Orígenes de la radiodifusión en México, desarrollo capitalista y el Estado.pdf
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2.5 SOLUCION DE LA ECUACIN DE ESTADO
Implica determinar el vector de estado x(t) y el vector de salida
y(t) de un sistema, para t
t0, dadas sus condiciones inicialesx(t0) y sus entradas u(t) y w(t).
u(t)
w(t)
y(t)
x(t)
x(t0)
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2.5 SOLUCION DE LA ECUACIN DE ESTADO
)()()()(
tttdt
tdEwBuAx
x++=
)()()()( tttt HwDuCxy ++= (2)
(1)
Dado el modelo de estado de un SLI-t,
x(t) puede ser hallado aplicando el principio de lasuperposicin, sumando:
la respuesta a las c.i. x(t0) y
las respuestas a las entradas u(t) y w(t),
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obtencin de las respuestas aplicando el principio de la superposicin:
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SOLUCION DE LA ECUACIN DE ESTADO (cont.)
Adicionalmente, la salida y(t) puede ser obtenida de x(t) y
u(t) mediante manipulaciones matriciales.
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2.5.1 RESPUESTA A LAS CONDICIONES INICIALES
Solucin de la Ecuacin de Estado Homognea
En este caso, u(t) = 0 y w(t) = 0,
)()(
tdt
tdAx
x=
)()(
t
dt
tdA= (4)b)
a)
(0) = I
Para solucionar la ecuacin (3), se define la matriz de
transicin (t) como una matriz nxn que satisface las
siguientes dos condiciones:
(3)
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RESPUESTA A LAS C.I. (cont.)
Adems, dada x(0) que denota el estado inicial en t=0, la
solucin de la ec. (3) puede ser escrita como:
La matriz de transicin (t) transfiere el estado inicial x(0) alestado x(t), como se ve en la ecuacin (5).
la cual es la solucin de la ecuacin de estado homognea
para t
0.
(5)x(t) = (t) . x(0)
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RESPUESTA A LAS C.I. (cont.)
Las siguientes propiedades son deducidas de la definicin de
la matriz de transicin:
t0
t1
t t
x t( )0
x t( )1
( )01, tt ( )1, tt
)(tx( )0, tt
(c) (t, t0) = (t, t1) ( t1, t0) para todo t1
t0, t
t1(d) (t, t0) =
-1( t0, t)
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MTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Tomando la T. de Laplace de la ec. (5) obtenemos:
( ) )0()( 11 xAI = stx L
])s[()(11
= AILt
de donde (comparando con (5)), la matriz de transicin deestado se identifica como:
(7)t
0
(sI-A) - es no singular
Tomando T. de L-1
X(s) = (sI-A)-1 x(0)de donde
(6)sX(s) - x(0) = AX(s)
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MTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
As, la matriz de transicin de estado depende solamente de la
matriz A, por lo que en ocasiones se conoce como la matriz
de transicin de estado de A.
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2.5.2 RESPUESTA A LAS ENTRADASTomando la T. de Laplace de la ec. (1) con c.i =cero, se tiene:
(s)(s)s)()s( EWBUXAI +=
(s)](s))[s(s)( EWBUX +=
+=t
d0
)]()()[-t(t)( EwBux
donde es una variable ficticia.
0
Dado que el producto de dos funciones en el dominio de
Laplace es igual a su convolucin en el dominio del tiempo,
se tiene tomando la T-1 de Laplace.
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2.5.3 RESPUESTA TOTALSe obtiene sumando las respuestas anteriores
( )[ ]x x Bu Ew( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t d t
= + + 0 0
( )[ ]x x Bu Ew( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t d t
t
= + + 0 0 00
(9)
Si se trabaja con un tiempo inicial diferente de cero: t=t0, el
estado inicial correspondiente ser x(t0). La entrada u(t) y la
perturbacin w(t) se aplican en t=t0:
esta solucin es til solamente cuando el tiempo inicial se
define en t=0.
(8)t0
tt0
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VECTOR DE SALIDA
El vector de salida se halla reemplazando la solucin (9) en
la ecuacin de salida.
( ) ( ) ( )[ ]y C x C Bu Ew Du Hw( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t d t t t
t
= + + + + 0 00
t t0
