Dr. Sergio Terrazas

Departamento de Fsica y Matemticas

IIT, UACJ

Nmeros Complejos. Funciones Analticas

1.1 Nmeros Complejos

Se observ en las matemticas tempranas (por no decirle antiguas) que existen ecuaciones que no son satisfechas por ningn

nmero real, por ejemplo,

x2 + 3 = 0, x2 - 10 x + 40 = 0Esto llev a la introduccin de los nmeros complejos.

Definicin.

Un nmero complejo z es un par ordenado (x, y) de nmeros reales x, y, y escribimos z = (x, y)

Llamamos a x parte real de z y a y parte imaginaria de z y escribimos

Re z = x , Im z = y

por ejemplo, Re(4, -7) = 4, Im(4, -7) = -7.Igualdad.

Decimos que z1 = (x1, y1), y z2 = (x2, y2) son iguales si y slo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.

Suma de nmeros complejos

La suma de z1 = (x1, y1), y z2 = (x2, y2) est definida por la regla

z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (1.1)

Multiplicacin

La multiplicacin de nmeros z1 y z2 se define por la regla

z1 z2 = (x1, y1) (x2, y2) = (x1 x2 - y1 y2 , x1 y2 + x2 y1) (1.2)

Representacin en la forma z = x + i yUn nmero complejo cuya parte imaginaria es cero es de la forma (x, 0). Para tales nmeros tenemos, de (1.1) y (1.2)

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)

(x1, 0) (x2, 0) = (x1 x2, 0)

igual que para nmeros reales.

Esto sugiere identificar a (x, 0) con el nmero real x. Entonces el sistema de nmeros complejos es una extensin del sistema denmeros reales, y podemos escribir

x = (x, 0)

El nmero complejo (0, 1) es llamado unidad imaginaria y se denota por

i = (0, 1)

Por (1.2), para cualquier real y,

i y = (0, 1) (y, 0) = (0, y)

Ahora, por (1.1), para z = (x, y) tenemos,

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y)

Usando x para (x, 0) y usando (0, y) = i y , obtenemos la conveniente forma

z = x + i y (1.3)

Esta forma de escribir nmeros complejos es usada, en la prctica, casi exclusivamente.

Una propiedad importante, que proviene de la definicin de multiplicacin, es que

i 2 = (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) = -1

y de aqu, obtenemos la rara expresin

-1 = i

Con la forma (1.3) para escribir nmeros complejos tenemos, para la adicin,

(x1 + i y1) + (x2 + i y2) = (x1 + x2) + i (y1 + y2) (1.4)

Para la multiplicacin, usamos la propiedad distributiva, como si fueran nmeros reales, y recordando que i 2 = -1, obtenemos

(x1 + i y1) (x2 + i y2) = x1 x2 + i x1 y2 + i y1 x2 + i 2 y1 y2 = (x1 x2 - y1 y2) + i (x1 y2 + y1 x2) (1.5)

lo cual concuerda con (1.2).

Ejemplo 1. Parte real, parte imaginaria, suma y producto de nmeros complejos.

Sean z1 = 4 + 2 i , z2 = 3 - 5 i . EntoncesRe z1 = 4, Im z1 = 2, Re z2 = 3, Im z2 = -5

z1 + z2 = 4 + 2 i + 3 - 5 i = 7 - 3 i , z1 z2 = (4 + 2 i ) (3 - 5 i ) = 12 + 10 + i (-20 + 6) = 22 - 14 iLa sustraccin y divisin se definen como las operaciones inversas de la adicin y la multiplicacin. As, la diferencia z = z1 - z2 es el nmero complejo z para el que z1 = z + z2. Entonces, por (1.4) se tiene que

z1 - z2 = (x1 - x2) + i (y1 - y2) (1.6)

El cociente z1 /z2 es el nmero complejo z para el que z1 = z z2.La regla prctica para obtener el cociente z1 /z2 = (x1 + i y1) / (x2 + i y2) es multiplicar el numerador y el denominador por (x2 - i y2), llamado "conjugado de z2" lo cual convierte el cociente en una multiplicacin.

z =z1

z2

=(x1 + i y1) (x2 - i y2)(x2 + i y2) (x2 - i y2)

=(x1 + i y1) (x2 - i y2)

x22 + y22

=x1 x2 + y1 y2

x22 + y22

+ ix2 y1 - x1 y2

x22 + y22

(1.7)

Ejemplo 2. Diferencia y cociente de dos nmeros complejos.

Con z1 = 4 + 2 i , z2 = 3 - 5 i , se obtienez1 - z2 = (4 - 3) + i (2 - (-5)) = 1 + 7 i

z1

z2

=4 + 2 i3 - 5 i

=(4 + 2 i ) (3 + 5 i )(3 - 5 i ) (3 + 5 i )

=(12 - 10)

32 + 52+ i

(20 + 6)32 + 52

=2

34+ i

26

34=

1

17+

13

17i

Propiedades de la adicin y la multiplicacin

Son las mismas que para los nmeros reales y aqu las recordamos.

Leyes conmutativas

z1 + z2 = z2 + z1z1 z2 = z2 z1

Leyes asociativas

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)(z1 z2) z3 = z1(z2 z3)

Ley distributiva

z1(z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3

Existencia del idntico aditivo

z1 + 0 = 0 + z1 = z1

Existencia del idntico multiplicativo

z1 1 = 1 z1 = z1

Existencia del inverso aditivo

z + (-z) = (-z) + z = 0

El plano complejo

Lo anterior fue lgebra. Ahora pasamos a la geometra. El plano complejo es una representacin geomtrica de nmeros

complejos como puntos en el plano. Esto es de mucha importancia en aplicaciones, y la idea es muy simple y natural.

Escogemos dos ejes perpendiculares (el plano cartesiano), el eje horizontal, el eje x es llamado eje real, y el eje verical, el eje y es

llamado eje imaginario.

Ahora graficamos z = x + i y como el punto P con coordenadas x, y.El plano x, y en el cual los nmeros complejos son representados de esta manera es llamado plano complejo, o diagrama de

Argand.

En lugar de decir el punto representado por z en el plano complejo decimos ms brevemente el punto z en el plano complejo

(eje real)

(eje imaginario)z = x + i y

1 2 3 4 5x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

y

Ahora es posible visualizar la adicin y sustraccin, como se ilustra en las siguientes figuras.

z1={2.88, 3.}

z2={2.095, -2.43}

z1+z2={4.975, 0.57-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

Suma de nmeros complejos

z1={-3, 1.92}

z2={-1.945, -1.16}

-z2={1.945, 1.16}

z1-z2={-1.055, 3.08}

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

Resta o sustraccin de nmeros complejos

Nmeros complejos conjugados

Sea z = x + i y, entonces x - i y es llamado el conjugado de z y es denotado por z o z*. Entonces

z = x + i y , z = x - i y

y se obtiene geomtricamente reflejando el punto z sobre el eje real.

zz *

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

El conjugado de un nmero complejo

Por ejemplo, el conjugado de z = 4 - 5 i es z = 4 + 5 i .Ahora, por suma y resta, obtenemos que z + z = 2 x y z - z = 2 i y. Esto lleva a dos frmulas importantes,

Re z = x =1

2z + z , Im z = y =

1

2 iz - z (1.8)

Propiedades de los conjugados

(z1 + z2) = z1 + z2, (z1 - z2) = z1 - z2, (z1 z2) = z1 z2,z1

z2

=z1

z2

(1.9)

Ejercicios para la seccin 1.1

1. (Potencias de la unidad imaginaria) Demuestre que

i 2 = -1, i 3 = -i , i 4 = 1, i 5 = i , ...1

i= -i ,

1

i 2= -1,

1

i 3= i , ...

Sean z1 = 2 + 3 i , z2 = 4 - 5 i . Encuentre, en la forma cartesiana x + i y, 2. z1 z2 3. (z1 + z2)2 4. 1 /z1 5. z1 /z2Encuentre

6. Im 3+4 i7-i 7. Re

(2-3 i )22+3 i 8. Im z

3, (Im z)3 9. Im zz

Demuestre:

10. Las leyes conmutativas

11. La ley distributiva

12. z es real si y slo si z = z13. Si un producto de dos nmeros complejos es cero, por lo menos uno de los dos factores es cero.

1.2 Forma polar de los nmeros complejos.

Forma polar

Veremos que los nmeros complejos tambin pueden ser expresados en trminos de las coordenadas polares r y en el planocomplejo definido por

x = r cos , y = r sen (1.10)

Cualquier nmero complejo z = x + i y puede ahora ser escrito como

z = r cos + i r sen = r (cos + i sen ) (1.11)

Esta forma es conocida como forma polar o forma trigonomtrica de un nmero complejo.

r es llamado valor asoluto o mdulo de z y es denotado por z . Entonces

z = r = x2 + y2 = z z ( 0) (1.12)

Geomtricamente, z es la distancia del punto z al origen

El ngulo en posicin estndar es llamado argumento de z y es denotado por arg z;

= arg z = arc tany

x

aqu ngulos son medidos en radianes y positivos en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Para z = 0, este ngulo es indefinido (por qu?). Para z 0 es definido nicamente hasta mltiplos enteros de 2.Pra evitar ambiguedades, es usualmente conveniente usar el valor principal del argumento de z el cual es definido por

- <

z = r = 3.00661

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

r = 3.00661 = 0.815977

Forma polar de nmeros complejos

Ejemplo1. Forma polar de nmeros complejos. Valor principal.

Sea z = 1 + i , entonces

z = 2 cos4

+ i sen4

, z = 2 , arg z =4

2 n . El valor principal es4

.

Para un z 0 dado, podemos determinar el argumento de z de la ecuacin

= arg z = arc tany

x(1.13)

y el cuadrante en el cual est z.

Debemos poner atencin al cuadrante, porque tan tiene perodo , no 2, as que los argumentos de z y de -z tienen la misma tangente. Ejemplo: para 1 = arg (1 + i ) y 2 = arg (-1 - i ) tenemos que tan 1 = tan 2 = 1. La forma polar de nmeros complejos es particularmente til al hacer multiplicaciones, divisiones, potencias y races.

Sean z1 = r1 cos 1 + i sen 1) y z2 = r2 (cos 2 + i sen 2). Entonces

z1 z2 = r1 r2 (cos 1 cos 2 - sen 1 sen 2) + i (sen 1 cos 2 + cos 1 sen 2)

Por las identidades trigonomtricas ya conocidas para el coseno y seno de una suma de ngulos, esto ltimo es simplemente

z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2) + i sen (1 + 2)] (1.14)

Entonces obtenemos las reglas importantes

z1 z2 = r1 r2 = z1 z2 (1.15)

arg (z1 z2) = 1 + 2 = arg (z1) + arg (z2) (hasta mltiplos enteros de 2 ) (1.16)

Similarmente, de la definicin de divisin, se sigue que

z1

z2

=z1

z2

(1.17)

argz1

z2

= arg z1 - arg z2 (hasta mltiplos enteros de 2 ) (1.18)

Ejemplo2: La frmula de De Moivre

De aplicaciones sucesivas de (1.15) y (1.16) obtenemos que

zn = rn (cos + i sen )n = rn (cos n + i sen n )

y de esto obtenemos la llamada frmula de De Moivre

(cos + i sen )n = (cos n + i sen n ) (1.19)

Desigualdades

Para cualquier par de nmeros complejos, tenemos la importante desiguldad del tringulo.

z1 + z2 z1 + z2 (1.20)

la cual ser usada frecuentemente.

xy

z1

z2

z1+z2

Desigualdad del tringulo

Por induccin, la desigualdad del tringulo puede extenderse a sumas de cualquier cantidad de nmeros complejos:

z1 + z2 + z3 + ... + zn z1 + z2 + z3 + ... + zn (1.21)

Es decir el valor absoluto de una suma es cuando mucho, igual a la suma de los valores absolutos de los trminos.

Otras desigualdades tiles son:

Para cualquier z = x + i y, z = x2 + y2 x y similarmente z = x2 + y2 y, entonces,

Re z z , Im z z (1.22)

Races

Si z = wn, entonces a cada valor de w le corresponde un valor de z. De inmediato veremos que, recprocamente, a cada valor dado de z 0 corresponden precisamente n distintos valores de w.Cada uno de estos valores se denomina raz n-sima de z y se escribe

w = zn

Los n valores de zn

pueden obtenerse fcilmente como sigue. En trminos de formas polares de z y w,

w = R (cos + i sen )

La ecuacin wn = z se vuelvewn = Rn (cos n + i sen n ) = z = r (cos + i sen )

Igualando los valores absolutos se obtiene

Rn = r , R = rn

donde la raz es real y positiva, por lo que est determinada de manera nica.

Al igualar los argumentos se obtiene

n = + 2 k , = + 2 k

n

donde k es un entero. Para k = 0, 1, 2, ... n - 1, se obtienen n distintos valores de w.

Con valores adicionales de k se repiten valores ya obtenidos. En consecuencia, para z 0, zn tiene los n valores distintos

zn = rn cos

+ 2 k n

+ i sen + 2 k

n(1.23)

donde k = 0, 1, 2, ... n - 1. Estos n valores estn sobre una circunferencia de radio rn y constituyen los vrtices de un polgonoregular de n lados.

El valor de zn

que se obtiene tomando el valor principal de arg z y k = 0 se denomina valor principal de w = zn .Ejemplo 3. Raz cuadrada.

para n = 2, obtenemos los dos valores

w1 = r cos2

+ i sen2

y w2 = r cos2

+ + i sen2

+ = -w1

que son simtricas respecto al origen.

Ejemplo 4. Raz n-sima de la unidad. Circunferencia unitaria.

Resolver la ecuacin zn = 1.Solucin.

A partir de la frmula para la n-sima raz, obtenemos

1n = cos

2 k n

+ i sen2 k

n, k = 0, 1, 2, ... n - 1

Si denota el valor correspondiente a k = 1, entonces los valores de 1n pueden escribirse como 1, , 2, ..., n-1.Estos valores son los vrtices de un polgono de n lados inscrito en una circunferencia de radio 1, con centro en el origen, con

uno de sus vrtices en 1.

n 3

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1n

Races de la unidad

Ejercicios para la seccin 1.2

Encuentre

1. z

z 2. |-5 i | 3. z+1

z-1 4. 1+3 i3+i 5. z

4 , ( z )4 6. (1+i )6i 3(1+4 i )4

Represente en forma polar

7. 1 + i 8. 3 + 4 i 9. -8 10. -i 3Encuentre el valor principal de los argumentos de

11. -6 12. -3 - 3 i 13. 1 + i 3 14. -8 i15. (Multiplicacin por i ) Demuestre que la multiplicacin de un nmero complejo por i corresponde a una rotacin del vector

correspondiente a travs de un ngulo /2 contrario a las manecillas del reloj.16. Verifique la desigualdad del tringulo para z1 = 2 - 3 i , z2 = -4 + iRepresentar en la forma x + i y

17. 4(cos1

3+i sen 1

3) 18. 2 2 cos 3

4 +i sen 3

4

Encontrar todos los valores de las siguientes races y graficarlos en el plano complejo.

19. i 20. -7 - 24 i 21. -7 + 24 i4 22. 1 + i3

Resolver las ecuaciones:

23. z2 + z + 1 - i = 0 24. z4 - 3 (1 + 2 i ) z2 - 8 + 6 i = 0

1.3 Curvas y Regiones en el Plano Complejo

Para prepararnos para aplicaciones que vienen, consideraremos algunas curvas y regiones importantes y sus representaciones

por ecuaciones y desigualdades.

Puesto que la distancia entre dos puntos z y a es z - a , vemos que un crculo C con centro en a y de radio puede ser representado en la forma

z - a = (1.24)

a

En consecuencia, la desigualdad

z - a < (1.25)

se cumple para todo punto dentro de C; esto es esta desigualdad representa el interior de C.

Tales regiones reciben el nombre de disco circular, o ms precisamente, disco circular abierto, en contraste con el disco

circular cerrado

z - a (1.26)

que consiste del interior de C y C mismo.

a

Crculo Abierto

a

Crculo Cerrado

El disco circular abierto (1.25) es tambin llamado vecindad del punto a. De una manera ms general, cualquier conjunto que

contenga a un disco abierto (1.25) es tambn llamado vecindad del punto a. Para distinguir, el crculo abierto es llamado una

vecindad circular del punto a.

Similarmente, la desigualdad

z - a >

representa el exterior del crculo C.

Entonces, la regin entre dos crculos concntricos de radios 1 y 2 ( > 1) puede ser representada en la forma

1 < z - a < 2

donde a es el centro de los crculos. Tal regin es llamada anillo circular abierto, o regin anular abierta.

a

1

2

Regin anular abierta

La ecuacin

z = 1

representa al llamado crculo unitario, esto es, el crculo de radio 1 con centro en el origen.

xy

Crculo unitario

Este crculo jugar un papel importante en discusiones siguientes.

Ms an, por medio plano superior (abierto) queremos decir el conjunto de todos los puntos z = x + i y tales que y > 0.Similarmente, la condicin y < 0 define el medio plano inferior, x > 0 el medio plano derecho, y x < 0 el medio plano izquierdo.Ejemplo: Una parbola se define como el conjunto de todos los puntos C cuya distancia a un punto fijo llamado foco, es igual a

la distancia a una recta fija llamada directriz.

Ejemplo: Encuentre la ecuacin y la grfica de la parbola que tiene i como foco y la recta Im z = -1 como directriz.Solucin: Por definicin, obtenemos z - i = Im z + 1, ya que el punto de la directriz ms cercano al punto z es el que selocaliza exactamente abajo de l.

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Si z = x + i y, entonces z - i = x + i (y - 1) y z - i = x2 + (y - 1)2

Entonces, tenemos x2 + (y - 1)2 = y + 1, elevando al cuadrado y simplificando, obtenemos y = x2 4.

Finalmente, definimos algunas nociones que son de importancia general y que sern usadas en el trabajo siguiente.

El trmino conjunto de puntos en el plano complejo significa cualquier clase de de coleccin finita o infinita de puntos. Por

ejemplo, las solucines de una ecuacin cuadrtica, los puntos sobre una lnea, y los puntos en el interior de un crculo son

conjuntos.

Un conjunto S es llamado abierto si todo punto de S tiene una vecindad que consiste de puntos enteramente dentro de S. Por

ejemplo, los puntos en el interior de un crculo o de un cuadrado forman un conjunto abierto, y tambin los puntos del medioplano derecho Re z = x > 0. El conjunto que consiste de los puntos en el interior de un crculo C y en C no forman un conjuntoabierto, porque ninguna vecindad de un punto de C est completamente en el conjunto.

Un conjunto S en el plano complejo es llamado cerrado si su complemento es abierto.

El complemento de un conjunto S en el plano complejo es el conjunto de puntos que no pertenecen a S.

Un conjunto es llamado acotado si todos sus puntos caen dentro de un crculo suficientemente grande. Por ejemplo, los

puntos de un rectngulo forman un conjunto acotado, mientras que los puntos de una recta no forman un conjunto acotado.

Se dice que un conjunto abierto S es conexo (conectado) si cualquier par de puntos del conjunto pueden ser conectados por

una lnea quebrada de una cantidad finita de segmentos rectos cuyos puntos pertenezcan a S.

Un conjunto abierto y conexo es llamado dominio. Entonces el interior de un crculo es un dominio.

Un punto frontera de un conjunto S es un punto cuya vecindad cualquiera tiene puntos dentro de S y puntos fuera de S. Por

ejemplo, los puntos frontera de una regin anular son los puntos de los dos crculos que la contienen.

Una regin es un conjunto que consiste de un dominio ms, posiblemente algunos o todos de sus puntos frontera.

Aclaracin: algunos autores utilizan el trmino regin para lo que aqu estamos llamando dominio, y otros no hacen distincinentre los dos trminos.

Ejercicios para la seccin 1.3

Determine y grafique el lugar geomtrico de los puntos representados por

1. z 1 2. Re z -2 3. Re z2 1 4. arg z < /2 5. - < Im z < 6. z - 1 + z + 1 = 3 7. z + 1 / z - 1 = 6 8. z + i / z - i = 1

1.4 Funcin Compleja

Las funciones que se estudian en el Anlisis Complejo son llamadas funciones complejas analticas.

Definiremos estas funciones en esta seccin.

Esto necesitar de los conceptos de funcin compleja, lmite y derivada, con los cuales comenzaremos.

Veremos que estos conceptos son similares a aquellos del clculo.

Por una funcin definida sobre un conjunto S de nmeros complejos queremos decir una regla que asigna a cada z en S un

nico nmero complejo w. Entonces escribimos

w = f (z)

o w = g (z), etc. o algunas veces simplemente w(z).

Aqu z vara en S y es llamada variable compleja. El conjunto S es llamado dominio de definicin de f .

Ejemplo: w = f (z) = z3 + 3 z + 1 es una funcin compleja definida para todo z; el dominio S es todo el plano complejo.

El conjunto de todos los valores de una funcin f se denomina rango de f .

w es un complejo y por lo tanto se escribe como w = u + i v, donde u y v son las partes real e imaginaria respectivamente. w depende de z = x + i y, por lo tanto u y v son funciones de dos variables reales (x, y). Por tanto, es posible escribir

w = f (z) = u(x, y) + i v(x, y)

Ejemplo 1. Funcin de una variable compleja

Sea w = f (z) = z2 + 3 z + 1. Encontrar u y v y calcular el valor de f en z = 1 + 3 i .Solucin: f (z) = (x + i y)2 + 3 (x + i y) + 1 = x2 - y2 + 2 i x y + 3 x + 3 i y + 1 = x2 - y2 + 3 x + 1 + i (2 x y + 3 y)Entonces u(x, y) = x2 - y2 + 3 x + 1, v(x, y) = 2 x y + 3 yEn z = 1 + 3 i , x = 1, y = 3, u(1, 3) = -4, v(1, 3) = 15, f (1 + 3 i ) = -4 + 15 i .

Lmite, continuidad

Se dice que L es el lmite de una funcin compleja f (z) cuando z tiende al punto z0, y se escribe

limzz0

f (z) = L (1.26)

si f est definida en una vecindad de z0 (excepto quiz en z0 mismo) si los valores de f estn prximos a L cuando z est suficien-

temente prximo a z0. En trminos precisos, para todo positivo es posible encontrar un positivo tal que para todo z z0 en eldisco z - z0 < , se tiene

f (z) - L < (1.3)

Formalmente esta definicin es semejante a la usada en clculo, aunque hay una gran diferencia.

Mientres que en el caso de los reales x puede acercarse a un x0 slo a lo largo de la recta real, aqu, por definicin, z puede

tender a z0 a lo largo de cualquier direccin en el plano complejo.

Esto ser esencial en lo que sigue. Si existe un lmite, entonces es nico.

Se dice que una funcin es continua en z = z0 si f (z0) est definida y

limzz0

f (z) = f (z0) (1.4)

Se dice que una funcin es continua en un dominio si es continua en cada una de los puntos de ese dominio.

Derivada

La derivada de una funcin compleja f en un punto z0 se denota por f(z0) y se define como

f (z0) = limz0f (z0 + z) - f (z0)

z(1.5)

En el supuesto de que el lmite existe. Se dice que f es diferenciable en z0.

Si escribimos z = z - z0, entonces tenemos que

f (z0) = limzz0

f (z) - f (z0)z - z0

(1.6)

Enseguida trataremos una cuestin importante. Recuerde que por la definicin de lmite, f (z) est definida en una vecindad dez0 y en (1.26) z puede aproximarse a z0 desde cualquier direccin en el plano complejo.

Por lo tanto, diferenciabilidad en z0 significa que a lo largo de cualquier trayectoria por la cual z tienda a z0, el cociente en (1.26)

siempre tiende a un mismo valor.

Esto es importante y debe tenerse presente.

Elemplo 3. Diferenciabilidad. Derivada

La funcin f (z) = z2 es diferenciable para todo z y su derivada es f (z) = 2 z porque

f (z) = limz0

(z + z)2 - z2

z= lim

z0(2 z + z) = 2 z

Las reglas de diferenciacin son las mismas que en el clculo real, y sus demostraciones son literalmente iguales. Entonces,

(c f ) = c f , (f + g ) = f + g , (f g ) = f g + f g ,f

g

=

g f - f g

g 2

y tambin se cumplen la regla de la cadena y la regla de las potencias, (zn) = n zn-1.Tambin, si f (z) es diferenciable en z0, entonces f es continua en z0.

Funciones analticas

Se trata de funciones que son diferenciables en algn dominio, de modo que es posible hacer clculo en los complejos.Constituyen el tema fundamental del anlisis complejo, y su introduccin es el objetivo principal de esta seccin.

Definicin (Analiticidad)

Se dice que una funcin f (z) es analtica en un dominio D si f (z) est definida y es diferenciable en todos los puntos de D. Se diceque una funcin f (z) es analtica en un punto z = z0 en D si f (z) es analtica en una vecindad de z0.Tambin, por funcin analtica se entiende una funcin que es analtica en algn dominio.

Una expresin moderna para analtica en D es holomorfa en D.

Ejemplo 5: Polinomios, funciones racionales

Las potencias enteras 1, z, z2, ... y de manera ms general, los polinomios, es decir las funciones de la forma

f (z) = c0 + c1 z + c2 z2 + ... + cn zn

donde c0, c1, ..., cn son constantes complejas, son analticas en todo el plano complejo.

El cociente de dos polinomios g (z) y h(z),

f (z) =g (z)h(z)

se denomina funcin racional. Esta funcin es analtica excepto en los puntos donde h(z) = 0. En este caso se supone que sehan cancelado todos los factores comunes de g y h.

Los conceptos analizados en esta seccin extienden los conceptos familiares del clculo. El concepto de funcin analtica es de

fundamental importancia. De hecho, el anlisis complejo estudia exclusivamente funciones analticas, y aunque algunas

funciones simples no son analticas, por ejemplo, f (z) = z, la gran variedad de funciones restantes produce una rama de lasmatemticas bastante hermosa desde el punto de vista terico, y de gran utilidad para efectos prcticos.

Ejercicios de la seccin 1.4

Encontrar f (3 + i ), f (-i ), f (-4 + 2 i ), donde f (z) es igual a

1. z2 + 2 z 2. 1 / (1 - z) 3. 1z3

Encontrar las partes real e imaginaria de las siguientes funciones.

4. f (z) = z / (1 + z) 5. f (z) = 2 z3 - 3 z 6. f (z) = z2 + 4 z - 1

Suponer que z vara en una regin R del plano z. Encontrar la regin (precisa) del plano w en que estn los valores correspondi-

entes de w = f (z), y muestre grficamente esas regiones.7. f (z) = z2, z > 3 8. f (z) = 1 /z, Re z > 0 9. f (z) = z3, arg z /4En cada uno de los casos siguientes, determine si f (z) es continua en el origen, suponiendo que f (0) = 0 y para z 0, la funcin f (z) es igual a10. Re z / z 11. Re z2 z2 12. Im z / (1 + z )Obtener la derivada de los siguiente.

13. z2 + i 3 14. z2 - 4 z2 + 1 15. i (1 - z)2 16. (z + i ) / (z - i )Encontrar la derivada de

17. (z + i ) / (z - i ) en -i 18. z2 - i 2 en 3 - 2 i 19. 1z3 en 3 i20. Demostrar que f (z) = Re z = x no es diferenciable en ningn punto.

1.5 Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann nos dan un criterio, o prueba para verificar la analiticidad de una funcin compleja

w = f (z) = u(x, y) + i v(x, y)

En trminos generales, f es analtica en un dominio D si y slo si las primeras derivadas parciales de u y v satisfacen que

ux = vy , uy = -vx (1.7)

en todos los puntos de D. Estas ecuaciones se denominan cuaciones de Cauchy-Riemann, y son las ecuaciones ms importantes

en este captulo.

Ejemplo: f (z) = z2 = x2 - y2 + 2 i x y. Tenemos u(x, y) = x2 - y2, v(x, y) = 2 x y.ux = 2 x, uy = -2 y, vx = 2 y, vy = 2 x. ux = vy, uy = -vx.Teorema 1. Sea f (z) = u(x, y) + i v(x, y) definida y continua en alguna vecindad de un punto z = x + i y. Entonces en ese puntoexisten las derivadas parciales de primer orden de u y v y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Demostracin. Por hiptesis, exista la derivada de f (z) en z. Est dada por

f (z) = limz0

f (z + z) - f (z) z

(1.8)

La idea de la demostracin es muy simple. Por la definicin de lmite en los complejos, es posible hacer que z tienda a cero a lolargo de cualquier trayectoria. Por lo tanto, es posible escoger las dos trayectorias mostradas e igualar los resultados.

Escribimos z = x + i y. Entonces la derivada se convierte, en trminos de u y v,f (z) = lim

z0([u(x + x, y + y) + i v(x + x, y + y)] - [u(x, y) + i v(x, y]) / ( x + i y ) (1.9)

Primero escogemos la trayectoria I.

z+z

zI

II

Dos posibles trayectorias para el lmite z 0

A lo largo de I, primero y 0, y entonces z = x y por lo tanto

f (z) = limx0

1

x([u(x + x, y) + i v(x + x, y)] - [u(x, y) + i v(x, y])

= limx0

u(x + x, y) - u(x, y) x

+ i limx0

v(x + x, y) - v(x, y) x

Esos lmites son, por definicin, las derivadas parciales de u y v con respecto a x. Por lo tanto, la derivada f (z) puede escribirsecomo

f (z) = ux + i vx (1.10)

Si ahora tomamos el cmino II, primero x 0, y entonces z = y y por lo tanto

f (z) = limy0

[u(x, y + y) + i v(x, y + y)] - [u(x, y) + i v(x, y]i y

= limy0

u(x, y + y) - u(x, y)i y

+ limy0

v(x, y + y) - v(x, y) y

Entonces,

f (z) = vy - i uy (1.11)

Al igualar estas dos expresiones para f (z),ux + i vx = vy - i uy

obtenemos las ecuaciones de Cauchy-Riemann,

ux = vy , uy = -vx

Ejemplo 1. En el ejemplo anterior, vimos que para f (z) = z2, se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, y por lo tanto esuna funcin analtica.

Para f (z) = z = x - i y, tenemos ux = 1, uy = 0, vx = 0, vy = -1 y por lo tanto vemos que ux vy. Entonces f (z) = z no es analtica.

Ejemplo 2. Determine si f (z) = z3 es analtica.Solucin: f (z) = z3 = (x + i y)3 = x3 - 3 x y2 + i 3 x2 y - y3u(x, y) = x3 - 3 x y2, v(x, y) = 3 x2 y - y3

ux = 3 x2 - 3 y2, uy = -6 x y, vx = 6 x y , vy = 3 x2 - 3 y2

ux = vy, uy = -vx. Se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, y por lo tanto f (z) = z3 es analtica para todo z.

Ejemplo 3. Encontrar la funcin analtica ms general f (z) cuya parte real sea u(x, y) = x2 - y2 - x.Solucin: ux = 2 x - 1. De acuerdo a las ecuaciones de Cauchy-Riemann, esto debe ser igual a vy. Entoncesvy = 2 x - 1, v(x, y) = (2 x - 1) y = 2 x y - y + g (x). De la segunda ecuacin,uy = -2 y = -vx = -2 y + g (x), g (x) = 0, g (x) = constante = k. f (z) = u + i v = x2 - y2 - x + i (2 x y - y + k). La cual puede expresarse como f (z) = z2 - z + i k.

Ejemplo 4. Una funcin analtica de valor absoluto constante, es una funcin constante.

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann tambin son tiles para obtener propiedades generales de las funciones analticas.

Por ejemplo, demostrar que una funcin analtica de valor absoluto constante es una funcin constante.

Solucin: Por hiptesis, u2 + v2 = k2. Derivando implcitamente, tenemosu ux + v vx = 0 , u uy + v vy = 0

ahora usamos uy = -vx en la primera y ux = vy en la segunda, para obtenera) u ux - v uy = 0 , b) u uy + v ux = 0

la ecuacin a) la multiplicamos por u y la b) por v y tenemos

c) u2 ux - u v uy = 0 , d u v uy + v2 ux = 0

ahora sumamos c) y d)

u2 + v2 ux = 0, entonces k2 ux = 0 ux = 0

u2 + v2 uy = 0, entonces k2 uy = 0 uy = 0

Por las ecuaciones de Cuchy-Riemann, tambin vx = vy = 0.Juntas, se tiene que u = constante y v = constante. As, f = constante.Mencionamos que, si se usa la forma polar z = r (cos + i sen ) y se hace f (z) = u(r, ) + i v(r, ), entonces las ecuaciones deCauchy-Riemann son

ur =1

rv , vr = -

1

ru (1.12)

Ecuacin de Laplace. Funciones Armnicas

Una de las razones principales de la gran importancia del anlisis complejo en las matemticas aplicadas a la ingeniera es que

tanto la parte real como la parte imaginaria de una funcin analtica satisfacen una de las ecuaciones diferenciales ms impor-

tantes de la fsica, la ecuacin de Laplace, que aparece en la teora de la gravitacin, electrosttica, dinmica de fluidos, conduc-

cin de calor, etc.

Teorema 3. (Ecuacin de Laplace)

Si f (z) = u(x, y) + i v(x, y) es analtica en un dominio D, entonces u y v satisfacen la ecuacin de Laplace,

2 u = ux x + uy y = 0 (1.13)

2 v = vx x + vy y = 0 (1.14)

respectivamente en D, y tienen segundas derivadas parciales continuas en D.

Demostracin. Al derivar ux = vy con respecto a x, obtenemos ux x = vy x y al drivar uy = -vx con respecto a y, obtenemosuy y = -vx y al sumar estas dos igualdades, obtenemos (1.33). De manera semejante (1.34) se obtiene al derivar ux = vy respecto ay y uy = -vx respecto a x y sumndolas. Las soluciones de la ecuacin de Laplace que tienen derivads de segundo orden continuas se denominan funciones armni-

cas y su teora se denomina teora del potencial.

Entonces, las partes real e imaginaria de una funcin analtica son funciones armnicas.

Si dos funciones armnicas u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un dominio D, entonces son las partes real

e imaginaria de una funcin analtica f en D.

Entonces se dice que v es la funcin armnica conjugada de u en D. Debe ser claro que el uso de la palabra conjugada esdiferente del empleado para definir el conjugado de z, z.Ejemplo 6. Funcin Armnica Conjugada

Comprobar que u = x2 - y2 - y es armnica en todo el plano complejo y encontrar una funcin armnica conjugada v de u.Solucin: ux = 2 x, ux x = 2, uy = -2 y - 1, uy y = -2. ux x + uy y = 0 u es armnica.Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ux = vy, vy = 2 x, integrando respecto a y, v = 2 x y + h(x)vx = 2 y + h(x) = -uy = 2 y + 1, h(x) = 1, h(x) = x + c v = 2 x y + x + c (c cualquier constante real) es la armnica conjugada ms general de u.

La funcin analtica correspondiente es f (z) = u + i v = x2 - y2 - y + i (2 x y + x + c) = z2 + i z + i c

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann constituyen las ecuaciones ms importantes de este captulo. Su relacin con la ecuacin

de Laplace abre perpectivas muy amplias para aplicaciones en ingeniera y fsica, como lo veremos en un captulo posterior.

Ejercicios para la seccin 1.5

Son analticas las siguientes funciones?

1. f (z) = z8 2. f (z) = ex(cos y + i sen y) 3. f (z) = 1 / (1 - z) 4. f (z) = ln z +i Arg z 5. f (z) = z2 - z2

Son armnicas las siguientes funciones? Si lo son, encontrar una funcin analtica correspondiente f (z) = u + i v.

6. u = x y 7. v = x y 8. u = x x2 + y2 9. u = sen x cosh y 10. v = x2 - y22

Determinar a, b, c tales que las funciones dadas sean armnicas y encontrar una armnica conjugada.

11. u = e2 x cos a y 12. u = cos b x cosh y 13. u = sen x cosh c y

1.6 La Funcin Exponencial

En las secciones restantes de este captulo analizaremos las funciones complejas elementales ms importantes: la funcin

exponencial, las funciones trigonomtricas, la funcin logaritmo, etc.

Todas las funciones se definirn para que cuando z = x real, se reduzcan a las funciones conocidas del clculo.

Estas funciones son indispensables en las aplicaciones y algunas de ells tienen propiedades interesantes que no son evidentes

cuando z = x es real. Por eso debemos seguir el anlisis con mucho cuidado. Empezaremos con la funcin exponencial compleja,

ez, que tambin se escribe como exp z

ez es una de las funciones analticas ms importantes. La definicin de ez en trminos de funciones reales es

ez = ex(cos y + i sen y) (1.15)

La definicin dada es motivada por requisitos que hacen de ez una extensin natural de la funcin exponencial real ex; a saber,

a) ez debe reducirse a ex cuando z = x es real.b) ez debe ser una funcin entera, es decir, analtica para todo z.

c) de manera similar al clculo, se derivada debe ser (ez) = ez

con base en la definicin, se observa que a) se cumple, ya que cos 0 = 1, sen 0 = 0. El hecho de que ez es entera puede compro-barse fcilmente con las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

El c) se verifica, ya que

ez = ex cos yx+ i ex sen y

x= ex cos y + i ex sen y = ez

Propiedades adicionales. ez tiene propiedades adicionales interesantes. Primero demostraremos que, como en los reales, se

tiene la relacin

ez1+z2 = ez1 ez2 (1.16)

Para z1 = x1 + i y1, z2 = x2 + i y2 cualesquiera, tenemos queez1 ez2 = ex1(cos y1 + i sen y1) ex2(cos y2 + i sen y2)

Al hacer las multiplicaciones y utilizando identidades trigonomtricas, obtenemos

ez1 ez2 = ex1+x2 [cos (y1 + y2) + i sen (y1 + y2)] = ez1+z2

Un caso particular interesante es cuando z1 = x, z2 = i y

ez = ex ei y (1.17)Adems , de la definicin, obtenemos para z = i y,

ei y = cos y + i sen y (1.18)

denominada frmula de Euler.

Entonces vemos que la forma polar de un nmero complejo, z = r (cos + i sen ), puede escribirse ahora como

z = r ei (1.19)

A partir de (1.38), tambin observamos que

ei y = cos2 y + sen2 y = 1 (1.20)

Es decir, para exponenetes imaginarios puros, el valor absoluto de la funcin exponencial es igual a la unidad. Un resultado que

deberemos recordar.

Tmbin tenemos que

ez = ex+i y = ex ei y = ex. Por lo tanto, arg ez = y 2 n (1.21)

Ejemplo 1. Ilustracin de lagunas propiedades de la funcin exponencial

El clculo de los valores de la funcin exponencial a partir de la definicin no presenta ningn problema. Por ejemplo

e2+3 i = e2(cos 3 + i sen 3) = 7.389 (-0.98992 + i 0.14112) = -7.31511 + 1.04274 iCon Mathematica,

In[1]:= Exp[2+3I]//N

Out[1]= -7.31511+1.04274

e2+3 i = e2 = 7.389, Arg e2+3 i = 3

Como cos 2 = 1, sen 2 = 0, se tiene que e2 i = 1 (1.22)

Adems, podemos comprobar los siguientes valores especiales,

e i /2 = i , e i = -1 , e- i /2 = -i , e- i = -1 (1.23)

Y finalmente, a partir de ez = ex 0 se concluye que

ez 0 para todo z (1.24)

Periodicidad de ez con perodo 2 i

ez+2 i = ez para todo z (1.25)

es una propiedad fundamental que se concluye de la definicin y de la periodicidad de cos y y de sen y. Por lo tanto, todos los

valores que puede asumir w = ez ya han sido asumidos en la banda horizontal de ancho 2.

- < y (1.26)

Esta banda infinita se denomina regin fundamental de ez.

-

x

y

Enseguida veamos las grficas de la funcin exponencial.

Primero, veamos como se mapean las lneas verticales y horizontales bajo esta funcin.

xy

-3 -2 -1 1 2 3 x

1

2

3

4

y

-14-12-10 -8 -6 -4 -2 u

5

10

15

v

-6 -5 -4 -3 -2 -1 x

-3

-2

-1

1

2

3

y

-0.04 -0.02 0.02 0.04 u

-0.04

-0.02

0.02

0.04

v

Mapeo de lneas bajo la funcin exponenecial

Ahora un mapeo completo de una regin del plano z.

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

Mapeo de de una regin bajo la funcin exponenecial

Ejemplo 2. Solucin de una ecuacin.

Encontrar todas las soluciones de ez = 3 + 4 i .Solucin.

ez = ex = 5 x = ln 5 = 1.609Luego, ex cos y = 3, ex sen y = 4, cos y = 3 /5 = 0.6, sen y = 4 /5 = 0.8, y = 0.297Entonces las soluciones son z = 1.609 + 0.927 i 2 n i

Ejercicios de la seccin 1.6

Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, demostrar que ez es entera.

Calcular ez (en la forma u + i v) y ez si z es igual a

2. 3 + i 3.1 + i 4. 2 + 12

i 9. -9 i /2 Encontrar las partes real e imaginaria de

10. e-z2

11. ez3

12. e- z 13. e-2 z

Escribir los siguientes nmeros en forma polar z = r ei .

14. 1 + i 15. i , -i 16. zn 17. 3 + 4 iEncontrar todos los valores de z tales que

18. ez es real 19. e-z < 1 20. ez = ez 21. Re e2 z = 0Encontrar todas las soluciones y graficar algunas en el plano complejo.

22. e3 z = 3 23. ez = -2 24. ez = -3 + 4 i 25. ez = 026. Demostrar que u = ex y cosx2 2 - y2 2 es armnica y encontrar una conjugada.

1.7 Funciones Trigonomtricas, Funciones Hiperblicas

As como ez extiende ex a los complejos, deseamos que las funciones trigonomtricas complejas extiendan las funciones

trigonomtricas reales ya conocidas. La idea para establecer esta conexin es el uso de las frmulas de Euler (seccin 1.6)

ei x = cos x + i sen x , e-i x = cos x - i sen xpor adicin y sustraccin, obtenemos para el coseno y seno reales

cos x =ei x + e-i x

2, sen x =

ei x - e-i x

2 i

Esto sugiere que las definiciones para los valores complejos z = x + i y sean

cos z =ei z + e-i z

2, sen z =

ei z - e-i z

2 i

(1.27)

Es notable que aqu en los complejos, vienen juntas funciones que no estn relacionadas en los reales. Esto es tpico de la

situacin general y muestra la ventaja de trabajar en los complejos.

Adems, as como en el clculo, se definen las dems funciones trigonomtricas.

tan z =sen z

cos z, cot z =

cos z

sen z, sec z =

1

cos z, csc z =

1

sen z(1.28)

Como ez es entera, sen z y cos z son enteras. Las otras cuatro no son enteras, son analticas excepto en los puntos donde su

denominador es cero.

Las frmulas para las derivadas se deducen fcilmente, a partir de que (ez) = ez. Entonces tenemos que

(sen z) = cos z, (cos z) = -sen z, (tan z) = sec2 z, etc. (1.29)

Las definiciones de sen z y cos z (ecuacin 1.47) muestran que la frmula de Euler es vlida tambin en los complejos.

ez = cos z + i sen z para todo z (1.30)

Ejemplo1. Partes real e imaginaria. Valor absoluto. Periodicidad.

Demostrar que

a) cos z = cos x cosh y - i sen x senh yb) sen z = sen x cosh y + i cos x senh y

c) cos z 2 = cos2 x + senh2 yd sen z 2 = sen2 x + senh2 y

Solucin.

cos z = 12ei (x+i y) + e-i (x+i y) = 1

2e-y(cos x + i sen x) + 1

2ey(cos x - i sen x)

= 12(ey + e-y) cos x - 1

2i (ey - e-y) sen x

= cos x cosh y - i sen x senh y el inciso b) se obtiene de manera semejante.

Por a) y adems la identidad cosh2 x - senh2 x = 1, obtenemos

cos z 2 = cos2 x 1 + senh2 y + sen2 x senh2 y

= cos2 x + senh2 y y d) se obtiene de manera semejante.

Como un ejemplo particular, cos(4 - 5 i ) = cos 4 cosh (-5) - i (sen 4 senh(-5))In[2]:= Cos[4]Cosh[-5]-ISin[4]Sinh[-5]

Out[2]= Cos[4]Cosh[5]+Sin[4]Sinh[5]

In[3]:= Cos[4-5I]//ComplexExpand

Out[3]= Cos[4]Cosh[5]+Sin[4]Sinh[5]

In[4]:= N[%]

Out[4]= -48.5069-56.1572

In[5]:= Sin[(x+Iy)+2Pi]//ComplexExpand

Out[5]= Cosh[y]Sin[x]+Cos[x]Sinh[y]

Por las frmulas a) y b), vemos que las funciones seno y coseno son peridicas, con perodo 2, igual que en los reales. Luego seconcluye la periodicidad de tan z y cot z con perodo .Las identdades c) y d) muestran una diferencia esencial entre el seno y coseno reales y complejos. Mientras que

sen x 1 y cos x 1, las funciones seno y coseno complejas ya no estn acotadas, sino que tendern a infinito en valorabsoluto cuando y , ya que senh y .Ejemplo 2. Solucin de ecuaciones. Ceros de sen z y cos z.

Resolver las ecuaciones a) cos z = 5, b) cos z = 0, c) sen z = 0Solucin.

Por la definicin, tenemos

cos z =ei z + e-i z

2= 5

Si multiplicamos por 2 ei z, obtenemos una ecuacin cuadrtica en la variable ei z,

e2 i z - 10 ei z + 1 = 0In[6]:= Solve[x2-10x+10]

Out[6]= x5-2 6 , x5+2 6

Las races son reales, lo cual implica que ei (x+i y) = ei x e-y = 5 - 2 6 , o = 5 + 2 6 entonces ei x = 1 y e-y = 5 - 2 6o e-y = 5 + 2 6 . Entonces x = 2 n y y = 2.92.

In[7]:= NSolve[-2y-10-y+10]

Out[7]= {{yConditionalExpression[1.(-2.29243+(0.+6.28319)C[1]), C[1]Integers]},{yConditionalExpression[1.(2.29243+(0.+6.28319)C[1]), C[1]Integers]}}

Entonces la respuesta es z = 2 n 2.92 iPara el inciso b) tenemos, por el mismo mtodo,

cos z =ei z + e-i z

2= 0, e2 i z + 1 = 0, ei z = -1 = i

ei x e-y = i , y = 0, cos x + i sen x = i , cos x = 0 y sen x = 1, x = (2 n + 1)2

, n = 0, 1, 2, ...

El inciso c) se resuelve de manera similar.

Ejercicio. Resolver las mismas ecuaciones usando las identidades a), b), c) y d) anteriores.

Veamos ahora cmo mapean las funciones seno y coseno a regiones del plano z.

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 x

-6-5-4-3-2-1

y

-10 -5 5 10 u

-10

-5

5

10

v

-6 -5 -4 -3 -2 -1 x

-3-2-1

1

2

3

y

-10 -8 -6 -4 -2 uv

Mapeo de lneas de la funcin cos z

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

Ahora para la funcin seno.

xy

-3 -2 -1 1 2 3 x

-5

-4

-3

-2

-1

y

-5 5 u

-5

5

v

-5 -4 -3 -2 -1 x

-3

-2

-1

1

2

3

y

-4-3-2 u

-10

-5

5

10

v

Mapeo de lneas de la funcin sen z

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

Las identidades generales para las funciones trigonomtricas reales se siguen cumpliendo para los valores complejos. Esto es una

consecuencia inmediata de las definiciones.

sen(z1 z2) = cos z1 cos z2 sen z1 sen z2cos(z1 z2) = sen z1 cos z2 cos z1 sen z2 (1.31)

sen2 z + cos2 z = 1 (1.32)

Funciones hiperblicas

El sno y coseno hiperblicos complejos se definen mediante las siguientes frmulas

senh z =1

2ez - e-z , cosh z =

1

2ez + e-z (1.33)

Estas funciones son enteras, con derivadas

(senh z) = cosh z , (cosh z) = senh z (1.34)como en el clculo. Las otras funciones hiperblicas se definen en trminos de estas, como

tanh z =senh z

cosh z, coth z =

cosh z

senh z, sech z =

1

cosh z, csch z =

1

senh z(1.35)

Las funciones trigonomtricas e hiperblicas estn relacionadas. Si en (1.53) se sustituye z con i z y se usa la definicin de sen

z y cos z, se obtiene que

senh i z = i sen z , cosh i z = cos z (1.36)De manera recproca se obtiene

cos i z = cosh z , sen i z = i senh z (1.37)Aqu tenemos otro caso de funciones reales no relacionadas que tienen anlogos complejos relacionados.

xy

-3 -2 -1 1 2 3 x

1

2

3

4

y

-4 -2 2 4 u

2

4

6

8

10

v

-4 -3 -2 -1 x

-3

-2

-1

1

2

3

y

-3 -2 -1 1 2 3 u

-3

-2

-1

1

2

3

v

Mapeo de lneas de la funcin senh z

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

Ejercicios de la seccin 1.7

1. Comprobar por diferenciacin que Re cos z e Im sen z son armnicas.

Calcular (en la forma u + i v) lo siguiente:2. cos(1.7 + 1.5 i ) 3. sen 10 i 4. cos 3 i5. Demostrar que

cosh z = cosh x cos y + i senh x sen y,senh z = senh x cos y + i cosh x sen y

Encontrar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones.

6. cos z = 3 i 7. sen z = i senh 1 8. cosh z = 1 /29. A partir de (9) y (15), obtener las reglas de adicin

cosh (z1 + z2) = cosh z1 cosh z2 + senh z1 senh z2senh (z1 + z2) = senh z1 cosh z2 + cosh z1 senh z2

10. Demostrar lo siguiente

cos2 z + sen2 z = 1, cos2 z - sen2 z = cos 2 z, cosh2 z - senh2 z = 1, cosh2 z + senh2 z = cosh 2 z

1.8 Logaritmo y Potencia General

Como ltima funcin introducimos el logaritmo complejo, que es ms complicado que el logaritmo real y que lo incluye como

caso especial, e histricamente, puso en aprietos a los matemticos durante algn tiempo..

El logaritmo natural de z = x + i y se denota por ln z (algunas veces tambin por log z) y se define como la funcin inversa de lafuncin exponencial, Es decir, para z 0,

w = ln z si z = ew

Observe que z = 0 es imposible, ya que ew 0 para todo w.

Si escribimos w = u + i v y z = r ei , tenemos que

ew = eu+i v = eu ei v = r ei ,

r = eu , v = y u = ln r

Entonces,

ln z = ln r + i (r = z > 0, = arg z) (1)

Ahora tenemos que observar una cuestin importante (sin anlogo en el clculo real):

Como el argumento de z est determinado slo hasta mltiplos enteros de 2 , entonces el logaritmo natural complejo, ln z,(z 0) tiene una infinidad de valores. El valor de ln z correspondiente al valor principal Arg z, se denota por Ln z y se denomina valor principal de ln z. As,

Ln z = ln z +i Arg z (2)

La unicidad del Arg z implica que Ln z posee un solo valor; es decir se trata de una funcin en el sentido acostumbrado. Debido

a que los otros valores de arg z difieren en mltiplos enteros de 2, los dems valores de ln z estn dados por

ln z = Ln z 2 n i , (n = 1, 2, 3, ...) (3)

Todos tienen la misma parte real, y sus partes imaginarias difieren por mltiplos enteros de 2. Si z es un nmero real positivo entonces Arg z = 0 y Ln z se vuelve idntico al logaritmo natural real conocido. Si z es unnmero real negativo, entonces Arg z = , y

Ln z = ln z + i

Ejemplo1. Logarimo natural. Valor principal.

ln 1 = 0, 2 i , 4 i , ... Ln 1 = 0

ln 4 = 1.386 2 n i Ln 4 = 1.386

ln(-1) = i , 3 i , 5 i , ... Ln(-1) = i

ln(3 - 4 i ) = ln 5 + i arg(3 - 4 i ) = 1.61 - 0.927 i 2 n i , Ln(3 - 4 i ) = 1.61 - 0.927 i

Las relaciones ya conocidas para el logaritmo natural siguen cumplindose para valores complejos, es decir,

ln (z1 z2) = ln z1 + ln z2, lnz1

z2

= ln z1 - ln z2 (4)

Aunque estas relaciones deben comprenderse en el sentido de que cada valor de un miembro tambin est contenido entre los

valores del otro miembro.

Ejemplo2. Ilustracin entre las relaciones funcionales (1.61) en los complejos.

Sean

z1 = z2 = e i = -1entonces

ln z1 + ln z2 = ln(1) + i + ln(1) + i = 2 i

ln(z1 z2) = lne2 i = ln(1) + 2 i

xy

-5 5 x

-15

-10

-5

y

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5u

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

v

2 4 6 8 10x

-5

5

y

0.5 1.0 1.5 2.0u

-1.0

-0.5

0.5

1.0

v

Mapeo de lneas para la funcin Log z

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-3

-2

-1

0

1

2

3

Por la ecuacin (1) y eln r = r para r real positivo, se tiene

eln z = z (5 a)

como se esperaba.

Pero, como arg(ez) = y 2 n tiene mltiples valores, tenemos que

ln ez = z 2 n i (5 b)

Para todo entero no negativo n la frmula (3) define una funcin. Demostraremos que cada una de estas funciones, en particu-

lar el valor principal Ln z, es analtica excepto en z = 0 y excepto en el eje real negativo (en donde la parte imaginaria de talfuncin ni siquiera es continua, sino que tiene un salto de magnitud 2 ).Probaremos esto demostrando que

d

d zln z =

1

zz 0 (6)

(1) muestra que es suficiente considerar el valor principal Ln z. Tenemos,

Ln z = u + i v = ln r + i =1

2lnx2 + y2 + i tan

y

x

calculamos las derivadas parciales y vemos que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

ux =x

x2 + y2= vy =

1

1 + (y /x)21

x

uy =y

x2 + y2= -vx = -

1

1 + (y /x)2-

y

x2

Entonces, obtenemos el resultado buscado,

d

d zln z = ux + i vx =

x

x2 + y2+ i

1

1 + (y /x)2-

y

x2=

x - i yx2 + y2

=1

z

Potencias generales

Poencias generales de un nmero complejo z = x + i y estn definidas por la frmula

zc = ec ln z (c compleja, z 0) (7)

Puesto que ln z es multivaluada, entonces, en general, zc tambin tendr mltiples valores.

El valor particular

zc = ec Ln z

se denomina valor principal de zc .

Si c es un entero positivo, entonces zc posee un solo valor y es idntica a la potencia usual de z.

Si c es un entero negativo, c = -1, -2, ... la situacin es similar.Si c = 1 /n, n = 2, 3, ... entonces

zc = zn = e(1/n) ln z

el exponente es determinado hasat mltiplos de 2 i /n y se obtienen los n distintos valores para la raz ensima, en concordan-cia con los resultados de la seccin 1.2.

Si c = p /q, el cociente de dos enteros positivos, la situacin es semejante, y zc tiene slo un nmero finito de valores distintos.Sin embargo, si c es irracional o genuinamente complejo, entonces zc posee una infinidad de valores.

Ejemplo3. Potencia general

i i = ei ln i = exp(i ln i ) = expi 2

i 2 n i = e-(/2)2 n

todos estos valores son reales, y el valor principal (n = 0) es e-(/2).De manera similar,

(1 + i )2-i = exp[(2 - i ) ln (1 + i )] = exp(2 - i ) ln 2 +4

i 2 n i

= 2 exp4

2 n sen1

2ln 2 + i cos

1

2ln 2

Por la ecuacin (7) se observa que para cualquier nmero complejo a,

az = ez ln a (8)

Hasta qu, hemos introducido las funciones complejas necesarias para las aplicaciones prcticas, de las cuales algunas

(ez, sen z, cos z, senh z, cosh z) son enteras, algunas que son analticas excepto en ciertos puntos (tan z, cot z, tanh z, coth z) y

una de ellas, ln z se divide en una infinidad de funciones, cada una de ellas analtica excepto en 0 y sobre el eje real negativo.

Ejercicios para la seccin 1.8

1. Graficar algunos de los valores de ln (3 - 4 i ) en el plano complejo.2. Comprobar las proiedades del logaritmo de producto y cociente para z1 = -i , z2 = -1.Calcular el valor principal Ln z si z es igual a

3. 1 + i 4. -9 5. 2.5 + 3.8 iEncontrar todos los valores de las expresiones dadas y graficar algunas en el plano complejo.

6. ln 1 7. ln e 8. ln (0.8 - 0.6 i ) 9. ln e2 i Resolver las siguientes ecuaciones para z

10. ln z = 3 - i 11. ln z = 2 + 4

i

Encontrar el valor principal de

12. i 1/2 13. (1 + i )i 14. (3 + 4 i )1/3