Cap 14 Uniones carpinteras cálculo 14 Uniones carpinteras...Estructuras de madera. Uniones 40...

Capítulo 14 Uniones carpinteras: cálculo 14.1 INTRODUCCIÓN El cálculo de las uniones carpinteras consiste, en general, en la comprobación de las tensiones normales de compresión localizadas y las tensiones tangenciales en los cogotes de las piezas, que se generan en la transmisión de los esfuerzos. En general, las uniones carpinteras no son capaces de resistir una inversión de esfuerzos, y la mayoría están pensadas para transmitir esfuerzos de compresión. Por tanto, es importante estudiar la posible inversión de esfuerzos, particularmente la debida a la acción del viento y, en especial, en cubiertas muy ligeras. En su caso, deberán disponerse herrajes aptos para responder ante esos esfuerzos (pletinas, pernos, etc.). Por otro lado, en la comprobación de las piezas, deberán tenerse en cuenta las reducciones de sección que sufren en el ensamble, debidas a rebajes y cajas. En algunos casos donde la justificación de la unión mediante el cálculo no es posible o fiable, deberá procederse al ensayo de modelos. Son pocas las normas de cálculo que incluyen reglas de dimensionado para las uniones carpinteras. Por un lado esto se debe a la falta de su empleo en las décadas recientes, donde las uniones de tipo mecánico habían sustituido a las carpinteras, casi de forma general. También se debe, en parte, a que las comprobaciones de la capacidad portante pueden plantearse de manera simplificada mediante la aplicación de los procedimientos de comprobación de tensiones de compresión localizada y de tensiones tangenciales. Este proceder no siempre incluye algunos fenómenos de concentración de tensiones y efectos de hienda y tracción perpendicular a la fibra, que pueden resultar críticos en el diseño de la unión. En la versión actual del Eurocódigo 5 no se tratan, mientras que en el DB-SE de Estructuras de Madera del CTE se incluyen únicamente unas reglas para el cálculo de las uniones embarbilladas. En el anexo nacional del Eurocódigo de algunos países Europeos como es el caso de Alemania y Austria, se proponen reglas para la comprobación de algunos tipos de uniones carpinteras, como el embarbillado y la caja y espiga (véanse las normas DIN EN 1995-1-1/NA:2013 y ÖNORM EN 1995-1-1/NA:2014). Su planteamiento recoge de manera muy similar las mismas reglas que se recogían en la antigua norma DIN 1052:2008. A continuación se exponen los procedimientos de comprobación que proceden principalmente de la normativa citada y de la bibliografía alemana.

Estructuras de madera. Uniones

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14.2 APOYOS Y COMPRESIÓN OBLICUA CONCENTRADA 14.2.1 Compresión perpendicular a la fibra La resistencia a compresión perpendicular a la fibra de la madera se determina mediante ensayo de una probeta con forma de paralelepípedo según la norma UNE-EN 408, quedando sometida a una tensión uniforme en toda la superficie de contacto. Esta disposición ofrece resultados menos favorables que cuando la compresión se ejerce sólo sobre una parte de la pieza, figura 14.1. En este caso, existe un efecto de ayuda de las fibras no comprimidas en las proximidades de la superficie de contacto.

Figura 14.1. Compresión perpendicular a la fibra. Izquierda: ensayo de probeta; derecha: compresión parcial con efecto de ayuda de las fibras de la zona no comprimida.

Este efecto es el que se da en el apoyo de una viga, figura 14.2. El efecto de ayuda se considera en el cálculo a través de considerar un área eficaz Aef, superior al área real de contacto, definida por la expresión siguiente:

)aal(blbA 21efef (14.1) donde b anchura de la zona comprimida; lef longitud eficaz en dirección paralela a la fibra; l longitud de contacto;

a1, a2 longitudes añadidas por el efecto de ayuda. Se tomarán igual al menor valor entre 30 mm y l.

La condición que debe cumplirse es la siguiente,

1fk d,90,c90,c

d,90,c (14.2)

Capítulo 14. Uniones carpinteras: cálculo

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Figura 14.2. Área eficaz en los apoyos extremo e intermedio de una viga.

donde

c,90,d tensión de cálculo de compresión perpendicular a la fibra producida por la fuerza aplicada Fd sobre la superficie eficaz (Fd/Aef);

fc,90,d resistencia de cálculo a compresión perpendicular a la fibra;

kc,90 factor que es función de la configuración de la unión, la posibilidad de hienda y la deformación por compresión.

- En durmientes (apoyados en continuo), siempre que l1 2·h, figura

14.3 kc,90 = 1,25 madera maciza de coníferas kc,90 = 1,50 madera laminada encolada de coníferas - En piezas sobre apoyos puntuales, siempre que l1 2·h, figura 14.3 kc,90 = 1,50 madera maciza de coníferas kc,90 = 1,75 madera laminada encolada de coníferas,

siempre que l 400 mm

donde h es el canto de la pieza y l es la longitud de contacto. En el caso de que no se cumpla la relación expresada entre l1 y h, se tomará kc,90 = 1.


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Figura 14.3. Pieza apoyada en continuo (izquierda) y con apoyos puntuales (derecha).

14.2.2 Compresión oblicua a la fibra La comprobación de la compresión oblicua de acuerdo con el Eurocódigo 5 y en el DB-SE-M es la siguiente,

1f d,,c

d,,c (14.3)

En la que la resistencia a la compresión oblicua, fc, ,d, se define en la siguiente expresión,

22

d,90,c90,c

d,0,c

d,0,cd,,c

cossenfk

ff

f (14.4)

Donde kc,90 es el factor definido en el apartado anterior. La comprobación de la compresión oblicua a la dirección de la fibra establecida en la versión anterior de la norma DIN 1052:2008, difiere ligeramente de la anterior, y es la siguiente,

1fk d,,cc,

d,,c (14.5)

donde

c, ,d tensión de compresión oblicua a la fibra;

ef

dd,c, A

F

donde F d es la fuerza oblicua;


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Aef el área eficaz, definida en el apartado anterior (Aef = b·lef), figura 14.4. Se tomarán los valores de a1 y a2 iguales al menor valor entre 30 mm y l, sin llegar a superar las dimensiones de la pieza.

Figura 14.4. Compresión oblicua.

kc, = 1 + (kc,90 – 1)·sen (14.6) donde kc,90 es el factor definido en el apartado anterior (14.2.1);

fc, ,d resistencia a compresión oblicua a la fibra, definida por la siguiente

expresión,

4cos2

cossenf5,1

f2sen

ff

ff

d,v

d,0,c2

d,90,c

d,0,c

d,0,cd,,c (14.7)

donde,

fc,0,d, fc,90,d y fv,d son las resistencias de cálculo a compresión paralela y perpendicular a la fibra y a cortante, respectivamente.

Comentarios: la ecuación 14.7 es de aplicación general, pero en la misma norma DIN 1052:2008 existía otra expresión ligeramente diferente que es específica para la comprobación del ensamble de barbilla, véase apartado 14.5.1.3, ec. 14.25. La resistencia a compresión oblicua obtenida por la ecuación 14.4 (Eurocódigo 5) o por la ecuación 14.7 (DIN 1052) difieren poco, como puede comprobarse en la figura 14.5. Las mayores diferencias se producen cuando el valor de kc,90 es grande, dando lugar a valores de kc,90·fc, ,d ligeramente mayores a fc,0,d para ángulos muy pequeños (entre 2 y 4º).


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Figura 14.5. Relación entre la resistencia a compresión oblicua y la resistencia a compresión paralela a la fibra obtenida mediante la ecuación 14.4 (Eurocódigo 5) y la ecuación 14.7 (DIN 1052) para una clase resistente C22 (relación fc,0,k/fc,90,k = 8,33 y

fc,0,k/fv,k =5,26), tomando kc,90 =1. Un ejemplo de aplicación es el caso del apoyo de una pieza inclinada, figura 14.6. La longitud eficaz a considerar será igual a la longitud real de contacto más las longitudes añadidas c1 y c2, medidas en la dirección de la fibra.

Figura 14.6. Compresión oblicua en el apoyo de un par.

Así, la longitud eficaz es,

21ef ccll (14.8) donde c1 y c2 son los menores valores entre 30 mm·cos , l o la distancia hasta el final de la pieza.


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Otro caso de compresión oblicua se encuentra en el apoyo de un par sobre una viga o correa de cubierta, figura 14.7.

Figura 14.7. Compresión oblicua en el apoyo de un par sobre una viga.

En la viga hay una compresión perpendicular a la fibra y la comprobación, según la ecuación 14.2, es,

1fk d,90,cd,90,c

d,90,c

donde

c,90,d compresión perpendicular a la fibra ef

dd,90,c A

F

donde, mm) 302b(lAef y en el par, la compresión es oblicua, c, ,d,

cosmm 302lcclA;AF

21efef

dd,,c

Debiendo realizar la comprobación de acuerdo con la ecuación 14.3 (o 14.5 si se siguiera el criterio de la norma DIN 1052). EJEMPLO 14.1: Una correa de madera laminada encolada de clase resistente GL24h con una sección transversal de 100x300 mm apoya en la cara de una viga mediante un herraje de cuelgue fabricado en chapa de acero de 2,5 mm de espesor, figura 14.8. La correa se dispone en posición normal a la cara superior de la viga que tiene una pendiente de un 5% (2,862º) y se encuentra en una clase de servicio 1. Bajo la actuación simultánea de la carga permanente y la carga de nieve (de duración


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corta) el valor de cálculo del cortante en el apoyo presenta las siguientes componentes: Vy,d = 14,752 kN y Vz,d = 0,737 kN. Se desea comprobar la compresión perpendicular a la fibra en la base de asiento de la correa. La comprobación de la tensión perpendicular a la fibra debe hacerse para la componente Vy,d y para la Vz,d. Sin embargo, la segunda componente tiene un valor muy pequeño y el área de apoyo es grande, por lo que no es relevante. La tensión perpendicular a la fibra se obtiene repartiendo el esfuerzo cortante Vy,d entre el área eficaz de apoyo, según la ecuación 14.1:

221efef mm 9000)3070(90)aal(blbA

La anchura de apoyo b, se ha tomado igual a la anchura de la correa (100 mm) menos 10 mm que representan 5 mm de disminución de la anchura apoyada en cada arista de la sección debido al biselado que se hace para facilitar el asiento en el herraje. La longitud del apoyo se ha tomado igual a la longitud de la base de apoyo del herraje (80 mm) menos 10 mm que pueden darse por una holgura constructiva en el largo de la correa. Además, una de las dimensiones ai se toma igual a 30 mm y la otra nula. Por tanto la tensión de cálculo será,

2

ef

d,yd,90,c N/mm 64,1

900014752

AV

Figura 14.8. Ejemplo de apoyo de correo de madera laminada encolada.


41

Y la comprobación de acuerdo con la ecuación 14.2,

152,080,175,1

64,1fk d,90,c90,c

d,90,c

Donde kc,90 = 1,75 para apoyos puntuales en piezas de madera laminada encolada y la resistencia de cálculo a compresión perpendicular a la fibra para clase de servicio 1, duración corta y clase resistente GL24h es,

fc,90,d = kmod·fc,90,k/ M = 0,9·2,5/1,25 = 1,80 N/mm2 EJEMPLO 14.2: Una viga continua de tipo Gerber con un enlace articulado debe transmitir un esfuerzo cortante de cálculo Vd = 105 kN en una combinación para una duración corta de la carga, figura 14.9. La viga tiene una sección transversal de 140x1500 mm, es de clase resistente GL24h y se encuentra en clase de servicio 1. El enlace se ha resuelto mediante un herraje oculto como se describe en la figura, en forma de doble T. El alma tiene un espesor de 6 mm y se aloja en una ranura de 8 mm de anchura. La carga se transmite por compresión perpendicular a la fibra a través de unas chapas de 8 mm de espesor que tienen una superficie de 130x250 mm. Se desea comprobar la validez del nivel de tensión de compresión perpendicular sobre dichas placas. La tensión de compresión perpendicular a la fibra se calcula repartiendo la fuerza, en este caso, el esfuerzo cortante Vd, entre la superficie eficaz de apoyo

2

ef

ddc,90, N/mm 074,3

34160105000

AV

donde el área eficaz tiene en cuenta la distancia a2 = 30 mm en dirección paralela a la fibra y descuenta los 8 mm de la anchura de la ranura en la pieza de madera. Según la ecuación 14.1,

221efef mm 34160)30250()8130()aal(blbA

La comprobación se efectúa de acuerdo con la ecuación 14.2,

198,080,175,1

074,3fk d,90,c90,c

d,90,c

donde, kc,90 = 1,75, para madera laminada encolada de coníferas, siempre que l = 250 400 mm;


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fc,90,d = kmod·fc,90,k/ M = 0,9·2,5/1,25 = 1,80 N/mm2 Por lo que la tensión es válida.

Figura 14.9. Ejemplo de comprobación de la tensión de compresión perpendicular. 14.3 APOYOS CON ENTALLADURAS En el caso de vigas con entalladuras en los apoyos, figura 14.10, la comprobación de cortante se realizará utilizando el canto eficaz o reducido de la sección, hef. Por tanto, la tensión máxima de cortante en vigas de sección rectangular viene dada por la ecuación siguiente:

ef

dd hb

V5,1 (14.9)

Donde Vd es el cortante de cálculo en el apoyo y b es el ancho de la sección. Aunque ni la versión actual del Eurocódigo 5, ni el CTE DB-SEM, lo mencionan, parece lógico que en la ecuación anterior se utilice el ancho eficaz, multiplicando b por el coeficiente kcr,


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por la posibilidad de la existencia de fendas de secado (véase apartado 6.3.1.2 del Tomo I, ecuación 6.13).

Figura 14.10. Apoyo de vigas con entalladura.

La condición que debe cumplirse es la siguiente:

1fk d,vv

d (14.10)

donde, kv factor de reducción que adopta los valores siguientes:

- En el apoyo extremo de vigas con el rebaje en la parte inferior, figura 14.10a.

2

5,1

n

v

1hx8,01h

hi1,1

1k

1

mink (14.11)

i d/(h-hef), define la inclinación del rebaje, figura 14.10a; h canto de la viga en mm, figura 14.23a; x distancia desde el eje del apoyo hasta el final del rebaje, figura 14.10a;

hef/h; kn 4,5 para madera microlaminada, 5 para madera maciza y 6,5 para

madera laminada encolada. - En el apoyo extremo de vigas con el rebaje en la parte superior, figura 14.10b.

1kv


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Comentarios: esta comprobación para apoyos con entalladuras está recogida de manera común en las normas UNE-EN 1995-1-1, DIN 1052:2008 y DB-SE Madera del CTE. 14.4 UNIÓN DE CAJA Y ESPIGA 14.4.1 Apoyo de pie derecho sobre el durmiente La unión de caja y espiga es utilizada en el apoyo de pies derechos sobre una pieza transversal denominada durmiente que a su vez descansa en continuo sobre un lecho, figura 14.11. La espiga tiene la función de afianzar lateralmente la unión, pero la carga se transmite a través de la superficie que rodea la espiga. Para garantizar esto, la longitud de la espiga es ligeramente menor que la profundidad de la caja. Las dimensiones de la sección transversal de la espiga pueden ser del orden de (4/5)·h’ y b/3.

Figura 14.11. Encuentro de caja y espiga entre pie derecho y durmiente.

Debe cumplirse la siguiente condición,

1fk dc,90,c,90

dc,90, (14.12)

siendo

c,90,d tensión de compresión perpendicular a la fibra sobre el durmiente, calculada con un área eficaz, Aef;

ef

ddc,90, A

N (14.13)


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Aef área eficaz calculada como el área de contacto (zona rayada en la figura) más una franja a cada lado de anchura igual a b y longitud a1 y a2, en la dirección de la fibra;

a1, a2 el menor valor entre 30 mm, l o l1/2 (ó l2/2)

21ef aall (14.14)

fc,90,d resistencia de cálculo a compresión perpendicular a la fibra del durmiente;

kc,90 factor que es función de la configuración del encuentro, la posibilidad

de hienda y la deformación por compresión. Para durmientes (piezas apoyadas en continuo, siempre que l1 2·h (y l2 2·h), kc,90 = 1,25 en madera maciza y kc,90 = 1,50 en madera laminada encolada. En caso de no cumplirse la condición anterior se tomará kc,90 = 1.

14.4.2 Caja y espiga trabajando a cortante En apoyos de vigas o viguetas sobre pilares o jácenas principales mediante caja y espiga la transmisión de la carga o reacción en el apoyo Vd, producirá en la espiga un esfuerzo cortante y una compresión perpendicular a la fibra, figura 14.12, cuya comprobación contempla el anexo nacional de Alemania del Eurocódigo 5 (DIN EN 1995-1-1/NA:2013) similar al contenido en la versión de 2008 de la norma DIN 1052.

Figura 14.12. Espiga en el apoyo de una viga.

En el caso de vigas con una altura de hasta h = 300 mm, el valor característico de la capacidad de carga de la espiga viene definido por la siguiente expresión,

kc,90,efc,

kv,vzecrk

flb1,7

fkkhbk32

minR (14.15)


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donde, kcr coeficiente que reduce la anchura de la sección en función de la

posibilidad de la existencia de fendas de secado (ec. 6.3.1.2 Tomo I de Estructuras de madera. Bases de cálculo). Su valor es 0,67 para la madera maciza y laminada encolada y 1,0 en otros productos derivados de la madera;

lc,ef = min (lc + 30 mm; 2·lc); kz coeficiente dependiente de la geometría de la espiga

)(2)(121k 2z (14.16)

con ece hhyhh kv coeficiente reductor de la resistencia a cortante

- En vigas con la entalladura en el lado opuesto al apoyo (hi = 0)

kv = 1,00

- En vigas con la entalladura en el mismo lado del apoyo (hi 0)

2

nv 1

hv0,81h

k1,00

mink

(14.17)

con hhe

kn = 4,5 en madera microlaminada 5,0 en madera maciza 6,5 en madera laminada encolada b, he, hc, h, lc véase figura 14.10. Comentarios: el factor kv de la ecuación 14.17 es el mismo que el de la ecuación 14.11 particularizada para el caso de ángulo recto (i=0). La espiga debe apoyar en toda su longitud, lc. Además deben cumplirse las siguientes condiciones,


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15 mm lc 60 mm

1,5 h/b 2,5 hs hi hi/h 1/3 hc h/6 v 0,4 · h

14.5 EMBARBILLADOS El embarbillado es un ensamble que consiste en el encaje de una pieza comprimida en otra pieza que la recibe mediante un entalle. Este encuentro es utilizado con frecuencia para resolver las uniones en las armaduras de cubierta y puede ser de varios tipos: frontal, en ángulo recto, de pecho y de talón. El Documento Básico de Seguridad Estructural para Estructuras de Madera incluye unas reglas para la comprobación de este tipo de unión, que se basaron en los borradores de la norma Suiza SIA 265:2003. El anexo nacional Alemán del Eurocódigo 5 (DIN EN 195-1-1/NA:2013) recoge unas reglas de comprobación de los embarbillados que prácticamente es coincidente con el contenido de la antigua norma DIN 1052:2008. Ambos métodos son expuestos en este apartado. 14.5.1 Embarbillado frontal 14.5.1.1 Generalidades El embarbillado frontal (o simple) es el ensamble más frecuente en la unión entre par y tirante de una cercha. El ángulo de corte de la barbilla es bisectriz del ángulo obtuso, 2· , formado por el par y el tirante; de esta manera la reducción de la resistencia a compresión oblicua en el frente del embarbillado corresponde a un ángulo igual a la mitad del ángulo agudo entre par y tirante, , figura 14.13, que es la mínima posible. 14.5.1.2 Reglas de predimensionado El predimensionado de la unión, de acuerdo con el anexo nacional del Eurocódigo 5 (DIN EN 1995-1-1/NA:2013) coincidente en el predimensionado con el DB-SE-M, se basa en las siguientes recomendaciones: - Profundidad de la barbilla, tv, figura 14.13:


48

60ºpara

6ht

50ºpara4ht

2v

2v

lineal)ción(interpola60º50para)(80120ht 2

v (14.18)

Figura 14.13. Embarbillado frontal simple.

- Longitud del cogote, lv:

La distribución de las tensiones tangenciales en el cogote no es uniforme sino que sigue una ley como la indicada en la figura 14.14 (Colling 2004, Villar et al. 2007, Aira et al. 2015a). La tensión tangencial es máxima en el vértice inferior de la caja y disminuye rápidamente a lo largo del cogote La capacidad de carga, lógicamente, aumenta con la longitud del cogote lv, pero se ha observado que para valores de la relación lv/tv mayores que 8, la capacidad de carga prácticamente ya no aumenta. El anexo nacional DIN EN 1995-1-1/NA:2013 admite la comprobación de la tensión tangencial con una distribución uniforme con la limitación de no considerar a efectos de cálculo un valor de lv > 8 tv. También se da un valor mínimo para la longitud del cogote que es de 200 mm según la versión de 2008 de la norma DIN 1052 y 150 mm en el DB-SE-M.

Figura 14.14. Distribución de las tensiones tangenciales en el cogote.

En el caso de embarbillado por ambas caras de la pieza, como ocurre en el encuentro


49

entre el pendolón de una cercha y las tornapuntas o los pares, figura 14.15, cada rebaje no deberá superar una profundidad tv = h/6, independientemente del ángulo, , de la unión (DIN EN 1995-1-1/NA:2013). Las piezas deben asegurarse mediante pernos, tirafondos o herrajes que garanticen su posición durante el transporte y montaje. Además, en servicio estos elementos mantienen las piezas en su plano.

Figura 14.15. Embarbillado por ambas caras de la pieza.

14.5.1.3 Comprobaciones en el embarbillado En este apartado para la comprobación de la unión se exponen, en primer lugar, las reglas indicadas en el anexo nacional DIN EN 1995-1-1/NA:2013 (similar a la norma DIN 1052:2008) y después las reglas recogidas en el DB SE-EM del CTE. En ambos casos se desprecian las fuerzas de rozamiento entre las superficies de las piezas, lo que equivale a admitir que sobre la superficie de la barbilla la tensión es perpendicular a la misma. Prácticamente toda la carga se transmite a través del frente de la barbilla, sobre todo si se produce una contracción de la madera por secado, figura 14.16.

Figura 14.16. Efecto de la contracción de la madera en la unión.


50

En la figura 14.17 se representan las fuerzas que llegan por el par. La fuerza principal es el axil N1d, que está acompañado por esfuerzo cortante, V1d. Éste último presenta un valor, generalmente mucho más reducido que el del axil, lo que lleva a que las normas ni siquiera lo consideran. En todo caso, su efecto es favorable en las comprobaciones relevantes que son las de compresión oblicua y tensión tangencial en el cogote.

Figura 14.17. Fuerzas que actúan en el par (embarbillado frontal).

La resultante de ambos esfuerzos, R, se descompone en dos fuerzas perpendiculares entre sí: F1 que resulta perpendicular a la superficie de la barbilla y F2 en dirección perpendicular a la anterior. Finalmente, para lograr el equilibrio en el nudo aparecen la fuerza horizontal F3, que coincide con el axil de tracción en el tirante, y la fuerza F4, que somete a compresión perpendicular al tirante y que sumada al esfuerzo cortante del tirante, constituyen la reacción en el apoyo. A continuación se incluyen las expresiones de estas componentes.

F1 = N1d · cos – V1d · sen (14.19)

F2 = N1d · sen + V1d · cos (14.20)

F3 = N1d · cos – V1d · sen (14.21)

F4 = F1 · sen + F2 · cos (14.22)

es el ángulo formado por la dirección del axil N1d del par con la perpendicular al plano del frente de la barbilla; y es el ángulo formado por la dirección del axil del par N1d (eje del par) con la horizontal (eje del tirante). a) Compresión oblicua en el frente de la barbilla Debe cumplirse la siguiente condición,


51

1f d,c,

d,c, (14.23)

Siendo c, ,d la tensión de compresión oblicua en el frente de la barbilla,

cos/tbF

v1

1d,,c (14.24)

F1 fuerza de compresión perpendicular a la superficie del frente de la

barbilla, ecuación 14.19;

fc, ,d la resistencia a compresión oblicua. Esta resistencia viene definida en el anexo DIN EN 1995-1-1/NA:2013 (y en la versión de 2008 de la norma DIN 1052) por la siguiente expresión,

coscossenf2

fsen

f2f

ff

4

2

dv,

dc,0,

2

2

dc,90,

dc,0,

dc,0,d,c, (14.25)

donde, fc, ,d resistencia de cálculo a compresión paralela a la fibra; fc,90,d resistencia de cálculo a compresión perpendicular a la fibra; fv,d resistencia de cálculo a cortante;

ángulo entre la dirección de la tensión de compresión y la dirección de la fibra. En este caso, = /2.

Comentarios: la ecuación 14.25 es específica para la comprobación de la compresión oblicua en ensambles de barbilla. En la misma norma DIN 1052 existe otra expresión ligeramente diferente que es de aplicación en otros casos (véase apartado 14.2.2 y ecuación 14.7). La ecuación 14.25 da resistencias mayores que la ecuación 14.7. La norma UNE-EN 1995-1-1 (Eurocódigo 5) no propone una expresión específica para la resistencia a la compresión oblicua en embarbillados. Por lo tanto, cabría interpretar que se debería utilizar la expresión general, ecuación 14.4, para la resistencia a la compresión oblicua, que da lugar a valores inferiores,


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cossenfk

ff

f22

dc,90,c,90

dc,0,

dc,0,d,c, (14.26)

donde kc,90 es un factor que no es aplicable en estos casos, tomando el valor unidad. b) Tensión tangencial rasante en el cogote Debe cumplirse la siguiente condición,

1f dv,

d (14.27)

donde,

d tensión tangencial en la superficie del cogote (b2 · lv) producida por la fuerza F3, ecuación 14.21.

v2cr

3d lbk

F (14.28)

Donde kcr es un coeficiente que reduce la anchura de la sección en función de la posibilidad de la existencia de fendas de secado (ec. 6.3.1.2 Tomo I). Su valor es 0,67 para la madera maciza y laminada encolada y 1,0 en otros productos derivados de la madera. Como se ha comentado anteriormente, la longitud lv no debe ser mayor que 8·tv, para poder admitir una distribución uniforme de la fuerza F3 en la superficie a rasante. Comentarios: de acuerdo con la normativa, en la ecuación 14.27 se emplea como valor de la resistencia fv,d, suponiendo una distribución uniforme de la tensión. En la realidad la distribución de la tensión es una curva parecida a una parábola o más simplificadamente a un triángulo. En este supuesto, debería aplicarse un factor de penalización de la resistencia del orden de 0,4 a 0,5. c) Compresión perpendicular sobre el tirante Debe cumplirse la siguiente condición,

1f d,90,c

d,90,c (14.29)

siendo,

c,90,d tensión de compresión perpendicular a la fibra sobre la superficie


53

(b1·l90) provocada por la fuerza F4 (ecuación 14.22). Donde l90 = h1/sen , es la proyección horizontal de la dimensión h1, figura 14.13.

11

4

901

4d,90,c hb

senFlb

F (14.30)

Esta tensión perpendicular a la fibra es muy reducida y no es crítica salvo en fuertes pendientes de los pares. La norma DIN 1052 no la cita entre las comprobaciones. Nota: en el cálculo anterior se ha supuesto que la componente vertical F4 se reparte sobre la superficie completa b·l90. Sin embargo, la fuerza F2, que es responsable de la mayor parte de la fuerza F4, puede transmitirse con facilidad por rozamiento en la superficie del frente de la barbilla; además la posible merma del tirante puede hacer, como ya se ha comentado, que se pierda en contacto entre par y tirante en la superficie larga. Generalmente, el valor de F1 es mucho mayor que el valor de F2, y el efecto del rozamiento permite la transmisión de F2 a través de la superficie de contacto, dando lugar a una compresión perpendicular a la fibra más concentrada que la expuesta en el apartado c). Por otro lado, el tirante normalmente descansará sobre un durmiente situado en la coronación del muro, y será necesario comprobar la capacidad a compresión perpendicular a la fibra entre tirante y durmiente. Generalmente, esta comprobación suele ser más desfavorable que la anterior, y lo habitual es que cualquiera de las dos no resulte relevante o crítica. 14.5.1.4 Comprobación de las piezas Prácticamente la totalidad de la fuerza axil N1d se transmite desde el par al tirante a través de la superficie pequeña del frente de la barbilla. Esto conduce a una desviación del esfuerzo axil, con una excentricidad e, que la norma DIN 1052 estima con la siguiente expresión, figura 14.18,

2

the v1

Esta excentricidad origina un momento flector en el par, Md = N1d·e, de signo positivo (tracciona el borde inferior). Este momento se sumaría al momento del vano, si existe. En el tirante se origina un momento flector, principalmente cuando los ejes de ambas barras tienen su intersección fuera de la línea de acción de la reacción, Vd, que puede calcularse de manera aproximada con la siguiente expresión, figura 14.19. Md Vd · a – N2d · h2 /2 (14.31)


54

Figura 14.18. Excentricidad en el par.

Figura 14.19. Excentricidad en el tirante.

La comprobación a realizar será la siguiente,

1ff dm,

dm,

dt,0,

dt,0, (14.32)

donde

t,0,d tensión de tracción producida por el axil, N2d, calculada con el área neta de la sección del tirante (descontando el rebaje);

m,d tensión de flexión originada por el momento flector Md, calculada

con el área neta;

ft,0,d y fm,d resistencias de cálculo a tracción paralela a la fibra y a flexión, respectivamente.

La distancia a, figura 14.19, siempre que sea posible deberá elegirse para minimizar el momento Md. Igualando el momento a cero se obtiene,


55

d

22d

V2hN

a (14.33)

Si se desprecia el valor del cortante en el par se obtiene que el valor óptimo de a es función del ángulo de la pendiente de cubierta , tabla 14.1.

Ángulo º Relación a/h2

20 0,41 25 0,38 30 0,35 35 0,33 40 0,29

Tabla 14.1 Distancia a para evitar momento flector

Reglas de comprobación del embarbillado del DB-SE-EM del CTE: El Documento Básico de Seguridad Estructural de Estructuras de Madera del CTE propone las siguientes comprobaciones, a) Longitud del cogote a, figura 14.20,

d,v

d

fbcosF

a (14.34)

Donde Fd = N1d. Esta ecuación es equivalente a la ecuación 14.27, pero considerando la fuerza F3 igual a N1d·cos ; es decir, se desprecia el efecto favorable del esfuerzo cortante. Aunque la norma no lo indica, sería recomendable aplicar el coeficiente kcr para disminuir la anchura de la pieza, b, por efecto de las fendas de secado (ec. 14.28).

Figura 14.20. Embarbillado simple según DB SE EM del CTE.


56

b) Profundidad de la barbilla, t, figura 14.20,

d,,c

d

fbcosF

t (14.35)

Donde = /2, siempre que el corte de la barbilla se haga con la bisectriz, como se indica en la figura 14.20, y Fd = N1d. Esta ecuación es equivalente a la ecuación 14.23, pero tomando F1 = N1d·cos , es decir despreciando el efecto favorable del cortante. Presenta, además como otras diferencias, el tomar una de las dimensiones de la barbilla igual a t, sin considerar el aumento de longitud debida a la inclinación; y por otro lado, la resistencia a compresión oblicua, fc, ,d se obtiene mediante la ecuación 14.26, tomando kc,90 = 1 y reduciendo la fc,0,d por el factor igual a 0,80. c) Canto del par, d,

d,,c

d

fbF

d (14.36)

Donde = , Fd = N1d y la resistencia fc, ,d se obtiene, igual que en el caso anterior, mediante la ecuación 13.26, tomando kc,90 = 1 y reduciendo la fc,0,d por el factor igual a 0,80. Las condiciones recomendadas para la geometría del embarbillado son las mismas que las definidas en el anexo nacional DIN EN 1995-1-1/NA:2013 (y en la antigua norma DIN 1052:2008), ecuaciones 14.18. 14.5.1.5 Proporción geométrica y capacidad de carga Para realizar un dimensionado simple puede seguirse el procedimiento que se expone a continuación. La condición debida a la capacidad de tensión tangencial en el cogote (ecs. 14.27 y 14.21), sin considerar el esfuerzo cortante (V1d = 0), lo que va a favor de la seguridad, lleva a la siguiente ecuación,

1flbk

cosN

dv,v2cr

1d (14.37)

Si se toma lv = 8·tv, es decir, el valor máximo que permite suponer una distribución uniforme de las tensiones rasantes, y además, se hace tv = h2/4 o tv = h2/5 se obtiene, la condición siguiente,


57

vv2vdt,0,

dv,crt,0

vv2vdt,0,

dv,crt,0

t8ly50º;/5ht paraff

k58i

t8ly50º;/4ht paraff

k2i (14.38)

Siendo it,0 el índice de agotamiento por tracción de la sección bruta del tirante deducido de la expresión: N2d /(b2·h2·ft,0,d). En la tabla 14.2 se resumen los índices de agotamiento, así obtenidos para algunas clases resistentes y para kcr = 0,67. De esta manera, por ejemplo para una clase C18 un embarbillado simple con una profundidad tv igual a la quinta parte de la altura de la sección del tirante y con una longitud lv igual a 8 veces tv, será válida siempre que el agotamiento del tirante frente a la tracción bruta no sea superior a 0,33.

Índice de agotamiento it,0 tv = h2/5 tv = h2/4

C14 C16

0,40 0,34

0,50 0,43

C18 C20

0,33 0,32

0,41 0,40

C22 C24

0,29 0,31

0,36 0,38

C27 C30

0,27 0,24

0,33 0,29

Tabla 14.2. Índices de agotamiento máximos del tirante en tracción bruta (it,0 = N2d

/(b2·h2·ft,0,d)), para la validez de la longitud del cogote lv = 8 · tv y para kcr = 0,67. Comentario: en el caso de limitar la tensión máxima de cortante al 40 o 50% de la resistencia fv,d, como se comentó en la ecuación 14.27, los índices de la tabla 14.2 quedarían igualmente multiplicados por 0,4 a 0,5, respectivamente. Por otro lado, la condición de compresión oblicua (ecs. 14.23 y 14.24) da lugar a la siguiente condición, despreciando el efecto favorable del cortante, V1d = 0,

1f/n)(hb

cosNftb

cosNf d,c,21

21d

d,c,v1

21d

d,c,

d,c,

Si, como simplificación, suponemos que la altura del tirante es igual a la altura del par (h2 = h1), queda

1fcosn

fcosn

hbN

d,c,

2

dc,0,d,c,

2

11

1d


58

siendo n un valor no menor que 4, según la profundidad de la barbilla. Tomando como valor de fc, ,d la expresión 14.23 se puede llegar a la siguiente condición:

cosnk

i 24

c,0 (14.39)

donde n = 4 para tv = h2 /4 y n = 5 para h2 /5, y el valor de k4,

cossen

ff

1k22

dc,90,

dc,0,4 (14.40)

El valor de k4 varía muy poco para las clases resistentes C14 a C30 y se tomará como una constante para cada ángulo . En la tabla 14.3 se resumen los resultados. Así por ejemplo, una profundidad de la barbilla tv = h/5 en una cercha con pendiente = 25º y con tirante y par de igual sección es válida siempre que el índice de agotamiento del par por compresión bruta (sin pandeo) no sea superior a 0,16.

Índice de agotamiento ic,0 º tv = h/5 tv = h/4 15 20 25 30 35 40

0,18 0,17 0,16 0,14 0,13 0,12

0,23 0,21 0,19 0,18 0,16 0,15

Tabla 14.3. Índice máximo de agotamiento del par por compresión bruta (sin efecto de

pandeo) admisible para la validez de la tensión de compresión oblicua en el embarbillado simple para clases resistentes C14 a C30 y tv = h/5 y h/4, tomando h1 = h2. 14.5.2 Embarbillado en ángulo recto 14.5.2.1 Generalidades El embarbillado en ángulo recto es igual que el frontal salvo la diferencia de que el corte de la barbilla se hace a 90º, lo que facilita su ejecución, figura 14.21. Sin embargo, su capacidad portante puede resultar algo menor debido, precisamente, a que este ángulo de corte conlleva una disminución de la resistencia a compresión oblicua para el tirante comparada con el embarbillado frontal. En la actualidad con la ayuda del control numérico, la fabricación es igual de sencilla para un embarbillado frontal o en ángulo


59

recto, por lo que no tiene ventaja esta opción.

Figura 14.21. Embarbillado en ángulo recto.

14.5.2.2 Reglas de predimensionado Son las mismas que para la unión frontal (14.5.1.2). 14.5.2.3 Comprobaciones en el embarbillado Al establecer el equilibrio de fuerzas de manera similar al caso del embarbillado frontal (14.5.1.3), se observa que la fuerza F1, perpendicular a la superficie de corte, coincide con el axil N1d del par, y la fuerza F2, con el cortante, V1d, figura 14.22. La fuerza F1 de compresión actúa en dirección paralela a la fibra en el par y de forma oblicua, con un ángulo , sobre el tirante.

Figura 14.22. Fuerzas que actúan en el par (embarbillado en ángulo recto).

a) Compresión oblicua en el frente de la barbilla Debe cumplirse la siguiente ecuación,

1f d,c,

d,c, (14.41)


60

siendo c, ,d la tensión de compresión oblicua en el frente de la barbilla,

/costbF

v1

1d,c, (14.42)

donde todos los términos tienen la misma definición que en el apartado 14.5.1.3 salvo el ángulo que coincide con el ángulo , de la pendiente del par. De esta manera la comprobación se realiza en el tirante, como pieza más desfavorable. b) Tensión tangencial rasante en el cogote Es válido lo expuesto en 14.5.1.3. c) Compresión perpendicular sobre el tirante Es válido lo expuesto en 14.5.1.3. 14.5.2.4 Comprobación de las piezas El axil del par sufre una excentricidad similar al caso del embarbillado frontal y las comprobaciones son las mismas. 14.5.3 Embarbillado de pecho Esta solución es menos frecuente en la construcción tradicional en España y es similar a la frontal, con la particularidad de que el par presenta una superficie frontal mayor que no penetra totalmente en el tirante. De esta manera presenta una ligera ventaja en el par ya que el axil apenas sufre excentricidad, figura 14.23.

Figura 14.23. Embarbillado de pecho.

Las reglas de predimensionado y las comprobaciones son las mismas que las del embarbillado frontal apartado 14.5.1.2). La única diferencia se presenta en que la excentricidad del axil N1d es prácticamente despreciable. En la bibliografía especializada se toma normalmente e 0, y en algunos casos e tv/4.


61

14.5.4 Embarbillado de talón En esta solución la barbilla se ejecuta en la parte trasera del par lo que aumenta la longitud lv, para resistir el esfuerzo rasante, sin que sea necesario aumentar la longitud del tirante, figura 14.24. Sin embargo, esta disposición conduce a una excentricidad del esfuerzo axil, e, y también la superficie que resiste la compresión perpendicular a la fibra sobre el tirante es menor. La parte delantera del par no es eficaz para transmitir tensiones debido a que puede perder el contacto con el tirante. El corte de la barbilla es en ángulo recto, lo que facilita su ejecución.

Figura 14.24. Embarbillado de talón.

Las reglas de predimensionado son las mismas que las del embarbillado frontal. La comprobación del par deberá considerar el momento flector añadido por la excentricidad, e, cuyo valor aproximado es el siguiente,

eNM;2/costh

e 1ddv1 (14.43 y 14.44)

La comprobación de la compresión oblicua en el frente de la barbilla se realiza de igual forma que en el embarbillado frontal, pero considerando el ángulo entre tensión y dirección de la fibra, con un valor = correspondiente a la pieza más desfavorable que es el tirante. La tensión tangencial rasante en el cogote se comprueba de igual manera que en el embarbillado frontal y la compresión perpendicular a la fibra sobre el tirante puede calcularse como el embarbillado frontal, pero con una longitud l90 más reducida,

tg1 tg

tl2

v90 (14.45)


62

14.5.5 Embarbillado doble 14.5.5.1 Generalidades Esta solución presenta la barbilla frontal, generalmente realizada con un ángulo , bisectriz del ángulo obtuso entre el par y el tirante, y una barbilla en el talón cortada con un ángulo recto. El axil N1d del par se reparte de forma aproximada, al 50 % sobre cada frente de las barbillas, y por tanto la excentricidad e, es prácticamente nula, figura 14.25a. Existe la posibilidad de que el corte de la barbilla frontal se realice en ángulo recto, como el talón. En este caso, el reparto del axil N1d, es ligeramente desigual quedando más cargado el talón, figura 14.25b. No obstante, la excentricidad es prácticamente despreciable.

Figura1 14.25. a) Embarbillado doble; b) Embarbillado doble con frontal y talón a 90º.


63

También se puede encontrar la solución representada en la figura 14.26 con una barbilla frontal y otra situada aproximadamente en el eje del par, trazada también con el ángulo bisectriz de la frontal. Las profundidades de las barbillas pueden ser muy similares, alcanzando 1/5 a 1/6 de h2. En el ejemplo 14.3a se analiza un encuentro de este tipo.

Figura 14.26. Embarbillado doble con dos barbillas, frontal y central..

14.5.5.2 Reglas de predimensionado El predimensionado de la unión de acuerdo con el DB-SE-M del CTE (excepto la condición tv1 0,8·tv2) y con la bibliografía (Informationsdienst Holz, 2000, Colling 2004) es el siguiente, - Profundidad de las barbillas,

/4htmm10tt;t0,8t;/6ht

2v2

v2v1v2v12v1 (14.46)

Nota: debe tenerse en cuenta que en la figura 14.25 (y 14.27) los dos rebajes tv1 y tv2, arrancan del mismo plano correspondiente a la cara superior del tirante. Sin embargo, en algunos casos es posible encontrar rebajes en los que el punto de arranque de uno de ellos no sea el mismo (véase el ejemplo 14.3a). En esos casos, debe hacerse una interpretación de la expresión 14.43 adecuada. Por ejemplo, la diferencia entre las profundidades de los rebajes, debe entenderse como un desfase entre los planos de rasante (mayor que 10 mm). - Longitud del cogote,


64

mm200l;t8lt8l

v2v2v2

v1v1 (14.47)

14.5.5.3 Comprobaciones en los embarbillados En este apartado se expone, inicialmente, el procedimiento de comprobación recogido de la bibliografía especializada (Informationsdienst Holz, 2000, Colling 2004) y al final se recogen las reglas de comprobación del DB-SE-EM del CTE. El equilibrio de fuerzas representado en la figura 14.17 para el embarbillado frontal, es válido para el embarbillado doble, con la salvedad de que las componentes de las fuerzas (F1, F2, F3 y F4) corresponden para cada frente de barbilla a la mitad del valor total (ó a 0,48 y 0,52 veces en el caso de frente y talón en ángulo recto). a) Compresión oblicua en los frentes de las barbillas En ambas barbillas debe cumplirse la siguiente condición,

1f d,c,

d,c, (14.48)

siendo c, ,d la tensión de compresión oblicua en la barbilla para cada caso,

- en la frontal, /costbFk

v11

1fd,c, (14.49)

donde,

ángulo entre la dirección de la tensión de compresión y la dirección de la fibra. Para el frontal en bisectriz = /2 y para el frontal en ángulo recto = ;

kf coeficiente de reparto, de valor 0,50 para frontal en bisectriz y 0,48

para frontal en ángulo recto. Comentarios: si la ejecución de la doble barbilla no es muy precisa el reparto de las fuerzas podría llegar a ser muy desigual en las dos barbillas.

- en el talón, /costbFk

v21

1fd,c, (14.50)

donde kt es un coeficiente de valor 0,50 para el frontal en bisectriz y 0,52 para el frontal en ángulo recto.


65

b) Tensión tangencial rasante en el cogote Deben cumplirse las condiciones siguientes,

1f

;1f dv,

2d

dv,

1d (14.51)

donde,

1d tensión tangencial sobre el plano de longitud lv1 debida a la parte de la fuerza F3 que se concentra en el frontal;

v12cr

3f1d lbk

Fk (14.52)

con la condición de que lv1 8·tv1

2d tensión tangencial sobre el plano de longitud lv2 debida al total de la fuerza F3,

v22cr

32d lbk

F (14.53)

con la condición de que lv2 8·tv2 y que lv2 200 mm. Y, donde kcr es

un coeficiente que reduce la anchura de la sección en función de la posibilidad de la existencia de fendas de secado (ec. 6.3.1.2 Tomo I). Su valor es 0,67 para la madera maciza y laminada encolada y 1,0 en otros productos derivados de la madera.

Reglas de comprobación del embarbillado doble en el DB-SE-EM del CTE: El Documento Básico de Seguridad Estructural del CTE propone las siguientes comprobaciones, a) Longitud del cogote a, figura 14.27,

d,v

d

fbcosF

a (14.54)

Donde Fd = N1d. Esta ecuación es equivalente a la ecuación 14.27, pero considerando la fuerza F3 igual a N1d·cos ; es decir, se desprecia el efecto favorable del esfuerzo cortante. Comentarios: el DB-SE-EM del CTE no menciona la necesidad de utilizar el ancho


66

efectivo, multiplicando el valor de b por el coeficiente kcr indicado en el apartado anterior, pero parece lógico aplicarse como en los casos anteriores.

Figura 14.27. Embarbillado doble según DB-SE-EM del CTE. b) Profundidad de la barbilla, t, figura 14.27,

d,,c

d

fbcosF

t (14.55)

Donde Fd = N1d. Esta ecuación es equivalente a la ecuación 14.23, pero tomando F1 = N1d·cos , es decir despreciando el efecto favorable del cortante. El valor de t se tomará igual a t1 + t2; y por otro lado, la resistencia a compresión oblicua, fc, ,d se obtiene mediante la ecuación 14.26, tomando = 3· /4, kc,90 = 1, y reduciendo la fc,0,d por el factor igual a 0,80. Se toma el ángulo = 3· /4 como valor intermedio entre el ángulo = /2 para la barbilla externa y el ángulo = para la barbilla del talón o interior. c) Canto del par, d,

d,,c

d

fbF

d (14.56)

Donde = , Fd = N1d y la resistencia fc, ,d se obtiene, igual que en el caso anterior, mediante la ecuación 14.26, tomando kc,90 = 1, y reduciendo la fc,0,d por el factor igual a 0,80.


67

14.6 EMPALMES 14.6.1 Empalme de llave 14.6.1.1 Generalidades Este tipo de unión es utilizado con frecuencia en el empalme de las piezas que forman los tirantes de las cerchas. El esfuerzo de tracción, Nd, se transmite de una pieza a la otra a través de una compresión paralela a la fibra aplicada sobre la testa del rebaje con una superficie b·t. Asimismo, el esfuerzo pasa a la sección completa del tirante a través de un esfuerzo rasante de tensiones tangenciales en el plano de superficie b·l, figura 14.28. Para la longitud del cogote, l, hay recomendaciones de valores del orden de 1 a 1,5 veces el canto h de la pieza, y para el rebaje, t, un valor igual a h/4, (Gerner 2002). Más adelante se expone procedimiento de dimensionado en el que se deducen valores que en algunos casos difieren notablemente.

Figura 14.28. Empalme de llave.

En el estrechamiento de la sección del tirante existe una excentricidad e, del axil Nd, que produce una flexión que provoca una tendencia al giro y desarmado del nudo, figura 14.29.a. Este efecto puede contrarrestarse realizando unas entalladuras en los extremos que impidan el giro anterior, figura 14.29.b. El montaje de las piezas, en este caso, es más difícil, y debe hacerse lateralmente con un desplazamiento horizontal. Otra opción es la disposición de bridas metálicas que abracen el tirante a ambos lados; este atado transversal sirve complementariamente para reducir o evitar la tracción perpendicular a la fibra. Finalmente, para facilitar el montaje del empalme y su ajuste, se suelen disponer unas cuñas en el punto central de encuentro, figura 14.30. En estos casos, la tensión en la superficie de contacto será de compresión perpendicular a la fibra en la cuña. Por este motivo deberá utilizarse una madera de elevada resistencia a compresión perpendicular, generalmente una frondosa. La solución con cuña permite un reajuste de la unión cuando la madera sufre una merma debido a la pérdida de humedad. En algún texto específico sobre uniones (Gerner 2002) se encuentran las siguientes recomendaciones para las proporciones entre las dimensiones representadas en la figura 14.30, que deben ser confirmadas por el cálculo. La longitud del cogote será igual al canto del tirante (l = h). El rebaje será igual a un quinto del canto del tirante (t = h/5). Y, por tanto, el canto del tirante en la zona rebajada será igual a 2/5 del canto del tirante (hr = 2h/5). Como se verá más adelante, por cálculo se deducen valores optimizados del rebaje menores.


68

Figura 14.29. a) Efecto de apertura de la unión. b) Mecanizado de entalladura que evita

la apertura.

Figura 14.30. Llave central formada por una doble cuña.

14.6.1.2 Comprobaciones Las comprobaciones de la capacidad resistente son las siguientes: a) Compresión en la testa del rebaje,

1f dc,

dc, (14.57)

donde,

c,d tensión de compresión sobre la testa del rebaje de valor,

btNd

dc, (14.58)


69

Será una tensión de compresión paralela a la fibra cuando no exista cuña o llave de encuentro; y será de compresión perpendicular a la fibra en la cuña, en caso contrario;

fc,d resistencia de cálculo a compresión paralela o perpendicular a la fibra,

según se resuelva sin o con cuña, respectivamente. b) Tensión tangencial rasante,

1f dv,

dv, (14.59)

donde, v,d tensión tangencial cuyo valor máximo puede tomarse como,

lbkN2

cr

ddv, (14.60)

Este valor máximo se obtiene al considerar que la distribución de las

tensiones tangenciales sigue una ley triangular como modelo simplificado que se aproxima a la distribución real (Aira et al. 2011, 2012, Aira 2013, Aira et al. 2015b). En cualquier caso, también se considera que esta distribución es válida siempre que l no sea mayor que 8·t.

Y, donde kcr es un coeficiente que reduce la anchura de la sección en

función de la posibilidad de la existencia de fendas de secado (ec. 6.3.1.2 Tomo I). Su valor es 0,67 para la madera maciza y laminada encolada, y 1,0 en otros productos derivados de la madera.

fv,d resistencia de cálculo a cortante

c) Flexotracción en la sección reducida del tirante La sección neta del tirante queda reducida en su altura al valor hr, figura 14.30, y se encuentra sometida a un esfuerzo axil de tracción, Nd, y a un momento flector de valor Md = Nd·e, figura 14.29. Se deberá cumplir la siguiente condición,

1ff m,d

m,d

,d0t,

,d0t, (14.61)

donde,

t,0,d tensión de tracción producida por el axil, Nd, calculada con el área neta de la sección del tirante (b·hr);


70

m,d tensión de flexión originada por el momento flector Md, calculada con el módulo resistente de la sección neta,

/6hb/2hhN

2r

rddm, (14.62)

ft,0,d y fm,d resistencias de cálculo a tracción paralela a la fibra y a flexión,

respectivamente. d) Tracción perpendicular a la fibra El giro que se origina en la unión de las piezas debido a la flexión provoca tensiones de tracción perpendicular a la fibra en la esquina del entrante, figura 14.31. Esta comprobación no está recogida por la normativa de cálculo. No obstante, hay algunas investigaciones de base experimental (Aira 2013, Aira et al.2015b) que muestran que el inicio de la grieta por tracción perpendicular puede ligarse a la comprobación de la flexotracción a través de la ecuación 14.61 que queda modificada según la siguiente expresión:

1ff

12/1

m,d

m,d

,d0t,

,d0t, (14.63)

Figura 14.31. Tensión de tracción perpendicular en la unión.

Esta condición de agotamiento equivale a considerar que la aparición de la grieta implica el fallo de la unión. Con esta consideración, la capacidad de carga de la unión se reduce mucho. Para conocer el agotamiento final debe realizarse un estudio de mecánica de fractura; actualmente hay trabajos orientado en esa línea. Para evitar la rotura de la madera por tracción perpendicular pueden añadirse elementos de cosido transversal, como pueden ser las barras encoladas o los tirafondos de doble rosca, capaces de precomprimir la sección transversalmente. En estos casos, deberá garantizarse que se colocan con la madera con un contenido de humedad menor o igual al mínimo que vaya


71

a alcanzar en servicio, con el fin de evitar que la merma de la madera pueda provocar la fisuración. 14.6.1.3 Proporción geométrica y capacidad de carga El valor de la altura del encaje, t, está relacionado con la altura reducida de la sección, hr, mediante la expresión h = 2·hr+t. Por tanto, cuanto menor sea t, mayor índice de agotamiento se alcanzará para la compresión en el frente del encaje y menor índice de agotamiento en la comprobación de la flexotracción en la sección reducida del tirante y viceversa. La situación óptima se dará cuando ambos índices de agotamiento sean iguales a la unidad, lo que equivale a igualar las expresiones 14.57 y 14.61.

1fff dc,

dc,

dm,

dm,

dt,0,

dt,0, (14.64)

Sustituyendo en la ecuación 14.61 los términos de las tensiones aplicadas por las expresiones correspondientes, el primer término de la igualdad de la ecuación 14.64 quedará de la forma siguiente,

1fh

hh3f1

hbN

fhb26hhN

fhbN

ff dm,r

r

dt,0,r

d

dm,2r

rd

dt,0,r

d

dm,

dm,

dt,0,

dt,0,

Análogamente, del segundo término, ecuación 14.58,

cd

d

dc,

dc,

fbtN

f

Igualando ambos términos,

cd

d

dm,r

r

dt,0,r

d

fbtN

fhhh3

f1

hbN

Sustituyendo en la ecuación anterior hr por (h-t)/2, y llamando th a la relación t/h, se llega a la siguiente ecuación,

hdc,

h

hdm,

h

dt,0, tf2t1

)t(1f)t(13

f1

Llamando,

dc,c

dm,m

dt,0,t f

1s;f1s;

f1s

Se llega a la siguiente ecuación de segundo grado en th,

0CtBtAst)s2s6s(2t)ss2s(6 h2hchcmt

2hctm


72

La solución con sentido físico de esta ecuación será la de signo positivo,

A2CA4BBt

2

h (14.65)

El valor de th (t/h) será el que permite un mayor aprovechamiento de la sección. El axil que agota ambas comprobaciones puede expresarse de la siguiente manera,

dc,hdc,d fthbftbN

En esta situación, el índice de agotamiento de la sección bruta del tirante es it,0, que calculado considerando únicamente el esfuerzo axil, Nd, se obtiene según la expresión siguiente,

dt,0,

dc,h

dt,0,

cdh

dt,0,

dt,0 f

ft

fhbfthb

fhbNi (14.66)

Finalmente, de las ecuaciones 14.59 y 14.60, se puede deducir lo siguiente,

dt,0,

dv,

dt,0,cr

d

dv,cr

d

dv,cr

d

fh2fl

fhbkN;

hl

fhbkN21;

flbkN2 (14.67)

de donde,

dv,cr

dt,0,t,0 fk

f2i

hl (14.68)

En la tabla 14.4 se resumen los resultados del proceso anterior de dimensionado. Para cada clase resistente se da el valor de la relación t/h más favorable, con el índice máximo de agotamiento del tirante por tracción considerando la sección bruta, y el valor mínimo de l/h, para obtener la longitud del cogote. Esto se da para el caso de una unión directa (que utiliza la resistencia a compresión paralela a la fibra de la clase resistente) y para el caso de utilizar cuñas (en este caso se ha tomado una resistencia característica a compresión perpendicular a la fibra de 8 N/mm2 que corresponde a una clase resistente D30). En el caso de considerar el agotamiento de la unión cuando se inicia la grieta por tracción perpendicular, ecuación 14.63, puede realizarse un planteamiento similar al anterior, igualando las expresiones 14.57 y 14.63 para deducir la proporción th=t/h más rentable y también deducir el índice de agotamiento de la sección bruta a tracción, it,0. De esta manera se obtiene la ecuación 14.69. En la tabla 14.4 se incluyen los valores deducidos con esta ecuación.

d,c

d,0,t

h

0,t12/1

d,m

d,0,t2

h

h0,t

h

0,t

ff

ti

ff

)t1()t1(i6

)t1(i2

(14.69)


73

Así por ejemplo, para un tirante con unas dimensiones bxh = 200x240 mm de clase resistente C22 utilizando cuñas de madera de clase D30, la profundidad del encaje más eficaz es t = 0,19·240 = 45,6 mm y la longitud mínima del cogote es l = 1,13·240 = 272 mm. Este valor cumple la condición 272 /45,6 = 5,96 8. Este valor es superior al mínimo de l = 200 mm. Con estas condiciones, el índice de agotamiento por tracción paralela a la fibra en la sección bruta del tirante no deberá superar el valor de 0,11. Si se considera el agotamiento por tracción perpendicular a la fibra, la profundidad del encaje sería t = 0,08·240 =19,2 mm y la longitud mínima del cogote l = 0,52·240 = 125 mm (200 mm mínimo). El índice de agotamiento máximo de la sección bruta del tirante sería de tan solo 0,05. Puede observarse cómo la capacidad teórica de transmisión de esfuerzos de estas uniones es muy reducida.

Sin cuñas Con cuñas it,0 (bruto) 0,15-0,06 0,13-0,05

l/h 1,19-0,48 1,04-0,40 C14 t/h = 0,08-0,03 0,13-0,05

it,0 (bruto) 0,14-0,05 0,12-0,045 l/h 1,31-0,48 1,12-0,43 C16 t/h = 0,08-0,03 0,15-0,06

it,0 (bruto) 0,14-0,06 0,12-0,05 l/h 1,36-0,58 1,15-0,49 C18 t/h = 0,10-0,04 0,16-0,07

it,0 (bruto) 0,14-0,06 0,11-0,055 l/h 1,39-0,60 1,10-0,55 C20 t/h = 0,09-0,04 0,17-0,08

it,0 (bruto) 0,14-0,06 0,11-0,05 l/h 1,43-0,61 1,13-0,52 C22 t/h = 0,10-0,04 0,19-0,08

it,0 (bruto) 0,14-0,055 0,11-0,05 l/h 1,46-0,60 1,15-0,52 C24 t/h = 0,10-0,04 0,20-0,09

it,0 (bruto) 0,14-0,06 0,10-0,04 l/h 1,88-0,81 1,34-0,54 C30 t/h = 0,11-0,05 0,23-0,09

it,0: índice máximo de agotamiento por tracción de la sección bruta del tirante, Nd/(b·h) l: longitud del cogote a rasante. Mínimo: 200 mm. Máximo: 8·t t: grueso del frente del encaje h: canto del tirante Resistencia característica a compresión perpend. a la fibra en las cuñas, fc,90,k = 8 N/mm2. El segundo valor indicado en cada celda corresponde a la consideración del agotamiento incluyendo la grieta por tracción perpendicular a la fibra.

Tabla 14.4. Proporción geométrica y capacidad de carga del empalme de llave.


74

14.6.2 Empalme en rayo de Júpiter 14.6.2.1 Generalidades Este tipo de empalme es frecuente en los tirantes de las cerchas. Generalmente se añaden pernos o bridas que sirven para afianzarlo y evitar la tendencia al giro. Muchas veces estos pernos sirven también para reforzar la unión mecánicamente, debido a la escasa capacidad resistente del empalme. Habitualmente su diseño incluye unos tacos con forma de cuña (o llave) que facilita el montaje y su ajuste, aunque también es posible encontrar ejemplos sin este elemento auxiliar. El trazado geométrico del rayo de Júpiter es el siguiente (Montero 1990). Se marcan los extremos a tres veces la altura de la sección del tirante, h, figura 14.32, donde se localizan los puntos A y B. La recta que une estos puntos, línea media, cortan en el centro al eje del tirante en el punto C. Desde los puntos A y C (y B y C) se trazan arcos de circunferencia de radio igual a su distancia, con el fin de obtener un triángulo equilátero. De esta forma, la prolongación de uno de los lados del triángulo ofrece el corte A-D y B-E que terminan al encontrarse con las rectas auxiliares trazadas a 1/5 de la altura de la pieza h. Al unir los puntos A con E y B con D se definen las líneas de corte y el grueso del taco de apriete. Es aconsejable disponer pernos transversales situados a ¾ de h, a cada lado del eje del empalme.

Figura 14.32. Trazado geométrico del rayo de Júpiter (Montero 1990).

Del trazado descrito se pueden obtener los siguientes parámetros, en función de la altura de la sección h, figura 14.33. = 18,435º Ángulo de la línea media del rayo;

= 41,565º Ángulo de inclinación de los topes extremos;


75

= 13,9296º Ángulo formado entre la dirección de la fibra y la tensión de

compresión perpendicular en el plano de contacto; a = 0,2255·h Por tanto, la longitud de solape del empalme es 3h+2a = 3,451·h; m = 0,24841·h Grueso del taco de ajuste; l = 1,0319·h Longitud de la superficie sometida a tensión tangencial rasante.

Figura 14.33. Parámetros de trazado del Rayo de Júpiter.

La eficacia de este empalme puede mejorarse recurriendo al rayo de Júpiter doble, aunque aumenta la longitud de solape a algo más de 4,5 veces el canto del tirante y su ajuste es más difícil. El trazado es similar al anterior, figura 14.34. La diferencia estriba en que las líneas de corte en los extremos son paralelas a la denominada línea media del rayo. Con mayor razón se aconseja disponer tres secciones empernadas de afianzamiento y refuerzo (Montero 1990).

Figura 14.34. Trazado geométrico del Rayo de Júpiter doble.


76

En el trazado del rayo de Júpiter existen otras propuestas que varían ligeramente de la anterior (Hidalgo de Caviedes y del Soto 1944). En este caso el trazado es el siguiente, figura 14.35. Desde el eje del empalme se trazan dos rectas transversales al eje del tirante y a una distancia igual al canto h, del tirante. En la intersección de estas rectas con las rectas paralelas al eje del tirante y a una distancia h/4 del borde se encuentran los puntos D y E que definen una recta, aquí denominada línea media. Tomando en D y en E arcos de circunferencia DF y EG se trazan triángulos equiláteros para obtener el trazado de DA y BE de los cortes en los extremos.

Figura 14.35. Trazado del rayo de Júpiter en una variante de menor longitud de solape. Finalmente, desde D y E se trazan dos rectas paralelas entre sí que disten el grueso que quiera darse al taco (m) y se asigna una anchura (n) para terminar el trazado. Puede observarse, que este trazado tiene una longitud de solape de 2·h, frente a 3,451·h del anterior modelo. Por tanto, la pendiente del corte es mayor y la longitud de rasante (l en el caso anterior) será menor. 14.6.2.2 Comprobaciones a) Comprobación de la resistencia a compresión local en el encaje El esfuerzo axil del tirante, Nd, puede descomponerse en dos fuerzas; F1, en dirección perpendicular a la superficie de contacto comprimida de la cuña central y otra paralela a la superficie anterior, F2, figura 14.36, de valores,

dd2

dd1

N0,2407senNFN0,97059cosNF

(14.70)

La componente F2 provoca un efecto de apertura del empalme que es contrarrestado por el efecto de cuña de los extremos y por los pernos de afianzamiento. Además, existe una fuerza de rozamiento provocada por la compresión F1 que se opone a F2 en el plano de contacto.


77

Figura 14.36. Componentes del axil Nd.

La componente F1, provoca una tensión de compresión perpendicular a la superficie de contacto b·m, que debe cumplir la condición siguiente,

1f d,c,

d,c, (14.71)

Donde c, ,d es la tensión de compresión perpendicular a la superficie de contacto, que para la cuña resulta perpendicular a la fibra y para la madera del tirante presenta un ángulo con respecto a la fibra igual a (13,9296º). Su valor es el siguiente,

dt,0,dd1

d,c, 3,9072hb

N3,9072h0,24841b

N0,97059mb

F (14.72)

Y fc, ,d es la resistencia de cálculo a compresión en la superficie de contacto, que en caso de no existir cuñas se obtendrá de la siguiente expresión, en la que kc,90 = 1,

4dc,0,22

dc,90,c,90

dc,0,

dc,0,d,c,d,c, kf

cossenfk

ff

ff (14.73)

siendo, 0,9420

ff

0,05795

1k

dc,90,

dc,0,4 (14.74)

Y en el caso de existir cuñas (situación más habitual) el ángulo = 90º, la resistencia será igual a la resistencia a compresión perpendicular a la fibra de la madera de la cuña, fc,90,d,

dc,90,d,c, ff (14.75) Por tanto, la tensión bruta de tracción en el tirante, deberá cumplir la siguiente condición, para el caso de no existir cuñas,


78

3,9072kf;1

fk3,9072 4

dc,0,dt,0,dc,0,4

dt,0, (14.76)

Y para el caso de cuñas,

3,9072f

;1f

3,9072 dc,90,dt,0,

dc,90,

dt,0, (14.77)

Si se dividen las ecuaciones 14.76 y 14.77 por la resistencia a tracción paralela a la fibra, las condiciones quedan en función del índice de agotamiento,

dt,0,

dc,0,4t,0

dt,0,

dt,0,

ff

3,9072k

if

(14.78)

dt,0,

dc,90,t,0

dt,0,

dt,0,

ff

3,90721i

f (14.79)

b) Comprobación de la resistencia a cortante de rasante Por otro lado, el esfuerzo axil Nd, provoca una tensión tangencial en la superficie b·l, que deberá cumplir la siguiente condición,

1fh1,0319bk

Nflbk

Nf dv,cr

d

dv,cr

d

dv,

d (14.80)

De donde se obtiene la siguiente condición,

dv,crdt,0,dv,cr

d fk1,0319;1f1,0319k

1hb

N (14.81)

Dividiendo la tensión de tracción paralela a la fibra t,0,d, por la resistencia ft,0,d, y tomando un valor de kcr = 0,67 para la madera maciza y laminada encolada, se obtiene el índice de agotamiento máximo que sería posible tener en el tirante,

dt,0,

dv,

dt,0,

dv,cr

dt,0,

dt,0,t,0 f

f6914,0

ff

k1,0319f

i (14.82)


79

c) Comprobación de la resistencia a flexotracción La sección reducida de dimensiones bxhr, figura 14.36, está sometida a un esfuerzo de tracción Nd, y a un momento flector Md, originado por la excentricidad e de la sección reducida respecto a la bruta del tirante. La altura reducida del tirante es hr =0,5·(h-m·(sen +cos )) = 0,34954·h. La excentricidad es e =0,5·(h-hr) =0,32522·h.

En la sección reducida debe cumplirse la siguiente condición,

1ff dm,

dm,

dt,0,

dt,0, (14.83)

donde,

t,0,d tensión de tracción producida por el axil, Nd, calculada con el área neta de la sección del tirante (b·hr);

hbN

2,8609hb

N d

r

ddt,0, (14.84)

m,d tensión de flexión originada por el momento flector Md, calculada con

el módulo resistente de la sección neta,

hbN

15,971/6hbeN d

2r

ddm, (14.85)


respectivamente. Sustituyendo las expresiones 14.84 y 14.85 en la ecuación 14.83,

1fhb

N15,971

fhbN

2,8609dm,

d

dt,0,

d (14.86)

Y llamando it,0 =Nd/(b·h·ft,0,d) al índice de agotamiento de la sección bruta del tirante por tracción paralela, la ecuación anterior queda,

dm,

dt,0,t,0

dm,

dt,0,t,0t,0

ff

15,9712,8609

1i1;ff

i15,971i2,8609 (14.87)

De donde se deduce que para que el trazado del rayo de Júpiter antes descrito sea válido ante la comprobación de la flexotracción en la sección reducida, el agotamiento de la


80

sección bruta del tirante no deberá exceder el valor indicado en la ecuación 14.87. Al igual que en el caso anterior del empalme de llave, la excentricidad del axil con respecto a la sección reducida, originará tensiones de tracción perpendicular a la fibra, que implicarían una menor capacidad de transmisión de esfuerzos. La normativa de cálculo no recoge este aspecto. Parece, por tanto, obligada la disposición de elementos auxiliares como las bridas, que compriman transversalmente la sección para contrarrestar la tracción perpendicular. d) Resumen En la tabla 14.5 se recogen los índices de agotamiento, anteriormente descritos, para las clases resistentes habituales de coníferas. Puede observarse, que la condición más restrictiva es la del agotamiento por flexotracción, que en la práctica reduce la capacidad de la sección bruta del tirante al 8%.

Compresión local Clase resistente

Flexotracción (ec. 14.87) Sin cuñas

(ec. 14.78) Con cuñas (*)

(ec. 14.79)

Rasante (ec. 14.82)

C14 0,083 0,364 0,256 0,259 C16 0,078 0,313 0,205 0,221 C18 0,079 0,296 0,186 0,214 C20 0,080 0,285 0,171 0,208 C22 0,081 0,276 0,158 0,202 C24 0,082 0,269 0,146 0,198 C27 0,081 0,246 0,128 0,173 C30 0,080 0,228 0,114 0,153

(*) Se ha considerado una resistencia característica a compresión perpendicular a la fibra para la madera de las cuñas de 8 N/mm2, correspondiente a una madera de frondosa de clase D30.

Tabla 14.5. Índices de agotamiento máximos de la tracción bruta en el tirante para dar

validez al trazado en rayo de Júpiter (sin considerar agotamiento por tracción perpendicular).

Su aplicación práctica es simple. Por ejemplo, para una clase resistente C20, el trazado del rayo de Júpiter antes citado será válido siempre que el índice de agotamiento de la tensión de tracción bruta en el tirante no sea superior a 0,08. Como se ha comentado anteriormente, para evitar el efecto de las tensiones de tracción perpendicular a la fibra se requieren elementos que compriman transversalmente la unión como las bridas u otros herrajes adecuados.


81

EJEMPLO 14.3: Este ejemplo está extraído de un caso real de un edificio construido entre 1940 y 1950 que presentó el fallo de una de las correas después de una vida de servicio de unos 60 años. La situación bajo carga permanente ya presentaba niveles de agotamiento no aceptables según la normativa. Por este motivo, en este ejemplo los esfuerzos de cálculo considerados corresponden a una situación de sólo carga permanente. La carga permanente aplicada sin contar con el peso propio de las piezas, es del orden de 1,55 kN/m2 sobre los pares y de 0,22 kN/m2 sobre el tirante. La carga de nieve es de 0,57 kN/m2. El efecto del viento no era relevante. Posiblemente, en reparaciones anteriores la carga permanente fue aumentada debido a rellenos bajo la teja. En cualquier caso los niveles de tensiones bajo cargas permanentes eran excesivos. La cubierta del edificio estaba constituida por cerchas de madera aserrada de madera de conífera con una luz de 9,35 m sobre las que apoyan correas con luz media entre ejes de 3,73 m y perpendicularmente a ellas, descansan unos parecillos continuos. La clase resistente fue estimada como C27 y la clase de servicio 2, correspondiente a cubiertas ventiladas y sin calefacción. La pendiente de la cubierta es de 18º, valor que resulta muy bajo para este tipo de cercha, figura 14.37. En este ejemplo se analizan cuatro encuentros de las barras de la cercha: nudo entre el par y el tirante, encuentro entre el pendolón y las tornapuntas, rebaje en el punto intermedio del par donde encaja la tornapunta y el empalme en rayo de Júpiter del tirante. Como se verá en muchos de estos casos los niveles de tensión resultan no admisibles de acuerdo con la normativa. También, presentan soluciones que no siguen exactamente las reglas de predimensionado que se recogen en este capítulo, pero que permiten un análisis más didáctico de su comportamiento. Resistencias de cálculo: En las comprobaciones que se recogen en adelante para este ejemplo se utilizarán las resistencias de cálculo para una clase resistente C27 en clase de servicio 2 y para una duración de la carga permanente.

Figura 14.37. Ejemplo de una cercha con pendolón y tornapuntas.


82

fm,d, ft,0,d, fc,0,d, fc,90,d y fv,d son las resistencias de cálculo a flexión, tracción paralela a la fibra, compresión paralela y perpendicular a la fibra y cortante, respectivamente. El factor de modificación es kmod = 0,6 (tabla 4.7, tomo I), por tratarse de una duración media y una clase de servicio 2, y el coeficiente parcial del material M = 1,3 (tabla 4.6, tomo I), para madera maciza. Las resistencias características de la clase C27 pueden encontrarse en la tabla 3.4a del tomo I.

;mm/N84,13,1

46,0f

mm/N2,13,16,26,0f;mm/N15,10

3,1226,0f

mm/N38,73,1

166,0f;mm/N46,123,1

276,0f

2d,v

2d,90,c

2d,0,c

2d,0,t

2d,0,c

Ejemplo 14.3a: Encuentro entre par y tirante El par con una sección de 130x220 mm dispone de un embarbillado doble con el trazado que se describe en la figura 14.38. Transmite unos esfuerzos de cálculo de axil N1d = 93,48 kN y de cortante V1d = 4,29 kN. El tirante tiene una sección igual a la del par y soporta un axil de cálculo N2d = 87,58 kN y un cortante de cálculo V2d =2,66 kN. El apoyo se realiza sobre un muro de bloques de hormigón de dos hojas y se admite que la reacción se sitúa principalmente en la hoja interior con un valor de 35,63 kN. En ninguna de las 7 cerchas que formaban la cubierta se observaban fallos en el encuentro entre par y tirante.

Figura 14.38. Encuentro del par sobre el tirante con doble embarbillado.


83

Comprobación de las reglas de predimensionado: En primer lugar se comparan los parámetros de esta solución con los indicados en las ecuaciones 14.46 para la profundidad de las barbillas,

mm 55220/4/4hno mm 45tmm 5010-60mm10t´mm 50t

cumple) (no mm 48608,0t´0,8no mm 50tcumple) (no mm 36,6220/6/6h no mm50t

2v2

v2v1

v2v1

2v1

Nota: debe tenerse en cuenta que en la figura 14.25 los dos rebajes tv1 y tv2, arrancan del mismo plano correspondiente a la cara superior del tirante. Sin embargo, en este ejemplo el rebaje tv2 = 45 mm presenta una profundidad que se ha denominado en las ecuaciones anteriores t´v2 = 60 mm. El hecho de no cumplir alguna de las recomendaciones puede hacer menos eficaz la solución, pero no la invalida. Habrá que ver su posible validez después del cálculo. Para la longitud del cogote se comprueban las condiciones de las ecuaciones 14.47,

mm200mm 605lcumple) (no mm 360mm 458t8no mm 605l

mm 400508t8mm 370l

v2

v2v2

v1v1

La longitud lv2 es superior a 360 mm, lo que no es inconveniente ya que se puede tomar como longitud eficaz para la transmisión de tensiones tangenciales la longitud de 360 mm. a) Comprobación de la tensión de compresión oblicua en los frentes de las barbillas La tensión de compresión oblicua deber comprobarse para cada barbilla de acuerdo con la ecuación 14.48,

1f d,c,

d,c,

En la barbilla externa con tv1 = 50 mm, la tensión oblicua viene dada por la ecuación 14.49,

2

v11

1fd,c, N/mm 56,7

18cos/501309348050,0

/costbFk

donde,

ángulo entre la dirección de la barbilla y la vertical =18º;


84

kf coeficiente de reparto, que se tomará igual a 0,50, admitiendo un reparto por igual para ambas barbillas;

F1 componente de los esfuerzos del par en dirección perpendicular al

plano de la barbilla, de acuerdo con la ecuación 14.19, donde = 0º, es el ángulo formado por la dirección de F1 y la perpendicular al plano de la barbilla,

F1 = N1d · cos – V1d · sen = 93,48·cos 0- 4,29·sen 0 = 93,48 kN

La resistencia a compresión oblicua, fc, ,d , viene dada por la ecuación 14.25, según la norma DIN 1052,

2

422

2

4

2

dv,

dc,0,

2

2

dc,90,

dc,0,

dc,0,d,c,

N/mm 94,7

18cos18 cos18 sen1,842

10,118sen1,22

10,1

10,1

coscos senf2

fsen

f2f

ff

donde, fc, ,d, fc,90,d, fv,d son las resistencias de cálculo a compresión paralela a la

fibra, perpendicular a la fibra y cortante, considerando que el factor kmod = 0,6, por tratarse de una duración permanente y una clase de servicio 2, y con un coeficiente parcial del material M = 1,3, para madera maciza;

2

d,v2

d,90,c2

d,0,c mm/N84,13,1

46,0f;mm/N2,13,16,26,0f;mm/N1,10

3,1226,0f

ángulo entre la dirección de la tensión de compresión y la dirección de

la fibra en el tirante, como caso más desfavorable, = 18º. De donde se obtiene un índice de agotamiento válido según la ecuación 14.45,

195,094,756,7

f d,c,

d,c,

Si se aplicara la norma UNE-EN 1995-1-1 (Eurocódigo 5), la resistencia a la compresión oblicua según la ecuación 14.26 tomando el valor de kc,90 = 1, la resistencia sería menor, fc, ,d = 5,93 N/mm2. El índice de agotamiento sería de 1,27 (no válido).


85

En la barbilla interior con tv2 = 45 mm, la tensión oblicua viene dada por la ecuación 14.50,

2

v21

1fd,c, N/mm 40,8

18cos/451309348050,0

/costbFk

(de ec. 14.50)

donde,

ángulo entre la dirección de la barbilla y la vertical = 18º; kf coeficiente de reparto, que ha tomado igual a 0,50, admitiendo un

reparto por igual para ambas barbillas;

F1 componente de los esfuerzos del par en dirección perpendicular al plano de la barbilla, calculada anteriormente, F1 = 93,48 kN;

La resistencia a compresión oblicua, fc, ,d , dada por la ecuación 14.25, según la norma DIN 1052, es la misma calculada anteriormente ya que la barbilla presenta el mismo ángulo que la anterior,

2

422

2

d,c, N/mm 94,7

18cos18 cos18 sen1,842

10,118sen1,22

10,1

10,1f

De donde se obtiene un índice de agotamiento válido según la ecuación 14.48,

106,194,740,8

f d,c,

d,c,

Se comprueba que excede el nivel de agotamiento admitido por la normativa. Es posible que el reparto de la carga no sea por igual en ambas barbillas, y probablemente una parte mayor que el 50% se descargue sobre la barbilla externa, disminuyendo el índice de agotamiento de la barbilla interior. Si se aplicara la norma UNE-EN 1995-1-1 (Eurocódigo 5), la resistencia a la compresión oblicua según la ecuación 14.26 los resultados darían lugar a un mayor incumplimiento. b) Comprobación de la tensión tangencial en el cogote Deben cumplirse las condiciones siguientes,

1f

;1f dv,

2d

dv,

1d (de ec. 14.51)

donde,

1d tensión tangencial sobre el plano de longitud lv1 debida a la parte de la


86

fuerza F3 que se concentra en el frontal. Se ha tomado kf = 0,5;

2

v12cr

3f1d N/mm 36,1

37013067,08758050,0

lbkFk

(de ec. 14.52)

con la condición de que lv1 370 mm 8·tv1 = 8·50 = 400 mm.

F3 = N1d · cos – V1d · sen = = 93,48·cos18 - 4,29·sen 18 =87,58 kN (de ec. 14.21)

2d tensión tangencial sobre el plano de longitud lv2 debida al total de la

fuerza F3, 2

v22cr

32d N/mm 10,2

48013067,087580

lbkF (de ec. 14.53)

con la condición de que lv2 = 605 mm queda limitado a 8·tv2 =8·60 =

480 mm y que lv2 200 mm. Por tanto, el agotamiento no resulta admisible en la segunda ecuación,

114,184,110,2

f;174,0

84,136,1

f dv,

2d

dv,

1d

Comprobación según las reglas del DB-SE-EM del CTE: El Documento Básico de Seguridad Estructural del CTE propone las siguientes comprobaciones, a) Longitud del cogote a, figura 14.27,

mm 37284,1130

18cos93480fbcosF

605ad,v

d (de ec. 14.54)

Nota: en caso de aplicar el coeficiente kcr = 0,67 a la anchura b, el valor de a saldría igual a 555 mm. b) Profundidad de la barbilla, t, figura 14.42,

mm 13124,5130

18cos93480fbcosF

no mm 954550td,,c

d (de ec. 14.55)

Donde Fd = N1d. La resistencia a compresión oblicua, fc, ,d se ha obtenido mediante la


87

ecuación 13.26, tomando = 18º (ya que, en este caso, ambas barbillas presentan el mismo ángulo), kc,90 = 1 y reduciendo la fc,0,d por el factor igual a 0,80. El índice de agotamiento que resulta es de 1,38, valor superior al 1,06 del método de la DIN 1052. c) Canto del par, d,

mm2,13724,5130

93480fbF

mm 220dd,,c

d (de ec. 14.56)

Donde = , Fd = N1d y la resistencia fc, ,d se obtiene, igual que en el caso anterior. Comprobación de la tensión de compresión perpendicular a la fibra en el apoyo Finalmente, se puede comprobar la tensión de compresión perpendicular a la fibra en el tirante, suponiendo que éste apoyara directamente sobre una de las hojas del muro con un grueso de 140 mm. La fuerza total vertical sobre el apoyo es la suma de la componente F4 de la ecuación 14.22 y del cortante en el tirante (2,66 kN),

F4 = F1 · sen + F2 · cos = 93,48·sen 18+4,29·cos 18 + 2,66 = 35,63 kN La tensión de compresión perpendicular es,

2d,90,c N/mm 37,1

2600035630

Considerando el área eficaz de apoyo,

221efef mm 26000)302140(130)aal(blbA (de ec. 14.1)

Y la comprobación resulta válida,

176,02,150,1

37,1fk d,90,c90,c

d,90,c (de ec. 14.2)

Flexión producida en el tirante por la excentricidad del apoyo En el tirante se genera un momento flector como consecuencia de la excentricidad del apoyo y del axil con respecto a la sección reducida por la barbilla, cuyo valor viene dado de manera aproximada por la ecuación 14.31,

Md Rd · a – N2d · h2 /2 =35,63·0,31 - 87,58·0,22/2 = 1,411 kN·m


88

La sección reducida quedará sometida a flexotracción,

22

6

d,m2

d,0,t N/mm 42,2164130

10411,16;N/mm 11,4164130

87580

La comprobación resulta válida,

175,046,1242,2

38,711,4

ff d,m

d,m

d,0,t

d,0,t

Donde ft,0,d y fm,d son las resistencias de cálculo de tracción y flexión, respectivamente. Ejemplo 14.3b: Encuentro entre pendolón y tornapuntas El pendolón tiene una sección de 130x210 mm y soporta un axil de tracción de 39,33 kN. Se encuentra con las tornapuntas mediante un doble embarbillado, figura 14.39. La sección de las tornapuntas es de 130x100 mm y transmiten un axil de compresión de 26,525 kN y un cortante de 0,04 kN. En ninguna de las 7 cerchas de la cubierta se observaron fallos en este encuentro. De acuerdo con el apartado 14.5.1.2 de reglas de predimensionado, se cumple la condición de que la profundidad de la barbilla, tv = 15 mm sea menor o igual a h/6= 210/6 = 35 mm.

Figura 14.39. Encuentro entre pendolón y tornapuntas del ejemplo 14.3.


89

a) Comprobación de la compresión oblicua en el frente de la barbilla La condición de la ecuación 14.23 sobre la tensión de compresión oblicua no se cumple,

válido) (no 71,143,699,10

1f d,c,

d,c, (de ec. 14.23)

Donde, c, ,d es la tensión de compresión oblicua en el frente de la barbilla,

2

v1

1d,,c N/mm 99,10

26cos/1513023858

cos/tbF (de ec. 14.24)


barbilla, de la ecuación 14.19 teniendo en cuenta que el cortante tiene sentido contrario al indicado para la ecuación 14.19,

F1 = N1d · cos – V1d · sen =26,525·cos26 - (-0,04)·sen26 = 23,858 kN

fc, ,d la resistencia a compresión oblicua, que según la norma DIN 1052,

ecuación 14.25,

2

422

2

d,c, N/mm 43,6

26coscos26sen2684,12

10,1526sen2,12

10,15

10,15f

donde, fc, ,d, fc,90,d, fv,d son las resistencias de cálculo a compresión paralela a la fibra,

perpendicular a la fibra y cortante, calculadas en el apartado anterior Ejemplo 14.3a;


la fibra. En este caso, = 26º. b) Comprobación de la tensión tangencial en el cogote No se cumple la condición de la ecuación 14.27,

111,184,104,2

f dv,

d (de ec. 14.27)

donde,


90


F3 = 26,525·cos 52 - (-0,04)·sen 52 =16,362 kN (de ec. 14.21)

2

v2cr

3d N/mm 04,2

3,9213067,016362

lbkF (de ec. 14.28a)

Como se ha comentado anteriormente, la longitud lv = 92,3 mm no debe ser mayor que 8·tv = 8·15 = 120 mm, para poder admitir una distribución uniforme de la fuerza F3 en la superficie a rasante. c) Comprobación de la compresión perpendicular a la fibra en el pendolón Se cumple la condición de agotamiento a compresión perpendicular,

172,02,1

86,0f d,90,c

d,90,c (de ec. 14.29)

siendo,

c,90,d tensión de compresión perpendicular a la fibra sobre la superficie (b1·l90) provocada por la fuerza F4 (ecuación 14.19). Donde l90 = h1/sen .

2

ef,901

4d,90,c N/mm 86,0

9,18613020927

lbF (de ec. 14.30)

F4 = 23,823·sen 26 + 11,664·cos 26 = 20,927 kN (de ec. 14.22)

F2 = 26,525·sen 26 + 0,04·cos 26 = 11,664 kN (de ec. 14.20) Siendo l90 = 100/cos 38º = 126,9 mm y la longitud eficaz l90,ef = 126,9+2·30 = 186,9 mm. Ejemplo 14.3c: El encuentro entre el par y la tornapunta se realiza mediante el embarbillado representado en la figura 14.40. La tornapunta tiene un axil de compresión de valor de cálculo Nd = 27,06 kN y un pequeño cortante Vd = 0,04 kN. El par queda sometido en esa sección a un momento flector Md = 7,46 kN·m y a un axil Nd = 73,43 kN en su arranque superior y Nd = 87,64 kN en su arranque inferior, junto con dos cortantes de 7,35 y de 14, 11 kN, respectivamente.


91

Figura 14.40. Encuentro entre la tornapunta y el par del ejemplo 14.3.

a) Comprobación de la flexocompresión en la sección reducida del par La sección del par (130x220 mm) queda reducida a causa del rebaje del embarbillado a 130x202,34 mm. De esta manera, el axil del par (87,64 kN) queda descentrado respecto al eje de la sección reducida una cantidad e = 8,83 mm, lo que origina un pequeño momento que por tener el mismo sentido que el momento Md = 7,46 kN, se sumará a éste.

M´d = Md + Md = 7,46 + 87,64·0,00883 = 8,23 kN·m Y se comprueba el agotamiento de la sección sometida a flexocompresión de acuerdo con la ecuación 6.8 del tomo I, para la tensión de compresión c,0,d y la tensión de flexión m,d,

22

6

d,m2

d,0,c N/mm 28,96/34,202130

10234,8;N/mm 33,334,202130

87640

(válido) 185,046,1228,9

15,1033,3 2

donde, fm,d es la resistencia de cálculo a flexión (0,6·27/1,3 = 12,46 N/mm2).


92

b) Comprobación de la compresión oblicua en el frente de la barbilla La profundidad de la barbilla debe cumplir la recomendación definida en la ecuación 14.18,

60º50paramm, 445680120220 )(80

120h66,17t 2

v

La condición de la ecuación 14.23 sobre la tensión de compresión oblicua no se cumple,

válido) (no 51,108,62,9

1f d,c,

d,c, (de ec. 14.23)


2

v1

1d,,c N/mm 2,9

28cos/66,1713023911

cos/tbF (de ec. 14.24)


barbilla,

F1 = N1d · cos – V1d · sen =27,06·cos28 - (-0,04)·sen28 = 23,911 kN (de ec. 14.19) El cortante tiene signo negativo porque es de sentido contrario al que se tenía en

la ecuación 14.19.

fc, ,d la resistencia a compresión oblicua, que según la antigua norma DIN 1052 (y DIN EN 1995-1-1/NA:2013), ecuación 14.25,

2

422

2

d,c, N/mm 08,6


10,1528sen2,12

10,15

10,15f

donde, fc, ,d, fc,90,d, fv,d son las resistencias de cálculo a compresión paralela a la fibra,

perpendicular a la fibra y cortante, calculadas en el apartado anterior Ejemplo 14.3a;


la fibra. En este caso, = 56/2 =28º.


93

Ejemplo 14.3d: Empalme en rayo de Júpiter en el tirante El tirante de la cercha está formado por dos piezas que se empalman mediante un rayo de Júpiter a un lado del punto de encuentro con el pendolón, figura 14.41. El tirante tiene una sección de 130x220 mm y soporta un esfuerzo axil de tracción Nd = 87,81 kN y un cortante Vd = 2,66 kN. Su trazado presenta un trazado en el rediente de encaje con un corte perpendicular a la fibra, en lugar de con cierta inclinación como en el trazado de la figura 14.32. En la junta existe una cuña de madera de roble de 20 mm de grueso. La unión se encuentra reforzada mediante dos pletinas metálicas de 34x6 mm fijadas a la madera con 4 pernos de 10 mm de diámetro. Como se verá en el cálculo, el empalme de rayo de Júpiter resulta claramente insuficiente para transmitir el esfuerzo, por lo que seguramente los herrajes se colocaron en origen. En algunas uniones se observaban fallo por rasante en la madera.

Figura 14.41. Empalme en rayo de Júpiter del ejemplo 14.3.

a) Comprobación de la resistencia a compresión local en el encaje El esfuerzo axil del tirante, Nd, se reparte directamente como compresión en la superficie del rebaje (130x40 mm); el frente del rebaje es perpendicular al eje del tirante, y no inclinado como ocurría en el trazado recomendado en la figura 14.32. Así, en este caso no existe componente tangencial (F2 en las ecuaciones 14.75). La tensión de compresión es la siguiente,

2dc, N/mm 88,16

4013087810

Esta tensión resulta paralela a la fibra del tirante y perpendicular a la fibra en la cuña de roble. Suponiendo que la pieza de roble esté asignada a una clase resistente D30, que presenta una resistencia característica a compresión perpendicular a la fibra de 8 N/mm2, la comprobación de acuerdo con la ecuación 14.71 es la siguiente,


94

válido) (no 157,469,388,16

f d,90c,

d,0c,9

donde, fc,90,d = 0,6·8/1,3 = 3,69 N/mm2. Si no existiera cuña, o se pudiera admitir el aplastamiento de la cuña al encontrarse confinada, se podría considerar que se trata de una tensión de compresión paralela a la fibra. En este caso, la resistencia a compresión paralela a la fibra en el tirante es fc,0,d = 0,6·22/1,3 = 10,15 N/mm2, y el índice de agotamiento se reduce, aunque todavía supera la unidad,

válido) (no 166,115,1088,16

f d,0c,

d,0c,

b) Comprobación de la resistencia a cortante de rasante El esfuerzo axil Nd, provoca una tensión tangencial en la superficie de dimensiones 130x128 mm, cuyo valor, admitiendo un reparto uniforme, es el siguiente,

2d N/mm 88,7

12813067,087810

Y para una resistencia de cálculo a cortante, fv,d =1,846 N/mm2, el índice de agotamiento resulta muy superior a la unidad,

válido) (no 127,4846,188,7

f dv,

d

Puede comprobarse que el empalme carpintero en este caso resulta insuficiente para el esfuerzo a transmitir. Aún si no se hubiera considerado el coeficiente reductor de la anchura de la pieza por el posible fendado por secado, se hubiera obtenido un índice de agotamiento de 2,86, en lugar de 4,27. Si se calcula el índice de agotamiento del tirante a tracción con la sección bruta,

42,038,7

)220130/(87810f d,0,t

d,0,t

Se obtiene un índice de 0,42, que resulta muy superior a los índices recogidos en la tabla 14.5, que no superan el valor de 0,10. Por tanto, la transmisión del esfuerzo estará encomendada a las pletinas y pernos. Finalmente, puede comentarse que la longitud del empalme es de 600 mm, valor que queda un poco por debajo de la longitud que se obtendría con el trazado recomendado en


95

la figura 14.32 (longitud igual a 3 veces el canto del tirante, 660 mm en este caso). Finalmente, la profundidad de las entalladuras de los extremos es de 30 mm, valor que resulta inferior al recomendado en la figura 14.32, de 1/5 del canto del tirante (220/5 = 44 mm). c) Comprobación de la resistencia a flexotracción La sección reducida de dimensiones 130x90, figura 14.41, está sometida a un esfuerzo de tracción Nd = 87,81 kN, y a un momento flector Md originado por la excentricidad, e = 65 mm, de la sección reducida respecto a la bruta del tirante. En la sección reducida debe comprobarse el efecto combinado de la tensión de tracción, t,0,d, y de flexión, m,d, de acuerdo con la ecuación 14.83,

válido) (no 1 63,346,1252,32

38,751,7

ff dm,

dm,

dt,0,

dt,0,

donde,

2

r

ddt,0, N/mm 51,7

9013087810

hbN

222

r

ddm, N/mm 52,32

6/901306587810

/6hbeN


respectivamente, obtenidas anteriormente. EJEMPLO 14.4 Una cubierta de un edificio industrial construido hacia el año 1900 está formada por cerchas de madera aserrada con una luz de 15,30 m, figura 14.42. Consta de pares (190x255 mm), sotopares en el tramo inferior (190x155 mm), tirante sin empalmes (190x260 mm), pendolón (190x255 mm), péndolas (190x190 mm) y tornapuntas (190x160 mm). La especie de madera es pino silvestre (Pinus sylvestris L.) y la clase resistente estimada es C22. La clase de servicio es la 2, ya que se trata de un edificio que no tiene calefacción y tiene un elevado grado de ventilación. La situación de cálculo más desfavorable se presenta para la actuación simultánea de la carga permanente y la carga de nieve (considerada de duración media).


96

Figura 14.42. Ejemplo de cercha con pendolón y péndolas.

Resistencias de cálculo: En las comprobaciones que se recogen en adelante para este ejemplo se utilizarán las resistencias de cálculo para una clase resistente C22 en clase de servicio 2 y para una duración de la carga media. fm,d, ft,0,d, fc,0,d, fc,90,d y fv,d son las resistencias de cálculo a flexión, tracción paralela a la fibra, compresión paralela y perpendicular a la fibra y cortante, respectivamente. El factor de modificación es kmod = 0,8 (tabla 4.7, tomo I), por tratarse de una duración media y una clase de servicio 2, y el coeficiente parcial del material M = 1,3 (tabla 4.6, tomo I), para madera maciza. Las resistencias características de la clase C22 pueden encontrarse en la tabla 3.4a del tomo I (Estructuras de madera. Bases de cálculo).

;mm/N34,23,18,38,0f

mm/N48,13,14,28,0f;mm/N31,12

3,1208,0f

mm/N83,1

138,0f;mm/N53,133,1

228,0f

2d,v

2d,90,c

2d,0,c

2d,0,t

2d,0,c

En algunas comprobaciones puede interesar conocer cuál es el índice de agotamiento bajo la actuación exclusiva de la carga permanente. Para ello puede considerarse que los esfuerzos de cálculo en situación de carga permanente se reducen a un 45% con respecto a la situación de cálculo de permanente más nieve. Y, por otro lado, la resistencia desciende a un 75% (kmod de 0,8 a 0,6). Por tanto, el índice de agotamiento en situación de carga permanente se puede obtener multiplicando el índice correspondiente a la combinación de permanente más nieve, por un factor igual a 0,6 (0,45/0,75).


97

Ejemplo 14.4a: Encuentro entre par y tirante El par y el sotopar se ensamblan con el tirante mediante caja y espiga, según se indica en la figura 14.43. Bajo el tirante se disponen dos piezas que hacen de ménsulas y que descansan sobre la fábrica. En el análisis del sistema de barras se han obtenido los esfuerzos axiles y cortantes para cada barra. El tirante tiene un axil de tracción de 136,32 kN y un cortante de 1,66 kN. La reacción total es de 109,04 kN y existe una carga externa aplicada sobre el arranque del par que corresponde a la primera correa de la cubierta con una fuerza de 18,43 kN. El par transmite un axil de compresión de 102,50 kN y un cortante de 8,92 kN, y el sotopar un axil de 59,39 kN y un cortante de 7,05 kN. Estos últimos esfuerzos de los pares y sotopares han sido obtenidos mediante un modelo de barras que represente el par y sotopar de una manera aproximada a la realidad, pero aunque el esfuerzo total (suma de ambas piezas) sea más cercano a la realidad, el reparto entre ambas piezas puede diferir más de la realidad. En todos los apoyos existe una brida metálica que ata los pares con el tirante y las ménsulas. En algunos casos este embridado es doble. Su función es afianzar y reforzar el encuentro. Puede tratarse de un refuerzo inicial o un refuerzo posterior tras producirse algún fallo de los enlaces entre par y tirante.

Figura 14.43. Encuentro entre par, sotopar y tirante.

a) Compresión oblicua en el frente de la espiga En cada una de las espigas debe comprobarse la resistencia a la compresión oblicua en el frente de la espiga. La tensión de compresión resulta paralela a la dirección de la fibra en


98

el tirante, pero forma un ángulo de 28º con la fibra en el par y el sotopar. A continuación, se comprueba la espiga del par por ser la más desfavorable al tener mayor esfuerzo con el mismo frente de espiga. La condición que debe cumplirse es la siguiente,

válido) (no 156,457,753,34

f d,c,

d,c, (de ec. 14.23)

Siendo c, ,d la tensión de compresión oblicua en el frente de la barbilla,

2

v1

1d,,c N/mm 53,34

505086314

tbF (de ec. 14.24)


barbilla, ecuación 14.19.

F1 = N1d · cos – V1d · sen = 102,50·cos 28º - 8,92·sen 28º = 86,314 kN

fc, ,d la resistencia a compresión oblicua. Esta resistencia viene definida en la antigua norma DIN 1052 para el caso de embarbillados (o la DIN EN 1995-1-1/NA:2013), por la ecuación 14.25,

2

422

2

d,c, N/mm 57,7

28ºcoscos28ºsen28º2,342

12,3128ºsen48,12

12,31

12,31f

donde, es el ángulo entre la dirección de la tensión de compresión y la dirección de la fibra del par. En este caso, = 28. En el caso de no admitir la expresión anterior (ecuación 14.25) para la comprobación de la tensión de compresión oblicua en la espiga y emplear la ecuación 14.26 de la norma UNE-EN 1995-1-1 (Eurocódigo 5), la resistencia sería inferior,

2

22d,c, N/mm 70,4

28ºcos28ºsen48,11

12,3112,31f (de ec. 14.26)

En este caso el índice de agotamiento sería muy superior (34,53/4,70 = 7,34). En el supuesto de que la carga total del par y sotopar se repartiera entre ambas espigas, considerando la resistencia oblicua de 7,57 N/mm2 , el índice de agotamiento sería de 3,6, en lugar de 4,56. En una situación de carga permanente, el índice de agotamiento sería igual al 60% del índice en la combinación de cálculo de permanente más nieve, como se ha expuesto al inicio del ejemplo. Por tanto, en el caso más favorable el índice sería de 0,6·3,6 = 2,16. Es decir, se justificaría el fallo de estas uniones.


99

b) Tensión tangencial rasante en el cogote Suponiendo que cada espiga tenga que transmitir su esfuerzo de manera independiente, se comprobarán ambos casos. Para la espiga exterior la tensión tangencial se obtiene repartiendo el valor de la carga F1 en la superficie de rasante, Av, figura 14.44,

F1 = 102,50·cos 28º - 8,92·sen 28º = 86,314 kN

Av = 50·270·3 = 40500 mm2

2d N/mm 13,2

4050086314

De donde resulta un índice de agotamiento cercano a la unidad,

191,034,213,2

f dv,

d

Figura 14.44. Dimensiones de las cajas y espigas.

Y para la espiga interior, análogamente,

F1 = 59,39·cos 28º - 7,05·sen 28º = 49,128 kN

Av = 130·50·3 + 250·50 + 2·250·50/2 = 57000 mm2

2d N/mm 86,0

5700049128 137,0

34,286,0

f dv,

d

En estas comprobaciones no se ha tenido en cuenta el coeficiente kcr de reducción del


100

ancho eficaz, ya que se ha considerado que las fendas se producirían, en su caso, fuera de la zona de desplazamiento por rasante. c) Comprobación de la flexotracción en el tirante Si se aísla el extremo del tirante, según se indica en la figura 14.45, y se representan las fuerzas aplicadas: reacción Rd, cortante del tirante V3d, componentes horizontales y verticales de las fuerzas del par, H1 y V1, y del sotopar, H2 y V2, se puede obtener el momento flector que se origina en el extremo del tirante.

H1 = 102,5·cos 28º-8,92·sen 28º = 86,314 kN V1 = 102,5·sen 28º + 8,92·cos 28º = 55,997 kN H2 = 59,39·cos 28º - 7,05·sen 28º = 49,128 kN V2 = 59,39·sen 28º + 7,05·cos 28º = 34,107 kN

Md = (86,314+49,128)·0,105 + 55,997·0,35 - (109,04-1,66)·0,26 = 5,901 kN·m

2

d,0,t N/mm 91,25050260190

136320

22

6

d,m N/mm 76,26/260190

10901,5

La tensión de flexión se ha calculado despreciando la pérdida de módulo resistente del cajeado de 50x50 mm. La comprobación de la flexotracción es,

157,0204,0364,054,13

76,2891,2

ff dm,

dm,

dt,0,

dt,0,

Figura 14.45. Fuerzas y momentos que provocan excentricidad en el apoyo.


101

Ejemplo 14.4b: Encuentro entre tornapuntas y pendolón Las tornapuntas con una sección de 190x160 mm encajan en el pendolón, de sección 190x255 mm, mediante un embarbillado con una profundidad de 30 mm y con un corte perpendicular al eje del pendolón (no en bisectriz como es recomendable), figura 14.46. Las tornapuntas transmiten un axil de compresión de 61,34 kN y un cortante de 0,31 kN, y el pendolón soporta un axil de tracción de 49,55 kN; finalmente el herraje de cuelgue del tirante tiene un axil de tracción de 3,01 kN.

Figura 14.46. Encuentro entre tornapuntas y pendolón del ejemplo 14.4.

De acuerdo con el apartado 14.5.1.2 de reglas de predimensionado, se cumple la condición de que la profundidad de la barbilla, tv = 30 mm sea menor o igual a h/6= 255/6 = 42,5 mm. a) Comprobación de la compresión oblicua en el frente de la barbilla La condición de la ecuación 14.23 sobre la tensión de compresión oblicua no se cumple,

válido) (no 23,133,308,4

1f d,c,

d,c, (de ec. 14.23)


2

v1

1d,,c N/mm 08,4

3019023275

tbF (de ec. 14.24)


102

F1 fuerza de compresión perpendicular a la superficie del frente de la barbilla, de la ecuación 14.19, teniendo en cuenta que V1d tiene sentido contrario al de la ecuación mencionada,

F1 = N1d · cos – V1d · sen =61,34·cos 68º - (-0,32)·sen 68º = 23,275 kN

fc, ,d la resistencia a compresión oblicua, que según la antigua norma DIN

1052 (o DIN EN 1995-1-1/NA:2013), ecuación 14.25,

2

422

2

d,c, N/mm 33,3


12,3168sen48,12

12,31

12,31f

donde,

ángulo entre la dirección de la tensión de compresión y la dirección de la fibra del pendolón. En este caso, = 68º.

Si el corte del embarbillado se hubiera realizado en bisectriz del ángulo de 90+22 = 112º, el ángulo de 68º bajaría a 34º. La tensión oblicua hubiera resultado de 6,44 N/mm2 y la resistencia oblicua de 6,44 N/mm2, obteniendo un índice de 1,14, algo inferior al 1,23. b) Comprobación de la tensión tangencial en el cogote Se cumple la condición de la ecuación 14.27,

143,034,202,1

f dv,

d (de ec. 14.27)

donde,


F3 = 61,34·cos 68 - (-0,32)·sen 68 =23,275 kN (de ec. 14.21)

2

v2cr

3d N/mm 02,1

18019076,023275

lbkF (de ec. 14.28a)

Como se ha comentado anteriormente, la longitud lv = 180 mm no debe ser mayor que 8·tv = 8·30 = 240 mm, para poder admitir una distribución uniforme de la fuerza F3 en la superficie a rasante.


103

c) Comprobación de la compresión perpendicular a la fibra en el pendolón Se cumple la condición de agotamiento a compresión perpendicular,

187,048,129,1

f d,90,c

d,90,c (de ec. 14.29)

siendo, c,90,d tensión de compresión perpendicular a la fibra sobre la superficie

(b1·l90) provocada por la fuerza F4 (ecuación 14.22). Donde l90 = h1/sen .

2

ef,901

4d,90,c N/mm 29,1

23219056754

lbF (de ec. 14.30)

F4 = F2 = 61,34·cos 22 + (-0,32)·sen 22 = 56,754 kN (de ec. 14.22) Siendo la longitud eficaz l90,ef = l90 + 2·30 = 160/cos 22º + 2·30 = 232 mm. Ejemplo 14.4c: Encuentro entre pares y pendolón En la figura 14.47 se describe la unión entre los pares y el pendolón de la cercha. El encuentro se ha realizado mediante un rebaje en forma de cola de milano en el extremo superior del pendolón. Los pares con una sección de 190x255 mm transmiten al nudo un esfuerzo axil de cálculo de 87 kN y un cortante de 6,83 kN. El pendolón, con la misma sección, soporta un esfuerzo axil de tracción de 50,58 kN y en la parte superior existe una carga de 18,43 kN debida a la correa de cumbrera, que completa el equilibrio del nudo.

Figura 14.47. Encuentro entre pares y pendolón del ejemplo 13.4.


104

El axil del par Nd = 87 kN y el cortante Vd = 6,83 kN tiene una resultante R, figura 14.48. La resultante R se descompone en dos direcciones perpendiculares entre sí, una de ellas, perpendicular al plano de apoyo, FN, y la otra tangencial al plano de apoyo, FT. La dirección de la resultante, R, forma con la perpendicular al plano de apoyo (dirección de la fuerza FN), un ángulo de 16,8º.

kN 223,25º8,16senRFkN 543,83º8,16cosRFkN267,8783,687R

T

N

22

Figura 14.48. Descomposición de fuerzas del par en la dirección perpendicular y

tangencial a la superficie de contacto entre las piezas. La fuerza FN provoca una tensión de compresión oblicua de valor,

2d,,c N/mm 49,1

30319083543

La longitud eficaz del apoyo se ha calculado de acuerdo con la ecuación 14.8 sumando a la longitud de apoyo, 273,67 mm, la longitud de 30·cos 6,71º mm correspondiente a uno de sus extremos (273,67+30·cos 6,71º = 303 mm). La dirección de esta tensión forma un ángulo con la dirección de la fibra del par de 28-6,71 = 21,29º, y con la dirección de la fibra del pendolón, un ángulo de 90-6,71 = 83,29º (situación más desfavorable). La resistencia de cálculo viene dada por la ecuación 14.26,


105

2

22d,c, N/mm 498,1

83,29ºcos83,29ºsen48,11

12,3112,31f

Y la comprobación del agotamiento,

10,991,4981,49

f d,c,

d,c,

Si se hubiera utilizado la ecuación 14.31 de la antigua norma DIN 1052 (o DIN EN 1995-1-1/NA:2013) para la resistencia oblicua, el resultado es prácticamente el mismo. Este tipo de encuentro ofrece una sensación de una posible falta de estabilidad por deslizamiento entre las piezas. A este respecto pueden hacerse las siguientes reflexiones. La relación entre las componentes FT y FN es 0,30, lo que quiere decir que si el coeficiente de rozamiento entre ambas superficies es mayor o igual a 0,30, no existiría deslizamiento del par sobre la superficie del pendolón. Para madera con un contenido de humedad menor o igual al 12% y en la dirección perpendicular se puede asignar un valor de cálculo del coeficiente de rozamiento de 0,30 (véase apartado 2.16 del tomo I). En este caso, el rozamiento se produce entre una superficie de testa (par) y otra superficie prácticamente paralela a la fibra (pendolón), que no es exactamente el caso de rozamiento en dirección perpendicular. En cualquier caso, la estabilidad queda garantizada por el hecho de que los pares se encuentran trabados en sus extremos inferiores en el ensamble con el tirante y con las cargas gravitatorias se hace imposible su deslizamiento y desarmado. Por otro lado, y ante cargas de succión del viento, el herraje que se dispone en el nudo permite la resistencia de esos esfuerzos. EJEMPLO 14.5 Una cubierta de un edificio industrial construido hacia 1900 tiene una armadura de par e hilera con una luz de 7,45 m y una inclinación de 31,1º, figura 14.49. Los pares tienen una sección de 130x165 mm, y están separados entre ejes a 635 mm. Descansan en la parte superior en una hilera de 130x200 mm, y su parte inferior quedan embarbillados a un estribo que se atiranta con piezas de 160x200 mm separadas entre ejes a 1020 mm.


106

Figura 14.49. Armadura de par e hilera.

Resistencias de cálculo: En las comprobaciones que se recogen en adelante para este ejemplo se utilizarán las resistencias de cálculo para una clase resistente C22 en clase de servicio 2 y para una duración de la carga media. fc,90,d y fv,d son las resistencias de cálculo a compresión perpendicular a la fibra y cortante, respectivamente. El factor de modificación es kmod = 0,8 (tabla 4.7, tomo I), por tratarse de una duración media y una clase de servicio 2, y el coeficiente parcial del material M = 1,3 (tabla 4.6, tomo I), para madera maciza. Las resistencias características de la clase C22 pueden encontrarse en la tabla 3.4a del tomo I.

;mm/N34,23,18,38,0f;mm/N48,1

3,14,28,0f 2

d,v2

d,90,c

Ejemplo 14.5a: Apoyo de los pares. Los pares apoyan mediante un embarbillado sobre el estribo de dimensiones 150x120 mm. Éste queda trabado a los tirantes mediante un cajeado con una profundidad de 20 mm. Finalmente, los tirantes apoyan sobre dos durmientes colocados en la coronación del muro, fijados a los nudillos, figura 14.50.


107

Figura 14.50. Encuentro entre pares, estribo y tirantes del ejemplo 14.5.

La resultante del axil, Nd = 9,56 kN, y el cortante, Vd = 3,34 kN, del par, puede descomponerse en las fuerzas FH y FV, como fuerzas de compresión perpendiculares a las superficies de apoyo sobre el estribo, despreciando el efecto del rozamiento. Estas dos fuerzas se aplican en la cara superior y la cara lateral del estribo y dan lugar a una distribución de tensiones de compresión perpendicular a la fibra del estribo. En la figura 14.50 ambas componentes se han situado en la arista del estribo, lo que no tiene que ser del todo exacto. En realidad las resultantes de la distribución de tensiones de compresión estarán cercanas a la arista del estribo. Si por el contrario, estuvieran más alejadas (por ejemplo centradas en la superficie de contacto entre par y estribo) se producirían tensiones de tracción perpendicular a la fibra del par, con facilidad para la aparición de fisuras por hienda de los pares; sin embargo, no es un fallo que se de en este tipo de encuentros de barbilla.

FH = 6,46 kN FV = 9,56·sen 31,1º + 3,34·cos 31,1º = 7,80 kN

La dimensión vertical de la barbilla es de 40 mm, lo que implica una relación entre la profundidad de la barbilla (medida en la dirección transversal) y el canto del par, h, de algo menos de h/5. En la figura se representa como la resultante de FH y FV se equilibra con las reacciones RH y RV originadas en el encuentro entre estribo y tirante. Éstas últimas son las


108

reacciones en la base del par para cada forma de armadura. A continuación se han estimado las tensiones de compresión sobre cada cara del estribo, suponiendo una distribución triangular,

2d,90,cV

2d,90,cH

N/mm 55,0150)302130(

78002

N/mm 7,140)302130(

64602

Puede observarse que se ha tomado como longitud eficaz de apoyo en el estribo, la anchura del par, 130 mm, más dos tramos de 30 mm a cada lado. La tensión más desfavorable es la provocada por la componente horizontal, 1,7 N/mm2. La condición a cumplir viene dada por la ecuación 13.2, considerando un factor kc,90 = 1,5,

177,048,15,1

7,1fk d,90,c90,c

d,90,c

Además de esta comprobación de tensión de compresión sobre el estribo provocada por el empuje del par, también hay que comprobar la tensión de compresión perpendicular a la fibra sobre el estribo, que se origina en su anclaje con el tirante mediante la caja de 20 mm de profundidad. Existe un tirante por cada 1,6 pares (relación 1020/635 = 1,6). Si se toma a favor de la seguridad, y por razones de distribución, 2 pares por cada tirante, la fuerza horizontal en cada encuentro entre estribo y tirante sería el doble de la fuerza RH = 6,46 kN. La tensión de compresión perpendicular a la fibra en el estribo admitiendo una distribución uniforme es,

2d,90,c N/mm 94,2

20)302160(64602

Y el índice de agotamiento,

válido) (no 132,148,15,1

94,2fk d,90,c90,c

d,90,c

Puede observarse que el índice no es válido. En cualquier caso debe tenerse en cuenta que existe un clavo de sección grande que atraviesa el estribo y lo conecta con el tirante. También debe observarse que la profundidad de la caja presentaba una profundidad muy variable de una pieza a otra. Finalmente, se puede hacer una comprobación de la tensión tangencial en el cogote del tirante. El esfuerzo a transmitir será, al igual que en el caso anterior, el doble de la componente RH. La superficie de reparto tiene una anchura igual al ancho del tirante, 160 mm, y una longitud que supera la relación de 8 veces la profundidad del rebaje (8·20 =


109

160 mm), para poder admitir una distribución uniforme de la tensión tangencial. Por este motivo, se toman 160 mm como longitud a efectos de cálculo.

2d N/mm 5,0

16016064602

De donde se obtiene el siguiente índice de agotamiento,

122,034,250,0

f dv,

d

Ejemplo 14.5b. Encuentro entre par e hilera El encuentro entre los pares en la cumbrera se realiza a través de la pieza denominada hilera a la que van simplemente clavados, figura 14.51. La hilera queda por tanto, sometida simplemente a una compresión perpendicular a la fibra que como se verá en este ejemplo, resulta poco relevante.

Figura 14.51. Encuentro entre par e hilera del ejemplo 14.5.

La fuerza que llega del par a la hilera, formada por el axil Nd = 5,52 kN y el cortante Vd = 3,34 kN, puede descomponerse en dos fuerzas FH y FV, de dirección horizontal y vertical, respectivamente. Como es lógico, la componente vertical es nula, ya es obligado por la simetría con el otro faldón.

FH = 5,52·cos 31,1º + 3,34·sen 31,1º = 6,452 kN FV = 5,52·sen 31,1º - 3,34· cos 31,1º = 0 kN

La tensión de compresión perpendicular es,


110

2d,90,c N/mm 18,0

1,31cos/165)302130(64522

Y el índice de agotamiento,

112,048,15,1

18,0fk d,90,c90,c

d,90,c

14.7 ENSAMBLE EN COLA DE MILANO 14.7.1 Cola de milano El ensamble en cola de milano debe su nombre al parecido con la forma acuñada de la cola de esta ave. Es un ensamble capaz de transmitir esfuerzos de tracción y, como es lógico, también puede transmitir compresión. Su capacidad portante es muy reducida. Normalmente esta unión se realiza sobre la mitad del espesor de la pieza, denominándose en este caso a media madera. Puede ser recto u oblicuo, figura 14.52.

Figura 14.52. Ensambles de cola de milano a media madera.

Un tipo de ensamble con cola de milano, utilizado en armaduras de cubierta, es el denominado de cola de milano pasante. En este caso la cola de milano es oblicua y no es a media madera sino que queda entallado por ambas caras. La mortaja es más amplia que la espiga para permitir su entrada, impidiendo su salida mediante una espiga de madera más dura, figura 14.53.

Figura 14.53. Ensamble de cola de milano pasante.


111

La capacidad portante de esta unión trabajando a tracción no suele quedar recogida por las normas de cálculo. Existe un Documento Técnico Unificado Francés (CB.71 1984) en el que se especifica una comprobación basada en las tres condiciones siguientes:

a) La tensión de cortante, d, en los planos gjg'j' y hih'i' es inferior a la resistencia de cálculo a cortante fv,d, figuras 14.54 y 14.55a.

f eb2

N = dv,

dd (14.88)

b) La tensión de tracción paralela a la fibra, t,0,d, en la pieza sometida al axil de

tracción Nd, en la sección debilitada ghij debe resultar inferior a la resistencia de cálculo a tracción paralela a la fibra, ft,0,d, figuras 14.54 y 14.55b.

f S

N = dt,0,(ghij)

dt,0, (14.89)

En esta comprobación del DTU citado, no se ha tenido en cuenta que en la sección reducida ghij, existe una excentricidad del esfuerzo axil Nd, que provocará una flexión a añadir a la tracción.

c) En la figura 14.55c se representa un posible modo de rotura que se genera por

efecto de tensiones de tracción perpendicular a la fibra en la pieza pasante. Esta tensión de tracción perpendicular a la fibra, t,90,d, se supone repartida sobre una superficie igual a e2, (2·0,5·e·e), siendo e el grueso de la cola de milano, y no debe superar la resistencia de cálculo a tracción perpendicular a la fibra, ft,90,d.

f eN

= dt,90,2d

d,90,t, (14.90)

El trazado habitual de la cola de milano a media madera presenta un grueso de la cola igual a la mitad del grueso de la pieza a cajear y la reducción de la sección, distancias ag y bh de la figura 14.54, son iguales a 1/5 de la anchura de la pieza, dimensión ab.

Figura 14.54. Ensamble en cola de milano.


112

Figura 14.55. Modos de rotura del ensamble de cola de milano.

14.7.2 Cola de milano redondeada 14.7.2.1 Introducción La cola de milano redondeada es un tipo de ensamble derivado de la cola de milano, específicamente diseñada para su fabricación mediante control numérico. Es capaz de transmitir las cargas verticales (o reacciones) en los apoyos de una correa o vigueta en una viga principal. También tiene cierta capacidad de transmitir esfuerzos axiles y de flexión, aunque a efectos de cálculo no se tiene en cuenta. En la figura 14.56 se representa su aplicación más frecuente como apoyo de una correa sobre una viga. Es una solución que en principio no requiere elementos metálicos (luego se verá que es recomendable y a veces necesario). Da lugar a una solución muy limpia visualmente y económica. Tiene una eficacia muy superior a la solución simple de una caja recta en la viga. El principal inconveniente que presenta es que exige una precisión muy elevada en el montaje, ya que la distancia entre los apoyos tiene muy poca tolerancia. Esto puede hacer que el montador de la estructura prefiera otros sistemas de unión, al considerar las dificultades de montaje. Otro de los inconvenientes es que la viga principal ve reducida su sección por las cajas que se realizan por una o las dos caras.

Figura 14.56. Cola de milano redondeada.


113

14.7.2.2 Parámetros de diseño Las recomendaciones para su trazado y fabricación son las siguientes (Werner 2002), figura 14.57:

- Longitud de la espiga o cola: t 25 o 30 mm - Profundidad de la caja: p t + 3 mm - Altura de la cola: h1 h/2 (h es la altura de la sección de la correa). A efectos

de capacidad mecánica se recomienda una altura h1 = 2·h/3 (Tannert 2008). - El ángulo formado por las caras de la cola: = 10 a 15 º (Tannert 2008). - Anchura mínima de la viga principal: bv t + 50 mm para apoyo a un lado; b

t + 100 mm para apoyo a ambos lados. - Holgura de mecanizado: 0,2 mm - Utilización de madera seca durante la fabricación y reducir al mínimo las

variaciones de contenido de humedad desde su fabricación hasta la puesta en obra. El contenido de humedad de fabricación debería ser lo más parecido al de servicio. La velocidad de mecanizado debe ser lenta para conseguir una precisión mayor.

- La distancia entre ejes de cajas de apoyo en la viga principal no será menor que 600 mm y la distancia de la primera caja al extremo de la pieza (testa) no será menor que 500 mm.

Figura 14.57. Dimensiones de la cola de milano redondeada.


114

14.7.2.3 Capacidad de carga Los primeros estudios sobre el comportamiento estructural de este tipo de uniones son de finales del siglo pasado, según cita Tannert (2008). Kreuzinger y Spengler (1999) realizaron ensayos en una serie de probetas de este tipo de unión, y Barthel et al. (1999) efectuaron un análisis por elementos finitos de los ensayos anteriores. Posteriormente, aparecen trabajos en los que se proponen métodos de comprobación y se profundiza en su comportamiento mecánico (Werner 2002, Tannert 2008, Soilán et al. 2008). Existen dos modos principales de fallo de esta unión. El primero afecta a la viga principal y es originado por un fallo a tracción perpendicular a la fibra en la parte baja de la caja, figura 14.57. El segundo afecta a la vigueta y consiste en el fallo por cortante combinado con tensión de tracción perpendicular en la entalladura inferior de la cola. La capacidad de carga de estas uniones no está recogida en las normas de cálculo, pero existe una propuesta de expresiones de comprobación que se han obtenido con la ayuda de la experimentación y análisis por el método de los elementos finitos (Werner 2002, Tannert 2008). Son las siguientes: a) Capacidad de carga de la vigueta o correa:

dv,sefdcorrea, fkA32F (14.91)

donde, Aef área eficaz de la espiga, definida por la expresión siguiente,

8b

2b

h2b

h2

tgbA211

11

11ef (14.92)

b1, h1, según figura 14.53. ks factor de tamaño definido por la siguiente expresión (Tannert 2008),

0,2

ef

2

s Amm3600k (14.93)

El valor máximo de ks es la unidad.

b) Capacidad de carga de la viga principal:

2bhh0,09F 1

1vdviga, (14.94)


115

donde hv, h1 y b1 están en mm y Fviga,d está en kN. c) Limitación de la deformación:

Se aconseja no superar un deslizamiento entre ambas piezas de más de 1,5 mm. Para su cálculo se define un coeficiente de muelle definido por la siguiente expresión:

adm correa,

admviga,

FF

min 0,7C (14.95)

Donde Fviga, adm y Fcorrea, adm son los valores admisibles de las capacidades de carga de la viga y la correa, respectivamente, expresadas en kN (el valor admisible de la carga es aproximadamente 1,4 veces menor que el valor de cálculo; Fadm Fd/1,4); y C es el coeficiente de muelle expresado en kN/mm.

Para el cálculo de estas uniones podría pensarse en la aplicación del criterio de cálculo de la capacidad de carga de apoyos de vigas con los extremos entallados, utilizando el factor kv que se define en el DB-SE-Madera y en la norma UNE-EN 1995-1-1. Este factor se utiliza para penalizar la capacidad de cortante de estas vigas como consecuencia de una entalladura en el borde inferior. Sin embargo, se ha demostrado que este factor no es aplicable al caso de entalladuras de muy corta longitud como es el caso de las uniones con cola de milano redondeada. No debe olvidarse en la comprobación de las vigas principales que su capacidad portante queda reducida como consecuencia de la pérdida de sección debida a los cajeados. Finalmente, se ha comprobado el efecto beneficioso en el comportamiento de estas uniones del añadido de tirafondos de tipo “todo rosca” (fuste roscado por completo) como elementos de refuerzo. Estos elementos se disponen preferiblemente conectando viga con correa de manera que la parte inferior de la correa queda cosida y por tanto reforzada frente a tensiones de tracción perpendicular a la fibra. No obstante, no se ha cuantificado todavía su efecto de manera concreta (Tannert 2008). En situación de incendio es necesario comprobar si el tiempo requerido es alcanzado por la propia unión, o es necesario añadir algún tirafondo para cuando falle o desaparezca la caja. Por lo general, es difícil que una unión de este tipo supere los 20 minutos de resistencia al fuego, sin el refuerzo con tirafondos (Regueira 2013). EJEMPLO 14.6 Las correas de madera laminada encolada de una cubierta plana son de clase resistente GL24h, tienen una sección transversal de 100x200 mm y una luz de cálculo de 4,3 m. La separación entre ejes de correas es de 1,3 m. Están sometidas a una carga permanente de 0,7 kN/m2 (incluyendo el peso propio de las viguetas) y a una carga de nieve de 0,8 kN/m2 de duración media. La altitud topográfica es


116

menor de 1000 msnm. El apoyo en las vigas principales, que tienen un canto de 450 mm, se ha proyectado con una unión de cola de milano redondeada con las siguientes dimensiones, de acuerdo con la figura 14.57:

b1 = 45 mm; b2 = 75 mm;

= 10,88º; h1 = 180 mm.

Se desea comprobar la capacidad de carga del apoyo. De acuerdo con el apartado 14.7.2.3, a) Capacidad de carga de la correa, de ec. 14.91,

N 830724,267,081,01025032fkA

32F dv,sefdcorrea,

Nota: la resistencia a cortante se ha disminuido por el coeficiente 0,67 de comprobación del cortante en piezas sometidas a flexión. Donde el área eficaz de la espiga, según la ecuación 14.92,

22

ef mm 10250845

245180

245180

210,88tg45A

El factor de tamaño, de ec. 14.93,

81,0102503600k

0,2

s

Y la resistencia de cálculo a cortante,

2

M

k,vmodd,v N/mm 24,2

25,15,38,0

fkf

b) Capacidad de carga de la viga principal (ec. 14.94)

kN 325,262

451804500,09F dviga,

c) Capacidad de carga como consecuencia de la limitación de la deformación (ec. 14.95)


117

kN 934,54,1/307,8FkN 803,184,1/325,26F

min 0,7Cadm correa,

admviga,

De donde el coeficiente de muelle es C = 0,7·5,934 = 4,154 kN/mm. Y tomando como valor máximo admisible para el deslizamiento de la unión 1,5 mm, el valor de la carga correspondiente es Fdes = 1,5·4,154 = 6,231 kN. Finalmente, la capacidad de carga viene dada por el menor valor de los tres obtenidos,

Fcorrea,d = 8,307 kN Fviga,d = 26,325 kN Fdes = 1,5·4,154 = 6,231 kN.

Por tanto, la capacidad de carga se limita por el deslizamiento límite de la unión, Fdes = 6,231 kN. Este valor deberá ser mayor o igual al valor de cálculo de la reacción en el apoyo.

kN 995,52

3,43,18,05,12

3,43,17,035,1V d,apoyo

El índice de agotamiento en la unión de la cola de milano redondeada es 5,995/6,231 = 0,96 (válido). Esta correa presenta un índice de agotamiento el flexión de 0,57, un índice de agotamiento en cortante de 0,30 y una flecha en la combinación característica de 9,2 mm y en la combinación casi permanente de 8,4 mm. Nota: debe hacerse la siguiente observación respecto al cálculo realizado. Se ha analizado el caso de una correa con una disposición vertical, sin ángulo de rotación de la sección, como ocurre con frecuencia en las cubiertas. En el caso de existir una pendiente, la correa estaría sometida a dos componentes de las fuerzas gravitatorias; una de ellas en dirección perpendicular al eje fuerte de la sección y la otra en dirección perpendicular al eje débil de la sección. El procedimiento expuesto en el apartado 14.7.2.3 permite obtener la capacidad de carga para fuerzas perpendiculares al eje fuerte de la sección, pero su aplicación al caso de dos componentes no queda definida. Referencias bibliográficas Aira, J.R., Arriaga, F., Íñiguez-González, G., Esteban, E. y González, C. (2011). Análisis del estado de tensiones en uniones carpinteras de empalme de llave por el método de los elementos finitos. Actas de CIMAD 11, 1er Congreso Ibero-Latinoamericano da Madeira na Construcao, Coimbra, Portugal. Ed Joao Negrao y Alfredo G. Dias, Departamento de Engenharia Civil da FCTUC, Portugal. Pp. 291-292. Aira, J.R., Arriaga, F., Íñiguez-González, G., Guaita, M. y Esteban, M. (2012).


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