Cap10 - Ondas generadas por viento e internas

Oceanografía Dinámica

10. Ondas generadas por el viento e internas

Las olas (ondas de superficie) generadas por los vientos se encuentran en todos lados: en un lago, en los mares picados, en la costa. Las pequeñas ondas generadas por una ráfaga de viento sobre un lago en calma tienen alturas características de 1 cm y períodos de 1 s. Las olas que rompen en la costa tienen alturas de metros y períodos de 6 a 12 s. La figura 10.1 muestra el espectro de energía de las ondas de superficie del océano. La escala horizontal es el período T=2π/ω, donde ω es la frecuencia de la onda. La escala vertical es el cuadrado de la amplitud de la onda, que es una medida de la energía de la onda. Se puede observar que la mayor parte de la energía está en el rango de T=4 a 12 s, además de los períodos diurnos y semidiurnos característicos de las mareas.

Figura 10.1 – Esquema de la energía de las ondas de superficie en el océano. Para ondas capilares la fuerza de restauración es la tensión superficial, mientras que para ondas de

períodos entre 1s y algunas horas la fuerza de restauración es la gravedad. Ondas mas lentas son influenciadas también por la fuerza de Coriolis.

Notas: Prof. Marcelo Barreiro 1


10.1 Ondas gravitatorias de superficie no afectadas por la rotación terrestre

Consideremos la ecuación de movimiento en ausencia de fricción y de Coriolis, o sea que la única fuerza externa es la gravedad,

∂V∂ t

+(V.∇V )=−1ρ0

∇ p+ g (10.1)

y la ecuación de conservación de masa

∇ .V=∂u∂ x

+∂v∂ y

+∂w∂ z

=0 (10.2)

Consideremos un flujo irrotacional, o sea un flujo en el cual las parcelas del fluído no giran alrededor de un eje que pasa por su centro de masa (vorticidad nula). Entonces (∇ xV=0)y existe una función potencial Φ definida como

V=∇Φ=(Φx ,Φ y ,Φz) (10.3)

y la ecuación de continuidad 10.2 queda

∇2Φ=0 (10.4)

De ahora en mas nos restringiremos a una onda en el plano (x-z). Entonces, la ecuación 10.4 queda

Φxx+Φzz=0 (10.5)

y la 10.1

Φxt+ΦxΦxx+ΦzΦxz=−1ρ0px

Φzt+ΦxΦxz+ΦzΦzz=−1ρ0

pz−g

(10.6)

Se puede mostrar que las dos ecuaciones de 10.6 son las derivadas en x y z de

Φt+12(Φx

2+Φz

2)=

−pρ0

−gz+const

Φ t+12v2

=−pρ0

−gz+const(10.7)

donde v2=u2+w2. La ecuación 10.7 expresa la conservación de la energía en el flujo, que para el caso estacionario se reduce a la ecuación de Bernoulli.

La ecuación 10.5 necesita de condiciones de frontera para su resolución. Consideremos el



caso de una onda de pequeña amplitud en superficie (amplitud de la onda << longitud de la onda) que se propaga en un océano de profundidad h con fondo plano (figura 10.2).

Figura 10.2 – Onda de pequeña amplitud en superficie.

En ausencia de batimetría, en el fondo se debe tener velocidad vertical nula, o sea

Φz=0 en z=-h (10.8)

La superficie libre (η) debe ser una línea de flujo y además asumimos que no existen gradientes de presión o de esfuerzo actuando sobre la superficie. Entonces vale en z=η

Φz=ηt+Φxηx

Φt+12v2

+gη=0(10.9)

Como la amplitud de la onda es pequeña el desplazamiento de la superficie libre es chico y se puede despreciar los términos no lineales de las ecuaciones 10.9, o sea

Φz=ηtΦ t+gη=0

(10.10)



las cuales se combinan para obtener

Φ tt+gΦz=0 en z=η (10.11)

Resumiendo, tenemos que resolver la ecuación 10.5 con las condiciones de borde 10.8 y 10.11. Imponiendo soluciones de la forma

Φ(x , z ,t)=a(z )sin(κ x−wt ) (10.12)

en 10.5 se obtiene

azz−κ2a=0 (10.13)

que tiene una solución del tipo

a(z )=Acosh[ κ(z+h)]+Bsinh [κ(z+h)] (10.14)

en función de coseno y seno hiperbólicos (Figura 10.3).

Figura 10.3 – Funciones hiperbólicas.

Combinando 10.12 con 10.14 se obtiene

Φ=(Acosh [κ(z+h)]+Bsinh [κ(z+h)])sin(κ x−wt ) (10.15)

Ahora aplicamos las condiciones de borde a 10.15. La condición en z=-h requiere que B=0,



mientras que la condición en z=η requiere (notar que η<<h por lo que η+h~h)

w2cosh (κh)sin(κ x−wt )=g κsinh (κh)sin(κ x−wt ) (10.16)

La velocidad de fase de una onda la definimos mas arriba como C=w/κ; entonces

C2=gκ tanhκh (10.17)

que expresa la velocidad en función del número de onda, de la profundidad del océano y de la gravedad que es la fuerza restauradora de estas ondas.

Para ondas largas, κh<1, vale que tanh(κh) ~ κh, y se tiene

C2=gh (10.18)

el cual es el caso de ondas en aguas someras que vimos en el capítulo anterior.

Para ondas cortas, κh>1, vale que tanh(κh) ~ 1, y se tiene

Cd2=gκ

(10.19)

el cual es el caso de ondas en aguas profundas.

La figura 10.4 ilustra estos casos límite y el caso intermedio. La aproximación de ondas someras es válida si la longitud de onda es al menos 20 veces la profundidad de la columna. La aproximación de aguas profundas vale si la longitud de onda es menor de 4 veces la profundidad de la clumna. La mayoría de las ondas de superficie de interés generadas por los vientos pueden ser caracterizadas como ondas someras o de aguas profundas, pero las ondas cuyo período es entre 6 y 12 s cambian sus características de aguas profundas a aguas someras antes de romper en la costa. Si bien la velocidad, la altura y la longitud de onda cambian a medida que viajan en aguas menos profundas el período se mantiene constante. ¿Por qué?



Figura 10.4 – Límite de aplicabilidad de ondas someras y de aguas profundas, definido por el cociente entre la profundidad y la longitud de onda.

Las características de las ondas de aguas profundas son diferentes a las de aquellas en aguas someras. La velocidad de las ondas de aguas someras no depende de la longitud de onda o del período y está solo controlada por la profundidad del agua. La velocidad de las ondas de aguas profundas es independiende de la profundidad y está determinada por la longitud de onda y el período.

Veamos cómo se relacionan las ondas en aguas profundas con aquellas en aguas someras. Consideremos un océano de 4000 m de profundidad y una onda de período T=10s. Para las

ondas en aguas profundas Cd = (g/2π)T ~ 1.5 T m/s y λ=g

2πT 2

=1.5T2, por lo que su

velocidad sería de 15 m/s y su longitud de onda 150 m, lo cual cumple con las condiciones de ondas en aguas profundas. Si el período fuera 20 s, la longitud de onda sería 600 m y la velocidad 30 m/s. Si el período ahora es de 100 s, la velocidad sería de 150 m/s y la longitud de onda 15 km. Pata un período de 4 min la onda sería de aguas someras y viajaría a 200 m/s con λ=50km . Si el período aumentara a 10 min λ=120km pero su velocidad todavía sería 200 m/s. Las ondas de aguas somera “sienten” el fondo: su velocidad está dada por la profundidad de la columna. La velocidad de la onda de aguas someras es la máxima velocidad de una onda de gravedad en superficie. La relación entre velocidad, período y profundidad de la columna se muestra en la figura 10.5.



Figura 10.5 – Velocidad de la onda en función de la longitud de onda y profundidad de la columna.

10.2 Movimiento de las parcelas

Además de diferir en las velocidades, las ondas someras y profundas difieren en el movimiento que describen las parcelas de agua al pasar la onda (figura 10.6). Consideremos el caso de aguas profundas primero. En este caso las partículas de agua describen círculos cuyo radio disminuye con la profundidad. En superficie el radio r está dado por la amplitud de la onda (a) y la velocidad de la partícula v=(u2+w2)1/2 es la circumferencia del círculo dividido por el período de la onda. El movimiento de la partícula debido al pasaje de la onda causa una variación de la presión hidrostática justo debajo de la superficie. La variación con la profundidad de r, v y Δp es

r=ae−kz

v=2πaT

e−kz

Δ p=aρ ge−kz

(10.20)

por lo que la disminución es muy rápida a medida que nos alejamos de la superficie. Para una profundidad igual a la mitad de la longitud de onda el radio, la velocidad y la presión tienen valores cercanos al 4% de su valor en superficie.

En el caso de las ondas someras las partículas describen elipses pues estas ondas “sienten el fondo”. El radio del eje menor es igual a la amplitud de la onda en superficie y decrece linealmente con la profundidad, siendo en el fondo nulo y el movimiento es horizontal. El



radio del eje mayor es una función de la profundidad, longitud de onda y amplitud y no varía con la profundidad.

Figura 10.6 – Movimiento de las partículas para ondas en aguas someras, intermedias y profundas.

Para ondas estrictamente infinitesimales, donde la amplitud es muy pequeña las órbitas de las partículas son cerradas y no existe una traslación neta con el pasaje de la onda. Cuando la amplitud de la onda es finita aparece la “deriva de Stokes”: como la velocidad de la partícula en su movimiento circular es mayor en el punto mas alto de la trayectoria que en el punto mas bajo (pues la velocidad decrece exponencialmente con la profundidad) se genera un movimiento neto de la partícula en la dirección de propagación de la onda. La figura 10.7 ilustra esta situación.

Figura 10.7 – Deriva de Stokes.



10.3 Energía de la onda y dispersión

La energía E en las ondas se divide entre energía potencial P (asociada al desplazamiento de la superficie de su posición de equilibrio) y energía cinética K (asociada con el movimiento de las partículas). Para ondas profundas vale (usando 10.20)

K=12ρ∫

−∞

0(u2

+w2)dz=

ρga2

4

P=1λ∫0

λ ρgη2

2dx=

ρg a2

4

E=K+P=12ρga2

(10.21)

en unidades de energía por unidad de area. Por lo tanto para las ondas profundas K=P. Como ejemplo, la energía de ondas de 1 m de altura en 1 km x 1 km es cercano a 1.2x109 J.

La energía es transportada a la velocidad de grupo, que se define como

cg=∂w∂κ

(10.22)

Para las ondas someras cg=c=(gh)1/2 y se tiene que son no dispersivas. Para las ondas en océano profundo cg=1/2 c = 1/2(g/κ)1/2 por lo que son ondas dispersivas pues su velocidad depende del número de onda. Debido a esta propiedad no es posible seguir las ondas en el océano profundo, parecen desaparecer. Esto es pues uno no observa trenes de onda individual sino la envolvente resultado de la suma de varias ondas individuales moviendose a diferentes velocidades. Por otro lado, una vez que se acerca a la orilla la velocidad de grupo y de fase coinciden de tal forma que la onda se propaga sin dispersarse.

La razón a la cual se propaga la energía por unidad de área se denomina potencia de la onda y es el producto de la velocidad de grupo y la energía de la onda (E).

Evidentemente la superficie oceánica es irregular con crestas y valles de todo tamaño. Las ondas sinusoidales que consideramos en este capítulo no representan individualmente el comportamiento de la superficie. No obstante, es posible usar análisis de Fourier para descomponer la superfice observada en una suma de componentes sinusoidales con amplitud, período y fase determinados que siguen la teoría desarrollada mas arriba. Además es posible determinar la energía total implicada por un perfil de la superficie oceánica.

La altura de las olas y sus períodos varían con la velocidad del viento, el tiempo durante el cual sopla y sobre qué distancia (el “fetch”). Cuanto mayor es el tiempo que sopla el viento mayor es la amplitud de las olas. Un viento de 12 nudos (1 nudo = 1852 m/h) soplando durante un par de horas genera olas que rompen. Para una velocidad del viento dada existe un punto de equilibrio en el cual la energía entregada a las olas por el viento es igual a la que pierden las olas a través del rompimiento y fricción e intercambio entre ondas con diferente longitud de onda. Este equilibrio se denomina “fully developed seas”. La figura 10.8 muestra



un espectro idealizado de “fully developed seas” para vientos a 20, 30 y 40 nudos.

Figura 10.8 – Espectro idealizado para de “fully developed seas”.

10.4 Ondas capilares

El primer efecto de los vientos soplando sobre la superficie de un lago es formar ondas capilares. Estas ondas están presentes siempre, superpuestas sobre las ondas de superficie mas largas (Figura 10.9), y decaen enseguida que el viento cesa. Si bien son difíciles de detectar simple vista son responsables de la textura superficial oceánica.

Las ondas capilares reciben su nombre del hecho que si el radio de curvatura de la interfase aire-mar es del órden de unos pocos centímetros entonces la fuerza principal que tiende a devolver la superficie a su posición horizontal es la tensión superficial en lugar de la gravedad.

Estas ondas tienen características muy diferentes de las ondas gravitatorias en superficie. Para ondas de longitud menor a 5 cm la velocidad de fase es



C2=gκ+ κ

ρ ζ (10.23)

donde ζ es la tensión superficial. Se observa que cuanto mas corta es la onda capilar mayor es su velocidad; además, estas ondas son dispersivas con una velocidad de grupo mayor a la velocidad de fase.

Figura 10.9 – Ondas capilares superpuestas en ondas de gravedad

10.5 Ondas internas

Las ondas internas ocurren en fluídos estratificados. Comparten muchas de las características con las ondas en superficie pero hay mas variedad. Al igual que las ondas de superficie, las ondas internas transmiten energía y por lo tanto ayudan a la mezcla de la columna. Las diferencia que las ondas internas pueden incluir movimientos energéticos en el interior del fluído, lo cual las convierte en fuentes de mezcla lejos de las fronteras (por ejemplo en la termoclina). Las ondas internas se generan en muchos casos al pasar un flujo estratificado sobre la topografía del fondo.

En lo que sigue consideraremos ondas internas en el caso mas simple, o sea en aquel de un océano formado por dos capas homogéneas como muestra la figura 10.10.

Asumiremos que el movimiento es irrotacional en cada una de las capas (al igual que para las ondas de superficie). Por lo tanto vale para cada capa ∇2 φ=0 . La capa superior tiene una profundidad h1 y densidad ρ mientras que la capa inferior tiene profundidad h2 y densidad ρ + Δρ. Si ς es el desplazamiento vertical de la interfase, una onda sinusoidal progresiva viajando en la interfase en dirección x tendrá la forma



ζ=A0sin (kx−ω t ) (10.24)

La función potencial de velocidades que describe el movimiento de las dos capas se puede obtener siguiendo el mismo método usado para el caso de una capa. O sea resolviendo

∇2 φ=0 con condiciones de borde apropiadas para cada capa. Se obtiene:

φ=−ω A0

kcosh kzsinh kh1

cos (kx−ω t) 0>z>−h1

φ=ω A0

kcosh k (h+ z)

sinh kh2

cos (kx−ω t) h1>z>−h2

(10.25)

por medio de las cuales es posible calcular expresiones para la velocidad horizontal y vertical. La velocidad de fase de las ondas está dada por

c2=ω

2

k 2=g 'k

(coth kh1+coth kh2)−1

(10.26)

donde g '=gΔρρ es la gravedad reducida.

Figura 10.10 – Ondas internas en un modelo de 2 capas.

En la pataforma, en muchos casos nos interesa únicamente las ondas de período largo (12 o 24 hs). Para tales ondas λ >> h, de tal forma que kh <<1 y podemos aproximar



coth(kh2)~(kh2)-1, de tal forma que (10.26) se simplifica a

c2=g '

h1h2

h1+h2

=g 'h1h2

h (10.27)

donde h=h1+h2 es la profundidad total de la columna. Si, además, h1<<h, la velocidad de fase se puede aproximar como c=√ g ' h1 , que tiene la misma forma que la expresión para ondas largas en superficie con la diferencia de que la velocidad será mucho menor pues g'<<g. En general g'/g~10-3 por lo que las ondas en la interfase viajaran a una velocidad 30 veces menor que en superficie.

El movimiento descrito por las ecuaciones (10.25) se denomina primer modo vertical y es una solución importante para describir los movimientos horizontales en un fluído estratificado. La velocidad de las partículas se puede obtener derivando (10.25) en cada capa. Por ejemplo en la capa inferior en x=0 se tiene

u=−∂φ

∂ x=−ωA0

cosh k (h+ z)sinh kh2

sin (ω t)

w=−∂φ

∂ z=−ω A0

sinh k (h+z)sinh kh2

cos(ωt )(10.28)

que describen movimientos elípticos con las partículas girando en sentido horario alrededor de su posición de equilibrio. La razón de amplitudes entre velocidades vertical y horizontal es

∣w∣

∣u∣=tanh k (h+z ) (10.29)

que es igual al caso de una onda de superficie en un océano no estratificado.

Para el caso kh>>1 (ondas en aguas profundas) el cociente 10.29 tiende a la unidad y la órbita de las partículas es una circumferencia (Figura 10.11). El sentido de la órbita en las dos capas es opuesto y la amplitud disminuye al alejarse de la interfase. Por lo tanto en la interfase hay un nodo para la velocidad horizontal. Para ondas largas (kh<<1) las órbitas de las partículas se vuelven elípticas.

Una propiedad interesante de ondas internas progresivas es que el flujo en superficie es

convergente (∂u∂ x

<0 ) y divergente (∂u∂ x

>0 ) alternadamente en nodos de ς. La figura

10.12 muestra el campo instantáneo de velocidad en una onda interna progresiva como líneas de corriente del flujo. Material en suspensión tiende a acumularse en las zonas de convergencia creando bandas a intervalos de una longitud de onda en la dirección de propagación, lo cual puede usarse como indicador de la presencia de ondas internas. La alternancia en la dirección del flujo de superficie puede también causar la modulación de la rugosidad de la superficie oceánica al cambiar la amplitud de las ondas cortas. Este efecto puede detectarse desde satélites; la figura 10.13 muestra un ejemplo de onda interna detectada



desde el espacio.

Figura 10.11 – Órbita de las partículas asociadas a una onda interna en un océano de dos capas.

Figura 10.12 – Foto de las líneas de corriente de una onda interna larga de amplitud a=1 m propagándose hacia la derecha en un océano de dos capas. La línea punteada muestra el

desplazamiento de la interfase. Notar las zonas de convergencia y divergencia en superficie.



Figura 10.13 – Onda interna.

En el océano real la estructura de densidad es en general bastante mas complicada que la de un océano de 2 capas. Por lo tanto, el movimiento no está restringido a un solo modo vertical y puede tomar formas mas complicadas. La forma de todos los modos verticales y sus velocidades de propagación se pueden obtener de la estructura de densidad observada, la cual se usa para calcular la frecuencia de Brunt-Vaisala. Para ello se realiza un análisis de modos normales. En la mayoría de los casos dominan los modos mas bajos, y principalmente el 1er modo (el descrito mas arriba).

La solución (10.25) considera que la superficie oceánica es rígida (rigid lid approximation) lo cual no permite la existencia de ondas en superficie. Relajando esta hipótesis en un modelo de dos capas, enfocando en ondas largas, se obtiene dos tipos de soluciones: una onda interna como la descrita mas arriba y una onda externa que viaja en superficie. Un esquema de las dos ondas se puede ver en la figura 10.14.

El modo externo se comporta como si el océano estuviera compuesto por solamente una capa de profundidad H=h1+h2, su amplitud es máxima en la superficie y su velocidad de propagación es c=√ gH . Ademas, superficies de presión constante coinciden con superficies de densidad constante por lo que el modo externo también se denomina modo barotrópico.

El modo interno, por otro lado, tiene máxima amplitud en la interfase entre las dos capas y las ondas en superficie y en la interfase se encuentran desfasadas 180 grados. Por lo tanto, este modo también se denomina modo baroclínico. La velocidad de propagación está dada por la ecuación (10.27) y es mucho menor que para el modo barotrópico.



Figura 10.14 – Esquema de modos externo e interno en un modelo de 2 capas.

Bibliografía principal

- Introduction to physical oceanography, J. Knauss. - Introduction to the physical and biological oceanography of the shelf seas. J. Simpson and J. Sharples.


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