. Para tensiones normales, se considera que las tensiones de

traccin son positivas y las de compresin negativas. Para tensiones cortantes,

el sentido positivo es el que se represento en la figura anterior.

Tensiones en un plano inclinado. Se supone que las tensiones , y

son conocidas. En un plano inclinado un ngulo respecto al eje x, las

tensiones normal y cortante en ese plano se representan por y

x

x

x 2cos2

2

1

yxyx sen

x

x

x 221


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Tensiones principales. Hay ciertos valores del ngulo que hacen sea mximo

o mnimo para un conjunto dado de tensiones , y . Estos valores

mximo y mnimo que pueden adoptar se llaman tensiones principales y

estn dadas por

Direcciones de las tensiones principales. Los ngulos, designados por , entre

el eje x y los planos en que tienen lugar las tensiones principales, estn dados por

xxx 2cos22

yxyx sen

x

x

x 2cos21 sen


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Tensiones cortantes en los planos principales. Las tensiones cortantes en los

planos principales son siempre nulas, para cualquier valor de , y

Tensin cortante mxima. Hay ciertos valores del ngulo que hacen que seamximo para un conjunto dado de tensiones , y . El valor mximo

de la tensin cortante est dado por

Direcciones de la tensin cortante mxima. Los ngulos , entre el eje x y los

planos en los que se producen las tensiones cortantes mximas estn dados por

xxx 2cos22

yxyx sen


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Circulo de Mohr

El Crculo de Mohres una tcnica usada en ingenierapara representar

grficamenteun tensor simtrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ellamomentos de inercia, deformacionesy tensiones, adaptando los mismos a las

caractersticas de una circunferencia(radio, centro, etc.). Tambin es posible el

clculo del esfuerzo cortantemximo absoluto y la deformacin mxima

absoluta.

Caso bidimensionalCircunferencia de Mohr para esfuerzos.

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensin

mxima y mnima, a partir de dos mediciones de la tensin normal y tangencial

sobre dos ngulos que forman 90.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1ficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1ficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1ficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1ficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa


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Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

Centro del crculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones mxima y mnima vienen dados en trminos de esas magnitudes

simplemente por:

Estos valores se pueden obtener tambin calculando los valores propiosdel

tensor tensinque en este caso viene dado por:
http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_propiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_propio


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El tensor de tensiones es una representacin matemtica en forma de matriz

de las tensionesen un punto asociadas a un sistema de referencia ortogonal

definido en dicho punto.

El tensor de tensiones es simtrico y cada fila o columna del mismo indica las

tres tensiones (1 normal y dos cortantes) asociadas al plano perpendicular a

cada uno de los ejes del sistema de coordenadas. A partir de la diagonalizacin

del tensor de tensiones se puede determinar las tensiones principalesy

direcciones principalesasociados al punto analizado.
http://www.mecapedia.uji.es/tension.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/tensiones_principales.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/direcciones_principales.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/direcciones_principales.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/tensiones_principales.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/tension.htm


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Tensiones principales

Se llama tensiones principales (s1, s2, s3) en un punto de un cuerpo cargado a

las tensiones normales en las direcciones principalesen dicho punto. La

mxima de dichas tensiones principales (s1

) es la mxima tensin normal de

todas las que se dan al cambiar la orientacin del plano en dicho punto. Del

mismo modo la mnima (s3) es la mnima tensin normal de todas las que

pueden darse al cambiar la orientacin del plano en dicho punto.
http://www.mecapedia.uji.es/direcciones_principales.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/direcciones_principales.htm


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Direcciones principales

Se denominan direcciones principales en un punto de una pieza cargada a las

direcciones en las que hay que orientar las caras de un paraleleppedo

diferencial alrededor de dicho punto, de modo que las tensiones cortantes sean

nulas en todos las caras de dicho paraleleppedo. A las tensiones normales en

las direcciones principales se les llama tensiones principales.
http://www.mecapedia.uji.es/tensiones_principales.htmhttp://www.mecapedia.uji.es/tensiones_principales.htm


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Procedimiento general para analizar esfuerzos combinados:

1. Indicar en que punto se desea calcular los esfuerzos

2. Especificar con claridad el sistema de coordenadas, el diagrama de cuerpolibre, la magnitud y direccin de las fuerzas para el objeto

3. Calcular los esfuerzos que actan sobre el punto seleccionado debido a lasfuerzas aplicadas, e indicar los esfuerzos que actan sobre un elemento deesfuerzos en el punto de inters

4. Calcular los esfuerzos principales sobre el punto y las direcciones en lasque actan.

5. Trazar el elemento de esfuerzos sobre el cual actan los esfuerzosprincipales e indique su orientacin relativa al eje x original. Se recomiendatrazar el elemento con esfuerzos principales junto al elemento de esfuerzosoriginal, para ilustrar la relacin entre ellos.


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6. Calcular el esfuerzo cortante mximo sobre el elemento y la orientacin del

plano sobre el cual acta

7. Trazar el elemento de esfuerzos sobre el cual acta el esfuerzo cortante

mximo e indique su orientacin respecto al eje x original8. El conjunto de tres elementos de esfuerzos que resulta., ser como el de la

figura


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Caso tridimensional

El caso del estado tensional de un punto P de un slido tridimensional es ms

complicado ya que matemticamente se representa por una matriz de 3x3 para

la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal () y tangencial (), medidas sobre

cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (,) caen

siempre dentro de una regin delimitada por 3 circulos. Esto es ms complejo

que el caso bidimensional, donde el estado tensional caa siempre sobre unanica circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la regin

de posibles pares (,) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.


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l i l d h d l


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El circulo de Mohr, se puede emplear para:

1. Determinar los esfuerzos principales mximo y mnimo, y lasdirecciones en que actan

2. Calcular los esfuerzos cortantes mximos y la orientacin de losplanos donde actan.

3. Calcular el valor de los esfuerzos normales que actan sobre losplanos donde actan los esfuerzos cortantes mximos

4. Calcular los valores de los esfuerzos normales y cortantes que actan

en un elemento con cualquier orientacin

Si se conocen los esfuerzos normal y cortante que actan sobre dosplanos de un elemento mutuamente perpendiculares, se puedeconstruir el crculo.


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El circulo de Mohr se puede emplear para:


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El circulo de Mohr, se puede emplear para:

1. Determinar los esfuerzos principales mximo y mnimo, y lasdirecciones en que actan

2. Calcular los esfuerzos cortantes mximos y la orientacin de losplanos donde actan.

3. Calcular el valor de los esfuerzos normales que actan sobre losplanos donde actan los esfuerzos cortantes mximos

4. Calcular los valores de los esfuerzos normales y cortantes que actan

en un elemento con cualquier orientacin

Si se conocen los esfuerzos normal y cortante que actan sobre dosplanos de un elemento mutuamente perpendiculares, se puedeconstruir el crculo.

Esfuerzos normales para vigas en flexin


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Las ecuaciones para representar los esfuerzos normales en flexin en vigas rectasse basan en los siguientes supuestos:

La viga se somete a flexin pura (fuerza cortante nula y no hay torsin)

El material es isotrpico y homogneo

El material cumple con la ley de Hooke

Inicialmente la viga es recta, con una seccin transversal constante

La viga tiene un eje de simetra en el plano de flexin

Las proporciones de la viga son tales que fallara ante la flexin

Las secciones transversales de la viga permanecen planas durante la flexin

El eje x coincide con el eje neutrode la seccin. Los elementos de

la viga que coinciden con esteplano tienen un esfuerzo cero.


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Esfuerzos cortantes en vigas con seccin estndar

Torsin


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La mayora de las vigas presentan fuerzas cortantes y momentos flexionantes

A travs de la seccin transversal se desarrollan esfuerzos cortantes. Para una


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A travs de la seccin transversal se desarrollan esfuerzos cortantes. Para una

barra slida circular en torsin, estos esfuerzos son proporcionales al radio y

estan dados por

Si se designa a r como el radio de la superficie exterior, se tiene

Los supuestos que se aplican en el anlisis son:

Sobre la barra acta un par de torsin puro y las secciones bajo consideracin se

encuentran alejadas del punto de aplicacin de la carga y de un cambio dedimetro.

Las secciones transversales originalmente planas y paralelas permanecen planas

y paralelas despus de la torsin y cualquier linea radial permanece recta.

El material obedece la ley de Hooke

Para una seccin circular slida


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donde d es el dimetro de la barra. Para una seccin circular hueca.Con frecuencia es necesario obtener el par de torsin T mediante la

consideracin de la potencia y velocidad del eje rotatorio.

Cuando se utilizan unidades del sistema SI, la ecuacin es



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El par de torsin T correspondiente a la potencia en Watts, se obtiene por

Saint Venant demostr que el esfuerzo cortante mximo en una barra de seccin

transversal rectangular b*c ocurre en la parte media del lado mayor b y tiene la

magnitud

El ngulo de giro tiene la forma

Esfuerzos en cilindros presurizados


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p

En los recipientes cilndricos, cilindros hidrulicos, caones de pistolas y

tubos de conduccin de fluidos a altas presiones se desarrollan esfuerzos

radiales y tangenciales con magnitudes que dependen del radio del elementobajo consideracin

Recipientes de pared delgada


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Cuando el espesor de pared de un recipiente cilndrico a presin se acerca a unvigsimo de su radio o menos, el esfuerzo radial que resulta de la

presurizacin del recipiente es muy pequea comparado con el esfuerzo

tangencial. Bajo estas condiciones, el esfuerzo tangencial se obtiene comosigue: sea p una presin interna ejercida sobre la pared de un cilindro deespesor t y con un dimetro di. La fuerza que tiene a separar dos mitades deuna longitud unitaria del cilindro es pdi.

di + t = dimetro promedio

En un cilindro cerrado, el esfuerzo longitudinal es

Esfuerzos en anillos rotatorios


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Muchos elementos rotatorios, como los volantes de inercia y los rotores de

ventiladores, pueden simplificarse si se les analiza como anillos rotatorios

para determinar los esfuerzos. Cuando se aplica este enfoque hay quedeterminar que existen los mismos esfuerzos tangencial y radial como en la

teora para cilindros de pared gruesa, excepto que los esfuerzos se deben a las

fuerzas inerciales que actan sobre todas las partculas del anillo.

Los esfuerzos tangencial y radial estan sujetos a las siguientes restricciones: El radio exterior del anillo, o disco, es grande en comparacin con su espesor

ro 10t.

El espesor del anillo o disco es constante

Los esfuerzos son constantes sobre el espesor

Los esfuerzos son


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donde r es el radio del elemento de esfuerzo en consideracin, es la densidad

de masa y es la velocidad angular del anillo en radianes por segundo. En el

caso de un disco rotatorio, en estas ecuaciones se usa ri = 0

Ajustes a presin y por contraccin


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Cuando se ensamblan dos partes cilndricas por contraccin o a presin una

sobre la otra, se crea una presin de contacto entre las dos partes. Los esfuerzos

resultantes de esta presin se determinan con facilidad mediante las ecuaciones

de las secciones anteriores.

Antes de ensamble, el radio externo del elemento interior era ms grande que leradio interno del elemento exterior en una cantidad denominada interferencia

radial . Despus del ensamble se desarrolla una presin de contacto por

interferencia p entre los elementos en el radio nominal R, lo que causa

esfuerzos radiales r= - p en la superficie en contacto de cada mienbro.

Esta presin esta dada por


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Donde los subndices o e i en las propiedades del material corresponden a los

elementos exterior e interior, respectivamente. Si los dos elementos estn

hechos con el mismo material, Eo = Ei = E, o =i, la relacin se simplifica a

En estas ecuaciones pueden usarse los dimetros en lugar de R, ri y ro que es

la interferencia diametral (dos veces la interferencia radial)

Con p, las ecuaciones de cilindros presurizados pueden usarse para determinar

l f di l t i l d l t P l l t i t i


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los esfuerzos radial y tangencial en cada elemento. Para el elemento interior, po

= p y pi = 0. Para el elemento exterior, po = 0 y pi = p. por ejemplo, las

magnitudes de los esfuerzos tangenciales en el radio de transicin R son

mximas para ambos elementos.

Para el elemento interior

y, para el elemento exterior

Efectos de la temperatura


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Cuando la temperatura de un cuerpo sin restricciones se incremente de manera

uniforme, este se dilata y su deformacin unitaria normal es

donde es el coeficiente de dilatacin trmica y T es el cambio de

temperatura, en grados. En esta accin, el cuerpo experimenta un incremento

simple de volumen y las componentes de la deformacin por cortante son

iguales a cero. Si una barra recta se restringe en sus extremos para prevenir ladilatacin longitudinal, y luego su temperatura se somete a un incremento

uniforme, se desarrolla un esfuerzo de compresin debido a la restriccin axial.

De manera similar, si se restringen los bordes de una pla plana unforme, y su

temperatura tambin se somete a un incremento uniforme, el esfuerzo de

compresin que se desarrolla est dado por

Vigas curvas en flexin


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La distribucin del esfuerzo en un elemento curvo en flexin se determina

usando los siguientes supuestos:

La seccin transversal tiene un eje de simetra en un plano a lo largo de lalongitud de la viga

Las secciones transversales planas permanecen planas despus de la flexin

El modulo de elasticidad es igual en tensin que en compresin.

h = altura de la seccin

co= distancia desde el eje neutrohasta la fibra exterior

ci= distancia desde el eje neutro

hasta la fibra interior

rn= radio del eje neutro

rc= radio del eje centroidal

e = distancia desde el eje centroidal

hasta el eje neutro

M = momento flexionante

o

oo

i

ii

reAcM

reAcM


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La ubicacin del eje neutro, con respecto al centro de curvatura o, esta dado

por

La distribucin del esfuerzo se determina equilibrando el momento externo

aplicado contra el momento resistente interno. As, se determina que

donde M es positivo en la direccin que se indica en la figura. Los esfuerzos

crticos ocurren en las superficies interna y externa donde y = ci y y = - co.


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Esfuerzos de contacto

C d d fi i i t l t t


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Cuando dos cuerpos con superficies curvas se presionan entre s, el contacto

puntual o lineal cambia a un rea de contacto, y los esfuerzos que se

desarrollan en los dos cuerpos son tridimensionales. Ejemplo: En el contacto deuna rueda y un riel, en el rbol de levas y los balancines, en los dientes de

engranajes acoplados y en la accin de cojinetes de bolas.

El caso ms general del esfuerzo de contacto ocurre cuando cada cuerpo en

contacto tiene un radio de curvatura doble; es decir, cuando el radio del planode rodamiento es diferente del radio de un plano perpendicular y ambos planos

pasan por el eje de la fuerza de contacto (Estudio realizado por Hertz).

Contacto esfrico

C ando dos c erpos slidas con dimetros d d se presionan entre si con na


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Cuando dos cuerpos slidas con dimetros d1y d2se presionan entre si con una

fuerza F, se obtiene un rea circular con un radio a . Si se designa E1, 1y E2, 2

como las constantes elsticas respectivas de las dos esferas, el radio a esta dado

La presin dentro de cada esfera tiene una distribucin hemiesfrica, como se

muestra en la figura. La presin mxima, que ocurre en el centro del rea decontacto, es

Los esfuerzos mximos ocurren en el eje z y son esfuerzos principales. Sus

valores son


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valores son

Contacto cilndrico

Los cuerpos en contacto son dos cilindros de longitud l y dimetros d1 y d2 el

bz

bzp

x 2

2

mx 12


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Los cuerpos en contacto son dos cilindros de longitud l y dimetros d1y d2. el

rea de contacto es un rectngulo angosto de ancho 2b y longitud l, y la

distribucin de la presin es elptica. El semiancho b esta dado por


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