Cap 3 Maquina Primitiva a-b
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7/24/2019 Cap 3 Maquina Primitiva a-b
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Prof. Ing. Tomas Palma
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7/24/2019 Cap 3 Maquina Primitiva a-b
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Introduccin
Es una maquina que suministra energa elctrica a los circuitos del rotor por medio de
un conmutador y unas escobillas.
Mientras las escobillas se deslizan de un segmento del conmutador al siguiente, la
disposicin de los circuitos del rotor mantiene una distribucin de corriente en la
superficie del rotor, fija en el espacio respecto al estator. Por este modo al suministrar
al mecanismo del conmutador y las escobillas una corriente constante se genera uncampo magntico estacionario en la estructura del rotor.
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Devanado de anillos deslizantes
Los devanados de anillos deslizantes del rotor, se pueden representar en la forma quese indica en la Fig. 1. Los dos ejes se designan ary br, simbolizando a los ejes a yb
del rotor de la mquina. Como los devanados son del rotor, estn dibujados dentro del
circulo. El eje aforma un ngulo con el eje den el sistema de ejes fijos d-q. Cuando
el rotor gira, los ejes ary bry el devanado de anillos deslizantes giran con l.
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Figura 1. Esquema de dos devanados de anillos deslizantes del rotor, en cuadratura.
ar
br
i ar
ibr
d
q
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Las corrientes superficiales de los devanados directo y de cuadratura del rotor para una
mquina de n pares de polos:
= / (1)
=
/ (2)
Siendo y
cos las respectivas vueltas por metro en un ngulo . Estas
ecuaciones son independientes de la posicin de la velocidad angular del rotor.
Para la dependencia del ngulo variable que es formado por el eje fijo d y el eje mvila, en sentido anti horario:
=
/ (3)
=
/ (4)
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Cuando el ngulo es variable, cuando el rotor gira a una velocidad angular constante
, =
, y = 0 , donde 0 es la posicin inicial de los ejes a-b en
el instante t=0. Suponiendo que 0 = 0y sustituyendo:
=
/ (5)
=
/ (6)
Aplicando la ley circuital de Ampere, hallamos los campos magnticos en el entrehierro
debido a las corrientes de los devanados a-b del rotor:
=
(7)
=
(8)
Donde aes el radio del rotor y g()la longitud del entrehierro, que tiene un periodo de
/n radianes. Si = , dichos campos de entrehierro giraran en sentido contrario al
horario, con una frecuencia angular de /.
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Distribuciones D-Qsuperficiales de
corriente, giratorias, en el rotorSuponiendo que los dos devanados del rotor, d-q, se excitan mediante corrientes
sinusoidales con la siguiente relacin de fase:
= 2
(9)
= 2
(10)
Donde y
son valores eficaces de las corrientes, es la frecuencia en radianes de
las corrientes de excitacin y es un ngulo arbitrario de fase.
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Sustituyendo dichas corrientes d-q en las ecuaciones (1) y (2), las distribuciones de
corriente en la superficie tendrn la forma:
=
(11)
=
(12)
Al combinar las ecuaciones (11) y (12), la corriente total en la superficie d-q en lasuperficie del rotor, viene dada por:
=
+
(13)
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Si hacemos que los factores de distribucin sean iguales. Haciendo: =
= , la ecuacin
(13) se convierte:
=
(14)
El primer termino representa una distribucin giratoria de corriente alrededor del rotor, en sentido
anti horario y a una frecuencia angular de / .
El segundo termino es una distribucin giratoria anloga, en sentido horario y a la misma
frecuencia angular del primer termino.
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Distribuciones superficiales
equivalentes de rotorA-B
yD-Q
En el rotor d-q, los devanados se alimentan a travs de un conmutador y escobillas, las
distribuciones que son fijas en el espacio respecto al estator vienen dadas por:
=
(15)
= (16)
Los devanados a-b del rotor se alimentan por medio de anillos deslizantes, cuyas
distribuciones resultantes vienen dadas por:
= (17)
=
(18)
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En la Fig. 2 se representan esquemticamente los devanados de rotor a-by d-qy sus
respectivos sistemas de ejes.
Figura 2. Devanados del rotor en los sistemas de ejes a-by d-q.
r
ar
b
r
iar
idr
ibr
iqr
d /dt
d
q
-
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Determinaremos las corrientes que deben circular por los devanados d-q, para
establecer la misma distribucin de corrientes en la superficie del rotor, que la
establecida por las corrientes en los devanados a-b. Hallaremos los valores de e
en
funcin de e
. Sumando las ecuaciones (15) y (16), se obtiene:
=
(19)
Anlogamente, la corriente total en la superficie del rotor, resultante de e
, se
obtiene sumando las ecuaciones (17) y (18):
=
(20)
Mediante transformaciones en la ecuacin (20) obtenemos:
=
(21)
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Comparando las ecuaciones (19) y (21), para hacer que las distribuciones de corrientes
y
sean idnticas:
=
(22)
=
(23)
Considerando que los factores de distribucin de los devanados del rotor son idnticos,
as como los devanados del estator tambin estn igualmente constituidos. Para los
factores de distribucin del rotor:
=
=
=
.
Sustituyendo en las ecuaciones (22) y (23):
=
=
(24)
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La relacin de corrientes a-b y d-qen la ecuacin (24) se pueden expresar en forma
matricial:
= ,
(25)
Donde:
=
(26)
=
(27)
,
, a-bexpresa la transformacin de coordenadas de corriente del rotor d-q, a partir
de las coordenadas de corriente del rotor a-b, transformacin dada por:
, =
(28)
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Anlogamente si las corrientes vienen expresadas en el sistema de referencia d-qy se
desea obtener sus equivalentes en el sistema a-b, se pueden hallar a partir de la
ecuacin:
= ,
(29)
Donde , es la inversa de ,
y vale:
, = ,
=
(30)
Escribiendo las ecuaciones (9) y (10), que especifican las corrientes en los devanados
directo y de cuadratura del rotor en forma matricial:
=
=
2
2
(31)
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Aplicando la ecuacin (29) para hallar las corrientes equivalentes del rotor a-b:
=
= 2
(32)
El cual, desarrollando el producto de matrices y empleando las identidades
trigonomtricas al producto de seno y coseno de dos ngulos, obtenemos:
= +
(33)
=
+
(34)
Para simplificar el anlisis en las ecuaciones anteriores, suponemos que la excitacin d-
q esta compensada, es decir: = = y reemplazando en (33) y (34), las
ecuaciones de bobina a-bse reducen a:
= 2
= 2 (35)
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En ngulo , representado en la Fig. 2, define la rotacin entre los dos sistemas de
coordenadas. Suponiendo hacer girar al sistema de coordenadas a-b en el sentido
angular positivo con una frecuencia angular constante de /n rad/s, condicin que se
expresa as.
=
(36)
Donde es un ngulo de fase constante, que define el emplazamiento angular de los
dos sistemas de coordenadas en el instante t=0. Sustituyendo (36) en (39), se obtienenlas corrientes de este sistema giratorio de referencia a-b, dando:
= 2
= 2 (37)
Con y como ngulos de fase constante. Las ecuaciones (37) demuestran que lascorrientes en las bobinas ay ben este sistema giratorio de coordenadas, no dependen
del tiempo, sino que son corrientes continuas y constantes.
Averiguar que sucede si se sustituye =
= y (36) en las ecuaciones (33) y (34).
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Ecuaciones y parmetros de la
mquina A-BEn la Fig. 3 se ha representado la maquina primitiva d-q completa, de cuatro
devanados.
Figura 3. Mquina primitiva d-qcon cuatro devanados.
r
rT
idr
vdr+ vd
s+
ids
iqr
iqs +
vqs
+vq
r
d
q
-
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Las ecuaciones de equilibrio de las puertas elctricas de la maquina d-q, en forma de
una matriz:
=
(38)
Donde se ha definido:
=
(39)
=
(40)
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Para la matriz de impedancia tenemos:
=
0
0
0
0
(41)
Matriz que es resultado de considerar devanados idnticos en el estator e idnticos en elrotor (aunque puedan ser de diferentes de los del estator en general).
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En la Fig. 4 se representa la maquina primitiva a-b, de cuatro devanados, idntica a la d-q,
con una excepcin importante: Los devanados del rotor en la mquina a-b se excitan
mediante anillos deslizantes.
Figura 4. Mquina Primitiva completa, a-b, con cuatro devanados.
r
rT
ar
br
bs
as
iar
var +
vas+
ias
ibr
ibs +
vbs
+vb
r
-
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Mediante la ecuacin (29), transformamos un grupo de corrientes d-qdel rotor, en otro
equivalente de corrientes a-b. Las corrientes del estator son idnticas en las dos
maquinas y por tanto, la siguiente ecuacin matricial sirve para transformar las cuatro
corrientes d-qen las corrientes equivalentes a-b:
= ,
(42)
Donde:
=
(43)
, =
1 00 1
0 00 0
0 0
0 0
(44)
E
se define en (40)
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La matriz dada en (44) se llama matriz completa de transformacin d-qa a-b, tambin
se le llama matriz de transformacin de estacionario a giratorio. Se observa que la
matriz , dada en la ecuacin (30) es solo una parte de matriz completa de
transformacin.
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Transformaciones de Trifsica a
BifsicaEn las maquinas primitivas a-b y d-q, se han situado los devanados del rotor y estator
en dos ejes separados 90. La Fig. 5 representa dos devanados idnticos del estatorsobre los ejes ay bde la maquina a-b.
Figura 5. Grupo de devanados del estator, en dos fases, en los ejesay b.
bs
as
ias
Kas
ib
s
Kbs
-
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Al circular corriente por dichos devanados , se establecen lminas de corriente,
distribuidas sinusoidalmente sobre la superficie interior del estator, laminas que, para
un devanado de npares de polos, vienen dadas por:
=
/
=
/ (45)
Para dos devanados idnticos del estator, tendramos:
=
= (46)
La maquina primitiva a-b tienen dos circuitos en el estator y otros dos circuitos,
alimentados mediante anillos deslizantes, en el rotor, cada uno de los cuales se llama
fase. La maquina a-b tiene un estator de 2 fases y un rotor tambin de 2 fases. Las
maquinas polifsicas mas corrientes tienen devanados de tres fases en vez de tener los
dos.
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En la Fig. 6 se ha representado un estator de tres fases, con tres devanados idnticos en
los ejes , y .
Figura 6. Grupo de devanados del estator, en tres fases en los ejes, y .
s
is
Ks
K
s
is
s
s
K
sis
2 /3
2 /3
2 /3
-
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Cada devanado establece una distribucin sinusoidal de corriente de npares de polos, a lo
largo de sus ejes respectivos. No obstante, cada una de las distribuciones esta a 2/3
radianes, o 120, de las otras dos, en vez de los /2 radianesdel devanado de 2 fases. Por
tanto, las laminas de corriente establecidas por las corrientes en los tres devanados,
representados en la Fig. 6 vendrn dadas, respectivamente por:
=
/
=
3
/
=
3
/ (47)
Para devanados idnticos, los factores de distribucin son idnticos:
=
= =
(48)
La distribucin total de corriente en la superficie debida a los devanados del estator
trifsico, se halla sumando las distribuciones individuales. De este modo obtenemos la
distribucin total en el estator trifsico.
=
(49)
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Sustituyendo las ecuaciones (47), la distribucin total se expresa de la forma:
=
3
3
3
3
(50)
En forma anloga, la distribucin total de corriente en la superficie, establecida por los
devanados de los ejes ay b, viene dada por:
=
(51)
Sustituyendo las ecuaciones (45), tenemos:
=
(52)
Por conveniencia suponemos que los devanados de la maquina a-b tienen factores de
distribucin iguales a los trifsicos:
=
(53)
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Comparando las ecuaciones (50) y (52), podemos hacer =
, con tal de que las
corrientes a-bse elijan de tal forma que:
3
=
3
3
3
=
3
3
(54)
Sustituyendo los valores de sen (2/3)y cos (2/3)se transforma la ecuacin (54) en
forma matricial:
= ,
(55)
Donde:
=
(56)
-
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=
(57)
, =
3
1
0 3
3
(58)
La ecuacin (58) es la matriz de transformacin de trifsica a bifsica. La ecuacin (55)transforma las corrientes trifsicas en un conjunto equivalente de corrientes bifsicas.
Tambin se aplica para las variables respectivas de tensin de puerta. Si tenemos un
conjunto trifsico de tensiones de estator ,
, aplicado a los tres devanados de la
Fig. 6.
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El conjunto equivalente de tensiones bifsicas vendr dado por:
= ,
(59)
Donde:
=
(60)
=
(61)
Y la ecuacin (55) define la matriz de transformacin.
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El conjunto de devanados -- sobre el rotor de la mquina obtiene un conjunto
equivalente de devanados a-bdel rotor, cada uno de los cuales es idntico con los tres
devanados idnticos --del rotor.
La Fig. 7a, muestra la maquina trifsica completa con tres devanados en el rotor de
anillos deslizantes, cada uno con un factor de distribucin , y tres devanados en el
estator con un factor de distribucin cada uno. En la Fig. 7b, se representa la
mquina bifasica a-b equivalente que tienen los mismos factores de distribucion
para el rotor y para el estator.
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(a) (b)
Figura 7. (a) Mquina trifsica completa, simtrica. (b) Modelo a-bde la mquina bifsica
simtrica equivalente.
r
a
r
br
as
bs
s
r
K s K s
K s
K r K rK r
Ks
Kr
s
r
s
r
Ks
K
r