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Liu, Y.-C. y Santana, G. 1

CONSIDERACIONES SOBRE LA CAPACIDAD DE COLUMNAS DE CONCRETO DE ALTA RESISTENCIA

Yi-Cheng Liu y Guillermo Santana1

RESUMEN Se evalúa las curvas de interacción P-M usadas en el diseño de columnas de concreto reforzado. Se analiza el modelo bloque rectangular de esfuerzos de: ACI 318-05, Ozbakkaloglu y Saatcioglu (2004), Tan y Nguyen (2004), Bae y Bayrak (2003), Ibrahim y MacGregor (1997), Li et al. (1994), Azizinamini et al. (1994), CAN 3-A23.3-M94 (Código Canadiense 1994) y NZS 3101-1994 (estándar Nueva Zelandés 1995), también los modelos no lineales de esfuerzo-deformación de Hognestad (1964), Collins (1993), y el modelo unificado de esfuerzo-deformación para el núcleo confinado de Mander et al. (1984), para columnas circulares y rectangulares, reforzadas con espiral y estribos. Se evalúa también el método unificado de reducción de ACI 318-05 comparando con el método de reducción de resistencia de ACI 318-99.

ABSTRACT An evaluation of the P-M interaction diagrams for reinforced concrete columns is presented. The rectangular stress block proposed by ACI 318-05 is contrasted with models by Ozbakkaloglu and Saatcioglu (2004), Tan and Nguyen (2004), Bae and Bayrak (2003), Ibrahim and MacGregor (1997), Li et al. (1994), Azizinamini et al. (1994), CAN 3-A23.3-M94 (Canadian Code 1994) y NZS 3101-1994 (New Zealand Standard 1995), as well as no linear stress-strain models by Hognestad Hognestad (1964), Collins et al. (1993), and the unified model for stress-strain for confined concrete proponed by Mander et al. (1984) for rectangular and spirally reinforced circular columns. A comparison is also made of the unified design method proposed by ACI 318-05 with ACI 318-99.

INTRODUCCIÓN La intención del presente proyecto es comprobar contra datos experimentales, la exactitud en la

estimación de la capacidad de la columna que provee el modelo del ACI 318-05, partiendo desde concretos de resistencia normal hasta de alta resistencia; también verificar y comparar entre los diversos modelos de diseño y de cálculo que se ha propuesto a nivel internacional para este mismo fin, permitiéndose tener un mejor conocimiento sobre las características y la exactitud de predicción que provee estos modelos para el concreto reforzado sometido a esfuerzos de flexo-compresión. Se evalúan las curvas de interacción P-M construidas con base en el modelo de bloque rectangular equivalente de esfuerzos, y con modelos propuestos por otros investigadores contra datos experimentales. Se evalúa desde la resistencia normal hasta la alta resistencia, para secciones transversales circulares y rectangulares, para refuerzos transversales en espiral y en aros, y para distintas razones de refuerzo; para

1 Escuela de Ingeniería Civil, Universidad de Costa Rica

IX Seminario de Ingeniería Estructural y Sísmica San José, Costa Rica – Septiembre 2007


al final hacer una síntesis respecto a todos los modelos, y dar recomendaciones sobre las posibles mejoras o modificaciones que podrían ser implementados en los modelos

MARCO TEÓRICO El concreto es muy resistente a la compresión pero muy débil a la tracción. Como resultado, la aplicación de cargas, los cambios de temperatura o la contracción restringida en el concreto simple pueden dar paso a esfuerzos de tracción que sobrepasan su resistencia, produciéndose grietas. Al añadir refuerzos de acero distribuidos geométricamente dentro de la matriz de concreto simple, lo convierte en “concreto reforzado” y las barras de acero serán los responsables para sobrellevar los esfuerzos de tracción que el concreto no es capaz de resistir. Por ejemplo, en una viga de concreto reforzado (Figura 2-1), se colocan barras de acero dentro del concreto de tal forma que las fuerzas de tracción necesarias para lograr el equilibrio de momento después del agrietamiento del concreto es provisto por las barras.

Figura 2-1. Estado de esfuerzos en una viga de concreto reforzado, ref. 9.

La resistencia útil tanto a tracción como a compresión de los aceros comunes, es decir, la resistencia a la cedencia, es aproximadamente 15 veces la resistencia a la compresión del concreto estructural de resistencia normal y más de 100 veces su resistencia a la tracción, pero también es un material mucho más costoso que el concreto. El tipo más común de acero de refuerzo viene en forma de barras circulares llamadas por lo general “varillas” y son disponibles en un amplio intervalo de diámetros. Estas barras vienen corrugadas para aumentar la resistencia al deslizamiento entre el acero y el concreto. Estas barras de refuerzo deben satisfacer los requisitos especificados en las normas ASTM A615 y A706. Las curvas típicas de esfuerzo-deformación del acero se muestran en la figura 2-2.

Figura 2-2. Curvas típicas esfuerzo-deformación unitarias para barras de refuerzo de acero, ref. 1.



Las dos características numéricas diagrama esfuerzo-deformación de acero que son de principal interés para el diseño son su esfuerzo de cedencia σy, y su módulo de elasticidad Es. Este último es prácticamente el mismo para todos los aceros de refuerzo y según lo que especifica en el artículo 8.5.2 del ACI 318-05, el módulo de elasticidad para el acero de refuerzo no preesforzado se considera como 200 GPa

Concreto de resistencia normal y de alta resistencia

La definición exacta de concreto de alta resistencia es arbitraria, y también es variable con el tiempo dado que en las últimas décadas se han venido incrementando los valores de la resistencia a la compresión. En los años cincuenta, un concreto con resistencia a los esfuerzos de compresión de 350 kg/cm2 (34,3 MPa) era considerado de alta resistencia; hoy día, este valor es considerado normal. En la siguiente década, valores de los esfuerzos de compresión de 400 a 500 kg/cm2 (39,2 a 49,1 MPa) eran usados comercialmente en algunos sitios (principalmente en países del primer mundo), y para los ochenta ya se producían concretos con valores que llegaban casi al doble. Según Arthur H. Nilson, el concreto de alta resistencia puede referirse al concreto con resistencia a la compresión uniaxial en el rango de 6 000 psi (420 kg/cm2 ó 42 MPa) a 12 000 psi (840 kg/cm2 ó 84 MPa) o más. Estos concretos pueden fabricarse usando cemento, arena y piedra cuidadosamente seleccionadas pero por lo general disponibles; algunos aditivos, incluyendo superplastificantes reductores de agua de alto rango, cenizas volantes y microsílica; además de un control de calidad muy cuidadoso durante la producción.

Diferencia entre el concreto de alta resistencia y de alto desempeño

Es importante hacer una diferencia entre el concreto de alta resistencia y de alto desempeño. De hecho, el concreto de alto desempeño no es fundamentalmente diferente del concreto que hemos estado empleando, porque no contiene ningún ingrediente nuevo, y no involucra nuevas prácticas en la obra. El concreto de alto desempeño evolucionó gradualmente durante los últimos 15 años, más o menos, principalmente por la producción de concreto con resistencias cada vez más altas: 80, 90, 100, 120 MPa, y a veces inclusive mayores. Hoy día, en algunas partes del mundo pueden producirse de manera rutinaria resistencias de 140 MPa; pero el concreto de alto desempeño no es lo mismo que el concreto de alta resistencia. El énfasis ha cambiado de una resistencia muy alta a otras propiedades deseables en algunas circunstancias. Éstas son: alto módulo de elasticidad, alta densidad, baja permeabilidad y resistencia a algunas formas de ataque. Así que, el concreto de alta resistencia (CAR) puede considerarse como sólo un tipo particular de concreto de alto desempeño (CAD), cuya característica principal y única es la alta resistencia, mientras para este último no solo la alta resistencia es su característica, sino también la superior durabilidad.

Características de la Curva Esfuerzo-Deformación y el Módulo de Elasticidad del Concreto

La figura 2-3 muestra el diagrama esfuerzo-deformación del concreto. Las curvas que alcanzan un esfuerzo a compresión uniaxial mayor son concretos de alta resistencia, mientras las curvas que son relativamente menos pronunciadas son de concreto de resistencia normal. Como se puede apreciar, todas las curvas tienen características similares: una porción inicial relativamente elástica y lineal en la cual el esfuerzo y la deformación unitaria son proporcionales, luego comienzan a inclinarse hacia la horizontal alcanzando el esfuerzo máximo. Este fenómeno no lineal del comportamiento se debe posiblemente a la generación de microfisuramientos en el concreto y la consiguiente retribución interna de esfuerzos. El concreto es clasificado como un material frágil ya que no es capaz de resistir grandes deformaciones. Generalmente, la deformación unitaria correspondiente al esfuerzo máximo va desde 0,0015 hasta 0,003, seguido luego de una rama descendente; este último es muy variable y altamente dependiente del procedimiento de prueba. Comparando entre las curvas mostradas para diferentes resistencias a la compresión, mientras mayor es la resistencia, la deformación en la cual se alcanza el esfuerzo máximo también es mayor, sin embargo, después del alcanzar este pico, la pérdida de resistencia también es



mucho más brusca que el concreto de resistencia normal, y por lo tanto, es aún más frágil el concreto de alta resistencia.

Figura 2-3. Curvas de esfuerzo-deformación típicas para concreto cargado en compresión uniaxial, ref. 9.

Efecto del confinamiento en el diagrama esfuerzo-deformación del concreto

La resistencia y la ductilidad del concreto ante compresión triaxial exceden a las de compresión uniaxial, como se puede observar en la figura 2-4. Esta figura representa las curvas esfuerzo-deformación longitudinal para cilindros sujetos a presión hidrostática lateral uniforme σ2=σ3, en donde el esfuerzo longitudinal, σ1, se incrementa hasta alcanzar la falla. Estas pruebas sugieren que el esfuerzo longitudinal de falla se puede estimar basándose en el criterio de falla de Mohr-Coulomb que se expresa de la siguiente forma:

31 ' σσ ×+= kf c (2.1)

donde σ1 es el esfuerzo axial pico; f’c es la resistencia uniaxial (f’c>0); σ3 es la presión de confinamiento lateral (σ3>0); y k es una constante que se asume comúnmente como 4, así que para concretos normales la ecuación (2.1) puede ser escrito de la siguiente manera:

1 3' 4.1cfσ σ= + × (2.2)

Se puede observar tanto en la figura 2-4 como de la ecuación 2.1 que conforme se incrementa la presión hidrostática lateral σ3, el esfuerzo longitudinal σ1

máximo también aumenta, y el valor pico de éste ocurre a una mayor deformación, lo cual significa una mayor ductilidad.

La parte de concreto de las columnas o las vigas que está siendo sometido al esfuerzo de compresión generalmente están envueltas dentro de aros o espirales. Las columnas con aros pueden ser cuadradas, rectangulares, en forma de L, o circulares, etc; y al tipo de columna en el cual los aros son reemplazados por una barra doblada en forma de espiral y con un paso de 3,5 cm a 8,5 cm, se le denomina columna helicoidal.



Para regiones sísmicas, estos refuerzos transversales están distribuidos de una forma muy densa en las columnas. Cuando el elemento es cargado y la sección de éste expande radialmente debido al efecto de Poisson y al microagrietamiento, hace que los aros o espirales se elongan en tracción y ejerzan un esfuerzo de compresión o de confinamiento sobre el núcleo de concreto confinado, esto es, la parte de concreto que se encuentra dentro del refuerzo transversal.

Figura 2-4. Curvas de esfuerzo-deformación axial de pruebas de compresión triaxial sobre cilindros de concreto, resistencia no confinada del concreto f’c = 25,2 MPa, ref. 9.

En una columna helicoidal, el núcleo de concreto se encuentra en un estado triaxial de esfuerzos debido al confinamiento que genera la espiral, y la capacidad del concreto en este caso es justamente lo que predice la ecuación (2.2), lo que implica un gran incremento de ductilidad y su resistencia. Sin embargo, para columnas en regiones no-sísmicas, el espaciamiento entre aros es aproximadamente igual al ancho de la columna, y como resultado de esto, los aros no proveen casi ningún confinamiento lateral al concreto del núcelo.

Figura 2-5. Esfuerzos triaxiales en núcleo de columna helicoidal, ref. 9.

Por otro lado, el efecto de confinamiento y el estado de esfuerzo triaxial para concretos de alta resistencia (CAR) han sido investigados recientemente por Candappa, Sanjayan y Setunge (2001). Estos investigadores realizaron pruebas triaxiales usando especímenes con una resistencia no confinada o uniaxial f’c mayor: 41,9 MPa, 60,6 MPa, 73,1 MPa y hasta 103,3 MPa. La presión de confinamiento hidrostático σ3 aplicado es de 4 MPa, 8MPa y 12 MPa. Los resultados del experimento señalan que la



constante k del criterio de falla de Mohr-Coulomb, para CAR con niveles de confinamientos bajos (σ3/f’c < 0,2) se acerca a 5 en vez del valor convencional de 4.1.

Sin embargo, este incremento del valor de k no puede ser extrapolado para altos niveles de confinamiento ya que Ansari y Li (1998) encontraron que para nivles de confinamiento muy altos (confinamiento σ3/f’c hasta 1,0), el valor de mejor ajuste de k ha llegado a ser tan bajo como 2,6.

Figura 2-6. Curvas de esfuerzo-deformación axial de pruebas de compresión triaxial.Resistencia no confinada del concreto, f’c = 41,9 MPa, ref. 6.

Se ha demostrado también que la deformación axial en el esfuerzo pico tiene una fuerte relación lineal con el nivel de confinamiento. Este resultado se puede apreciar en la figura 2-7.

Figura 2-7. Regresión de la deformación axial en el esfuerzo pico contra el nivel de confinamiento.Donde εl

u es la deformación axial en el esfuerzo pico en la compresión triaxial y εc

u es la deformación axial en el esfuerzo pico pero en la compresión uniaxial, ref. 6.

El módulo de elasticidad del concreto

El módulo de elasticidad del concreto, Ec, depende del módulo de elasticidad de la pasta de cemento y del módulo de elasticidad del agregado. Los agregados de peso normal tienen valores de módulo de elasticidad en el rango de 1,5 a 5 veces el de la pasta de cemento. Por lo tanto, la fracción del volumen total constituido por agregado grueso afecta directamente el valor de Ec, mientras que los agregados livianos tienen módulos de elasticidad similares a los de la pasta y por consiguiente, tienen poco efecto sobre el Ec. Por otro lado, un incremento en la relación agua/material cementante incrementa la porosidad



de la pasta, reduciendo así su módulo de elasticidad y su resistencia. Este factor es tomado en cuenta en el cálculo de Ec a través de expresarlo como una función de f’c. Pero también existe otros factores que afecta al Ec tales como el tamaño y la forma del especímen de prueba, el grado de humedad del concreto en el momento de la prueba, la velocidad de carga y el método empleado para la obtención de las deformaciones.

El módulo de elasticidad del concreto se calcula según la indicación en el código ACI 318-05, artículo 8.5.1:

Cc fwE '043.0 5.1 ××= (2.3)

en donde w es el peso del concreto en kg/m3, y el Ec estimado corresponde al módulo de elasticidad secante a 0,45·f’c tal como se muestra en la figura 2-8. El módulo de elasticidad inicial tangente es aproximadamente un 10% mayor. Como esta ecuación no toma en cuenta el tipo de agregado, la dispersión de los datos es muy amplia.

Para concretos de peso normal, con una densidad de w = 2 400 kg/m3, en el artículo 8.5.1 de ACI 318-05 recomienda calcular el módulo de elasticidad según:

Cc fE '4700×= (2.4)

Las dos ecuaciones usan el sistema internacional de unidades SI y por lo tanto, el valor calculado de Ec tiene unidad de MPa. Sin embargo, ACI no especifica para qué rango de f’c esta ecuación da una estimación aceptable.

Respecto al módulo de elasticidad para CAR, Freyne, Russell, Bush y Hale en un trabajo de investigación de comparación de diferentes cementos de concreto de alto desempeño publicado en el año 2004 señala que la ecuación (2.4) es válida sólo para concreto con f’c hasta 41 MPa (6000 psi), para resistencias mayores la ecuación subestima el módulo de elasticidad del concreto.

Rashid et al. (2002) han publicado una nueva ecuación para la estimación del módulo de elasticidad tomando en cuenta el efecto del tamaño del especímen y también el efecto del tipo de agregado grueso el cual tiene un efecto relevante sobre Ec. La ecuación es lo siguiente:

( ) 33.0150,'8900 cc fE ××= β (2.5)

para 20 MPa < f’c < 130 MPa.

Los valores de β para cada tipo de agregado son calculados según la información proporcionada en la Cuadro 2-1.



Figura 2-8. Curvas de esfuerzo-deformación para concreto normal y la determinación del módulo de elasticidad Ec según ACI, ref. 25.

Cuadro 2-1 Coeficientes de agregado grueso para la predicción de Ec, ref. 11.

Coeficiente β para agregado grueso Agregado Grueso

Valor Medio Desviación estándar

Diabasa 0,92 0,033

Dolomita 1,11 0,041

Granito 1,07 0,060

Grava 0,89 0,140

Caliza 1,00 0,114

Cuarcita 1,06 0,074

Arenisca 0,78 0,052

El Bloque de Esfuerzos Rectangular Equivalente

Dado que para la construcción de los diagramas de interacción es necesario conocer la resultante y la ubicación del brazo de palanca de la parte de concreto que está en compresión, para esto el árticulo 10.2.6 del ACI especifica: “ La relación entre el esfuerzo de compresión en el concreto y la deformación unitaria del concreto se debe suponer rectangular, trapezoidal, parabólica o de cualquier otra forma que dé origen a una predicción de la resistencia que coincida con los resultados de ensayos representativos.” Por lo tanto, para evitar el uso de una curva representativa de la relación constitutiva del concreto, la cual complicaría el cálculo posterior y el proceso de diseño, el artículo 10.2.7 del ACI recomienda el uso del bloque rectangular equivalente de esfuerzos en el estado límite último, el cual puede ser expresado matemáticamente por tres parámetros: k1, k2 y k3.

El factor k1 es la razón de la media del esfuerzo sobre el área de la compresión, respecto al máximo esfuerzo de compresivo. k2 es la razón de, la distancia entre la fibra extrema de compresión y la resultante de la fuerza del bloque de esfuerzos, respecto a la distancia entre esa fibra extrema y el eje neutro. k3 es la razón del máximo esfuerzo compresivo a la resistencia a compresión del cilindro. Estos parámetros son ilustrados en la figura 2-11.



Figura 2-11. Parámetros del bloque de esfuerzos del concreto, ref. 21.

Estas tres relaciones del bloque de esfuerzos k1, k2 y k3 pueden ser expresados por medio de las siguientes ecuaciones a los dos parámetros del bloque de esfuerzos rectangular equivalente α1 y β1:

β1 = 2 k2 (2.7) α1 β1 = k1 k3 (2.8)

Estos dos parámetros α1 y β1 fueron derivados por Mattock, Kriz y Hognestad basados en pruebas de especimenes en forma “C” con resistencias de concreto hasta un máximo de 52,5 MPa. El parámetro α1=0,85 ha sido incorporado al código ACI desde 1963, y el parámetro β1 fue revisado y definido posteriormente para estar conforme con los resultados experimentales de CAR. Los valores para estos dos parámetro α1 y β1 pueden ser expresados en las siguientes expresiones:

α1 = 0,85 constante (2.9) β1 = 0,85 para f’C ≤ 30 MPa β1 = 1,09 – 0,008 f’C para f’C ≥ 30 MPa

0,85 ≥ β1 ≥ 0,65 (2.10)

De esta forma, la multiplicación de α1·f’c da el esfuerzo (la altura) de un bloque equivalente de esfuerzos. La profundidad de este bloque (a lo largo de la altura de la sección) es β1·c, donde c es la profundidad del eje neutro desde la fibra extrema de compresión. Y por lo tanto, para una sección rectangular, la fuerza sería C =α1·β1·f’C·b·c, y el brazo de palanca estaría ubicado a la mitad de la altura del bloque.

Para cargas concéntricas, ACI propone la siguiente ecuación:

Po = 0,85·f’c (Ag – Ast) + fy·Ast (2.11)

en donde 0,85 f’c = esfuerzo máximo en el concreto (derivado de pruebas)

Ag = área de sección transversal bruta (concreto y acero)

fy = resistencia a la fluencia del refuerzo

Ast = área total de refuerzo de acero en la sección transversal

Sin embargo, esta resistencia expresada en la ecuación (2.11) normalmente no puede ser alcanzada en una estructura porque casi siempre habrá momentos presentes, y esto llevará a una reducción en la capacidad de carga axial. Además, cualquier desalineación de columnas de piso a piso, o del refuerzo de acero también trae como resultado momentos no balanceados.



El Modelo de Ozbakkaloglu y Saatcioglu (2004)

Partiendo del hecho de que la curva esfuerzo-deformación del concreto varía con la resistencia f’c, para concretos de resistencias mayores, la rama ascendente de la curva llega a ser cada vez más escarpado indicando un mayor módulo de elasticidad. Hay investigaciones en las que señalan que la forma de esta parte ascendente en vez de tener la forma de una parábola de segundo orden para el concreto normal, se acerca más bien a una variación casi lineal para el CAR. Las fallas también se han vuelto más frágiles conforme la resistencia del concreto aumenta, i.e. la pérdida de resistencia después de haber alcanzado el esfuerzo pico es más brusca.

Con todas las consideraciones anteriores, es la preocupación de investigadores como Ozbakkaloglu y Saatcioglu, de que como el bloque de esfuerzos especificados en el código ACI 318 fue desarrollado en los años 50, basado en datos experimentales obtenidos de concretos de resistencia normal con un f’c menor que 40 MPa. Como las características de la curva esfuerzo-deformación varía con la resistencia, es necesario revisar la validez del bloque de esfuerzos rectangular equivalente del ACI para el CAR.

Por lo tanto, Ozbakkaloglu y Saatcioglu (2004) propusieron un nuevo modelo de bloque rectangular de esfuerzos para CAR con resistencia máxima hasta 120 MPa basándose en un modelo analítico para la relación esfuerzo-deformación del concreto y una base de datos experimentales de 145 columnas de CAR probados bajo diferentes niveles de carga axial.

Primer factor a tomar en cuenta es el desprendimiento prematuro del recubrimiento antes de que se llegara a desarrollar la deformación esperada para el aplastamiento de la fibra extrema de compresión. Y este desprendimiento prematuro de recubrimiento resulta en una pérdida de la capacidad de la sección, especialmente cuando el núcleo no cuenta con suficiente confinamiento como para compensar esa pérdida.

La razón de área del núcleo (área encerrada dentro de la línea centro del refuerzo transversal) entre el área bruta (Ac/Ag) es introducido para tomar en cuenta este hecho, y es de esperar que la pérdida de resistencia en CAR es función tanto de f’c como de la razón Ac/Ag. Así que un multiplicador k4 es creado y se calcula de la siguiente forma:

( )4 1 0C

g

AkA

γ γ= + − ≤ ,95 (2.12)

8.0'007,01,1 ≤−= Cfγ (2.13) f’CO = k3 k4 f’C , donde k3 = 0,90 y f’CO = la resistencia in situ de concreto en el elemento.

(2.14)

Por lo tanto, la capacidad concéntrica de la columna será:

( ) yststgCO fAAAfkkP +−= '43 (2.15)



El producto k3 k4 de la ecuación (2.14) introduce el efecto de las diferencias en tamaño, forma y la práctica de colado de concreto entre un cilindro estándar y una columna real por medio de k3, y el efecto del desprendimiento del recubrimiento por medio de k4. El valor mínimo que alcanza este valor es 0,63 para concreto de 120 MPa y Ac/Ag = 0,6, el cual es más bajo que el factor 0,85 de la ecuación (2.11) especificado por ACI para columnas bajo cargas concéntricas. Según los investigadores, el código ACI sobreestima la capacidad concéntrica de las columnas especialmente cuando la razón Ac/Ag es baja.

Sin embargo, una limitación para este modelo es que, el fenómeno de desprendimiento de recubrimiento también está en función del espesor del recubrimiento, mientras más espesor tenga el recubrimiento, mayor será su estabilidad. Esta es la razón por la cual el efecto de desprendimiento prematuro de recubrimiento ha llegado a una situación tan alarmante para pruebas de columnas de pequeña escala. Puesto que resulta muy difícil fallar columnas a escala real fabricadas con un concreto de ultra alta resistencia y bajo cargas concéntricas. Según los investigadores, no existe datos disponible de este tipo de prueba. Por lo tanto, pareciera que estas columnas con recubrimiento de gran espesor no va a experimentar el desprendimiento prematuro de recubrimiento como ocurre en aquellos casos de columnas a escala reducida. En este caso, con el factor introducido por la ecuación (2.12) resultaría en valores muy conservadores. Por lo tanto, como recomendación de los investigadores, hasta que los datos experimentales llegaran a estar disponibles, estas ecuaciones pueden ser usadas, pero la razón Ac/Ag nunca debe ser menor que 0,6.

Las columnas sometidas a esfuerzos de compresión y tracción pueden desarrollar doble curvatura o curvatura simple. En cualquiera de estos dos casos, el lado susceptible al desprendimiento de recubrimiento es el lado cóncavo; la curvatura del recubrimiento tiende a pandearse hacia el núcleo y será restringido por este último, como consecuencia de esto, es muy poco probable que el desprendimiento o el pandeo del recubrimiento ocurra en columnas bajo flexión. Por lo tanto, el factor k4 especificado en la ecuación (2.12) llegará a ser 1,0 para columnas cargadas excéntricamente.

Luego, la relación esfuerzo-deformación propuesta por Popovics (1973) y modificado por Razvi y Saatcioglu fue usado para resistencias entre 30 MPa hasta 120 MPa para encontrar la deformación última en la fibra extrema de compresión εcu. El resultado puede ser resumido en la figura 2-12 y en la ecuación (2.16):

( ) 0027,01030'0036,00036,0 5 ≤×−−=≤ −Cu fε (2.16)

Figura 2-12. Deformación última en la fibra extrema de compresión para flexión, afectada por la resistencia del concreto, ref. 22. IX Seminario de Ingeniería Estructural y Sísmica San José, Costa Rica – Septiembre 2007


Lo que esta ecuación toma en cuenta es la naturaleza frágil del CAR después de haber alcanzado el esfuerzo pico, y por lo tanto, el εcu cambia desde 0,0036 para concretos de 30 MPa hasta 0,0027 para concretos de 120 MPa. Sin embargo, los investigadores han encontrado que el uso de esta variación de εcu in fluye muy poco en el cálculo de la capacidad de la sección, por lo tanto, un εcu = 0,003 igualmente puede ser usado para cualquier resistencia de concreto.

Por último, para los valores de α1 y β1 fueron derivados por Ozbakkaloglu y Saatcioglu:

Para f’C ≤ 30MPa α1 = 0,85 β1 = 0,85

Para f’C > 30MPa ( ) 72,030'0014,085,01 ≥−−= Cfα

( ) 67,030'0020,085,01 ≥−−= Cfβ (2.17) (2.18)

Para las ecuaciones (2.17) y (2.18), las unidades de f’c son en MPa.

Figura 2-13. Variación de α1 y β1 con la resistencia del concreto, ref. 22.

El Modelo de Tan y Nguyen (2004)

La investigación experimental dirigida por Tan y Nguyen (2004) fue un estudio del comportamiento de flexión de la columna de CAR, y el principal propósito fue investigar el efecto de confinamiento del refuerzo lateral a la capacidad de flexión de CAR. Se realizó una investigación experimental sobre 30 especímenes de concreto simple reforzado de sección cuadrada de 20 cm, y las columnas fueron falladas bajo compresión concéntrica y excéntrica. La variable principal en este trabajo fue la resistencia del concreto que va desde 46 a 101 MPa, y la razón volumétrica de refuerzo transversal va de 0,7% a 2,4%.

Basándose en estos resultados, un nuevo bloque de esfuerzos rectangular equivalente de un sólo parámetro fue propuesto, y verificado contra 354 datos experimentales publicados para un amplio rango de resistencias de concreto. Sin embargo, estos datos existentes fueron obtenidos de especímenes de



concreto simple o concreto reforzado con bajos niveles de razón de refuerzo transversal. Según los autores, de los datos existentes, solo hay 4 columnas bien confinadas con una razón volumétrica de refuerzo lateral mayor que 0,012. Además, a pesar de que fueron bastantes columnas falladas con una excentricidad constante, sólo se tuvo una columna fallada concéntricamente de Ibrahim y MacGregor para proveer los parámetros de bloque de esfuerzos para CAR, todo esto se suma a las limitaciones de este trabajo.

La falla de las columnas cargadas concéntricamente es muy frágil, muy poca deformación se presentó después del esfuerzo máximo. Al contrario, los especímenes bien confinados muestran un comportamiento bastante dúctil. En general, la parte ascendente es similar para el concreto simple y para el concreto reforzado, pero el gradiente de esta parte para especímenes de CAR son más escarpados que los especímenes de concreto normal.

Los investigadores observaron que todos los especímenes probados con una excentricidad constante fallaron en el modo de compresión, es decir, el aplastamiento del concreto en el lado de compresión antes de que el acero llegara a fluir. El aplastamiento del recubrimiento de concreto produce un descenso corto pero brusco en el inicio de la parte descendente del diagrama σ-ε tal como se puede observar en la figura 2-14; sin embargo, aún teniendo una razón volumétrica de refuerzo transversal de 0,024, no se presentó el segundo máximo de esfuerzos en la curva σ-ε en ningún especímen.

Figura 2-14. Carga normalizada contra máxima deformación en compresión para columnas bajo cargas excéntricas, ref. 21.

Tan y Nguyen verificaron la validez del modelo del código de ACI usando los 354 columnas de concreto simple y reforzado. Resultó que ACI sobreestimó la capacidad de 155 columnas, es decir, un 44% del número total de las columnas. Los porcentajes de diferencia entre datos experimentales y los estimados por ACI se presenta en la figura 2-15. Así que los investigadores propusieron un nuevo modelo de diseño tomando en cuenta que si se definiera un valor de β1 menor, aumentaría el brazo de palanca del bloque en compresión y por lo tanto, tiende a sobreestimar la capacidad de momento. Por lo tanto, se decidieron que el parámetro β1 debe ser lo más ajustado posible a los valores experimentales y no escoger límites inferiores o superiores.



Teniendo como base un análisis de regresión de los datos experimentales con una resistencia hasta 102 MPa, esto debido a que datos con resistencia mayor muestra otra tendencia, los autores sugieren una única ecuación lineal suficientemente representativa para α1 y β1:

MPaff CC 100';'002,09,011 <−== βα (2.19)

Para concretos con resistencia a la compresión mayor que 100 MPa, los valores de α1 y β1 deben ser tomados igual a 0,7. Pero se recomienda más estudios para concretos con resistencia superior a este valor.

Figura 2-15. Comparación entre las capacidades experimentales y las que predice el modelo bloque rectangular de esfuerzos de ACI, ref. 21.

Los porcentajes de error usando el nuevo modelo se muestra en la figura 2-16. Con el uso de este nuevo modelo, de las 155 columnas se pasó a 90 columnas (25% de todas las columnas) con el valor de resistencia menor a lo predicho por el modelo.

Figura 2-16. Comparación entre las capacidades experimentales y las que predice el modelo bloque rectangular de esfuerzos de Tan y Nguyen, ref. 21.

El Modelo de Bae y Bayrak (2003)

Diversos investigadores como Azizinamini et al. (1994), Ibrahim y MacGregor (1999), Bayrak (1999) han reportado que el uso del bloque rectangular de esfuerzos de ACI resulta en estimaciones no



conservadores para columnas de CAR, y esto se atribuye principalmente al desprendimiento temprano del recubrimiento en columnas de CAR.

Bayrak (1999) también reportó que la deformación en la que ocurre el desprendimiento del recubrimiento se da entre 0,0022 y 0,0032 para las 24 columnas de CAR bien confinadas (56 MPa < f’c < 112 MPa) probadas. Inclusive, este reporte señaló que este fenómeno de desprendimiento de recubrimiento ocurrió en deformaciones menores que 0,003 en 21 de los 24 columnas probadas. Esta es la razón por la cual Bae y Bayrak se enfocaron totalmente a estudiar el efecto de este fenómeno en la reducción de resistencia de CAR.

Según la investigación realizada por los autores, la pérdida del recubrimiento de concreto antes de alcanzar la capacidad teórica de la columna es un problema muy peculiar que ocurre sólo con columnas de CAR. Lo anterior porque, a pesar de que se pueden apreciar ciertos daños en el recubrimiento de concreto de resistencia normal en deformaciones cercanas a la deformación correspondiente a la carga máxima, ya sea con carga concéntrica o con carga excéntrica, el recubrimiento no se separa inmediatamente del núcleo. Investigadores como Sheikh y Uzumeri (1980) sugerieron que el recubrimiento sigue tomando cargas después de que el esfuerzo pico de compresión ha sido alcanzado. Este hecho puede ser debido a que el recubrimiento en concretos de resistencia normal soporta poca carga comparado con el recubrimiento de CAR.

Las investigaciones señalan que la pérdida repentina del recubrimiento resulta en una pérdida de 10% a 15% de la capacidad, en este punto, investigaciones experimentales han señalado que para resistencia de concreto mayor que 80 MPa, el segundo pico alcanzado debido al esfuerzo de confinamiento es aproximadamente igual o ligeramente menor que el primer pico alcanzado, y debido a esta observación, se recomienda que la capacidad máxima de una columna debe ser calculada en el punto A mostrado en la figura 2-17. En este punto, el esfuerzo de confinamiento que actúa sobre el núcleo de concreto aún es muy bajo, así que, éste puede ser omitido sin incurrir en gran error, y por lo tanto, la resistencia de la columna en el justo momento en que ocurre el desprendimiento del recubrimiento puede ser determinado usando la curva σ-ε del concreto inconfinado.

Respecto a la deformación en que el desprendimiento del recubrimiento ocurre, Bayrak ha realizado pruebas experimentales en el año 1999, y recomienda que esta deformación es: εdesprendimiento = 0,0025 < εcu

ACI = 0,003.

Figura 2-17. Efecto del desprendimiento prematuro de recubrimiento, ref. 20.



Bae y Bayrak introdujeron dos parámetros de reducción para tomar en cuenta la disminución en la fuerza axial o en el momento flector debido al desprendimiento prematuro del recubrimiento:

1γ = parámetro de reducción de fuerza axial debido al desprendimiento temprano del recubrimiento. PP /5,21 =γ

2γ = parámetro de reducción de momento debido al desprendimiento temprano del recubrimiento. MM /5,22 =γ

donde P2,5 es la resistencia máxima axial hasta εdesprendimiento = 0,0025 (Ver figura 2-17); y M2,5 es el momento máximo hasta εdesprendimiento = 0,0025. P y M son las fuerzas correspondientes a la capacidad sin considerar el desprendimiento prematuro del recubrimiento.

Se realizaron estudios paramétricos basados en columnas cuadradas para evaluar la influencia del espesor del recubrimiento, el tamaño de la sección, la cantidad y la distribución del refuerzo longitudinal, la resistencia del concreto y el nivel de carga axial en los parámetros γ1 y γ2.

Respecto al efecto del espesor de recubrimiento se concluyó que para espesores muy pequeños de recubrimiento, los dos parámetros de reducción tienden a disminuir conforme el espesor del recubrimiento aumenta. Sin embargo, en el rango práctico de espesor de recubrimiento (t/H = 0,05 – 0,15), tanto γ1 como γ2 son casi constantes. Es importante señalar que γ1 y γ2 disminuyen conforme se incrementa la resistencia del concreto, también es un hecho que para columnas de CAR con cargas axiales mayores, la reducción en la capacidad de momento debido al desprendimiento del recubrimiento es más significativo que aquellas con cargas axiales menores.

Por otro lado, tanto el tamaño de la sección, como la cantidad y la distribución del refuerzo longitudinal mostraron influencias insignificantes sobre los parámetros de reducción, así que al final, se concluye que γ1 y γ2 están sólo en función de la resistencia del concreto, y por lo tanto, las ecuaciones de reducción quedaron en la siguiente forma:

( )80'300111 −−= Cfγ para f’C ≥ 80 MPa

11 =γ para f’C < 80 MPa (2.20)

( 55'*106

112 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= C

O

fPPγ ) , y por lo tanto,

( )55'106

11 12 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= C

O

fPPγγ para f’C ≥ 55 MPa

12 =γ para f’C < 55 MPa

(2.21)



De las ecuaciones se puede observar que la resistencia del concreto es el factor principal que afecta al parámetro de reducción de fuerza axial; mientras que el parámetro reductor en el momento es una función tanto de la resistencia de concreto como de la fuerza axial.

Tanto la fuerza axial P como el momento flector M pueden ser calculados usando la especificación del ACI 318-05, y la capacidad nominal se obtiene aplicando parámetros de reducción sobre P y M en la siguiente forma:

PP ×= 1* γ (2.22) MM ×= 2* γ (2.23)

Figura 2-18. Curva de interacción P-M generado por el código ACI y el método propuesto por Bae y Bayrak, ref. 20.

Las modificaciones propuestas por los investigadores se evaluaron contra 224 datos experimentales reportados en la literatura, y todas las columnas en su mayoría son de sección rectangular y de tamaño normal. Los resultados son resumidos en la figura 2-19.

Observando la figura 2-19 se puede notar que, usando ACI 318-05, hay un incremento en la sobreestimación progresiva de la capacidad de momento conforme la resistencia de concreto aumenta. Este resultado que no ocurre en el concreto de resistencia normal pero sí para CAR se atribuye al fenómeno de desprendimiento prematuro del recubrimiento. Con las modificaciones propuestas por los investigadores, se logra una estimación más exacta de la capacidad de las columnas.



Figura 2-19. Exactitud en la predicción de la capacidad de momento basado en el código ACI, Ibrahim y MacGregor, y el modelo de Bae y Bayrak, ref. 20.

El Modelo de Ibrahim y MacGregor (1997)

Ibrahim y MacGregor (1997) propusieron un nuevo juego de parámetros para el bloque rectangular de esfuerzos que puede ser aplicado tanto para concretos de resistencia normal como de alta resistencia. Se basaron en un estudio de 20 especímenes de columnas de CAR, sobre los cuales la predicción de capacidad del ACI 318-05 resultó ser no conservadora.

Ibrahim y MacGregor seleccionaron el valor de β1 como un valor promedio de los datos experimentales en vez de tomar el límite inferior de los datos como lo que se hizo en el ACI. Esto debido a que para valores de β1 muy pequeños, el brazo de palanca del bloque de compresión respecto a la sección es excesivamente largo lo que tiende a sobreestimar la capacidad de momento. Esto se mostró especialmente significativo para columnas falladas con una razón de excentricidad de la carga aplicada respecto a la altura de la sección transversal menor que 0,3, según los investigadores. Por lo tanto, Ibrahim y MacGregor propusieron para β1 lo siguiente:

70,0400/'95,01 ≥−= Cfβ (2.24)



Por otro lado, el parámetro α1 es derivado para proveer un límite inferior conservador para los datos experimentales sobre k3. Los investigadores recomendaron lo siguiente para α1:

725,0800/'85,01 ≥−= Cfα (2.25)

En el trabajo de investigación que realizaron Bae y Bayrak (2003), el modelo de Ibrahim y MacGregor también fue evaluado, y los resultados son resumidos en la figura 2-19.

Otros Modelos de Bloque de Esfuerzos Rectangular Equivalente

Existe muchas otras propuestas de valores de α1 y β1 sugeridos por otros investigadores y códigos de estructuras de concreto reforzado de otros países, los cuales se presentan en la siguiente tabla:

Cuadro 2-2. Parámetros del bloque rectangular de esfuerzos, ref. 20.

Referencia α1 β1

CAN 3-A23.3-M94 (Código Canadiense 1994) 67,0'0015,085,0 ≥− Cf 67,0'0025,095,0 ≥− Cf

NZS 3101-1994 (Standars New Zealand 1995) 75,085,0'004,007,1

1 ≥≥−α

Cf

65,085,0'008,009,1

1 ≥≥−β

Cf

Li et al. (1994) ( )

75,085,055'004,085,0

1 ≥≥−−

αCf Igual que ACI

Azizinamini et al. (1994) ( )

60,085,069'00735,085,0

1 ≥≥−−

αCf Igual que ACI

Los parámetros del bloque rectangular de esfuezos sugeridos por Ibrahim y MacGregor (1997) es bastante similar al del Código Canadiense CAN 3-A23.3-M94 (Asociación de Estándares Canadiense 1994), sólo difieren en el valor mínimo especificado para α1 y β1.

Aunque las recomendaciones dadas por los diferentes investigadores son considerablemente diferentes, sus influencias en el diagrama de interacción P-M para niveles de carga axial bajo (P < Pbalanceada), en realidad, es sumamente bajo. Este hecho es ilustrado en la figura 2-20, en que se muestra la influencia de los parámetros del bloque de esfuerzos en la curva de interacción P-M de una sección cuadrada con refuerzos longitudinales uniformemente distribuidos a lo largo de los cuatro lados de la sección.

En la figura 2-20, la curva de interacción para α1=0,75 también es mostrado para propósitos de comparación, y el cambio en el parámetro α1 tiene mayor influencia en la curva de interacción que el cambio en β1. Se puede apreciar en la figura que el cambio del β1 resulta en la reducción de la resistencia en el rango desde P = 0,3Po a 0,7Po.



Figura 2-20. Influencia de los parámetros del bloque rectangular de esfuerzos en la curva de interacción, ref. 20.

Modelo Esfuerzo-Deformación de Collins et al. (1993) para Concreto Inconfinado de Alta Resistencia

Collins et al. (1993) ha propuesto una curva de esfuerzo-deformación para CAR inconfinado. Este modelo está basado en el modelo sugerido por Popovics (1973). Las ecuaciones de este modelos son las siguientes:

nkccc

ccc n

nfk)'/(1'

'3 εεεε

σ+−

= (2.26)

donde

85,0'

106,03 ≤+=cf

k (2.27)

1'

'−

=n

nEf

c

ccε (2.28)

17'8,0 cfn += (2.29)

( )1'/162

'67,0 ≤=+= ccc parakfk εε (2.30)

6900'3320 += cc fE (2.31)

El término f’c de todas las ecuaciones anteriores está expresado en MPa.

Es importante señalar que la ecuación (2.26) fue propuesto originalmente por Tomaszewicz (1984) y Thorenfeldt et al. (1987), modificada por Collins et al. (1993), y la ecuación (2.31) fue propuesta por Carrasquillo et al. (1981). Este modelo es aplicable a un amplio rango de resistencia de concreto. Para resistencias hasta 112 MPa, este modelo ofrece una muy buena aproximación al comportamiento experimental medido sobre cilindros de CAR probados por Bayrak (1999). Un ejemplo de este modelo se muestra en la figura 2-21, donde f’c es igual a 21 MPa.



Figura 2-21. Curva esfuerzo-deformación del modelo de Collins con f’c = 21 MPa.

Para usar este modelo en la generación de la curva de interacción, se pueden usar las suposiciones del artículo 10.2 del código ACI, y definiendo la máxima deformación unitaria en la fibra extrema de compresión. Si se utilizara la suposición del artículo 10.2.3. de ACI (εcu = 0,003), el diagrama σ-ε y el área para ser tomado en cuenta en los cálculos correspondería a la parte sombreada limitada por la línea vertical (lo que representa εcu = 0,003) mostrada en la figura 2-21.

Aunque son muchas ecuaciones las que componen este modelo, en realidad, f’c es el único dato de entrada para alimentar el modelo. Una particularidad de este modelo, es que conforme f’c aumenta, la deformación correspondiente al esfuerzo pico también se desplaza hacia la derecha del gráfico, esto implica que para el concreto inconfinado, a mayores resistencias de concreto, la deformación alcanzada también es mayor, acompañada de un incremento en el módulo elástico y el esfuerzo pico alcanzado. Para f’c = 105 MPa, el esfuerzo pico corresponde justamente a la deformación unitaria de 0,003, y para f’c ≥ 105 MPa, la relación σ-ε se convertiría prácticamente en una distribución triangular de esfuerzos, tal como se muestra en la figura 2-22.

Curva esfuerzo-deformacion del Modelo de Collins (1993)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007

Deformacion (mm/mm)

Esfu

erzo

(MPa

)

Figura 2-22. Curva esfuerzo-deformación del modelo de Collins et al. (1993) con f’c = 110 MPa.



Modelo Unificado para el Concreto Confinado de Mander et al. (1984)

Se ha mencionado anteriormente, que basándose en trabajos de investigación sobre la resistencia y la deformación longitudinal del concreto confinado por una presión hidrostática activa, se ha logrado determinar unas relaciones muy simples entre esfuerzos y deformaciones. Usando la definición de variables que fue adoptado por el documento técnico publicado por Mander et al. (1984), estas ecuaciones pueden ser expresadas de la siguiente forma:

lcocc fkff 1'' += (2.32)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

co

lcocc f

fk'

1 2εε (2.33)

Para estas ecuaciones, f’cc y εcc son, respectivamente, el máximo esfuerzo en el concreto y la deformación correspondiente, bajo la presión lateral del fluido fl. f’co y εco son la resistencia del concreto inconfinado y la deformación correspondiente respectivamente. k1 y k2 son coeficientes que están en función de la mezcla de concreto y de la presión lateral.

Un buen confinamiento en el núcleo de concreto es esencial para que una columna tenga una razonable capacidad rotacional plástica, esto para que una columna pueda mantener su resistencia a flexión aún en grandes curvaturas. Este principio es la consideración más importante en el diseño sísmico, y las normativas sísmicas exigen que las columnas de concreto reforzado tengan suficiente refuerzo transversal para permitir la formación de la rótula plástica y por lo tanto, asegurar que la redistribución de momentos pueda ocurrir evitando el colapso de la estructura.

En general, mientras más alta sea la carga axial en la columna, mayor es la cantidad de refuerzo de confinamiento necesario para alcanzar la ductilidad deseada. Esto es debido a que una mayor carga axial implica un eje neutro de mayor profundidad, lo cual implica que la capacidad en flexión de la columna, en este caso, tiene una dependencia mayor sobre la contribución de la distribución de esfuerzos de compresión en el concreto.

Por supuesto que, al carecer de una información completa concerniente a la curva esfuerzo-deformación del concreto confinado, no es posible realizar el análisis de momento-curvatura para determinar la ductilidad disponible de las columnas con diferentes densidades de refuerzos transversales y distribuidos de diferentes formas.

Dado esta necesidad, Mander et al. (1984) propuso un modelo unificado de esfuerzo-deformación para el concreto confinado aplicable tanto para sección circular como para sección rectangular; para configuraciones de refuerzo transversal de aros o espirales; bajo cargas estáticas o dinámicas, y que sean cargadas monotónicamente o cíclicamente. El modelo está apoyado sobre 40 pruebas experimentales de columnas de concreto reforzado de tamaño real, circular y rectangular, y de diferentes formas de refuerzo transversal, bajo cargas axiales concéntricas cíclicas o monotónicas, y con diferentes velocidades de carga. En la referencia 23 se presentan las ecuaciones de referentes a la curva σ-ε del concreto confinado para cargas de compresión monotónica que son las que se evaluarán en este trabajo.



MARCO METODOLÓGICO

Generación del diagrama de interacción P-M usando métodos numéricos

Dado que el uso de las curvas esfuerzo-deformación de Hognestad, Collins o del modelo de Mander para aproximar el comportamiento del esfuerzo de concreto en la zona de compresión de una sección transversal de las columnas, son funciones complejas y probablemente no existe solución para el integral de la función del esfuerzo de concreto sobre el área rectangular o de segmento circular en compresión,

, o que resultarían en ecuaciones excesivamente complejas para los cálculos y para la

programación. Así que, se hace necesario recurrir a soluciones por medio de métodos numéricos. ∫A cdAf

El método de cálculo numérico para obtener la fuerza de compresión del concreto y su correspondiente momento respecto al centroide de la sección, es muy similar a los cálculos para las capas i de acero explicado anteriormente, la diferencia única consta de que, ahora es la parte de concreto en compresión la que se divide en n franjas, cada franja con una altura Δh lo suficientemente pequeña como para dar una buena aproximación al integral. Esto es ilustrado en la figura 3-6. Así que, teniendo definido εcu correspondiente a cada modelo, se procede de la misma forma, a calcular primero la profundidad del eje neutro usando la ecuación (3.1); y luego, usando la ecuación (3.2) pero variándole un poco la nomenclatura usada para referirse a las franjas de concreto, se obtiene que:

cuci

ci cdc εε ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= (3.19)

donde εci y dci son, respectivamente, las deformaciones de la franja i-ésima de concreto, y la “profundidad” de la franja, que se mide a la mitad de Δh.

Figura 3-6. Método numérico para el cálculo de la fuerza y el momento de compresión del concreto.

Una vez que se conoce el valor de εci de la franja de concreto, se puede evaluar el valor del esfuerzo correspondiente usando las funciones matemáticas que expresan la relación σ-ε:

( )cici ff ε= (3.20)

donde ( cif )ε es la función de la curva σ-ε según lo que se define en los diferentes modelos.

Teniendo el valor del esfuerzo ubicado a la mitad de la franja, la fuerza que corresponde a la franja puede ser calculada simplemente multiplicando el esfuerzo por el área; para una sección rectangular, esto es: IX Seminario de Ingeniería Estructural y Sísmica San José, Costa Rica – Septiembre 2007


bhfF cici Δ= (3.21)

En cambio, para una sección cicular, el ancho bi de las franjas varía a lo largo de la altura h tal como se ilustra en la figura 3-7, por lo tanto, la fuerza debe ser calculada como:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅Δ= −

hdsenhhfF ci

cici21cos 1

(3.22)

donde el término de la paréntisis cuadrada es la función del ancho bi que depende de la profundidad de la franja dci.

Figura 3-7. Método numérico para el cálculo del ancho de la franja bi de la sección circular.

Mientras tanto, todos los cálculos relativos a la fuerza y el momento resultante de las capas acero se mantienen iguales, exceptuando la ecuación (3.7b). Tal como lo que se ilustra en la figura 3-8, ahora los esfuerzos de compresión ya no es un bloque rectangular de esfuerzos, sino es una función no lineal dependiente de εc. Así que, la ecuación (3.7b) debe ser modificada de forma que, si c (la profundidad del eje neutro) es mayor que di para una capa de acero en particular, La fuerza de esa capa i de acero sería:

( )[ ] sisicsisi AffF ε−= (3.23)

donde fc(εsi) es la función del esfuerzo del concreto evaluado con el valor de la deformación de la capa de acero i, dado que las deformaciones son compatibles entre el acero y el concreto.

Figura 3-8. La función de esfuerzos del bloque de compresión y la fuerza en las capas de acero.

Finalmente, la capacidad de carga axial, Pn, se obtiene sumando las fuerzas correspondientes de todas las franja de concreto desde el eje neutro hasta la fibra extrema de compresión, y las fuerzas resultantes de las capas de acero:

∑∑ += sicin FFP (3.24)



La capacidad de momento, Mn, se obtiene sumando la multiplicación de todas las franjas de concreto por sus respectivos brazos de palanca, más la sumatoria de los momentos de las capas de acero, respecto al centroide de la sección:

( ) ( )isicicin dhFdhFM −+−= ∑∑ 2/2/ (3.25)

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Comparaciones cualitativas entre las curvas de interacción P-M de los modelos de bloque rectangular de esfuerzos.

Para comparar cualitativamente las curvas de interacción generadas por cada modelo, se escogió como ejemplo una sección transversal rectangular de 30cm x 30cm, con refuerzo longitudinal varillas número 6 en las cuatro esquinas de la columna, con una razón de refuerzo ρ=0,013 y refuerzo transversal con aros varilla número 5. En total, se ha evaluado nueve modelos de bloque rectangular de esfuerzos encontrados en las fuentes bibliográficas, los cuales son: el modelo de ACI 318-05, CAN 3-A23.3-M94 (Código Canadiense 1994), NZS 3101-95 (Estándar de Nueva Zelanda 1995), Modelo de Ozbakkaloglu y Saatcioglu (2004), Modelo de Tan y Nguyen (2005), Modelo de Ibrahim y MacGregor (1997), Modelo de Li et al. (1994), Modelo de Azizinamini et al. (1994), y el modelo de Bae y Bayrak (2003).

Empezando la comparación entre estos modelos para concretos de resistencia normal, con un f’c igual a 20 MPa, los resultados se muestran en la figura A-1 del apéndice. Se puede apreciar que con un f’c igual a 20 MPa, las curvas de interacción son casi iguales teniendo al modelo de Ibrahim y MacGregor y el de código Canadiense CSA A23.3-94 como los más conservadores del grupo. En realidad, el modelo de Ibrahim y MacGregor tiene los mismos parámetros de α1 y β1 que el modelo CAN A23.3-94, sólo difieren en los límites inferiores para estos parámetros, y como f’c es apenas 20 MPa, α1 y β1 son iguales para estos dos modelos, y la razón por la cual la curva del modelo CAN A23.3-94 se extendió más hacia la derecha en la zona anterior a la falla balanceada (donde se presenta un cambio brusco en la curva), igual que el modelo de Ozbakkaloglu y Saatcioglu, se debe a la definición de εcu, ya que todos los modelos exceptuando estos dos tienen a εcu definida como 0,003, mientras que CAN A23.3-94 la definió como 0,0035 y para el modelo de Ozbakkaloglu y Saatcioglu, εcu = 0,0036 para f’c < 30 MPa, así que, de esta observación se nota que la definición del valor de εcu tiene una influencia directa en zonas de la curva antes de la falla balanceada para concretos de resistencia normal.

Por otro lado, hay que destacar que para concretos normales, los modelos ACI 318-05, el modelo NZS 3101-95 del estándar de Nueva Zelanda, el modelo Li et al., Azizinamini et al. y el modelo de Bae y Bayrak son prácticamente idénticos hasta un f’c aproximadamente igual a 50 MPa dependiendo del modelo, ya que la variación en los parámetros α1 y β1 de estos modelos empiezan a trabajar hasta que f’c supere este valor.

Si se incrementa la resistencia del concreto f’c a 40 MPa, el resultado es lo que se observa en la figura A-2. Ya la parte sobresaliente del modelo de CSA A23.3-94 y del modelo de Ozbakkaloglu y Saatcioglu se volvió un poco más similar a los demás debido al incremento en la resistencia del concreto. Los modelos ACI 318-05, el modelo NZS 3101-95 del estándar de Nueva Zelanda, el modelo Li et al., Azizinamini et al. y el modelo de Bae y Bayrak siguen dando una misma curva de interacción, el modelo CAN A23.3-94 es el modelo más conservador junto con el modelo de Ibrahim y MacGregor, pero aproximando a la falla balanceada, Ibrahim y MacGregor sigue siendo el más conservador.



Hasta un f’c igual a 60 MPa (figura A-3), ya casi todas las curvas de los modelos se encuentran en el lado interior del modelo de ACI 318-05; el modelo de CAN A23.3-94, junto con los modelos NZS 3101-95, Ibrahim y MacGregor, y Tan y Nguyen son los más conservadores para este nivel de resistencia de concreto, pero el modelo de Azizinamini et al., sigue permaneciendo en la misma curva que el modelo de ACI 318-05. Y se puede apreciar que para la mayoría de los modelos, el punto de falla balanceada ya no es el punto que corresponde a la máxima capacidad de momento de una columna.

Teniendo ya un f’c = 80 MPa (figura A-4), ahora el modelo de ACI 318-05 se ha alejado un poco del “grupo” de curvas de los otros ocho modelos; y elevando f’c hasta 120 MPa (figura A-5), se observa que el modelo de Azizinamini, el que cuando f’c=60 MPa aún es una misma curva que el modelo de ACI 318-05, ahora se ha convertido en el modelo más conservador de todos.

Otro aspecto que se observa en las figuras, es que las curvas de los diferentes modelos difieren más en la zona donde las cargas axiales son mayores, y en la que está próxima a la falla balanceada, y de hecho, para un f’c menor de 60 MPa, la predicción del punto de falla balanceada de los modelos es muy similar uno al otro; y para el nivel de carga axial menor que la carga de falla balanceada, las curvas son prácticamente una sola. Cuando f’c llega a 80 MPa o inclusive 120 MPa, el punto de falla balanceada que predice los modelos se desplaza hacia el interior y un poco hacia abajo, alejándose un poco respecto al modelo de ACI 318-05, sin embargo, inmediatamente después de pasar por el punto de falla balanceada de cada una de las curvas, rápidamente las curvas volvieron a hacerse una sola, hasta converger todas en un mismo punto cuando la carga axial es cero. Esto es consistente con lo que se ha expuesto en el marco teórico, las columnas de alta resistencia muestran incompatibilidad con el modelo de diseño de ACI 318-05 sólo para cargas axiales muy altas, esto es, cargas con muy poca excentricidad, ya que para cargas axiales bajas y momentos muy altos, el fenómeno de desprendimiento del recubrimiento no se presenta por el efecto que ejerce la curvatura de la columna presionando al recubrimiento hacia el núcleo evitando que éste se desprenda.

Comparaciones cualitativas entre el método de reducción de resistencia del ACI 318-99 y el método unificado del ACI 318-05

Variando los valores de f’c, fy y razón de refuerzo ρ, se puede comparar cualitativamente el método de reducción de resistencia del ACI 318-99 con el método unificado del ACI 318-05, y se logra visualizar las diferencias principales que existen entre estos dos métodos cuando estos tres parámetros cambian. El tipo de refuerzo usado como ejemplo son los aros, lo cual define un factor de reducción Φ mínimo de 0,65, según ACI 318-05; y 0,70 según ACI 318-99. Las propiedades relevantes de la sección y de los materiales se muestran en las tablas que anteceden a los gráficos.

Variando f’c pero manteniendo los demás constante

Observando las figuras A-6 y A-7, para el concreto de resistencia normal, la diferencia que existe entre las dos curvas es uniforme para cargas axiales mayores que la carga de falla balanceada, y esto se debe simplemente a que ACI 318-05 define el factor de reducción Φ igual a 0,65 para secciones controladas por compresión, mientras que ACI 318-99 lo define como 0,70, por lo tanto, recorriendo la curva desde la carga concéntrica hasta la carga de falla balanceada, la curva correspondiente al ACI 318-05 es más conservador, y la diferencia respecto a la curva del ACI 318-99 es constante.



El segmento de la curva que va desde la falla balanceada hasta el punto de carga axial igual a cero es la zona donde se presenta dos comportamientos completamente distintos. La curva del ACI 318-05 sigue extendiendo hacia la derecha y luego se devuelve formando un pico, por otro lado, el pico de la curva del ACI 318-99 más bien se forma justamente en el punto de la falla balanceada. Esta diferencia se debe básicamente a que el factor de reducción del ACI 318-05 empieza a incrementarse una vez que la deformación de la fibra extrema de tracción εt haya sobrepasado a εy (falla balanceada), esto significa que el incremento se da inmediatamente desupés del punto de falla balanceada, esta es la razón por la cual la curva del ACI 318-05 sigue extendiendo hacia la derecha. Mientras el incremento del factor de reducción del ACI 318-99 inicia hasta que la fuerza axial sea igual a 0,10 f’cAg, punto que está muy por debajo de la falla balanceada para este caso (f’c = 28 MPa, fy = 420 MPa, y ρ = 0,0105).

Basándose en este ejemplo, se llega a una conclusión de que, para concretos de resistencia normal y para razones de refuerzo longitudinal bajos, el método unificado de reducción de resistencia del ACI 318-05 es menos conservador que el ACI 318-99 para cargas axiales menores que la carga de falla balanceada. Por lo tanto, es importante poder verificar este hecho contra datos experimentales, para ver si esta nueva forma de reducción del ACI 318-05 hace caer a los diseños en el lado inseguro o no.

Si se incrementa f’c hasta 50 MPa, o inclusive hasta 90 MPa (las figuras A-8, A-9, A-10 y A-11) manteniendo los demás constantes, se observa que el patrón de las curvas sigue igual, sólo que con el incremento de f’c, la distancia que hay entre el modelo ACI 318-05 y ACI 318-99 después del punto de falla balanceada también se ve cada vez más cercana. Y este patrón de comportamiento es el mismo para la sección circular y rectangular, sólo que la curva de interacción de sección circular comporta de una forma más suave que la curva para la sección rectangular.

Variando fy pero manteniendo los demás constante

En las figuras A-12, A-13 muestran las curvas de interacción con un fy = 315 MPa para el refuerzo longitudinal, para la sección circular y rectangular respectivamente, lo que se intenta ver aquí es la influencia del fy sobre la forma de la curva de interacción reducida por los dos métodos. Las figuras A-14 y A-15 muestran las curvas para un fy = 280 MPa. Se aprecia en todas estas figuras que el patrón de comportamiento mencionado anteriormente permanece sin grandes cambios, lo que indica que el valor de fy no tiene influencia directa en los métodos de reducción del ACI 318-05 y del 99.

Variando ρ pero manteniendo los demás constante

Las figuras A-6 y A-7 muestran las curvas para un ρ de 0,0105, la del ACI 318-05 muestra ser menos conservador que ACI 318-99 inmediatamente después la falla balanceada el método de reducción. Ahora, si se incrementa la razón de refuerzo longitudinal a 0,0201, como se presenta en las figuras A-16 y A-17, el patrón de comportamiento aún permanece sin cambio, pero ahora hay menos distancia entre la falla balanceada y la carga axial cero (eje x). Y si ρ = 0,0413, como se muestran en las figuras A-18 y A-19, ya el caso es totalmente distinto; ahora la curva de interacción reducida del ACI 318-99 está casi completamente en el lado exterior del ACI 318-05 para la sección circular, mientras que para la sección rectangular, aún la curva del ACI 318-05 está por el lado no conservador después de la falla balanceada, pero la diferencia con la curva del ACI 318-99 ya es lo mínimo. Este hecho se debe a que cuando la razón de refuerzo aumenta, desplaza el punto de falla balanceada a un nivel de carga axial menor, y al acercarse Pfalla balanceada con P = 0,10 f’cAg, y como la curva de interacción reducida del ACI 318-99 está siempre con un 5% (0,70-0,65 = 0,05 = 5%) mayor, tanto en Pn como en Mn, que la curva reducida del ACI 318-05, cuando ya se trata de casi un mismo nivel de P para empezar a aplicar el factor de reducción, la tasa de incremento del método de ACI 318-99 es mucho más rápido ya que obligatoriamente en P = 0 el factor



debe ser 0,9; mientras que el método del ACI 318-05 no necesariamente tiene que ser 0,9 cuando P = 0, puesto que el factor de reducción del ACI 318-05 depende sólo del valor de εt.

La razón por la cual para ρ = 0,0413, el método de reducción de ACI 318-99 para sección circular se hizo menos conservador es debido a que cuando la carga axial es cero, aún el factor de reducción del ACI 318-05 aún está muy lejos de 0,9 mientras que para la versión del 99, el factor ya debe ser 0,9. Y esto no pasa en la sección rectangular ya que ambos factores llegaron a ser 0,9 cuando la carga axial es aproximadamente cero. Cuando ρ = 0,0601, una razón de refuerzo máximo permitido por ACI para las columnas (6%), el método del ACI 318-05 ya es evidentemente más conservador que el del 99 tanto para la sección circular como rectangular. Por lo tanto, aquí se demuestra que la razón de refuerzo es el único factor que influye directamente en los métodos de reducción de resistencia, lo que queda por realizar es verificar contra datos experimentales si estos métodos de reducción están en el lado seguro.

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Final de Graduación, Universidad de Costa Rica, 2007.



APÉNDICE

Comparaciones Cualitativas entre las curvas de interacción P-M de los modelos de bloque rectangular de esfuerzos.

Resumen de Todos los Modelos

0

500

1000

1500

2000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Momento (kN-m)

Fuer

za A

xial

(kN)

Modelo ACI 318-05Modelo CSA A23.3-94Modelo NZS 3101-95Modelo Ozbakkaloglu y SaatciogluModelo Tan y NguyenModelo Ibrahim y MacGregor 97Modelo Li et al. 94Modelo Azizinamini et al. 94Modelo Bae y Bayrak

Figura A-1. Comparación cualitativa de los modelos de bloque rectangular de esfuerzos para f’c = 20 MPa.


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150Momento (kN-m)

Fuer

za A

xial

(kN)






0

1000

2000

3000

4000

5000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Momento (kN-m)

Fuer

za A

xial

(kN)




0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 50 100 150 200 250Momento (kN-m)

Fuer

za A

xial

(kN)






0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

0 50 100 150 200 250 300 350 400Momento (kN-m)

Fuer

za A

xial

(kN)





Comparaciones Cualitativas entre el método de reducción de ACI 318-99 y el método unificado del ACI 318-05

Variando f’c manteniendo los demás variables constante

Cuadro A-1. Propiedades de la sección transversal, con f’c = 28 MPa

Sección circular Sección rectangular

Diámetro h 40 cm Altura h 30 cm

Ancho b 30 cm

f’c 28 MPa f’c 28 MPa

fy 420 MPa fy 420 MPa

ρ 0,0105 ρ 0,0105

dt/h 0,8109 dt/h 0,7833

Comparacion ACI 318-05 con ACI 318-99, Seccion circular

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 20 40 60 80 100 120Momento reducido (kN-m)

Fuer

za ax

ial re

ducid

o (k

N)

ACI 318-05ACI 318-99

Figura A-6. Comparación del método de reducción de ACI 318-99 con el de ACI 318-05, teniendo como variable f’c = 28 MPa, sección circular

Comparacion ACI 318-05 con ACI 318-99, seccion rectangular

-500

0

500

1000

1500

2000

0 10 20 30 40 50 60 70 80Momento reducido (kN-m)

Fuer

za ax

ial re

ducid

o (k

N)

ACI 318-05ACI 318-99

Figura A-7. Comparación del método de reducción de ACI 318-99 con el de ACI 318-05, teniendo como variable f’c = 28 MPa, sección rectangular



Tabla A-2. Propiedades de la sección transversal, con f’c = 50 MPa



Ancho b 30 cm



ρ 0,0105 ρ 0,0105

dt/h 0,8109 dt/h 0,7833


-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Momento reducido (kN-m)

Fuer

za ax

ial re

ducid

o (k

N)

ACI 318-05ACI 318-99

Figura A-8. Comparación del método de reducción de ACI 318-99 con el de ACI 318-05, teniendo como variable f’c = 50 MPa, sección circular


-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 20 40 60 80 100 120Momento reducido (kN-m)

Fuer

za ax

ial re

ducid

o (k

N)

ACI 318-05ACI 318-99

Figura A-9. Comparación del método de reducción de ACI 318-99 con el de ACI 318-05, teniendo como variable f’c = 50 MPa, sección rectangular



Tabla A-3. Propiedades de la sección transversal, con f’c = 90 MPa



Ancho b 30 cm



ρ 0,0105 ρ 0,0105

dt/h 0,8109 dt/h 0,7833


-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 50 100 150 200 250 300 350Momento reducido (kN-m)

Fuer

za ax

ial re

ducid

o (k

N)

ACI 318-05ACI 318-99

Figura A-10. Comparación del método de ACI 318-99 con el de ACI 318-05, f’c = 90 MPa, sección circular


-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 50 100 150 200 250Momento reducido (kN-m)

Fuer

za ax

ial re

ducid

o (k

N)

ACI 318-05ACI 318-99

Figura A-11. Comparación del método de ACI 318-99 con el de ACI 318-05, f’c = 90 MPa, sección rectangular



Variando fy pero manteniendo los demás constante Tabla A-4. Propiedades de la sección transversal, con fy = 315 MPa



Ancho b 30 cm



ρ 0,0105 ρ 0,0105

dt/h 0,8109 dt/h 0,7833


-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 20 40 60 80 100 120

Momento reducido (kN-m)

Fuer

za a

xial

redu

cido

(kN

)

ACI 318-05ACI 318-99

Figura A-12. Comparación del método de ACI 318-99 con el de ACI 318-05, fy = 315 MPa, sección circular


-500

0

500

1000

1500

2000

0 10 20 30 40 50 60 70 80


Fuer

za a

xial

redu

cido

(kN

)

ACI 318-05ACI 318-99

Figura A-13. Comparación del método de ACI 318-99 con el de ACI 318-05, fy = 315 MPa, sección rectangular



Tabla A-5. Propiedades de la sección transversal, con fy = 280 MPa



Ancho b 30 cm



ρ 0,0105 ρ 0,0105

dt/h 0,8109 dt/h 0,7833


-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

0 20 40 60 80 100 120


Fuer

za a

xial

redu

cido

(kN

)

ACI 318-05ACI 318-99

Figura A-14. Comparación del método de ACI 318-99 con el de ACI 318-05, fy = 280 MPa, sección circular


-500

0

500

1000

1500

2000

0 10 20 30 40 50 60 70 80


Fuer

za a

xial

redu

cido

(kN

)

ACI 318-05ACI 318-99

Figura A-15. Comparación del método de ACI 318-99 con el de ACI 318-05, fy = 280 MPa, sección rectangular



Variando ρ pero manteniendo los demás constante Tabla A-6. Propiedades de la sección transversal, con ρ = 0,0201



Ancho b 30 cm



ρ 0,0201 ρ 0,0209

dt/h 0,8109 dt/h 0,7833


-1000

-500

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2500

3000

0 20 40 60 80 100 120 140 160


Fuer

za a

xial

redu

cido

(kN

)

ACI 318-05ACI 318-99

Figura A-16. Comparación del método de ACI 318-99 con el de ACI 318-05, ρ = 0,0201, sección circular


-1000

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2000

2500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Fuer

za a

xial

redu

cido

(kN

)

ACI 318-05ACI 318-99

Figura A-17. Comparación del método de ACI 318-99 con el de ACI 318-05, ρ = 0,0201, sección rectangular



Tabla A-7. Propiedades de la sección transversal, con ρ = 0,0413



Ancho b 30 cm



ρ 0,0413 ρ 0,0407

dt/h 0,8109 dt/h 0,7833


-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 50 100 150 200 250


Fuer

za a

xial

redu

cido

(kN

)

ACI 318-05ACI 318-99



-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 20 40 60 80 100 120 140


Fuer

za a

xial

redu

cido

(kN

)

ACI 318-05ACI 318-99




Tabla A-8. Propiedades de la sección transversal, con ρ = 0,0601



Ancho b 30 cm



ρ 0,0601 ρ 0,0602

dt/h 0,8109 dt/h 0,7833


-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 50 100 150 200 250 300


Fuer

za a

xial

redu

cido

(kN

)

ACI 318-05ACI 318-99



-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 50 100 150 200 250 300


Fuer

za a

xial

redu

cido

(kN

)

ACI 318-05ACI 318-99




Subtítulo secundario

Escriba el texto inmediatamente bajo el subtítulo secundario. Cuadro No. 1. Título del Cuadro.

Encabezado Encabezado

Datos Datos

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