Cap5 - Varios Gl

Profesor: Ing. Martín Casado Márquez Lima, 03/06/15

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA APLICADA

Curso: Vibraciones Mecánicas (MC 571) Periodo Académico 2015-I

CAPÍTULO 5: SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Modelo de dos grados de libertad (Resolución matricial) Sean x1(t) y x2(t) los desplazamientos lineales del sistema mostrado en la figura 1 (o angulares de ser el caso de un sistema vibratorio giratorio).

Figura 1. Fundamental sistema vibratorio de dos grados de libertad Las matrices asociadas al sistema son:

�� ; �� ; ��

Y si la vibración es forzada, la matriz asociada a las fuerzas es: �� . Así, la dinámica de este sistema de dos grados de libertad será de la forma: �� Siendo: M = Matriz de masa. C = Matriz de amortiguamiento. K = Matriz de rigidez. F = Matriz de excitación. Con el propósito de determinar las ecuaciones de movimiento de cada masa, trabajando con sus diagramas de cuerpo libre se tiene:

Figura 2. DCL de la masa m1


Ecuación de movimiento: ��

⇒ �� (1)

Figura 3. DCL de la masa m2 ��

⇒ �� (2)

En forma matricial, las ecuaciones (1) y (2) quedan expresadas del siguiente modo:

�� !! �� "�� # �� "��# � ��

APLICACIÓN: Vibración de una fresadora en un cimiento elástico

Fig. 3. Fresadora Fig. 4. Modelo vibratorio de los movimientos verticales de la fresadora.


Las ecuaciones diferenciales de movimiento del sistema, presentadas en forma matricial, son:

$�� 0 00 � 00 0 ��& '��( � $ �� 0�� 0 �� & '

��( �

$ �� 0�� 0 �� & '��( � '��00 (

Fig. 5. DCL’s de cada masa del sistema vibratorio.

APLICACIÓN: Motociclista en marcha

Fig. 6. Elementos de una marcha en motocicleta

Fig. 7. Motocicleta modelada como sistema vibratorio


CASO: El péndulo doble (en oscilaciones pequeñas)

Figura 8

Conforme a los diagramas de cuerpo libre de los péndulos A y B, tomando momentos en sus respectivos pivotes, se tiene: ∑�* � +*,�� ⇒ ��-�,��-� � �.�-�,� � -�,�-� ��/-,� � +*,�� (3)

Figura 9 Figura 10 ∑�0 � +0,� ⇒ ��.�-�, � -�,��-� � ��-�,�-� ��/-, � +0,� (4)

Ordenando se tiene: 123� � � 4�� 5�6�� 7683� � �56��3� � !

193� � � �56��3� � 4�� 5�6�� 7683� � !


Matricialmente:

�12 !! 19 :3� �3� �; � :�� 5�6�� 76 ��56��56�� 5�6�� 76; �3�3� � "!!#

Siendo:

� � �12 !! 19 ; � � :�� 5�6�� 76 ��56��56�� 5�6�� 76;

Con: M = Matriz de inercia. K = Matriz de rigidez torsional.

Coordenadas Generalizadas y Ecuaciones de Lagrange Se emplean según conveniencia. Son independientes entre sí.

Cinemática: �� <� � =� �� < � <�� =

Siendo: D = # de ecuaciones definidoras. E = # de ecuaciones de ligadura o

acoplamiento.

⇒ GL = D – E = K = 2

TRABAJO VIRTUAL >? � @?AAB. DEAAB � ?�E� � ?FEF � ?GEG � �H�� E� � F� EF � G�EGI (I)

Siendo x, y, z funciones de posición generalizadas, tales que: � � ��J�, J, J�; ……JN�< � ��J�, J, J�; ……JN�O � ��J�, J, J�; ……JN�

Así, las variaciones virtuales infinitesimales en función de la variación de q1, q2, q3,

……. qk, son:


PQ � ∑ RQRST PJU ; PV � ∑ RV

RST PJU ; PW � ∑ RWRST PJU

Ya que los qi son independientes, se puede evaluar el movimiento para el efecto de

la variación de una de ellas mientras se mantienen constantes las demás. Así entonces, qi ≠ ≠ ≠ ≠ 0; lo cual da:

δq2 = δq3 = …….. = δqk PQ � RQ

RSX PJ� ; PV � RVRSX PJ� ; PW � RW

RSX PJ� En (*): Y Q RQ

RSX � V RVRSX � W RW

RSXZPJ�[\\\\\\\\]\\\\\\\\^_`abacdfghBfi`ajkgglfgmnlaoapqgjkdrq`kialsSX

� �Y�� RQRSX � <� RVRSX � O� RWRSXZ PJ� (II)

Llamemos: t� � Q RQRSX � V RV

RSX � W RWRSX FUERZA GENERALIZADA

Siendo: Q1∂∂∂∂q1 el trabajo virtual efectuado por las fuerzas reales que se ejercen sobre

el sistema. Para simplificar el segundo miembro de (II), se aprecia que: u

uv Y�� RQRSXZ � �� RQRSX � �� uuv Y RQRSXZ ⇒ �� w�wx� � yy� Y�� w�wx�Z � �� yy� Y w�

wx�Z

Asimismo: �� uQuv � RQ

RSX J�� RQRSz J� � RQ

RS{ J�� Y las derivadas parciales respecto a cada término en J� dan: RQ�

RS�X � RQ/RvRSX/Rv ;

RQ�RS�z � RQ/Rv

RSz/Rv ; RQ�RS�{ � RQ/Rv

RS{/Rv Paso conocido como “eliminación de los puntos”. Así entonces:

�� }�}J� �~~� �� }��}J�� }��}J��

⇒ �� RQ�RS�X � RRS�X YQ�

z Z ∧ �� RQ�RSX � R

RSX YQ�z Z

⇒ �� RQRSX � uuv " R

RS�X YQ�z Z# � R

RSX YQ�z Z

Para las coordenadas y ∧ z existen expresiones equivalentes. Sustituyendo ahora en (II), se tiene, para el caso tridimensional:


t�}J� � � � ~~� �12 }}J�� <� � O�� 12 }}J� �� <� � O�� }J�

Como � � �� <� � O��, eliminando δq1, queda:

�� yy� � w�wx� �� w�wx�

Expresión análoga:

�� yy� �w�wx� �� w�wx�

Si las fuerzas actuantes sobre m son conservativas, entonces dará lugar a una función V (potencial), y la fuerza generalizada será de la forma:

t� � � }�}J� Así entonces podemos introducir la cantidad:

L = T – V = FUNCIÓN DE LAGRANGE Quedando: y

y� Y w�wx� �Z � w�wx� (III) i = 1, 2, 3,…., k, y:

w�wx� � � !

(II) es válida aún con fuerzas no conservativas. Finalmente, para sistemas, (III) se convierte en:

�tU�

U��~~� �}�U}J��

}�U}J��

U��

Como puede apreciarse, las ecuaciones de Lagrange proporcionan un método muy útil para obtener las ecuaciones diferenciales del movimiento expresadas según las coordenadas independientes del problema, sin más que derivar la energía cinética escrita en función de sistemas con múltiples grados de libertad. Tiene la ventaja de que no intervienen las fuerzas internas (o de ligadura), que no realizan trabajo y que suelen complicar la formulación de las ecuaciones de movimiento que se pueden obtener de la Segunda Ley de Newton. Además, el método de Lagrange constituye uno de los métodos superiores de la Mecánica más útiles, y han encontrado amplia aplicación en el análisis de sistemas eléctricos y electromecánicos.

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