Cap. 14

Fluidos

Un Adelanto del Cap. 14

• Aquí empezamos una parte del curso que tiene que ver con procesos diferentes a los movimientos que hemos estado estudiando hasta ahora. Por ejemplo, el congelamiento de un vaso de agua. El agua no se ha movido pero algo ha pasado.

• El fundamento de estos procesos es en realidad la naturaleza atómica de la materia pero históricamente se desarrollaron conceptos para “entenderlos” antes de que se descubrieran los átomos.

• Casi todos los conceptos nuevos que necesitaremos están relacionados con conceptos que ya hemos estudiado. En otros casos aplicaremos conceptos “viejos” para analizar estos procesos nuevos.

• Muchos de estos procesos ocurren en fluidos, materiales que tienen ciertas características específicas.

Características de los Fluidos

Se necesita un envase para contenerlos.

Toman la forma del envase. Al ponerlo en el envase el fluido se acomoda para tomar la forma del envase. Llega a un estado de equilibrio donde ya no hay mas movimiento.

El fluido se mueve fácilmente bajo la influencia de fuerzas tangenciales a su superficie pero puede soportar fuerzas perpendiculares a su superficie.

En equilibrio el fluido que está en contacto con el envase siente una fuerza normal (perpendicular) a la superficie del envase y el fluido hace una fuerza (reacción) sobre el envase.

Las diferentes partes del fluido hacen fuerzas sobre las partes adyacentes.

La densidad del fluido puede cambiar fácilmente (gas) o puede que no cambie (líquido incompresible). La mayoría de los líquidos son casi incompresibles.

Densidad y Presión Queremos estudiar procesos que ocurren “dentro del material”. Así que necesitamos conceptos que sean independientes de la cantidad total de material que tenemos. Por ejemplo, 2 g de agua se congelan igual que 1 g de agua. Así que la masa total no es importante para entender congela-miento.

En vez de masa, usaremos densidad.

Casi siempre tomaremos la densidad del fluido como uniforme a través de todo el material.

En vez de fuerza, usaremos presión.

Ponemos cantidades diferenciales porque en muchos casos la presión varía dentro del fluido y tenemos que coger áreas pequeñas para definir la presión en un punto como un proceso diferencial.

Considera poner una esfera pequeña sólida dentro de un fluido. La normal a la superficie de la esfera apunta en todas las direcciones para diferentes partes de la esfera. El fluido hace fuerza sobre la esfera en todas las direcciones. Así que la presión en ese punto no tiene direccion. Corresponde a la magnitud de la fuerza. En un punto dado el fluido hace la misma fuerza sobre una superficie localizada allí no importa la orientación de la superficie.

Un Fluido en Reposo – La Ley de Pascal

Fuerzas actuando sobre un Volumen de Fluido

F2 - F1 – mg = 0

Si el líquido está abierto al ambiente, entonces p0

es la presión atmosférica.

Hay Mucha Física en la Ley de Pascal El agua busca su nivel. Un nivel de agua es muy útil para nivelar cosas que están distantes.

Instrumentos para medir presión:

El Barómetro El Manómetro

Más Física en la Ley de PascalEl Principio de Pascal

Un fluido incompresible (típicamente líquido)

Más Física en la Ley de PascalMáquinas Hidraúlicas

= Fi

R02

—Ri2

La fuerza es incrementada por un factor del cuadrado de la razón entre los radios de los pistones.

Pero la máquina no puede cambiar la cantidad de trabajo que hay que hacer.

Trabajo es energía y siempre está la ley de conservación de energía.

La Ley de Arquímides

Volvemos a mirar las fuerzas que actuan sobre un volumen de fluido en equilibrio. F2 y F1 son las fuerzas que hace el resto del fluido hacia arriba y hacia abajo respectivamente. F2 > F1 ya que la presión es mayor por abajo hacia arriba. FB = F2 - F1 es el resultado neto de estas fuerzas. Es una fuerza hacia arriba la cual llamamos fuerza boyante. Es igual al peso del volumen de fluido.

La segunda ley de Newton

F2 - F1 – mg = 0

FB = F2 - F1 = mg

La Ley de Arquímides, continuación

Consideremos la fuerza boyante en dos situaciones diferentes.(a)Un volumen de fluido de forma irregular – La fuerza boyante será igual

al caso en que es cúbico, o sea, igual al peso del fluido.(b)Un objeto de otro material que desplaza al fluido – Como la fuerza

boyante se debe al resto del fluido y éste está en la misma situación que en (a), la fuerza boyante será la misma que en (a), o sea, igual al peso del fluido desplazado.

Conclusión: La fuerza boyante es siempre (en todos los casos) igual al peso del volumen de fluido desplazado. Esta es la ley de Arquímides.

FB = ρf Vd g

Receta General para Analizar Situaciones con la Ley de Arquímides

1) El método es esencialmente igual que el ánalisis con la segunda ley de Newton.

2) Se hace un diagrama de fuerzas. 1) Se dibuja una sola fuerza para el efecto neto del fluido sobre el

sistema. Esta es la fuerza boyante. Siempre es hacia arriba.2) Se considera la fuerza de gravedad actuando sobre las diferentes

partes del sistema (si hay mas de una parte).3) Se consideran las otras fuerzas actuando sobre el sistema.

3) Se escribe la ecuación de la segunda ley de Newton. Muchas veces hay equilibrio y la aceleración es cero.

4) Para calcular la fuerza boyante y la(s) fuerza(s) de gravedad hay que considerar cuidadosamente los diferentes volumenes y las diferentes densidades de las partes del sistema y del fluido.

5) Hay que prestar especial atención a cuál es el volumen desplazado.

Diferentes Situaciones con la Ley de Arquímides

Completamente sumergido (no en el fondo): FB - FG = ma

ρf Vd g - ρO VO g = ma

Vd = VO !!!!!!!

ma = (ρf - ρO) VO g Así que la aceleración será hacia arriba o hacia abajo dependiendo de

cuál tenga la densidad más grande, el fluido o el objeto.

Para dos objetos del mismo volumen y diferentes materiales (ver dibujo), la fuerza boyante es la misma.

Diferentes Situaciones con la Ley de ArquímidesCompletamente sumergido pero sostenido.Esto se da cuando el objeto es más denso que el fluido.Llamemos N a la fuerza normal que hace el piso sobre el

objeto para sostenerlo. N también podría ser la fuerza que hace una persona o una soga o cualquier cosa que está sosteniendo el objeto. N es el peso aparente.

FB - FG + N = 0 equilibrio!!!

N = FG - FB

Vd = VO !!!!!!!

N = (ρO - ρf) VO g > 0N es igual al peso real del objeto menos la fuerza boyante. Los objetos

parecen pesar menos cuando están dentro de un fluido.

Diferentes Situaciones con la Ley de Arquímides

Flotando.Esto se da cuando el objeto es menos denso que el fluido.Análisis – Cuando el objeto sobresale de la superficie del fluido,

desplaza menos volumen que cuando está sumergido. Por lo tanto, la fuerza boyante disminuye hasta que llega a equilibrio con el peso del objeto.

FB - FG = 0 equilibrio!!!

FB = FG

Vd < VO !!!!!!!

ρf Vd = ρO VO La fracción del volumen del objeto que está bajo el nivel del fluido

es igual a la razón entre las densidades.

Diferentes Situaciones con la Ley de Arquímides

Flotando con Otra Masa Encima o Colgando.Similar al caso anterior excepto que hay que añadir la otra masa.

Todavía hay equilibrio.

Análisis – FB - mOg - mMg = 0

FB = mOg + mMg FB ha aumentado así que tiene que estar más sumergido. Vd ≤ VO

Vd ha aumentado y podría llegar a hundirse completamente pero no necesariamente. ρf Vd = ρO VO + mMSe ha perdido la relación sencilla entre los volumenes. No hay

razón para aprendérsela de memoria.El caso de un globo con una carga se analiza igual. Ahí Vd = VO .

Diferentes Situaciones con la Ley de Arquímides¿Cómo flota un Barco de Hierro?

El hierro es más denso que el agua y uno quizás pensaría que se debiera hundir.

Pero ¿de qué está hecho el barco? - De Aire. La gran mayoría del volumen que desplaza el barco está ocupado por aire.

Podemos despreciar el peso del aire. Las ecuaciones no cambian excepto que mO será la masa del hierro y mM la masa de la carga.

Análisis – FB - mOg - mMg = 0

FB = mOg + mMg

ρf Vd = ρO VO + mM

En este caso, Vd >> VO , , para balancear el hecho de que ρf < ρO y que también hay que soportar a mM .

Aquí tampoco se da la relación sencilla entre los volumenes. No hay razón para aprendérsela de memoria.

Hidrodinámica – Fluidos en Movimiento

Para fluidos reales, el estudio de la hidrodinámica es sumamente complicado.

Estudiaremos fluidos “ideales” . Sin embargo, los resultados son muy útiles en situaciones reales.

Características de los fluidos ideales en movimiento. Incompresible – La densidad es constante e uniforme. Flujo Constante – La velocidad no cambia con el tiempo aunque

puede ser diferente en diferentes puntos. No-viscoso -– Sin fricción. Las fuerzas son conservativas. Irrotacional – Las partículas sólo tienen movimiento de

traslación.

La Ecuación de ContinuidadFlujo a Través de un Tubo

El volumen que cruza una superficie transversal

Si el tubo cambia de diámetro

La ecuación de continuidad

Flujo de Volumen

Flujo de Masa

La Ecuación de Bernoulli Aplicar conservación de energía a un volumen de fluido mientras se mueve por un tubo.

Los cambios en energía del sistema consisten en que un volumen (verde) ha sido reemplazado por otro (azul).

Cómo tirar una Curva en Beisbol(Vista desde arriba)

Lo importante será la diferencia en velocidades. Donde hay más velocidad habrá menos presión. Las costuras de la pelota arrastran el aire y hacen que la velocidad relativa del aire sea mayor de un lado que del otro. La pelota curveará hacia el lado donde la presión es menor.

Cómo Trabaja el Ala de un Aeroplano

Lo importante será la diferencia en velocidades. Donde hay más velocidad habrá menos presión. El ala tiene una forma de tal manera que el aire que pasa por arriba tiene que viajar una distancia más larga (más velocidad) que el aire que pasa por debajo. La presión por debajo es mayor que la presión por arriba. Hay una fuerza neta hacia arriba que alza al avión. En un avión de hélice, la hélice hace un viento. En un avión de propulsión a chorro (jet) el movimiento del avión por el aire causa un viento aparente sobre el ala (como en el caso de la pelota de beisbol).

Análisis usando Continuidad y Bernoulli

¿Con qué velocidad sale el agua por un roto?

La presión en la superficie será la atmosférica.

La presíon justamente fuera del roto será la atmosférica.

Como el área del roto es mucho más pequeña que el área de la superficie, la velocidad del agua en la superficie es despreciable comparada con la velocidad del agua fuera del roto.

Un tanque abierto al ambiente

Análisis usando Continuidad y Bernoulli

Dada la diferencia en presión y las áreas, ¿cuál es el flujo?

Nuestro punto de partida son las fórmulas generales

Una Tubería Horizontal que cambia de Diámetro

Los términos en “y” se cancelan. p1 > p2 . Conozo (p1 - p2) > 0. Tengo dos ecuaciones y dos incógnitas. Puedo resolver. Escribir la ecuación de Bernoulli en términos de RV que es lo que estoy buscando.