CAP19LOGARITMOS
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I.E.P LE D’
QUINTO AÑO
C A P ÍT U LO
DefiniciónDefinición
El logaritmo de un número positivo en una base positiva y diferente de uno será igual al exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número.
NotaciónNotación Logb N = x bx = N b > 0 b 1 , N > 0
Ejemplo: Calcular
i. Log2 16 = x 2x = 16
2x = 24
x = 4
ii. Log16 32 = x 16x = 32
(24)x = 25
24x = 25
4x = 5
x = 5/4
IdentidadesIdentidades
A. bLogbN = N B. Logb b = 1 C. Logb 1 = 0
Ejemplos:
7Log7 3 = 3 Log4 4 = 1 Log20 1 = 0
TeoremasTeoremas
1. logb (AB) = logb A + logb B
2. logb (AB ) = logb A – logb B
3. logb An = n logb A Regla del sombrero
4.log (bn )
( Am ) = mn logb A
5. Regla de la Cadena :
logb a . logc b . logd c . loge d = loge a
Para 2 términos :
Logb a . loga b = 1 log ba =
1log a
b
6. Cambio de Base : logb A =
log c Alog cb
Ejm. :
Log3 7 =
log (2 )7log (2 )3
log (3 )5log (3 )12 = log12 5
1
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QUINTO AÑO
alog (b)C = C
log(b )a
Ejm. :
49log
(7 )3
= 3log
(7 )49
= 32
= 9
Nota base es :
log10 N = log N loge N = ln N
1. Si : Loga 2 = x ; Loga 3 = y ; Loga 5 = 7. Calcular : Loga 2700
a) 2x + 3y + 2z b) 2x – 3y + 2z
c) x + y + z d) x – y – ze) N.A.
2. Si : Log7 4 = m , Log7 5 = n. Hallar : Log7 980.
a) m – n – 2 b) m + n – 2 c) m + n + 2 d) 2 – m – ne) 2m + n + 1
3. Si : Loga x = m ; Loga y = n ; Loga z =
p. Calcular : R = log a(3√ x2 y5z3 )
a)23m -
53 n – p d)
23m +
53 n
– p
b)23m +
53 n + p e) -
23
m + 53 n + p
c)23m -
53 n + p
4. Indique la expresión correcta :
a) Log0.25 256 = -3 b) Log256 0.0625 = -0.5c) Log0.25 0.5 = +0.5 d) e) Log0.5 32 = 5e) Log16 0.125 = -1.5
5. Log 2 = m , Log 3 = n , x = Log 36. Hallar “x”
a) 2m + 2n b) 2m + n/2 c) 2m – n/2 d) 2m - 2n
e) m + n
6. Log 3 = a , Log 2 = b. Hallar : Log (5!)
a) 3a + b + 1 b) a – b + 2 c) 3a – 2b + 1 d) a + 2b + 1
e) 2b – a + 1
7. Logab a = 4. Calcular : Logab( 3√ a√ b )
a) 7/3 b) 5/6 c) 13/6d) 4/3 e) 17/6
8. Si : Log14 28 = a. Hallar : Log49 16
a) 2(a−1 )2−a b)
2(1−a )2−a c)
a−21−a
d) 1−a2−a e)
2−a1−a
9. 10x = 18 ; 10y = 12 entonces : Log 6 es :
a) 2 y−x3 b)
x− y3 c)
2x− y3
d) y−x3 e)
x+ y3
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10. Si : 3 Log3 a – 3 Log3 b = 6. Calcular : a/b
a) 9 b) 6 c) 2d) 27 e) 3
11. Si Log3 7 Log5 3 =100Log x
2−2 x+2
Log(4)5 Log (7 ) 4 Calcular “x”
a) 1; 2 b) –1; 5c) 2
d) 1 e) 1
12. Si : 2x + 2-x = 4. Hallar una solución de “x” :
a) Log2 (2√ 3 - 1) d) Log2 (1 + 2√ 3 )
b) Log2 (2 +√ 3 ) e) Log2 (1 +√ 3 )
c) Log2 (√ 3 - 2)
13. Reducir : Logn {Logn(n−1√ n
n√ n )} si : n > 1
a) –1 b) –2 c) 1d) 1/2 e) n
14. Reducir : 1+Log(2001 )20021−Log(2001 )2002+
1+Log(2002 )20011−Log(2002 )2001
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
15. El logaritmo de “N” en base 5 es el mismo que el logaritmo de M en base
√ 5 . Si : M + N = 34 . Hallar :
MN
a) 1/2 b) 1/4 c) 2d) 1/8 e) 1/6
1. El valor de : √ aLoga√ a 100 . 3√ Logbb10
a) 100 b) 1000 c) Loga 100d) 10 e) Logb 100
2. Si : a > 1 b > 1, reducir : E =
ba[ Log(a )(Log (b )a ) ]
a) ba b) ab c) a-bloga
d) Logba e) N.A.
3. El equivalente de :
E = 1
1+ Log(3 )(10 e )+1
1+ Ln 30 +1
1+ Log 3 e es :
a) 1 b) Log 3 c) Ln 10d) Ln 30 e) Log (3e)
4. Calcular : E = Log(√ 7√ 7)
(√ 7 )√ 7
a) 1 b) √ 7 c) 7
d) √ 7 /2 e) 7/2
3
Nº 19
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5. Sabiendo “a” y “b” son raíces positivos de la ecuación : x2 – 4x + m2
= 0. Hallar :L = Logm ab + Logm aa + Logm bb + Logm ba
a) –4 b) 4 c) –8d) 8 e) 6
6. Al reducir:
1+Log(2 )31−Log(2 )3 +
1+Log(3 )21−Log(3 )2 se
obtiene :a) 0 b) 1 c) 2d) 1/2 e) -3
7. Indicar verdadero o falso en :
( ) 2 Log x = Log x2 x R( ) Logx x = 1 x > 0
( ) Al resolver xLog x( x+4 ) = 5 x
=1
a) FVF b) FFV c) FFFd) VFV e) VFF
8. Calcula : Log3 3 + Log3 9 + Log3 27 + ... Log3 310
a) 55 b) 54 c) 53d) 52 e) 51
9. Reducir : R = (1+2
Logb (a−1 ) )(1− 2
Logb (a+1 ) ) donde a, b R+ - {1}, además : a – b = 1
a) 1 b) –3 c) 2d) –2 e) ab
10. Calcular el valor de : w =
√ 7bLoga3+3Logab si : Loga b = Log3 2
a) 2 b) 7 c) 6d) 3 e) 4
11. Luego de efectuar :
Sugerencia usar : Logb a√ x = x
Loga b
se obtiene :
a) 6 b) 12 c) 18d) 21 e) 2
12. Si : a > 0 a 1, reducir :
S =
√ Log a+√ Log 3√ a√ 4 Log a+√ 3 Log a2
a) √ 3 /3 b) √ 3 c) 1
d) 3√ 3 e) 1/3
13. Con la condición : xy . yx = (xy)2 x
y, simplificar : E = x
Log( y ) x+1+y
Log(x ) y+1
a) 1/2 b) 2 c) 1/4d) 1 e) 0
14. Siendo : a + b > 0, reducir :
L =
Log (3 ) [ Log(9 )( a+b )18 ]
1+Log(9 )[ Log(3 )(a+b )]
a) 2 b) 3/2 c) 1d) 1/2 e) 1/4
15. Sabiendo: a = bcx
. Hallar : E = x + Logc Loga b
a) 1 b) 0 c) Logc a d) Logb a e) Logc Loga b
4
2Log 16Log 45Log 257Log 494Log 42 9223
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Ecuación Logarítmica y ExponencialEcuación Logarítmica y Exponencial
I. Si : aF(x) = aG(x) F(x) = G(x) si a > 0 a 1
Ejemplo: Calcular “x” 2x+5 = 22x-10 x + 5 = 2x - 10
10 + 5 = 2x – 2
15 = x
II. Logb F(x) = Logb G(x) F(x) = G(x) > 0 b > 0 b 1
Ejemplo: Calcular “x” Log3 (4x + 5) = Log3 (x + 20) 4x + 5 = x + 20
4x – x = 20 – 5
3x = 15
x = 5
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1. Hallar “x”: Log x + Log (x - 3) = 1a) 5 b) 2 c) –21d) –5 e) N.A.
2. Resolver: Log2 (x2 – 3x + 6) – Log2 (x - 1) = 2a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) N.A.
3. Resolver: Log √ x - log √ 5 = 12
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) N.A.
4. Resolver: Log x = Log 354 + Log 69 – Log 1357a) 3 b) 2 c) 1d) 4 e) N.A.
5. Resolver: Logx 10 . Log (x2 - 2) = 1a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) N.A.
6. Si: Log( x−3 )+Log (x+2 )
Log (x−1) = 2. Hallar: Log(x-3)(x+1)
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) N.A.
7. Si : Log5 Log4 Log3 Log2 x = 1. Hallar: “x”
a) 2512 b) 249 c) 3512
d) 231024
e) 531024
8. El valor de “x” que verifica la ecuación: x Log 2 +
Log Log √ 2 = Log Log 16a) 3 b) 2 c) 4d) Log 2 e) 2 Log 2
9. Sabiendo que: Log Log Log x = 1 +
Log 2. Calcular : R = √ Log √ Log √ Log x
a) √ 10 b) √ 10 /2 c) 1/2
d) √ 2 /2 e) √ 210. Resolver la ecuación logarítmica:
xLog x = (1042 )
2
y dar el producto de sus soluciones.a) 100 b) 10 c) 0,1d) 0,01 e) 1
11. Resolver el sistema: Log2 (xy) Log2
(x/y) = -3
Log22x + Log2
2y = 5
e indique la suma de soluciones:
a) 21/4 b) 23/4 c) 25/4d) 6 e) 27/4
12. Luego de resolver: y = 3(0,1)log x
x + y = 4
dar la suma de cuadrados de las soluciones
a) 12 b) 16 c) 20
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d) 24 e) 28
13. Dado el sistema: 10x + 10y = p
x – y = Log (p+qp−q )
Hallar: 10x - 10y
a) 2p b) p c) 2qd) q e) p + q
14. Resolver: 7(2Log
(3 )x) – 5(x
Log( 2)2
) = 16 e indicar: Logx 27 + Log27 xa) 6 b) 4 c) 1d) 2 e) 12
15. Indicar el producto de raíces de la siguiente ecuación: Log2 x +
xLog x( Log x ) = 6
a) 10-1 b) 10-2 c) 10-3
d) 10-4 e) 10-5
1. Resolver: Logx-8 (x2 - 16) = 2
a) {5} b) {12}c) {16}
d) {1} e) {20}
2. Resolver: Log (2x2+3x+12 )Log (2 x+3) = 2
a) 2 5 b) 1/2 5 c) –1/2 5d) 1/2 -5 e) 1/2
3. Resolver : Logx (3x) . Log 10x = Log (3x) + 2
a) 2 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
4. Resolver: Log1/2 (x + 1) – Log1/2 (x - 3) = 1
a) 5 b) 7 c) 4d) –5 e) N.A.
5. Calcular : x2 + 1 si verifica : (Logx 9)2 – 4(Logx 9) + 4 = 0
a) –3 b) 10 c) 3d) 2 e) 4
6. Dada la ecuación : 1 + 2 Log x – Log (x + 2) = 0.
Hallar la suma de sus raíces.
a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) N.A.
7. Hallar la solución de la ecuación:
[ Log4 4Log4 1 ]Logx x
= 1x
8. Hallar “x” de : 9Log
(√x )3
= 24
a) 2 b) 3 c) 3√ 81
d) 4 e) 27
9. Hallar la suma de las soluciones de la ecuación : 1 + Logx (x + 1) – Logx (x + 4) = 0
a) –2 b) 2 c) 3d) 4 e) 0
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10. Del sistema : 2x = √ y x2 – 3(3 – Log2 4)
Calcular : x + y = ?
a) 54 b) 48 c) 66d) 67 e) 59
11. Dado el sistema : Ln (xy) = 6 yLn y = e9
Calcular : Ln(x+ y2 )
a) 1/2 b) 1 c) 3d) 2 e) 0.25
12. A partir de : x Log x = 18 Log 3 y Log y = 24 Log 2
Hallar x + y = ?
a) 17 b) 15 c) 14
d) 13 e) 10
13. Resolver : Log1/2 Log4 x = Log1/8 Log16 x
a) 2 b) 4 c) 3d) 6 e) N.A.
14. Despejar “x”, si : ax3
−1
= b2
a) 5 b) Logb a c) 3d) 4 e) N.A.
15. Resolver: Log2 (9x-1 + 7) = 2 + Log2 (3x-1 + 1) dando como respuesta la suma de soluciones.
a) 4 b) –1 c) –2d) –3 e) N.A
CologaritmoCologaritmo
Co log (b ) N = Logb( 1N ) b > 0 b 1 N > 0
Forma práctica:
Cologb N = -Logb N
Ejemplo:8
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Colog2 128 = -Log2 128 = - Log2 2 7 = -7
Antilogaritmo
Antilogb x = N bx = N b > 0 b 1 x R
Ejemplo:
Antilog3 (+2) = 3+2 = 9
PropiedadesPropiedades b > 0 b 1
I. Antilogb Logb N = N ; N > 0
II. Logb Antilogb x = x ; x R1. Demostrar:
Antilogb Logb N = N bx = N
(con definiciones)
2. Demostrar: Cologb Antilogb Logb Antilogb Logb N = -
x
(con definiciones, no con propiedades de antilogaritmo). Si bx = N
1. Calcular: 2Log
(2 )Anti log
(2)3
= A
a) 8 b) 4 c) 3d) 2 e) -1
2. Calcular el valor de: F = Log2 Log3 Antilog3 8
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) –2
3. Calcular “x”: Logb Antilogb (x2+4) = 2x2 – 4x + 8
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) N.A.
4. Calcular “p” si : Antilogb Logb p = q + 5 Logb Antilogb (q - 21) = -p
a) 15 b) 14 c) 13d) 12 e) 11
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5. De los siguientes afirmaciones cuáles son falsas
a. Colog0.1 1000 000 = 6b. Log Colog1000 Antilog1000 (-1) = 0c. Es falso que en ningun caso se
cumple que Log x+ Log y = Log (x + y)
a) I b) II c) IIId) I y II e) N.A.
6. Si : ax = p. Calcular:
Log( x√ p ) Antilogb Logb p
a) 1/x b) p c) ad) x e) x2
7. Reducir:
C = Log
(b ) 3 Anti log
(b )4 Logb6b12
a) 3/8 b) b c) 8/3d) 1/2 e) 2
8. Calcular el Log y si:
-y = Co log (√ 2 )2
Log (√ 2 ) √ 25
a) 2 b) –1 c) 1d) 3 e) -2
9. Reducir: W = Antilog8 Antilog3 Colog25 Antilog5
Log3 9
a) 4 b) 2 c) 8d) 1/2 e) 1/4
10. Reducir: E = Colog4 Log2 Log2 Antilog4 Log1.4 1.96
a) –0.5 b) –1.5 c) –4d) 1.5 e) 2
11. C = Anti log
(2 )2 Log
(2 )3 Anti log
(2 )4 Log
268
a) 3√ 2 b)
3√ 4 c) 23√ 2
d) 23√ 4 e) 4
12. Calcular :E = Logm Antilogm Logm Antilogm Logm
√ m
a) 0,25 b) 0,3 c) 0,75d) 0,5 e) 0,45
13. Calcular:
y = Log(√ 2 )Anti log
(4√ 2 )Co log
(6√ 2 )8
a) –3 log 3 b) 2 log 3c) 1
d) 2 e) R
1. Calcular: A = Cologb Antilogb x ; si bx = 2 a) x b) 1 c) 2
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d) –x e) 4
2. Calcular: B = Colog2 Antilog2 Log2 16
a) –3 b) 3 c) 1d) 2 e) -4
3. Calcular:
a) 2 b) 3 c) 8d) 4 e) -1
4. Si: Colog 2 = -a ; Colog 3 = b. Hallar el valor: Log (5!)
a) 2a – b + 1 d) 2a + b – 1b) 2a + b + 1 e) 2a + 2b + 1c) 2a – b – 1
5. Dado el sistema : 10
Log(3 )Anti log
(3) 4 x = y + 1000
Log y = x2
Calcular la suma de las soluciones de “x”
a) 5 b) 4 c) 2d) 3 e) 1
6. Dado el sistema : 10x + 10y = Log3 Antilog3 p
y – x = Colog(p+qp−q )
Hallar: 10x - 10y
a) 2p b) p c) 2qd) q e) p + q
7. Colog3 b3 – Colog3 a3 = 6Calcular: a/b
a) 9 b) 6 c) 2d) 27 e) 3
8. Calcular “x”: (Cologx 4)2 + 4(Cologx 4) + 4 = 0
a) 2 b) –2 c) 1d) –1 e) N.A.
9. Calcular:A = Log3 3 + Log3 9 + Log3 27 + ...
Log3 310 + Colog3 310 + Colog3 39 + ... + Colog3 27 + Colog3 9 + Colog3 3
a) 1 b) 2 c) 1000d) 100 e) 0
10. Poner verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Justificar. Los cologaritmos de los números
reales son siempre positivos. Es cierto que siempre se cumple:
Log (xy) = Log x + Log y Log3 Colog10 Antilog1000 (-1) = 0
a) VVV b) VFF c) FFFd) FVF e) N.A.
11. Indique la expresión correcta :
a) Colog0.25 256 = -3b) Colog0.25 0.5 = -0.5c) Colog16 0.125 = +1.5d) Colog256 0.0625= 0.5e) Log0.5 32 = 5
12. Reducir:
W = Antilog10 Anti log√ 2 Colog7 Antilog7
Log2 16
a) 2 b) 3 c) 4d) 7 e) 5
13. Reducir:E = Colog2 Log2 Log3 Antilog9 Log0.23
0.0529
11
3logAntiLog 3logAntiLog
2222 22)2(LoglogAnti
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a) +1 b) 2 c) 3d) 0 e) -1
14. Reducir: C = Antilogx Log7 Antilogb Logb 7
a) x2 b) x + 1c) 2x
d) 1/x e) 4
15. Calcular: E = Loga Antiloga Loga Antiloga Loga
√ a
a) 1/2 b) 2 c) 3 d) 1 e) N.A.
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