INTRODUCCIÓN AL

MODELAMIENTO

Modelamiento y Simulación

Enrique Bances

Contenido

Conceptos Generales

Importancia del Modelamiento y la Simulación

Clasificación de Sistemas Dinámicos

Representación Modelo Espacio Estado

Señales en el Dominio del Tiempo y la Frecuencia

Introducción Teoría de Grafos

Conceptos Generales

Sistemas Dinámicos

Combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumplen un objetivo

determinado

Su estado va cambiando a través del tiempo

Cuyos Parámetros Internos (Variables de Estado) siguen una serie de reglas

temporales.

El Sistemas Físico por que está descrito por un conjunto de Ecuaciones

Conceptos Generales

Modelo Físico y Matemático

Sistema Real

Sistema Hidráulico

Modelo Físico Modelo Matemático

Por que Es Importante modelar y Simular un

Sistema Dinámico?

Porque salvo la experimentación con el sistema real, la simulación es la única

técnica disponible para el análisis de sistemas con conductas arbitrarias, siendo

aplicable donde las técnicas analíticas no aportan soluciones (situación normal).

Por que Es Importante modelar y Simular un

Sistema Dinámico?

Nos permite Responder las Preguntas : ¿qué pasa si? / ¿qué debo hacer

para?

• Profundizar en el conocimiento sobre los mecanismos internos de un

proceso.

• Prever el comportamiento del sistema bajo diferentes situaciones.

• Evaluar las prestaciones de diferentes tipos de controladores.

• Estimar variables de proceso que no son medibles directamente.

• Evaluar la sensibilidad de un sistema a cambios en sus parámetros.

• Organizar la producción de un sistema.

• Experimentar bajo condiciones de operación que podrían ser peligrosas

o de elevado coste económico en el sistema real.

Por que Es Útil?

En ocasiones el sistema físico no está disponible. La simulación se realiza para determinar si se debe construir un sistema proyectado.

El "experimento real" puede ser peligroso.

El coste de la experimentación es demasiado alto.

Las constantes de tiempo del sistema no son compatibles con las del experimentador. La simulación nos permite acelerar o retardar los experimentos según nos convenga.

Nos permite acceder a todas las variables del modelo y a manipular el modelo fuera del rango permitido sin peligro.

Supresión de las perturbaciones, permitiendo aislar los efectos particulares y tener una mejor comprensión del sistema.

Ejemplos

Clasificación de los Sistemas

Continuo

Se Expresan con

Ecuaciones

Diferenciales:

Ordinarias (ODE´s),

Parciales (PDE´s) o con

Retraso (DDE´s)

Discreto

Se describen por

medio de ecuaciones

de diferencias (DE´s)

conocidos como mapas

iterados.

Clasificación de los Sistemas

Invariantes en el Tiempo

Aquel que no depende de cuando

ocurre: la forma de la salida no

cambia con el retraso de la

entrada

Variantes en el Tiempo

Cuando esta propiedad no aplica

para un sistema, entonces decimos

que el sistema es variante en el

tiempo o que varía en el tiempo

Esto significa que los parámetros del

sistema no van cambiando a través del

tiempo y que por lo tanto, una misma

entrada nos dará el mismo resultado en

cualquier momento (ya sea ahora o

después)

Clasificación de los Sistemas

Lineal

Obedece las propiedades de escalado (homogeneidad) y de superposición (aditiva)

Conjunto de Propiedades que facilitan su estudio y Análisis

No Lineal

Análisis mas complejo (No

se Puede Simplificar el

Problema a instancias mas

sencillas)

Representación Espacio Estado

Estado. Es el conjunto más pequeño de variables (denominadas

variables de estado) tales que el conocimiento de esas variables en 𝒕 = 𝒕𝟎

conjuntamente con el conocimiento de la entrada para 𝒕 > 𝒕𝟎 ,

determinan completamente el comportamiento del sistema en

cualquier tiempo 𝒕 > 𝒕𝟎.

Representación Espacio Estado

Con la representación en espacio de estado tenemos la capacidad de

conocer y controlar en cierta medida la dinámica interna de un

sistema y su respuesta

Nota:

𝑢1(𝑡)

𝑢𝑟(𝑡)

.

.

.

𝑦1(𝑡)

𝑦𝑚(𝑡)

.

.

. {𝑥1,𝑥2,…… 𝑥𝑛}

Sistema Descrito por

Variables de Estado

Representación Espacio Estado

Una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un

sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de

estado relacionadas por Ecuaciones Diferenciales de primer orden que se

combinan en una ecuación diferencial Matricial de primer orden

𝑥1 = 𝑓1 𝑥, 𝑢, 𝑡

𝑥2 = 𝑓2(𝑥, 𝑢, 𝑡)

𝑥𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥, 𝑢, 𝑡)

.

.

.

.

𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡)

Sistemas Lineales Invariantes en el

Tiempo (LTI)

Ecuaciones de Estado

Ecuaciones de Salida

Ejemplos : Circuito Eléctrico

𝑣𝑐 = 𝑦(𝑡) 𝑖(𝑡) 𝑢(𝑡)

𝑢 𝑡 = 𝑅. 𝑖 𝑡 + 𝐿.𝑑𝑖

𝑑𝑡+1

𝐶. 𝑖 𝑡 . 𝑑𝑡

u t = 𝑅. 𝑥1 + 𝐿. 𝑥 1 + 𝑥2 𝑥 2 =1

𝐶. 𝑥1

𝑦 = 0 1 . 𝑋

𝑥 =𝑅 𝐿 1 𝐿

1 𝐶 0. 𝑋 +

1 𝐿 0

. 𝑈 ≈

Ejemplo: Masa-Resorte-Amortiguador

𝐹 = 𝑚𝑎

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥 = 𝑋1

𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑣 = 𝑋2

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒: 𝐾

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑏

𝐹 − 𝑘𝑥 − 𝑣𝑏 = 𝑚. 𝑣

𝐹 − 𝑘𝑋1 − 𝑏𝑋2 = 𝑚.𝑋 2

𝑋 1 = 𝑋2 𝑦 = 𝑋1

𝑋 1𝑋 2

=0 1

−𝑘

𝑚−𝑏

𝑚

. [𝑋1𝑋2] +

01

𝑚

𝐹

𝐼𝑛𝑝𝑢𝑡: 𝐹

𝑂𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡: 𝑣

𝑦 = 0 1 [𝑋1𝑋2]

Análisis de Sistema Dinámicos

Señales de un Sistema

Análisis de Sistema Dinámicos

Estabilidad

Análisis de Sistema Dinámicos

Conocido el Modelo Matemático del sistema se realiza el análisis de

su comportamiento dinámico Sistema

𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡)

U(𝑠) Y(𝑠)

Se utiliza señales de excitación sencilla y con Transformada de Laplace

El Análisis se puede hacer en el dominio del tiempo o de la frecuencia

Análisis Temporal

Análisis Frecuencia

Introducción Teoría de Grafos

Vértices o Nodos

Aristas

𝐺 = (𝑉, 𝐴)

V: Conjunto de Vértices

A : Conjunto de Aristas

V = {1,2,3,4,5,6}

A = [ 1,4 , 2,4 , 3,4 , 5,6 , 4,5 ] Representación Gráfica

Introducción Teoría de Grafos

Grafos Dirigidos Multi-Grafos

Fases para Modelar un Sistemas Dinámico

I. Estructurar el Problema

II. Formular las Ecuaciones

Elementales

III. Representar el modelo en

Espacio Estado

Fase 1: Estructurar el Problema

Sistema Sub-Sistemas Causa

Efecto

Variables

Sistema

Resultado: Diagrama de bloques

Entradas

Salidas de Interés

Interacción entre Variables

Objetivo: Diagrama de Bloques

Fase 2: Estructurar el Problema

• Analizar el Subsistema

• Relacionar las variables y constantes del subsistema

• Formular Ecuaciones Elementales

Objetivo: Escribir las leyes de conservación en cada bloque

Fase 3: Espacio Estado

• Importante para para la organización del modelo adecuado

• Necesario para el análisis y la simulación

• Propósito de esta fase es representar el modelo en la forma espacio y estado

Objetivo:

• Elegir y Definir las variable de estado

• Representan las ecuaciones de estado

Ejemplo

Subsistema

Eléctrico

Subsistema

Mecánico

dt

diLRiVV teapp )(

aiemim TTTwB

dt

dwJ

Las imágenes se presentan de manera más espectacular en pantalla panorámica.

Preguntas?