Capítulo 1 Física de los Semiconductores. CONCEPTOS PREVIOS Tipos de sólidos según...

Capítulo 1Física de los Semiconductores

CONCEPTOS PREVIOS

• Tipos de sólidos según conductividad: Conductores, Semiconductores, Aislantes.

• Niveles de energía: Los electrones tienes órbita bien definidas que corresponden a niveles de energía.

• Se requiere de una cantidad exacta igual a la diferencia de energía entre dos niveles para mover un electrón desde un nivel inferior a otro superior. Esta energía es suministrada de una sola vez

CONCEPTOS PREVIOS

• Cuando hay moléculas de dos o más átomos, sólo los electrones de las capas más externas de cada átomo participan en el enlace, interactuando con los otros átomos.

• Estos electrones corresponden a los electrones de valencia.

• La valencia de un átomo es el número de electrones que están siendo compartidos por un átomo en un enlace iónico o covalente.

• Un enlace covalente se forma cuando uno de los átomos no tiene suficiente fuerza para extraer un electrón desde otro.

CONCEPTOS PREVIOS

• En un enlace covalente, la interacción de los electrones de enlace con el potencial eléctrico de los dos núcleos da lugar a un desdoblamiento de los niveles de energía originales de estos electrones.

CONCEPTOS PREVIOS

Principio de exclusión de Pauli: En cada estado cuántico sólo puede haber un electrón.

Debido a la multiplicidad de espín, este principio indica que en cada nivel energético no pueden existir más de dos electrones, por lo tanto el resto de los electrones ocupará niveles superiores.

Si hay “n” electrones en un átomo neutral, los n/2 niveles más bajos son llenados con dos electrones cada uno. Los niveles siguientes más altos permanecen vacíos excepto cuando el átomo es excitado.

CONCEPTOS PREVIOS

• El análisis de moléculas aisladas con un cierto número de átomos es más difícil.

• En moléculas simples de N átomos iguales, los electrones de enlace (niveles externos) se sitúan en nuevos niveles desdoblados.

• El resultado es que aparecen N niveles nuevos (subniveles), donde los electrones se pueden ubicar.

CONCEPTOS PREVIOS

• Los N subniveles desdoblados, da lugar a un continuo de niveles energéticos nuevos, de anchura de unos pocos electronvolts. Luego, se habla de bandas de energía.

• Una banda de N subniveles permite alojar hasta 2N electrones, que provienen de los electrones de valencia de los átomos.

CONCEPTOS PREVIOS

• Los electrones en los niveles más externos, son los electrones de valencia. La banda de estos estados es llamada Banda de Valencia.

• Los niveles excitados de los átomos también son desdoblados, aun cuando no estén ocupados por electrones, dando lugar a una nueva banda de energía.

• En un sólido con enlace covalente, los niveles excitados, En adelante la banda de conducción, forman una banda por encima de la banda de valencia que esta separada por una zona donde no existen niveles permitidos. Estas regiones son llamadas bandas prohibidas. o “gap”

CONCEPTOS PREVIOS

• Las dos bandas descritas se extienden por toda la red atómica. Luego los electrones de valencia pueden moverse a través de esta red, intercambiando su posición unos con otros.

• Si la energía es suficiente, los electrones pueden saltar el gap y ubicarse en niveles de la banda superior.

• Cuando se incrementa la energía de un electrón, éste toma un nivel mayor, por lo que su respectivo “hueco” baja en el nivel de energía.

CONCEPTOS PREVIOS

• En semiconductores absolutamente puros (intrínsecos), los electrones de conducción y los huecos resultan solo a través de ruptura de enlaces.

• Así la concentración de electrones “n” iguala a la concentración de huecos “p”. Estas concentraciones son llamadas concentraciones de portadores intrínsecos ni del semiconductor.

• Se puede suponer que la concentración de portadores intrínsecos sea una función de la energía vibracional de la estructura del sólido (y por lo tanto de la temperatura) que es la responsable de la ruptura de los enlaces.

CONCEPTOS PREVIOS

• La concentración intrínseca de un semiconductor puro tiene una dependencia exponencial con la temperatura, y con el ancho de gap donde la energía de activación Ea es aproximadamente EG/2.

• El análisis presentado corresponde a semiconductores intrínsecos, es decir, aquellos semiconductores puros y perfectamente cristalizados.

aE /kTin e

CONCEPTO DE HUECO

• El salto de un electrón a la banda de conducción implica la ruptura de un enlace en algún lugar de la red cristalina.

• Se origina un estado vacante que además presenta una deficiencia de carga negativa.

• Esta deficiencia de carga equivale a una carga positiva de magnitud igual a la carga del electrón.

• El desplazamientos de electrones a una posición vacante próximo genera una nueva vacante detrás .

• Por lo tanto la vacante tiene un desplazamiento en sentido opuesto al del electrón.

CONCEPTO DE HUECO

• El nivel vacante en la banda de valencia mantiene su entidad una vez que se ha creado.

• Los niveles vacantes en la banda de valencia tienen un comportamiento muy similar al de los electrones de la banda de conducción.

• Estos niveles o estados vacantes se denominan huecos.

• Con las características descritas, se pueden considerar los huecos como partículas inmersas en la nube de electrones dentro de la banda de valencia

CONCEPTO DE HUECO

• Como los huecos son capaces de moverse en el interior del cristal, también se les puede asociar una energía cinética de movimiento.

• Esta energía corresponde a la de los electrones que se desplazan en sentido opuesto.

• Un hueco entonces se puede considerar como una partícula que se mueve con energía dentro de la banda de valencia y que posee una carga igual a la del electrón pero de signo opuesto.

• Un hueco puede ser arrastrado con una cierta movilidad por un campo eléctrico externo.

CONCEPTO DE HUECO

• Se puede asociar a los huecos una cierta masa, denominada masa efectiva.

• Tanto los huecos o electrones de un semiconductor intrínseco son denominados indistintamente como portadores de carga o portadores intrínsecos.

INTERPRETACIÓN DEL ESQUEMA DE BANDAS

• En el esquema de bandas, la escala vertical representa la energía total, E, de los niveles electrónicos.

• Eg corresponde a la energía mínima necesaria para romper un enlace. En este caso un electrón o hueco quedan en reposo en los niveles correspondientes al fondo de la banda de conducción, Ec , y al tope de la banda de valencia Ev , respectivamente.

• El electrón o hueco generado tiene una energía adicional que se traduce en energía de movimiento a través del cristal.


• E es la energía final del electrón.

• E – Ec es la energía cinética asociada al movimiento del electrón en la banda de conducción.

• E – Ev es la energía cinética del hueco en la banda de valencia.

• E es la energía total de la partícula, E=Ecin + Epot

• Los valores Ec y Ev corresponden a la energía potencial (asociado al enlace) medido desde un cierto nivel de referencia para electrones en la banda de conducción y huecos en la banda de valencia.

ENERGÍA DE UNA PARTICULA PORTADORA

• Conforme la mecánica cuántica, un electrón moviéndose en la banda de conducción sometido al potencial periódico de los átomos tiene una relación entre su energía cinética y el momento cuántico, p, similar al que existe en un electrón libre, luego:

• es la masa efectiva del electrón.

2

*2c

e

pE E

m

*em


•Análogamente, para el hueco:

• es la masa efectiva del hueco.

• La masa efectiva no es una constante y depende de factores como la estructura cristalina y la disposición de los átomos en una dirección determinada, entre otros.

• La masa efectiva de los huecos es generalmente algo mayor que la de los electrones.

2

*2v

h

pE E

m

*hm


• El movimiento de los electrones en la banda de conducción es relativamente libre.

• El movimiento de los huecos se debe a un intercambio de enlaces entre átomos

IMPUREZAS EN SEMICONDUCTORES

• Un semiconductor intrínseco tiene un comportamiento intermedio entre un conductor y un aislante.

• Con temperaturas bajas, un semiconductor presenta propiedades similares a un aislante.

• La conductividad es función creciente con la temperatura. A temperatura ambiente un semiconductor tiene una conductividad apreciable.

• La variación de la conductividad con la temperatura es un inconveniente pues se desea que el material tenga un valor de conductividad estable.


• A una temperatura dada la conductividad puede ser manipulada si se añade una cantidad controlada de impurezas de determinados elementos químicos.

• A temperatura ambiente existen pocos portadores en un semiconductor intrínseco por lo que se debe recurrir a métodos como el dopaje del semiconductor mediante impurezas que contengan 5 electrones de valencia.

• El dopaje de un semiconductor permite obtener una conductividad relativamente constante.

• El semiconductor en este caso se llama extrínseco o dopado


• Consideremos el caso donde una impureza es introducida en un único cristal semiconductor en concentraciones que son mucho mayores que ni.

• El fósforo posee cinco electrones de valencia en comparación con el silicio que posee cuatro. Este caso es ilustrado en la figura siguiente.

• El fósforo ocupa un lugar en la quinta columna de la tabla periódica de los elementos, mientras que el silicio ocupa un lugar en la cuarta columna, de acuerdo a su respectivo número de electrones de valencia.


Representaciones atomística esquemática y banda-energía de semiconductores extrínsecos.


• El electrón extra del átomo de fósforo no puede ser acomodado en el arreglo regular de enlaces.

• Como está fuera de lugar, es más fácil moverlo. Así, la energía de ionización del fósforo en el silicio es mucho más pequeña que la banda de energía del silicio.

• De hecho, esta energía de ionización es de solo 0.05 [eV].

• Esta condición introduce un nuevo nivel energético cercano a la banda de conducción. Este nuevo nivel es llamado nivel donor.


• A temperatura ambiente hay pocos portadores en un semiconductor intrínseco por lo que se debe recurrir al dopaje del semiconductor mediante impurezas que contengan 5 electrones de valencia.

• De esta forma, existirá un electrón que no puede ser acomodado en la red y la energía de ionización del átomo de valencia 5 es mucho menor que la energía de Gap del silicio.


• A temperatura ambiente un cristal de silicio con impurezas de valencia 5 tiene una energía vibracional suficiente para entregar energía e ionizar las impurezas, proveyendo una cantidad de electrones igual al número de átomos de impureza.

• Esta condición se llama “ionización completa”.

• Bajo condiciones de ionización completa, podemos decir que la concentración de electrones es n = ND donde ND es la concentración de impurezas donoras. (Las impurezas de la quinta columna en el silicio son llamadas impurezas donoras porque donan un electrón a la banda de conducción del cristal de silicio.)


• Esto es ilustrado nuevamente en la representación banda-energía de la figura anterior, donde son indicadas iguales concentraciones de electrones e iones donores.

• Los iones donores son denotados como cargas positivas ligeramente por debajo del margen de energía de la banda de conducción.


• Análogamente, se tiene el caso en que una impureza que posee tres electrones de valencia (impureza de la tercera columna de la tabla periódica de los elementos), como el Boro, es introducida en la red de silicio.

• Por ser una impureza de la tercera columna que posee un electrón menos que el silicio, podemos considerar que acarrea un hueco.

• Este hueco puede ser removido relativamente fácil, con una energía de ionización de aproximadamente 0.05 [eV].


• Si la ionización es completa, la concentración de huecos es p = NA donde NA es la concentración de impurezas aceptoras.

• Las impurezas de la tercera columna en el silicio son llamadas impurezas aceptoras porque pueden aceptar un electrón de la banda de valencia del cristal. Esto, por supuesto, es equivalente a suministrar un hueco a la banda de valencia.


• Esta situación es ilustrada en la figura anterior, en ambas representaciones (atomística esquemática y de banda-energía).

• Nuevamente, considerando el caso de ionización completa, la concentración de huecos en la banda de valencia es mostrada igual a la concentración de iones aceptores en el cristal.

• Los iones aceptores son denotados por una carga negativa ligeramente por encima del borde de energía de la banda de valencia.


• En el primero de los dos casos anteriores, la concentración de electrones es más grande que la de huecos.

• Ya que la corriente en este caso es predominantemente acarreada por electrones, decimos que el tipo de conductividad del semiconductor es n (negativo).

• En el segundo caso, la concentración de huecos es mayor a la de electrones y la corriente es acarreada predominantemente por huecos. En este caso, el tipo de conductividad es p (positivo).


• En general, ambos tipos de impurezas (aceptoras y donoras) pueden estar presentes simultáneamente.

• El tipo de conductividad del semiconductor es determinado entonces por aquella impureza que está presente en mayores concentraciones.

• La concentración del correspondiente portador mayoritario será dada entonces por:

n = ND – NA, si ND > NA

p = NA – ND, si NA > ND


• En cualquier caso, un átomo de impureza entrega un portador de carga a temperatura ambiente que aún en pequeñas concentraciones incrementa sustancialmente la conductividad.

• Por ejemplo, 1 en 108 de impurezas donoras en el Germanio entrega 4x1014 portadores de carga adicional por cm3.

• Ello disminuye la resistividad de 47 cm a 3.4 cm.

• El proceso de dopaje permite prefijar el valor de conductividad del semiconductor.


Observaciones

• Existe un límite para la concentración de impurezas, aproximadamente de 1019 [cm-3]. Sobre este valor el semiconductor se degenera.

• La Solubilidad Sólida es la máxima concentración de la impureza que puede ser acomodada en el semiconductor a una temperatura dada.

PROBABILIDAD DE OCUPACION DE UN NIVEL

• El número de electrones libres en la banda de conducción de un semiconductor depende de tres factores:

• El número total de electrones disponibles.

• El número de niveles de energía vacantes en la banda de conducción.

• La probabilidad de que un electrón adquiera suficiente energía a una temperatura particular.


• Los primeros dos factores dependen exclusivamente de la estructura cristalina del semiconductor.

• El tercer factor depende de la distribución estadística de la energía térmica sobre los electrones.


¿Qué determina la probabilidad de que un estado energético sea ocupado por un electrón?

Función de distribución de Fermi – Dirac

• La distribución de energía de los electrones en un sólido está gobernada por las leyes de estadística Fermi-Dirac.

• El principal resultado de esta estadística es la función de distribución Fermi-Dirac la cual da la probabilidad de que un estado electrónico con energía E sea ocupado por un electrón.

(1.1) fE EkT

1p E

1 e

PROBABILIDAD DE OCUPACIÓN DE UN NIVEL

Ef: es la energía o nivel de Fermi y es la energía a la cual la probabilidad de ocupación de un estado de energía por un electrón es exactamente un medio.

El nivel de Fermi es sólo un parámetro matemático y no un nivel energético.


• Para un material intrínseco, la probabilidad de ocupación de un estado de la banda de conducción es pequeña.

• En contraste, la probabilidad de que los estados en la banda de valencia estén llenos por electrones es casi 1.

• Hay una escasa probabilidad de que un estado no esté ocupado por un electrón. Es decir, que exista un hueco.

• De cualquier forma, cada electrón en la banda de conducción deja un hueco en la banda de valencia.


• En un semiconductor tipo n la concentración de los electrones en la banda de conducción es más grande que en el caso intrínseco.

• Sin embargo, la densidad de los estados de energía en la banda de conducción es la misma que en el caso intrínseco, por consiguiente en un semiconductor tipo n el nivel de Fermi y con él la función de distribución Fermi-Dirac completa, se moverán hacia arriba en la figura de banda-energía.

• En contraste, en un semiconductor tipo p el nivel de Fermi y la función de distribución Fermi-Dirac serán hacia abajo.


Función de distribución de Fermi-Dirac para semiconductores intrínsecos.


Función de distribución de Fermi-Dirac para semiconductores tipo n


Función de distribución de Fermi-Dirac para semiconductores tipo p


Comparativa de la función de distribución de Fermi-Dirac para semiconductores intrínseco, tipo n y tipo p


• Para energías que son al menos una cantidad de unidades kT considerables por sobre o debajo del nivel de Fermi, la función de distribución de Fermi- Dirac puede ser aproximada por las siguientes fórmulas:

(1.2)

(1.3)

• Es útil observar el segundo término de la última

expresión como la probabilidad de ocupación de un

estado de energía E por un hueco.

fE E

kTff E e E E

fE E

kTff E 1 e E E

SEMICONDUCTORES EN EQUILIBRIO

• Concentraciones de electrones y huecos

• Si las densidades de los estados en las bandas de conducción y de valencia son calculadas en base a la mecánica cuántica…

• Si la probabilidad de ocupación de aquellos estados por electrones es tomada en cuenta…

• Entonces las concentraciones de electrones y huecos en un semiconductor pueden ser calculadas. Aquel cálculo da la concentración de electrones:

(1.4)

c fE EkT

Cn N e


f vE EkT

Vp N e

• Análogamente, la concentración de huecos se obtiene a partir de:

(1.5)

• El factor exponencial en la primera de las expresiones corresponde a la probabilidad de que un electrón ocupe un estado ubicado en el borde de la banda de conducción EC.

• El factor exponencial de la segunda expresión es la probabilidad de que un hueco ocupe un estado ubicado en el borde de la banda de valencia EV.


• En concordancia, podemos asignar una interpretación simple a los factores pre-exponenciales: ellos designan las densidades efectivas de los estados en las bandas de conducción y de valencia, respectivamente. NC y NV son proporcionales a T3/2 .


• Las ecuaciones (1.4) y (1.5) muestran que, según el nivel de Fermi Ef se acerca al borde de la banda de conducción EC, la concentración de electrones se incrementa y la concentración de huecos disminuye.

• En contraste, cuando el nivel de Fermi se mueve cerca del borde de la banda de valencia EV, la concentración de electrones decrece y la concentración de huecos aumenta.


• A medida que el nivel de Fermi se acerca al borde de la banda de conducción o de valencia unas pocas unidades kT, las aproximaciones a la función de distribución Fermi-Dirac que usamos en las fórmulas anteriores se vuelven inexactas.

• Por esta y otras razones, cuando la concentración de impurezas se acerca a 1019 [cm-3], las ecuaciones 1.4 y 1.5 pierden validez. Bajo ciertas condiciones podemos referirnos al semiconductor como degenerado.


• Existen otras fórmulas más útiles cuando se desea

simetría en las expresiones matemáticas.

(1.6)

(1.7)

donde

(1.8)

es el nivel intrínseco de Fermi

i fE EkT

in n e

f iE EkT

ip n e

Vi C V

C

N1 1E E E kT ln

2 2 N


• El nivel de Fermi intrínseco está ubicado en la

cercanía de la mitad del gap, desplazado de ella por

un término que usualmente es muy pequeño.

• Luego, para la mayoría de los propósitos podemos

considerar que el nivel de Fermi intrínseco está en el

medio del espacio de energía.


• A partir de las ecuaciones 1.4 y 1.5 tanto como de

las ecuaciones 1.6 y 1.7, se puede observar que el

producto de las concentraciones de electrones y

huecos es independiente del nivel de Fermi.

• Luego es independiente tanto del tipo de

semiconductor como de las concentraciones

individuales de electrones y huecos. Así,

(1.9) C VE E /kT2

i C Vpn n N N e


• Esta relación puede ser derivada en la base de la ley de acción de masa sin siquiera obtener las ecuaciones de concentración de portadores individuales.

• Se limita al caso donde el semiconductor está bajo las condiciones de equilibrio. Así podemos emplearla como el criterio para equilibrio en semiconductores.


• La ecuación 1.9 también indica que la concentración de portadores intrínsecos debe depender de la temperatura aproximadamente en una manera exponencial , conforme los resultados experimentales mostrados anteriormente. (La dependencia real de la temperatura es en cierto modo más fuerte porque NC y NV también aumentan con la temperatura)

GE / 2kTin e


• Neutralidad de carga espacial

• Un semiconductor que tiene una distribución uniforme de impurezas se dice que está en condición de neutralidad de carga espacial.

• La densidad neta de carga en cualquier elemento de volumen del semiconductor será cero.

• Para obtener la densidad de carga neta, sumamos

todas las cargas positivas y negativas. Así, si los

donores y los aceptores están completamente

ionizados

(1.10)


D Aq p n N N


• La condición de neutralidad carga-espacio implica

que:

(1.11)

• Combinando la condición de neutralidad carga-

espacio con la relación de equilibrio, np = ni2, Se

obtiene la concentración de electrones en un

semiconductor tipo n, en equilibrio

(1.12)

A Dp n N N

2 2n D A D A i

1n N N N N 4n

2


• y la concentración de huecos en un semiconductor

tipo p

(1.13)

• Podemos ver que cuando la magnitud de la

concentración neta de impurezas |ND – NA| es más

grande que la concentración de portadores

intrínsecos (este es generalmente el caso para el

silicio a temperatura ambiente), las relaciones

anteriores se simplifican a:

2 2p A D A D i

1p N N N N 4n

2


(1.14)

y

(1.15)

• Combinando las fórmulas anteriores para la

concentración de portadores mayoritarios con la

relación de equilibrio se produce la concentración de

portadores minoritarios:

n D An N N

p A Dp N N


(1.16)

y

(1.17)

• En las fórmulas anteriores el subíndice se refiere al

tipo de semiconductor (por ejemplo, nn denota la

concentración de electrones en un semiconductor

tipo n).

• El portador cuya concentración es la más alta de los

dos es referido como portador mayoritario y el otro

es referido como portador minoritario.

2i

nD A

np

N N

2i

pA D

nn

N N


• Usando las ecuaciones 1.12 y 1.13 junto a las

ecuaciones 1.6 y 1.7, podemos calcular la posición

del nivel de Fermi en la zona prohibida como función

de la temperatura, para una concentración dada de

aceptores o donores.

• Tales cálculos son mostrados en la figura siguiente

para el silicio. A medida que la temperatura aumenta,

el nivel de Fermi se acerca al nivel de Fermi

intrínseco, por lo tanto, el semiconductor se vuelve

intrínseco. (Esta figura también indica la variación

despreciada de la brecha de energía del silicio con la

temperatura.)


El nivel de Fermi en el silicio como función de la temperatura, para varias concentraciones de impurezas.


• A la inversa, podemos considerar la concentración de portadores mayoritarios como una función de la temperatura.

• La Figura siguiente muestra mediciones experimentales de la concentración de electrones en silicio tipo n como una función de la temperatura.

• A bajas temperaturas la energía térmica en el cristal no es suficiente para ionizar todas las impurezas donoras presentes.


Luego, la concentración de electrones es menor que la concentración donora.

A medida que la temperatura aumenta, la condición de completa ionización, donde la concentración de electrones iguala a la concentración donora, es más cercana.


• A medida que la temperatura es incrementada, la concentración de electrones se mantiene prácticamente constante sobre un rango de temperaturas considerable.

• Sin embargo, mientras la temperatura es incrementada aún más, alcanzamos la condición donde la concentración de portadores intrínsecos se vuelve comparable a la concentración donora.

• Más allá de estas temperaturas el semiconductor se vuelve intrínseco.


• Luego es evidente que un semiconductor puede ser intrínseco incluso si es dopado con una concentración relativamente alta de donores o aceptores.

• Si la temperatura es lo suficientemente alta, entonces la concentración de portadores intrínsecos excede a las concentraciones donoras o aceptoras. (Esto es evidente también en los cálculos mostrados en la Figura anterior.).

• La temperatura a la cual el semiconductor se vuelve intrínseco depende, por supuesto, de las concentraciones de donores o aceptores en el semiconductor.


Concentración de electrones en silicio tipo n como función de la temperatura.


• Fin de la clase n°2

• Aprox 90 min.

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