Cap3 esp vectoriales

Capítulo 3 Espacios Vectoriales 1

Capítulo 3

Espacios vectoriales


3.1 Espacios vectoriales

El espacio vectorial Rn es un conjunto de elementos

llamados vectores en los que se definen dos operaciones, la adición y la multiplicación por un escalar. También tiene otras propiedades alge-braicas, la conmutatividad y la asociatividad

u + v = v + u

u + (v + w) = (u + v) + w

Se analizan éstas y otras propiedades para formular un conjunto de axiomas que definen un espacio vectorial.


Definición: Espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto de elementos llamados vectores en los que se definen dos operaciones, la adición y la multiplicación por un escalar y satisfacen las siguientes condiciones:

Sean u, v y w ∈∈∈∈ V y α y β escalares.

Axiomas de cerradura

� u + v ∈∈∈∈ V

� α u ∈∈∈∈ V


Axiomas de adición

� u + v = v + u

� u + (v + w) = (u + v) + w

� u + 0 = u

� u + (-u) = 0

� α (u + v) = α u + α v

� (α + β )u = α u + β u

� (α β )u = α (β u)

� 1u = u

Axiomas de multiplicación

por un escalar


Espacio vectorial de matrices

Considérese el conjunto de matrices de 2×2. Denotado por M22. Usando notación vectorial, sean

;a b e f

c d g h

= =

u v

Si se satisfacen todos los axiomas, se tiene un espacio vectorial.


3.2 Subespacios de Rn

Un subconjunto H no vacío de Rn se llama subespacio vectorial de Rn si se satisfacen las

siguientes propiedades.

1. Si u y v están en H, u + v está en H.

2. Si αααα es cualquier escalar y u está en H,entonces αααα u está en H


Ejemplos

1. {0} y Rn son subespacios de Rn.

También se les llama subespacios triviales de Rn.

2. H = {(x, y, 0), x, y ∈∈∈∈ R} es un subespacio de R3.

3. H = {(x, y, x + y), x, y ∈∈∈∈ R} es un subespacio de R3.

4. El conjunto H = {(x, x + 1), x ∈∈∈∈ R} no es subespacio de R2.


3.3 Combinación lineal de vectores

Definición:

Sean v1, v2, ...,vn vectores-n de un espacio vectorial V. Se dice que v, un vector en V, es una combinación lineal de los vectores v1, v2, ...,vn si existen escalares αααα1, αααα2, …, ααααn, tales que

αααα1 v1+ αααα2 v2+…+ ααααn vn= v


Ejemplo

El vector (5, 4, 2) es una combinación lineal de los vectores (1, 2, 0), (3, 1, 4) y (1, 0, 3) puesto que

(5, 4, 2) = (1, 2, 0) + 2(3, 1, 4) - 2(1, 0, 3)

El problema de determinar si un vector es combinación lineal de otros vectores se convierte en resolver sistemas lineales.


Ejemplos

1. Determinar si el vector (-1, 1, 5) es una combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (0, 1, 4) y (2, 3, 6)

2. Expresar el vector (4, 5, 5) como una combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (-1, 1, 4) y (3, 3, 2)

3. Demostrar que el vector (3, -4, -6) no es una combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (1, 4, 5) y (-1, -1, -2)


Dependencia e independencia lineal

Definición:

a) El conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} en un espacio vectorial V se dice que es linealmente dependiente si existen escalares αααα1, αααα2, …, ααααn, no todos cero, tales que

αααα1111v1111+ αααα2v2+ …+ ααααnvn = 0


Definición

b) El conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} es linealmente independiente si

αααα1111v1111+ αααα2v2+ …+ ααααnvn = 0

solo si αααα1, αααα2, …, ααααn= 0


Ejemplo:Vectores linealmente dependientes

1

2

3

1 2 8 0

2 1 6 0

3 1 10 0

α

α

α

−

=

El conjunto de vectores {(1, 2, 3), (-2, 1, 1), (8, 6, 10)}, es linealmente dependientes en R3.

αααα1(1, 2, 3) + αααα2(-2, 1, 1) + αααα3(8, 6, 10) = 0

1 101 03 3

0 1 2 0

0 0 0

1 2 8 0

2 1 6

1 0 4 0

0 1 2 0

0 0 0 00

0

3 1 10 0

−

−

−

∼ ∼

−−−−4444r (1, 2, 3) + 2r (-2, 1, 1) + r (8, 6, 10) = 0


Ejemplo:Vectores linealmente independientes

1

2

3

3 3 1 0

2 1 0 0

2 4 5 0

α

α

α

− − =

El conjunto de vectores {(3, -2, 2), (3, -1, 4), (1, 0, 5)}, es linealmente independiente en R3.

αααα1(3, -2, 2) + αααα2(3, -1, 4) + αααα3(1, 0, 5) = 0

1 0 0 0

0 1

3 3 1 0

2 1 0

11 1

0 0

03

130 1 0

6

0 0 1 00 0 1

0

2 4 5 0 0

− −

∼ ∼

αααα1 = αααα2 = αααα3 = 0


Ejemplo:

1 0 0 0

0 3 4 0

1 1 1 0

− −

Considerar las funciones f (x) = x2 + 1; g(x) = 3x - 1, h(x) = -4x + 1, del espacio vectorial P2 de polinomios de grado ≤ 2. Demostrar que el conjunto de funciones {f, g, h} es linealmente independiente.

αααα1 f + αααα2g + αααα3h = 0

αααα1 (x2 + 1) + αααα2 (3x – 1) + αααα3(-4x + 1) = 0

1 0 0 0

40 1 0

3

0 0 1

1 0 0 0

0 3 4 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 00

1 1 1 0

−

−

−

∼∼


3.4 Espacio generado por un conjunto de vectores

Definición:

Se dice que los vectores-n v1, v2, …, vn generan un espacio vectorial si todo vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de estos vectores. Se denota por Gen {v1, v2, …, vn}.

Un conjunto generador de vectores define, de alguna forma, el espacio vectorial puesto que cada vector del espacio se obtiene de este conjunto.


Ejemplo:

1

2

3

1 0 1

2 1 1

0 1 2

x

y

z

α

α

α

= −

Los vectores (1, 2, 0), (0, 1, -1) y (1, 1, 2) generan R3.

Solución: Sea v = (x, y, z) un elemento cualquiera de R3.

αααα1(1, 2, 0) + αααα2(0, 1, -1) + αααα3(1, 1, 2) = v

( )

1 0 0 3

0 1 0 4 2

0

1 0 1

2

1 112

0 1

2 2

0 1 2

0 0 1 (2 2)

1 1

0 1 2

y

x y z

x y z

x y z

z

x y

x

z

y

z

−

− −

− + + −

− −

− − −

− −

∼∼


Ejemplo:

¿Está el vector (2, 3) en Gen{(1, 2), (3, 5)}?

Solución: Esto es cierto si:

αααα1(1, 2) + αααα2(3, 5) = (2, 3)

1 0 11 3 2

2 5

1

0 13 1

3 2

0 1 1

−

∼ ∼


Ejemplo:

Demostrar que Gen {E11, E12, E21, E22} = M22

Solución: Sea A una matriz de 2××××2:

αααα1 E11 + αααα2 E12 + αααα3 E21 + αααα4 E22 = A

11 12

1 2 3 4

21 22

1 211 12

3 421 22

1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 1

a aA

a a

a a

a a

α α α α

α α

α α

= = + + +

=


Ejemplo

1 1 2 2α α+ =v v v

Sean: v1 = (1, 2), v2 = (3, 5), v3 = (2, 4). Determinar

1. Gen {v1, v2}

Solución: Sea v = (x, y) un elemento cualquiera del espacio generado. Entonces,

1 31 3 1 0 5 3

0 10 2 22 15

x

y

y

x

x

y

x

x y

− +

−

− ∼∼

Gen {v1, v2} = R2


(continuación)

2. Gen {v1, v3}

Solución: Sea v = (x, y) un elemento cualquiera del espacio generado. Entonces,

1 1 2 3α α+ =v v v

1 2 1 2

2 4 0 0 2

x x

y x y

− + ∼

{ } { }1 3 1Gen , ,r r= ∈v v v R

( , 2 ) (1,2) (1,2)x x x r= = =v


Las siguientes afirmaciones son ciertas:

1. {e1, e2, e3, … en} genera a Rn

2. {1, x, x2, … xn} genera Pn3. {E11, E12, E13, … Emn } genera Mmn

4. {E11, E22, E33, … Enn } genera Dnn


3.5 Bases y dimensión

Definición:

Un conjunto no vacío B de un espacio vectorial V

distinto de cero es una base de V si:

1. B es linealmente independiente

2. B genera a V

Conocer la base de un espacio vectorial es útil para comprender el espacio y sus propiedades.


Las siguientes afirmaciones son ciertas:

1. {e1, e2, e3, … en} base estándar de Rn

2. {1, x, x2, … xn} base estándar de Pn3. {E11, E12, E13, … Emn } base estándar de Mmn

Teorema 7.Todo espacio vectorial tiene al menos una base


Ejemplo

Demostrar que el conjunto {(1, 0, -1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)}es una base para R3.

Solución:

1. Este conjunto de vectores es LI si

αααα1(1, 0, -1) + αααα2(1, 1, 1) + αααα3(1, 2, 4) = 0

αααα1= αααα2 = αααα3 = 0

1 1 1 0

0 1 5 2 0

0 0 1

11 1 1 0

0 1 2 0

0 0 0

0 1 0 0

0 0 11 1 4 0 00

−

∼∼


Sea v = (x, y, z) un elemento cualquiera de R3.

2. Este conjunto de vectores genera a R3 si

αααα1(1, 0, -1) + αααα2(1, 1, 1) + αααα3(1, 2, 4) = v

αααα1= 2x - 3y + z; αααα2= -2x + 5y - 2z; αααα3= x - 2y + z

( )

1 1 1

0 1

1 0 0 2 3

0 1

1 1 1

0 0 2 5 2

0 0 1 2

5 2 2

0 0 1 2

1 2

1 1 4

x

x

x y z

x y z

x

y

x y z xz y z

y

+

− +

− + − −−

− + +

∼∼


Dimensión

Definición:

Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de nvectores, entonces la dimensión de V es n, que se denota por dim(V).


Ejemplo

Considere el conjunto de vectores {(1, 2, 3), (-2, 4, 1)} en R3. Estos vectores generan el subespacio V que consta

de todos los vectores de la forma

αααα1(1, 2, 3) + αααα2(-2, 4, 1) = v

Además, el segundo vector no es múltiplo del primer vector, por lo tanto, son LI. Por consiguiente, los vectores forman una base para V. Así, dim (V) = 2.


3.6 Rango de una matriz

Definición:

Sea A una matriz de m×n. Los renglones de A se

pueden considerar como vectores renglón r1, r2, …, rm,

y las columnas como vectores columnas c1, c2, …, cn. Los vectores renglón generan un subespacio de Rn

llamado espacio renglón de A, y los vectores columna generan un subespacio de Rm llamado espacio columna

de A.


Ejemplo

Considerar la matriz:

1 2 1 2

3 4 1 6

5 4 1 0

−

=

A

Los vectores renglón de A son

r1 = (1, 2, -1, 2), r2 = (3, 4, 1, 6), r3 = (5, 4, 1, 0)

Estos vectores generan un subespacio de R4 llamado

espacio renglón de A.


Los vectores columna de A son:

Estos vectores generan un subespacio de R3 llamado

espacio columna de A.

1 2 3 4

1 2 1 2

3 , 4 , 1 , 6

5 4 1 0

−

= = = =

c c c c


Rango de una matriz

Definición:

La dimensión del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A, recibe el nombre de rango de A. El rango de A se denota como rango(A).

Teorema 8

El espacio renglón y el espacio columna de una matriz tienen la misma dimensión.


Ejemplo

Determinar el rango de la matriz

1 2 3

0 1 2

2 5 8

=

A

Se tiene

(2, 5, 8) = 2(1, 2, 3) + (0, 1, 2)

Así, (1, 2, 3) y (0, 1, 2) forman una base para el espacio renglón de A, el rango(A) = 2


Teorema 9

Los vectores renglón diferentes de cero de una matriz A de forma escalón reducida constituyen una base para el espacio renglón de A. El rango de A es el número de vectores renglón diferentes de cero.

Ejemplo:

Determinar el rango de la matriz

rango(A) = 3

1 2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

=

A


Ejemplo

Encontrar una base para el espacio renglón de la siguiente matriz A y determine su rango.

1 2 3

2 5 4

1 1 5

=

A

1 0 7

0

1 2 3

2 5 4

1

1 5 2 2

0 1 2

0 0 0 01 5

1 2

0 0

−

−

∼ ∼

B = {(1, 0, 7 ), (0, 1, -2)}

rango(A) = 2


Base para el espacio columna

1 1 0 1 2 1

2 3 2 ; 1 3 4

1 4 6 0 2 6

T

−

= − = − − − −

A A

1 0 5

0 1 3

0 0

1 2

1 3 4

6 0

1

0 2

−

−

−

−

∼

Encontrar una base para el espacio columna de la siguiente matriz A.

1 0

0 , 1

5 3

= −

B


Generalización:

El procedimiento anterior puede generalizarse para encontrar la base de un subespacio V generado por un conjunto de vectores. Los vectores se expresan como vectores renglón de una matriz y se reduce la matriz a la forma reducida escalón. Los vectores renglón diferentes de cero de la matriz reducida escalón proporcionan una base para V.


Ejemplo:

1 2 3 4

1 1 4 2

3 4 11 8

= − − − −

A

Determinar una base para el subespacio V de R4

generado por los vectores

(1, 2, 3, 4), (-1,-1,-4,-2), (3, 4, 11, 8)

Solución, A es la matriz cuyos renglones son los vectores anteriores.

1 2 3 4

1 1 4 2

3

1 0 5 0

0 1 1

4 1 01 8

2

0 0 0

− − − −

−

∼

B = {(1, 0, 5, 0 ), (0, 1, -1, 2)}

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