Cap tulo 8 Patrones No-Ideales de Flujo - ITCfernando/ABC_Reactores/... · Pel cula en la pared del...

Capıtulo 8 2a. Edicion

Patrones No-Idealesde Flujo

Dr. Fernando Tiscareno Lechuga

Departamento de Ingenierıa Quımica

Instituto Tecnologico de Celaya

Introduccion

�Modelos para flujo “real”•Distribucion de tiempos de residencia (Datos)

•Dispersion axial (DL)

•Tanques agitados en serie (n)

� 6= Tapon: Flujo laminar (0 parametros)

�Datos experimentales especıficos:¡imprescindible!•DL y n V Optimizacion de 1 parametro

• ¿Vale la pena “complicar” los modelos continuosideales? V Incertidumbres de los parametros

(incluyendo los cineticos)

c©Dr. Fernando Tiscareno L./p2

Continuo de Tanque Agitado

Alimentación

Producto�� ! ��"��#��$��%�& ��'� � ��$��$��

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Tubular

�Desviaciones de la suposicion “tapon”•Efectos de los extremos◦ Turbulencia (6= Re↑)◦ Zonas muertas

◦ Distribuidores (Manifold)

•Perfiles “desarrollados”◦Mezclado axial y radial (turbulencia)

◦ Pelıcula en la pared del tubo

◦ Flujo laminar (¡que es un modelo ideal!)


Lecho Empacado

�Desviaciones de la suposicion “tapon”•Cambios de direccion al sortear el catalizador◦Mezclado al encontrarse elementos con diferentes trayectorias

•Empacado no-uniforme, εB◦ Proximidad a la pared > Resto

• ¿∆P? ¿Canalizacion? ¿dP uniforme? ¿dP/D?


Datos Dinamicos

�Trazador•No se degrada o reacciona, inocuo y barato

•Facil de cuantificar◦ Espectrofotometro, conductımetro (pH), cromatografo,...

◦ Tecnicas gravimetricas o volumetricas

• ¿Componente radioactivo? Sı pero...

•Adquisicion en lınea◦ OK, pero ¡verificar el tiempo de respuesta!

• ¿Concentracion del trazador?◦ No saturar el detector

◦ ¿Lımites de deteccion e incertidumbres del analisis?

◦ Evitar maximos o mınimos en curvas de calibracion


Datos Dinamicos

�Perturbaciones•Mas comunes y faciles de analizar:

•Funcion Escalon

•Funcion Pulso

• ¿Como realizar dichas perturbaciones? ¿Trivial?◦ ¡No se deben afectar los perfiles de velocidad!

◦ ¿Pulso para tanque agitado o tubular? ¿Mezclado del trazador?

◦ ¿Escalon? ¡Difıcil hacerlo bien!

� Perturbacion V Detector a la salida

V Curva de Calibracion V Respuesta: Ctrazador


Datos Dinamicos

�Respuestas•Obtenerlas a condiciones de operacion

•De ser posible: ¡reaccionando!

•Tiempo de Residencia

◦ Para lıquidos: t = VRV0

◦ Para gases:

t =

∫ VR

0

dVR

V

¿Trivial? ¡NO! V Resto de la discusion: fase lıquida


Tubular

��

�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��

�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

∆ t


Tanque Agitado

��

��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� "!#%$ &('*),+-�/.�0 � �21

0.631 6= 0.618 (Seccion dorada)

��

��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

∆ t


Distribucion de Tiempos de Residencia

�Funciones de Probabilidad•Funcion acumulada, pt(t)◦ Es una fraccion y representa la probabilidad de que un elemento

de volumen que entra con la alimentacion cruce el plano de lasalida del reactor en un tiempo igual o menor a t

◦ pt(0) = 0, y pt(∞) = 1

•Distribucion, Dpt(t) = d[pt(t)]dt

◦ El area bajo su curva representa la probabilidad de que el elementode volumen salga entre los lımites de tiempo seleccionados

◦ Debe estar “normalizada” la distribucion:∫∞

0 Dpt(t) dt = 1

�Aun en estado estacionario, estas funciones ¡cambian!

pero...c©Dr. Fernando Tiscareno L./p11

Distribucion de Tiempos de Residencia

•Tiempo de residencia experimental (gases o lıquidos)

t =

∫ ∞0

tDpt(t) dt =

∫ 1

0

td[pt(t)] (8.1ayb)

•Obtencion de las funciones:

◦ Funcion escalon (Favorecer uso de Ecuacion 8.1a):

pt(t) =C − C0

C+ − C0(8.2)

◦ Funcion pulso (Favorecer uso de Ecuacion 8.1b):

Dpt(t) =C − C0∫∞

0 (C − C0) dt(8.3)

◦ ¿Que es el termino en el numerador de la Ecuacion 8.3?

◦ NOTA: Evitar derivacion numerica porque es poco confiable


Ejemplo 8.1Operacion estable con C0 = 0.122 MPerturbacion escalon con C+ = 0.548 M

t, s 10 20 30 45 60 90 120 200 400 1000C, M 0.126 0.143 0.207 0.314 0.378 0.484 0.505 0.527 0.544 0.547

a) Obtenga pt(t)b) Polinomio de orden 4c) t por trapeciosd) t con el polinomio

• a) De los datos V Funcion acumulada; ¿Por que?

pt(t) =C − C0

C+ − C0=

0.126− 0.122

0.548− 0.122= 0.0094

t, s 0 10 20 30 45 60 90 120 200 400 1000pt(t), M 0.0000 0.0094 0.0493 0.1995 0.4507 0.6009 0.8498 0.8991 0.9507 0.9906 0.9977


Ejemplo 8.1 (Continuacion 1)

• b) Polinomio de 4o orden

��

��

��

��

� ��

��

�� "!#

¿Predice los datos? ≈; ¿y para interpolar?



•Dos ajustes parcialesDatos: Polinomio t ≤ 120s y tipo Monod t ≥ 90s

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 200 400 600 800 1000

p t(t)

Tiempo, s

Ajuste con polinomio de 3er orden

Ajuste tipo Monod

• Ecuaciones acotadas a regiones:pt(t) = −0.005989− 0.00234 t + 0.0003846 t2 − 2.816× 10−6 t3

pt(t) =t

14.052 + 0.9865 t



• c) Integrando por trapecios: t ≈ 70.7 s ¿cual es x? ¿cual es y?

t =

∫ 0.9977

0

td[pt(t)]

≈ (t1 + t2)

2· [pt(t)2 − pt(t)1] +

(t2 + t3)

2· [pt(t)3 − pt(t)2] + . . . +

(tn−1 + tn)

2· [pt(t)n − pt(t)n−1]

≈ (0 + 10)

2· [0.0094− 0] +

(10 + 20)

2· [0.0493− 0.0094] + . . . +

(400 + 1000)

2· [0.9977− 0.9906]

• Con “ajustes” no podemos utilizar directamente∫td[pt(t)]

•V t =∫∞

0 tDpt(t) dt. Derivamos analıticamente

Dpt(t) = −0.00234 + 0.0007692 t− 8.448× 10−6 t2 Dpt(t) = 14.052(14.052+0.9865 t)2

• ¿Y los lımites de integracion? V [pt(t)]A = 0; [pt(t)]A− [pt(t)]B = 0 y [pt(t)]B = 1

Las curvas se cruzan en 88.03 y 117.61 s; ¿Cual?

t =

∫ 88.03

0 (0.003217 t + 0.0003960 t2 − 4.026× 10−6 t3)dt +∫ 1000

88.0314.052 t

(14.052+0.9865 t)2dt∫ 88.03

0 (0.003217 + 0.0003960 t− 4.026× 10−6 t2)dt +∫ 1000

88.0314.052

(14.052+0.9865 t)2dt

• t ' 71.32 s ¿Normalizacion? pt(1000) = 0.9977


Modelo de Flujo Segregado•Basado en Distribucion de Tiempos de Residencia

•∑ reactorcitos-por-lotes infinitesimales e independientes

•Una reaccion lıquida y solucion analıtica para frl

frl =

∫ ∞0

Dpt(t) frl(t) dt (8.4a)

•Cineticas complejas y/o varias reacciones lıquidasdCidt

= ri (4.8)

dCidt

= Dpt(t)Ci (8.5)

◦ 2× nrxn ODEs simultaneas (mınimo)

◦ Para datos de un pulso favorecer calculos con Dpt(t)

◦ Integrar de t = 0 hasta t =∞


Modelo de Flujo Segregado•Una reaccion lıquida:

frl =

∫ 1

0frl(t) d[pt(t)] (8.4b)

•Cineticas complejas y/o varias reacciones lıquidasdCidt

= ri (4.8)

Ci =

∫ 1

0Ci(t) d[pt(t)] (8.6)

◦ Procedimiento numerico mas complejo (t es el “enlace”)

◦ Para datos de un escalon favorecer calculos con pt(t)

◦ Integrar de pt(0) = 0 hasta pt(∞) = 1

◦ Error conceptual comun: Evaluar efluente con t

¡frl 6= frl(t)! ¡Ci 6= Ci(t)!


Modelo de Flujo Segregado

• ¿Fase gaseosa?

◦ Si alguna ∆νr 6= 0, la extension no es directa

◦ En fase lıquida, puede ser OK datos sin reaccionPara gases, en los experimentos ¡debe existir la expansion!

◦ Considerar reactorcitos-por-lotes de volumen variable◦ Suponiendo condiciones isotermicas e isobaricas

dξrdt

= r r

(RT

PT

)(nT 0 +

nrxn∑r=1

∆νr ξr

)(8.7)

Ci =yi PTRT

=PTRT

(ni0 +

∑nrxnr=1 νir ξr

nT 0 +∑nrxn

r=1 ∆νr ξr

)(8.8)

◦ ¿Y nT porque para reactores continuos? V Seleccionar B.C.


Modelo de Flujo Segregado• ¿Operacion no-isotermica?

◦ Posible si conociesemos T = F(t) para los reactorcitos

◦ Si tα = tβ

αβ

αβ

��

��

αβ

αβ

a) Caso isotérmico:

b) Caso no-isotérmico:

¿fα = fβ?

• ¿Si PT 6= Cte?


Ejemplo 8.2Reactor continuo en fase lıquida

2A� B r1 = k1CA2 − k′1CB

2B → Subproductos r2 = k2CB

Dpt(t) =

{0.01334 t− 8.89× 10−4 t2 + 1.48× 10−5 t3 si 0 ≤ t ≤ 30 min

0 si t > 30

¿fA1 y SA B1? (subındice k indicando salida, 6= r)

a) Modelo de flujo segregadob) Flujo taponc) Continuo de Tanque Agitado (ideal)



• a) Ecuaciones diferenciales ordinarias simultaneas(¿hasta t =∞ o 30 s?)

dCAdt

= −2 k1C2A + 2 k′1CB

dCBdt

= k1C2A − k′1CB − 2 k2CB

dCA

dt= (0.01334 t− 8.89× 10−4 t2 + 1.48× 10−5 t3)CA

dCB

dt= (0.01334 t− 8.89× 10−4 t2 + 1.48× 10−5 t3)CB

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

0 5 10 15 20 25 30

Con

cent

raci

ón, M

Tiem po, m in

CA

CB

CA

CB



• CA1 = CA = 0.613 M y CB1 = CB = 0.416 M

fA1 = CA0−CACA0

= 0.639 y SA B1 = 2CBCA0−CA

= 0.784

• Para (b) y (c) necesitamos t

t =

∫ 30

0

(0.01334 t− 8.89× 10−4 t2 + 1.48× 10−5 t3) tdt +

∫ ∞30

(0) tdt = 11.97 min

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 5 10 15 20 25 30

Dp t(t

) pt (t)

Tiem po, m in

TiempoPromedio



• Flujo Segregado: CA = 0.613 M, CB = 0.416 M, fA = 0.639 y SB = 0.784

• b) Del inciso (a) para τ = t = 12 min, CA = 0.545 M y CB = 0.460 M

[fA1]Piston = 0.674 y [SB1]Piston = 0.797

• c) Tanque agitado

τ1 =CA0 − CA1

2 k1CA21 − 2 k′1CB1

τ1 =CB1

k1CA21 − k′1CB1 − 2 k2CB1

Para τ = 12 min, CA1 = 0.693 M y CB1 = 0.257 M

[fA1]Tanque Agitado = 0.592 y [SB1]Tanque Agitado = 0.510

• ¿A cual de los modelos ideales se asemeja mas el reactor real?

•OJO: Flujo segregado 6= [Tapon]τ=t ¿Cuando seran iguales?


Ejemplo 8.3Reactor continuo en fase lıquida

2A + B → C r1 = k1CACBA + 2B → D r2 = k2 CACB

2

A + D → E r3 = k3CACD

Datos de escalon:

t, min 35 47 60 67 75 81 85 93 115pt(t) 0.00 0.01 0.07 0.16 0.45 0.8 0.92 0.98 1.00

CA0 = 0.55 M y CB0 = 0.25 M

¿CA1, CB1, CC1, CD1 y CE1? ¡subındice sin lugar a confusion!



• Preparativos (Capıtulo 1):

CD = −(CA0 − CA) + (CB0 − CB) + CC (A)

CE = (CA0 − CA)− 0.5 (CB0 − CB)− 1.5CC (B)

• Primera Etapa: Reactor por Lotes:

dCAdt

= −2 k1CACB − k2CACB2 − k3CACD (C)

dCBdt

= −k1CACB − 2 k2CACB2 (D)

dCCdt

= k1CACB (E)

Condiciones Iniciales: CA = CA0, CB = CB0 y CC = 0 @ t = 0

Integramos... ¿hasta t =∞ o 115 min?

De tabla de resultados EXTRAEMOS los concordantes con pt(t)



0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 20 40 60 80 100 120

C ,

Mi p (t)

Tiempo, min

ABCD

E t

t, min pt(t) CA, M CB, M CC, M CD, M CE, M

35 0.00 0.2920 0.0752 0.1023 0.0191 0.0171

47 0.01 0.2615 0.0593 0.1145 0.0167 0.0214

60 0.07 0.2378 0.0475 0.1240 0.0142 0.0251

67 0.16 0.2277 0.0427 0.1208 0.0130 0.0267

75 0.45 0.2178 0.0380 0.1319 0.0117 0.0283

81 0.80 0.2114 0.0350 0.1345 0.0109 0.0294

85 0.92 0.2074 0.0332 0.1361 0.0104 0.0300

93 0.98 0.2004 0.0300 0.1389 0.0094 0.0312

115 1.00 0.1852 0.0231 0.1451 0.0072 0.0337



• CA, CB y CC en tabla con ecuaciones de diseno

• CD y CE en tabla con Ecuaciones A y B (Capıtulo 1)

• Concentraciones de salida con la Ecuacion 8.6 aproximada por tra-pecios:

Ci1 = Ci =

∫ 1

0

Ci(t) d[pt(t)] 'N∑n=2

{Ci|tn + Ci|tn−1

2[pt(tn)− pt(tn−1)]

}(F)

CA1 = 0.2196 M, CB1 = 0.0389 M, CC1 = 0.1312 M,CD1 = 0.0119 M y CE1 = 0.0280 M

• Solucion recomendada:

◦ No obtener perfiles de CD y CE ni usar Ecuacion F

◦ Con CA1, CB1 y CC1 en Ecuaciones A y B calcular directamente CD1 y CE1


Flujo Laminar• De bases en Fenomenos de Transporte:

v(r) = vmax

[1−

(rR

)2]

vmax = 2 v = 2 V0πR2

• Tiempo que salga los elementos a cada r

t =L

v=

L

2 v[1−

(rR

)2] =

t

2[1−

(rR

)2]

• [t]r=0 = t2, Despejando

r = R

√1− t

2 t(8.9)

• ¿t < t2?, Derivando

dr =

[1− t

2t

]−0.5(R t

4 t2

)dt (8.10)


Flujo Laminar

• Estamos tras pt(t)

◦ Si r ↑ V t ↑, tmin = [t]r=0 y tmax = [t]r=R =∞◦ Conforme r ↓ aumenta la frecuencia con que entran y salen elementos con ese r

◦ Conforme r ↑ hay “mas” elementos de que entran y salen con ese t

pt(t) =

∫ r0

1t 2πrdr∫ R

01t 2πrdr

=

∫ r0 t−1 rdr∫ R

0 t−1 rdr

• ¿Por que 1t? ¿Por que 2πrdr?

• Sustituyendo dr = F(t), ¡notar los nuevos lımites para la integracion!

pt(t) =

∫ tt2

R2t4t3

dt∫∞t2

R2t4t3

dt=

∫ tt2t−3dt∫∞

t2t−3 dt

=

[t−2

−2

]tt2[

t−2

−2

]∞t2

=4t 2 − 1

t2

4t 2 − 1

∞


Flujo Laminar

• Funcion acumulada:

pt(t) = 1−(t

2 t

)2

(8.11)

•Distribucion:

Dpt(t) =t2

2 t3(8.12)

•Muy importante: ¡aplicables solo para t2 < t <∞!

Las ecuaciones “cineticas” deben integrase desde t = 0, ¿por que?

• Error conceptual grave asociado a LECHOS EMPACADOS

“Aunque los flujos sean muy pequenos, si se tiene un reactortubular empacado no sera adecuado suponer flujo laminar en la

direccion radial del reactor”


Modelo de Dispersion Axial

πR2

[−DL

dCidz

]z

+vπR2 [Ci]z−πR2

[−DL

dCidz

]z+∆z

−vπR2 [Ci]z+∆z+r i πR2 ∆z = 0

• Es mezclado pero se trata como difusion, DL

DLd2Cidz2

− vdCidz

+ r i = 0 (8.13)

• ¿Y si fuera lecho empacado?


Dispersion Axial: Primer Orden

• Para Z = z/L y (−r i) = k Crl

DL

v L

d2CrldZ2

− dCrldZ− k L

vCrl = 0

• Solucion general para a y′′ + b y′ + c = 0

Crl = c1e[

1+β2

(vLDL

)Z]

+ c2e[

1−β2

(vLDL

)Z]

β =

√1 + 4 k

(DLvL

) (Lv

)• Numero de Peclet: Pe ≡ vL

DL, ¿Que representa?

• ¿Opciones para C.F.? ¿para dispersiones moderadas?

• Danckwerts obtuvo soluciones analıtica:C.F: Crl − DL

vLdCrldZ = Crl0 en Z = 0+ y dCrl

dZ = 0 en Z = 1

Crl1Crl0

= 1− frl1 =4β

(1 + β)2 e−(1−β)Pe

2 − (1− β)2 e−(1+β)Pe

2

(8.15)

• Notar que es conversion a la salida (k = 1) y ¡no representa un perfil!


Entendiendo las C.F.

ENTRADA Nodo sin rxn: V0Crl0 = V0 [Crl]z→0+ − AT DL

[dCrldz

]z→0+

• [Crl]Z→0+ − DLvL

[dCrldZ

]Z→0+

= Crl0 implica DISCONTINUIDAD, es decir,

[Crl]Z→0+ 6= Crl0

• Interpretacion: ¿Mezclado justo DESPUES de la entrada?

• Esta discontinuidad ⇒ Tanque Agitado cuando DL →∞

SALIDA Nodo sin rxn: V0 [Crl]z→L− − AT DL

[dCrldz

]z→L−

= V0Crl1

• ¿dCrldZ = 0? ¿No-rxn y/o no-mezclado?

• Explicacion de Danckwerts: a la salida sı debe existir continuidad

• Para que [Crl]Z→1− = Crl1, concluye que dCrldZ = 0


Dispersion Axial: 6= Primer Orden

• Para cineticas complejas o varias reacciones

DLd2Cidz2− vdCi

dz+ r i = 0 (8.13)

• Segundo V ODEs Primer OrdendCidz

= Yi (8.16)

dYidz

=v Yi − r i

DL(8.17)

•Metodo de disparo recomendado:

◦ Suponer [Ci]Z=1 sabiendo que ademas [Yi]Z=1 = 0

◦ Integrar de la salida a entrada

◦ Comprobar convergencia: ¿[Crl]Z=0 − DLvL

[dCrldZ

]Z=0

= Crl0?

• ¿Cuantas ecuaciones? ¿1 × rxn? ¿1 × iinterviene en cineticas?

• ¿Cuantos valores de DL? ¿Por que?


Ejemplo 8.4

2A→ B Segundo orden

V0 = 15 lts , y CA0 = 0.8 M

Reactor empacado: VT = 5,000 lt, εB = 0.45 y ρB = 0.8 gcm3

I.D. = 88 cm y DL = 500 cm2

sa) rcatalıticaV rhomogenea y [fA]Pistonb) [fA]Dispersion

• Equivalente a “‘volumen de reactor”

VR = VT εB = 5000 lt× 0.45volumen vacıo intergranular

volumen del recipiente= 2, 250 lt

• Catalıtica V homogenea

(−rA) =ρBεB

2 rP = 2×0.8 g

cm3 lecho× 1000cm3

lt

0.45 cm3 vacıocm3 lecho

× 8.7× 10−6 lt2

mol g sCA

2



• Velocidad en la cama, 6= vS

v =V0

Area transversal vacıa real=

15 lts × 1000cm3

lt

0.45 π (88 cm)2

4

× m

100 cm= 0.055

m

s

• Longitud del reactor

L =VT

π (Dinterno)2

4

=5, 000 lt× 1000cm3

ltπ (88 cm)2

4

× m

100 cm= 8.22 m

• Sustituyendo ¿... +0.03093 ...?

dCAdz

= Y en unidades demol

m ltdY

dz=

0.055 ms Y + 0.03093 lt

mol s CA2

500 cm2

s × m2

10,000cm2

• ¿C.F. y metodo?



0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Flujo Tapón

CA

, M

Longitud de Reactor, m

∞

0.005

0.05

0.5

5

Coef. Dispersión, m2/s

• Convergencia: CAZ = 1 = 0.2034 M

• Notese la discontinuidad y aunque se fijo [YA]Z = 1 = 0,

se “aprecia” cierta pendiente cuando z → L− y DL → 0



-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8

∞

YA

, M/m

Longitud de Reactor, m

0.005

0.05

0.5

5

Coef. Dispersión, m2/s0.001

• Notar que se cumple [YA]Z = 1 = 0

• Conforme se aproxima a flujo tapon[

d2CAdz2

]Z → 1

⇒∞

y se tendran problemas numericos; ¿importa?


Estimacion de DL

• Algunas correlaciones V

Levenspiel, “Chemical Reaction Engineering,” 3a. Edicion, Wiley (1999) p309-311.

• Evaluacion propia: Escalon con C0 = 0

pt(t) =C

C+(8.20)

•Modelo dinamico para Trazador (Obvio: sin rxn)

DL∂2C

∂z2− v∂C

∂z=∂C

∂t(8.21)

• C.I. y abiertas, ¿validas? ¿abiertas? ¿semi-abiertas? ¿otras posibles?

C = C+ para t = 0 y z < 0 (1)

C = 0 para t = 0 y z > 0 (2)

C = 0 para z = +∞ y t ≥ 0 (3)

C = C+ para z = −∞ y t ≥ 0 (4)


Estimacion de DL

• Cambio de variable para solucion: α ≡ z−v t√4DL t

(8.22)

d2C

dα2− 2α

dC

dα= 0 (8.23)

• y′′+f (x)y′+g(x) = 0V buscar 2 soluciones particulares independientes

• Condiciones equivalentes: y (3) V (1’); (2) y (4) V (2’)

C = 0 para α = +∞ (1’)

C = C+ para α = −∞ (2’)

• ¿Ventajas de cambio de variable? ¿Implicaciones de “abiertas”?

• Solucion aplicada a L

pt(t) =1

2

1− fer

√Pe

2· 1− t/(VR/V0)√

t/(VR/V0)

(8.24)

• ¿Que es fer(x)? ¿fer(0)? ¿fer(-x)? ¿fer(∞)? ¿d[fer(x)]/dt?


Estimacion de DL

• ¿Como aplicamos la Ecuacion 8.24 con mınimos cuadrados?

Min∑

[pt(t)exp − pt(t)

est]2

•Metodo de la pendiente: Derivando Ecuacion 8.24{d[pt(t)]

dt

}t=

VR1V0

=1

2× VR1

V0

√vL

πDL(8.26)

• ¿Ventajas y desventajas del Metodo de la Pendiente?

• Otros: Metodo de la Variancia, Dpt(t) ≈ Curva Normal

Ver: C.G. Hill, Jr., “An Introduction to Chemical Engineering Kinetics & Reactor

Design,” Wiley (1977)

• ¡Seleccionar cuidadosamente los datos respecto a t para evitar un

ajuste tendencioso! What’s that?


Tanques Agitados en Serie• El modelo mas facil de visualizar y es aplicable a tanto a tubulares

como tanques agitados

(VR)c/reactor del modelo = VRn tc/reactor del modelo = t

n

• B.M. Dinamico para el trazador en segmento κ

V0Cκ−1 − V0Cκ =VRn· dCκ

dt

• Para un escalon y κ = 1: [C0]todo t = C+ y [C1]t=0 = 0

C1

C+= 1− e−nt/t

• Para κ = 2 y κ = 3: C1 = F(t) y [C2]t=0 = 0; C2 = F(t) y [C3]t=0 = 0

C2C+ = 1− e−nt/t

[1 + nt

t

]C3C+ = 1− e−nt/t

[1 + nt

t+ 1

2

(ntt

)2]


Tanques Agitados en Serie• Generalizando y notando que pt(t) = Cn/C+

pt(t) = 1− e−nt/t[

n∑κ=1

1

(κ− 1)!

(nt

t

)κ−1]

(8.28)

• Derivandola {d[pt(t)]

dt

}t=t

=nn e−n

t (n− 1)!(8.29)

• OJO: n debe ser ENTERO

• ¿Podemos aplicar Metodo de la Variancia o Mınimos Cuadrados?

• ¿Y si los datos son de un PULSO?


Extension a Fase Gaseosa

• Si V ≈ constante, aplicacion directa

• Datos dinamicos deben obtenerse con REACCION

◦ Dinamicos respecto al trazador, en E.E. respecto a la reaccion

• ¿Se podrıan desarrollar solucion analıticas equivalentes a las Ecua-

ciones 8.24 y 8.28? [pt(t) para dispersion y n-tanques]

• ¿Que tipo de problema numerico representa la optimizacion?

• ¿Es posible resolverlo?


Comparacion entre los Modelos

��

��

��

��

��

��

��

p ( t )

t / t

��

�!�"�#�$��%'& ()�*�+&-,

/. & �101�3254�67�"�8&�9+�

�:2;#<-<-<;#<-<;#<;

�=>;#?

@"ACB#DFEFG3H8B IKJ

@*ACB ELGMHNB J∞∞∞∞ ∞∞∞∞


Ejemplo 8.5: Retoma Ejemplo 8.1

Operacion estable con C0 = 0.122 M

Perturbacion escalon con C+ = 0.548 Mt, s 10 20 30 45 60 90 120 200 400 1000C, M 0.126 0.143 0.207 0.314 0.378 0.484 0.505 0.527 0.544 0.547

Optimice Pe y n

• Comparando datos con Figura 8.14, t ≈71 s

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 200 400 600 800 1000

p t(t)

Tiempo, s

Ajuste con polinomio de 3er orden

Ajuste tipo Monod

��

��

��

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��

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p ( t )

t / t

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@"ACB#DFEFG3H8B IKJ

@*ACB ELGMHNB J∞∞∞∞ ∞∞∞∞



• Se trata de la funcion acumulada de probabilidad, ¿que ecuaciones?

• De la comparacion V Aprox. Iniciales Pe=5 y n=3

pt(t) Error2

t, s Experimental Pe = 5 n = 3 Pe = 5 n = 3

10 0.0094 0.0001 0.0092 0.000086 0.000000

20 0.0493 0.0162 0.0541 0.001096 0.000023

30 0.1995 0.0801 0.1355 0.014256 0.004096

45 0.4507 0.2335 0.2967 0.047176 0.023716

60 0.6009 0.3949 0.4652 0.042436 0.018414

90 0.8498 0.6465 0.7316 0.041331 0.013971

120 0.8991 0.7994 0.8812 0.009940 0.000320

200 0.9507 0.9565 0.9903 0.000034 0.001568

400 0.9906 0.9990 1.0000 0.000071 0.000088

1000 0.9977 1.0000 1.0000 0.000005 0.000005∑0.1564 0.0622



• Se trata de la funcion acumulada de probabilidad, ¿que ecuaciones?

��

��

��

��

��

��

��

� � � � � �

� ��

Pe

ΣΣ ΣΣ

n∑

Error2

1 0.1001

2 0.0416

3 0.0623

4 0.0924

5 0.1218

6 0.1487



• Comparacion final OJO: No se incluyen datos para t > 200 s

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 .0

0 5 0 1 00 1 5 0 200

P e = 3 .2n = 2

p �(t)

Tiempo, s

• ¿Cual es mejor? ¿Por que resulto pobre el ajuste con dispersion?


Recapitulacion

• Existen otros modelos reportados

• Flujo segregado: Reactorcitos-por-lotes con Dpt(t)

• Dispersion: Un parametro DL

◦ Como “difusion” pero representa mezclado

◦ Se pueden emplear metodos numericos para otras C.F.

• Tanques agitados: Un parametro n

◦ Optimizacion entera

• Es muy riesgoso utilizar polinomios sin verificar su comportamiento

en el rango de interes (No solo para reactores)

• ¿Orden en la dificultad para adaptarlos a fase gaseosa?


c©Dr. Fernando Tiscareno LechugaDepartamento de Ingenierıa Quımica

Instituto Tecnologico de CelayaVersion Preliminar para Segunda Edicion del 28 de agosto de 2018


Cap tulo 8 Patrones No-Ideales de Flujo - ITCfernando/ABC_Reactores/... · Pel cula en la pared del...

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