Factorización

Capítulo 8

8. Factorización

8.1 Factorización LU

8.2 Factorización LDU

8.3 Factorización QR

Factorización LU

Sea A una matriz de m % n, A se puede factorizar en la forma LU

A = LU

Donde L es matriz triangular inferior de m % m y

U es una matriz escalonada de m % n. Si esta factorización existe, se llama factorización LU o descomposición LU

Ejemplo

Determinar la factorización LU de la matriz A

2 3 1 4 1

6 6 5 11 4

4 18 6 14 1

2 9 3 4 9

A

− − − − −

=

−

− − −

2 3 1 4 1

0 3 2 1 1

0 0 0 2 1

0 0 0 0 3

U

−

− =

3

2

1

4

2 5

1 0 0 0

1 0 0

1 0

1

L

=

−

−

−

Ejemplo

Usar la factorización LU para resolver el sistema A x = b si:

4 2 1 11

20 7 12 ; 70

8 13 17 17

bA

−

= − = −

4 2 1 1 0 0 4 2 1

20 7 12 5 1 0 0 3 7

8 13 17 2 3 1 0 0 2

A LU

− −

= − = = − − −

1

2

3

1 0 0 1 1

5 1 0 7 0

2 3 1 1 7

(1 1,1 5 , 6 )

A L U b

L b

x x

y

y

y

y

y

= =

=

= −

= −

1

2

3

(1,

4 2 1 11

0 3 7 15

0 0 6

2, 3)

2

Ux y

x

x

x

x

=

−

= − −

= −

Factorización LDU

La factorización A = LDU se refiere a la situación en la que L es una matriz triangular inferior (como en LU), Des una matriz diagonal y U es una matriz triangular con unos en la diagonal. Basta sacar como factores los elemen-tos diagonales de U de la factorización LU para obtener las matrices D y U.

Ejemplo

1 0 0 1 3 2

2 1 0 ; 0 1 2

3 7 1 0

1 3 2

0 27

2 5 6 ;

3 2 7

= = − − −

= − −

L UA

Hallar la factorización LDU de la matriz A

Para factorización LDU:

1 0 0 1 3 2

0 1 0 ; 0 1 2

0 0 27

1 3 2

0 1 2

0 0 27 0 0 1

= − = −

− ⇒

D U

Factorización QR

Si A es una matriz m % n con columnas linealmen-te independientes, entonces A puede factorizarse en la forma

A = QR

En la que Q es una matriz con columnas ortonor-males y R es una matriz triangular superior inver-tible.

R = QTA

Ejemplo

1 1 0

1 1 0

1 1 1

1 1 1

− =

A

Encontrar la factorización QR de A

1 1

2 1

2 2 1

1 1

3 1 3 2

3 3 1 2

1 1 2 2

(1,1,1,1);

(1 2, 3 2,1 2,1 2);

( 2 3,0,1 3,1 3);

= =

⋅

= − = −

⋅

⋅ ⋅

= − − = −

⋅ ⋅

u v

v uu v u

u u

v u v uu v u u

u u u u

Ejemplo (continuación)

31 2

1 2 3

1 3 6

2 6 3

1 30

2 2

1 3 6

2 6 6

1 3 6

2 6 6

=

−

−

=

uu uQ

u u u

Q

2 1 1

30 3

3

60 0

6

T

= =

R Q A