1

Ejemplos #1 Resultante de fuerzas actuando sobre un cuerpo Resultante: 1 2 3R F F F F= = + +∑

r r r r r

Descomposición en componentes

xF yF

1F 200Ncos30 173N=o 200Nsin30 100N=o

2F 300Ncos135 212N= −o 300Nsin135 212N=o

1F 155Ncos233 93N= −o 155Nsin233 124N= −o

x xR F= ∑ y yR F= ∑ R 173N 212N 93N 132N− − = − 100N 212N 124N 188N+ − =

Magnitud: 2 2( 132N) (188N) 230NR = − + =

Aplicación de la resultante con un ángulo arctan arctan( 1.42)y

x

R

Rθ = = −

⇒ Dos posibles soluciones 55θ = − o o 55 180 125θ = − + =o o o Pero como la resultante está en el cuadrante ( ),− + , la correcta solución es 125θ = o

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#2 dos coches andando a velocidades constantes Dos coches:

• Porsche 911 Carrera que va a velocidad constante de 150 km/h • VW sedán que va también a velocidad constante pero de 75 km/h

¿Sobre cuál coche es mayor la fuerza neta?

Como v = constante è 0dvdt

= , en los dos casos no hay fuerza neta 0F =∑r

Varias fuerzas actúan sobre un coche – más importantes

1. Fricción debida al aire (arrastre) 2. Fricción de las ruedas sobre el camino (fricción rodante) 3. Fuerza del motor

Las dos primeras se oponen al movimiento La segunda ley da: 0 motor friccion arrastreF F F F= = − −∑

r

Por lo tanto, para mantener el coche moviéndose a velocidad constante, el motor debe aplicar una fuerza constante è si el motor se detiene, el coche se detendrá rápidamente Del otro lado, para alcanzar una velocidad constante el coche debe acelerar

0car carF m a= ≠∑ y esto es hecho por la fuerza del motor El Porsche tiene un motor más poderoso que el VW y consecuentemente puede alcanzar su velocidad más rápidamente y mantener su alta velocidad por mayor tiempo El Porsche es también más aerodinámico è implica que las fuerzas de arrastre y fricción rodante son menos è usado en las misma condiciones, el Porsche por lo tanto es más eficiente que el VW Pero coches potentes no son usados en las mismas condiciones y por lo tanto, el VW (en bueno estado) puede ser más económico

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#3 Movimiento de caja sin fricción

Fuerza constante con magnitud de 20N aplicada horizontalmente sobre una masa de 40kg sin fricción Fuerzas sobre la caja:

• En dirección-y, el peso w mg=r r y la fuerza normal debida a la superficie gwη =r r

• En dirección-x la fuerza de la mano Fr

Calculo de las resultantes:

• En dirección-y, 0 0y y yF w ma aη= + = = ⇒ =∑ , no hay resultante

• En dirección-x 2

2

20kg m s m0.50

40kg sx x xF ma a⋅

= ⇒ = =∑

4

#4 Movimiento con fricción

Una mesera lanza una botella con masa de 0.45kg sobre la barra La botella tiene una velocidad inicial de 2.8m/s Al deslizarse, desacelera, debido a la fricción (con dirección opuesta a la velocidad) La botella se desplaza una distancia de 1.0m antes de detenerse ¿Cuál es la fuerza de fricción? La única fuerza con resultante diferente de cero es la fricción f

r en dirección horizontal –

esta fuerza produce que la botella se para Para aplicar la segunda ley de Newton se necesita la aceleración: x xF f ma= =∑

Usando la fórmula de cinemática ( )2 20 02 xv v a x x= + − , tenemos que

( )2 2

0

02x

v va

x x−

=−

Si 0 0x = 0 1 mx x⇒ − = y 0v =( )2

2

2.8m s m3.9

2 1m sxa−

⇒ = = −×

Aplicando la segunda ley x xF f ma= =∑

La fuerza de fricción es 2

m3.9 0.45kg 1.8N

sf = − ⋅ = − , la cual es negativa, opuesta al

movimiento

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¡En general resolver problemas usando ley de Newton – no es obvio! Se necesita identificar las fuerzas aplicadas Ejemplos:

Un cuerpo sumergido en agua experimenta una fuerza hacia arriba B

rdebido a la

flotabilidad, la cual compensa el peso Los brazos del nadador desplazan agua (acción) y el agua desplaza al nadador (reacción), la cual lo hace moverse

Un corredor gana aceleración hacia adelante al comienzo de una carrera al patear fuertemente contra el bloque angulado de salida (acción) El bloque de salida empuja con una fuerza η

r, normal al bloque, sobre el corredor

(reacción) – mientras mayor sea la componente xη mayor será la aceleración

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Un jugador de basquetbol empuja sobre el piso (acción) y el piso empuja sobre el jugador (reacción)

Una vez en el aire la única fuerza actuando en él es su propio peso (la aceleración es hacia abajo)

Una vez que se ha identificados las fuerzas en acción, se debe construir el diagrama de cuerpo libre: Diagrama de cuerpo libre

Tiene dos tipos de problemas a resolver:

1) Equilibrio 0F⇒ =∑r

2) Dinámico F ma⇒ =∑r r

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#5 Tensión en una cadena Reflector de 200kg suspendido por una cadena de masa despreciable en equilibrio 0F =∑

r

Descomposición de fuerzas en el marco de referencia:

0yF T w T mg T mg= + = + = ⇒ = −∑

El peso 2

m200kg 9.8 1960N

smg = ⋅ = ,

por lo tanto la tensión vale ( 1960N) 1960NT = − − =

Supongamos que la masa de la cadena es de 10.0kg

el peso es 2

m10.0kg 9.8 98N

sc cw m g= = ⋅ =

3 fuerzas actúan en la cadena: su peso, y las dos tensiones en sus extremos. Como la cadena está en equilibrio:

( )1 2 1 20 ( ) 0y c cF T T w T T w= = + − + − = ⇒ = +∑ Donde 2T es el peso del reflector

1 2058NR cT w w⇒ = + = Alternativamente podemos dibujar un diagrama donde 1 totalT w=

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# 6 Gimnasta en equilibrio La tensión sobre la cuerda actúa en contra del efecto de la gravedad

0 ( ) 500Ny RG G RG GF T w T w= = + − ⇒ = =∑ Para determinar la fuerza ejercida por la cuerda sobre el techo, consideremos la tensión en la cuerda

( ) ( ) ( ) ( )0 600Ny CR R GR CR R RG CR R GF T w T T w T T w w= = + − + = + − + − ⇒ = + =∑ Segundo la tercera ley, la fuerza ejercida por la cuerda sobre el techo:

600NCRF T= − = −

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#7 Redistribución de las tensiones con un anillo

Podemos despreciar el peso de las cadenas, porque el motor tiene un peso mayor Como tenemos equilibrio estático 0xF =∑ y 0yF =∑ Analizando el eje y (b) vemos que ( )1 1yF T w T w= + − ⇒ =∑ Pero 1T es la componente y de la tensión 3T la cual hace un ángulo de 60o con el eje x

En equilibrio tenemos entonces 3 3sin60 0 1.155sin60y

wF T w T w= − = ⇒ = =∑ o

o

Mientras que en el eje x tenemos 3 20 cos60xF T T= = +∑ o

2 cos60 cot60 0.577sin60

wT w w ⇒ = − = − = −

o o

o

¿Cual seré la ventaja de suspender el motor así? Ninguna, porque aumenta la tensión 3T w> Pero diferente si se usa 2T para subir el motor, a este momento se gana porque 2T w< Herramientas más eficiente = poleas – dividen tensión de manera significativa

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#8 plano inclinado Un plano inclinado permite disminuir la fuerza necesaria para subir una masa sobre una distancia corta en el eje y En el eje y

0 cos cosyF w wη α η α= = − ⇒ =∑ En equilibrio, la tensión en la cadena es

0 sin sinxF T w T wα α= = − ⇒ =∑ El hecho que T w< , permite subir el objeto más sencillamente Pero en contraparte, va necesitar un más grande desplazamiento en x para subir lo de una distancia y

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#10 Plano inclinado con polea

Aquí la polea permite cambiar la dirección de la componente de la fuerza en un eje vertical – poniendo una masa igual è elimina la fuerza y cualquier fuerza extra hace subir la masa fácilmente Aplicando equilibrio sobre la masa con peso 2:

2 20yF T w T w= = − ⇒ =∑ El diagrama de la fuerza sobre la masa con peso 1:

1 1sin15 sin15xF T w T w= − ⇒ =∑ o o En equilibrio, debemos tener 2 1 1sin15 0.26w w w= =o Así que con 2w el 26% de 1w , el sistema se puede moverse a velocidad constante en cualquier dirección con cualquiera fuerza F w=

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#11 ejemplo dinámico

Con fricción

Un bote para hielo è la fricción es mínima porque la presión sobre las lamas producen una capa de agua que reduce mucho la fricción

¿qué fuerza necesitamos aplicar para darle una velocidad de m

6.0s

al final de 4.0s ?

Si empezamos desde el reposo 02

m6.0 ms 1.54.0s sx

v va

t−

= = =

La segunda ley en el eje x : x xF F ma= =∑ donde la masa es la del bote y el conductor

– si suponemos 200kg 2

m200kg 1.5 300N

sF⇒ = ⋅ =

¿De dónde viene la fuerza? La acción es el aire (viento) empujando la vela – la reacción es el empuje de la vela del bote sobre el aire Supongamos fricción del orden de 100Nf =

( ) 300N 100N 400Nx x xF F f ma F ma f= + − = ⇒ = + = + =∑ Con fricción, una fuerza mayor es necesaria para hacer que el bote se mueva

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#12 Trineo de nieve El principio es el mismo que para los patines de hielo, la presión por el peso va hacer derretir la nieve produciendo una capa de agua que disminuye la fricción Las únicas fuerzas actuando sobre el trineo son el peso + la fuerza normal a la colina La aceleración es sobre la pendiente sin sin sinx x xF w mg ma a gα α α= = = ⇒ =∑ ¡Lo que no depende de la masa! Cualquier trineo sin importar su masa y sus pasajeros se deslizará con la misma aceleración No es cierto por completo ya que hemos despreciado la fricción, la cual, que veremos después, depende de coswη α= Para disminuir la fricción, ponemos cera sobre los skies del trineo Pero con el tiempo la cera se consume y la fricción se incrementa

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Tomando en cuenta la fricción

Si la pendiente tiene el ángulo exacto para hacer que el trineo se deslice con velocidad constante, ¿cuál es la relación entre el peso w y kµ ? Tenemos dos ecuaciones: En el eje y: cos 0 cosyF w wη α η α= − = ⇒ =∑

En el eje x: sin

sin 0 tanx k kw

F wα

α µ η µ αη

= − = ⇒ = =∑

Una vez más, el peso no aparece en la solución – mientras más inclinada sea la pendiente, mayor será la fricción necesaria para viajar a velocidad constante (de otra forma el trineo se acelerará) ¿Qué pasa si la pendiente es más inclinada?

sinx k xF w maα µ η= − =∑ Pero cosmgη α= ( )sin cos sin cosk x x kmg mg ma a gα µ α α µ α⇒ − = ⇒ = − Casos especiales:

• 90 xa gα = ⇒ =o

• 0 sink xa gµ α= ⇒ = , mismo caso que aquel sin fricción • 0 tanx ka µ α= ⇒ = , como al inicio del ejemplo • cos sin 0k xaµ α α> ⇒ < , el trineo eventualmente se detendrá debido a la mayor

fricción

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#13 dos maneras de resolver mismo problema

Un brazo robotizado hace mover un coche de 4.0kg sobre un riel horizontal sin fricción con una cuerda de 0.50kg, aplicando una fuerza de 9.0N a la cuerda ¿Cuál es la aceleración y tensión sobre la cuerda? Supongamos que el brazo trabaja en el espacio è la cuerda no colgó debido a la gravedad Tenemos dos maneras de resolver el problema: Método 1: Escribimos la segunda ley de Newton para el coche y la cuerda separadamente: Para el coche

x cF T m a= =∑ Para la cuerda,

( )x RF F T m a= + − =∑

Si las sumamos, ( ) ( )c R c RT F T m a m a F m m a+ + − = + ⇒ = +

è 2

9.0N m2.0

4.0kg 0.50kg sc R

Fa

m m= = =

+ +, y sustituyendo en la ecuación del coche

è 2

m4.0kg 2.0 8.0N

scT m a= = ⋅ =

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Método 2:

Consideramos el coche y la cuerda como un solo sistema con masa

( ) 4.5kgc Rm m m= + = La única fuerza en el sistema la aplica el brazo :

2

9.0N m2.0

4.5kg sx c Rc R

FF F m a a

m++

= = ⇒ = = =∑

Para obtener tal aceleración, el coche requiere una fuerza 2

m4.0kg 2.0 8.0N

scT m a= = ⋅ =

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#14 Banco cinemática

Un deslizador con masa 1m conectado a una masa 2m mediante un cordón no elástico que corre a través de una polea sin fricción ¿Cuál es la aceleración de las dos masas? Para la masa 1m :

1 1x xF T m a= =∑ y 1 1 1 0y yF m g m aη= − = =∑

Para la masa 2m :

2 2 2y yF T m g m a= − + =∑ Debido a que el cordón es inelástico, las masas recorren la misma distancia en el mismo intervalo de tiempo y sus cambios en velocidades son iguales 1 2x ya a a⇒ = = Tenemos dos ecuaciones para las dos masas, 1T m a= y 2 2T m g m a− + =

Sumando las dos ecuaciones eliminamos la tensión: ( ) 22 1 2

1 2

mm g m m a a g

m m= + ⇒ =

+

La aceleración es menor que g

Sustituyendo en la primera ecuación: 1 2

1 2

m mT g

m m=

+

la tensión no es igual al peso 2m g sino que menor por un factor 1

1 2

mm m+

Casos especiales: • 1 0m = ⇒ caída libre para la masa 2m , 0T = y a g= • 2 0m = , el deslizador no se mueve, 0T = y 0a =